資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
九年級數學上點撥與精練
第24章 圓
24.1.2 垂直于弦的直徑
學習目標：
理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推導，能初步運用垂徑定理進行計算及證明；
通過圓的對稱性，培養學生對數學的審美，并激發學生對數學的熱愛。
老師告訴你
垂徑定理基本圖形計算中的“四變量、兩關系”
四變量：
⊙O中，弦長a，圓心到弦的距離d,半徑r，劣弧的中點到弦的距離h，這四個量中知任意兩個可求其它兩個。
2.兩關系：
（1）+d2=r2
(2) h+d=r
注意：計算時常作半徑或過圓心作弦的垂線段來構造直角三角形。
一、知識點撥
知識點1 圓的對稱性
圓是軸對稱圖形，它的任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸；
圓是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱中心。
【新知導學】
例1．下列說法中，不正確的是( )
A.圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
B.圓有無數條對稱軸
C.圓的每一條直徑都是它的對稱軸
D.圓的對稱中心是它的圓心
【對應導練】
1．下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列說法正確的是( )
A.每一條直徑都是圓的對稱軸
B.圓的對稱軸是唯一的
C.圓的對稱軸一定經過圓心
D.圓的對稱軸與對稱中心重合
知識點2 垂徑定理
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．
垂徑定理的依據是圓的軸對稱性
【新知導學】
例2．如圖，在半徑為5cm的中，弦，于點C，則OC的長度等于( )
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
【對應導練】
1．如圖，半徑為5的經過M，N兩點，若已知兩點坐標分別為，，則A點坐標為( )
A. B. C. D.
2．如圖,AB是的直徑,弦,垂足為P.若,,則的半徑為( )
A.10 B.8 C.5 D.3
3．已知的半徑為,,是的兩條弦,,,,則弦和之間的距離是__________.
知識點3 垂徑定理的推論
1.（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；
（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧
以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即：
①是直徑 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧中任意2個條件推出其他3個結論。
2.推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧
【新知導學】
例3．如圖，直角坐標系中一條圓弧經過格點A，B，C，其中B點坐標為，則該圓弧所在圓的圓心坐標為( )
A. B. C. D.
【對應導練】
1．如圖，AB，CD是的兩條平行弦，MN是AB的垂直平分線.求證：MN垂直平分CD.
2．如圖，在中，弦的長為8，圓心O到的距離，則的半徑長為( )
A.4 B. C.5 D.
3．如圖，OA，OB，OC都是的半徑，AC，OB交于點D.若，，則BD的長為( )
A.5 B.4 C.3 D.2
4．如圖，為的直徑，弦于點F，于點E，若，，則的長度是( )
A.9 B. C. D.
知識點4垂徑定理的應用
常用垂徑定理及推論進行一類計算題：在弦長、弦心距、半徑三個量中，只需知道其中任意兩個，都可求出第三個，此時需構造Rt△，利用勾股定理求解．
特別注意右圖形的運用。常作輔助線：弦心距。
利用弦的垂直平分線可以確定圓心。
【新知導學】
例4．如圖1，裝有水的水槽放置在水平桌面上，其橫截面是以為直徑的半圓O，若，為水面截線，，為桌面截線，.
(1)請在圖1中畫出線段，用其長度表示水面的最大高度(不要求尺規作圖，不說理由)，并直接寫出的長；
(2)將圖中的水倒出一部分得到圖2，發現水面高度下降了，求此時水面截線減少了多少.
【對應導練】
1．如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧（），點O是這段弧所在圓的圓心.，C是上一點，，垂足為D，.求這段彎路的半徑.
2．如圖(1),是中國傳統園林建筑中的月亮門,拱門的上部分是圓的一段弧.隨著四季更迭,半遮半掩之間,便將絲絲景致幻化成詩情畫意.圖(2)是月亮門的示意圖,其中米,C為中點,D為月亮門最高點,圓心O在線段上,米,月亮門所在圓半徑的長為______米.
3．如圖,是一個底部呈球形的蒸餾瓶,球的半徑為,瓶內液體的最大深度,則截面圓中弦的長為( )
A. B. C. D.
二、題型訓練
1.利用垂徑定理進行證明
1．如圖，的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且.
（1）求證：；
（2）若，，求的半徑.
2．如圖，AB是的弦，C，D為直線AB上兩點，若，求證：.
2.利用垂徑定理在同心圓中的應用
3．已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于點 (如圖所示).
