資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
九年級數學上點撥與精練
第24章 圓
24.1.4 圓周角1
學習目標：
理解圓周角定義；
掌握圓周角定理及推論；
結合圓周角定理的探索與證明過程，進一步體會分類討論、化歸的思想方法
老師告訴你
利用圓周角定理及其推論證明時常見的思路
在同圓或等圓中，要證明兩條弧相等，考慮證明這兩條弧所對的圓周角相等；
在同圓或等圓中，要證明兩個圓周角相等，考慮證明這兩個圓周角所對的弧相等；
當有直徑時，常常利用直徑所對的圓周角是直角解決問題。
特別提醒：“有直徑，造直角”和“造垂直于弦的直徑”是解題時常作的輔助線。
一、知識點撥
知識點1圓周角的定義
　像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.
【新知導學】
例1．下列圖形中的角是圓周角的是( )
A. B. C. D.
【對應導練】
1．下列四個圖中，為圓周角的是( )
A. B. C. D.
2．如圖,點均在圓上,則圖中有 個圓周角.
知識點2 圓周角定理
一條弧所對的圓周角等于等于它所對的圓心角的一半．
【新知導學】
例2 .下面是證明圓周角定理的過程,請認真閱讀,并補全過程.
圓周角定理:一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.分析:根據圓心與圓周角的位置關系,可以分為三類.已知:A,B,C為上的三個點.求證:.請你參考情況1的證明,完成情況2、情況3的證明.
情況1:圓心在圓周角的邊上.證明:,,由外角可得,.即.
情況2:圓心在圓周角內部.證明:作直徑AD. ,.,同理________,_________,_______.
情況3:圓心在圓周角外部.證明:作直徑AD. ,______________._______+______________,同理_______,_____________________________________,________.
【對應導練】
1．已知的直徑AB長為2，弦AC長為，那么弦AC所對的圓周角的度數等于________.
2．如圖，已知AB是的弦，，，垂足為C，OC的延長線交于點D.若是所對的圓周角，則的度數是_______________.
3．如圖，AD是的直徑，，若，則圓周角的度數是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
4 .如圖，點A，B，C，D，E都在⊙O上，∠BAC＝15°，∠BOD＝70°，則∠CED的度數是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．55°
知識點3 圓周角定理的推論
同弧或等弧所對的圓周角相等.
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等
2）直徑(或半圓)所對的圓周角是直角；
90°的圓周角所對的弦是直徑，所對的弧是半圓.
注意：
（1）由于圓中一條弦所對的圓周角的大小有兩種情況，所以不能根據弦相等得到圓周角相等.
（2）同圓或等圓中，一條弦所對的圓周角相等或互補。
（3）把圓中的直徑與90°的圓周角聯系在一起，構造直徑上的圓周角是直角是解決問題的常用方法，這樣就為勾股定理的應用，相似三角形的產生創造了條件。
【新知導學】
例3．如圖，的直徑與弦相交，若，則( )
A. B. C. D.
【對應導練】
1．如圖，已知是的外接圓，是的直徑，是的弦，，則等于( )
A.29° B.42° C.58° D.32°
2．如圖,是的直徑,點C,D,E在上,若,則的度數為( )
A. B. C. D.
3．如圖,AB是的直徑,弦CD與AB交于點E,且E是CD的中點.
(1)求證：；
(2)若,,求的半徑.
4．如圖,的直徑AB為6cm,的平分線交于點D.
(1)判斷的形狀,并證明；
(2)求BD的長.
題型訓練
利用圓周角定理及推論證明線段相等
1 .如圖,AB為的直徑,C、D為圓上的兩點,,OC交AD于點E.

(1)求證:;
(2)若,,求的半徑.
2．如圖，的弦AB,CD的延長線相交于點P，且.求證：.
利用圓周角定理求線段的長
3．已知的直徑為10，點A,B,C在上，的平分線交于點D.
（1）如圖①，若BC為的直徑，，求AC,BD,CD的長；
（2）如圖②，若，求BD的長.
4．如圖，的直徑cm，，求AC的長.
