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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
26.3實(shí)踐與探索七大題型（一課一講）
【華師大版】
題型一：實(shí)際問題與二次函數(shù)之圖形問題
【經(jīng)典例題1】如圖，老李想用長為的柵欄，再借助房屋的外墻（墻最長可利用）圍成一個矩形羊圈．并在邊上留一個寬的門（建在處，另用其他材料）．
(1)當(dāng)羊圈的面積為時，求的長；
(2)能否圍成的羊圈，為什么？（計算說明）
【答案】(1)當(dāng)圍成一個面積為的羊圈時，的長為．
(2)不能否圍成的羊圈，理由見解析
【分析】本題主要考查了一元二次方程、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn)，找到周長等量關(guān)系和求出羊圈的面積與矩形的邊的二次函數(shù)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)矩形的邊，則，再根據(jù)羊圈的面積為利用矩形面積公式列方程求解即可；
（2）設(shè)羊圈的面積為，則矩形的邊，根據(jù)題意，得，然后求得函數(shù)的最大值與500比較即可解答．
【詳解】（1）解：設(shè)矩形的邊，則，
根據(jù)題意可得：，
化簡得：，
解得，，
當(dāng)時，，符合題意；
當(dāng)時，，不符合題意．
答：當(dāng)圍成一個面積為的羊圈時，的長為．
（2）解：不能否圍成的羊圈，理由如下：
設(shè)羊圈的面積為，則矩形的邊，
根據(jù)題意，得，
∴，
∵
∴當(dāng)時，y有最大值，最大值為．
∵，
∴不能否圍成的羊圈．
【變式訓(xùn)練1-1】已知：如圖，是400米跑道示意圖，中間的足球場是矩形，兩邊是全等的半圓，如果問直道的長是多少？那你大概率是知道的．可你也許不知道，這不僅是為了田徑比賽的需要，還有另一個原因，等你做完本題就明白了．設(shè)直道的長為米，足球場的面積為S平方米．
(1)求出S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（結(jié)果保留），并寫出定義域：
(2)當(dāng)直道為________米時，足球場的面積最大．
【答案】(1)；定義域?yàn)?br/>(2)當(dāng)直道為100米時，足球場的面積最大
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意；
（1）根據(jù)題意可得足球場的寬為，然后根據(jù)長方形的面積公式可進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)關(guān)系式可進(jìn)行求解．
【詳解】（1）解：由題意得：
；
∵，
∴；
∴S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為；定義域?yàn)椋?br/>（2）解：由（1）可知：
，
∵，
∴當(dāng)直道為100米時，足球場的面積最大．
【變式訓(xùn)練1-2】如圖，某校勞動實(shí)踐基地用總長為的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩形實(shí)驗(yàn)田，墻長為．柵欄在安裝過程中不重疊、無損耗，設(shè)矩形實(shí)驗(yàn)田與墻垂直的一邊長為(單位：)，與墻平行的一邊長為(單位：)，面積為(單位：)．
(1)直接寫出與，與之間的函數(shù)解析式(不要求寫的取值范圍)；
(2)矩形實(shí)驗(yàn)田的面積能達(dá)到嗎？如果能，求的值；如果不能，請說明理由．
【答案】(1)，；
(2)能達(dá)到，．
【分析】（）根據(jù)，求出與的函數(shù)解析式，根據(jù)矩形面積公式求出與的函數(shù)解析式；
（）先求出的取值范圍，再將代入函數(shù)中，求出的值即可判斷求解；
本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意正確求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：能達(dá)到．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
當(dāng)時，，
即 ，
解得（不合，舍去），（符合題意），
∴當(dāng)時，矩形實(shí)驗(yàn)田的面積能達(dá)到．
【變式訓(xùn)練1-3】明明的爸爸要利用家里的一面墻和鐵絲網(wǎng)圍成一個矩形菜園，圍墻足夠長，其余的部分用鐵絲網(wǎng)圍成，在墻所對的邊留一道米寬的門，已知鐵絲網(wǎng)總長是米．如圖所示，設(shè)的長為米，矩形面積為平方米．
(1)用含的代數(shù)式表示．
(2)當(dāng)菜園的面積是平方米時，求出的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二次函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的應(yīng)用；
（1）根據(jù)題意先求得，進(jìn)而根據(jù)矩形面積公式，即可求解；
（2）當(dāng)時，，解方程，即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)的長為米，矩形面積為平方米，
∴，，
（2）解：當(dāng)時，
解得：
【變式訓(xùn)練1-4】植物園有一塊足夠大的空地，其中有一堵長為的墻，現(xiàn)準(zhǔn)備用的籬笆圍成矩形花圃，小俊設(shè)計了甲、乙兩種方案(如圖所示)：方案甲中的長不超過墻長；方案乙中的長大于墻長．
(1)按圖甲的方案，設(shè)的長為，矩形的面積為．
①求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
②求矩形的面積的最大值．
(2)甲、乙哪種方案能使圍成的矩形花圃的面積最大？最大是多少？請說明理由．
【答案】(1)①；②矩形的面積最大為
(2)乙方案能使圍成的矩形花圃的面積最大，面積最大是，見解析
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵；
（1）①根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；②由①根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解；
（2）分別計算甲、乙兩種方案的面積，進(jìn)而問題可求解．
【詳解】（1）解：①∵的長為，
的長為，
；
②∵甲中的長不超過墻長，
，
由可知：
，
時，隨的增大而增大，
當(dāng)時，矩形的面積最大，最大為；
（2）解：乙方案能使圍成的矩形花圃的面積最大，理由如下：
乙方案中，設(shè)的長為，矩形的面積為，
則，
方案乙中的長大于墻長，
，
，
，
，
當(dāng)時，矩形的面積最大，最大為，
，
乙方案能使圍成的矩形花圃的面積最大，最大是．
【變式訓(xùn)練1-5】如圖，為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定在一塊一邊靠墻（墻長）的空地上修建一個矩形小花園，小花園一邊靠墻，另三邊用總長的柵欄圍住，如圖所示．若設(shè)矩形小花園邊的長為，面積為．
(1)與之間是 函數(shù)關(guān)系（填“一次”或“二次”）；
(2)求出與之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量取值范圍）；
(3)當(dāng)為何值時，小花園的面積最大？最大面積是多少？
【答案】(1)二次
(2)
(3)當(dāng)時，小花園的面積最大，最大面積是
【分析】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意列出二次函數(shù)解析式，并根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．
（1）根據(jù)矩形的面積公式即可進(jìn)行列式寫出函數(shù)解析，即可得；
（2）由（1）可得解析式，再利用墻長得到自變量取值范圍；
（3）根據(jù)函數(shù)的增減性求最值即可．
【詳解】（1）解：矩形小花園邊的長為，則邊的長為，
，
與之間是二次函數(shù)關(guān)系，
故答案為：二次；
（2）解：由（1）知，，
，
，
與之間的函數(shù)關(guān)系式為；
（3）解：由（1）知，，
，，
當(dāng)時，有最大值，最大值為，
答：當(dāng)時，小花園的面積最大，最大面積是．
題型二：實(shí)際問題與二次函數(shù)之圖形運(yùn)動問題
【經(jīng)典例題2】如圖，等邊 ABC的邊長為3，是邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過作邊的垂線，交于，設(shè)線段的長度為，的面積為．
(1)直接寫出與的函數(shù)表達(dá)式及的取值范圍；
(2)當(dāng)時，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由等邊，可得，，則，，由，可得，由勾股定理得，，進(jìn)而可得，；
（2）將代入，求解即可．
【詳解】（1）解：等邊，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，；
（2）解：當(dāng)時，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含的直角三角形，勾股定理，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，含的直角三角形，勾股定理，二次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2-1】如圖，中，，，．動點(diǎn)，分別從，兩點(diǎn)同時出發(fā)，點(diǎn)沿邊向以每秒個單位長度的速度運(yùn)動，點(diǎn)沿邊向以每秒個單位長度的速度運(yùn)動，當(dāng)，到達(dá)終點(diǎn)，時，運(yùn)動停止．設(shè)運(yùn)動時間為（單位：秒）．
(1)①當(dāng)運(yùn)動停止時，的值為______.
②設(shè)，之間的距離為，則與滿足______（選填“正比例函數(shù)關(guān)系”，“一次函數(shù)關(guān)系”，“二次函數(shù)關(guān)系”）
(2)設(shè)的面積為，
①求的表達(dá)式（用含有的代數(shù)式表示），并寫出的取值范圍；
②是否可以為？若可以，請求出此時的值，若不能，請通過計算說明理由．
【答案】(1)①①；②一次函數(shù)關(guān)系
(2)①；②不可以為，理由見解析
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及動點(diǎn)問題，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是用含有的式子表示、的長度．
（1）①根據(jù)時間路程速度即可求解；②由，，可得，即可求解；
（2）①由（1）得：，，最后根據(jù)，即可求解；②由，可得時，有最大值為，即可判斷．
【詳解】（1）解：①，點(diǎn)沿邊向以每秒個單位長度的速度運(yùn)動，
當(dāng)運(yùn)動停止時，的值為，
故答案為：；
②，，
，
即，
與滿足一次函數(shù)關(guān)系，
故答案為：一次函數(shù)關(guān)系；
（2）①由題意得：，
由（1）得：，
，
；
②不可以為，理由如下：
，且，
時，有最大值，最大值為，
，
不可以為．
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在 ABC中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動.
