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專題26.1.2反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)（二）七大題型（一課一講）
【人教版】
題型一：由反比例函數(shù)的對稱性求點(diǎn)坐標(biāo)
【經(jīng)典例題1】如圖，反比例函數(shù)的圖象與經(jīng)過原點(diǎn)的直線相交于A、B兩點(diǎn)，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么B點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的中心對稱性，反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則經(jīng)過原點(diǎn)的直線的兩個交點(diǎn)一定關(guān)于原點(diǎn)對稱．
【詳解】解：∵點(diǎn)A與B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故答案是：．
【變式訓(xùn)練1-1】已知正比例函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像都經(jīng)過點(diǎn)，那么這兩個函數(shù)圖象必都經(jīng)過另一個點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】本題考查了正比例函數(shù)圖像，反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)等知識．熟練掌握正比例函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像的兩個交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)正比例函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像的兩個交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱作答即可．
【詳解】解：∵正比例函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像的兩個交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴這兩個函數(shù)圖象必都經(jīng)過另一個點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練1-2】如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點(diǎn)，則它們的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，根據(jù)一個交點(diǎn)結(jié)合對稱性即可求得另一個交點(diǎn)．
【詳解】解：∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴兩函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∵一個交點(diǎn)的坐標(biāo)是，
∴另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)是．
故答案為．
【變式訓(xùn)練1-3】已知反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限．
(1)求的取值范圍；
(2)若該反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象的一個交點(diǎn)為，求的值．
(3)當(dāng)時，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)；
(3)的取值范圍為或．
【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，即，列不等式求解，即可解題；
（2）先利用正比例函數(shù)求出交點(diǎn)，再將代入反比例函數(shù)求解，即可解題；
（3）根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)，再根據(jù)交點(diǎn)情況即可得到的取值范圍．
【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，
∴，
解得，
∴的取值范圍為；
（2）解：∵正比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，
∴，
反比例函數(shù)與正比例函數(shù)交點(diǎn)為，
∴，
解得；
（3）解：由，則，解得：，
∴反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)為，，
∴當(dāng)時，的取值范圍為或．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，解一元一次不等式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)情況，以及根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)情況求不等式解集，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識并靈活運(yùn)用．
【變式訓(xùn)練1-4】如圖是反比例函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（ ）

A．常數(shù)
B．在每個象限內(nèi)，隨的增大而增大
C．若，在圖象上，則
D．若在圖象上，則也在圖象上
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象逐一分析四個選項．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，熟悉掌握反比例函數(shù)圖象的有關(guān)知識是關(guān)鍵．結(jié)合函數(shù)圖象逐一分析四個選項的對錯，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】解：A、∵反比例函數(shù)y=的圖象在第一三象限，
∴，
∴A錯誤，故本選項不符合題意；
B、根據(jù)函數(shù)圖象可得出：在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，
∴B錯誤，故本選項不符合題意；
C、根據(jù)函數(shù)圖象可得出：在第三象限內(nèi)，，在第一象限內(nèi)，，
∵，，
∴，
∴C正確，故本選項符合題意；
D、由反比例函數(shù)的對稱性可知：
若在圖象上，則在圖象上，
∴D錯誤，故本選項不符合題意．
故選：C．
題型二：比較反比例函數(shù)的值或自變量的大小
【經(jīng)典例題2】在反比例函數(shù)的圖象上有三個點(diǎn)，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，先分別求出，，的值，再比較大小即可，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解∶∵在反比例函數(shù)的圖象上有三個點(diǎn)，，，
∴，，，
∵，
∴，
故選：A．
【變式訓(xùn)練2-1】在函數(shù)（k是常數(shù)，且）的圖象上有三點(diǎn)，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)結(jié)合三點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵函數(shù)（k為常數(shù)，且）中，