利用圓周角定理推論證明邊角關系
5．如圖，是的切線，點在直徑的延長線上．
（1）求證：；
（2）若，求的半徑．
6．如圖,在中,,以為直徑的分別交于點,且點D為邊的中點.
(1)求證:為等邊三角形;
(2)求的長.
利用圓周角定理推論探究數量關系
7．已知內接于，，，點D是上一點.
（Ⅰ）如圖①，若為的直徑，連接，求和的大小；
（Ⅱ）如圖②，若，連接，過點D作的切線，與的延長線交于點E，求的大小.
8 .如圖，AB為的直徑，點C在上．
(1) 尺規作圖：作的平分線，與交于點D；連接OD，交BC于點E（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2) 探究OE與AC的位置和數量關系，并證明你的結論．
課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖，圓心角，則的度數是( )
A. B. C. D.
2．如圖，一塊直角三角板的角的頂點P落在上，兩邊分別交于A，B兩點，連結，，則的度數是( )
A. B. C. D.
3．如圖,已知是的直徑,點A,D在上,若,則的大小為( )
A. B. C. D.
4．如圖，內接于，，，AD是的直徑，則的度數是( )
A.35° B.55° C.65° D.70°
5．如圖,在中,點C在上.若,,則的度數為( )
A. B. C. D.
6．如圖,為的直徑,C,D是上在直徑異側的兩點,C是弧的中點,連接,,交于點P,若,則的度數為( )
A. B. C. D.
7．如圖,,是的兩條直徑,E是劣弧的中點,連接.若,則的度數為( )
A.60° B.50° C.40° D.30°
8．如圖,,點E是延長線上一點,若,則的度數為( )
A. B. C. D.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，是的直徑，是的弦，連接、、.若，則__________°.
10．如圖,AB是的直徑,點C,D,E在⊙O上,若,則的度數為______.
11．如圖，是的弦，連接，，是所對的圓周角，則與的和的度數是________.
12．如圖，的直徑平分弦（不是直徑）.若，則__________°.
13．如圖，在中，直徑長為4，弦于點G，且，點E為上一點，連，過點C作于點F，若，則的長為____________.
三、解答題（共6小題，共48分）
14．（8分）如圖,AB是的直徑,弦CD與AB交于點E,且E是CD的中點.
(1)求證：；
(2)若,,求的半徑.
15．（8分）如圖,已知為的直徑,是弦,且于點E,連接、、.
(1)求證：；
(2)若,,求的半徑.
16．（8分）如圖所示,等腰直角三角形邊長,頂點A在上,三邊與分別交于D、E、F、G點,且,.
(1)請作出的圓心O點,并保留作圖痕跡；
(2)連接,求的長度.
17．（8分）如圖，OA，OB，OC都是的半徑，.
（1）求證：；
（2）若，，求的半徑.
18．（8分）如圖，在中，是直徑，是弦，延長，相交于點P，且，，求的度數.
19．（8分）如圖，以的一邊AB為直徑的半圓與其他兩邊AC，BC的交點分別為D，E，且.
（1）試判斷的形狀，并說明理由；
（2）已知半圓的半徑為5，，求BD的長.
九年級數學上點撥與精練
第24章 圓
24.1.4 圓周角1
學習目標：
理解圓周角定義；
掌握圓周角定理及推論；
結合圓周角定理的探索與證明過程，進一步體會分類討論、化歸的思想方法
老師告訴你
利用圓周角定理及其推論證明時常見的思路
在同圓或等圓中，要證明兩條弧相等，考慮證明這兩條弧所對的圓周角相等；
在同圓或等圓中，要證明兩個圓周角相等，考慮證明這兩個圓周角所對的弧相等；
當有直徑時，常常利用直徑所對的圓周角是直角解決問題。
特別提醒：“有直徑，造直角”和“造垂直于弦的直徑”是解題時常作的輔助線。
一、知識點撥
知識點1圓周角的定義
　像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.
【新知導學】
例1．下列圖形中的角是圓周角的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：根據圓周角的定義可知，選項C中的角是圓周角.