(1)經(jīng)過幾秒鐘后，的面積等于？
(2)在運(yùn)動過程中，的面積是否有最值，如果有，最值是多少？
【答案】(1)2秒或4秒
(2)有，的面積有最大值9
【分析】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，
（1）設(shè)經(jīng)過秒鐘，使的面積為，得到，，根據(jù)三角形的面積公式得出方程，求出即可；
（2）設(shè)，表示出經(jīng)過秒鐘的面積再計算即可．
【詳解】（1）解：設(shè)經(jīng)過秒鐘，則，，
∴，，
∵的面積等于，
，
，
，
，．
答：如果點(diǎn)、分別從、同時出發(fā)，經(jīng)過2或4秒鐘，使的面積為；
（2）解：設(shè)經(jīng)過秒鐘的面積，則，，
∴，，
∴，
∴當(dāng)時，面積有最大值，最大值，
即在運(yùn)動過程中，的面積有最大值，最大值是9．
【變式訓(xùn)練2-3】如圖，矩形中，，，點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以厘米/秒的速度移動，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以厘米/秒的速度移動，如果、分別是從同時出發(fā)，求經(jīng)過幾秒時，
(1)的面積等于平方厘米？
(2)五邊形的面積最小？最小值是多少？
【答案】(1)2秒或4秒；
(2)3秒時，五邊形的面積最小，最小值是．
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用中的動點(diǎn)問題，一元二次方程的應(yīng)用，熟練的解一元二次方程以及二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)運(yùn)動時間為t，則，，再由面積公式建立方程求解即可；
（2）由（1）可得：，要使的面積有最大值，則要使取最大值，則此時，面積為9， 則此時五邊形的面積最小，從而可得答案．
【詳解】（1）解：設(shè)運(yùn)動時間為t，則，，
則，
解得：或．
經(jīng)過2秒或4秒時，的面積等于8平方厘米．
（2）解： ∵五邊形的面積
由（1）可得：
∵
∴拋物線開口向下
∴當(dāng)時，有最大值9，此時五邊形的面積最小，最小值為．
【變式訓(xùn)練2-4】如圖，在 ABC中，∠B=90°，，，動點(diǎn)從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動，動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動，如果、兩點(diǎn)分別從A，兩點(diǎn)同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為，

(1)___________，___________，___________；
(2)為何值時的面積為？
(3)為何值時的面積最大？最大面積是多少？
【答案】(1)，，
(2)當(dāng)秒或4秒時，的面積是；
(3)當(dāng)為3時的面積最大，最大面積是
【分析】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的幾何應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．
（1）由題意可直接利用t表示出，和；
（2）由三角形的面積公式可求出，結(jié)合題意即得出關(guān)于t的方程，解出t即可；
（3）由（2）可知，再變形為頂點(diǎn)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．
【詳解】（1）根據(jù)題意得：，，
∴，
故答案為：，，；
（2），
解得：或4，
∵，，
∴，
∴或4都符合題意，
∴即當(dāng)秒或4秒時，的面積是；
（3）由（2）可知，
∵，，
∴當(dāng)為3時的面積最大，最大面積是．
【變式訓(xùn)練2-5】如圖在長方形中，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度勻速向終點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)出發(fā)后動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線——以的速度向終點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為（）．
(1)求的長度．（用含的代數(shù)式表示）
(2)連接、，當(dāng)為直角三角形時，求的值．
(3)設(shè)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形的面積為，用含的代數(shù)式表示．
(4)當(dāng)在（3）條件下的四邊形為梯形時，且梯形面積等于，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)；
(4)或．
【分析】（1）在上和在上兩種情況討論求解即可；
（2）由當(dāng)為直角三角形時，只有，此時，重合，求解即可；
（3）分在上，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，即時，在上，且點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，即時，以及當(dāng)在上，即時，三種情況討論求解即可；
（4）分在上，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，即時，和當(dāng)在上，且點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，即時，兩種情況列一元一次方程求解即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)在上，即時，（），
當(dāng)在上，即時，（），
∴的長度為；
（2）解：如圖，由題意可得，，
又∵，
∴當(dāng)為直角三角形時，，此時，重合，
∴當(dāng)為直角三角形時，；
（3）解：如圖，當(dāng)在上，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，即時，
∵，，
∴，
∴（），
如圖，當(dāng)在上，且點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，即時，
∵，，
∴，
∴（），
如圖，當(dāng)在上，即時，
∵，，，
∴，
∴（），
綜上可得，
（4）解：以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為梯形時，在上，
當(dāng)在上，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，即時，由（）得
，
解得，
當(dāng)在上，且點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，即時，由（）得
，
解得，
綜上的值為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，直角三角形，絕對值，熟練掌握面積公式是解題的關(guān)鍵．
題型三：實(shí)際問題與二次函數(shù)之拱橋問題
【經(jīng)典例題3】一座拱橋的輪廓呈拋物線型，如圖，拱高，在高度為的兩支柱和之間，還安裝了三根立柱，相鄰兩立柱間的距離均為．
(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求拱橋拋物線的表達(dá)式；
(2)求立柱的長；
(3)拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬的隔離帶），其中的一條行車道能否并排行駛寬、高的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計）？請說說你的理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，理由見解析
【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題是解題根本，求出二次函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．
（1）設(shè)拱橋拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：，根據(jù)題目可知拋物線經(jīng)過的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的解析式代入可求解．
（2）令即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出支柱的長度．
（3）令求得的值，再與3比較大小即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，圖象過原點(diǎn)，設(shè)拱橋拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：，
∵相鄰兩支柱間的距離均為，
∴，
∴兩點(diǎn)都在拋物線上，
∴，
∴，
；
（2）解：當(dāng)時，，
∴．
∴．
（3）解：由于中間綠化帶的寬兩米，即綠化帶到或的距離為米，三輛車并排寬共米，
因此只需考慮當(dāng)時，的值與3的大小即可判定，
當(dāng)時，，
∴不能并排行駛寬、高的三輛汽車．
【變式訓(xùn)練3-1】根據(jù)背景素材，探索解決問題．
測算拉索橋立柱的高
素材1 一條橋身形狀和拋物線相同的拉索橋，橋的跨徑的水平距離為22米，點(diǎn)和點(diǎn)處于同一水平線．
素材2 （1）橋的兩根主立柱和拉出鐵索固定橋身，兩個立柱中間共有10根拉索（如圖）；（2）立柱和鐵索與橋身的邊境點(diǎn)水平等距分布（即相鄰的兩個連接點(diǎn)的水平距離相等）；
問題解決
任務(wù)1 建立模型 以點(diǎn)為原點(diǎn)，水平線為軸，以1米為一個單位長度，建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)素材1求橋身模型的函數(shù)解析式．
任務(wù)2 利用模型 根據(jù)任務(wù)1所求的解析式模型，分別求點(diǎn)、的坐標(biāo)．
【答案】任務(wù)1：平面直角坐標(biāo)系見解析，拋物線的解析式為；任務(wù)2：，
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，正確求出函數(shù)解析式是解此題的關(guān)鍵．
任務(wù)1：由題意得出拋物線的對稱軸為直線，設(shè)拋物線的解析式為，利用待定系數(shù)法求解即可；
任務(wù)2：由題意可得：線段被均分成條相等的線段，每段長為（米），則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，分別代入和計算即可得解．
【詳解】解：任務(wù)1：如圖所示：
∵拋物線經(jīng)過，，
∴拋物線的對稱軸為直線，
設(shè)拋物線的解析式為，
代入得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
任務(wù)2：由題意可得：線段被均分成條相等的線段，每段長為（米），
則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，即．
【變式訓(xùn)練3-2】北中環(huán)橋是省城太原的一座跨汾河大橋（如圖），它由五個高度不同，跨徑也不同的拋物線型鋼拱通過吊橋，拉鎖與主梁相連而建成．圖所示是其中一座較小的拋物線形鋼拱，已知該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．

(1)求該鋼拱的跨度的長度；
(2)為了保護(hù)鋼拱的安全，在該鋼拱平行于橋面處的，兩點(diǎn)裝有兩盞警示燈，現(xiàn)已知這兩盞警示燈的水平距離為米，求這兩盞燈距橋面的高度是多少米？
【答案】(1)米；
(2)米．
【分析】（）當(dāng)時，求出坐標(biāo)即可求出的長度；
（）由題意得：關(guān)于軸對稱，由米，則的橫坐標(biāo)為，然后代入即可求解；
本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用和兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，即，
解得：，，
∴，，
∴，
∴該鋼拱的跨度的長度為米；
（2）解：由題意得：關(guān)于軸對稱，
∵米，
∴的橫坐標(biāo)為，
∴當(dāng)時，即，
∴這兩盞燈距橋面的高度是米．
【變式訓(xùn)練3-3】某河上有一座拋物線形拱橋，A、B為拋物線與水面的交點(diǎn)，現(xiàn)水面離拱頂，水面寬．
(1)以拱頂O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求此拋物線的函數(shù)解析式；
(2)受臺風(fēng)降雨影響，預(yù)計水面上升至離拱頂處，問：水面寬度縮小了多少？
(3)一艘寬、高的木船，載貨后露出水面的部分為，當(dāng)水面上升至離拱頂時，木船能否通過這座拱橋？
【答案】(1)
(2)3.2米
(3)不能
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：
（1）先求出A的坐標(biāo)，然后設(shè)拋物線解析式為，代入求解即可；
（2）把代入，求出x的值，可求此時水面寬度，即可求解；
（3）把代入函數(shù)解析式求出y，然后比較即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線解析式為，
根據(jù)題意，得，
代入，得，
∴，
∴拋物線的函數(shù)解析式；
（2）解：當(dāng)時，，
解得，，
∴此時水面寬度為米，
∴水面寬度縮小了米；
（3）解：當(dāng)時，，
則，
∴水面上升至離拱頂時，木船不能通過這座拱橋．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，是一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞的上沿是拋物線形狀，當(dāng)水面的寬度為時，橋洞與水面的最大距離是．