(1)求證:；
(2)若大圓的半徑，小圓的半徑，且圓心O到直線的距離為6，求的長.
4．如圖，兩個圓都以點O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點.求證：.
3.利用垂徑定理求線段長度
5．如圖，AB是的直徑，弦于點M，連結CO，CB.
（1）若，，求CD的長度；
（2）若平分，求證：.
6．如圖，，AB交于點C，D，OE是半徑，且于點F.
(1)求證：.
(2)若，，求的半徑.
4.利用垂徑定理確定圓心
7．如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧.
（1）用直尺和圓規作出所在圓的圓心；（要求保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）若的中點到弦的距離為，求所在圓的半徑.
8．如圖所示，一圓弧過方格的格點A、B，試在方格中建立平面直角坐標系，使點A的坐標為，則該圓弧所在圓的圓心坐標是_____；
課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖,AB是的直徑,弦,垂足為P.若,,則的半徑為( )
A.10 B.8 C.5 D.3
2．一個圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示,已知,半徑,則高度CD的長為( )
A.2m B.4m C.6m D.8m
3．如圖,為的直徑,弦于點E,若,則的半徑為( )
A.3 B.4 C. D.5
4．唐代李皋發明了“槳輪船”，這種船是原始形態的輪船，是近代明輪航行模式之先導，如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦長，輪子的吃水深度為，則該漿輪船的輪子半徑為( )
A. B. C. D.
5．如圖，將半徑為4的圓形紙片折疊使弧經過圓心O，過點O作直徑于點E，點P是半徑上一動點，連接，則的長度不可能是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6．如圖所示，圓O的直徑與弦相交于點P.已知圓的直徑，，則的值是( )
A. B.8 C. D.4
7．如圖，的直徑垂直于弦，垂足為E，，，的長為( )
A. B.4 C. D.8
8．如圖所示的工件槽的兩個底角均為,尺寸如圖(單位cm),將形狀規則的鐵球放入槽內,若同時具有A,B,E三個接觸點,則該球的半徑是( )cm.
A.10 B.18 C.20 D.22
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．一個圓柱形管件,其橫截面如圖所示,管內存有一些水(陰影部分),測得水面寬為,水的最大深度為,則此圓的直徑為___________.
10．如圖，兩正方形彼此相鄰且內接于半圓，若小正方形的面積為，則該半圓的半徑為_________.
11．如圖是一個古代車輪的碎片,形狀為圓環的一部分,為求其外圓半徑,連接外圓上的兩點A,B.并使AB與車輪內圓相切于點D,作交外圓于點C,測得,,則這個外圓半徑為_______cm.
12．如圖，的直徑，弦，垂足為E，，則CD的長為__________.
13．如圖，將一個球放置在圓柱形玻璃瓶上，測得瓶高，底面直徑，球的最高點到瓶底面的距離為，則球的半徑為__________(玻璃瓶厚度忽略不計).
三、解答題（共6小題，，每小題8分，共48分）
14．如圖，AB是的直徑，弦于點M，連結CO，CB.
（1）若，，求CD的長度；
（2）若平分，求證：.
15．如圖，隧道的截面由半徑為5米的半圓構成.
（1）如圖1，一輛貨車高4m，寬2.8m，它能通過該隧道嗎？
（2）如圖2，如果該隧道內設雙行道，一輛寬為4m，高為2.8m的貨車能駛入這個隧道嗎？
（3）如圖3，如果該隧道內設雙行道，為了安全起見，在隧道正中間設有0.6m的隔離帶，則該輛寬為4m，高為2.8m的貨車還能通過隧道嗎？
16 .（1）科考隊測量出月亮洞的洞寬約是28m，洞高約是12 m，通過計算截面所在圓的半徑可以解釋月亮洞像半個月亮，求半徑的長（結果精確到0.1 m）；
（2）若，點M在上，求的度數，并用數學知識解釋為什么“齊天大圣”點M在洞頂上巡視時總能看清洞口的情況．
17．如圖，舞臺地面上有一段以點O為圓心的，某同學要站在的中點C的位置上，于是他想：只要從點O出發，沿著與弦AB垂直的方向走到上，就能找到的中點C，老師肯定了他的想法.
（1）請按照這位同學的想法，在圖中畫出點C；
（2）這位同學確定點C所用方法的依據是____________.
