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專題26.1.2反比例函數的圖像與性質（一）七大題型（一課一講）
【人教版】
題型一：判斷點是否在反比例函數上
【經典例題1】反比例函數的圖象一定經過點（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是掌握反比例函數圖象上點的坐標特征．
根據題意將各項的坐標代入反比例函數即可解答．
【詳解】解：A將代入反比例函數得到，故A項不符合題意；
B項將代入反比例函數得到，故B項不符合題意；
C項將代入反比例函數得到，故C項符合題意；
D項將代入反比例函數得到，故D項不符合題意；
故選：C．
【變式訓練1-1】下列各點不在反比例函數圖像上的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數的性質，判定點與反比例函數的關系，代入解析式，計算判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴點在反比例函數上，故A不符合題意；
∵，
∴點在反比例函數上，故B不符合題意；
∵，
∴點不在反比例函數上，故C符合題意；
∵，
∴點在反比例函數上，故D不符合題意；
故選C．
【變式訓練1-2】點在函數（ ）的圖像上
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】該題主要考查了函數的性質，掌握點坐標代入函數解析式成立，則點在函數圖象上是解題的關鍵．
將點分別代入解析式即可求解；
【詳解】解：將點代入，等式不成立，故該選項不符合題意；
將點代入，等式不成立，故該選項不符合題意；
將點代入，等式成立，故該選項符合題意；
將點代入，等式不成立，故該選項不符合題意；
故選：C．
【變式訓練1-3】下列各點中，在反比例函數的圖象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數中的特點是解答此題的關鍵．根據反比例函數中對各選項進行逐一判斷即可．
【詳解】解：A、，此點不在反比例函數的圖象上；
B、，此點不在反比例函數的圖象上；
C、，此點不在反比例函數的圖象上；
D、，此點在反比例函數的圖象上．
故選：D
【變式訓練1-4】若反比例函數的圖象經過點，則它的圖象一定還經過點（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把代入求出即可求解．
【詳解】解：由題意得：，
∵，
∴反比例函數一定還經過點，
故選：D．
【點睛】本題考查反比例函數的圖象和性質，熟記知識點是關鍵．
【變式訓練1-5】下列各點與點在同一個反比例函數圖像的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據反比例函數圖象上點的坐標特征，代入求出的值，根據縱橫坐標的積等于，逐項判定即可．
【詳解】解：∵點在反比例函數的圖象上，
，
A、，∴點不在反比例函數圖象上，故此選項不符合題意；
B、，∴點在反比例函數圖象上，故此選項符合題意；
C、，∴點不在反比例函數圖象上，故此選項不符合題意；
D、，∴點不在反比例函數圖象上，故此選項不符合題意；
故選：B．
【點睛】考查反比例函數圖象上點的坐標特征，在同一個反比例函數圖象上的點坐標的特征為：縱橫坐標的積為常數．
題型二：已知反比例函數分布象限求參數范圍
【經典例題2】若反比例函數的圖象位于第二、四象限，則的值（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數的圖象和性質，解一元二次方程，先根據反比例函數的定義列出方程求出的可能取值，再根據圖象經過的象限決定常數的取值范圍，進而得出的值，解題的關鍵是正確理解當時，圖象分別位于第一、三象限；當時，圖象分別位于第二、四象限；當時，在同一個象限內，隨的增大而減小；當時，在同一個象限，隨的增大而增大．
【詳解】依題意有，解得或，
∵函數圖象位于第二、四象限，
∴，即，
∴的值是，
故選：．
【變式訓練2-1】若反比例函數的圖象分布在第二、四象限，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查反比例函數圖象與性質求參數范圍，當時，反比例函數的圖象在第二、四象限，得到求解即可得到答案，熟記反比例函數圖象與性質是解決問題的關鍵．
【詳解】解：若反比例函數的圖象分布在第二、四象限，
則，
解得，
故選：A．
【變式訓練2-2】若反比例函數的圖形位于第一、三象限，則m的取值范圍（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數的圖象與性質，正確理解反比例函數的圖象與性質是解題的關鍵．根據反比例函數的圖形與性質，可得，求解不等式即得答案．
