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必修四常考公式及高頻考點
第一部分 三角函數與三角恒等變換
考點一 角的表示方法
1.終邊相同角的表示方法：
所有與角終邊相同的角，連同角在內可以構成一個集合：{β|β= k·360 °+α,k∈Z }
2.象限角的表示方法：
第一象限角的集合為{α| k·360 °<α第二象限角的集合為{α| k·360 °+90 °<α第三象限角的集合為{α| k·360 °+180 °<α第四象限角的集合為{α| k·360 °+270 °<α3.終邊在某條射線、某條直線或兩條垂直的直線上(如軸線角)的表示方法：
（1）若所求角β的終邊在某條射線上，其集合表示形式為{β|β= k·360 °+α,k∈Z },其中α為射線與x軸非負半軸形成的夾角
（2）若所求角β的終邊在某條直線上，其集合表示形式為{β|β= k·180 °+α,k∈Z },其中α為直線與x軸非負半軸形成的任一夾角
（3）若所求角β的終邊在兩條垂直的直線上，其集合表示形式為{β|β= k·90 °+α,k∈Z },其中α為直線與x軸非負半軸形成的任一夾角
例：
終邊在y軸非正半軸上的角的集合為{α|α= k·360 °+270 °,k∈Z }
終邊在第二、第四象限角平分線上的集合為{α|α= k·180 °+135 °,k∈Z }
終邊在四個象限角平分線上的角的集合為{α|α= k·90 °+45 °,k∈Z }
易錯提醒：
區別銳角、小于90度的角、第一象限角、0～90、小于180度的角
考點二 弧度制有關概念與公式
1.弧度制與角度制互化
，，1弧度
2.扇形的弧長和面積公式（分別用角度制、弧度制表示方法）
弧長公式：, 其中為弧所對圓心角的弧度數
扇形面積公式：= R2||, 其中為弧所對圓心角的弧度數
易錯提醒：利用S= R2||求解扇形面積公式時，為弧所對圓心角的弧度數，不可用角度數
規律總結：“扇形周長、面積、半徑、圓心角”4個量，“知二求二”，注意公式選取技巧
考點三 任意角的三角函數
1.任意角的三角函數定義
設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點，那么，，（）；化簡為.
2.三角函數值符號
規律總結：利用三角函數定義或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口訣記憶象限角或軸線角的三角函數值符號.
3.特殊角三角函數值
除此之外，還需記住150、750的正弦、余弦、正切值
4.三角函數線
經典結論：
(1)若，則
(2)若，則
(3)
例：
在單位圓中分別畫出滿足sinα＝、cosα＝、tanα＝－1的角α的終邊，并求角α的取值集合
考點四 三角函數圖像與性質
圖象
定義域
值域
最值 當時，；當時，． 當時，；當時，． 既無最大值也無最小值
周期性
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
單調性 在上是增函數；在上是減函數． 在上是增函數；在上是減函數． 在上是增函數．
對稱性 對稱中心對稱軸 對稱中心對稱軸 對稱中心無對稱軸
考點五 正弦型（y=Asin(ωx＋φ)）、余弦型函數（y=Acos(ωx＋φ)）、正切性函數（y=Atan(ωx＋φ)）圖像與性質
1.解析式求法
（1）y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或y=Acos(ωx＋φ)＋B解析式確定方法
字母 確定途徑 說明
A 由最值確定 A＝
B 由最值確定 B＝
ω 由函數的周期確定 相鄰的最高點與最低點的橫坐標之差的絕對值為半個周期，最高點(或最低點)的橫坐標與相鄰零點差的絕對值為0.25個周期
φ 由圖象上的特殊點確定 可通過認定特殊點是五點中的第幾個關鍵點，然后列方程確定；也可通過解簡單三角方程確定
A、B通過圖像易求，重點講解φ、ω求解思路：
①φ求解思路：
代入圖像的確定點的坐標.如帶入最高點或最低點坐標，則或，求值．
易錯提醒：y=Asin(ωx＋φ)，當ω>0，且x=0時的相位（ωx+φ=φ）稱為初相.如果不滿足ω>0，先利用誘導公式 ( http: / / baike. / view / 28569.htm" \t "_blank )進行變形，使之滿足上述條件，再進行計算.如y=-3sin(-2x+600)的初相是-600
②ω求解思路：
利用三角函數對稱性與周期性的關系，解ω.相鄰的對稱中心之間的距離是周期的一半；相鄰的對稱軸之間的距離是周期的一半；相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是周期的四分之一.
