資源簡介

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九年級數學上點撥與精練
第24章 圓
24.1.4 圓周角2(圓內接四邊形)
學習目標：
1.理解并掌握圓內接四邊形的概念，掌握圓內接四邊形性質定理；
2.結合圓內接四邊形的學習，進一步培養推論論證能力。
老師告訴你
圓內接四邊形的三種關系：
對角互補，若四邊形ABCD為的內接四邊形，則∠A+∠C=180°,∠B+∠C=180°
四個內角的和是360°
任一個外角與其相鄰內角的對角相等，簡稱圓內接四邊形的外角等于內對角。
一、知識點撥
知識點1 圓內接四邊形及性質
1.圓內接四邊形
如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做多邊形的外接圓．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，⊙O是四邊形ABCD的外接圓．
注意：
內接和外接是一個相對的概念，是一種位置關系；
每一個圓都有無數個內接四邊形，但并不是所有四邊形都有外接圓，只有對角互補的四邊形才有外接圓。
2.圓內接四邊形性質
圓內接四邊形的對角互補．如圖，∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
注意：圓內接四邊形的性質是溝通角相等關系的重要依據。
【新知導學】
例1 .如圖,四邊形ABCD內接于一圓,CE是邊BC的延長線.求證:.

【對應導練】
1．如圖，圓內接四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點E，BD平分，.
（1）求證DB平分，并求的大小.
（2）過點C作交AB的延長線于點F.若，，求此圓半徑的長.
2．如圖，四邊形ABCD是的內接四邊形，，，.
(1)求的度數；
(2)求的度數.
3．如圖，四邊形ABCD是的內接四邊形，對角線AC是的直徑，，.求的半徑長.
4．如圖，的內接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別相交于點E,F.
（1）若，求證：.
（2）若，求的度數.
5．如圖，已知是圓內接四邊形的一個外角，并且.求證：平分.
知識點2 圓內接四邊形外角性質
圓內接四邊形的任何一個外角都等于它的內對角。
注意：
圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質進行轉化，比如圓心角與圓周角之間的轉化，同弧或等弧的圓周角之間的轉化，連直徑得直角三角形，通過兩銳角互余進行轉化，圓內接四邊形外角與內對角的轉化。
【新知導學】
例2 . 如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度數．
【對應導練】
1.如圖，在中，，D是AB上一點，⊙O經過點A、C、D，交BC于點E，過點D作，交⊙O于點F，求證：
（1）四邊形DBCF是平行四邊形
（2）
2.如圖，等邊△ABC內接于⊙O，P是AB上任一點（點P不與點A、B重合），連接AP、BP，過點C作CM∥BP交PA的延長線于點M．
（1）求∠APC和∠BPC的度數．
（2）求證：△ACM≌△BCP．
（3）若PA=1，PB=2，求四邊形PBCM的面積
題型訓練
利用圓內接四邊形性質證明線段相等
1．如圖（1），已知，，以邊AB為直徑的交BC于點D，交AC于點E，連接DE.
（1）求證：.
（2）如圖（2），連接OE，將繞點D逆時針旋轉，使的兩邊分別交OE的延長線于點F，AC的延長線于點G.試探究線段DF，DG的數量關系.
2．如圖，四邊形是的內接四邊形，點在上，連接，延長到點，若.求證：.
利用圓內接四邊形證明線段關系
3．方法選擇
如圖①,四邊形是⊙的內接四邊形,連接,求證：
小穎認為可用截長方法證明,在上截取,連接···
小軍認為可用補短方法證明,延長至點,使得···
請你選擇一種方法證明：
類比探究
【探究1】
如圖②,四邊形是⊙的內接四邊形,連接是⊙的直徑, ,試用等式表示線段之間的數量關系,并證明你的結論
【探究2】
如圖③四邊形是⊙的內接四邊形,連接,若是⊙的直徑, ,則線段之間的等量關系式是________
拓展猜想
如圖④,四邊形是⊙的內接四邊形,連接若是⊙的直徑,
,則線段之間的等量關系式是___________.
4．如圖，點在同一個圓上，且C點為一動點(點C不在上，且不與點重合),.
(1)求證:是該圓的直徑;
(2)連接，求證:.