18．如圖，臺風中心位于點P，并沿東北方向PQ移動，已知臺風移動的速度為50 km/h，受影響區域的半徑為260 km，B市位于點P的北偏東75°方向上，距離點P 480 km處.
（1）說明本次臺風會影響B市；
（2）求這次臺風影響B市的時間.
19．某居民小區一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)請你用直尺和圓規補全這個輸水管道的圓形截面(保留作圖痕跡)；
(2)若這個輸水管道有水部分的水面寬，水面最深地方的高度為2cm，求這個圓形截面的半徑.
九年級數學上點撥與精練
第24章 圓
24.1.2 垂直于弦的直徑
學習目標：
理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推導，能初步運用垂徑定理進行計算及證明；
通過圓的對稱性，培養學生對數學的審美，并激發學生對數學的熱愛。
老師告訴你
垂徑定理基本圖形計算中的“四變量、兩關系”
四變量：
⊙O中，弦長a，圓心到弦的距離d,半徑r，劣弧的中點到弦的距離h，這四個量中知任意兩個可求其它兩個。
2.兩關系：
（1）+d2=r2
(2) h+d=r
注意：計算時常作半徑或過圓心作弦的垂線段來構造直角三角形。
一、知識點撥
知識點1 圓的對稱性
圓是軸對稱圖形，它的任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸；
圓是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱中心。
【新知導學】
例1．下列說法中，不正確的是( )
A.圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
B.圓有無數條對稱軸
C.圓的每一條直徑都是它的對稱軸
D.圓的對稱中心是它的圓心
答案：C
解析：A項，圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，說法正確；B項，圓有無數條對稱軸，說法正確；C項，圓的每一條直徑所在直線都是它的對稱軸，說法錯誤；D項，圓的對稱中心是它的圓心，說法正確.故選C.
【對應導練】
1．下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：A是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；
B是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；
C是中心對稱圖形，但表示軸對稱圖形；
D是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形。
故選B
2．下列說法正確的是( )
A.每一條直徑都是圓的對稱軸
B.圓的對稱軸是唯一的
C.圓的對稱軸一定經過圓心
D.圓的對稱軸與對稱中心重合
答案：C
解析：因為對稱軸是直線,不是線段,故A不正確;因為圓的對稱軸有無數條,故B不正確;因為不能說點和線重合,故D不正確.只有C正確,故選C.
知識點2 垂徑定理
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．
垂徑定理的依據是圓的軸對稱性
【新知導學】
例2．如圖，在半徑為5cm的中，弦，于點C，則OC的長度等于( )
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
答案：B
解析：連接OA，
，OC過O，，
，
在中，由勾股定理得：.
故選：B.
【對應導練】
1．如圖，半徑為5的經過M，N兩點，若已知兩點坐標分別為，，則A點坐標為( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：如圖，連接，過A作軸交于B，
，，
，，
，，
，
，
，
；
故選：D.
2．如圖,AB是的直徑,弦,垂足為P.若,,則的半徑為( )
A.10 B.8 C.5 D.3
答案：C
解析：如圖,連接OC.
∵AB是的直徑,弦于P,,
∴,,
設的半徑為R,則,
∴在直角它,由勾股定理得到：
∴,
解得,.
故選C.
3．已知的半徑為,,是的兩條弦,,,,則弦和之間的距離是__________.
答案：2或14
解析：①當弦AB和CD在圓心同側時,如圖,
∵,,
∴,,
∵,
∴,,
∴；
②當弦AB和CD在圓心異側時,如圖,
∵,,
∴,,
∵,
∴,,
∴.
∴AB與CD之間的距離為14cm或2cm.
故答案為2或14.
知識點3 垂徑定理的推論
1.（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；
（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧
以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即：
①是直徑 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧中任意2個條件推出其他3個結論。
2.推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧
【新知導學】
例3．如圖，直角坐標系中一條圓弧經過格點A，B，C，其中B點坐標為，則該圓弧所在圓的圓心坐標為( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：根據垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，
可以作弦和的垂直平分線，交點即為圓心.
如圖所示，則圓心是.
故選：A.
【對應導練】
1．如圖，AB，CD是的兩條平行弦，MN是AB的垂直平分線.求證：MN垂直平分CD.
答案：證明見解析
解析：證明：，，.
是AB的垂直平分線，經過圓心O，
平分CD，即MN垂直平分CD.
2．如圖，在中，弦的長為8，圓心O到的距離，則的半徑長為( )
A.4 B. C.5 D.
