資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
九年級數學上點撥與精練
第24章 圓
24.1.3 弧、弦、圓心角
學習目標：
理解圓心角的概念和圓的旋轉不變性，會辨析圓心角；
掌握在同圓或等圓中，圓心角與其所對的弦、弧之間的關系，并能運用此關系進行相關的計算和證明；
在探索弧、弦、圓心角的關系的過程中，學會用轉化的數學思想解決問題。
老師告訴你
同一圓中證明兩弦相等的四個方法：
若兩弦位于兩個不同的三角形中，證明兩弦所在的三角形全等；
若兩弦位于同一三角形中，由“等角對等邊”證明兩弦相等；
證明兩弦所對的弧相等；
證明兩弦所對的圓心角相等。
一、知識點撥
知識點1.圓心角
圓心角：我們把頂點在圓心的角叫做圓心角。如圖所示，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角．
　注意：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（1）頂點在圓心的角,叫圓心角，如∠AOB .
（2）圓心角 ∠AOB 所對的弧為.
（3）圓心角 ∠AOB所對的弦為AB.
對于任意給定一個圓心角，都對應出現三個量：即圓心角、弧、弦。
【新知導學】
例1 .下列圖形中的角是圓心角的是（ ）
A． B．
C． D．
【對應導練】
1．下列圖形中表示的角是圓心角的是( )
A. B. C. D.
2．弧度是表示角度大小的一種單位，圓心角所對的弧長和半徑相等時，這個角就是1弧度角，記作.已知，，則與的大小關系是________.
知識點2. 圓心角、弧、弦之間的關系
定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．
注意：圓心角、弧和弦之間的等量關系必須在同圓或等圓等式中才成立．
2.數學語言：如果①∠AOB=∠COD，那么有
【新知導學】
例2 .如圖所示，以 ABCD的頂點A為圓心，AB為半徑作圓，分別交AD，BC于點E，F，延長BA交⊙A于G．
（1）求證：；
（2）若的度數為70°，求∠C的度數．
【對應導練】
1．如圖，在同圓中，若，則________.（“>”“<”或“=”）
2．如圖，AB為的直徑，C,D是上的兩點，且.求證：.
3．如圖，D，E分別是兩條半徑OA，OB的中點，
（1）求證：.
（2）若，四邊形ODCE的面積為y，求y與x的函數關系式.
知識點3 相等的圓心角、弧、弦之間的關系
在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．
具體表達就是：
（1）在同圓或等圓中，如果弧相等，那么弧所對的圓心角相等，弧所對的弦相等。
（2）在同圓或等圓中，如果弦相等，那么弦所對應的圓心角相等，弦所對應的優弧相等，弦所對應的劣弧相等。
注意：理解弦、弧、圓心角的關系定理的思維圖
【新知導學】
例3 .如圖，AB是的直徑，C，D為半圓的三等分點，于點E，則的度數為________.
【對應導練】
1．已知：A、B、C、D是上的四個點，且，求證：.
2．如圖，AB，DE是的直徑，C是上的一點，且.
（1）求證：；
（2）若，求的度數.
3．如圖，的弦的延長線相交于點P，且.求證:.
4．如圖，在中，于點D，于點E，求證:.
5．如圖，BD是的直徑，C是的中點，若，則的度數為___________.
題型訓練
利用等弧對等圓心角證明線段相等
一、解答題
1．如圖，在中，點C是優弧ACB的中點，D,E分別是OA,OB上的點，且，弦CM,CN分別過點D,E.
（1）求證：.
（2）求證：.
2．如圖，在中，弦AB與CD相交于點E, ，連接AD,BC.
求證：（1）；（2）.
利用等弧對等圓心角證明線段平行
3.如圖，AB是⊙O的直徑，，∠COD＝60°．
（1）△AOC是等邊三角形嗎？請說明理由；
（2）求證：OC∥BD．
利用等圓心角對等弧求角度
4．如圖,是的直徑,,,則的大小為______.
5．如圖，AB，DE是的直徑，C是上的一點，且.
（1）求證：；
（2）若，求的度數.
6．如圖，為上的三等分點.
（1）求的度數；
（2）若，求的半徑長及.
課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．下列圖形中的角是圓心角的是( )
A. B. C. D.
2．下列說法正確的是( )
A.等弧所對的弦相等 B.相等的弦所對的弧相等
C.相等的圓心角所對的弧相等 D.相等的圓心角所對的弦相等
3．如圖，在中﹐，，則( )
A. B. C. D.
4．下列關于圓的說法中，錯誤的是( )
A.半徑、圓心角分別相等的兩段弧一定是等弧
B.如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對的圓心角相等
C.圓的對稱軸是任意一條直徑所在的直線
D.拱形不一定是弓形
5．如圖，AB是的直徑，已知，，那么的度數為( )
A.80° B.85° C.90° D.95°
6．如圖，在中，，則以下數量關系正確的是( )
A. B. C. D.
7．如圖，是的直徑，點C在上，，D是的中點，則( )
A. B. C. D.
8．如圖，是上的點，于點，于點，，則與的關系是( )
A. B. C. D.不能確定
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，在中，，A、C之間的距離為4，則線段________.