∴函數(shù)圖象的兩個分支分別在一、三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減少，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：C．
【變式訓(xùn)練2-2】若點(diǎn)、、都在反比例函數(shù)的圖象上，則、、的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)可得反比例函數(shù)圖象在第一、三象限，每個象限中，隨的增大而減小，由此即可求解．
【詳解】解：已知反比例函數(shù)解析式為，
∵，
∴反比例函數(shù)圖象在第一、三象限，每個象限中， 隨 的增大而減小，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
∵，
∴，，
如圖所示，
∵，
∴，
故選：C ．
【變式訓(xùn)練2-3】函數(shù)(為常數(shù))的圖象上有三點(diǎn)，，，則函數(shù)值，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．先判斷出函數(shù)反比例函數(shù)的圖象所在的象限，再根據(jù)圖象在每一象限的增減性及每一象限坐標(biāo)的特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：，
，，
反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
此點(diǎn)在第四象限，；
，的橫坐標(biāo)，
兩點(diǎn)均在第二象限，，
在第二象限內(nèi)隨的增大而增大，
，
．
故選：D．
【變式訓(xùn)練2-4】在反比例函數(shù)圖象上有三個點(diǎn)，、，、，，若，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由可得反比例函數(shù)圖象在第二、四象限，根據(jù)選項一—分析即可．
【詳解】解：在反比例函數(shù)中，，圖象在第二、四象限，
若 則或，故A錯誤；
當(dāng)時，若，則且或，
故或 ，故B錯誤；
若則，則，故C錯誤；
若則且或，故，故D正確；
故選：D．
【變式訓(xùn)練2-5】已知，是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)：若，則 （填“<”、“=”或“>”）
【答案】
【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，時，在每一個象限，隨著的增大而增大，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵，是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)：
∴函數(shù)圖象在第二，四象限，隨著的增大而增大，
∴時，；
故答案為：．
題型三：已知比例系數(shù)求特殊圖像面積
【經(jīng)典例題3】如圖，直線與軸平行且與反比例函數(shù)與的圖象分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一個動點(diǎn)，則的面積為（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，連接，得出，進(jìn)而根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵軸，
∴，
故選：C．
【變式訓(xùn)練3-1】如圖，過軸正半軸上的任意一點(diǎn)作軸的平行線，分別與反比例函數(shù)和的圖象交于，兩點(diǎn)若是軸上一點(diǎn)，則 ABC的面積為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本題考查的知識點(diǎn)是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義與反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．由直線與y軸平行，可得 ABC的面積等于 AOB的面積，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由此可得出點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)都為a，再將分別代入反比例函數(shù)解析式，得出A、B的縱坐標(biāo)，繼而得出的值，從而得出三角形的面積．
【詳解】解：如下圖，連接，
由題意可知直線與y軸平行，
∴
設(shè)，則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)都為a，
將代入得出，得，
故；
將代入得出，得，
故；
∴，
∴．
故選：B．
【變式訓(xùn)練3-2】如圖，反比例函數(shù)的圖像上有一點(diǎn)P，軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B在y軸上，則的面積為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，掌握過雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于，并根據(jù)面積關(guān)系得出方程是解題的關(guān)鍵．
設(shè)，則，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)，
∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，
∴．
∵軸，
∴．
故選：B．
【變式訓(xùn)練3-3】如圖，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在雙曲線上，軸，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，連接，若 ABC的面積是，則的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)的圖象，連接，設(shè)與軸交點(diǎn)為，得到，再利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，得到，，然后根據(jù)列方程求出的值，再結(jié)合函數(shù)圖象即可得到答案，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，連接，設(shè)與軸交點(diǎn)為，
∵軸，
∴軸，，
∵點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在雙曲線上，
∴，，
∴，
解得，
∵雙曲線分布在二、四象限，
∴，
∴，
故選：．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖所示，過軸正半軸上的任意一點(diǎn)作軸的平行線，分別與反比例函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)若點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)，連接，，則 ABC的面積為 ．
【答案】3
【分析】本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所均成的三角形的面積是，保持不變．先設(shè)，由直線軸，則兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為而分別在反比例函數(shù)和的圖象上，可得到A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，從而求出的長，然后根據(jù)三角形的面積公式計算即可．