故選：C.
【對應導練】
1．下列四個圖中，為圓周角的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.故選C.
2．如圖,點均在圓上,則圖中有 個圓周角.
答案：8
解析：以點為頂點的圓周角各有1個，以點為頂點的圓周角各有3個，共有8個圓周角.
知識點2 圓周角定理
一條弧所對的圓周角等于等于它所對的圓心角的一半．
【新知導學】
例2 .下面是證明圓周角定理的過程,請認真閱讀,并補全過程.
圓周角定理:一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.分析:根據圓心與圓周角的位置關系,可以分為三類.已知:A,B,C為上的三個點.求證:.請你參考情況1的證明,完成情況2、情況3的證明.
情況1:圓心在圓周角的邊上.證明:,,由外角可得,.即.
情況2:圓心在圓周角內部.證明:作直徑AD. ,.,同理________,_________,_______.
情況3:圓心在圓周角外部.證明:作直徑AD. ,______________._______+______________,同理_______,_____________________________________,________.
答案：情況2：2；BAC；BAC
情況3：OAB；；；；；；；；；；；（角的表示方法不唯一）
【對應導練】
1．已知的直徑AB長為2，弦AC長為，那么弦AC所對的圓周角的度數等于________.
答案：45°或135°
解析：如圖，
，，
，
，
，，
故答案為45°或135°.
2．如圖，已知AB是的弦，，，垂足為C，OC的延長線交于點D.若是所對的圓周角，則的度數是_______________.
答案：30°
解析：，OD為直徑，
，
，
，
，
，
故答案為：30°.
3．如圖，AD是的直徑，，若，則圓周角的度數是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
答案：B
解析：，.，，.故選B.
4 .如圖，點A，B，C，D，E都在⊙O上，∠BAC＝15°，∠BOD＝70°，則∠CED的度數是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．55°
【詳解】：解：連接BE，
∵∠BOD＝70°，
∴∠BED＝∠BOD＝35°，
∵∠BEC＝∠BAC＝15°，
∴∠CED＝∠BED ∠BEC＝35° 15°＝20°，
故選：B．
知識點3 圓周角定理的推論
同弧或等弧所對的圓周角相等.
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等
2）直徑(或半圓)所對的圓周角是直角；
90°的圓周角所對的弦是直徑，所對的弧是半圓.
注意：
（1）由于圓中一條弦所對的圓周角的大小有兩種情況，所以不能根據弦相等得到圓周角相等.
（2）同圓或等圓中，一條弦所對的圓周角相等或互補。
（3）把圓中的直徑與90°的圓周角聯系在一起，構造直徑上的圓周角是直角是解決問題的常用方法，這樣就為勾股定理的應用，相似三角形的產生創造了條件。
【新知導學】
例3．如圖，的直徑與弦相交，若，則( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：連接，
是的直徑，
，
，
，
，
故選A.
【對應導練】
1．如圖，已知是的外接圓，是的直徑，是的弦，，則等于( )
A.29° B.42° C.58° D.32°
答案：D
解析：是的直徑，
，
，
則，
故選：D.
2．如圖,是的直徑,點C,D,E在上,若,則的度數為( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：連接,如圖,
∵是的直徑,
∴,
∵,
∴.
故選：B.
3．如圖,AB是的直徑,弦CD與AB交于點E,且E是CD的中點.
(1)求證：；
(2)若,,求的半徑.
答案：(1)證明見解析
(2)3
解析：(1)證明：連接OC,
∵,E是CD的中點,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴；
(2)設半徑為r,
∴,
∵,
∴,
∵,E點是CD的中點,
∴.
由(1)知,,
∴,
∴在中,,
即：,
解得：,
∴半徑為3.
.
4．如圖,的直徑AB為6cm,的平分線交于點D.
(1)判斷的形狀,并證明；
(2)求BD的長.
答案：(1)等腰直角三角形,證明見解析
(2)
解析：(1)是等腰直角三角形.
證明：∵CD平分,
∴.
∵,,
∴.
∴.