【詳解】反比例函數的圖形位于第一、三象限，
，
解得．
故選：A．
【變式訓練2-3】若反比例函數的圖象在一、三象限，正比例函數的圖象在二、四象限，則k的整數值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數的性質和正比例函數的性質，掌握反比例函數，當，圖象分布在第一、三象限；當，圖象分布在第二、四象限．
根據反比例函數的性質得，解得，根據正比例函數的性質得，解得，所以，然后找出此范圍內的整數即可．
【詳解】解：反比例函數的圖象位于第一、三象限，
，
，
正比例函數的圖象經過第二、四象限，
，解得，
，
整數為4．
故選：C．
【變式訓練2-4】已知：多項式是一個完全平方式，且反比例函數的圖象位于二、四象限，k的值為 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了反比例函數的圖象及其性質，完全平方公式．根據多項式是一個完全平方式得，再根據反比例函數的圖象位于第二、四象限得，由此解得，據此可得出的值．
【詳解】解：多項式是一個完全平方式，
，
反比例函數的圖象位于第二、四象限，
，
解得：，
，
故答案為：．
【變式訓練2-5】若雙曲線經過第二、四象限，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查反比例函數的性質，根據雙曲線經過第二、四象限，則據此求解即可．
【詳解】解：雙曲線經過第二、四象限，
∴，
∴，
解得：，
故答案為：．
題型三：判斷反比例函數的增減性
【經典例題3】對于反比例函數，當時，y的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本題考查了反比例函數的性質，熟知反比例函數的增減性是解題的關鍵．先求出時y的值，再根據反比例函數的性質即可得出結論．
【詳解】當時，，
反比例函數中，，
此函數圖象的兩個分支分別位于第二、四象限，且在每一象限內y隨x的增大而增大，
，
當時，；
當時，，
綜上所述：y的取值范圍是或，
故選：D．
【變式訓練3-1】在函數的圖象上有兩點，已知，則下列各式中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查反比例函數圖象及性質．根據題意利用反比例函數圖象及性質可知隨增大而減小，繼而根據關系得到的關系．
【詳解】解：∵函數的圖象上有兩點，
∴當時，隨增大而減小，
∵，
∴，
故選∶D．
【變式訓練3-2】已知點，，都在函數的圖象上，則a、b、c的大小關系是 ．（用“”號連接）
【答案】
【分析】本題主要考查了比較反比例函數值的大小，反比例函數的增減性，對于反比例函數，當時，圖象在一、三象限，在每一象限內，y隨x的增大而減小；當時，圖象在二、四象限，在每一象限內，y隨x的增大而增大，據此求解即可．
【詳解】解：∵在中，，
∴反比例函數的圖象經過第二、四象限，且個每個象限內y隨x增大而增大，
∵點，，都在函數的圖象上，且，
∴，
故答案為：．
【變式訓練3-3】對于反比例函數，下列說法正確的是( )
A．圖象經過點 B．圖象位于第一、三象限
C．y隨x的增大而增大 D．當時，
【答案】D
【分析】本題考查的是反比例函數的性質，根據題目中的函數解析式和反比例函數的性質，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．
【詳解】解：反比例函數，
A、當時，，圖象經過點，故選項A不符合題意；
B、∵，故該函數圖象位于第二、四象限，故選項B不符合題意；
C、在每個象限內，隨的增大而增大，故選項C不符合題意；
D、∵當時，，時，
∴當時，，故選項D符合題意；
故選：D．
【變式訓練3-4】若點，，在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此題考查的是反比例函數的性質和象限內點坐標特征，熟知反比例函數的性質是解題的關鍵．
先根據函數解析式中的比例系數k確定函數圖象所在的象限，再根據各象限函數的增減性解答．
【詳解】解：，
反比例函數的圖象在一、三象限，在每一象限內，y的值隨著x的值增大而減小，
點在第三象限，
，
，
，兩點在第一象限，
，
，，的大小關系為．
故選：B．
【變式訓練3-5】關于反比例函數，下列說法正確的是（ ）
A．該函數圖象在一、三象限
B．當時，隨增大而減小
C．若在該函數圖象上，則
D．若點和點在該函數圖象上，且，則有且僅有
【答案】C
【分析】本題主要考查了反比例函數的圖象與性質，根據反比例函數的圖象與性質逐一判斷即可，熟練掌握反比例函數的圖象與性質是解題的關鍵．
【詳解】、由反比例函數可知，則該函數圖象在第二、四象限，故不符合題意；
、當時，隨增大而增大，故不符合題意;
、若在該函數圖象上，則，故符合題意；
、若點和點在該函數圖象上，當或時，，當時，，故不符合題意；
故選：.
