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26.2.3二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)（三）七大題型（一課一講）
【華師大版】
題型一：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
【經(jīng)典例題1】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，三點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)在平面直角坐標(biāo)系中，用描點(diǎn)法畫出該二次函數(shù)的圖象；
(3)據(jù)圖象回答：當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是多少？
【答案】(1)
(2)見詳解
(3)
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法求解析式，描點(diǎn)畫圖和求函數(shù)值，
（1）利用待定系數(shù)法求解解析式即可；
（2）先列表，再描點(diǎn)，再畫圖即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的圖象得到當(dāng)時(shí)，y的最大值與最小值即可得到答案．
【詳解】（1）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，則
，解得，
∴二次函數(shù)的解析式為；
（2）解：列表如下：
x 0 1 2 3 4
y 3 0 0 3
描點(diǎn)并畫圖，
（3）解：根據(jù)圖象可得當(dāng)時(shí)，最小值為，
當(dāng)時(shí)，，
∴．
【變式訓(xùn)練1-1】二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，且）的自變量x與函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如表：
… …
… …
(1) ．
(2)求該二次函數(shù)的解析式．
【答案】(1)0；
(2)；
【分析】本題主要考查了使用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性即可得出n的值；
（2）根據(jù)表格的數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法即可求解．
【詳解】（1）解：由當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
可知：拋物線的對(duì)稱軸為：，
∵，
∴與關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴，
故答案為：0；
（2）解：根據(jù)表格可知：拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，
則有：
，解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為：；
【變式訓(xùn)練1-2】己知二次函數(shù)（a，b，c均為常數(shù)且）．
(1)若該函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)，求二次函數(shù)表達(dá)式：
(2)若，，且無(wú)論a取任何實(shí)數(shù)，該函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本題考查了二次函數(shù)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，無(wú)關(guān)型問(wèn)題．
（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)在解析式為，把代入求解即可；
（2）將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為，根據(jù)定點(diǎn)與a的值無(wú)關(guān)，得到，，求出x值，代入解析式，求出對(duì)應(yīng)的y值，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，
∴設(shè)二次函數(shù)在解析式為，
把代入，
得，
∴，
∴
（2）若，，
則，
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴若，，且無(wú)論a取任何實(shí)數(shù)，該函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，，
【變式訓(xùn)練1-3】如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接．
(1)求a，b的值；
(2)求 ABC的面積．
【答案】(1)，；
(2) ABC的面積為6．
【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵熟練進(jìn)行計(jì)算．
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）求得A，B，C的坐標(biāo)，求出，長(zhǎng)，即可求出的值．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，
∴，
解得；
（2）解：由（1）得，
令，則，
∴，
∵，，
∴．
【變式訓(xùn)練1-4】已知拋物線．
(1)若有一點(diǎn)在拋物線上，求的值；
(2)求證：不論為何實(shí)數(shù)，這個(gè)拋物線與軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、拋物線與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，熟記拋物線與軸的交點(diǎn)問(wèn)題與一元二次方程根的對(duì)應(yīng)情況是解題的關(guān)鍵．
（1）把代入，解關(guān)于a的方程即可；
（2）利用根的判別式判斷有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程和二次函數(shù)圖象的關(guān)系即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）解：把代入得到，
解得，
即的值為；
（2）
當(dāng)時(shí)， ，
∵，
∴，
∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴不論為何實(shí)數(shù)，這個(gè)拋物線與軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．
【變式訓(xùn)練1-5】已知拋物線經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式，并寫出拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)該拋物線經(jīng)過(guò)平移后得到新拋物線，求原拋物線平移的方向和距離．
【答案】(1)拋物線的解析式為，拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
(2)原拋物線向下平移4個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位得到新拋物線．
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析，二次函數(shù)的平移．
（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為，將代入求解即可，再配成頂點(diǎn)式，即可寫出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）先求得新拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用平移的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)、，
∴設(shè)拋物線的解析式為，
將代入得，
解得，
∴拋物線的解析式為，
∴拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）解：∵，
