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九年級(jí)數(shù)學(xué)上點(diǎn)撥與精練
第24章 圓
24.1.1 圓
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.理解并掌握?qǐng)A的有關(guān)概念；
2.能靈活應(yīng)用圓的有關(guān)概念解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；
3.通過(guò)解決圓的有關(guān)問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生有條理的思考能力及解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
老師告訴你
理解圓的定義要注意兩層含義：
圓上各點(diǎn)到圓心的距離都相等，到圓心距離等于半徑的點(diǎn)都在圓上。
當(dāng)一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，它的另一個(gè)端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是一個(gè)圓。
一、知識(shí)點(diǎn)撥
知識(shí)點(diǎn)1 圓的定義
1.圓的旋轉(zhuǎn)定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓．以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓”.固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑，一般用r表示．
確定一個(gè)圓的要素：一是圓心，圓心確定其位置；二是半徑，半徑確定其大小．
從畫圓的過(guò)程可以看出（1）圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑）;（2）到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在圓上。
2.圓的集合定義:圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合．
【新知導(dǎo)學(xué)】
例1．下列關(guān)于圓的敘述中正確的是( )
A.圓是由圓心唯一確定的
B.圓是一條封閉的曲線
C.平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離小于或等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成圓
D.圓內(nèi)任意一點(diǎn)到圓心的距離都相等
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．在下列條件中，能確定圓的是( )
A.以已知點(diǎn)O為圓心 B.以點(diǎn)O為圓心，2cm為半徑
C.以2cm為半徑 D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且半徑為2cm
2．下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的有( )
(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的圓有無(wú)數(shù)個(gè)；
(2)以點(diǎn)P為圓心的圓有無(wú)數(shù)個(gè)；
(3)半徑為3cm且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的圓有無(wú)數(shù)個(gè)；
(4)以點(diǎn)P為圓心，3cm為半徑的圓有無(wú)數(shù)個(gè)
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
3．到點(diǎn)O的距離等于的點(diǎn)的集合是 .
4 .下列各圖形中，各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上的是（ ）
A 平行四邊形 B四邊形 C 梯形 D矩形
知識(shí)點(diǎn)2 與圓有關(guān)概念
弦：如圖1，連接圓上任意兩點(diǎn)的線段（如圖中的AC）叫做_____，經(jīng)過(guò)圓心的弦（如圖中的AB）叫做________．
注意：1.弦和直徑都是線段.2.直徑是弦,是經(jīng)過(guò)圓心的特殊弦，是圓中________的弦，但弦不一定是直徑.
圖1 圖2 圖3
弧：如圖2，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做____________，簡(jiǎn)弧．以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作“圓弧AB”或“弧AB”;
半圓 ：如圖3，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做___________;
優(yōu)弧與劣弧：如圖3，小于半圓的弧叫做__________.如圖中的AC；大于半圓的弧叫做________.如圖中的ABC.
等圓：能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓，等圓是兩個(gè)________相等的圓.
等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做____________.
【新知導(dǎo)學(xué)】
例2．下列說(shuō)法中，正確的是( )
A.半圓是弧，弧也是半圓 B.長(zhǎng)度相等的弧是等弧
C.弦是直徑 D.在一個(gè)圓中，直徑是最長(zhǎng)的弦
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．下列說(shuō)法正確的是( )
A.弧是半圓 B.半圓是圓中最長(zhǎng)的弧
C.直徑是弦 D.弦是直徑
2．下列說(shuō)法：
①直徑是弦；
②弦是直徑；
③半圓是弧，但弧不一定是半圓；
④長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧；
⑤完全重合的兩條弧是等弧.
正確的命題有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
3．以下說(shuō)法：
（1）半圓是弧，但弧不一定是半圓；
（2）過(guò)圓上任意一點(diǎn)只能作一條弦，且這條弦是直徑；
（3）弦是直徑；
（4）直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；
（5）直徑不是弦；
（6）優(yōu)弧大于劣弧；
（7）以O(shè)為圓心可以畫無(wú)數(shù)個(gè)圓.