題型四：判斷反比例函數所在象限
【經典例題4】若直線經過第二、四象限，則函數的圖象在（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第三、四象限 D．第一、二象限
【答案】B
【分析】本題考查一次函數和反比例函數的圖象與性質，根據當時，反比例函數的圖象經過第二、四象限求解即可．
【詳解】解：∵一次函數的圖象經過第二、四象限，
∴，
∴反比例函數的圖象在第二、四象限．
故選：B．
【變式訓練4-1】已知反比例函數的圖象經過點，則這個函數的圖象位于（ ）
A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
【答案】B
【分析】本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，先根據反比例函數的圖象經過點求出的值，再根據反比例函數的性質進行解答．
【詳解】解：∵反比例函數的圖象經過點，
∴，
∴此函數的圖象位于一、三象限，
故選：B．
【變式訓練4-2】若關于x的一元二次方程無實數根，則反比例函數的圖象所在的象限分別位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】此題考查了一元二次方程根的判別式、反比例函數的圖象和性質.
先利用一元二次方程無實數根得到，解得，則，根據反比例的圖象和性質即可判斷反比例函數的圖象所在的象限.
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程無實數根，
∴，
解得，
∴，
∴反比例函數的圖象所在的象限分別位于第一、三象限，
故選：C
【變式訓練4-3】直線（a，b是常數且）經過第二、三、四象限，則反比例函數的圖象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】本題考查一次函數和反比例函數的圖象與系數的關系．對于一次函數，當時，圖象必過一、三象限；當時，圖象必過二、四象限；當時，圖象必過一、二象限；當時，圖象必過三、四象限；對于反比例函數，當時，圖象在一、三象限均有隨的增大而減小；當時，圖象在二、四象限均有隨的增大而增大．熟記相關結論即可求解．
【詳解】解：∵直線（a，b是常數且）經過第二、三、四象限，
∴，；
∴
∴反比例函數的圖象位于第二、四象限
故選：C
【變式訓練4-4】已知反比例函數的圖象經過點，則此反比例函數的圖象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．不確定
【答案】B
【分析】本題主要考查反比例函數圖象上點的坐標特征，只需把所給點的橫縱坐標相乘，判斷出k的取值范圍，再判斷出函數所在的象限．
【詳解】解：把代入，
則，
∴此反比例函數的圖象在一，三象限，
故選：B．
【變式訓練4-5】二次函數的圖象如圖所示，則反比例函數的圖象一定位于（　　）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
【答案】D
【分析】本題考查了利用二次函數圖象判斷各項系數的符號，反比例函數的性質；由圖象可判斷，，，由反比例函數性質即可求解；會利用二次函數圖象判斷各項系數的符號，理解反比例函數性質是解題的關鍵．
【詳解】解：由圖象得
拋物線開口方向向上，
，
與軸交點在軸的負半軸，
，
對稱軸在軸的左側，
，
，
，
反比例函數的圖象一定位于第二、四象限；
故選：D．
【變式訓練4-6】當時，反比例函數隨x的減小而增大，則m的值為 ，圖象在第 象限．
【答案】 一、三
【分析】此題考查了反比例函數的定義、解一元二次方程、反比例函數的圖象和性質等知識．
根據定義得到，解得，，再根據當時，反比例函數隨x的減小而增大得到，圖象分別在第一、三象限．
【詳解】解：根據題意，得，
∴
解得，
∵當時，反比例函數隨x的減小而增大，
∴，
∴
∴，
此時圖象分別在第一、三象限．
故答案為：，一、三
題型五：已知反比例函數增減性求參數
【經典例題5】已知反比例函數圖象上有三個點，且滿足，則b的值可以為（ ）
A．2 B． C．1 D．3
【答案】C
【分析】本題考查了比較反比例函數的函數值，熟練掌握反比例函數的圖象與性質是解題關鍵．根據反比例函數的圖象與性質即可得．
【詳解】解：，
函數的圖象位于第二、四象限，且在每一象限內，隨的增大而增大，
點在函數的圖象上，
又，，
∴，
，
∴，
∴的值可以是1；
故答案為：C．
【變式訓練5-1】在反比例函數 的圖象上有兩點，，當時，有，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了已知反比例函數的增減性求參數的的取值范圍，能根據反比例函數的增減性判斷所在象限是解答本題的關鍵．