(1)若以拱頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系（如右圖），則點(diǎn)坐標(biāo)是______，點(diǎn)坐標(biāo)是______；
(2)根據(jù)（1）所建立的平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線的解析式；
(3)因?yàn)樯嫌嗡畮煨购椋鎸挾茸優(yōu)椋笏嫔蠞q的高度．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)拋物線在坐標(biāo)系中的位置及點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，合理設(shè)拋物線解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題中信息和拋物線特征即可得；
（2）設(shè)拋物線解析式為，將代入即可求解；
（3）求出當(dāng)時，的值，再減去原位置即可得．
【詳解】（1）解：如圖，設(shè)與軸交于點(diǎn)，
∵水面的寬度為，
∴，
∴，
∵橋洞與水面的最大距離是，
∴，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，
故答案為：；；
（2）解：設(shè)拋物線解析式為，
將代入，
得：，
解得：，
∴拋物線解析式為；
（3）解：由題意，當(dāng)時，，
則水面上漲的高度為：，
即水面上漲的高度為．
【變式訓(xùn)練3-5】如圖所示，一拱橋的截面呈拋物線形狀，拋物線兩端點(diǎn)與水面的距離都是，拱橋的跨度為，拱橋與水面的最大距離是，橋洞兩側(cè)壁上各有一盞距離水面景觀燈．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求兩盞景觀燈之間的水平距離．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查拋物線的應(yīng)用，分析題意，建立合適的平面直角坐標(biāo)系，解決問題．
（1）由圖形可知這是一條拋物線，根據(jù)圖形也可以知道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是，設(shè)出拋物線的解析式將兩點(diǎn)代入可得拋物線方程；
（2）第二題中要求燈的距離，只需要把縱坐標(biāo)為代入，求出，然后兩者相減，就是他們的距離．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意首先建立坐標(biāo)系，如圖所示：
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是，
設(shè)拋物線的解析式是，
把代入，
得，
；
（2）解：由已知得兩景觀燈的縱坐標(biāo)都是，
，
，
，．
兩景觀燈間的距離為．
題型四：實(shí)際問題與二次函數(shù)之銷售問題
【經(jīng)典例題4】某網(wǎng)店為滿足航天愛好者的需求，推出“空間站”模型，已知該模型平均每天可售出20個，每個可以盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，該網(wǎng)站準(zhǔn)備適當(dāng)降價，經(jīng)過一段時間測算，每個模型每降低1元，平均每天可以多售出2個，假設(shè)每個模型降價元．
(1)在每個模型盈利不少于25元前提下，要使模型每天獲利1200元，每個模型應(yīng)降價多少元？
(2)該模型平均每天的銷售利潤能達(dá)到1280元嗎？請用所學(xué)的知識分析，并寫出你的理由．
【答案】(1)每個模型應(yīng)降價10元；
(2)該商店平均每天銷售利潤不能達(dá)到1280元，理由見解析．
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)每個模型應(yīng)降價元，則每個模型可盈利元，平均每天可售出個，利用總利潤每個的銷售利潤日銷售量，可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；
（2）解法1：設(shè)每件模型應(yīng)降價元，則每件盈利元，每天可售出件，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程可得，即可得出結(jié)論；解法2：設(shè)該商店平均每天銷售利潤為元，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求得最大值，比較即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)每個模型應(yīng)降價元，
根據(jù)題意得：
整理得：，
解得：
又每個模型盈利不少于25元，
答：每個模型應(yīng)降價10元．
（2）該模型每天的銷售獲利不能達(dá)到1280元，理由如下：
解法1：設(shè)每件模型應(yīng)降價元，則每件盈利元，每天可售出件，
依題意得：
整理得:
該方程無實(shí)數(shù)根
即該模型每天的銷售獲利不能達(dá)到1280元
解法2：設(shè)該商店平均每天銷售利潤為元，
根據(jù)題意得：
，
當(dāng)時，有最大值，最大值為1250，
，
該商店平均每天銷售利潤不能達(dá)到1280元．
【變式訓(xùn)練4-1】某水果商店銷售一種進(jìn)價為40元/千克的優(yōu)質(zhì)水果，若售價為50元/千克，則一個月可售出500千克；若售價在50元/千克的基礎(chǔ)上每漲價1元，則月銷售量就減少10千克．
(1)當(dāng)售價為55元/千克時，每月銷售水果______千克．
(2)當(dāng)每千克水果漲價x元時，每千克的利潤為______元，銷量為______千克．
(3)當(dāng)每千克水果售價為多少元時，獲得的月利潤最大？
【答案】(1)450
(2)；
(3)當(dāng)該優(yōu)質(zhì)水果每千克售價為元時，獲得的月利潤最大．
【分析】此題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．
（1）根據(jù)銷售量的規(guī)律：500減去減少的數(shù)量即可求出答案；
（2）漲價元時，銷售量為千克，利潤為元；
（3）設(shè)月銷售利潤為元，每千克水果售價為元，根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)頂點(diǎn)式函數(shù)關(guān)系式的性質(zhì)解答即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)售價為元/千克時，每月銷售量為千克；
故答案為：450；
（2）解：漲價元時，銷售量為千克，
漲價元后的利潤可表示為元即元，
故答案為：；；
（3）解：設(shè)月銷售利潤為元，每千克水果售價為元，
由題意，得，
即，
配方，得，
，
當(dāng)時，有最大值，
當(dāng)該優(yōu)質(zhì)水果每千克售價為元時，獲得的月利潤最大．
【變式訓(xùn)練4-2】某種植基地種植一種蔬菜，它的成本為每千克12元，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該蔬菜的日銷售量y（千克）與銷售單價x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，其銷售單價、日銷售量的三組對應(yīng)數(shù)值如下表：
銷售單價x（元） 14 15 16
日銷售量y（千克） 2000 1800 1600
(1)直接寫出y與x的關(guān)系式____________；
(2)求種植基地銷售該蔬菜獲得的最大日利潤；
(3)銷售一段時間以后，由于某種原因，該蔬菜每千克成本增加了2元，在日銷售量y（千克）與銷售單價x（元）保持（1）中函數(shù)關(guān)系不變的情況下，該蔬菜的日銷售利潤能否達(dá)到6000元？
【答案】(1)；
(2)種植基地銷售該蔬菜獲得的最大日利潤為元；
(3)該蔬菜的日銷售利潤不能達(dá)到元，理由見解析．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
（1）直接用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)總利潤每千克利潤銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值；
（3）根據(jù)題意列出一元二次方程，根據(jù)根的判別式得出原方程無解，即可得到答案．
【詳解】（1）解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：，
將，代入得：
，
解：，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：，
故答案為：；
（2）解：設(shè)種植基地銷售該蔬菜獲得的日利潤為w元，由題意得：
，
，
∴當(dāng)時，w最大值，
∴種植基地銷售該蔬菜獲得的最大日利潤為元；
（3）解：該蔬菜的日銷售利潤不能達(dá)到元，理由如下：
根據(jù)題意得：，
整理得：，
，
∴原方程沒有實(shí)數(shù)根，
∴該蔬菜的日銷售利潤不能達(dá)到元．
【變式訓(xùn)練4-3】商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．
(1)若某天該商品每件降價3元，當(dāng)天可獲利多少元？
(2)設(shè)每件商品降價元，請寫出盈利與的函數(shù)關(guān)系式（將函數(shù)關(guān)系式化簡，不必寫出自變量的取值范圍）；
(3)在上述銷售正常情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達(dá)到2000元？
【答案】(1)當(dāng)天可獲利1692元
(2)
(3)每件商品降價25元時，商場日盈利可達(dá)到2000元
【分析】本題主要考查一元二次方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意；
（1）由題意可知每天的銷售量為36件，利潤為47元，然后問題可求解；
（2）由題意易得商場每天銷售的件數(shù)為件，然后根據(jù)利潤=單個利潤×銷售量可進(jìn)行求解；
（3）根據(jù)（2）及題意可進(jìn)行求解．
【詳解】（1）解：由題意得：（元）；
答：當(dāng)天可獲利1692元．
（2）解：由題意得：
，
∴盈利與的函數(shù)關(guān)系式；
（3）解：由（2）即題意得：
，
解得：，
∵為了盡快減少庫存，
∴，
答：每件商品降價25元時，商場日盈利可達(dá)到2000元．
【變式訓(xùn)練4-4】元購進(jìn)甲種水果和用800元購進(jìn)乙種水果的質(zhì)量一樣多，包裝一個果籃需要甲種水果4千克、乙種水果2千克，每個果籃還需包裝費(fèi)8元．設(shè)每個果籃的售價是元（是整數(shù)），該種果籃每月的銷量（個）與售價（元）之間的關(guān)系式為．
(1)求一個果籃的成本（成本=進(jìn)價十包裝費(fèi)）．
(2)若該水果店銷售果籃每月的利潤是元，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式（不需要寫出自變量的取值范圍），并求出最大利潤．
(3)若該水果店每銷售一個果籃捐元（是整數(shù)）給希望工程，且當(dāng)時，捐款后每月的利潤隨的增大而增大，求的最小值．
【答案】(1)48元
(2)，12960元
(3)8
【分析】此題考查了分式方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用．
（1）設(shè)甲種水果的單價為元，則乙種水果的單價為元，根據(jù)用600元購進(jìn)甲種水果和用800元購進(jìn)乙種水果的質(zhì)量一樣多列分式方程解答；
（2）根據(jù)利潤每盒果籃的利潤銷量得到函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)時，捐款后每月的利潤隨的增大而增大，此據(jù)列關(guān)于m的不等式求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)甲種水果的單價為元，則乙種水果的單價為元，
由題意，得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，
∴，
∴一個果籃的成本為（元），
（2）解：由題意，得，
∵，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴當(dāng)時，函數(shù)有最大值，，
∴每月的最大利潤為12960元；
（3）解：由題意可知，每月的利潤，
∴其圖像的對稱軸為直線，
∵，且當(dāng)時，每月的利潤隨的增大而增大，
∴，解得，
∴整數(shù)的最小值為8．
【變式訓(xùn)練4-5】某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件，已知商品的進(jìn)價為每件40元．
(1)設(shè)每件漲價x元，每周賣出y件，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．
(2)若每周可獲利w元，如何定價才能使每星期售出商品的利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】(1)；
(2)每件定價為65元時利潤最大，最大利潤為6250元．
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，最值問題一般的解決方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解．
（1）每件漲價元，所售件數(shù)是件，即可得到結(jié)論；
（2）每件的利潤是元，根據(jù)利潤每件的利潤所售的件數(shù)，即可列出函數(shù)解析式；再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得如何定價才能使利潤最大．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：；
（2）解：根據(jù)題意得：
；
∵，
∴當(dāng)時，有最大值，最大值為：6250．
此時售價為：元．
答：每件定價為65元時利潤最大，最大利潤為6250元．
題型五：實(shí)際問題與二次函數(shù)之投球問題