∴新拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴原拋物線向下平移4個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位得到新拋物線．
題型二：二次函數(shù)的平移
【經(jīng)典例題2】要得到二次函數(shù)的圖象，需將的圖象（ ）
A．向左平移2個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位
B．向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位
C．向左平移2個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位
D．向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移，根據(jù)平移的規(guī)律∶左加右減，上加下減可得答案，熟練掌握平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴將的圖象向左平移2個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位，可得到二次函數(shù)的圖象，
故選：A．
【變式訓(xùn)練2-1】把二次函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，所得到圖象的函數(shù)解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，頂點(diǎn)式與一般式互相轉(zhuǎn)化等知識(shí)，先把二次函數(shù)的一般形式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，再根據(jù)平移的性質(zhì)得出平移后的解析式，再把平移后的解析式化成一般形式即可得出答案．
【詳解】解：
把它向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，所得到圖象的函數(shù)解析式是 ，
即，化為一般形式為：，
故選：C．
【變式訓(xùn)練2-2】將拋物線向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，得到的新拋物線的表達(dá)式為，則平移前的拋物線表達(dá)式為（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)題意可知將拋物線向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，即可得出答案．
【詳解】平移前的拋物線的表達(dá)式為．
故答案為：A．
【變式訓(xùn)練2-3】某拋物線的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的解析式為，則原拋物線的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)平移規(guī)律“左鍵右鍵，上加下減”即可求解．
【詳解】解：A、，符合題意；
B、，不符合題意；
C、，不符合題意；
D、，不符合題意；
故選：A ．
【變式訓(xùn)練2-4】把函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位，得到的圖象的解析式是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)左加上加的平移原則計(jì)算即可．
本題考查了二次函數(shù)的平移計(jì)算，熟練掌握做加上加，左右平移，位于x上，上下平移，對(duì)于y實(shí)施是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)題意，得．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練2-5】二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，并可由的圖象經(jīng)過(guò)平移得到，求二次函數(shù)的解析式．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的平移性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)已知得出a的值不變是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)二次函數(shù)的平移性質(zhì)得出a不發(fā)生變化，再將，代入求解即可．
【詳解】解：∵由的圖象經(jīng)過(guò)平移得到，
∴該二次函數(shù)解析式為，
將，代入可得：
，解得：．
∴．
【變式訓(xùn)練2-6】將二次函數(shù)的圖像向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度．
(1)寫出平移后的二次函數(shù)表達(dá)式；
(2)求平移后的拋物線頂點(diǎn)到軸的距離；
(3)在（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本題考查了二次函數(shù)平移的規(guī)律“左加右減，上加下減”、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)到軸的距離以及根據(jù)圖象寫自變量的取值范圍等知識(shí)點(diǎn)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)二次函數(shù)平移的規(guī)律“左加右減，上加下減”，即可得到平移后的二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）求出平移后的拋物線頂點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)到軸的距離等于縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即可求解；
（3）當(dāng)時(shí)，即，解一元二次不等式即可求解．
【詳解】（1）解：將二次函數(shù)的圖像向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到；
（2）解：由（1）知，
則頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
平移后的拋物線頂點(diǎn)到軸的距離為；
（3）解：由（1）知，
拋物線開口朝上，
令，即，
解得：或，
即拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為或，
當(dāng)時(shí)，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)平移的規(guī)律“左加右減，上加下減”、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)到軸的距離以及根據(jù)圖象寫自變量的取值范圍等知識(shí)點(diǎn)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
題型三：已知二次函數(shù)兩點(diǎn)對(duì)稱求對(duì)稱軸
【經(jīng)典例題3】已知二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)值列表如下，則關(guān)于的方程的解是（ ）
… …
… …
A．， B．
C． D．，
【答案】D
【分析】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以得到該函數(shù)的對(duì)稱軸和的值，從而可以得到和 時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都是，再將，代入函數(shù)解析式，整理可以得到方程從而可以得到該方程的解，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
【詳解】由表格可知，和時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都是，
∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，
∴當(dāng) 和時(shí)，，
又當(dāng)時(shí)，，即，
∵當(dāng)時(shí)，，即整理，得，
則方程的解是，，
故選：．