先根據“當，”得到反比例函數在二、四象限，進而得到，求解即可解答本題．
【詳解】解：時，，
反比例函數在二、四象限，
，
解得：，
故選：A．
【變式訓練5-2】如圖，已知拋物線（a，b均不為0）與雙曲線的圖象相交于，，三點．則滿足不等式的解為（ ）
A．或
B．或或
C．或
D．或或
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征和二次函數的性質．根據題意并結合圖象可直接寫出不等式的解集．
【詳解】解：根據圖象并結合已知條件可知不等式的解集為：或．
故選：C．
【變式訓練5-3】已知點為反比例函數圖象上的兩點，當時，，則m的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據，且，得到，解答即可．
本題考查了反比例函數圖象的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．
【詳解】解：根據，且，
∴即，
解得，
故答案為：．
【變式訓練5-4】已知反比例函數（為常數）．
(1)若該反比例函數的圖象位于第二、四象限，求的取值范圍；
(2)當時，隨的值增大而減小，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題考查了反比例函數的性質，掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．
（1）由反比例函數的圖象位于第二、四象限，得到，即可求解；
（2）當時，y隨x的值增大而減小，得到，即可求解．
【詳解】（1）解：∵反比例函數的圖象位于第二、四象限，
，
解得：，
∴a的取值范圍是：；
（2）解：∵當時，y隨x的值增大而減小，
，
解得：，
∴a的取值范圍是：．
【變式訓練5-5】已知函數．
(1)當為何值時，此函數為正比例函數，且隨的增大而增大？
(2)當為何值時，此函數為反比例函數，且圖象經過第一、三象限？
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題主要考查了正比例和反比例函數的定義以及性質求解即可．
（1）根據正比例函數的定義以及性質求解即可．
（2）根據反比例函數的定義以及性質求解即可．
【詳解】（1）解：當函數為正比例函數時，
則，
解得：，
∵隨的增大而增大．
∴，
∴，
∴．
（2）當函數為反比例函數時，
則，
解得：，
∵圖象經過第一、三象限
∴，
∴，
∴．
題型六：反比例函數與二次函數圖像綜合
【經典例題6】已知二次函數 的圖象如圖所示，則反比例函數與一次函數在同一平面直角坐標系的圖象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】此題主要考查了二次函數圖象，一次函數圖象，反比例函數圖象，根據二次函數圖象確定出a、b、c的符號，再判斷反比例函數與一次函數所在的位置即可．
【詳解】解：根據拋物線開口向下可得，由對稱軸在y軸右邊可得a、b異號，故，由與y軸交點在正半軸可得，
∴反比例函數的圖象在第一、三象限，一次函數經過第一、二、三象限，
符合條件的只有A選項，
故選：A．
【變式訓練6-1】二次函數與反比例函數且在同一平面直角坐標系中的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次函數與反比例函數圖象的性質，熟練掌握相關性質與函數圖象的關系是解決本題的關鍵．
根據二次函數與反比例函數圖象的性質進行判斷即可得解．
【詳解】A.由二次函數圖象可知， ，時，
∴
∴反比例函數的圖象應該分別位于二 、四象限，故選項錯誤；
B. 由二次函數圖象可知， ，時，
∴
∴反比例函數的圖象應該分別位于一 、三象限，故選項錯誤；
C. 由二次函數圖象可知， ，時，
∴
∴反比例函數的圖象應該分別位于二 、四象限，故選項正確；
D. 由二次函數圖象可知， ，時，
∴
∴反比例函數的圖象應該分別位于一 、三象限，故選項錯誤；
故選：C．
【變式訓練6-2】如圖是拋物線的圖象，則函數和在同一坐標系中的圖象是（　 ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了函數圖象與系數的關系，掌握一次函數、二次函數以及反比例函數的圖象和性質是解題關鍵．由拋物線圖象可知，，，進而判斷一次函數和反比例函數的圖象即可．
【詳解】解：拋物線的圖象開口向上，對稱軸在軸右側，與軸交點在正半軸，
，，，
函數的圖象經過第一、三、四象限，函數在第一、三象限，
故選：B．
