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專題26.1.2反比例函數的圖像與性質（三）六大題型（一課一講）
【人教版】
題型一：反比例函數綜合之交點問題
【經典例題1】如圖，一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點，與反比例函數的圖象分別交于C，D兩點，點，點B是線段的中點．
(1)求一次函數與反比例函數的解析式；
(2)求的面積；
(3)直接寫出當x取什么值時，．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本題考查了反比例函數和一次函數的交點問題，待定系數法求一次函數和反比例函數的解析式，方程組的解以及三角形的面積等．
（1）把點的坐標代入反比例函數，利用待定系數法即可求得反比例函數的解析式，作軸于，證明得的坐標，然后利用待定系數法求得一次函數的解析式；
（2）聯立方程求得的坐標，然后根據即可求得的面積；
（3）根據圖象即可求得時，自變量的取值范圍．
【詳解】（1）解：點在反比例函數的圖象上，
，
；
如圖，作軸于，則，
，
∴，，
∵點是線段的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，，
，
、在的圖象上，
，
解得，，
一次函數的解析式為；
（2）解：由，
解得或，
，
；
（3）解：∵與交于，兩點，
∴由圖可得，當或時，．
【變式訓練1-1】關于x的一次函數和反比例函數的圖象都經過點．求：
(1)一次函數和反比例函數的解析式；
(2)兩函數圖象的另一個交點B的坐標；
(3) AOB的面積．
【答案】(1)一次函數解析式為，反比例函數解析式為
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了一次函數與反比例函數綜合：
（1）分別把點A坐標代入兩個函數解析式中利用待定系數法求解即可；
（2）聯立兩函數解析式求出對應的交點坐標即可；
（3）設一次函數與x軸交于C，則，根據進行求解即可．
【詳解】（1）解：把代入中得：，解得，
∴一次函數解析式為；
把代入中得：，解得，
∴反比例函數解析式為；
（2）解：聯立，解得或，
∴；
（3）解；設一次函數與x軸交于C，則，
∴，
∴．
【變式訓練1-2】如圖，反比例函數與一次函數的圖象相交于點，．
(1)求該反比例函數和一次函數的解析式；
(2)觀察圖象，直接寫出當時自變量的取值范圍．
【答案】(1)反比例函數解析式為，一次函數解析式為
(2)或
【分析】本題主要考查了一次函數與反比例函數綜合：
（1）先把點A坐標代入反比例函數解析式中求出反比例函數解析式，進而求出點B坐標，再把A、B坐標代入一次函數解析式中求出一次函數解析式即可；
（2）根據函數圖象找到當一次函數圖象在反比例函數圖象上方時自變量的取值范圍即可得到答案．
【詳解】（1）解：把代入中得：，
解得，
∴反比例函數解析式為，
把代入中得：，
∴，
把，代入中得：，
解得，
∴一次函數解析式為；
（2）解：由函數圖象可知，當一次函數圖象在反比例函數圖象上方時自變量的取值范圍為或，
∴當時自變量的取值范圍或．
【變式訓練1-3】如圖，已知一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，兩點．
(1)求一次函數與反比例函數的解析式；
(2)根據圖象直接寫出不等式的解集．
【答案】(1)反比例函數解析式為，一次函數解析式為；
(2)不等式的解集為或．
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數交點問題，待定系數法求函數解析式，利用數形結合思想解決問題是本題的關鍵．
（1）將點A，點B坐標代入反比例函數解析式可求n的值，用待定系數法求出一次函數解析式；
（2）根據函數圖象可求不等式的解集．
【詳解】（1）解：∵反比例函數圖象點，
∴，
∴反比例函數解析式為：，
∵點在反比例函數圖象上，
∴，
∴點，
根據題意得：，
解得：，
∴一次函數解析式為：；
（2）解：觀察圖象可知，當或時，一次函數圖象在反比例函數圖象的上方，即，
所以不等式的解集為：或．