【變式訓(xùn)練3-1】在二次函數(shù)中，函數(shù)與自變量的部分對(duì)應(yīng)值如下表
…… ……
…… ……
其中的值（　　）
A．21 B．12 C．5 D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出對(duì)稱軸是解題關(guān)鍵．由表格可知，二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線，進(jìn)而得到與的值相同，即可求出的值．
【詳解】解：由表格可知，二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線，
與是關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，值相同，
，
故選：C．
【變式訓(xùn)練3-2】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且，則的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)拋物線解析式可知拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線，由點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)求出A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)m的值，然后結(jié)合即可得出答案．
【詳解】解：∵二次函數(shù)，
∴拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴，
故選：D．
【變式訓(xùn)練3-3】如果點(diǎn)，是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，那么m的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用函數(shù)值相等兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得出是解題關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)值相等兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得答案．
【詳解】解：點(diǎn)、是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，
∴與關(guān)于對(duì)稱軸直線對(duì)稱，
，
解得：，
故選：D．
【變式訓(xùn)練3-4】已知拋物線的一部分如圖所示，圖象與x軸相交，除點(diǎn)外的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性，根據(jù)拋物線解析式得出拋物線的對(duì)稱軸為直線，再根據(jù)對(duì)稱性即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵拋物線解析式為，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∵圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，
∴根據(jù)對(duì)稱性可得，另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，
故選：C．
【變式訓(xùn)練3-5】已知點(diǎn)和點(diǎn)均在拋物線上，當(dāng)時(shí)，等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，理解點(diǎn)A與點(diǎn)B的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同可得點(diǎn)A，B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，從而得到，進(jìn)而即可解答．
【詳解】解：∵拋物線，
∴拋物線的對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線上，
∴點(diǎn)A，B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴，
當(dāng)時(shí)，．
故選：B
題型四：根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求函數(shù)值
【經(jīng)典例題4】已知二次函數(shù)（為常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過(guò)，，，四點(diǎn)，且點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，則d的值不可能是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．求得拋物線的對(duì)稱軸為直線，得到點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，求得，根據(jù)拋物線開口向下，即可求解d的取值范圍，據(jù)此即可判斷．
【詳解】解：∵，，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
∵，
∴，
∵，
∴拋物線開口向下，
∴或，
觀察四個(gè)選項(xiàng)，d的值可能為，，4，不可能是，
故選：B．
【變式訓(xùn)練4-1】已知一個(gè)二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表所示：
這個(gè)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ； ．與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
【答案】 0
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖像的對(duì)稱性；
根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得拋物線對(duì)稱軸為直線，進(jìn)而求解．
【詳解】解：∵當(dāng)時(shí)，，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴當(dāng)，時(shí)，函數(shù)值相等，故，
故答案為：，0；．
【變式訓(xùn)練4-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)在拋物線上，則的長(zhǎng)為 ．
【答案】4
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱性求出拋物線的對(duì)稱軸，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求出的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：∵，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)在拋物線上，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∵拋物線與軸相交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為：，
∴；
故答案為：4．
【變式訓(xùn)練4-3】二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，則方程的解為 ．
【答案】，
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，二次函數(shù)與相關(guān)一元二次方程的關(guān)系．掌握二次函數(shù)圖象關(guān)于其對(duì)稱軸對(duì)稱，二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為其相關(guān)一元二次方程的解是解題關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可求出另一交點(diǎn)坐標(biāo)為，即得出其相關(guān)一元二次方程的的解為，．