答案：B
解析：在中，弦的長為8，圓心O到的距離，
，，
在中，，
故選：B.
3．如圖，OA，OB，OC都是的半徑，AC，OB交于點D.若，，則BD的長為( )
A.5 B.4 C.3 D.2
答案：B
解析：，.
在中，.
..故選B.
4．如圖，為的直徑，弦于點F，于點E，若，，則的長度是( )
A.9 B. C. D.
答案：D
解析：連接，
，
∴，
，
，
在中，
，
，
設，則有，
，
，
在中，，
.
故選：D.
知識點4垂徑定理的應用
常用垂徑定理及推論進行一類計算題：在弦長、弦心距、半徑三個量中，只需知道其中任意兩個，都可求出第三個，此時需構造Rt△，利用勾股定理求解．
特別注意右圖形的運用。常作輔助線：弦心距。
利用弦的垂直平分線可以確定圓心。
【新知導學】
例4．如圖1，裝有水的水槽放置在水平桌面上，其橫截面是以為直徑的半圓O，若，為水面截線，，為桌面截線，.
(1)請在圖1中畫出線段，用其長度表示水面的最大高度(不要求尺規作圖，不說理由)，并直接寫出的長；
(2)將圖中的水倒出一部分得到圖2，發現水面高度下降了，求此時水面截線減少了多少.
答案：(1)圖見解析，
(2)
解析：(1)，
如圖，連接，
為圓心，，，
，
，
，
在中，，
，
的長為；
(2)過O作，連接，
由題得，，
在中，，
，
，
水面截線減少了.
【對應導練】
1．如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧（），點O是這段弧所在圓的圓心.，C是上一點，，垂足為D，.求這段彎路的半徑.
答案：
解析：，，
.
設的半徑為，則.
依題意得，即.解得.
答：這段彎路的半徑為.
2．如圖(1),是中國傳統園林建筑中的月亮門,拱門的上部分是圓的一段弧.隨著四季更迭,半遮半掩之間,便將絲絲景致幻化成詩情畫意.圖(2)是月亮門的示意圖,其中米,C為中點,D為月亮門最高點,圓心O在線段上,米,月亮門所在圓半徑的長為______米.
答案：1.5
解析：連接,
∵C為中點,D為月亮門最高點,圓心O在線段上,
∴,米,
∴,
設圓的半徑長為x米,則米,米,
在中,,
∴,
解得,
∴圓的半徑為1.5米,
故答案為：1.5.
3．如圖,是一個底部呈球形的蒸餾瓶,球的半徑為,瓶內液體的最大深度,則截面圓中弦的長為( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：由題意得：,
∴,,
∵,,
∴,
在中,由勾股定理得：,
∴.
∴截面圓中弦AB的長為.
故選：C.
二、題型訓練
1.利用垂徑定理進行證明
1．如圖，的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且.
（1）求證：；
（2）若，，求的半徑.
答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明：作于點M，作于點N，
又，四邊形OMEN為矩形，
，，，，
四邊形OMEN是正方形，.
，，，，
又，，即.
（2）連接OA，由（1）可知，
，
，，
，.
在中，，
的半徑為.
2．如圖，AB是的弦，C，D為直線AB上兩點，若，求證：.
答案：證明見解析
解析：證明：如圖，過點O作于點H，
則.
，，
，
，
即.
2.利用垂徑定理在同心圓中的應用
3．已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于點 (如圖所示).
(1)求證:；
(2)若大圓的半徑，小圓的半徑，且圓心O到直線的距離為6，求的長.
答案：（1）證明：過O作于點E，
則
,即；
（2）由（1）可知，且,連接
.
解析：
4．如圖，兩個圓都以點O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點.求證：.
答案：證明見解析
解析：證明：過點O作，垂足為E，
則，，
，即.
3.利用垂徑定理求線段長度
5．如圖，AB是的直徑，弦于點M，連結CO，CB.
（1）若，，求CD的長度；
（2）若平分，求證：.
答案：（1）8
（2）證明見詳解
解析：（1）是的直徑，弦，
，
，，
，
，
在中，，
，
；
（2）過點O作，垂足為N，
平分，
，
，
，
，
.
6．如圖，，AB交于點C，D，OE是半徑，且于點F.
(1)求證：.
(2)若，，求的半徑.
答案：(1)見解析
(2)
解析：（1）證明：，
，
，
，
，
；
（2）如圖，連接，
，
設的半徑是r，
，
，
，
的半徑是.