∵AB是直徑,
∴
∴是等腰直角三角形
(2)在中,,
∴,
∴
題型訓練
利用圓周角定理及推論證明線段相等
1 .如圖,AB為的直徑,C、D為圓上的兩點,,OC交AD于點E.

(1)求證:;
(2)若,,求的半徑.
答案：(1)見解析
(2)
解析：(1)證明：AB為的直徑，，
，
弧弧DC
(2)設的半徑為，則.
在中，由勾股定理可得，即，
解得，
圓O的半徑為.
2．如圖，的弦AB,CD的延長線相交于點P，且.求證：.
答案：證明：連接AC.
，
，
，即，
，
.
利用圓周角定理求線段的長
3．已知的直徑為10，點A,B,C在上，的平分線交于點D.
（1）如圖①，若BC為的直徑，，求AC,BD,CD的長；
（2）如圖②，若，求BD的長.
答案：解：（1）BC是的直徑，
.
在中，，
由勾股定理得.
AD平分，.
在中，，
.
（2）連接OB,OD.
AD平分，且
，
.
又，
是等邊三角形，
.
的直徑為10，，
.
4．如圖，的直徑cm，，求AC的長.
答案：解：連接EC.
AE是的直徑，.
，
.
是等腰直角三角形.
（cm）.
利用圓周角定理推論證明邊角關系
5．如圖，是的切線，點在直徑的延長線上．
（1）求證：；
（2）若，求的半徑．
答案：（1）連接．
∵是的切線，∴，
∴，
∵是的直徑,為上一點，∴，
∴，
∵
∴；
（2）設半徑為，，∵，
∴
解得：
解析：
6．如圖,在中,,以為直徑的分別交于點,且點D為邊的中點.
(1)求證:為等邊三角形;
(2)求的長.
答案：(1)證明:
連接.
是的直徑,
.
點D是的中點,
是的垂直平分線.
.
又,
.
為等邊三角形.
(2).
利用圓周角定理推論探究數量關系
7．已知內接于，，，點D是上一點.
（Ⅰ）如圖①，若為的直徑，連接，求和的大小；
（Ⅱ）如圖②，若，連接，過點D作的切線，與的延長線交于點E，求的大小.
答案：（Ⅰ）BD為的直徑，
.
在中，，
；
，，
.
.
（Ⅱ）如圖，連接OD.
，
.
四邊形ABCD是圓內接四邊形，，
.
.
.
是的切線，
，即.
.
8 .如圖，AB為的直徑，點C在上．
(1) 尺規作圖：作的平分線，與交于點D；連接OD，交BC于點E（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2) 探究OE與AC的位置和數量關系，并證明你的結論．
(1)見解析(2)，，理由見解析
【分析】
（1）根據角平分線的作圖方法作圖即可；
（2）根據內錯角相等兩直線平行證明得到，再根據三角形中位線的性質得到.
(1)∴如圖所示為所求．
(2)，．
理由：∵AB為的直徑，
∴，
∵，
∵，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
則點E為BC中點，
又∵點O為AB中點，
∴.
【點撥】此題考查了圓周角定理，角平分線的作圖，三角形中位線的性質定理，熟記角平分線的作圖方法及圓周角定理是解題的關鍵.
課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖，圓心角，則的度數是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：如圖，設點P是優弧上的一點，連接，，
∵，
∴，
∵，
∴.
故選：C.
2．如圖，一塊直角三角板的角的頂點P落在上，兩邊分別交于A，B兩點，連結，，則的度數是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：，
，
，
故選：B.
3．如圖,已知是的直徑,點A,D在上,若,則的大小為( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：是直徑,
,
,
,
故選：C.
4．如圖，內接于，，，AD是的直徑，則的度數是( )
A.35° B.55° C.65° D.70°
答案：B
解析：，，
，
，
為的直徑，
，
.
故選：B.
5．如圖,在中,點C在上.若,,則的度數為( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：如圖,連接,
∵,,
∴,
∴,
∴,
故選：C.