2.“一圖、兩域、四性”
“一圖”：學好三角函數，圖像是關鍵。
易錯提醒：“左加右減、上加下減”中“左加右減”僅僅針對自變量x，不可針對-x或2x等.
例：
“兩域”：
(1) 定義域
求三角函數的定義域實際上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數線或三角函數圖象或數軸法來求解.
(2) 值域(最值)：
a.直接法（有界法）：利用sinx，cosx的值域.
b.化一法：化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范圍，根據正弦函數單調性寫出函數的值域(最值).
c.換元法：把sinx或cosx看作一個整體，化為求一元二次函數在給定區間上的值域(最值)問題.
例：
1.y=asinx2+bsinx+c
2.y=asinx2+bsinxcosx+ccosx2
3.y=(asinx+c)/(bcosx+d)
4.y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c
“四性”：
(1)單調性
①函數y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)圖象的單調遞增區間由2kπ-<ωx+φ<2kπ＋，k∈Z解得, 單調遞減區間由2kπ+<ωx+φ<2 kπ＋1.5π，k∈Z解得;
②函數y=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0)圖象的單調遞增區間由2kπ+π<ωx+φ<2kπ＋2π,k∈Z解得, 單調遞減區間由2kπ<ωx+φ<2 kπ＋π，k∈Z解得;
③函數y=Atan(ωx+φ)(A>0, ω>0)圖象的單調遞增區間由kπ-<ωx+φ規律總結：注意ω、A為負數時的處理技巧．
(2)對稱性
①函數y=Asin(ωx+φ)的圖象的對稱軸由ωx+φ= kπ＋(k∈Z)解得,對稱中心的橫坐標由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得;
②函數y=Acos(ωx+φ)的圖象的對稱軸由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得,對稱中心的橫坐標由ωx+φ=kπ＋(k∈Z) 解得;
③函數y=Atan(ωx+φ)的圖象的對稱中心由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得.
規律總結：φ可以是單個角或多個角的代數式.無需區分ω、A符號.
(3)奇偶性
①函數y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函數 φ＝kπ(k∈Z)，函數y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是偶函數 φ＝kπ＋(k∈Z)；
②函數y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函數 φ＝kπ＋(k∈Z)；函數y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函數 φ＝kπ(k∈Z)；
③函數y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函數 φ＝(k∈Z)．
規律總結：φ可以是單個角或多個角的代數式.無需區分ω、A符號.
(4)周期性
函數y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝，
y＝Atan(ωx＋φ) 的最小正周期T＝.
考點六 常見公式
常見公式要做到“三用”：正用、逆用、變形用
1.同角三角函數的基本關系
；=
2.三角函數化簡思路：“去負、脫周、化銳”
（1）去負，即負角化正角：
sin(-a)=-sina； cos(-a)=cosa；tan(-a)=-tana；
（2）脫周，即將不在（0,2π）的角化為（0,2π）的角：
sin(2kπ+a)=sina； cos(2kπ+a)=cosa；tan(2kπ+a)=-tana；
（3）化銳，即將在（0,2π）的角化為銳角：
6組誘導公式
，，．
，，．
，，．
，，．
，．
，．
口訣：奇變偶不變，符號看象限. 均化為“kπ/2±a”,做到“兩觀察、一變”。一觀察：k是奇數還是偶數；二觀察：kπ/2±a終邊所在象限，再由kπ/2±a終邊所在象限，確定原函數對應函數值的正負.一變：正弦變余弦、余弦變正弦、正切利用商的關系變換. 其中公式（1）也可理解為終邊相同角的三角函數值相同，公式（3）也可按照函數奇偶性理解
3.兩角和差公式
；；
,
4.二倍角公式
；；
，
二倍角公式是兩角和的正弦、余弦、正切公式，當α ( http: / / baike. / subview / 504231 / 504231.htm" \t "_blank )=β ( http: / / baike. / subview / 504244 / 504244.htm" \t "_blank )時的特殊情況
倍角是相對的，如0.5α ( http: / / baike. / subview / 504231 / 504231.htm" \t "_blank )是0.25α ( http: / / baike. / subview / 504231 / 504231.htm" \t "_blank )的倍角，3α ( http: / / baike. / subview / 504231 / 504231.htm" \t "_blank )是1.5α ( http: / / baike. / subview / 504231 / 504231.htm" \t "_blank )的倍角
5.升降冪公式
（升冪縮角）.