利用圓內接四邊形性質解決綜合問題
5．如圖,四邊形是的內接四邊形,且,,垂足分別為、,請問與有怎樣的數量關系
6．已知內接于，，，點D是上一點.
（Ⅰ）如圖①，若為的直徑，連接，求和的大小；
（Ⅱ）如圖②，若，連接，過點D作的切線，與的延長線交于點E，求的大小.
課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖,的內接四邊形中,,,的度數之比是,則的度數是( )
A. B. C. D.
2．如圖,四邊形是的內接四邊形,若,則的度數為( )
A. B. C. D.
3．如圖，四邊形是的內接四邊形，是的直徑，若，則的度數為( )
A. B. C. D.
4．如圖,,點E是延長線上一點,若,則的度數為( )
A. B. C. D.
5．如圖,是半圓O的直徑,點C,D在半圓O上.若,則的度數為( )
A. B. C. D.
6．如圖，四邊形是的內接四邊形，連接，.若，，則為( )
A. B. C. D.
7．如圖，是四邊形的外接圓，若，則( )
A. B. C. D.
8．如圖，內接于，是的直徑，，點是劣弧上一點，連接、，則的度數是( )
A. B. C. D.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖,已知四邊形內接于,若,則______度.
10．如圖,AB是的直徑,點C,D,E在⊙O上,若,則的度數為______.
11．如圖，在的內接四邊形中，點A是的中點，連接，若，則_______°.
12．如圖，四邊形是的內接四邊形，，弦，則的半徑等于_______.
13．如圖，四邊形內接于半圓O，為半圓O的直徑，連接，若點C為的中點，，則的度數為_____°.
三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
14．如圖，四邊形是的內接四邊形，點在上，連接，延長到點，若.求證：.
15．如圖，四邊形ABCD內接于，，四邊形OBCD為菱形，連接AC.
(1)求證：AC平分；
(2)若，，求AD的長.
16．如圖，正方形ABCD內接于，在劣弧AB上取一點E，連接DE,BE，過點D作交于點F，連接BF,AF，且AF與DE相交于點G.
求證：（1）四邊形EBFD是矩形；
（2）.
17．如圖，的內接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別相交于點E,F.
（1）若，求證：.
（2）若，求的度數.
18．在中，，以為直徑的與的交點分別為.
（1）如圖①，求的大小；
（2）如圖②，當時，求的大小.
19．如圖,四邊形ABCD內接于⊙O,∠B=50°,∠ACD=25°,∠BAD=65°.求證:
（1）AD=CD;
（2）AB是⊙O的直徑.
九年級數學上點撥與精練
第24章 圓
24.1.4 圓周角2(圓內接四邊形)
學習目標：
1.理解并掌握圓內接四邊形的概念，掌握圓內接四邊形性質定理；
2.結合圓內接四邊形的學習，進一步培養推論論證能力。
老師告訴你
圓內接四邊形的三種關系：
對角互補，若四邊形ABCD為的內接四邊形，則∠A+∠C=180°,∠B+∠C=180°
四個內角的和是360°
任一個外角與其相鄰內角的對角相等，簡稱圓內接四邊形的外角等于內對角。
一、知識點撥
知識點1 圓內接四邊形及性質
1.圓內接四邊形
如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做多邊形的外接圓．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，⊙O是四邊形ABCD的外接圓．
注意：
內接和外接是一個相對的概念，是一種位置關系；
每一個圓都有無數個內接四邊形，但并不是所有四邊形都有外接圓，只有對角互補的四邊形才有外接圓。
2.圓內接四邊形性質
圓內接四邊形的對角互補．如圖，∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
注意：圓內接四邊形的性質是溝通角相等關系的重要依據。
【新知導學】
例1 .如圖,四邊形ABCD內接于一圓,CE是邊BC的延長線.求證:.

答案：證明見解析
解析：證明：四邊形ABCD內接于圓，
.
，
.
【對應導練】
1．如圖，圓內接四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點E，BD平分，.
（1）求證DB平分，并求的大小.
（2）過點C作交AB的延長線于點F.若，，求此圓半徑的長.
答案：(1)
(2)4
解析：(1)證明：，，
，.平分.