4.利用垂徑定理確定圓心
7．如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧.
（1）用直尺和圓規作出所在圓的圓心；（要求保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）若的中點到弦的距離為，求所在圓的半徑.
答案：（1）圓心如圖所示.
在上任意取一點，連接，分別作線段的垂直平分線，兩垂直平分線的交點即所求作的圓心.
（2）連接，交點，則，且平分，
.連接，設圓的半徑為.
在中，，
，解得.
所在圓的半徑為.
解析：
8．如圖所示，一圓弧過方格的格點A、B，試在方格中建立平面直角坐標系，使點A的坐標為，則該圓弧所在圓的圓心坐標是_____；
答案：
解析：如圖所示，建立坐標系，
由圖可知該圓弧所在圓的圓心坐標是，
故答案為：.
課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖,AB是的直徑,弦,垂足為P.若,,則的半徑為( )
A.10 B.8 C.5 D.3
答案：C
解析：如圖,連接OC.
∵AB是的直徑,弦于P,,
∴,,
設的半徑為R,則,
∴在直角它,由勾股定理得到：
∴,
解得,.
故選C.
2．一個圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示,已知,半徑,則高度CD的長為( )
A.2m B.4m C.6m D.8m
答案：B
解析：∵CD垂直平分AB,
∴
∴
∴
故選：B.
3．如圖,為的直徑,弦于點E,若,則的半徑為( )
A.3 B.4 C. D.5
答案：D
解析：如圖所示,連接,設,則,
∵為的直徑,,
∴,
在中,由勾股定理得：,
∴,
解得,
∴的半徑為5,
故選D.
4．唐代李皋發明了“槳輪船”，這種船是原始形態的輪船，是近代明輪航行模式之先導，如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦長，輪子的吃水深度為，則該漿輪船的輪子半徑為( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：設半徑為，則
在中，有
，即
解得
故選：D
5．如圖，將半徑為4的圓形紙片折疊使弧經過圓心O，過點O作直徑于點E，點P是半徑上一動點，連接，則的長度不可能是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案：D
解析：
如圖，當點P與O重合時，
，
當點P與D重合時，
，
連接，
將半徑為4的圓形紙片折疊使弧經過圓心O，
，，
，，
，
的長度的取值范圍為，
的長度不可能是7，
故選：D.
6．如圖所示，圓O的直徑與弦相交于點P.已知圓的直徑，，則的值是( )
A. B.8 C. D.4
答案：B
解析：如圖所示，過點O作，于點C，連接，則，
，
故選：B.
7．如圖，的直徑垂直于弦，垂足為E，，，的長為( )
A. B.4 C. D.8
答案：C
解析：，
，
的直徑垂直于弦，
，，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
，
故選C.
8．如圖所示的工件槽的兩個底角均為,尺寸如圖(單位cm),將形狀規則的鐵球放入槽內,若同時具有A,B,E三個接觸點,則該球的半徑是( )cm.
A.10 B.18 C.20 D.22
答案：A
解析:
連接AB,OA,OE,則cm,于點F,
,
cm,
設圓的半徑為r(cm),則(cm),
,
,
解得:cm.
故選A.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．一個圓柱形管件,其橫截面如圖所示,管內存有一些水(陰影部分),測得水面寬為,水的最大深度為,則此圓的直徑為___________.
答案：/厘米
解析：連接,如圖所示：
由題意知,,,
∵,
∴,
設的半徑為,則,,
在中,,
,
解得：,
∴此管件的直徑為,
故答案為：.
10．如圖，兩正方形彼此相鄰且內接于半圓，若小正方形的面積為，則該半圓的半徑為_________.
答案：
解析：如圖，圓心為A，設大正方形的邊長為，圓的半徑為R，連接，，作于點B，
，
正方形有兩個頂點在半圓上，另外兩個頂點在圓心兩側，
，；
小正方形的面積為，
小正方形的邊長，
由勾股定理得，，
即，
解得，（負值舍去），
.
故答案為：.
11．如圖是一個古代車輪的碎片,形狀為圓環的一部分,為求其外圓半徑,連接外圓上的兩點A,B.并使AB與車輪內圓相切于點D,作交外圓于點C,測得,,則這個外圓半徑為_______cm.
答案：25
解析:如圖,設點O為外圓的圓心,連接OA和OC,
,,
,
,
設半徑為r,則,
根據題意得:,
解得:.