（降冪擴角），
6.輔助角公式
=(輔助角所在象限由點的象限決定, ，- <<).
7.半角公式
sin=±；cos=±
tan=；tan==
8.其它公式
1+sin a =(sin+cos)2；1-sin a = (sin-cos)2
9.萬能公式
sin a=；cos a=；tan a=
10.和差化積
sin a+sin b=2sincos；sin a-sin b = 2cossin
cos a+cos b = 2coscos；cos a-cos b = -2sinsin
tan a+tan b =
11.積化和差
sinAsinB =-[cos(A+B)-cos(A-B)]；cosAcosB =[cos(A+B)+cos(A-B)]
sinAcosB =[sin(A+B)+sin(A-B)]；cosAsinB =[sin(A+B)-sin(A-B)]
12.三倍角公式
；；
13.常見計算技巧
（1）簡單的三角方程的通解
.
.
.
特別地,有
.
.
.
（2）最簡單的三角不等式及其解集
.
.
.
.
.
.
例：
已知sinα>、cosα>、tanα>－1、sinα<- 、cosα<- 、tanα<－1,分別求出α的取值范圍
14.三角形中三角函數關系
在△ABC中，有.
；；tan(A+B)=-tanC;等．
15.三角函數化簡的常用技巧
1.三角函數化簡要做到“四看、四變”
(1)看角、做好角的變換：觀察角與角之間和、差、倍、互補、互余等關系，采取誘導公式、兩角和差公式、倍角公式、拼湊角等辦法化簡.
(2)看名、做好名的變換：利用同角三角函數基本關系實現弦切互化，掌握弦的一次齊次式或二次齊次式化簡方法
(3)看次數、做好次數的變換：利用升降冪公式實現擴角降次、縮角升次
(4)看形、做好形的變換：利用輔助角公式，統一函數形式
2.具體技巧
(1)遇分式通分、遇根式升冪.
(2)和積轉換法
掌握sin α±cos α，sin αcos α化簡方法，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，“知一求二”．
(3)巧用“1”的變換
1＝sin2θ＋cos2θ＝＝tan450＝sin＝cos 0….
3.四種常見題型
給角求值、給值求值、給值求角，輔助角公式
若角的范圍在（0,90），選擇正弦、余弦函數均可；若角的范圍在（0,180），選擇余弦函數較好；若角的范圍在（-90,90），選擇正弦函數較好；
第二部分 平面向量
考點一 向量的有關概念
1.向量：既有大小又有方向的量，用黑體小寫字母或用起點終點的大寫字母表示
2.向量的模：有向線段的長度，|a|
3.單位向量：模為1的向量.與a平行的單位向量：±a/|a|；與a同向的單位向量：a/|a|；單位向量有無數個
4.零向量：模為0的向量，方向是任意的.注意實數0與向量0的區別
5.相等向量：長度相等、方向相同.對向量起點和終點不作要求,可在平面內任意平移
6.相反向量：長度相等、方向相反.對向量起點和終點不作要求,可在平面內任意平移
7.共線向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量，對長度不作要求
易錯提醒：
1.有向線段與向量的區別：向量可用有向線段來表示，每一條有向線段對應著一個向量，但每一個向量對應著無數多條有向線段. 向量只有兩要素:方向和大小;而有向線段有三要素:起點、方向和大小
2.共線向量（平行向量）可重合，注意與直線平行的區別；不要單純從字面上理解共線向量，注意與直線重合的區別
3.規定零向量與任意向量平行；不可說零向量與任意向量垂直
4.零向量與單位向量的特殊性：長度確定、方向任意.a//b, b// c,不一定推出a//c; a=b, b= c,一定推出a=c
6.向量不可以比較大小，如不能得出3i>2i
考點二 向量的線性運算
1.向量的加法法則
（1）平行四邊形法則：共起點，指向對角線；起點相同、終點相同，首尾相連、路徑不限
（2）三角形法則：首尾相連，可理解為“條條大路通羅馬”
2. 向量的減法原則：起點相同、指向被減
(a+b)= OC , (a-b)= BA
兩個向量共線只可用三角形法則；封閉圖形、首尾相連、相加為零
3.向量的數乘運算
實數與向量的積叫做向量的數乘，記作．其幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮
（1）
（2）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，
4.a與b的數量積運算
a·b=|a||b|cosθ=|a||b|cos=x1x2+y1y2
（1）|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影
（2）a·b的幾何意義：a·b等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos的乘積
（3）θ為a與b的夾角，0≤θ≤π
（4）零向量與任一向量的數量積為
（5）a·b=-b·a
（6）向量沒有除法，“a/b”沒有意義,注意與復數運算的區別
（7）向量的加法、減法、數乘結果為向量，向量的數量積結果為實數
易錯提醒：
向量的數量積與實數運算的區別：
（1）向量的數量積不滿足結合律，即：(a b) c≠a (b c)
（2）向量的數量積不滿足消去律，即：由 a b=a c (a≠0)，推不出 b=c
（3）由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b
（4）|a b|≤|a| |b|
考點三 向量的運算律
1.實數與向量的積的運算律
設λ、μ為實數，那么
(1) 結合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的數量積的運算律：
(1) a·b= b·a （交換律）;
(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
考點四 向量的坐標表示及坐標運算
1.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共線的向量（隱含另一條件為非零向量，基底不唯一）e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．
該定理作用：證明三點共線、兩直線平行或兩個向量a、b共線.