正確的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4．下列說(shuō)法中，結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.直徑相等的兩個(gè)圓是等圓 B.長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧
C.圓中最長(zhǎng)的弦是直徑 D.一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能是等弧
5．下列說(shuō)法正確的有( )
①圓中的線段是弦；②直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；③經(jīng)過(guò)圓心的線段是直徑；④半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；⑤長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧；⑥弧是半圓，半圓是弧.
A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)
知識(shí)點(diǎn)3 同圓半徑相等
圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑），即同圓半徑相等;
到定點(diǎn)o的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在圓上。即到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)在圓上。
【新知導(dǎo)學(xué)】
1．如圖，C是以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的半圓上一點(diǎn)，且，在OC兩側(cè)分別作矩形OCHI和正方形ODEF，且點(diǎn)I，F(xiàn)在OC上，點(diǎn)H，E在半圓上，可證：.小云發(fā)現(xiàn)連接圖中已知點(diǎn)得到兩條線段，便可證明.
請(qǐng)回答小云所作的兩條線段分別是________和________；
證明的依據(jù)是矩形的對(duì)角線相等，_________和等量代換.
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．如圖，點(diǎn)在的邊上，過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心為點(diǎn)E，過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心為點(diǎn)D.如果,那么 .
3．如圖，是半圓O的直徑，D是半圓上的一點(diǎn)，,交的延長(zhǎng)線于E,交半圓于點(diǎn)C.且,則 .
3．如圖,點(diǎn)A,D,G,M在半圓O上,四邊形ABOC,DEOF,HMNO均為矩形,設(shè)BC=a,EF=b,NH=c,試比較a,b,c的大小.
4．如圖,在△ABC中,AB為⊙O的直徑,∠B=60°,∠BOD=100°,則∠C的度數(shù)為( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
二、題型訓(xùn)練
1.利用圓的定義證明四點(diǎn)共圓
1．如圖，在四邊形ABCD中，，求證：A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上.
2．如圖，和都為直角三角形，且.求證：四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.
3．如圖,在△ABC中,BD,CE是兩條高,點(diǎn)O為BC的中點(diǎn),連接OD,OE,求證:B,C,D,E四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上.
2.利用同圓半徑相等證明線段相等
4．如圖，在中，AB是弦，C、D兩點(diǎn)在AB上，且.求證：是等腰三角形.
5．如圖,在中,分別是半徑的中點(diǎn),求證:.
6 .如圖所示,AB是⊙O的弦,半徑OC,OD分別交AB于點(diǎn)E,F,且AE=BF,請(qǐng)你找出線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
3.利用同圓半徑相等求角
7．如圖,為的直徑,是的弦,延長(zhǎng)線交于點(diǎn)已知,,求的度數(shù).
8．如圖,在⊙O中,直徑AB∥弦CD,若∠COD=120°,則∠BOD=__________.
4.利用同圓半徑相等求半徑
9．點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)的最大距離為10 cm,最小距離為8 cm,則此圓的半徑為( )
A.9 cm B.1 cm C.9 cm或1 cm D.無(wú)法確定
課堂達(dá)標(biāo)
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．下列說(shuō)法中,不正確的是( )
A.過(guò)圓心的弦是圓的直徑
B.等弧的長(zhǎng)度一定相等
C.周長(zhǎng)相等的兩個(gè)圓是等圓
D.同一條弦所對(duì)的兩條弧一定是等弧
2．下列說(shuō)法正確的是( )
A.弧是半圓 B.半圓是圓中最長(zhǎng)的弧
C.直徑是弦 D.弦是直徑
3．下列說(shuō)法正確的是( )
A.弦是直徑 B.弧是半圓
C.直徑是圓中最長(zhǎng)的弦 D.半圓是圓中最長(zhǎng)的弧
4．以下說(shuō)法：
（1）半圓是弧，但弧不一定是半圓；
（2）過(guò)圓上任意一點(diǎn)只能作一條弦，且這條弦是直徑；
（3）弦是直徑；
（4）直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；
（5）直徑不是弦；
（6）優(yōu)弧大于劣弧；
（7）以O(shè)為圓心可以畫無(wú)數(shù)個(gè)圓.