【詳解】解：設(shè)，
∵直線軸，
∴兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為而點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，
∴當(dāng)
即點(diǎn)Ａ的坐標(biāo)為，
又∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，
∴當(dāng)
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
∴
故答案為：3．
【變式訓(xùn)練3-5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù) 點(diǎn) M 在y 軸的正半軸上，點(diǎn)N在x軸上，過點(diǎn) M作y 軸的垂線分別交函數(shù)，的圖象于A，B兩點(diǎn)，連接，，則的面積為 ．
【答案】4
【分析】本題考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義，過點(diǎn)A和點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)G和點(diǎn)H，易得四邊形為矩形，則，進(jìn)而得出，最后根據(jù)，即可解答．
【詳解】解：過點(diǎn)A和點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)G和點(diǎn)H，
∵軸，
∴軸，
∵軸，軸，
∴，
∴四邊形為矩形，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案為：4．
【變式訓(xùn)練3-6】如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，且軸，則 ABC的面積等于 ．
【答案】1
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)中的幾何意義，理解的幾何意義是解題的關(guān)鍵．
延長交軸于，連接、，可求，，即可求解．
【詳解】解：如圖，延長交軸于，連接、，
軸，
，
，
，
故答案：．
題型四：根據(jù)圖像面積求比例系數(shù)
【經(jīng)典例題4】如圖，矩形的頂點(diǎn)和對稱中心在反比例函數(shù)的圖象上，若矩形的面積為12，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查反比例函數(shù)與矩形綜合，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．設(shè)，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，可得點(diǎn)坐標(biāo)，則可求出，再利用，即可列式求解．
【詳解】解：設(shè)矩形的中心為，連接，，
根據(jù)題意，設(shè)，
∵為中點(diǎn)，點(diǎn)縱坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練4-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象上有A，B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為2和3，的面積為4，則k的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，作軸于，軸于，由題意得到，，根據(jù)，得到，解得即可．
【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象上有、兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為2和3，
，，
作軸于，軸于，則，
∴，
，
解得，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練4-2】如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，連接，，，若，的面積為4，則k的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義以及全等三角形的判定與性質(zhì)，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作軸于，先求出，再由結(jié)合勾股定理得到，則，，最后根據(jù)反比例函數(shù)的系數(shù)的幾何意義可得：，根據(jù)圖中面積的關(guān)系可知：，列方程可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作于，
點(diǎn)，在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
，，
，
設(shè)，則
，
，
，
整理得，即，
∵，
∴，
，
（負(fù)值舍），
∴，
，，
∵，，
∴，
，
，
，
∵由圖可知：，
∴，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練4-3】如圖，直線與反比例函數(shù)交于，兩點(diǎn)，若，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問題，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．聯(lián)立直線與反比例函數(shù)得到，設(shè)方程的兩個根為，，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，，利用完全平方公式變形得到，再結(jié)合直線與軸交于點(diǎn)與建立等式求解，即可解題．
【詳解】解：聯(lián)立，得到，
，
設(shè)方程的兩個根為，，且，
，，
，
，
，
直線與軸交于點(diǎn)，
，
．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，矩形與反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖象交于點(diǎn)，反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖象交于點(diǎn)，連接．若四邊形的面積為3，則 ．
【答案】6
【分析】本題考查反比例函數(shù)中的幾何意義的應(yīng)用，讀懂題意，數(shù)形結(jié)合，將所求代數(shù)式準(zhǔn)確用的幾何意義對應(yīng)的圖形面積表示出來是解決問題的關(guān)鍵．
根據(jù)反比例函數(shù)中的幾何意義：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，與原點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形面積等于，數(shù)形結(jié)合可以得到，根據(jù)圖象均在第一象限可知，再由四邊形的面積為3，得到，即可得到答案．
【詳解】解：矩形與反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖象交于點(diǎn)，
由反比例函數(shù)中的幾何意義知，，
矩形與反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖象交于點(diǎn)，
由反比例函數(shù)中的幾何意義知，，
四邊形的面積為3，
由圖可知，，
即，解得，
，
故答案為：6．