6．如圖,為的直徑,C,D是上在直徑異側的兩點,C是弧的中點,連接,,交于點P,若,則的度數為( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：如圖,連接,
∵為直徑,C是弧的中點,
∴,
∴,
∵,
∴,
故選A.
7．如圖,,是的兩條直徑,E是劣弧的中點,連接.若,則的度數為( )
A.60° B.50° C.40° D.30°
答案：C
解析：連接,
,
,
∵E是劣弧的中點
,
,
故
∴
故選：C.
8．如圖,,點E是延長線上一點,若,則的度數為( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：,
點B、C、D在以A為圓心,為半徑的圓上,
如下圖,在優弧上任取一點F,連接,,
,
,
,,
,
故答案為：A.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，是的直徑，是的弦，連接、、.若，則__________°.
答案：
解析：是的直徑，，，
，，
；
故答案為：.
10．如圖,AB是的直徑,點C,D,E在⊙O上,若,則的度數為______.
答案：130°
解析：連接BE,
是直徑,
,
,
故答案為:130°.
11．如圖，是的弦，連接，，是所對的圓周角，則與的和的度數是________.
答案：
解析：是所對的圓周角，是所對的圓心角，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案為：.
12．如圖，的直徑平分弦（不是直徑）.若，則__________°.
答案：55
解析：直徑平分弦，
，
，
，
，
故答案為：.
13．如圖，在中，直徑長為4，弦于點G，且，點E為上一點，連，過點C作于點F，若，則的長為____________.
答案：/
解析：連接AC，CE，OA，AD，
直徑長為4，
，
，
，
垂直平分，
，
，
是等邊三角形，
，
是圓的直徑，
，
，
，
，
，
，
.
故答案為：.
三、解答題（共6小題，共48分）
14．（8分）如圖,AB是的直徑,弦CD與AB交于點E,且E是CD的中點.
(1)求證：；
(2)若,,求的半徑.
答案：(1)證明見解析
(2)3
解析：(1)證明：連接OC,
∵,E是CD的中點,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴；
(2)設半徑為r,
∴,
∵,
∴,
∵,E點是CD的中點,
∴.
由(1)知,,
∴,
∴在中,,
即：,
解得：,
∴半徑為3.
.
15．（8分）如圖,已知為的直徑,是弦,且于點E,連接、、.
(1)求證：；
(2)若,,求的半徑.
答案：(1)證明見解析
(2)5
解析：(1)證明：為的直徑,
,,
∵
∴,
.
,
,
；
(2)設的半徑為r,
∵
∴
∵,
∴
在中,由勾股定理可得：
,
即,
解得.
答：的半徑為5.
16．（8分）如圖所示,等腰直角三角形邊長,頂點A在上,三邊與分別交于D、E、F、G點,且,.
(1)請作出的圓心O點,并保留作圖痕跡；
(2)連接,求的長度.
答案：(1)圖見解析
(2)
解析：(1)如圖,點O為的圓心,
(2)設的垂直平分線交于點H,
∵,
∴,
連接,,
∵,
∴為的直徑,
∴,
∴,
在中,
在中,.
17．（8分）如圖，OA，OB，OC都是的半徑，.
（1）求證：；
（2）若，，求的半徑.
答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明：由圓周角定理得，，.
，.
（2）如圖，過點O作半徑于點E，連接BD，則，.
，
..
，，，.
在中，，.
在中，，
，即，
，即的半徑是.
18．（8分）如圖，在中，是直徑，是弦，延長，相交于點P，且，，求的度數.
答案：
解析：連接，
，，
，
.
是的外角，
.
，
，
，
.
19．（8分）如圖，以的一邊AB為直徑的半圓與其他兩邊AC，BC的交點分別為D，E，且.
（1）試判斷的形狀，并說明理由；
（2）已知半圓的半徑為5，，求BD的長.
答案：（1）為等腰三角形
（2）
解析：（1）為等腰三角形.
理由如下：連接AE，如圖，
，
，即AE平分.
為直徑，
，
.
，，
，
為等腰三角形.
（2）由（1）知，，
.
在中，，，
.
為直徑，
，
，
.
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