解題思路：可用兩個不共線的向量e1、e2表示向量a、b，設b=λa（a≠0），化成關于e1、e 2的方程，即f(λ) e1+g(λ) e2=0,由于e1、e 2不共線，則f(λ)=0，g(λ) =0
2.向量的坐標表示
表示
(1)設a=,b=，則a+b=
(2)設a=,b=，則a-b=
(3)設
(4)設a=,b=，則a·b=|a||b|cosθ=xx2+y1y2
（5）設A，B,則
（6）
易錯提醒：
公式（2）與公式（5）的區別
向量坐標與該向量有向線段的端點無關，僅與其相對位置有關
考點四 向量的常見公式
1.線段的定比分公式
（1）定比分點向量公式：設，，是線段的分點,是實數，且，則的坐標是，即
（）.
（2）定比分點坐標公式：
，
2.三角形五“心”向量形式的充要條件
設為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則
（1）為的外心.
（2）為的重心.
（3）為的垂心.
（4）為的內心.
（5）為的的旁心.
3. A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三點共線OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1
(x1-x2)(y2-y3)= (x2-x3) (y1-y2)等
4. 向量的三角形不等式和方程
（1）∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
① 當且僅當a、b反向時，左邊取等號；② 當且僅當a、b同向時，右邊取等號
（2）∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣
① 當且僅當a、b同向時，左邊取等號；② 當且僅當a、b反向時，右邊取等號
記憶規律：
（1）與（2）的幾何意義為三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊
（3）∣a+b∣2+∣a-b∣2=2（∣a∣2+∣b∣2），該式幾何意義為平行四邊形對角線平方和等于四條邊的平方和
（4）a·b>0推不出a與b的夾角為銳角，可能為0；a·b<0推不出a與b的夾角為鈍角，可能為180
5.點的平移公式
.
注:圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形上的對應點為，且的坐標為.
6.“按向量平移”的幾個結論
(1)點按向量a=平移后得到點.
(2)函數的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數解析式為.
(3)圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數解析式為.
(4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為.
(5)向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=.
考點五 向量的的四種常見題型
設a=,b=
1.兩個向量的平行或共線關系：a//bb=λa（a≠0）（交叉相乘差為零），
若a=0,則λa=0，當b=0，λ不唯一；當b≠0，λ不存在.限定a≠0是保證λ的唯一性和存在性
不可寫為x1/x2=y1/y2
2.兩個向量的垂直關系 aba·b=0|a||b|cosθ=0（對應相乘和為零）
3.兩個向量的夾角公式：,其中θ為a與b的夾角
4.兩個向量的模運算：若，則或
（a±b）2=a2±2ab+b2,（a+b）（a-b）=a2-b2
解題技巧：
1.如向量用模表示，且已知兩個向量的夾角，遇模，先平方后開方，如
2.如向量用坐標表示，遇模不平方，直接按照坐標運算
y
O
x
y
O
x
終邊
y
O
x
y
O
x
P
M
A
T
P
M
A
T
正弦線
余弦線
正切線
P
P
M
A
T
P
M
A
T
終邊
終邊
終邊
函
數
性
質
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