【變式訓(xùn)練4-5】如圖，，在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，軸，，在軸的兩側(cè)，，，與的距離為，則的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 、 ，根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，得到 ，，由，，得到，根據(jù)與的距離為5，把代入中，即可求解，
本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)題意列出等量關(guān)系式．
【詳解】解：設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 、 ，
∵軸
∴點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，即 ，解得 ，
點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，即，解得，
∵，，
∴ ， 解得 ，
∵與的距離為5，
∴ ，
把代入中，得，
故選：D．
題型五：求反比例函數(shù)解析式
【經(jīng)典例題5】如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)和，軸于點(diǎn)，且．
(1)求正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
(2)結(jié)合圖象，指出當(dāng)時的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義得到，即可求得，把點(diǎn)代入反比例函數(shù)的解析式即可求得t，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得正比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的對稱性，可得B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象即可求得當(dāng)時x的取值范圍．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
，
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為，
∵反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，
∴，
∴，
把代入得，
∴，
∴正比例函數(shù)的解析式為；
（2）解：∵， 且兩個函數(shù)的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴，
由圖象可知當(dāng)時x的取值范圍是或．
【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的對稱性，函數(shù)與不等式的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練5-1】世界的面食之根就在山西．如圖，廚師將一定質(zhì)量的面團(tuán)做成拉面時，面條的總長度是面條橫截面面積的反比例函數(shù)，其圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)．
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查的知識點(diǎn)是反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)性質(zhì)．
（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可；
（2）將代入函數(shù)關(guān)系式，求得即可．
【詳解】（1）解：設(shè)，代入
（2）將代入
【變式訓(xùn)練5-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
(1)求反比例函數(shù)的解析式及A點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)直接寫出不等式時x的取值范圍．
【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為；
(2)不等式時x的取值范圍是或
【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．
（1）將代入得出，再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式為，聯(lián)立，計算即可得解；
（2）由函數(shù)圖象即可得解．
【詳解】（1）解：將代入得：，
解得：，
∴，
將代入得，
∴反比例函數(shù)的解析式為；
聯(lián)立，解得或，
∴；
（2）解：由圖象可得，不等式時x的取值范圍是或．
【變式訓(xùn)練5-3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)．
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
(2)若是軸上一點(diǎn)，且滿足的面積是6，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式是，一次函數(shù)的解析式是；
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)求不等式解集，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及三角形的面積求法．
（1）將坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出的值，即可確定出反比例函數(shù)解析式；將坐標(biāo)代入反比例解析式中求出的值，確定出坐標(biāo)，將與坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出與的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）作軸于，根據(jù)即可求出的長，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
．
反比例函數(shù)的解析式是，
點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
，
，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)，
，
解得：，
一次函數(shù)的解析式是；
（2）解：如圖，作軸于，則，
∵，
∴
解得：，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【變式訓(xùn)練5-4】已知一次函數(shù)()的圖象與軸、軸分別交于點(diǎn)、，且與反比例函數(shù)()的圖象在第一象限交于點(diǎn)，垂直于軸，垂足為，若．
(1)直接寫出點(diǎn)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求一此函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．
【答案】(1)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，；
(2)一次函數(shù)的解析式為．反比例函數(shù)的解析式為．
【分析】
本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．