【變式訓練6-3】二次函數的圖象如下圖所示，則一次函數，和反比例函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一次函數反比例函數和二次函數的圖象分布，熟練掌握各函數系數的性質是關鍵．根據二次函數的圖象可以確定，開口向上，對稱軸在軸右側，，圖象與軸交于正半軸，，再判斷一次函數和反比例函數在一直角坐標系中的圖象位置即可．
【詳解】根據二次函數的圖象可以確定，開口向上，對稱軸在軸右側，，圖象與軸交于正半軸，，
一次函數經過第一、二、三象限，反比例函數分布在第一、三象限，選項B符合，
故選：B．
【變式訓練6-4】二次函數與在同一平面直角坐標系中的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查二次函數圖象與反比例函數圖象的性質，熟練掌握系數與函數圖象的關系是解題的關鍵；
分和討論二次函數和反比例函數圖象所在的象限，然后選擇答案即可．
【詳解】當時，時，二次函數，圖象開口向下，且對稱軸，反比例函數在第一，三象限且為減函數，故A選項正確，B選項不正確；
當時，時，二次函數圖象開口向上，且對稱軸，反比例函數在第一，三象限且為減函數，故C選項不正確，
當時，時，二次函數圖象開口向下，且對稱軸，反比例函數在第二，四象限且上升趨勢，故D選項不正確，
故選：A．
題型七：畫反比例函數圖像
【經典例題7】如圖矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點F為BC邊上的三等分點(CF(1)請直接寫出關于x的函數解析式，并注明自變量x的取值范圍；
(2)若函數，請在平面直角坐標系中畫出函數y1，y2的圖象，并寫出函數的一條性質；
(3)結合函數圖象，直接寫出當時x的取值范圍(保留一位小數，誤差不超過)．
【答案】(1)
(2)見解析，函數的性質：當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小
(3)或
【分析】本題考查了動點問題的函數圖象，一次函數與反比例函數圖象的性質；
（1）分兩種情況當時和當時，寫出一次函數解析式即可；
（2）畫出、函數圖像并根據函數的圖像寫出一條函數的性質即可；
（3）根據兩個函數圖像及交點坐標位置，直接寫出不等式解集即可．
【詳解】（1）解：當時，，
當時，，
∴；
（2）解：函數、的圖象如圖：
函數的性質：當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小；
（3）解：由兩個函數圖像可知，當時的取值范圍為或．
【變式訓練7-1】探究函數性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫出函數圖象，觀察分析圖象特征，概括函數性質的過程．結合已有經驗，請畫出函數的圖象，并探究該函數性質．
(1)繪制函數圖象
①列表：下列是x與y的幾組對應值，其中_____；
x …… 1 2 3 4 5 ……
y …… 1 5 5 a ……
②描點：根據表中的數值描點，請在下圖中描出點；
③連線：請用平滑的曲線順次連接各點，畫出函數圖象：
(2)探究函數性質
請寫出函數的兩條性質：___________________________________________；___________________________________________．
(3)運用函數圖象及性質
①寫出方程的解_________________；
②寫出不等式的解集_________________；
③寫出不等式與的解集_________________．
【答案】(1)①1；②見解析；③見②圖
(2)的圖象關于y軸對稱；當時，y隨x的增大而增大（答案不唯一）；
(3)①或；②或；③或．
【分析】本題考查了列表描點畫函數圖象，根據函數圖象獲取信息，畫出函數圖象，從函數圖象獲取信息是解題的關鍵．
（1）①把代入解析式即可得的值；②③按要求描點，連線即可；
（2）觀察函數圖象，可得函數性質；
（3）①由函數圖象可得答案；②觀察函數圖象即得答案；③觀察函數圖象即得答案．
【詳解】（1）解：①列表：當時，，
故答案為：1；
②描點，③連線如下：
（2）觀察函數圖象可得：的圖象關于軸對稱，當時，y隨x的增大而增大；
故答案為：的圖象關于軸對稱；當時，y隨x的增大而增大；
（3）①觀察函數圖象可得：當時，或，
∴方程的解是或，
故答案為：或；
②觀察函數圖象可得，當或時，，
∴不等式的解集或，
故答案為：或；
③觀察函數圖象可得，當或時，，
不等式與的解集或，
故答案為：或．
【變式訓練7-2】在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象經過點．