【經(jīng)典例題5】鷹眼技術(shù)助力廈門世界杯亞洲區(qū)預(yù)選賽，提升球迷觀賽體驗(yàn)．如圖分別為足球比賽中某一時刻的鷹眼系統(tǒng)預(yù)測畫面（如圖1）和截面示意圖（如圖2），攻球員位于點(diǎn)，守門員位于點(diǎn)，的延長線與球門線交于點(diǎn)，且點(diǎn)，均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線．水平距離與離地高度的鷹眼數(shù)據(jù)如表：
5 10 15 20 25
3 4.5 5 4.5 3
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)守門員位于足球正下方，足球離地高度不大于守門員的最大防守高度2.6m時，視為防守成功．若一次防守中，守門員位于足球正下方時，，請問這次守門員能否防守成功？試通過計算說明．
【答案】(1)
(2)這次守門員能防守成功．
【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出二次函數(shù)解析式．
（1）根據(jù)表格可知，拋物線頂點(diǎn)為，用待定系數(shù)法可得；
（2）結(jié)合（1），求出，即可知這次守門員能防守成功．
【詳解】（1）解：根據(jù)表格可知，拋物線頂點(diǎn)為，
設(shè)關(guān)于的函數(shù)解析式為，
把代入得：，
解得，
關(guān)于的函數(shù)解析式為；
（2）解：這次守門員能防守成功，理由如下：
在中，令得：，
，
這次守門員能防守成功．
【變式訓(xùn)練5-1】一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方的處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為時，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時球離地面．已知球門高為，現(xiàn)以為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）．
(2)對本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)正上方處？
【答案】(1)，球能射進(jìn)球門
(2)向正后方移動米
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的平移等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)建立的平面直角三角坐標(biāo)系設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式，代入A點(diǎn)坐標(biāo)求出a的值即可得到函數(shù)表達(dá)式，再把代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)值，與球門高度比較即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)二次函數(shù)平移的規(guī)律，設(shè)出平移后的解析式，然后將點(diǎn)代入即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線解析式為，
把點(diǎn)代入，得，解得，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
當(dāng)時，，
∴球不能射進(jìn)球門．
（2）解：設(shè)小明帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線為，
把點(diǎn)代入得，解得，（舍去），
∴當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動米射門．
【變式訓(xùn)練5-2】籃球運(yùn)動員投籃后，球運(yùn)動的路線為拋物線的一部分（如圖），拋物線的對稱軸為直線求：
(1)球運(yùn)動路線的函數(shù)表達(dá)式和自變量的取值范圍；
(2)球在運(yùn)動中離地面的最大高度．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．
（1）設(shè)拋物線的解析式為，將和代入求得、的值可得答案，求出時的值可得的取值范圍；
（2）由所求拋物線的頂點(diǎn)式求解可得．
【詳解】（1）解：由題意得：拋物線的對稱軸為直線
設(shè)拋物線的解析式為，
將和代入，得：
，
則拋物線的解析式為，
當(dāng)時，，
解得：（負(fù)值舍去）
；
（2）由知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，
球在運(yùn)動中離地面的最大高度為．
【變式訓(xùn)練5-3】足球訓(xùn)練中球員從球門正前方8米的處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為6米時，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時球離地面3米．現(xiàn)以為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若球門米，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，當(dāng)時球員帶球向正后方移動米再射門，足球恰好進(jìn)球（不含點(diǎn)和），求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，平移規(guī)律，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）依題意，先得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)設(shè)拋物線，把點(diǎn)代入，即可作答．
（2）依題意，設(shè)小明帶球向正后方移動米，則移動后的拋物線為，再把點(diǎn)和點(diǎn)分別代入，算出的值，即可作答．
【詳解】（1）解： ，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線，把點(diǎn)代入得：
，
解得，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：設(shè)小明帶球向正后方移動米，則移動后的拋物線為，
把點(diǎn)代入得：，
解得（舍去）或，
把點(diǎn)代入得：，
解得：（舍去）或，
∵足球恰好進(jìn)球（不含點(diǎn)和），
即．
【變式訓(xùn)練5-4】教練對嘉淇推鉛球的錄像進(jìn)行技術(shù)分析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進(jìn)高度（單位：m）與水平距離（單位：m）之間的關(guān)系是．嘉淇第一次推鉛球?qū)?yīng)的拋物線如圖所示，其中，當(dāng)鉛球運(yùn)行到水平距離為時，鉛球行進(jìn)的高度為．
(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為______；它表示的實(shí)際意義是______；
(2)求鉛球推出的距離的長；
(3)嘉淇第二次推出的水平距離剛好與第一次相同，且，求推出鉛球行進(jìn)的最大高度；
(4)嘉淇第三次推出的鉛球運(yùn)行路徑的形狀與第二次相同，若嘉淇想拿下冠軍，他推出的水平距離要超過12米，直接寫出此時的取值范圍．
【答案】(1)，它表示的實(shí)際意義是鉛球初始拋出時的高度
(2)
(3)推出鉛球行進(jìn)的最大高度為
(4)
【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，正確求得函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵．
（1）令求得，根據(jù)題意可得實(shí)際意義；
（2）先求得第一次推出的拋物線的函數(shù)解析式，令求得x值，即可求解；
（3）先求得第二次推出的拋物線的函數(shù)解析式為，由題意該拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，進(jìn)而求得b值，然后化為頂點(diǎn)式即可求解；
（4）根據(jù)題意，第三次推出的拋物線函數(shù)解析式中，求出當(dāng)，時的b值，結(jié)合第二次推出的拋物線函數(shù)解析式中的b值可求解．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，
∴，它表示的實(shí)際意義是鉛球初始拋出時的高度，
故答案為：，它表示的實(shí)際意義是鉛球初始拋出時的高度；
（2）解：∵第一次推鉛球?qū)?yīng)的拋物線中，，
∴，
∵鉛球運(yùn)行到水平距離為時，鉛球行進(jìn)的高度為，
∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
∴，解得，
∴，
令，由得，（不符題意，舍去），
∴；
（3）解：∵，
∴第二次推出的拋物線的函數(shù)解析式為，
又第二次推出的水平距離剛好與第一次相同，
∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
∴，解得，
∴，
∵，
∴當(dāng)時，y有最大值，最大值為1.8，
∴第二次推出鉛球行進(jìn)的最大高度為；
（4）解：∵第三次推出的鉛球運(yùn)行路徑的形狀與第二次相同，
∴，
當(dāng)他推出的水平距離為12米時，由得，
∵他推出的水平距離要超過12米，又當(dāng)時，第二次推出的水平距離為，
∴．
【變式訓(xùn)練5-5】如圖，一位運(yùn)動員在距籃下4米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，籃球運(yùn)行的水平距離為2.5米時達(dá)到最大高度，在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，拋物線的表達(dá)式為，沿此 拋物線籃球可準(zhǔn)確落入籃圈．
(1)求籃圈中心到地面的距離為多少米．
(2)該運(yùn)動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？
(3)籃球被投出后，對方一名近身防守運(yùn)動員跳起蓋帽，這名防守運(yùn)動員最大能摸高3.05m，若他想蓋帽成功，則兩名運(yùn)動員之間的距離不能超過多少米？（直接寫出答案）
【答案】(1)3.05米；
(2)0.2米；
(3)1米；
【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征．
（1）求出籃圈中心的橫坐標(biāo)為，在中，令可得籃圈中心到地面的距離為3.05米；（2）設(shè)球出手時，他跳離地面的高度是米，知出手點(diǎn)坐標(biāo)為，故，解出的值可得答案；
（3）在中，令得（舍去）或，即知兩名運(yùn)動員之間的距離不能超過1米．
【詳解】（1）解：根據(jù)已知可得，籃圈中心的橫坐標(biāo)為，
在中，令得，
籃圈中心的縱坐標(biāo)為3.05，
籃圈中心到地面的距離為3.05米；
（2）解：設(shè)球出手時，他跳離地面的高度是米，則出手點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
解得，
球出手時，他跳離地面的高度是0.2米；
（3）解：在中，令得：，
解得（舍去）或，
，
兩名運(yùn)動員之間的距離不能超過1米．
題型六：實(shí)際問題與二次函數(shù)之噴水形問題
【經(jīng)典例題6】如圖，某跳水運(yùn)動員進(jìn)行米跳臺跳水，水面邊緣點(diǎn)，運(yùn)動員（可視為一點(diǎn)）在空中運(yùn)動的路線為經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線，運(yùn)動員在空中最高處點(diǎn)．
(1)求運(yùn)動員在空中運(yùn)動時所對應(yīng)拋物線的解析式；
(2)求入水點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(3)若運(yùn)動員在距水面高度米前完成規(guī)定的動作，并調(diào)整好入水姿勢為動作成功，否則為失誤．若運(yùn)動員在空中調(diào)整好入水姿勢后，恰好距點(diǎn)的水平距離為米，該運(yùn)動員此次跳水是否失誤？請通過計算說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)運(yùn)動員此次跳水失誤
【分析】本題主要考查二次函數(shù)應(yīng)用，讀懂題意、熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）令，解方程求出x值，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）依據(jù)題意，當(dāng)距點(diǎn)水平距離為時，對應(yīng)的橫坐標(biāo)為，將代入解析式求出后即可判斷得解．
【詳解】（1）由題意, ∵拋物線的頂點(diǎn),
∴可設(shè)拋物線的解析式為,
把代入解析式得,
,
∴拋物線的解析式為；
（2）令，則，
解得：，（舍），
∴入水點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）解：由題意，當(dāng)距點(diǎn)水平距離為時，對應(yīng)的橫坐標(biāo)為，
將代入解析式，
，
，
∴該運(yùn)動員此次跳水失誤了．
【變式訓(xùn)練6-1】如圖，要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端點(diǎn)安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達(dá)到最高，高度為，水柱落地處離池中心距離為，求水管的長度是多少．
【答案】
【分析】設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)代入解析式，求拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的絕對值就是的長度．
本題考查了拋物線的應(yīng)用之噴泉問題，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)代入解析式，
得，
解得，
故拋物線解析式為
當(dāng)時，.