（1）根據(jù)和各坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特點(diǎn)易得到所求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，可用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式，由點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上可確定點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入可確定反比例函數(shù)的解析式．
【詳解】（1）
解：，
點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，；
（2）
解：點(diǎn)、在一次函數(shù)的圖象上，
，
解得，
一次函數(shù)的解析式為．
點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，且軸，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
又點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
；
反比例函數(shù)的解析式為．
【變式訓(xùn)練5-5】如圖，已知一次函數(shù)（為常數(shù)）的圖象與反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象相交于點(diǎn)．
(1)求這兩個函數(shù)的解析式及其圖象的另一交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)觀察圖象，寫出使函數(shù)值的自變量x的取值范圍．
【答案】(1)， ，
(2)或
【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題；用待定系數(shù)法得到函數(shù)解析式是解決本題的基本思路；利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是常用的解題方法．
（1）利用待定系數(shù)法把代入一次函數(shù)與反比例函數(shù)中，可解出、的值，進(jìn)而可得解析式，求點(diǎn)坐標(biāo)，就是把兩函數(shù)解析式聯(lián)立，求出、的值；
（2）看在交點(diǎn)的哪側(cè)，對于相同的自變量，一次函數(shù)大于或等于反比例函數(shù)的函數(shù)值，即可作答．．
【詳解】（1）解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
，
反比例函數(shù)的解析式為，
一次函數(shù)為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
，
，
一次函數(shù)解析式為，
∵，
由，
解得：，，
經(jīng)檢驗，，是的根，
當(dāng)時，，
時，，
兩個函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)是：，
∵
；
（2）解：由圖象可以看出，當(dāng)或時，則．
【變式訓(xùn)練5-6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．
(1)求的值和反比例函數(shù)的解析式；
(2)求的面積．
【答案】(1)，
(2)3
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，熟練運(yùn)用圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圖象的解析式是本題的關(guān)鍵．
（1）由一次函數(shù)求得的值，然后利用待定系數(shù)法即可求得．
（2）聯(lián)立方程，解方程組即可求得的坐標(biāo)；令的圖象交軸和軸于點(diǎn)，求出的坐標(biāo)為，根據(jù)可得答案．
【詳解】（1）解：的圖象經(jīng)過，
，
解得，
，
反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，
反比例函數(shù)的解析式為；
（2）解：由，解得或，
，
令的圖象交軸和軸于點(diǎn)，
則，解得：，
的坐標(biāo)為，
，即的面積為3．
題型六：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像綜合
【經(jīng)典例題6】函數(shù)與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
【詳解】直線與y軸交于點(diǎn)，可否定A，D選項；
再根據(jù)k的取值符號是否一致（時，直線與雙曲線都經(jīng)過第一、三象限；時，直線與雙曲線都經(jīng)過第二、四象限）可以否定C，
故選：B．
【變式訓(xùn)練6-1】一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象，分兩種情況討論，當(dāng)時，分析出一次函數(shù)和反比例函數(shù)所過象限；再分析出時，一次函數(shù)和反比例函數(shù)所過象限，符合題意者即為正確答案
【詳解】解：①當(dāng)時，一次函數(shù)的圖象過一、三、四象限；反比例函數(shù)在一、三象限；
②當(dāng)時，一次函數(shù)的圖象過一、二、四象限；反比例函數(shù)在二、四象限，
觀察圖形可知，只有C符合，
故選：C
【變式訓(xùn)練6-2】如圖，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象大致可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象的知識，比例系數(shù)相等，那么這兩個函數(shù)圖象必有交點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)判斷正確選項即可．
【詳解】解：∵兩個函數(shù)的比例系數(shù)均為k，
∴兩個函數(shù)圖象必有交點(diǎn)，
又交y軸的正半軸，
∴符合這兩個條件的選項只有C．
故選：C．
【變式訓(xùn)練6-3】如圖，函數(shù)和函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】本題考查的知識點(diǎn)是一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷，解題關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)圖象解題．
先求出、的值，再根據(jù)函數(shù)圖象即可求解．
【詳解】解：，在函數(shù)和函數(shù)上，
，，
即，，
則的范圍如圖中實線所示：
即或．
故選：．
【變式訓(xùn)練6-4】函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是圖（　　）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象綜合題，掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．根據(jù)和分析，確定圖象即可．
【詳解】解：當(dāng)時，，則函數(shù)的圖象在一、三象限，的圖象在二、四象限；
當(dāng)時，，函數(shù)的圖象在二、四象限，的圖象在一、三象限，
只有C選項符合題意，
故選：C．
【變式訓(xùn)練6-5】函數(shù)與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷，分、兩種情況，根據(jù)函數(shù)與經(jīng)過的象限進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：當(dāng)時，過二、三、四象限，反比例函數(shù)過一、三象限，
當(dāng)時，過一、三、四象限，反比例函數(shù)過二、四象限，
觀察四個選項可知，只有C選項的圖象滿足要求，
故選C．
題型七：反比例函數(shù)與幾何綜合