平分，.
又，，，
，，
BD垂直平分線段AC，，，
，.
(2)由(1)可知.又，是等邊三角形，
，，.
，，.
又，，.
易知BD是直徑，設圓心為O，則點O是BD的中點，如圖，連接OC.
，，是等邊三角形，
，即此圓半徑的長為4.
2．如圖，四邊形ABCD是的內接四邊形，，，.
(1)求的度數；
(2)求的度數.
答案：(1)
(2)
解析：(1)，
，
，
；
(2)由圓周角定理得：，
，
四邊形ABCD是的內接四邊形，
.
3．如圖，四邊形ABCD是的內接四邊形，對角線AC是的直徑，，.求的半徑長.
答案：解：AC是的直徑，，
，
，
，，，
的半徑長為.
4．如圖，的內接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別相交于點E,F.
（1）若，求證：.
（2）若，求的度數.
答案：（1）證明：由三角形的外角性質可知，，.
又，，
.
（2）解：由（1）知，.
四邊形ABCD是的內接四邊形，
，
.
，
.
5．如圖，已知是圓內接四邊形的一個外角，并且.求證：平分.
答案：四邊形是圓內接四邊形，
，
又，
.
，
又，
即平分.
知識點2 圓內接四邊形外角性質
圓內接四邊形的任何一個外角都等于它的內對角。
注意：
圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質進行轉化，比如圓心角與圓周角之間的轉化，同弧或等弧的圓周角之間的轉化，連直徑得直角三角形，通過兩銳角互余進行轉化，圓內接四邊形外角與內對角的轉化。
【新知導學】
例2 . 如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度數．
【答案】110°
【分析】先根據圓周角定理得到∠A=∠BOD=70°，然后根據圓內接四邊形的性質求∠BCD的度數．
解：∵∠BOD＝140°，
∴∠A＝∠BOD＝70°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°．
【點撥】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了圓內接四邊形的性質.
【對應導練】
1.如圖，在中，，D是AB上一點，⊙O經過點A、C、D，交BC于點E，過點D作，交⊙O于點F，求證：
（1）四邊形DBCF是平行四邊形
（2）
【分析】（1）利用等腰三角形的性質證明，利用平行線證明，利用圓的性質證明，再證明即可得到結論；
（2）如圖，連接，利用平行線的性質及圓的基本性質，再利用圓內接四邊形的性質證明，從而可得結論．
證明：（1），
，
，
，
又,
四邊形是平行四邊形．
（2）如圖，連接
，
四邊形是的內接四邊形
【點撥】本題考查平行四邊形的判定，圓的基本性質，平行線的性質與判定，等腰三角形的性質，圓內接四邊形的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．
2.如圖，等邊△ABC內接于⊙O，P是AB上任一點（點P不與點A、B重合），連接AP、BP，過點C作CM∥BP交PA的延長線于點M．
（1）求∠APC和∠BPC的度數．
（2）求證：△ACM≌△BCP．
（3）若PA=1，PB=2，求四邊形PBCM的面積
【答案】（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
由同弧所對的圓周角相等可得：
∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°。
（2）解：如圖，∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC=60°∴∠M=180°－∠BPM=180°－120°=60°∴∠M=∠BPC=60°∵A、P、B、C四點共圓，∴∠MAC=∠PBC又∵AC=BC，
∴△ACM≌△BCP（AAS）
（3）解：∵△ACM≌△BCP，
∴CM=CP，AM=BP=2
又∠M=60°，
∴△PCM為等邊三角形
∴CM=PM=1+2=3
作PH⊥CM于H，
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，PM=3
【知識點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；圓周角定理
【解析】【分析】（1）由等邊三角形的性質和同弧所對的圓周角相等可得∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；
（2）由平行線的性質可得∠PCM=∠PCA+∠ACM=∠BPC=60°=∠MPC，根據有兩個角是60°的三角形是等邊三角形可得三角形PCM是等邊三角形，則CM=CP；而∠BCA=∠BCP+∠PCA=60°，所以∠BCP=∠ACM，CA=CB，用邊角邊可證得△ACM≌△BCP；
（3）作PH⊥CM于H，由（2）可得三角形PCM是等邊三角形，△ACM≌△BCP，所以AM=BP，則CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB，在Rt△PMH中，用勾股定理可求得PH的長，則SPBCM=(PB+CM)×PH可求解。
題型訓練
利用圓內接四邊形性質證明線段相等
1．如圖（1），已知，，以邊AB為直徑的交BC于點D，交AC于點E，連接DE.