∴水管的長度為．
【變式訓(xùn)練6-2】上饒市經(jīng)開區(qū)市民廣場音樂噴泉燈光秀（圖1）在暑期晚間開放，噴泉加上燈光的陪襯，變幻莫測，吸引了眾多游客前來觀賞，音樂噴泉可以使噴水造型隨音樂的節(jié)奏起伏變化而變化，若把音樂噴泉形狀看做拋物線，設(shè)其出水口為原點(diǎn)，出水口離岸邊，音樂變化時，拋物線的頂點(diǎn)在直線上變動，從而產(chǎn)生一組不同的拋物線（圖2），這組拋物線的統(tǒng)一形式為．
(1)若，且噴出的拋物線水線最大高度達(dá)，求此時、的值；
(2)若=1，噴出的水恰好達(dá)到岸邊，則此時噴出的拋物線水線最大高度是多少米？
(3)若，且要求噴出的拋物線水線不能到岸邊，求的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)9米
(3)
【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，根據(jù)題目給出的信息列出相應(yīng)的關(guān)系式，找出所求問題需要的條件．
（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在直線上，拋物線為，且噴出的拋物線水線最大高度達(dá)，可以求得a，b的值；
（2）根據(jù)，噴出的水恰好達(dá)到岸邊，拋物線的頂點(diǎn)在直線上，可以求得拋物線的對稱軸x的值，從而可以得到此時噴出的拋物線水線最大高度；
（3）拋物線的頂點(diǎn)在直線上可得b的值，根據(jù)噴出的拋物線水線不能到岸邊，而出水口離岸邊可知其對稱軸，可得a的范圍．
【詳解】（1）解：的頂點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)在直線上，，拋物線水線最大高度達(dá)，
∴，，
解得，，，
即，且噴出的拋物線水線最大高度達(dá)，此時a、b的值分別是，2；
（2）解：，噴出的水恰好達(dá)到岸邊，出水口離岸邊，拋物線的頂點(diǎn)在直線上，
∴此時拋物線的對稱軸為直線，
當(dāng)時，，
即此時噴出的拋物線水線最大高度是9米；
（3）解：的頂點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)在直線上，
∴，
解得：，
∵噴出的拋物線水線不能到岸邊，出水口離岸邊，
，即：，
解得：．
【變式訓(xùn)練6-3】周末小琴在文化廣場觀看噴水景觀，他對噴出呈拋物線形狀的水柱展開探究：測得噴水頭距地面，水柱在距噴水頭水平距離處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中是水柱距噴水頭的水平距離，是水柱距地面的高度．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)若噴水頭噴出的水柱下方有一安全的長廊，小琴的同學(xué)小江站在水柱正下方，且距噴水頭的水平距離為，身高的小琴在水柱下方走動，當(dāng)他的頭頂恰好接觸到水柱時，求他與同學(xué)小江的水平距離．
【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為
(2)當(dāng)他的頭頂恰好接觸到水柱時，與小江的水平距離是或
【分析】此題考查求拋物線的解析式，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題構(gòu)造數(shù)學(xué)模型．
（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出頂點(diǎn)式，再將代入，即可求出拋物線的解析式；
（2）對應(yīng)的的值即為小琴距噴水頭的水平距離，結(jié)合（1）中結(jié)論列一元二次方程，解方程求出對應(yīng)的的值即可．
【詳解】（1）解：由題意知，拋物線頂點(diǎn)為，
設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入得：
，
解得，
，
答：拋物線的表達(dá)式為；
（2）解：當(dāng)時，，
解得或，
他與小江的水平距離為或，
答：當(dāng)他的頭頂恰好接觸到水柱時，與小江的水平距離是或．
【變式訓(xùn)練6-4】如圖，要建一個圓形噴水池，在池中心豎直放置一根水管，在水管的頂端安裝一個噴水頭，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，噴出的水柱到地面的豎直高度與水柱到池中心的水平距離滿足關(guān)系式．
(1)求水管的長度；
(2)若在噴水池中拋物線對稱軸右側(cè)的處豎直放置一盞高為的景觀射燈，且景觀射燈的頂端恰好碰到水柱，求景觀射燈與之間的水平距離．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當(dāng)時，求函數(shù)值即可；
（2）當(dāng)時，解方程求自變量的值即可．
本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系、熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，.
∴水管的長度為．
（2）解：當(dāng)時，
，
，
，
解得： ，（不合題意，舍去）.
∴景觀射燈與之間的水平距離為.
【變式訓(xùn)練6-5】如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度為．可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象，其水平寬度，豎直高度．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線最高點(diǎn)離噴水口的水平距離為，高出噴水口，灌溉車到綠化帶的距離為d（單位：m）．
(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；
(2)求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出d的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本題是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識，讀懂題意，建立二次函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．
（1）由頂點(diǎn)得，設(shè)，再根據(jù)拋物線過點(diǎn)，可得a的值，從而解決問題；
（2）由對稱軸知點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用增減性可得d的最大值為最小值，從而得出答案．
【詳解】（1）解：由題意得，
設(shè)，
又∵拋物線過點(diǎn)，
∴，
∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為，
當(dāng)時，，
解得，（舍去），
∴噴出水的最大射程為；
（2）解：∵對稱軸為直線，
∴點(diǎn)的對稱點(diǎn)為
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，
∴，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；
（3）解：，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0.5，
∴
解得：
∵
∴
當(dāng)時，隨的增大而減小，
當(dāng)時，要使，
則
當(dāng)時，隨的增大而增大，且時，，
∴當(dāng)時，要使，則，
，灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，
的最大值為，
再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是，
的最小值為2，
綜上所述，的取值范圍是．
題型七：實(shí)際問題與二次函數(shù)之增長率問題
【經(jīng)典例題7】向陽村養(yǎng)雞專業(yè)戶李明2020年的純收入是6萬元，預(yù)計2022年的純收入是7.26萬元．
(1)求李明這兩年純收入的年平均增長率；
(2)隨著養(yǎng)雞規(guī)模不斷擴(kuò)大，李明需要再建一個養(yǎng)雞場，他計劃用一段長為100米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形養(yǎng)雞場（如圖），墻長50米，養(yǎng)雞場面積為1200米2，求養(yǎng)雞場與墻平行的一邊的長度．
【答案】(1)；
(2)40米．
【分析】（1）設(shè)李明這兩年純收入的年平均增長率為x，根據(jù)題意列出方程，即可求解；
（2）設(shè)養(yǎng)雞場與墻平行的一邊的長度為a米，則可求出與墻垂直的寬為米，再根據(jù)長方形的面積公式列出方程即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)李明這兩年純收入的年平均增長率為x，根據(jù)題意可得，
解得，，（不合題意，舍去）
答：李明這兩年純收入的年平均增長率為；
（2）解：設(shè)養(yǎng)雞場與墻平行的一邊的長度為a米，根據(jù)題意可得
，
解得，，（不合題意，舍去）
答：養(yǎng)雞場與墻平行的一邊的長度為40米．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要理解題意，能正確列出方程．
【變式訓(xùn)練7-1】芯片行業(yè)是制約我國工業(yè)發(fā)展的主要技術(shù)之一．經(jīng)過大量科研、技術(shù)人員艱苦攻關(guān)，我國芯片有了新突破．某芯片實(shí)現(xiàn)國產(chǎn)化后，芯片價格大幅下降．原來每片芯片的單價為元，準(zhǔn)備進(jìn)行兩次降價，如果每次降價的百分率都為，經(jīng)過兩次降價后的價格為（元）．
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)如果該芯片經(jīng)過兩次降價后每片芯片單價為元，求每次降價的百分率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用經(jīng)過兩次降價后的價格原價每次降價的百分率，即可找出與之間了函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)該芯片經(jīng)過兩次降價后每塊芯片單價為元，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）∵每次降價的百分率都為，經(jīng)過兩次降價后的價格為（元）
∴依題意得：，
∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）依題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
∴每次降價的百分率為20%．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
【變式訓(xùn)練7-2】某商店進(jìn)購一商品，第一天每件盈利（毛利潤）10元，銷售500件．