(1)求反比例函數的解析式；
(2)在如圖的平面直角坐標系中分別畫出函數和的圖象，并直接寫出關于的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)或，圖見解析
【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的綜合，熟練掌握待定系數法確定解析式，靈活運用數形結合思想確定不等式的解集是解題的關鍵．
（1）先根據的圖象經過點，得到，即可得到解析式．
（2）聯(lián)立函數和，確定交點橫坐標分別為，，根據圖象，即可得到關于的不等式的解集．
【詳解】（1）解：反比例函數的圖象經過點，
，
反比例函數的解析式為．
（2）函數和的圖象如下：
由題意，聯(lián)立，
解得，，
結合圖象可知關于的不等式的解集為：或．
【變式訓練7-3】如圖，在梯形中，，，，現(xiàn)有一動點從點出發(fā)沿的方向移動到點（含端點和點），設點經過的路程為，經過的路線與，圍成的封閉圖形面積為．若點是射線上一點，且，連接、，記．
(1)求出，與的函數關系式，并注明的取值范圍；
(2)在的取值范圍內畫出，的圖象；
(3)寫出函數的一條性質：的一條性質　　；
(4)結合，的函數圖象，求出時，的取值范圍．（結果保留根號）．
【答案】(1)；
(2)圖見解析
(3)當時，是一次函數
(4)時，
【分析】本題主要考查動點問題的函數圖象，熟練掌握一次函數和反比例函數的知識是解題的關鍵．
（1）分段得出，與的函數關系式即可；
（2）根據（1）的函數關系式畫出圖象即可；
（3）根據函數圖象寫出一條性質即可（答案不唯一）；
（4）根據圖象得出時，的取值范圍即可．
【詳解】（1）解：由題意知，，，，
，，
點經過的路程為，
當時，，
當時，，
當時，，
，
，
；
（2）解：根據（1）的函數關系式畫出圖象如下：
（3）解：由圖象知，當時，是一次函數（答案不唯一），
故答案為：當時，是一次函數（答案不唯一）；
（4）解：由圖知，當時，，
當時，．
【變式訓練7-4】（1）畫出函數的圖象．
①列表：
x … …
y … …
②描點并連線．
（2）從圖象可以看出，曲線從左向右______（填“上升”或“下降”），當由小變大時隨之______．（填“變大”或“變小”）
【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）上升；變大
【分析】本題主要考查了反比例函數的性質，畫反比例函數圖象，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數的性質．
（1）先列表，然后描點，最后連線即可得出反比例函數圖象；
（2）根據反比例函數的性質進行求解即可．
【詳解】解：（1）列表：
x … …
y … 1 2 3 6 …
函數圖象如答圖：
（2）從圖象可以看出，曲線從左向右上升，當x由小變大時隨之變大．
故答案為：上升；變大．
【變式訓練7-5】如圖，在菱形中，對角線，相交于點，，，動點從點出發(fā)，按的順序運動（不含點、），點在射線上運動（不含點），點、同時開始運動，當點停止運動，點同時停止運動．設點的運動路程為，，連接，，設的面積為，的面積為．

(1)分別求出，與之間的函數關系式，并寫出的取值范圍；
(2)在平面直角坐標系中，畫出和的函數圖象，并寫出函數的一條性質： ；
(3)結合函數圖象，當時，的取值范圍為 ．
【答案】(1)，與之間的函數關系式為，．
(2)畫和的函數圖象見解析；函數性質：的最大值為（答案不唯一）．
(3)或．
【分析】（1）根據菱形性質、勾股定理求出，由點的運動路程為，，分兩種情況得到與的關系：點在上時、點在上時；求出的邊上的高后即可求得與的關系；
（2）利用描點法作出兩函數圖象后寫出函數的一條性質即可；
（3）結合函數圖象，利用函數關系式求出第一象限中兩函數的交點即可得到時的取值范圍．
【詳解】（1）解：四邊形是菱形，，，
，，，
，
點的運動路程為，，
當點在上時，，的面積為，
當點在上時，，
的面積為，
與之間的函數關系式為，
設的邊上的高為，
，
，
的面積為，
綜上所述：，與之間的函數關系式為，．
（2）解：如圖所示為和的函數圖象，取點，，畫出函數的圖象，
取點，，，畫出函數的圖象，

由圖象可知：函數的一條性質為的最大值為，
故答案為：的最大值為（答案不唯一）．
（3）解：結合函數圖象，當時，的取值范圍為或，
理由如下：當或，
解得或，
由圖象可知：或，
當時，的取值范圍為或．
故答案為：或．
【點睛】本題考查的知識點是菱形性質、勾股定理、結合題意列一次函數及反比例函數、畫一次函數圖項象及反比例函數圖象、一次函數性質、一次函數與反比例函數的交點問題，解題關鍵是熟練運用數形結合方法解題．