【經(jīng)典例題7】一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，當(dāng) 時，（寫出的取值范圍）
【答案】或
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，不等式的解集等知識點(diǎn)，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
利用數(shù)形結(jié)合思想，觀察函數(shù)圖象即可發(fā)現(xiàn)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時的取值范圍，即為不等式的解集．
【詳解】解：觀察函數(shù)圖象即可發(fā)現(xiàn)，在直線左側(cè)以及軸和直線之間時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，即，
當(dāng)或時，，
故答案為：或．
【變式訓(xùn)練7-1】對于平面直角坐標(biāo)系中的圖形和直線，給出如下定義：若圖形上有點(diǎn)到直線的距離為，那么稱這個點(diǎn)為圖形到直線的“距點(diǎn)”，如圖，雙曲線和直線，若圖形到直線的“距點(diǎn)”有且只有個，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由直線可得是等腰直角三角形，得到，設(shè)點(diǎn)為圖形到直線的“距點(diǎn)”，作交于，則， 作軸交于，則，，得是等腰直角三角形，可得，即得，先找圖形到直線的“距點(diǎn)”只有個時，即只有個解，即或只有個解，分兩種情況解得當(dāng)，時，點(diǎn)為圖形到直線的“距點(diǎn)”， 作出當(dāng)，時的圖象，通過圖象發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時圖形在直線上方必定還有兩個點(diǎn)到直線的距離為，再根據(jù)臨界點(diǎn)即可求解．
【詳解】解：令直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，
對于直線，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
設(shè)點(diǎn)為圖形到直線的“距點(diǎn)”，作交于，則， 作軸交于，則，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
先找圖形到直線的“距點(diǎn)”只有個時，即只有個解，
則或只有個解，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)時，即，
則，
解得，
此時，，
解得，
即點(diǎn)為圖形到直線的“距點(diǎn)”；
當(dāng)時，即，
則，
解得，
此時，，
解得，
即點(diǎn)為圖形到直線的“距點(diǎn)”；
作出當(dāng)，時的圖象如下：
通過作圖發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時圖形在直線上方必定還有兩個點(diǎn)到直線的距離為，
∴當(dāng)圖形到直線的“距點(diǎn)”只有個，當(dāng)圖形到直線的“距點(diǎn)”只有個，
∴當(dāng)圖形到直線的“距點(diǎn)”只有個時，的取值范圍為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根的問題，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想作出草圖，找到滿足條件的臨界點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練7-2】如圖，點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象上從左到右的三個點(diǎn)，分別過這三個點(diǎn)作軸，軸的垂線，與軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次記為，其中，若，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形面積的綜合運(yùn)用，根據(jù)，設(shè)，結(jié)合圖形，分別用含的式子表示的值，由此可得，根據(jù)幾何圖形面積的計算可得，分別算出的值即可求解．
【詳解】解：∵，
∴設(shè)，
∴，，
如圖所示，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)在反比函數(shù)的圖象上，
∴在點(diǎn)的位置，，即，
同理，在點(diǎn)的位置，，即，
在點(diǎn)的位置，，即，
∵分別過點(diǎn)三個點(diǎn)作軸，軸的垂線，
∴四邊形是矩形，
∴，
同理，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案為： ．
【變式訓(xùn)練7-3】如圖，直線（a，b為常數(shù)）與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于C、D兩點(diǎn)，分別過C、D兩點(diǎn)作軸，軸，垂足為E、F，連接、，判斷下列結(jié)論：（1）；（2）四邊形是平行四邊形； （3）； （4）；其中結(jié)論正確的是 ．
【答案】（1）（2）（3）（4）
【分析】此題綜合考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義即可得出（4）成立；根據(jù)題意，得．結(jié)合（4）可以證明，則可以證明四邊形是平行四邊形；四邊形是平行四邊形，同理也是平行四邊形，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，
∵反比例函數(shù)的圖象過第一、三象限，
，
，
同理可得：，
故（4）成立；
根據(jù)題意，得．
，
所以四邊形是平行四邊形，故（1）（2）成立；
∵四邊形是平行四邊形，同理也是平行四邊形，
，
，
∴（3）正確，
故答案為：（1）（2）（3）（4）．
【變式訓(xùn)練7-4】已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，若為等腰三角形，且腰長為5，則的長為 ．
【答案】5或或
【分析】本題考查了等腰三角形的定義，勾股定理及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，分類討論數(shù)學(xué)思想的巧妙運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．對等腰三角形的腰進(jìn)行分類討論即可解決問題．
【詳解】解：如圖1所示，當(dāng)時，；
如圖2所示，當(dāng)時，；
如圖3所示，當(dāng)時，設(shè)，
因為，
所以，
即，
令，
則，
解得或9，
則或9．
又因為，
所以或3，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為或．
當(dāng)時，
；
當(dāng)時，
．
綜上所述，的長為5或或．
故答案為：5或或．
【變式訓(xùn)練7-5】如圖，A，B兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，橫坐標(biāo)為m、n（），過B點(diǎn)作軸于C點(diǎn)，若 ABC的面積6，則的值為 ．
【答案】
【分析】三角形本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合．熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形面積公式求三角形面積，是解題關(guān)鍵．