【變式訓練1-4】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖像與軸、軸分別交于點、，與反比例函數的圖像交于點．已知點坐標為，點坐標為．
(1)求反比例函數及一次函數的表達式；
(2)點在線段上，過點且平行于軸的直線交于點，交反比例函數圖像于點．當時，求點的坐標．
【答案】(1)，
(2)點的坐標為
【分析】本題主要考查了一次函數與反比例函數綜合：
（1）利用待定系數法求解即可；
（2）設，則，，根據，得到，解得，據此求出點F的縱坐標，進而求出點F的坐標即可．
【詳解】（1）解：把點代入得，，解得，
反比例函數的表達式為，
把點，點代入得，
，
解得，
一次函數的表達式為；
（2）解：設，
平行于軸，
，
，
，
，解得，
，
點的縱坐標為，
把代入得，解得，
點的坐標為．
【變式訓練1-5】如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于、兩點．
(1)求反比例函數和一次函數的表達式．
(2)根據圖象，直接寫出關于的不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)或．
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求一次函數與反比例函數等知識．
（1）先用待定系數法求出反比例函數解析式， 再求出點B的坐標，再利用待定系數法求出一次函數的解析式即可．
（2）根據一次函數與反比例函數的圖象即可得出答案．
【詳解】（1）解：將代入．
當時，
將，代入
（2）由圖象得，當或時，，
關于的不等式的解集為或．
題型二：反比例函數綜合之面積問題
【經典例題2】如圖，已知是一次函數的圖象與反比例函數的圖象的兩個交點．
(1)求此反比例函數和一次函數的解析式；
(2)求三角形的面積；
(3)根據圖象直接寫出關于x的不等式的解集．
【答案】(1)反比例函數的解析式為；一次函數的解析式為
(2)6
(3)或
【分析】本題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題，能夠熟練運用待定系數法求得函數的解析式；能夠運用數形結合的思想觀察兩個函數值的大小關系是解題的關鍵．
（1）點代入可求出反比例函數的解析式，從而得到點B的坐標，再把點A，B的坐標代入，可求出一次函數的解析式，即可；
（2）設直線與x軸交于點C，求出點C的坐標，再根據，即可求解；
（3）直接觀察函數圖象，即可求解．
【詳解】（1）解：把點代入得：
，解得：，
∴反比例函數的解析式為，
把點代入得：
，解得：，
∴點，
把點，代入，得：
，解得：，
∴一次函數的解析式為；
（2）解：如圖，設直線與x軸交于點C，
對于，當時，，
解得：，
∴點，
∴，
∵點，，
∴；
（3）解：觀察圖象得：當或時，一次函數的圖象位于反比例函數的圖象的下方，
∴關于x的不等式的解集為或．
【變式訓練2-1】如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數的圖象交于A、B兩點，與x軸相交于點C，已知點B的坐標為．
(1)求反比例函數的解析式；
(2)直接寫出不等式的解集．
(3)點P為反比例函數圖象上任意一點，若，求點P的坐標；
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本題考查了反比例函數和一次函數綜合，解題的關鍵是熟練掌握用待定系數法求解函數解析式的方法和步驟，以及一次函數和反比例函數的圖象和性質．
（1）先求出點B的坐標，再用待定系數法，即可得出反比例函數解析式；
（2）聯立反比例函數解析式和一次函數解析式，求出點A的坐標，根據圖象，寫出當一次函數圖象低于反比例函數圖象時，自變量的取值范圍即可；
（3）先求出，則，得出點P的縱坐標，即可解答．
【詳解】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴反比例函數解析式為；
（2）解：聯立反比例函數解析式和一次函數解析式得：
，
解得：，，
∴，
由圖可知，當或時，；
（3）解：把代入，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，則或，