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專題26.1.2反比例函數的圖像與性質（一）七大題型（一課一講）
【人教版】
題型一：判斷點是否在反比例函數上
【經典例題1】反比例函數的圖象一定經過點（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】下列各點不在反比例函數圖像上的為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】點在函數（ ）的圖像上
A． B．
C． D．
【變式訓練1-3】下列各點中，在反比例函數的圖象上的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-4】若反比例函數的圖象經過點，則它的圖象一定還經過點（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-5】下列各點與點在同一個反比例函數圖像的是（　　）
A． B． C． D．
題型二：已知反比例函數分布象限求參數范圍
【經典例題2】若反比例函數的圖象位于第二、四象限，則的值（ ）
A． B．或 C．或 D．
【變式訓練2-1】若反比例函數的圖象分布在第二、四象限，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】若反比例函數的圖形位于第一、三象限，則m的取值范圍（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練2-3】若反比例函數的圖象在一、三象限，正比例函數的圖象在二、四象限，則k的整數值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式訓練2-4】已知：多項式是一個完全平方式，且反比例函數的圖象位于二、四象限，k的值為 ．
【變式訓練2-5】若雙曲線經過第二、四象限，則的取值范圍是 ．
題型三：判斷反比例函數的增減性
【經典例題3】對于反比例函數，當時，y的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．或
【變式訓練3-1】在函數的圖象上有兩點，已知，則下列各式中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】已知點，，都在函數的圖象上，則a、b、c的大小關系是 ．（用“”號連接）
【變式訓練3-3】對于反比例函數，下列說法正確的是( )
A．圖象經過點 B．圖象位于第一、三象限
C．y隨x的增大而增大 D．當時，
【變式訓練3-4】若點，，在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練3-5】關于反比例函數，下列說法正確的是（ ）
A．該函數圖象在一、三象限
B．當時，隨增大而減小
C．若在該函數圖象上，則
D．若點和點在該函數圖象上，且，則有且僅有
題型四：判斷反比例函數所在象限
【經典例題4】若直線經過第二、四象限，則函數的圖象在（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第三、四象限 D．第一、二象限
【變式訓練4-1】已知反比例函數的圖象經過點，則這個函數的圖象位于（ ）
A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
【變式訓練4-2】若關于x的一元二次方程無實數根，則反比例函數的圖象所在的象限分別位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限
【變式訓練4-3】直線（a，b是常數且）經過第二、三、四象限，則反比例函數的圖象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【變式訓練4-4】已知反比例函數的圖象經過點，則此反比例函數的圖象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．不確定
【變式訓練4-5】二次函數的圖象如圖所示，則反比例函數的圖象一定位于（　　）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
【變式訓練4-6】當時，反比例函數隨x的減小而增大，則m的值為 ，圖象在第 象限．
題型五：已知反比例函數增減性求參數
【經典例題5】已知反比例函數圖象上有三個點，且滿足，則b的值可以為（ ）
A．2 B． C．1 D．3