(1)第二、三天該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價不變的基礎(chǔ)上，第二、三天的銷售量達(dá)到605件，求第二、三天的日平均增長率；
(2)經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每件漲價1元，日銷量將減少20件．
①現(xiàn)要保證每天總毛利潤6000元，同時又要使顧客得到實(shí)惠，則每件應(yīng)張價多少元？
②現(xiàn)需按毛利潤的交納各種稅費(fèi)，人工費(fèi)每日按銷售量每件支出0.9元，水電房租費(fèi)每日102元，若剩下的每天總純利潤要達(dá)到5100元，則每件漲價應(yīng)為多少？
【答案】(1)
(2)①每件應(yīng)張價5元；②每件漲價應(yīng)為8元
【分析】（1）設(shè)第二、三天的日平均增長率為x，利用第三天的銷售量=第一天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）①設(shè)每件應(yīng)張價y元，則每件盈利（毛利潤）為元，銷售數(shù)量為件，根據(jù)每件盈利（毛利潤）×銷售數(shù)量＝每天總毛利潤列方程求解即可；
②設(shè)每件漲價應(yīng)為z元，則每天總毛利潤為元，每天總純利潤為元，根據(jù)每天總純利潤要達(dá)到5100元，列方程求解即可．
【詳解】（1）解： 設(shè)第二、三天的日平均增長率為x，根據(jù)題意，得
，
解得： ， (不符合題意，舍去)，
∴，
答： 第二、三天的日平均增長率為10%．
（2）解：①設(shè)每件應(yīng)張價y元，根據(jù)題意，得
，
解得：，，
∵要使顧客得到實(shí)惠，
∴，
答：每件應(yīng)張價5元；
②設(shè)每件漲價應(yīng)為z元，根據(jù)題意，得
，
解得：，
∴，
答：每件漲價應(yīng)為8元．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，設(shè)恰當(dāng)未知數(shù)，找出等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練7-3】2022年第一季度我省總值約為10000億元，第三季度的總值約為11025億元．
(1)假定第二季度、第三季度我省總值的增長率相同，求這個增長率；
(2)若保持這樣的增長率不變，估計到2023年第一季度，我省的總值能否突破12000億元？并說明理由．
【答案】(1)5%
(2)能突破，理由見解析
【分析】（1）設(shè)這個增長率為x，利用第三季度的GDP總值=第一季度的總值第二季度、第三季度我省GDP總值的增長率，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；
（2）利用預(yù)計2023年第一季度我省的總值=2022年第三季度我省的總值每季度我省總值的增長率，可求出預(yù)計2023年第一季度我省的總值，再將其與12000億元比較后即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）設(shè)第二季度、第三季度我省總值的增長率為，根據(jù)題意得
，
解得，（不合題意，舍去），
答：第二季度、第三季度我省總值的增長率為5%；
（2）到2023年第一季度，我省的總值能突破12000億元，
理由：2023年第一季度我省總值為（億元）（億元），
∴到2023年第一季度，我省的總值能突破12000億元．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練7-4】某工廠一種產(chǎn)品2013年的產(chǎn)量是100萬件，計劃2015年產(chǎn)量達(dá)到121萬件．假設(shè)2013年到2015年這種產(chǎn)品產(chǎn)量的年增長率相同．
(1)求2013年到2015年這種產(chǎn)品產(chǎn)量的年增長率；
(2)2014年這種產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)達(dá)到多少萬件？
【答案】(1)這種產(chǎn)品產(chǎn)量的年增長率為
(2)2014年這種產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)達(dá)到110萬件
【分析】（1）通過增長率公式列出一元二次方程即可求出增長率；
（2）依據(jù)求得的增長率，代入2014年產(chǎn)量的表達(dá)式即可解決．
【詳解】（1）解：設(shè)這種產(chǎn)品產(chǎn)量的年增長率為x，
根據(jù)題意列方程得，
解得，（舍去）．
答：這種產(chǎn)品產(chǎn)量的年增長率為．
（2）解：（萬件）．
答：2014年這種產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)達(dá)到110萬件．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程是實(shí)際應(yīng)用——增長率問題，解題的關(guān)鍵是掌握：增長率問題中可以設(shè)基數(shù)為a，平均增長率為x，增長的次數(shù)為n，則增長后的結(jié)果為；而增長率為負(fù)數(shù)時，則降低后的結(jié)果為．
【變式訓(xùn)練7-5】某商城在2024年元旦節(jié)期間舉行促銷活動，一種熱銷商品進(jìn)貨價為每個14元，標(biāo)價為每個20元．
(1)商城舉行了“感恩老客戶”活動，對于老客戶，商城連續(xù)兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以每個16.2元的價格售出，求商城每次降價的百分率；
(2)市場調(diào)研表明：當(dāng)每個售價20元時，平均每天能夠售出40個，當(dāng)每個售價每降1元時，平均每天就能多售出10個，在保證每個商品的售價不低于進(jìn)價的前提下，商城要想獲得最大利潤，每個商品的定價應(yīng)為多少元？最大利潤是多少？
【答案】(1)
(2)19元；250元
【分析】（1）設(shè)商城每次降價的百分率為x，根據(jù)題意，得，解方程即可．
（2）設(shè)降價x元，則每個盈利元，每天可售出個，每天的總利潤為w元，利用每天銷售獲得的總利潤＝每件的銷售利潤×每天的銷售量，構(gòu)造二次函數(shù)，根據(jù)拋物線的最值，結(jié)合每個商品的售價不低于進(jìn)價，解之即可得出x的值即可求得．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用-平均增長率問題，二次函數(shù)的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確構(gòu)造二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）設(shè)商城每次降價的百分率為x，
根據(jù)題意，得，
解得（舍去），
答：商城每次降價的百分率為為．
（2）設(shè)降價x元，則每個盈利元，每天可售出個，每天的總利潤為w元，
根據(jù)題意，得
，
∴當(dāng)時，利潤最大，250(元),
答：定價為19元，最大利潤為250元．
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26.3實(shí)踐與探索七大題型（一課一講）
【華師大版】
題型一：實(shí)際問題與二次函數(shù)之圖形問題
【經(jīng)典例題1】如圖，老李想用長為的柵欄，再借助房屋的外墻（墻最長可利用）圍成一個矩形羊圈．并在邊上留一個寬的門（建在處，另用其他材料）．
(1)當(dāng)羊圈的面積為時，求的長；
(2)能否圍成的羊圈，為什么？（計算說明）
【變式訓(xùn)練1-1】已知：如圖，是400米跑道示意圖，中間的足球場是矩形，兩邊是全等的半圓，如果問直道的長是多少？那你大概率是知道的．可你也許不知道，這不僅是為了田徑比賽的需要，還有另一個原因，等你做完本題就明白了．設(shè)直道的長為米，足球場的面積為S平方米．
(1)求出S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（結(jié)果保留），并寫出定義域：
(2)當(dāng)直道為________米時，足球場的面積最大．
【變式訓(xùn)練1-2】如圖，某校勞動實(shí)踐基地用總長為的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩形實(shí)驗(yàn)田，墻長為．柵欄在安裝過程中不重疊、無損耗，設(shè)矩形實(shí)驗(yàn)田與墻垂直的一邊長為(單位：)，與墻平行的一邊長為(單位：)，面積為(單位：)．
(1)直接寫出與，與之間的函數(shù)解析式(不要求寫的取值范圍)；
(2)矩形實(shí)驗(yàn)田的面積能達(dá)到嗎？如果能，求的值；如果不能，請說明理由．
【變式訓(xùn)練1-3】明明的爸爸要利用家里的一面墻和鐵絲網(wǎng)圍成一個矩形菜園，圍墻足夠長，其余的部分用鐵絲網(wǎng)圍成，在墻所對的邊留一道米寬的門，已知鐵絲網(wǎng)總長是米．如圖所示，設(shè)的長為米，矩形面積為平方米．
(1)用含的代數(shù)式表示．
(2)當(dāng)菜園的面積是平方米時，求出的值．
【變式訓(xùn)練1-4】植物園有一塊足夠大的空地，其中有一堵長為的墻，現(xiàn)準(zhǔn)備用的籬笆圍成矩形花圃，小俊設(shè)計了甲、乙兩種方案(如圖所示)：方案甲中的長不超過墻長；方案乙中的長大于墻長．
(1)按圖甲的方案，設(shè)的長為，矩形的面積為．
①求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
②求矩形的面積的最大值．
(2)甲、乙哪種方案能使圍成的矩形花圃的面積最大？最大是多少？請說明理由．
【變式訓(xùn)練1-5】如圖，為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定在一塊一邊靠墻（墻長）的空地上修建一個矩形小花園，小花園一邊靠墻，另三邊用總長的柵欄圍住，如圖所示．若設(shè)矩形小花園邊的長為，面積為．
(1)與之間是 函數(shù)關(guān)系（填“一次”或“二次”）；
(2)求出與之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量取值范圍）；
(3)當(dāng)為何值時，小花園的面積最大？最大面積是多少？
題型二：實(shí)際問題與二次函數(shù)之圖形運(yùn)動問題
【經(jīng)典例題2】如圖，等邊 ABC的邊長為3，是邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過作邊的垂線，交于，設(shè)線段的長度為，的面積為．
(1)直接寫出與的函數(shù)表達(dá)式及的取值范圍；
(2)當(dāng)時，求的值．
【變式訓(xùn)練2-1】如圖，中，，，．動點(diǎn)，分別從，兩點(diǎn)同時出發(fā)，點(diǎn)沿邊向以每秒個單位長度的速度運(yùn)動，點(diǎn)沿邊向以每秒個單位長度的速度運(yùn)動，當(dāng)，到達(dá)終點(diǎn)，時，運(yùn)動停止．設(shè)運(yùn)動時間為（單位：秒）．
(1)①當(dāng)運(yùn)動停止時，的值為______.