這個車輪的外圓半徑長為25cm.
故答案為:25.
12．如圖，的直徑，弦，垂足為E，，則CD的長為__________.
答案：24
解析：連接OC，如圖所示：
直徑，
，
，
，，
弦，
，，
，
，
故答案為：24.
13．如圖，將一個球放置在圓柱形玻璃瓶上，測得瓶高，底面直徑，球的最高點到瓶底面的距離為，則球的半徑為__________(玻璃瓶厚度忽略不計).
答案：7.5
解析：如圖，設球心為O，球與玻璃瓶的右側交點為D，連接AD，過O作于M，連接OA，則.設球的半徑為，則，在中，由勾股定理得，即，解得，即球的半徑為.
三、解答題（共6小題，，每小題8分，共48分）
14．如圖，AB是的直徑，弦于點M，連結CO，CB.
（1）若，，求CD的長度；
（2）若平分，求證：.
答案：（1）8
（2）證明見詳解
解析：（1）是的直徑，弦，
，
，，
，
，
在中，，
，
；
（2）過點O作，垂足為N，
平分，
，
，
，
，
.
15．如圖，隧道的截面由半徑為5米的半圓構成.
（1）如圖1，一輛貨車高4m，寬2.8m，它能通過該隧道嗎？
（2）如圖2，如果該隧道內設雙行道，一輛寬為4m，高為2.8m的貨車能駛入這個隧道嗎？
（3）如圖3，如果該隧道內設雙行道，為了安全起見，在隧道正中間設有0.6m的隔離帶，則該輛寬為4m，高為2.8m的貨車還能通過隧道嗎？
答案：（1）這輛車能通過該隧道；
（2）這輛車能通過該隧道；
（3）這輛車不能通過該隧道.
解析：（1）如圖1所示，
設于點D，，
，
，
，
這輛車能通過該隧道；
（2）設于點D，，連接OC，如圖2所示，
，
，
，
這輛車能通過該隧道；
（3）設于點D，，連接OC，如圖3所示，
，
，
，
這輛車不能通過該隧道.
16 .（1）科考隊測量出月亮洞的洞寬約是28m，洞高約是12 m，通過計算截面所在圓的半徑可以解釋月亮洞像半個月亮，求半徑的長（結果精確到0.1 m）；
（2）若，點M在上，求的度數，并用數學知識解釋為什么“齊天大圣”點M在洞頂上巡視時總能看清洞口的情況．
（1）答案：14.2 m
解析：解：，，
，
設半徑為r，則
在中，
解得
答：半徑的長約為
（2）答案：見解析
解析：如圖，在優弧上任取一點N，連接
，
，
，
因為在的內部，所以點M在洞頂上巡視時總能看清洞口的情況．
17．如圖，舞臺地面上有一段以點O為圓心的，某同學要站在的中點C的位置上，于是他想：只要從點O出發，沿著與弦AB垂直的方向走到上，就能找到的中點C，老師肯定了他的想法.
（1）請按照這位同學的想法，在圖中畫出點C；
（2）這位同學確定點C所用方法的依據是____________.
答案：解：（1）畫圖如圖所示.
（2）垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對的兩條弧
解析：
18．如圖，臺風中心位于點P，并沿東北方向PQ移動，已知臺風移動的速度為50 km/h，受影響區域的半徑為260 km，B市位于點P的北偏東75°方向上，距離點P 480 km處.
（1）說明本次臺風會影響B市；
（2）求這次臺風影響B市的時間.
答案：解：（1）如答圖，過點B作于點H.
在中，由題意得km，，
（km）.，
本次臺風會影響B市.
（2）如答圖，以點B為圓心，260 km為半徑作圓交PQ分別于點，，連接，.
當臺風中心移動到點時，臺風開始影響B市，當臺風中心移動到點時，臺風對B市的影響結束.
由（1）得km，由已知得km，
（km），
（h）.
故這次臺風影響B市的時間為4 h.
解析：
19．某居民小區一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)請你用直尺和圓規補全這個輸水管道的圓形截面(保留作圖痕跡)；
(2)若這個輸水管道有水部分的水面寬，水面最深地方的高度為2cm，求這個圓形截面的半徑.
答案：(1)如圖
(2)如圖，設圓心為的垂直平分線交于點D，
則，設半徑為，，
在中，，解得.
答:這個圓形截面的半徑是5cm
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