（1）求證：.
（2）如圖（2），連接OE，將繞點D逆時針旋轉，使的兩邊分別交OE的延長線于點F，AC的延長線于點G.試探究線段DF，DG的數量關系.
答案：（1）證明：四邊形ABDE內接于，
.，
.，，
，.
（2）解：.理由如下：
四邊形ABDE內接于，.
，.
，.
，，
.
，
，
即.
又，.
旋轉得到，，
，
即.，
，.
2．如圖，四邊形是的內接四邊形，點在上，連接，延長到點，若.求證：.
答案：證明：連接，如圖，
，
，
，
，
而，
，
，
.
解析：連接，如圖，根據圓內接四邊形的性質得到，再利用得到，從而得到結論.
利用圓內接四邊形證明線段關系
3．方法選擇
如圖①,四邊形是⊙的內接四邊形,連接,求證：
小穎認為可用截長方法證明,在上截取,連接···
小軍認為可用補短方法證明,延長至點,使得···
請你選擇一種方法證明：
類比探究
【探究1】
如圖②,四邊形是⊙的內接四邊形,連接是⊙的直徑, ,試用等式表示線段之間的數量關系,并證明你的結論
【探究2】
如圖③四邊形是⊙的內接四邊形,連接,若是⊙的直徑, ,則線段之間的等量關系式是________
拓展猜想
如圖④,四邊形是⊙的內接四邊形,連接若是⊙的直徑,
,則線段之間的等量關系式是___________.
答案：截長法,如圖一,在上截取,連接
,為等邊三角形
,
,
為等邊三角形,
,
,
,
,
補短法:如圖二,延長到點,是,連接
,為等邊三角形,
,
四邊形是圓內接四邊形
,
為等邊三角形,
,
,即,
,
.
【探究1】
截長法一:如圖三,在上截取,連接
是圓心的直徑,,
,
,
,
,
在中,
.
截長法二：如圖四,過點做垂直,交于點,
通過證明,得出,
通過解得出,從而得出結論,
其他解法：
【探究2】
,
,
,
,
【探究3】
,
,
,
4．如圖，點在同一個圓上，且C點為一動點(點C不在上，且不與點重合),.
(1)求證:是該圓的直徑;
(2)連接，求證:.
答案：證明:(1)
是該圓的直徑.
(2)延長至點E，使得,連接.
在和中,
是等腰直角三角形.
利用圓內接四邊形性質解決綜合問題
5．如圖,四邊形是的內接四邊形,且,,垂足分別為、,請問與有怎樣的數量關系
答案：.理由如下:
如圖,連接并延長,與相交于點,連接,則,
∵,∴,
∵是直徑,∴,
∴,
∴,∵,∴,
∴是的中位線,
∴,故.
6．已知內接于，，，點D是上一點.
（Ⅰ）如圖①，若為的直徑，連接，求和的大小；
（Ⅱ）如圖②，若，連接，過點D作的切線，與的延長線交于點E，求的大小.
答案：（Ⅰ）BD為的直徑，
.
在中，，
；
，，
.
.
（Ⅱ）如圖，連接OD.
，
.
四邊形ABCD是圓內接四邊形，，
.
.
.
是的切線，
，即.
.
課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖,的內接四邊形中,,,的度數之比是,則的度數是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：設為,則為,為,
∵四邊形為圓內接四邊形,
∴,,
∴,
解得：,
∴,
∴,
故選：C.
2．如圖,四邊形是的內接四邊形,若,則的度數為( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：∵四邊形是的內接四邊形,,
∴,
∴,
故選：A.
3．如圖，四邊形是的內接四邊形，是的直徑，若，則的度數為( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：如圖，連接，
是的直徑，
，
，
四邊形是的內接四邊形，
，
故選：B.