正確的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5．下列說(shuō)法中，正確的是( )
A.兩個(gè)半圓是等弧 B.同圓中優(yōu)弧與半圓的差必是劣弧
C.長(zhǎng)度相等的弧是等弧 D.直徑未必是弦
6．下列四邊形:①平行四邊形;②菱形;③矩形;④正方形.其中四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上的有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
7．如圖，小明為檢驗(yàn)四點(diǎn)是否共圓，用尺規(guī)分別作了的垂直平分線交于點(diǎn)O，則四點(diǎn)中，不一定在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上的點(diǎn)是（ ）
A.點(diǎn)M B.點(diǎn)N C.點(diǎn)P D.點(diǎn)Q
8 .如圖,在☉O中,AB是直徑,AC是弦,連接OC,若∠ACO=25°,則
∠BOC的度數(shù)是 ( )
A.40° B.50° C.55° D.60°
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，在半圓O中，AB是直徑，CD是一條弦，若，則面積的最大值是___________.
10．如圖，在中，，，若以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______.
11．如圖，在中，點(diǎn)B在上，四邊形是矩形，對(duì)角線的長(zhǎng)為5，則的半徑長(zhǎng)為 .
12．若的半徑為6 cm,則中最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為 .
13．如圖,MN為直徑,四邊形ABCD,EFGD是正方形,小正方形的面積為16,則圓O的半徑為_(kāi)_______　
三、解答題（共6小題，共48分）
14．（8分）某城市廣場(chǎng)有一塊圓形場(chǎng)地，市政府?dāng)M在此區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)菱形花壇(如圖).花壇中心A與圓形場(chǎng)地的圓心重合，A到菱形的頂點(diǎn)B的距離為6m，B到圓周上C點(diǎn)的距離為4m，點(diǎn)在同一直線上，四邊形為矩形，且菱形的四個(gè)頂點(diǎn)分別位于它四條邊的中點(diǎn)上，則花壇的邊長(zhǎng)是多少米？
15．（8分）已知:如圖，是的高，M為的中點(diǎn)試說(shuō)明點(diǎn)在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上。
16．（8分）如圖所示,AB為⊙O的直徑,CD是⊙O的弦,AB,CD的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn),已知AB=2DE,∠E=18°,求∠AOC的度數(shù).
17．（8分）如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的半徑和分別交小圓于點(diǎn)C和D，連接、，交于點(diǎn)P．
求證：；
18．（8分）如圖，矩形紙片一邊過(guò)圓心O，分別交于E、F，且，求的半徑．
19．（8分）已知：如圖，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與交于點(diǎn)．
(1)求的長(zhǎng)；
(2)若，求的度數(shù)；
(3)若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度取值范圍是________．
九年級(jí)數(shù)學(xué)上點(diǎn)撥與精練
第24章 圓
24.1.1 圓
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.理解并掌握?qǐng)A的有關(guān)概念；
2.能靈活應(yīng)用圓的有關(guān)概念解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；
3.通過(guò)解決圓的有關(guān)問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生有條理的思考能力及解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
老師告訴你
理解圓的定義要注意兩層含義：
圓上各點(diǎn)到圓心的距離都相等，到圓心距離等于半徑的點(diǎn)都在圓上。
當(dāng)一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，它的另一個(gè)端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是一個(gè)圓。
一、知識(shí)點(diǎn)撥
知識(shí)點(diǎn)1 圓的定義
1.圓的旋轉(zhuǎn)定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓．以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓”.固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑，一般用r表示．
確定一個(gè)圓的要素：一是圓心，圓心確定其位置；二是半徑，半徑確定其大小．
從畫圓的過(guò)程可以看出（1）圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑）;（2）到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在圓上。
2.圓的集合定義:圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合．
【新知導(dǎo)學(xué)】
例1．下列關(guān)于圓的敘述中正確的是( )
A.圓是由圓心唯一確定的
B.圓是一條封閉的曲線
C.平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離小于或等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成圓
D.圓內(nèi)任意一點(diǎn)到圓心的距離都相等
答案：B
解析：①圓指的是“圓周”，即一條封閉的曲線，而不是“圓面”；②“圓上的點(diǎn)”指的是圓周上的點(diǎn)，圓心不在圓周上.