【詳解】解：∵該二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，
∴該二次函數(shù)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，
∴方程的解為，．
故答案為：，．
【變式訓(xùn)練4-4】二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)值和下表：
(1)________；
(2)當(dāng)時(shí)，的取值范圍是________；
(3)當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，隨的增大而減小？
【答案】(1)；
(2)；
(3)當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小．
【分析】（）根據(jù)表格確定出對(duì)稱軸，再通過(guò)拋物線的對(duì)稱性即可求解；
（）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，即可求得結(jié)論；
（）根據(jù)表格得頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與交點(diǎn)為，則確定拋物線開口向上，從而求解；
本題考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：由表格可知：當(dāng)時(shí)，或，
∴對(duì)稱軸為直線，
∴當(dāng)與相對(duì)應(yīng)的值相等，
∴，
故答案為：；
（2）解：由表格可知：當(dāng)時(shí)，，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得：當(dāng)時(shí)，，
∴根據(jù)表格得：當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，
故答案為：；
（3）解：由（）得對(duì)稱軸為直線，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與交點(diǎn)為，
∴拋物線開口向上，
∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小．
【變式訓(xùn)練4-5】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且當(dāng)，時(shí)，．
(1)求b的值；
(2)如果存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)在此二次函數(shù)的圖象上，求c的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】此題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，二次函數(shù)的對(duì)稱性，用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合法解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到對(duì)稱軸為直線，再根據(jù)對(duì)稱軸公式列得，由此求出；
（2）由拋物線與直線有交點(diǎn)，即方程有實(shí)數(shù)根，根據(jù)判別式列得，由此求出的取值范圍．
【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且當(dāng)，時(shí)，，
點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
，
解得；
（2）解：對(duì)于，設(shè)，得，
由題意得，拋物線與直線有交點(diǎn)，
即方程有實(shí)數(shù)根，
整理得，
，
解得，
故的取值范圍為．
題型五：根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求最短路經(jīng)
【經(jīng)典例題5】如圖，在四邊形中，，對(duì)角線、交于點(diǎn)O，且．若，則的最小值為（ ）
A．16 B．4 C．9 D．2
【答案】D
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線將條件集中在同一個(gè)三角形中求解．
作交的的延長(zhǎng)線于，作于，設(shè)，表示出，解斜三角形，進(jìn)而求得結(jié)果．
【詳解】解：如圖，作交的的延長(zhǎng)線于，作于，
∵，
，
∵，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
設(shè)，則，
在中，，，
，，
，
在中，
，
當(dāng)時(shí)，，即
．
故選：D．
【變式訓(xùn)練5-1】如圖，拋物線 與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理，先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)軸對(duì)稱及兩點(diǎn)之間線段最短確定點(diǎn)的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：把點(diǎn)代入得，，
∵拋物線稱軸為直線，
∴，
∴，
把代入得，
，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
解得，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，，
如圖，連接，與對(duì)稱軸相交于點(diǎn)，
∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴，
∴，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)周長(zhǎng)的最小，則點(diǎn)即為所求，
∴周長(zhǎng)最小值，
故選：．
【變式訓(xùn)練5-2】如圖，拋物線與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，在其對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，連接，則當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)“將軍飲馬”模型，先求出，由二次函數(shù)對(duì)稱性，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，從而，，則周長(zhǎng)的最小值就是的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得到的最小值為三點(diǎn)共線時(shí)線段長(zhǎng)，再求出直線的解析式，即可得到答案．
【詳解】解：如圖，點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，連接交函數(shù)對(duì)稱軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求點(diǎn)，
拋物線與x軸分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
解得：或，
即；
當(dāng)時(shí)，，即，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線，
由二次函數(shù)對(duì)稱性，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，即，
，
，
周長(zhǎng)的最小值就是的最小值，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得到的最小值為三點(diǎn)共線時(shí)線段長(zhǎng)，
設(shè)直線的解析式為，
把點(diǎn)，代入得：
，解得：，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題與二次函數(shù)綜合，涉及“將軍飲馬”模型求最值、二次函數(shù)圖像與性質(zhì)、解一元二次方程、勾股定理求線段長(zhǎng)等知識(shí)，熟練掌握動(dòng)點(diǎn)最值的常見模型是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練5-3】如圖所示，拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得的值最小，若存在，清求出點(diǎn)的坐標(biāo)并求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】存在，，最小值為．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)．
