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26.2二次函數的圖象與性質
——九年級數學華東師大版（2012）下冊課前導學
一、知識詳解
1.二次函數的性質：
一般地，當a＞0時，拋物線的開口 ，對稱軸是 ，頂點是 ，頂點是拋物線的最 點，a越大，拋物線的開口越 ．
一般地，當a＜0時，拋物線的開口 ，對稱軸是 ，頂點是 ，頂點是拋物線的最 點，a越小，拋物線的開口越 ．
2.通過 法畫出和的圖像：
通過圖像可知：
的開口方向 ，對稱軸 ，頂點坐標 ．
的開口方向 ，對稱軸 ，頂點坐標 ．
3.拋物線與拋物線的關系：
若k＞0，拋物線向 平移k個單位就得到拋物線y＝ax2＋k
若k＜0，拋物線向 平移|k|個單位就得到拋物線y＝ax2 －|k|
4.拋物線的圖象相當于把拋物線的圖象 （k＞0）或 （k＜0）平移 個單位．
5.當a＞0時，拋物線的開口 ，對稱軸是 ，頂點坐標是 ，當x＝0時，y有最 值為k，當x＜0時，y隨x的增大而 ；當x＞0時，y隨x的增大而 ．
當a＜0時，拋物線的開口 ，對稱軸是 ，頂點坐標是 ，當x＝0時，y有最 值為k，當x＜0時，y隨x的增大而 ；當x＞0時，y隨x的增大而 ．
6.通過 法畫出和的圖象
通過圖象可知：
的開口方向 ，對稱軸 ，頂點坐標 ．
的開口方向 ，對稱軸 ，頂點坐標 ．
7.拋物線與拋物線的關系：
若h＞0，拋物線向 平移h個單位就得到拋物線；
若h＜0，，拋物線向 平移|h|個單位就得到拋物線
8.拋物線的圖象相當于把拋物線的圖象 （h＞0）或 （h＜0）平移 個單位．
9.當a＞0時，拋物線的開口 ，對稱軸是直線 ，頂點坐標是 ，當x＝h時，y有最 值為0，當x＜h時，y隨x的增大而 ；當x＞h時，y隨x的增大而 ．
當a＜0時，拋物線的開口 ，對稱軸是直線 ，頂點坐標是 ，當x＝h時，y有最 值為0，當x＜h時，y隨x的增大而 ；當x＞h時，y隨x的增大而 ．
10.通過 法畫出的圖象
通過圖象可知：
的開口方向 ，對稱軸 ，頂點坐標 ．
11.拋物線的性質：
（1） 的符號決定拋物線的開口方向；
（2）對稱軸是直線 ；
（3）頂點坐標是
12.觀察二次函數的圖象回答問題：
配方得：y＝
當x＜－1時，y隨x增大而 ；
當x＝－1時，y最大值為 ；
當x＞－1時，y隨x增大而 ．
13.將變成的形式：＝ ；
二次函數的對稱軸為：x＝ ，頂點坐標為( )
14.當a＜0時，的開口方向 頂點坐標 對稱軸 在對稱軸左側，即當x＜時，y隨x的增大而 ；在對稱軸右側，即當x＞時，y隨x的增大而 ，當x＝時，y有最大值y＝
15.同確定一次函數一樣，類似要確定二次函數，需求出a、b、c的值，用 法，由三點（任意兩點連線不與坐標軸平行）的坐標，列出關于a、b、c的三元一次方程組求出a、b、c的值．
二、題目速練
1.對于函數的圖象,下列說法不正確的是( )
A.開口向下 B.對稱軸是
C.最大值為0 D.交y軸于點
2.在二次函數的圖象上,若y隨x的增大而增大,則x的取值范圍是( )
A. B. C. D.
3.在同一坐標系中,二次函數和一次函數的圖象可能是( )
A. B.
C. D.
4.把拋物線向左平移3個單位,再向下平移2個單位,所得拋物線的頂點坐標是( )
A. B. C. D.
5.二次函數的圖象如圖所示,下列四個選項中,正確的是( )
A., B., C., D.,
6.已知點,都在函數的圖象上,則與大小關系是__________(填>,<或=).