②設(shè)，之間的距離為，則與滿足______（選填“正比例函數(shù)關(guān)系”，“一次函數(shù)關(guān)系”，“二次函數(shù)關(guān)系”）
(2)設(shè)的面積為，
①求的表達(dá)式（用含有的代數(shù)式表示），并寫出的取值范圍；
②是否可以為？若可以，請求出此時的值，若不能，請通過計算說明理由．
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在 ABC中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動.
(1)經(jīng)過幾秒鐘后，的面積等于？
(2)在運(yùn)動過程中，的面積是否有最值，如果有，最值是多少？
【變式訓(xùn)練2-3】如圖，矩形中，，，點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以厘米/秒的速度移動，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以厘米/秒的速度移動，如果、分別是從同時出發(fā)，求經(jīng)過幾秒時，
(1)的面積等于平方厘米？
(2)五邊形的面積最小？最小值是多少？
【變式訓(xùn)練2-4】如圖，在 ABC中，∠B=90°，，，動點(diǎn)從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動，動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動，如果、兩點(diǎn)分別從A，兩點(diǎn)同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為，

(1)___________，___________，___________；
(2)為何值時的面積為？
(3)為何值時的面積最大？最大面積是多少？
【變式訓(xùn)練2-5】如圖在長方形中，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度勻速向終點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)出發(fā)后動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線——以的速度向終點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為（）．
(1)求的長度．（用含的代數(shù)式表示）
(2)連接、，當(dāng)為直角三角形時，求的值．
(3)設(shè)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形的面積為，用含的代數(shù)式表示．
(4)當(dāng)在（3）條件下的四邊形為梯形時，且梯形面積等于，求的值．
題型三：實(shí)際問題與二次函數(shù)之拱橋問題
【經(jīng)典例題3】一座拱橋的輪廓呈拋物線型，如圖，拱高，在高度為的兩支柱和之間，還安裝了三根立柱，相鄰兩立柱間的距離均為．
(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求拱橋拋物線的表達(dá)式；
(2)求立柱的長；
(3)拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬的隔離帶），其中的一條行車道能否并排行駛寬、高的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計）？請說說你的理由．
【變式訓(xùn)練3-1】根據(jù)背景素材，探索解決問題．
測算拉索橋立柱的高
素材1 一條橋身形狀和拋物線相同的拉索橋，橋的跨徑的水平距離為22米，點(diǎn)和點(diǎn)處于同一水平線．
素材2 （1）橋的兩根主立柱和拉出鐵索固定橋身，兩個立柱中間共有10根拉索（如圖）；（2）立柱和鐵索與橋身的邊境點(diǎn)水平等距分布（即相鄰的兩個連接點(diǎn)的水平距離相等）；
問題解決
任務(wù)1 建立模型 以點(diǎn)為原點(diǎn)，水平線為軸，以1米為一個單位長度，建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)素材1求橋身模型的函數(shù)解析式．
任務(wù)2 利用模型 根據(jù)任務(wù)1所求的解析式模型，分別求點(diǎn)、的坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練3-2】北中環(huán)橋是省城太原的一座跨汾河大橋（如圖），它由五個高度不同，跨徑也不同的拋物線型鋼拱通過吊橋，拉鎖與主梁相連而建成．圖所示是其中一座較小的拋物線形鋼拱，已知該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．

(1)求該鋼拱的跨度的長度；
(2)為了保護(hù)鋼拱的安全，在該鋼拱平行于橋面處的，兩點(diǎn)裝有兩盞警示燈，現(xiàn)已知這兩盞警示燈的水平距離為米，求這兩盞燈距橋面的高度是多少米？
【變式訓(xùn)練3-3】某河上有一座拋物線形拱橋，A、B為拋物線與水面的交點(diǎn)，現(xiàn)水面離拱頂，水面寬．
(1)以拱頂O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求此拋物線的函數(shù)解析式；
(2)受臺風(fēng)降雨影響，預(yù)計水面上升至離拱頂處，問：水面寬度縮小了多少？
(3)一艘寬、高的木船，載貨后露出水面的部分為，當(dāng)水面上升至離拱頂時，木船能否通過這座拱橋？
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，是一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞的上沿是拋物線形狀，當(dāng)水面的寬度為時，橋洞與水面的最大距離是．
(1)若以拱頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系（如右圖），則點(diǎn)坐標(biāo)是______，點(diǎn)坐標(biāo)是______；
(2)根據(jù)（1）所建立的平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線的解析式；
(3)因?yàn)樯嫌嗡畮煨购椋鎸挾茸優(yōu)椋笏嫔蠞q的高度．
【變式訓(xùn)練3-5】如圖所示，一拱橋的截面呈拋物線形狀，拋物線兩端點(diǎn)與水面的距離都是，拱橋的跨度為，拱橋與水面的最大距離是，橋洞兩側(cè)壁上各有一盞距離水面景觀燈．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求兩盞景觀燈之間的水平距離．
題型四：實(shí)際問題與二次函數(shù)之銷售問題
【經(jīng)典例題4】某網(wǎng)店為滿足航天愛好者的需求，推出“空間站”模型，已知該模型平均每天可售出20個，每個可以盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，該網(wǎng)站準(zhǔn)備適當(dāng)降價，經(jīng)過一段時間測算，每個模型每降低1元，平均每天可以多售出2個，假設(shè)每個模型降價元．
(1)在每個模型盈利不少于25元前提下，要使模型每天獲利1200元，每個模型應(yīng)降價多少元？
(2)該模型平均每天的銷售利潤能達(dá)到1280元嗎？請用所學(xué)的知識分析，并寫出你的理由．
【變式訓(xùn)練4-1】某水果商店銷售一種進(jìn)價為40元/千克的優(yōu)質(zhì)水果，若售價為50元/千克，則一個月可售出500千克；若售價在50元/千克的基礎(chǔ)上每漲價1元，則月銷售量就減少10千克．
(1)當(dāng)售價為55元/千克時，每月銷售水果______千克．
(2)當(dāng)每千克水果漲價x元時，每千克的利潤為______元，銷量為______千克．
(3)當(dāng)每千克水果售價為多少元時，獲得的月利潤最大？
【變式訓(xùn)練4-2】某種植基地種植一種蔬菜，它的成本為每千克12元，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該蔬菜的日銷售量y（千克）與銷售單價x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，其銷售單價、日銷售量的三組對應(yīng)數(shù)值如下表：
銷售單價x（元） 14 15 16
日銷售量y（千克） 2000 1800 1600
(1)直接寫出y與x的關(guān)系式____________；
(2)求種植基地銷售該蔬菜獲得的最大日利潤；
(3)銷售一段時間以后，由于某種原因，該蔬菜每千克成本增加了2元，在日銷售量y（千克）與銷售單價x（元）保持（1）中函數(shù)關(guān)系不變的情況下，該蔬菜的日銷售利潤能否達(dá)到6000元？
【變式訓(xùn)練4-3】商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．
(1)若某天該商品每件降價3元，當(dāng)天可獲利多少元？
(2)設(shè)每件商品降價元，請寫出盈利與的函數(shù)關(guān)系式（將函數(shù)關(guān)系式化簡，不必寫出自變量的取值范圍）；
(3)在上述銷售正常情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達(dá)到2000元？
【變式訓(xùn)練4-4】元購進(jìn)甲種水果和用800元購進(jìn)乙種水果的質(zhì)量一樣多，包裝一個果籃需要甲種水果4千克、乙種水果2千克，每個果籃還需包裝費(fèi)8元．設(shè)每個果籃的售價是元（是整數(shù)），該種果籃每月的銷量（個）與售價（元）之間的關(guān)系式為．
(1)求一個果籃的成本（成本=進(jìn)價十包裝費(fèi)）．
(2)若該水果店銷售果籃每月的利潤是元，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式（不需要寫出自變量的取值范圍），并求出最大利潤．
(3)若該水果店每銷售一個果籃捐元（是整數(shù)）給希望工程，且當(dāng)時，捐款后每月的利潤隨的增大而增大，求的最小值．
【變式訓(xùn)練4-5】某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件，已知商品的進(jìn)價為每件40元．
(1)設(shè)每件漲價x元，每周賣出y件，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．
(2)若每周可獲利w元，如何定價才能使每星期售出商品的利潤最大？最大利潤是多少？
題型五：實(shí)際問題與二次函數(shù)之投球問題
【經(jīng)典例題5】鷹眼技術(shù)助力廈門世界杯亞洲區(qū)預(yù)選賽，提升球迷觀賽體驗(yàn)．如圖分別為足球比賽中某一時刻的鷹眼系統(tǒng)預(yù)測畫面（如圖1）和截面示意圖（如圖2），攻球員位于點(diǎn)，守門員位于點(diǎn)，的延長線與球門線交于點(diǎn)，且點(diǎn)，均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線．水平距離與離地高度的鷹眼數(shù)據(jù)如表：
5 10 15 20 25
3 4.5 5 4.5 3
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)守門員位于足球正下方，足球離地高度不大于守門員的最大防守高度2.6m時，視為防守成功．若一次防守中，守門員位于足球正下方時，，請問這次守門員能否防守成功？試通過計算說明．