本題中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知，拋物線的對(duì)稱軸與直線的交點(diǎn)就是的值最小時(shí)點(diǎn)的位置，先求出直線的解析式，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】假設(shè)存在點(diǎn)，使得的值最小．
∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴拋物線的對(duì)稱軸與的交點(diǎn)就是使得的值最小的點(diǎn)的位置，如圖，
∵，
∴．
令，則，解得，，∴，，
令可得，，
設(shè)直線的解析式為，
∴，解得，
∴直線的解析式為：，
又∵點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸上，將代入直線的解析式，
得到：，
∴，
又∵，
∴，
即的最小值為．
【變式訓(xùn)練5-4】如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)B，對(duì)稱軸是直線﹒

(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使的周長(zhǎng)最小 若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
【答案】(1)
(2)存在點(diǎn)使的周長(zhǎng)最小，
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸，可求出的值，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出的值，即可解答；
（2）連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間線段最短可得出此時(shí)的周長(zhǎng)最小，利用二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：由對(duì)稱軸，可得，
將代入得：
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：如圖，連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，

根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸，利用中點(diǎn)公式可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
設(shè)直線的解析式為，
把，代入，可得：
，
解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
，
存在點(diǎn)使的周長(zhǎng)最小，．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)待定系數(shù)法求一次函數(shù)，軸對(duì)稱中最短路徑問(wèn)題，利用兩點(diǎn)之間線段最短找出使得的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練5-5】如圖，在正方形中，，點(diǎn)E、F分別在邊、上，且，將線段繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段，連接，則線段的最小值為 ．
【答案】
【分析】過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，過(guò)作于，根據(jù)四邊形是正方形，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段，可得，，又，即可證明，得，四邊形是平行四邊形，故，設(shè)，可得，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，過(guò)作于，如圖：
四邊形是正方形，
，
，
四邊形是矩形，
，，，
，
將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
設(shè)，則，，
，
，
當(dāng)時(shí)，最小為，
最小為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形中的旋轉(zhuǎn)變換，涉及三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形．
題型六：圖像法確定一元二次方程的近似根
【經(jīng)典例題6】如圖，點(diǎn)，，在二次函數(shù)的圖象上，則方程的一個(gè)近似值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似值，用到的知識(shí)點(diǎn)為：點(diǎn)在函數(shù)解析式上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)適合這個(gè)函數(shù)解析式；二次函數(shù)值為0，就是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，跟所給的接近的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量相關(guān)．根據(jù)自變量?jī)蓚€(gè)取值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是和，可得當(dāng)函數(shù)值為0時(shí)，x的取值應(yīng)在所給的自變量?jī)蓚€(gè)值之間．
【詳解】解：∵圖象上有兩點(diǎn)分別為，，
∴當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴只有選項(xiàng)D符合，
故選：D．
【變式訓(xùn)練6-1】下表是一組二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.29 0.76
那么方程的一個(gè)近似根是（精確到0.1）（ ）
A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4
【答案】B
【分析】本題考查由二次函數(shù)性質(zhì)估算一元二次方程的近似根，熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)及一元二次方程近似值求法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．理解二次函數(shù)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是方程根，從而在交點(diǎn)左右兩側(cè)取得的自變量值代入函數(shù)求得異號(hào)，即可得到近似根的范圍，結(jié)合選項(xiàng)即可得到答案．
【詳解】解：由表可知，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
方程的一個(gè)近似根，
兩個(gè)數(shù)中，更接近于0，
方程的一個(gè)近似根是1.2，
故選：B
【變式訓(xùn)練6-2】根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值，判斷方程（，a，b，c為常數(shù)）一個(gè)解的范圍是（ ）
2.23 2.24 2.25 2.26
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)上面的表格，可得二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程的解，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)在2.24和2.25之間．
本題主要考查了求一元二次方程的近似根，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握求一元二次方程的近似根的方法．
【詳解】∵當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