7.已知二次函數,當時,y的取值范圍為__________.
8.已知函數圖象如圖所示,根據圖象可得：
(1)拋物線頂點坐標___________.
(2)對稱軸為___________.
(3)當___________時,y有最大值是___________.
(4)當___________時,y隨著x的增大而增大.
(5)當___________時,.
9.已知拋物線頂點是且經過點.
(1)求該拋物線的解析式；
(2)求該拋物線與y軸的交點坐標.
10.已知二次函數.
（1）寫出它的圖象的開口方向、對稱軸及頂點坐標.
（2）當m為何值時，頂點在x軸上方？
（3）若拋物線與y軸交于點A，過點A作軸交拋物線于另一點B，當時，求此二次函數的表達式.
答案及解析
一、知識詳解
1.向上；y軸；原點；低；小；向下；y軸；原點；高；小
2.描點；向上；y軸；；向上；y軸；
3.上；下
4.向上；向下；
5.向上；y軸；；??；減小；增大；向下；y軸；；大；增大；減小
6.描點；向下；；；向上；；
7.右；左
8.向右；向左；
9.向上；；；??；減小；增大；向下；；；大；增大；減小
10.描點；向下；；
11.；；
12.；增大；3；減小
13.；；（，）
14.向下；（，）； x＝；增大；減?。?br/>15.待定系數
二、題目速練
1.答案：B
解析：對于函數的圖象,
∵,
∴開口向下,對稱軸,頂點坐標為,函數有最大值0,
時,,
交y軸于點,
故A、C、D正確,
故選：B.
2.答案：D
解析：由題意,,
又拋物線開口向上,
當時,y隨x的增大而增大.
故選：D.
3.答案：B
解析：A、由拋物線可知,,由直線可知,,故此選項不符合題意；
B、由拋物線可知,,由直線可知,,都過點,故此選項符合題意；
C、由拋物線可知,,由直線可知,,故此選項不符合題意；
D、由拋物線可知,,由直線可知,,故此選項不符合題意.
故選：B.
4.答案：C
解析：∵拋物線,
∴頂點坐標為,
∴把點,向左平移3個單位,再向下平移2個單位得到,
故選：C.
5.答案：A
解析：由函數圖象知,二次函數的圖象頂點在第二象限,
∵頂點坐標為,
∴,,
∴,,
故選：A.
6.答案：>
解析：∵,
∴當時,y隨x的增大而減小,
∵,
∴；
故答案為：>.
7.答案：
解析：∵
∴二次函數開口向下,
∵對稱軸為,且,
∴離對稱軸距離越遠的,函數值越小,即當時,y取的最小值為：
當時,y取的最大值為：,
∴當時,,y的取值范圍為.
故答案為：.
8.答案：(1)
(2)直線
(3),2
(4)
(5)
解析：(1)拋物線與x軸交于點,,
頂點橫坐標為,
由圖可知頂點縱坐標為2,
頂點坐標為；
(2)對稱軸為直線；
(3)當時,y有最大值是2；
(4)當時,y隨著x得增大而增大；
(5)當時,.
9.答案：(1)
(2)該拋物線與y軸的交點坐標為
解析：(1)拋物線頂點是,
設拋物線的解析式為,
拋物線經過點,
,
解得：,
拋物線的解析式為,即；
(2)令,則,
該拋物線與y軸的交點坐標為.
10.答案：（1）對稱軸為直線，頂點坐標為
（2）
（3）或
解析：（1），該函數圖象開口向上，對稱軸為直線，即直線.由，知頂點坐標為.
（2）由頂點在x軸上方，可得，解得.當時，頂點在x軸上方.
（3）令，則，.
軸，點A，B關于直線對稱，
，
，解得.
二次函數的表達式為或.

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