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．在下列條件中，能確定圓的是( )
A.以已知點(diǎn)O為圓心 B.以點(diǎn)O為圓心，2cm為半徑
C.以2cm為半徑 D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且半徑為2cm
答案：B
解析：構(gòu)成圓的兩個(gè)重要元素是圓心和半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.
2．下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的有( )
(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的圓有無(wú)數(shù)個(gè)；
(2)以點(diǎn)P為圓心的圓有無(wú)數(shù)個(gè)；
(3)半徑為3cm且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的圓有無(wú)數(shù)個(gè)；
(4)以點(diǎn)P為圓心，3cm為半徑的圓有無(wú)數(shù)個(gè)
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
答案：A
解析：確定一個(gè)圓必須有兩個(gè)條件，即圓心和半徑，只滿足一個(gè)條件或不滿足任何一個(gè)條件的圓都有無(wú)數(shù)個(gè)，由此可知(1)(2)正確；(3)半徑確定，但圓心不確定，仍有無(wú)數(shù)個(gè)圓，正確；(4)圓心和半徑都確定的圓有且只有一個(gè)，錯(cuò)誤故選A
3．到點(diǎn)O的距離等于的點(diǎn)的集合是 .
答案：以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓
4 .下列各圖形中，各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上的是（ ）
A 平行四邊形 B四邊形 C 梯形 D矩形
答案：D
解析：A 平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)到平行四邊形中心距離不相等，故四點(diǎn)不在同一個(gè)圓上，不正確；
B 任意四邊形也不能確定四個(gè)頂點(diǎn)到某一點(diǎn)距離相等，不正確
C 梯形四個(gè)頂點(diǎn)也不能確定四個(gè)頂點(diǎn)到某一點(diǎn)距離相等，不正確
D 矩形四個(gè)頂點(diǎn)到矩形中心距離不相等，符合題意，正確
故選D
知識(shí)點(diǎn)2 與圓有關(guān)概念
弦：如圖1，連接圓上任意兩點(diǎn)的線段（如圖中的AC）叫做_____，經(jīng)過(guò)圓心的弦（如圖中的AB）叫做________．
注意：1.弦和直徑都是線段.2.直徑是弦,是經(jīng)過(guò)圓心的特殊弦，是圓中________的弦，但弦不一定是直徑.
圖1 圖2 圖3
弧：如圖2，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做____________，簡(jiǎn)弧．以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作“圓弧AB”或“弧AB”;
半圓 ：如圖3，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做___________;
優(yōu)弧與劣弧：如圖3，小于半圓的弧叫做__________.如圖中的AC；大于半圓的弧叫做________.如圖中的ABC.
等圓：能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓，等圓是兩個(gè)________相等的圓.
等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做____________.
【新知導(dǎo)學(xué)】
例2．下列說(shuō)法中，正確的是( )
A.半圓是弧，弧也是半圓 B.長(zhǎng)度相等的弧是等弧
C.弦是直徑 D.在一個(gè)圓中，直徑是最長(zhǎng)的弦
答案：D
解析：A、半圓是弧，但弧不一定是半圓，故選：項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的弧是等弧，故選：項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、弦不一定是直徑，故選：項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、在一個(gè)圓中，直徑是最長(zhǎng)的弦，故選：項(xiàng)正確；
故選：D.
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．下列說(shuō)法正確的是( )
A.弧是半圓 B.半圓是圓中最長(zhǎng)的弧
C.直徑是弦 D.弦是直徑
答案：C
解析：A、半圓是弧，弧不一定是半圓，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、半圓不是圓中最長(zhǎng)的弧，優(yōu)弧大于半圓，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、直徑是弦，選項(xiàng)正確；
D、弦不一定是直徑，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選C.
2．下列說(shuō)法：
①直徑是弦；
②弦是直徑；
③半圓是弧，但弧不一定是半圓；
④長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧；
⑤完全重合的兩條弧是等弧.