過點(diǎn)A作軸，交于點(diǎn)E，根據(jù)反比例函數(shù)的解析式求出點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)，從而可得的長，再根據(jù)三角形的面積公式即得．
【詳解】如圖，過點(diǎn)A作軸，交于點(diǎn)E，
由題意得：，，
∴，
∴， ，
∴，
又，
∴，
解得．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練7-6】如圖，，…，都是等腰直角三角形，點(diǎn)，……，都在函數(shù)的圖象上，斜邊，…，都在x軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律的探索，等腰三角形的性質(zhì)；解決此題的關(guān)鍵是要根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的解析式進(jìn)行求解．
首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，知點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相等，根據(jù)等腰三角形的三線合一求得點(diǎn)的坐標(biāo)；同樣根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)和雙曲線的解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可推而廣之即可求出答案．
【詳解】解：可設(shè)點(diǎn)，
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得：，
又∵，
則，
∴（負(fù)值舍去），
則；
再根據(jù)等腰三角形的三線合一，得的坐標(biāo)是，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，
又∵，則，即
解得，，，
∵，
∴，
再根據(jù)等腰三角形的三線合一，得的坐標(biāo)是；
可以再進(jìn)一步求得點(diǎn)的坐標(biāo)是，推而廣之，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．
故點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故答案是：．
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專題26.1.2反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)（二）七大題型（一課一講）
【人教版】
題型一：由反比例函數(shù)的對稱性求點(diǎn)坐標(biāo)
【經(jīng)典例題1】如圖，反比例函數(shù)的圖象與經(jīng)過原點(diǎn)的直線相交于A、B兩點(diǎn)，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么B點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【變式訓(xùn)練1-1】已知正比例函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像都經(jīng)過點(diǎn)，那么這兩個函數(shù)圖象必都經(jīng)過另一個點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【變式訓(xùn)練1-2】如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點(diǎn)，則它們的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
【變式訓(xùn)練1-3】已知反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限．
(1)求的取值范圍；
(2)若該反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象的一個交點(diǎn)為，求的值．
(3)當(dāng)時，直接寫出的取值范圍．
【變式訓(xùn)練1-4】如圖是反比例函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（ ）

A．常數(shù)
B．在每個象限內(nèi)，隨的增大而增大
C．若，在圖象上，則
D．若在圖象上，則也在圖象上
題型二：比較反比例函數(shù)的值或自變量的大小
【經(jīng)典例題2】在反比例函數(shù)的圖象上有三個點(diǎn)，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-1】在函數(shù)（k是常數(shù)，且）的圖象上有三點(diǎn)，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-2】若點(diǎn)、、都在反比例函數(shù)的圖象上，則、、的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練2-3】函數(shù)(為常數(shù))的圖象上有三點(diǎn)，，，則函數(shù)值，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-4】在反比例函數(shù)圖象上有三個點(diǎn)，、，、，，若，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【變式訓(xùn)練2-5】已知，是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)：若，則 （填“<”、“=”或“>”）
題型三：已知比例系數(shù)求特殊圖像面積
【經(jīng)典例題3】如圖，直線與軸平行且與反比例函數(shù)與的圖象分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一個動點(diǎn)，則的面積為（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【變式訓(xùn)練3-1】如圖，過軸正半軸上的任意一點(diǎn)作軸的平行線，分別與反比例函數(shù)和的圖象交于，兩點(diǎn)若是軸上一點(diǎn)，則 ABC的面積為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【變式訓(xùn)練3-2】如圖，反比例函數(shù)的圖像上有一點(diǎn)P，軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B在y軸上，則的面積為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【變式訓(xùn)練3-3】如圖，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在雙曲線上，軸，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，連接，若 ABC的面積是，則的值（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖所示，過軸正半軸上的任意一點(diǎn)作軸的平行線，分別與反比例函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)若點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)，連接，，則 ABC的面積為 ．
【變式訓(xùn)練3-5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù) 點(diǎn) M 在y 軸的正半軸上，點(diǎn)N在x軸上，過點(diǎn) M作y 軸的垂線分別交函數(shù)，的圖象于A，B兩點(diǎn)，連接，，則的面積為 ．