10．如圖，C為弧AB的中點，于點N，于點M，cm，則__________cm.
11．一條弦把圓分為兩部分，那么這條弦所對的圓周角的度數為___________.
12．如圖，是的直徑，是弦，點E是的中點，交于點D.連接.若，則的長為 .
13．如圖，點在的邊上，過三點的圓的圓心為點E，過三點的圓的圓心為點D.如果,那么 .
三、解答題（共6小題，共48分）
14．（8分）如圖，中，弦AB與CD相交于點E，，連接AD，BC.
求證：（1）；
（2）.
15．（7分）如圖，以等邊三角形的邊為直徑作交于點，交于點，判斷，，之間的大小關系，并說明理由.
16．（7分）如圖，已知AB是的直徑，M，N分別是AO，BO的中點，.
求證：.
17．（8分）如圖，在中，，于點D.求證：.
18．（9分）如圖，在中，點C是優弧ACB的中點，D,E分別是OA,OB上的點，且，弦CM,CN分別過點D,E.
（1）求證：.
（2）求證：.
19．（9分）如圖，AB是的直徑，P，C是上的點，，弦PC交AB于點D，連接OC.
（1）求證：.
（2）若，求的度數.
九年級數學上點撥與精練
第24章 圓
24.1.3 弧、弦、圓心角
學習目標：
理解圓心角的概念和圓的旋轉不變性，會辨析圓心角；
掌握在同圓或等圓中，圓心角與其所對的弦、弧之間的關系，并能運用此關系進行相關的計算和證明；
在探索弧、弦、圓心角的關系的過程中，學會用轉化的數學思想解決問題。
老師告訴你
同一圓中證明兩弦相等的四個方法：
若兩弦位于兩個不同的三角形中，證明兩弦所在的三角形全等；
若兩弦位于同一三角形中，由“等角對等邊”證明兩弦相等；
證明兩弦所對的弧相等；
證明兩弦所對的圓心角相等。
一、知識點撥
知識點1.圓心角
圓心角：我們把頂點在圓心的角叫做圓心角。如圖所示，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角．
　注意：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（1）頂點在圓心的角,叫圓心角，如∠AOB .
（2）圓心角 ∠AOB 所對的弧為.
（3）圓心角 ∠AOB所對的弦為AB.
對于任意給定一個圓心角，都對應出現三個量：即圓心角、弧、弦。
【新知導學】
例1 .下列圖形中的角是圓心角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據圓心角的定義作答即可．
【詳解】解：圓心角的定義：圓心角的頂點必在圓心上，
所以選項A符合題意，選項B，C，D不合題意．
故選：A．
【點睛】本題考查的是圓心角的定義，正確掌握圓心角的定義是解題的關鍵．
【對應導練】
1．下列圖形中表示的角是圓心角的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：根據圓心角的定義：頂點在圓心的角是圓心角可知,B,C,D項圖形中的頂點都不在圓心上,所以它們都不是圓心角.
故選A.
2．弧度是表示角度大小的一種單位，圓心角所對的弧長和半徑相等時，這個角就是1弧度角，記作.已知，，則與的大小關系是________.
答案：<
解析：解：根據弧度的定義，圓心角所對的弧長和半徑相等時，這個角就是1弧度角，記作1rad，當時，易知三角形為等邊三角形，弦長等于半徑，圓心角所對的弧長比半徑大，，故答案是：<.
知識點2. 圓心角、弧、弦之間的關系
定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．
注意：圓心角、弧和弦之間的等量關系必須在同圓或等圓等式中才成立．
2.數學語言：如果①∠AOB=∠COD，那么有
【新知導學】
例2 .如圖所示，以 ABCD的頂點A為圓心，AB為半徑作圓，分別交AD，BC于點E，F，延長BA交⊙A于G．
（1）求證：；
（2）若的度數為70°，求∠C的度數．
【分析】（1）要證明，則要證明∠DAF＝∠GAD，由題干條件能夠證明之；
（2）根據的度數為70°，得到∠BAF＝70°，于是得到∠B＝∠AFB（180°﹣∠BAF）＝55°，根據平行四邊形的性質即可得到結論．
【解答】（1）證明：連接AF．
∵A為圓心，∴AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，∠AFB＝∠DAF，∠GAD＝∠ABF，
∴∠DAF＝∠GAD，
∴；
（2）解：∵的度數為70°，
∴∠BAF＝70°，
∵AB＝AF，
∴∠B＝∠AFB（180°﹣∠BAF）＝55°，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠C＝180°﹣∠B＝125°．
【點評】本題考查了平行四邊形性質，平行線性質，等知識點的應用，關鍵是求出∠DAF＝∠GAD，題目比較典型，難度不大．
【對應導練】
1．如圖，在同圓中，若，則________.（“>”“<”或“=”）
答案：<
解析：取的中點E，連接，，，，，
，
，
，
，
在中，，
.