正確的命題有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
答案：C
解析：①直徑是弦，正確
②弦是直徑錯(cuò)誤
③半圓是弧，但弧不一定是半圓；正確
④長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧；錯(cuò)誤，等弧是完全重合的弧
⑤完全重合的兩條弧是等弧.正確
所以正確的個(gè)數(shù)是3個(gè)，故選C
3．以下說(shuō)法：
（1）半圓是弧，但弧不一定是半圓；
（2）過(guò)圓上任意一點(diǎn)只能作一條弦，且這條弦是直徑；
（3）弦是直徑；
（4）直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；
（5）直徑不是弦；
（6）優(yōu)弧大于劣弧；
（7）以O(shè)為圓心可以畫無(wú)數(shù)個(gè)圓.
正確的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
解析：（1）半圓是弧，但弧不一定是半圓，正確；
（2）過(guò)圓上任意一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條弦，原說(shuō)法不正確；
（3）弦不一定是直徑，原說(shuō)法不正確；
（4）直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，正確；
（5）直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，原說(shuō)法不正確；
（6）在同圓或等圓中，優(yōu)弧一定大于劣弧，原說(shuō)法不正確；
（7）以O(shè)為圓心可以畫無(wú)數(shù)個(gè)圓，正確.
綜上，正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，
故選：C.
4．下列說(shuō)法中，結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.直徑相等的兩個(gè)圓是等圓 B.長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧
C.圓中最長(zhǎng)的弦是直徑 D.一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能是等弧
答案：B
解析：A項(xiàng)中，直徑相等的兩個(gè)圓是等圓，正確，不符合題意；B項(xiàng)中，長(zhǎng)度相等的兩條弧圓心角不一定相等，它們不一定是等弧，原題的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，符合題意；C項(xiàng)中，圓中最長(zhǎng)的弦是直徑，正確，不符合題意；D項(xiàng)中，一條直徑把圓分成兩條弧，這兩條弧是等弧，正確，不符合題意.故選B.
5．下列說(shuō)法正確的有( )
①圓中的線段是弦；②直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；③經(jīng)過(guò)圓心的線段是直徑；④半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；⑤長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧；⑥弧是半圓，半圓是弧.
A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)
答案：A
解析：弦是圓中的線段，但圓中的線段不一定是弦，故①錯(cuò)誤；直徑是過(guò)圓心的弦，也是圓中最長(zhǎng)的弦，故②正確，③錯(cuò)誤；易知④正確；在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧，故⑤錯(cuò)誤；半圓是弧，但弧不一定是半圓，故⑥錯(cuò)誤.所以正確的是②④，共2個(gè).故選A.
知識(shí)點(diǎn)3 同圓半徑相等
圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑），即同圓半徑相等;
到定點(diǎn)o的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在圓上。即到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)在圓上。
【新知導(dǎo)學(xué)】
1．如圖，C是以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的半圓上一點(diǎn)，且，在OC兩側(cè)分別作矩形OCHI和正方形ODEF，且點(diǎn)I，F(xiàn)在OC上，點(diǎn)H，E在半圓上，可證：.小云發(fā)現(xiàn)連接圖中已知點(diǎn)得到兩條線段，便可證明.
請(qǐng)回答小云所作的兩條線段分別是________和________；
證明的依據(jù)是矩形的對(duì)角線相等，_________和等量代換.
答案：OH，OE；同圓的半徑相等
解析：連接OH，OE，如圖所示.
在矩形OGHI和正方形ODEF中，，.又在中，OH，OE均為半徑，，.故答案為OH，OE，同圓的半徑相等.
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．如圖，點(diǎn)在的邊上，過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心為點(diǎn)E，過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心為點(diǎn)D.如果,那么 .
答案：
解析：連接，如圖，設(shè)
而，
,
即得，故答案為.
3．如圖，是半圓O的直徑，D是半圓上的一點(diǎn)，,交的延長(zhǎng)線于E,交半圓于點(diǎn)C.且,則 .
答案：
解析：如圖，連接OC
,而
3．如圖,點(diǎn)A,D,G,M在半圓O上,四邊形ABOC,DEOF,HMNO均為矩形,設(shè)BC=a,EF=b,NH=c,試比較a,b,c的大小.
答案：
連接OA,OD,OM.
∵四邊形ABOC,DEOF,HMNO均為矩形,
∴BC=OA,EF=OD,NH=OM.