【變式訓(xùn)練3-6】如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，且軸，則 ABC的面積等于 ．
題型四：根據(jù)圖像面積求比例系數(shù)
【經(jīng)典例題4】如圖，矩形的頂點(diǎn)和對稱中心在反比例函數(shù)的圖象上，若矩形的面積為12，則的值為 ．
【變式訓(xùn)練4-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象上有A，B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為2和3，的面積為4，則k的值為 ．
【變式訓(xùn)練4-2】如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，連接，，，若，的面積為4，則k的值為 ．
【變式訓(xùn)練4-3】如圖，直線與反比例函數(shù)交于，兩點(diǎn)，若，則的值為 ．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，矩形與反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖象交于點(diǎn)，反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖象交于點(diǎn)，連接．若四邊形的面積為3，則 ．
【變式訓(xùn)練4-5】如圖，，在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，軸，，在軸的兩側(cè)，，，與的距離為，則的值是（ ）

A． B． C． D．
題型五：求反比例函數(shù)解析式
【經(jīng)典例題5】如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)和，軸于點(diǎn)，且．
(1)求正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
(2)結(jié)合圖象，指出當(dāng)時的取值范圍．
【變式訓(xùn)練5-1】世界的面食之根就在山西．如圖，廚師將一定質(zhì)量的面團(tuán)做成拉面時，面條的總長度是面條橫截面面積的反比例函數(shù)，其圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)．
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求的值．
【變式訓(xùn)練5-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
(1)求反比例函數(shù)的解析式及A點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)直接寫出不等式時x的取值范圍．
【變式訓(xùn)練5-3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)．
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
(2)若是軸上一點(diǎn)，且滿足的面積是6，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練5-4】已知一次函數(shù)()的圖象與軸、軸分別交于點(diǎn)、，且與反比例函數(shù)()的圖象在第一象限交于點(diǎn)，垂直于軸，垂足為，若．
(1)直接寫出點(diǎn)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求一此函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．
【變式訓(xùn)練5-5】如圖，已知一次函數(shù)（為常數(shù)）的圖象與反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象相交于點(diǎn)．
(1)求這兩個函數(shù)的解析式及其圖象的另一交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)觀察圖象，寫出使函數(shù)值的自變量x的取值范圍．
【變式訓(xùn)練5-6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．
(1)求的值和反比例函數(shù)的解析式；
(2)求的面積．
題型六：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像綜合
【經(jīng)典例題6】函數(shù)與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練6-1】一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練6-2】如圖，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象大致可能是（ ）
A．B．C． D．
【變式訓(xùn)練6-3】如圖，函數(shù)和函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【變式訓(xùn)練6-4】函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是圖（　　）
A．B． C． D．
【變式訓(xùn)練6-5】函數(shù)與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（ ）
A．B． C． D．
題型七：反比例函數(shù)與幾何綜合
【經(jīng)典例題7】一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，當(dāng) 時，（寫出的取值范圍）
【變式訓(xùn)練7-1】對于平面直角坐標(biāo)系中的圖形和直線，給出如下定義：若圖形上有點(diǎn)到直線的距離為，那么稱這個點(diǎn)為圖形到直線的“距點(diǎn)”，如圖，雙曲線和直線，若圖形到直線的“距點(diǎn)”有且只有個，則的取值范圍是 ．
【變式訓(xùn)練7-2】如圖，點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象上從左到右的三個點(diǎn)，分別過這三個點(diǎn)作軸，軸的垂線，與軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次記為，其中，若，則的值為 ．
【變式訓(xùn)練7-3】如圖，直線（a，b為常數(shù)）與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于C、D兩點(diǎn)，分別過C、D兩點(diǎn)作軸，軸，垂足為E、F，連接、，判斷下列結(jié)論：（1）；（2）四邊形是平行四邊形； （3）； （4）；其中結(jié)論正確的是 ．
【變式訓(xùn)練7-4】已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，若為等腰三角形，且腰長為5，則的長為 ．
【變式訓(xùn)練7-5】如圖，A，B兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，橫坐標(biāo)為m、n（），過B點(diǎn)作軸于C點(diǎn)，若 ABC的面積6，則的值為 ．
【變式訓(xùn)練7-6】如圖，，…，都是等腰直角三角形，點(diǎn)，……，都在函數(shù)的圖象上，斜邊，…，都在x軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
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