【變式訓練5-1】在反比例函數 的圖象上有兩點，，當時，有，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練5-2】如圖，已知拋物線（a，b均不為0）與雙曲線的圖象相交于，，三點．則滿足不等式的解為（ ）
A．或
B．或或
C．或
D．或或
【變式訓練5-3】已知點為反比例函數圖象上的兩點，當時，，則m的取值范圍為 ．
【變式訓練5-4】已知反比例函數（為常數）．
(1)若該反比例函數的圖象位于第二、四象限，求的取值范圍；
(2)當時，隨的值增大而減小，求的取值范圍．
【變式訓練5-5】已知函數．
(1)當為何值時，此函數為正比例函數，且隨的增大而增大？
(2)當為何值時，此函數為反比例函數，且圖象經過第一、三象限？
題型六：反比例函數與二次函數圖像綜合
【經典例題6】已知二次函數 的圖象如圖所示，則反比例函數與一次函數在同一平面直角坐標系的圖象可能是（ ）
A．B．C． D．
【變式訓練6-1】二次函數與反比例函數且在同一平面直角坐標系中的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練6-2】如圖是拋物線的圖象，則函數和在同一坐標系中的圖象是（　 ）
A．B．C． D．
【變式訓練6-3】二次函數的圖象如下圖所示，則一次函數，和反比例函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練6-4】二次函數與在同一平面直角坐標系中的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
題型七：畫反比例函數圖像
【經典例題7】如圖矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點F為BC邊上的三等分點(CF(1)請直接寫出關于x的函數解析式，并注明自變量x的取值范圍；
(2)若函數，請在平面直角坐標系中畫出函數y1，y2的圖象，并寫出函數的一條性質；
(3)結合函數圖象，直接寫出當時x的取值范圍(保留一位小數，誤差不超過)．
【變式訓練7-1】探究函數性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫出函數圖象，觀察分析圖象特征，概括函數性質的過程．結合已有經驗，請畫出函數的圖象，并探究該函數性質．
(1)繪制函數圖象
①列表：下列是x與y的幾組對應值，其中_____；
x …… 1 2 3 4 5 ……
y …… 1 5 5 a ……
②描點：根據表中的數值描點，請在下圖中描出點；
③連線：請用平滑的曲線順次連接各點，畫出函數圖象：
(2)探究函數性質
請寫出函數的兩條性質：___________________________________________；___________________________________________．
(3)運用函數圖象及性質
①寫出方程的解_________________；
②寫出不等式的解集_________________；
③寫出不等式與的解集_________________．
【變式訓練7-2】在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象經過點．
(1)求反比例函數的解析式；
(2)在如圖的平面直角坐標系中分別畫出函數和的圖象，并直接寫出關于的不等式的解集．
【變式訓練7-3】如圖，在梯形中，，，，現(xiàn)有一動點從點出發(fā)沿的方向移動到點（含端點和點），設點經過的路程為，經過的路線與，圍成的封閉圖形面積為．若點是射線上一點，且，連接、，記．
(1)求出，與的函數關系式，并注明的取值范圍；
(2)在的取值范圍內畫出，的圖象；
(3)寫出函數的一條性質：的一條性質　　；
(4)結合，的函數圖象，求出時，的取值范圍．（結果保留根號）．
【變式訓練7-4】（1）畫出函數的圖象．
①列表：
x … …
y … …
②描點并連線．
（2）從圖象可以看出，曲線從左向右______（填“上升”或“下降”），當由小變大時隨之______．（填“變大”或“變小”）
【變式訓練7-5】如圖，在菱形中，對角線，相交于點，，，動點從點出發(fā)，按的順序運動（不含點、），點在射線上運動（不含點），點、同時開始運動，當點停止運動，點同時停止運動．設點的運動路程為，，連接，，設的面積為，的面積為．

(1)分別求出，與之間的函數關系式，并寫出的取值范圍；
(2)在平面直角坐標系中，畫出和的函數圖象，并寫出函數的一條性質： ；
(3)結合函數圖象，當時，的取值范圍為 ．
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