又∵點(diǎn)A,D,M都在半圓O上,
∴OA=OD=OM.
∴BC=FE=NH,
即a=b=c.
解析：
4．如圖,在△ABC中,AB為⊙O的直徑,∠B=60°,∠BOD=100°,則∠C的度數(shù)為( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
答案：C
解析：∵∠BOD=100°,
∴∠A=∠BOD=50°,
∵∠B=60°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=70°.
故選C.
二、題型訓(xùn)練
1.利用圓的定義證明四點(diǎn)共圓
1．如圖，在四邊形ABCD中，，求證：A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上.
答案：證明：連接BD，取BD的中點(diǎn)O，連接OA，OC，如圖.
，，
，
A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上.
解析：
2．如圖，和都為直角三角形，且.求證：四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.
答案：如圖，取的中點(diǎn)，連接.
和都為直角三角形，且，
分別為和斜邊上的中線，
，
四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.
解析：
3．如圖,在△ABC中,BD,CE是兩條高,點(diǎn)O為BC的中點(diǎn),連接OD,OE,求證:B,C,D,E四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上.
答案：
證明:∵BD,CE是兩條高,
∴∠BDC=∠BEC=90°.
∵點(diǎn)O為BC的中點(diǎn),
∴OE=OB=OC=BC.
同理:OD=OB=OC=BC.
∴OB=OC=OD=OE.
∴B,C,D,E在以O(shè)為圓心的同一個(gè)圓上.
2.利用同圓半徑相等證明線段相等
4．如圖，在中，AB是弦，C、D兩點(diǎn)在AB上，且.求證：是等腰三角形.
答案：證明：連接OA，OB，，.
又，.
，即是等腰三角形.
解析：
5．如圖,在中,分別是半徑的中點(diǎn),求證:.
答案：是的兩條半徑，.
分別是半徑的中點(diǎn)，.
在和中，，
..
6 .如圖所示,AB是⊙O的弦,半徑OC,OD分別交AB于點(diǎn)E,F,且AE=BF,請(qǐng)你找出線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
答案：
OE=OF.
證明:連接OA,OB.∵OA,OB是⊙O的半徑,
∴OA=OB.∴∠OBA=∠OAB.又∵AE=BF,
∴△OAE≌△OBF(SAS).
∴OE=OF.
3.利用同圓半徑相等求角
7．如圖,為的直徑,是的弦,延長(zhǎng)線交于點(diǎn)已知,,求的度數(shù).
答案：如圖，連接.
,.
.
.
,.
.
解析：
8．如圖,在⊙O中,直徑AB∥弦CD,若∠COD=120°,則∠BOD=__________.
答案：30°
解析：因?yàn)镺C=OD,所以∠C=∠D，
∠COD=120°，所以∠C=∠D=30°，
直徑AB∥弦CD，所以∠BOD=∠D=30°
4.利用同圓半徑相等求半徑
9．點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)的最大距離為10 cm,最小距離為8 cm,則此圓的半徑為( )
A.9 cm B.1 cm C.9 cm或1 cm D.無(wú)法確定
答案：C
解析：當(dāng)P在圓內(nèi)時(shí)，直徑為10+8=18cm,半徑為9cm
當(dāng)P在圓外時(shí)，直徑為10-8=2cm ,半徑為1cm.
故選C
課堂達(dá)標(biāo)
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．下列說(shuō)法中,不正確的是( )
A.過(guò)圓心的弦是圓的直徑
B.等弧的長(zhǎng)度一定相等
C.周長(zhǎng)相等的兩個(gè)圓是等圓
D.同一條弦所對(duì)的兩條弧一定是等弧
答案：D
解析：根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)逐一作出判斷:
A.過(guò)圓心的弦是圓的直徑,選項(xiàng)正確;
B.等弧的長(zhǎng)度一定相等,選項(xiàng)正確;
C.周長(zhǎng)相等的兩個(gè)圓是等圓,選項(xiàng)正確;
D.同一條弦所對(duì)的兩條弧不一定是等弧,選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選D.