故答案為：<.
2．如圖，AB為的直徑，C,D是上的兩點，且.求證：.
答案：證明：，
.
，
，
，
.
3．如圖，D，E分別是兩條半徑OA，OB的中點，
（1）求證：.
（2）若，四邊形ODCE的面積為y，求y與x的函數關系式.
答案：（1）如答圖，連接OC.
，
.
D，E分別是兩條半徑OA，OB的中點，
.
在和中，
,
.
（2）如答圖，連接AC.
.
又，
為等邊三角形.
D是OA的中點，，
.
在中，，
四邊形ODCE的面積為.
故y與x的函數關系式為.
知識點3 相等的圓心角、弧、弦之間的關系
在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．
具體表達就是：
（1）在同圓或等圓中，如果弧相等，那么弧所對的圓心角相等，弧所對的弦相等。
（2）在同圓或等圓中，如果弦相等，那么弦所對應的圓心角相等，弦所對應的優弧相等，弦所對應的劣弧相等。
注意：理解弦、弧、圓心角的關系定理的思維圖
【新知導學】
例3 .如圖，AB是的直徑，C，D為半圓的三等分點，于點E，則的度數為________.
答案：30°
解析：連接OC.AB是直徑，，，，是等邊三角形，，，，.
【對應導練】
1．已知：A、B、C、D是上的四個點，且，求證：.
答案：詳見解析
解析：證明：
.
2．如圖，AB，DE是的直徑，C是上的一點，且.
（1）求證：；
（2）若，求的度數.
答案：（1）證明：，
.
，
，
；
（2）解：，，
.
由（1）知，，
，
.
解析：
3．如圖，的弦的延長線相交于點P，且.求證:.
答案：連接，
，
，
，即，
，
4．如圖，在中，于點D，于點E，求證:.
答案：證明:如圖，連接.
于點D，于點E，
在與中，，
.
又.
5．如圖，BD是的直徑，C是的中點，若，則的度數為___________.
答案：
解析：C是的中點，，.是的直徑，..
題型訓練
利用等弧對等圓心角證明線段相等
2024年10月21日xx學校初中數學試卷
學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、解答題
1．如圖，在中，點C是優弧ACB的中點，D,E分別是OA,OB上的點，且，弦CM,CN分別過點D,E.
（1）求證：.
（2）求證：.
答案：(1)如圖，連接OC.
點C是優弧ACB的中點，，
.
，，.
，，
.
(2)如圖，連接OM，ON.
,
，.
,
，,
.
,,
,.
解析：
2．如圖，在中，弦AB與CD相交于點E, ，連接AD,BC.
求證：（1）；（2）.
答案：（1）,
,,
.
（2），.
又,，
，
.
解析：
利用等弧對等圓心角證明線段平行
3.如圖，AB是⊙O的直徑，，∠COD＝60°．
（1）△AOC是等邊三角形嗎？請說明理由；
（2）求證：OC∥BD．
【分析】（1）由等弧所對的圓心角相等推知∠1＝∠COD＝60°；然后根據圓上的點到圓心的距離都等于圓的半徑知OA＝OC，從而證得△AOC是等邊三角形；
（2）證法一：利用同垂直于一條直線的兩條直線互相平行來證明OC∥BD；證法二：通過證明同位角∠1＝∠B，推知OC∥BD．
【解答】解：（1）△AOC是等邊三角形，
證明：∵，
∴∠1＝∠COD＝60°，
∵OA＝OC（⊙O的半徑），
∴△AOC是等邊三角形；
（2）證法一：∵，
∴OC⊥AD，
又∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，即BD⊥AD，
∴OC∥BD；
證法二：∵，
∴∠1＝∠COD∠AOD，
又∠B∠AOD，
∴∠1＝∠B，
∴OC∥BD．
【點評】本題綜合考查了圓周角定理、等邊三角形的判定以及平行線的判定．在證明△AOC是等邊三角形時，利用了等邊三角形的內角是60°的性質．
利用等圓心角對等弧求角度
4．如圖,是的直徑,,,則的大小為______.
答案：/度
解析：∵是的直徑,,,
∴,
∴,
故答案為：.
5．如圖，AB，DE是的直徑，C是上的一點，且.