∴方程的一個(gè)解的范圍是：，
故選：C．
【變式訓(xùn)練6-3】如下表是二次函數(shù)的幾組對(duì)應(yīng)值：
6.17 6.18 6.19 6.20
0.01 0.02
根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，方程的一個(gè)解的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查利用二次函數(shù)的圖象估算一元二次方程的近似根，根據(jù)拋物線與軸的交點(diǎn)的相鄰兩側(cè)的函數(shù)值的符號(hào)相反，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：由表格可知，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴在之間必然存在一個(gè)的值使，
∴方程的一個(gè)解的范圍是；
故選C．
【變式訓(xùn)練6-4】根據(jù)下表信息，估計(jì)一元二次方程的一個(gè)解的范圍是 ．
x … …
… …
【答案】
【分析】本題主要考查了一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知使的一個(gè)x的值滿足，則一元二次方程的一個(gè)解的范圍是．
【詳解】解：∵，
∴由表格可知，使的一個(gè)x的值滿足，
∴一元二次方程的一個(gè)解的范圍是，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練6-5】下列表格是小江對(duì)方程的一個(gè)解進(jìn)行近似計(jì)算所列的表格，若小江要進(jìn)一步精確估算，則他要選擇的范圍是 之間．
0 0.5 1 1.5 2
10 5.625 1.75
【答案】
【分析】本題考查了估算一元二次方程的近似解．根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得答案．
【詳解】解：由表格得：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
的近似根是，即他要選擇的范圍是之間．
故答案為：．
題型七：二次函數(shù)的最值
【經(jīng)典例題7】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最大值5，最小值1，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性和增減性，以及求二次函數(shù)的最值的方法．
先將該函數(shù)的表達(dá)式化為頂點(diǎn)式，得出當(dāng)時(shí)，有最小值1，再把代入，求出的值，即可求出的取值范圍．
【詳解】解：∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值1，
把代入得：，
解得：，
∵當(dāng)時(shí)，有最大值5，最小值1，
，
故選：C．
【變式訓(xùn)練7-1】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，則滿足的條件為（ ）
A．或或 B．或2或
C．或或 D．或2或
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值．?dāng)?shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，作二次函數(shù)圖象；結(jié)合圖象求解作答即可．
【詳解】解：由題意知，當(dāng)時(shí)，；
圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
二次函數(shù)圖象如下；
由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最小值為；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最小值為；
當(dāng)時(shí)，在中，此時(shí)函數(shù)的最小值為；
綜上所述，滿足的條件為或2或，
故選：B．
【變式訓(xùn)練7-2】關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是m，n，則的最大值是（ ）
A． B．6 C． D．4
【答案】A
【分析】本題考查了一元二次方程的根的定義、根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式，二次函數(shù)最值等知識(shí)．根據(jù)一元二次方程的根的判別式得到，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到，，利用一元二次方程根的定義得到，代入得到，根據(jù)t的取值范圍即可求出最值即可．
【詳解】解：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是m，n，
，，，
，
，
方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，
解得，
中，，
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為：，
故選A．
【變式訓(xùn)練7-3】已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y的最大值為 ．
【答案】14
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得出拋物線的對(duì)稱軸為直線，拋物線開口上，又比離對(duì)稱軸的距離遠(yuǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的圖像可得出故當(dāng)時(shí)，拋物線取得最大值，然后代入求解即可．
【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，，拋物線開口上，
又比離對(duì)稱軸的距離遠(yuǎn)，
故當(dāng)時(shí)，拋物線取得最大值，
當(dāng)時(shí)，，
故答案為：14．
【變式訓(xùn)練7-4】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為．
(1)求頂點(diǎn)的坐標(biāo)（用含有字母的代數(shù)式表示）
(2)若點(diǎn)，在拋物線上，且，求的取值范圍．
(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值等于6，求的值．
【答案】(1)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）將拋物線解析式化成的形式，即可求得頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)函數(shù)開口向上，則離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，據(jù)此建立不等式求解即可；
（3）分類討論，分對(duì)稱軸在1的左側(cè)、對(duì)稱軸在3的右側(cè)、對(duì)稱軸在1，3之間共三種情況分別求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而求出m的值．
【詳解】（1）解：∵拋物線解析式為，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為；
（2）解：∵拋物線，
∴拋物線開口向上，且對(duì)稱軸為直線，
∴離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，
∵點(diǎn)，在拋物線上，且，
∴，
∴或，
∴；
（3）解：∵二次函數(shù)圖象的開口向上，
∴自變量離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大，且二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，
分類討論：
①當(dāng)，即時(shí)，
則當(dāng)時(shí)二次函數(shù)取得最小值為，
又∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值等于6，
∴，解得或，
又∵，
∴；
②當(dāng)，即時(shí)，
則當(dāng)時(shí)二次函數(shù)取得最小值為，
又∵二次函數(shù)最小值為6，
∴，解得或，
又∵，
∴或都不符合題意；