2．下列說(shuō)法正確的是( )
A.弧是半圓 B.半圓是圓中最長(zhǎng)的弧
C.直徑是弦 D.弦是直徑
答案：C
解析：A、半圓是弧，弧不一定是半圓，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、半圓不是圓中最長(zhǎng)的弧，優(yōu)弧大于半圓，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、直徑是弦，選項(xiàng)正確；
D、弦不一定是直徑，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選C.
3．下列說(shuō)法正確的是( )
A.弦是直徑 B.弧是半圓 C.直徑是圓中最長(zhǎng)的弦 D.半圓是圓中最長(zhǎng)的弧
答案：C
解析：直徑是弦，但弦不一定是直徑，選項(xiàng)A的說(shuō)法錯(cuò)誤；半圓是弧，但弧不一定是半圓，選項(xiàng)B的說(shuō)法錯(cuò)誤；直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，選項(xiàng)C的說(shuō)法正確；半圓是小于優(yōu)弧而大于劣弧的弧，選項(xiàng)D的說(shuō)法錯(cuò)誤.故選C.
4．以下說(shuō)法：
（1）半圓是弧，但弧不一定是半圓；
（2）過(guò)圓上任意一點(diǎn)只能作一條弦，且這條弦是直徑；
（3）弦是直徑；
（4）直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；
（5）直徑不是弦；
（6）優(yōu)弧大于劣弧；
（7）以O(shè)為圓心可以畫無(wú)數(shù)個(gè)圓.
正確的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
解析：（1）半圓是弧，但弧不一定是半圓，正確；
（2）過(guò)圓上任意一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條弦，原說(shuō)法不正確；
（3）弦不一定是直徑，原說(shuō)法不正確；
（4）直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，正確；
（5）直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，原說(shuō)法不正確；
（6）在同圓或等圓中，優(yōu)弧一定大于劣弧，原說(shuō)法不正確；
（7）以O(shè)為圓心可以畫無(wú)數(shù)個(gè)圓，正確.
綜上，正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，
故選：C.
5．下列說(shuō)法中，正確的是( )
A.兩個(gè)半圓是等弧 B.同圓中優(yōu)弧與半圓的差必是劣弧
C.長(zhǎng)度相等的弧是等弧 D.直徑未必是弦
答案：B
解析：A、在同圓或等圓中，兩個(gè)半圓是等弧，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；
B、同圓中優(yōu)弧與半圓的差必是劣弧，正確，符合題意；
C、在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的弧是等弧，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；
D、直徑一定是弦，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意，
故選：B.
6．下列四邊形:①平行四邊形;②菱形;③矩形;④正方形.其中四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上的有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
答案：B
解析：平行四邊形、菱形的對(duì)角不一定互補(bǔ)，不一定能夠四個(gè)點(diǎn)共圓;矩形、正方形的對(duì)角互補(bǔ).四點(diǎn)一定共圓
故本題應(yīng)選B
7．如圖，小明為檢驗(yàn)四點(diǎn)是否共圓，用尺規(guī)分別作了的垂直平分線交于點(diǎn)O，則四點(diǎn)中，不一定在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上的點(diǎn)是（ ）
A.點(diǎn)M B.點(diǎn)N C.點(diǎn)P D.點(diǎn)Q
答案：C
解析：連接，，
的垂直平分線交于點(diǎn)O，，
在以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上，
又與的大小不能確定，
點(diǎn)P不一定在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上故選C
8 .如圖,在☉O中,AB是直徑,AC是弦,連接OC,若∠ACO=25°,則
∠BOC的度數(shù)是 ( )
A.40° B.50° C.55° D.60°
答案：B
解析：OA=OB, ∠A=∠C=25°, ∠BOC=∠A+∠C=50°
故選B
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，在半圓O中，AB是直徑，CD是一條弦，若，則面積的最大值是___________.
答案：12.5
解析：如圖，作交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.，且，當(dāng)時(shí)，的面積最大，此時(shí)是等腰直角三角形，，面積的最大值為.故答案為12.5.
10．如圖，在中，，，若以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______.
答案：
解析：連接，為的中點(diǎn)，.在中，.