（1）求證：；
（2）若，求的度數.
答案：（1）證明：，
.
，
，
；
（2）解：，，
.
由（1）知，，
，
.
解析：
6．如圖，為上的三等分點.
（1）求的度數；
（2）若，求的半徑長及.
答案：（1）為上的三等分點
的度數為：.
（2）過點O作于點D
為上的三等分點
即是等邊三角形，且
則,
故
課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．下列圖形中的角是圓心角的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：圓心角的定義：圓心角的頂點必在圓心上，
所以選項A符合題意，選項B，C，D不合題意.
故選：A.
2．下列說法正確的是( )
A.等弧所對的弦相等 B.相等的弦所對的弧相等
C.相等的圓心角所對的弧相等 D.相等的圓心角所對的弦相等
答案：A
解析：A、等弧所對的弦一定相等；故原說法正確；
B、在同圓和等圓中，相等的弦所對的弧相等，故原說法錯誤；
C、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故原說法錯誤；
D、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.故原說法錯誤；
故選：A.
3．如圖，在中﹐，，則( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：，
.
故選：B.
4．下列關于圓的說法中，錯誤的是( )
A.半徑、圓心角分別相等的兩段弧一定是等弧
B.如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對的圓心角相等
C.圓的對稱軸是任意一條直徑所在的直線
D.拱形不一定是弓形
答案：B
解析：A.半徑、圓心角分別相等的兩段弧一定是等弧，所以A選項不符合題意；
B.在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對的圓心角相等，所以B選項符合題意；
C.圓的對稱軸是任意一條直徑所在的直線，所以C選項不符合題意；
D.拱形加上跨度為弓形，所以D選項不符合題意.
故選：B.
5．如圖，AB是的直徑，已知，，那么的度數為( )
A.80° B.85° C.90° D.95°
答案：C
解析：，，
，，
，
；
故選C.
6．如圖，在中，，則以下數量關系正確的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：如答圖，連接BC...故選C.
7．如圖，是的直徑，點C在上，，D是的中點，則( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：如圖，連接.
是的直徑，，.
是的中點，
.
.
8．如圖，是上的點，于點，于點，，則與的關系是( )
A. B. C. D.不能確定
答案：A
解析：，又，，，.故選A.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，在中，，A、C之間的距離為4，則線段________.
答案：4
解析：如圖，連接BD，AC.
，
，
，
故答案為4.
10．如圖，C為弧AB的中點，于點N，于點M，cm，則__________cm.
答案：2
解析：連接OC，根據圓心角、弧、弦之間的關系求出，
根據角平分線性質得出，
根據垂徑定理得出cm，
于是cm.
11．一條弦把圓分為兩部分，那么這條弦所對的圓周角的度數為___________.
答案：或
解析：如圖,
連接.弦將分為兩部分,
則;
∴,;
故這條弦所對的圓周角的度數為或.
12．如圖，是的直徑，是弦，點E是的中點，交于點D.連接.若，則的長為 .
答案：8
解析：連接，如圖所示
點E是的中點，
,
設的半徑為r，則
，即
,
，解得.
,.
13．如圖，點在的邊上，過三點的圓的圓心為點E，過三點的圓的圓心為點D.如果,那么 .
答案：
解析：連接，如圖，設
而，
,
即得，故答案為.
三、解答題（共6小題，共48分）
14．（8分）如圖，中，弦AB與CD相交于點E，，連接AD，BC.
求證：（1）；
（2）.
答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1），
，即，
；
（2），
，
又，，
，
.
15．（7分）如圖，以等邊三角形的邊為直徑作交于點，交于點，判斷，，之間的大小關系，并說明理由.
答案：.理由如下：
如圖，連接，
為等邊三角形，，
又，
與都是等邊三角形，
，
，
，
.
16．（7分）如圖，已知AB是的直徑，M，N分別是AO，BO的中點，.
求證：.
答案：證明：連接OC，OD.
M，N分別是AO，BO的中點，
，且.
又，.
.
解析：
17．（8分）如圖，在中，，于點D.求證：.
答案：證明：延長AD交于點E，
，
，，
，
，
，
.
18．（9分）如圖，在中，點C是優弧ACB的中點，D,E分別是OA,OB上的點，且，弦CM,CN分別過點D,E.
（1）求證：.
（2）求證：.
答案：(1)如圖，連接OC.
點C是優弧ACB的中點，，
.
，，.
，，
.
(2)如圖，連接OM，ON.
,
，.
,
，,
.
,,
,.
19．（9分）如圖，AB是的直徑，P，C是上的點，，弦PC交AB于點D，連接OC.
（1）求證：.
（2）若，求的度數.
答案：（1）證明：如答圖，連接OP.
.
在和中，
，
.
（2）設，則.
.
，
.
在中，，解得.
.
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