③當(dāng)，即時(shí)，
則當(dāng)時(shí)二次函數(shù)取得最小值為，
又∵二次函數(shù)最小值為6，
∴，解得或，
又∵，故符合題意；
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，二次函數(shù)的性質(zhì)等等，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練7-5】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線
(1)求該拋物線的對(duì)稱軸（用含a的式子表示）；
(2)若，當(dāng)時(shí)，求y的取值范圍；
(3)已知，，為該拋物線上的點(diǎn)，若，求a的取值范圍．
【答案】(1)直線
(2)
(3)或．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)并分類討論是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)對(duì)稱軸公式即可求解；
（2）根據(jù)拋物線解析式為，對(duì)稱軸為直線，開口向上，則時(shí)，得到的最小值，當(dāng)時(shí)，直線比距離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，據(jù)此求出最大值即可；
（3）根據(jù)題意得出為拋物線的頂點(diǎn)，，在對(duì)稱軸的右側(cè)，分當(dāng)在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，當(dāng)在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，列出不等式，解不等式即可求解．
【詳解】（1）解：拋物線的對(duì)稱軸為直線；
即該拋物線的對(duì)稱軸為直線
（2）解：∵，
∴拋物線解析式為，對(duì)稱軸為直線，開口向上，
∴時(shí)，的最小值為，
∵，直線比距離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，
∴時(shí)，的最大值為，
∴當(dāng)時(shí)，求y的取值范圍為；
（3）解：∵對(duì)稱軸為直線直線，
∴當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)有最小值，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
∴，
當(dāng)時(shí)，，即，不合題意，舍去，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
∴
解得．
綜上可知，a的取值范圍是或．
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26.2.3二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)（三）七大題型（一課一講）
【華師大版】
題型一：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
【經(jīng)典例題1】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，三點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)在平面直角坐標(biāo)系中，用描點(diǎn)法畫出該二次函數(shù)的圖象；
(3)據(jù)圖象回答：當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是多少？
【變式訓(xùn)練1-1】二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，且）的自變量x與函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如表：
… …
… …
(1) ．
(2)求該二次函數(shù)的解析式．
【變式訓(xùn)練1-2】己知二次函數(shù)（a，b，c均為常數(shù)且）．
(1)若該函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)，求二次函數(shù)表達(dá)式：
(2)若，，且無(wú)論a取任何實(shí)數(shù)，該函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練1-3】如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接．
(1)求a，b的值；
(2)求 ABC的面積．
【變式訓(xùn)練1-4】已知拋物線．
(1)若有一點(diǎn)在拋物線上，求的值；
(2)求證：不論為何實(shí)數(shù)，這個(gè)拋物線與軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．
【變式訓(xùn)練1-5】已知拋物線經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式，并寫出拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)該拋物線經(jīng)過(guò)平移后得到新拋物線，求原拋物線平移的方向和距離．
題型二：二次函數(shù)的平移
【經(jīng)典例題2】要得到二次函數(shù)的圖象，需將的圖象（ ）
A．向左平移2個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位
B．向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位
C．向左平移2個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位
D．向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位
【變式訓(xùn)練2-1】把二次函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，所得到圖象的函數(shù)解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練2-2】將拋物線向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，得到的新拋物線的表達(dá)式為，則平移前的拋物線表達(dá)式為（ ）
A．B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-3】某拋物線的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的解析式為，則原拋物線的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練2-4】把函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位，得到的圖象的解析式是 ．
【變式訓(xùn)練2-5】二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，并可由的圖象經(jīng)過(guò)平移得到，求二次函數(shù)的解析式．
【變式訓(xùn)練2-6】將二次函數(shù)的圖像向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度．
(1)寫出平移后的二次函數(shù)表達(dá)式；
(2)求平移后的拋物線頂點(diǎn)到軸的距離；
(3)在（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍．
題型三：已知二次函數(shù)兩點(diǎn)對(duì)稱求對(duì)稱軸
【經(jīng)典例題3】已知二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)值列表如下，則關(guān)于的方程的解是（ ）
… …
… …
A．， B．
C． D．，
【變式訓(xùn)練3-1】在二次函數(shù)中，函數(shù)與自變量的部分對(duì)應(yīng)值如下表
…… ……
…… ……
其中的值（　　）
A．21 B．12 C．5 D．
【變式訓(xùn)練3-2】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且，則的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．