4．如圖,,點E是延長線上一點,若,則的度數為( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：,
點B、C、D在以A為圓心,為半徑的圓上,
如下圖,在優弧上任取一點F,連接,,
,
,
,,
,
故答案為：A.
5．如圖,是半圓O的直徑,點C,D在半圓O上.若,則的度數為( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：∵是半圓O的直徑,
∴,
∵,
∴,
∵四邊形ABDC是圓內接四邊形,
∴,
∴；
故選D.
6．如圖，四邊形是的內接四邊形，連接，.若，，則為( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：是的內接四邊形，
，
，
，
，
，
故選：A.
7．如圖，是四邊形的外接圓，若，則( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：是四邊形的外接圓，，
，
故選：B.
8．如圖，內接于，是的直徑，，點是劣弧上一點，連接、，則的度數是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：∵是的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴.
故選：C.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖,已知四邊形內接于,若,則______度.
答案：98
解析：∵四邊形內接于,
∴；
又.
∴.
故答案為：98.
10．如圖,AB是的直徑,點C,D,E在⊙O上,若,則的度數為______.
答案：130°
解析：連接BE,
是直徑,
,
,
故答案為:130°.
11．如圖，在的內接四邊形中，點A是的中點，連接，若，則_______°.
答案：25
解析：的內接四邊形中，，
，
點A是的中點，
，
，
故答案為：25.
12．如圖，四邊形是的內接四邊形，，弦，則的半徑等于_______.
答案：2
解析：連接OA，OC，
四邊形ABCD是的內接四邊形，
，
，
，
，
，
為等邊三角形，
，
即的半徑為2.
故答案為：2.
13．如圖，四邊形內接于半圓O，為半圓O的直徑，連接，若點C為的中點，，則的度數為_____°.
答案：70
解析：四邊形內接于半圓O，
，
，
，
點C為的中點，
，
是半的直徑，
，
.
故答案為：70.
三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
14．如圖，四邊形是的內接四邊形，點在上，連接，延長到點，若.求證：.
答案：證明：連接，如圖，
，
，
，
，
而，
，
，
.
解析：連接，如圖，根據圓內接四邊形的性質得到，再利用得到，從而得到結論.
15．如圖，四邊形ABCD內接于，，四邊形OBCD為菱形，連接AC.
(1)求證：AC平分；
(2)若，，求AD的長.
答案：(1)見解析
(2)
解析：(1)證明：四邊形OBCD為菱形，，.
，平分.
(2)解：連接AO，
，，
又，，，
，
，.
16．如圖，正方形ABCD內接于，在劣弧AB上取一點E，連接DE,BE，過點D作交于點F，連接BF,AF，且AF與DE相交于點G.
求證：（1）四邊形EBFD是矩形；
（2）.
答案：（1）如答圖，連接BD.
四邊形ABCD是正方形，，
BD是的直徑，
.
，
，
四邊形EBFD是矩形.
（2）如答圖，連接OA.
四邊形ABCD是正方形，
.
四邊形EBFD是矩形，，
，
.
17．如圖，的內接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別相交于點E,F.
（1）若，求證：.
（2）若，求的度數.
答案：（1）證明：由三角形的外角性質可知，，.
又，，
.
（2）解：由（1）知，.
四邊形ABCD是的內接四邊形，
，
.
，
.
18．在中，，以為直徑的與的交點分別為.
（1）如圖①，求的大小；
（2）如圖②，當時，求的大小.
答案：（1）四邊形是圓內接四邊形，
四邊形的任意一個外角等于它的內對角，
.
，.
（2）連接，
，
，
.
為直徑，
.
.
.
19．如圖,四邊形ABCD內接于⊙O,∠B=50°,∠ACD=25°,∠BAD=65°.求證:
（1）AD=CD;
（2）AB是⊙O的直徑.
答案：（1）.∵四邊形ABCD內接于⊙O,
∴∠ADC=180°-∠B=130°.
∵∠ACD=25°,
∴∠DAC=180°-∠ACD-∠D=180°-130°-25°=25°.
∴∠DAC=∠ACD.
∴AD=CD.
（2）.∵∠BAC=∠BAD-∠DAC=65°-25°=40°,∠B=50°,
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-40°=90°.
∴AB是⊙O的直徑.
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