【變式訓(xùn)練5-1】一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方的處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為時，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時球離地面．已知球門高為，現(xiàn)以為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）．
(2)對本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)正上方處？
【變式訓(xùn)練5-2】籃球運(yùn)動員投籃后，球運(yùn)動的路線為拋物線的一部分（如圖），拋物線的對稱軸為直線求：
(1)球運(yùn)動路線的函數(shù)表達(dá)式和自變量的取值范圍；
(2)球在運(yùn)動中離地面的最大高度．
【變式訓(xùn)練5-3】足球訓(xùn)練中球員從球門正前方8米的處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為6米時，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時球離地面3米．現(xiàn)以為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若球門米，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，當(dāng)時球員帶球向正后方移動米再射門，足球恰好進(jìn)球（不含點(diǎn)和），求的取值范圍．
【變式訓(xùn)練5-4】教練對嘉淇推鉛球的錄像進(jìn)行技術(shù)分析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進(jìn)高度（單位：m）與水平距離（單位：m）之間的關(guān)系是．嘉淇第一次推鉛球?qū)?yīng)的拋物線如圖所示，其中，當(dāng)鉛球運(yùn)行到水平距離為時，鉛球行進(jìn)的高度為．
(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為______；它表示的實(shí)際意義是______；
(2)求鉛球推出的距離的長；
(3)嘉淇第二次推出的水平距離剛好與第一次相同，且，求推出鉛球行進(jìn)的最大高度；
(4)嘉淇第三次推出的鉛球運(yùn)行路徑的形狀與第二次相同，若嘉淇想拿下冠軍，他推出的水平距離要超過12米，直接寫出此時的取值范圍．
【變式訓(xùn)練5-5】如圖，一位運(yùn)動員在距籃下4米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，籃球運(yùn)行的水平距離為2.5米時達(dá)到最大高度，在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，拋物線的表達(dá)式為，沿此 拋物線籃球可準(zhǔn)確落入籃圈．
(1)求籃圈中心到地面的距離為多少米．
(2)該運(yùn)動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？
(3)籃球被投出后，對方一名近身防守運(yùn)動員跳起蓋帽，這名防守運(yùn)動員最大能摸高3.05m，若他想蓋帽成功，則兩名運(yùn)動員之間的距離不能超過多少米？（直接寫出答案）
題型六：實(shí)際問題與二次函數(shù)之噴水形問題
【經(jīng)典例題6】如圖，某跳水運(yùn)動員進(jìn)行米跳臺跳水，水面邊緣點(diǎn)，運(yùn)動員（可視為一點(diǎn)）在空中運(yùn)動的路線為經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線，運(yùn)動員在空中最高處點(diǎn)．
(1)求運(yùn)動員在空中運(yùn)動時所對應(yīng)拋物線的解析式；
(2)求入水點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(3)若運(yùn)動員在距水面高度米前完成規(guī)定的動作，并調(diào)整好入水姿勢為動作成功，否則為失誤．若運(yùn)動員在空中調(diào)整好入水姿勢后，恰好距點(diǎn)的水平距離為米，該運(yùn)動員此次跳水是否失誤？請通過計算說明理由．
【變式訓(xùn)練6-1】如圖，要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端點(diǎn)安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達(dá)到最高，高度為，水柱落地處離池中心距離為，求水管的長度是多少．
【變式訓(xùn)練6-2】上饒市經(jīng)開區(qū)市民廣場音樂噴泉燈光秀（圖1）在暑期晚間開放，噴泉加上燈光的陪襯，變幻莫測，吸引了眾多游客前來觀賞，音樂噴泉可以使噴水造型隨音樂的節(jié)奏起伏變化而變化，若把音樂噴泉形狀看做拋物線，設(shè)其出水口為原點(diǎn)，出水口離岸邊，音樂變化時，拋物線的頂點(diǎn)在直線上變動，從而產(chǎn)生一組不同的拋物線（圖2），這組拋物線的統(tǒng)一形式為．
(1)若，且噴出的拋物線水線最大高度達(dá)，求此時、的值；
(2)若=1，噴出的水恰好達(dá)到岸邊，則此時噴出的拋物線水線最大高度是多少米？
(3)若，且要求噴出的拋物線水線不能到岸邊，求的取值范圍．
【變式訓(xùn)練6-3】周末小琴在文化廣場觀看噴水景觀，他對噴出呈拋物線形狀的水柱展開探究：測得噴水頭距地面，水柱在距噴水頭水平距離處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中是水柱距噴水頭的水平距離，是水柱距地面的高度．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)若噴水頭噴出的水柱下方有一安全的長廊，小琴的同學(xué)小江站在水柱正下方，且距噴水頭的水平距離為，身高的小琴在水柱下方走動，當(dāng)他的頭頂恰好接觸到水柱時，求他與同學(xué)小江的水平距離．
【變式訓(xùn)練6-4】如圖，要建一個圓形噴水池，在池中心豎直放置一根水管，在水管的頂端安裝一個噴水頭，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，噴出的水柱到地面的豎直高度與水柱到池中心的水平距離滿足關(guān)系式．
(1)求水管的長度；
(2)若在噴水池中拋物線對稱軸右側(cè)的處豎直放置一盞高為的景觀射燈，且景觀射燈的頂端恰好碰到水柱，求景觀射燈與之間的水平距離．
【變式訓(xùn)練6-5】如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度為．可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象，其水平寬度，豎直高度．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線最高點(diǎn)離噴水口的水平距離為，高出噴水口，灌溉車到綠化帶的距離為d（單位：m）．
(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；
(2)求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出d的取值范圍．
題型七：實(shí)際問題與二次函數(shù)之增長率問題
【經(jīng)典例題7】向陽村養(yǎng)雞專業(yè)戶李明2020年的純收入是6萬元，預(yù)計2022年的純收入是7.26萬元．
(1)求李明這兩年純收入的年平均增長率；
(2)隨著養(yǎng)雞規(guī)模不斷擴(kuò)大，李明需要再建一個養(yǎng)雞場，他計劃用一段長為100米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形養(yǎng)雞場（如圖），墻長50米，養(yǎng)雞場面積為1200米2，求養(yǎng)雞場與墻平行的一邊的長度．
【變式訓(xùn)練7-1】芯片行業(yè)是制約我國工業(yè)發(fā)展的主要技術(shù)之一．經(jīng)過大量科研、技術(shù)人員艱苦攻關(guān)，我國芯片有了新突破．某芯片實(shí)現(xiàn)國產(chǎn)化后，芯片價格大幅下降．原來每片芯片的單價為元，準(zhǔn)備進(jìn)行兩次降價，如果每次降價的百分率都為，經(jīng)過兩次降價后的價格為（元）．
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)如果該芯片經(jīng)過兩次降價后每片芯片單價為元，求每次降價的百分率．
【變式訓(xùn)練7-2】某商店進(jìn)購一商品，第一天每件盈利（毛利潤）10元，銷售500件．
(1)第二、三天該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價不變的基礎(chǔ)上，第二、三天的銷售量達(dá)到605件，求第二、三天的日平均增長率；
(2)經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每件漲價1元，日銷量將減少20件．
①現(xiàn)要保證每天總毛利潤6000元，同時又要使顧客得到實(shí)惠，則每件應(yīng)張價多少元？
②現(xiàn)需按毛利潤的交納各種稅費(fèi)，人工費(fèi)每日按銷售量每件支出0.9元，水電房租費(fèi)每日102元，若剩下的每天總純利潤要達(dá)到5100元，則每件漲價應(yīng)為多少？
【變式訓(xùn)練7-3】2022年第一季度我省總值約為10000億元，第三季度的總值約為11025億元．
(1)假定第二季度、第三季度我省總值的增長率相同，求這個增長率；
(2)若保持這樣的增長率不變，估計到2023年第一季度，我省的總值能否突破12000億元？并說明理由．
【變式訓(xùn)練7-4】某工廠一種產(chǎn)品2013年的產(chǎn)量是100萬件，計劃2015年產(chǎn)量達(dá)到121萬件．假設(shè)2013年到2015年這種產(chǎn)品產(chǎn)量的年增長率相同．
(1)求2013年到2015年這種產(chǎn)品產(chǎn)量的年增長率；
(2)2014年這種產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)達(dá)到多少萬件？
【變式訓(xùn)練7-5】某商城在2024年元旦節(jié)期間舉行促銷活動，一種熱銷商品進(jìn)貨價為每個14元，標(biāo)價為每個20元．
(1)商城舉行了“感恩老客戶”活動，對于老客戶，商城連續(xù)兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以每個16.2元的價格售出，求商城每次降價的百分率；
(2)市場調(diào)研表明：當(dāng)每個售價20元時，平均每天能夠售出40個，當(dāng)每個售價每降1元時，平均每天就能多售出10個，在保證每個商品的售價不低于進(jìn)價的前提下，商城要想獲得最大利潤，每個商品的定價應(yīng)為多少元？最大利潤是多少？
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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