11．如圖，在中，點(diǎn)B在上，四邊形是矩形，對(duì)角線的長(zhǎng)為5，則的半徑長(zhǎng)為 .
答案：5
解析：連接，
矩形，.
故答案為：5
12．若的半徑為6 cm,則中最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為 .
答案：
解析：的半徑為6 cm，的直徑為12 cm，即圓中最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為12 cm.
13．如圖,MN為直徑,四邊形ABCD,EFGD是正方形,小正方形的面積為16,則圓O的半徑為_(kāi)_______　
答案：4　.
解析：連接OC,OF,由小正方形面積得DG=4
設(shè)OD=x,由勾股定理得：x2+（2x）2=（x+4）2+42
解得：X1=4，X2=-2(舍去）
所以半徑4
三、解答題（共6小題，共48分）
14．（8分）某城市廣場(chǎng)有一塊圓形場(chǎng)地，市政府?dāng)M在此區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)菱形花壇(如圖).花壇中心A與圓形場(chǎng)地的圓心重合，A到菱形的頂點(diǎn)B的距離為6m，B到圓周上C點(diǎn)的距離為4m，點(diǎn)在同一直線上，四邊形為矩形，且菱形的四個(gè)頂點(diǎn)分別位于它四條邊的中點(diǎn)上，則花壇的邊長(zhǎng)是多少米？
答案：如圖，連接
由題意知的半徑，由菱形的性質(zhì)得于點(diǎn)A.
四邊形為矩形，四邊形為矩形.
又矩形的對(duì)角線相等，，即花壇的邊長(zhǎng)是10m。
15．（8分）已知:如圖，是的高，M為的中點(diǎn)試說(shuō)明點(diǎn)在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上。
答案：如圖，連接.
分別是的高，M為的中點(diǎn)，
，
點(diǎn)在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上A
16．（8分）如圖所示,AB為⊙O的直徑,CD是⊙O的弦,AB,CD的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn),已知AB=2DE,∠E=18°,求∠AOC的度數(shù).
答案：連接OD.∵AB為⊙O的直徑,OC,OD為半徑,AB=2DE,
∴OC=OD=DE.∴∠DOE=∠E,∠OCE=∠ODC.
又∠ODC=∠DOE+∠E,∴∠OCE=∠ODC=2∠E.
∵∠E=18°,∴∠OCE=36°.
∴∠AOC=∠OCE+∠E=36°+18°=54°.
解析：
17．（8分）如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的半徑和分別交小圓于點(diǎn)C和D，連接、，交于點(diǎn)P．
求證：；
【答案】見(jiàn)詳解
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)，圓的性質(zhì)，先證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)圓的性質(zhì)可知，，從而得出， 再利用證明．
【詳解】證明∶在和中，
∴；
∴．
∵，，
∴，
即，
在和中，
∴
18．（8分）如圖，矩形紙片一邊過(guò)圓心O，分別交于E、F，且，求的半徑．
【答案】圓的半徑為．
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
如圖：過(guò)F作于H，連接，則，由，得出，設(shè)圓的半徑為，則，在直角中，由勾股定理列出方程求解即可．
【詳解】解：如圖：過(guò)F作于H，連接，則，
∵，
∴，
設(shè)圓的半徑為，則，
在直角中，由勾股定理得：
，解得．
∴圓的半徑為．
19．（8分）已知：如圖，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與交于點(diǎn)．
(1)求的長(zhǎng)；
(2)若，求的度數(shù)；
(3)若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度取值范圍是________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，首先根據(jù)勾股定理解得的長(zhǎng)度，再利用面積法解得的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得的值，然后根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)求得的長(zhǎng)即可；
（2）首先根據(jù)“直角三角形兩銳角互余”可得，再根據(jù)等腰三角形“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)可知，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解得的度數(shù)，即可獲得答案；
（3）根據(jù)“垂線段最短”即可得到答案．
【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，如下圖，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的度數(shù)為；
（3）解：∵點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，，，，
∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最小值，
此時(shí)，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最大值，
此時(shí)，
∴線段的長(zhǎng)度取值范圍是．
故答案為：．
A
B
O
C
B
A
C
D
O
A
B
O
C
B
A
C
D
O
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