【變式訓(xùn)練3-3】如果點(diǎn)，是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，那么m的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【變式訓(xùn)練3-4】已知拋物線的一部分如圖所示，圖象與x軸相交，除點(diǎn)外的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（　　）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練3-5】已知點(diǎn)和點(diǎn)均在拋物線上，當(dāng)時(shí)，等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
題型四：根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求函數(shù)值
【經(jīng)典例題4】已知二次函數(shù)（為常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過(guò)，，，四點(diǎn)，且點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，則d的值不可能是（ ）
A． B． C．2 D．4
【變式訓(xùn)練4-1】已知一個(gè)二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表所示：
這個(gè)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ； ．與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
【變式訓(xùn)練4-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)在拋物線上，則的長(zhǎng)為 ．
【變式訓(xùn)練4-3】二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，則方程的解為 ．
【變式訓(xùn)練4-4】二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)值和下表：
(1)________；
(2)當(dāng)時(shí)，的取值范圍是________；
(3)當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，隨的增大而減小？
【變式訓(xùn)練4-5】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且當(dāng)，時(shí)，．
(1)求b的值；
(2)如果存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)在此二次函數(shù)的圖象上，求c的取值范圍．
題型五：根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求最短路經(jīng)
【經(jīng)典例題5】如圖，在四邊形中，，對(duì)角線、交于點(diǎn)O，且．若，則的最小值為（ ）
A．16 B．4 C．9 D．2
【變式訓(xùn)練5-1】如圖，拋物線 與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練5-2】如圖，拋物線與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，在其對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，連接，則當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是 ．
【變式訓(xùn)練5-3】如圖所示，拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得的值最小，若存在，清求出點(diǎn)的坐標(biāo)并求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式訓(xùn)練5-4】如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)B，對(duì)稱軸是直線﹒

(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使的周長(zhǎng)最小 若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
【變式訓(xùn)練5-5】如圖，在正方形中，，點(diǎn)E、F分別在邊、上，且，將線段繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段，連接，則線段的最小值為 ．
題型六：圖像法確定一元二次方程的近似根
【經(jīng)典例題6】如圖，點(diǎn)，，在二次函數(shù)的圖象上，則方程的一個(gè)近似值可能是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練6-1】下表是一組二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.29 0.76
那么方程的一個(gè)近似根是（精確到0.1）（ ）
A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4
【變式訓(xùn)練6-2】根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值，判斷方程（，a，b，c為常數(shù)）一個(gè)解的范圍是（ ）
2.23 2.24 2.25 2.26
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練6-3】如下表是二次函數(shù)的幾組對(duì)應(yīng)值：
6.17 6.18 6.19 6.20
0.01 0.02
根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，方程的一個(gè)解的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練6-4】根據(jù)下表信息，估計(jì)一元二次方程的一個(gè)解的范圍是 ．
x … …
… …
【變式訓(xùn)練6-5】下列表格是小江對(duì)方程的一個(gè)解進(jìn)行近似計(jì)算所列的表格，若小江要進(jìn)一步精確估算，則他要選擇的范圍是 之間．
0 0.5 1 1.5 2
10 5.625 1.75
題型七：二次函數(shù)的最值
【經(jīng)典例題7】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最大值5，最小值1，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練7-1】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，則滿足的條件為（ ）
A．或或 B．或2或
C．或或 D．或2或
【變式訓(xùn)練7-2】關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是m，n，則的最大值是（ ）
A． B．6 C． D．4
【變式訓(xùn)練7-3】已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y的最大值為 ．
【變式訓(xùn)練7-4】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為．
(1)求頂點(diǎn)的坐標(biāo)（用含有字母的代數(shù)式表示）
(2)若點(diǎn)，在拋物線上，且，求的取值范圍．
(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值等于6，求的值．
【變式訓(xùn)練7-5】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線
(1)求該拋物線的對(duì)稱軸（用含a的式子表示）；
(2)若，當(dāng)時(shí)，求y的取值范圍；
(3)已知，，為該拋物線上的點(diǎn)，若，求a的取值范圍．
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