當時，，
當時，，
綜上：或．
【變式訓練2-2】如圖，反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于，兩點．
(1)求一次函數的解析式及 AOB的面積；
(2)根據圖象直接寫出不等式的解集；
(3)若點P是坐標軸上的一點，且滿足面積等于 AOB的面積的3倍，直接寫出點P的坐標．
【答案】(1)；4
(2)或
(3)或或或
【分析】本題主要考查反比例函數與幾何的綜合，熟練掌握反比例函數的圖象與性質是解題的關鍵；
（1）分別把點A、B代入反比例函數解析式求出m、n的值，然后根據待定系數法可進行求解；
（2）根據圖象可直接進行求解；
（3）由題意易得，然后可分當點P在x軸上和在y軸上，進而分類求解即可
【詳解】（1）解：反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于
兩點．
將A與坐標代入反比例解析式得：，
，
代入一次函數解析式得：，
解得：，
一次函數的解析式為，
直線與軸、軸的交點坐標為，
；
（2）解：，
觀察圖象可知，不等式的解集是或．
（3）解：，
，
設，即，
，
解得：或，
則、，
同理可得、，
∴點P的坐標為或或或．
【變式訓練2-3】如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于，兩點．與軸相交于點．
(1)求反比例函數的表達式；
(2)觀察圖象，直接寫出不等式的解集：______；
(3)若點為軸上的一動點．連接，當的面積為時，求點的坐標．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本題考查了反比例函數幾何綜合題，求反比例函數解析式，根據一次函數與反比例函數的圖象交點求不等式解集．
（1）利用一次函數求出，問題隨之得解；
（2）反比例函數值大于等于一次函數值時自變量的取值范圍即是不等式的解集，數形結合作答即可；
（3）設，先求出，表示出，根據的面積為，表示出，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：函數的圖象經過，
，解得：，
，
，
反比例函數表達式為：；
（2）解：函數的圖象經過，
，
，
由圖可得，不等式的解集是：或；
（3）解：設，
如圖：
在中， 當時，得，
解得：，
，
，
，，
，
解得：或，
點P的坐標為或．
【變式訓練2-4】如圖，一次函數的圖象交反比例函數圖象于，兩點．
(1)求m，n的值；
(2)點E是軸上一點，且，求點的坐標；
【答案】(1)，
(2)或．
【分析】本題考查了反比例函數與-次函數的交點問題：也考查了待定系數法求函數的解析式以及觀察函數圖象的能力．
（1）把點代入中，求得n的值，即可求得反比例函數的解析式，進而把代入求得的解析式，即可求得m的值；
（2）根據待定系數法即可求得直線的表達式，即可求得直線與y軸的交點，根據求得的面積，設E點的坐標為，根據得到關于的方程，解方程求得，從而求得E點的坐標．
【詳解】（1）解：把點，代入中，得：，
反比例函數的解析式為，
將點代入得
；
（2）如圖，設直線與y軸的交點為D，
設直線的表達式為，
把，代入得，
解得，
直線的表達式為，
當時，，
D點的坐標為，
，
設E點的坐標為，
∵，
，
解得：，
E點的坐標為或．
【變式訓練2-5】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象交于點．
(1)求一次函數與反比例函數的函數表達式；
(2)過點作軸，垂足為．
①點在軸正半軸上，且，將直線向下平移個單位長度得到直線，若直線經過點，求的值；
②若直線與軸交于點，連接交軸于，求的長及 BDE的面積．
【答案】(1)，
(2)①；②，
【分析】此題考查了一次函數和反比例函數交點問題，待定系數法和數形結合是解題的關鍵．
（1）利用待定系數法求函數解析式即可；
（2）①求出點坐標為，設直線的函數表達式為由直線經過點，代入即可求出的值；②求出直線的解析式，得到點坐標為，點坐標為，進一步即可求出答案．
【詳解】（1）解：點在反比例函數的圖象上，
，
得
∴反比例函數表達式為
點在反比例函數的圖象上，
，得
∴點坐標為
點，點都在一次函數的圖象上，
，
解得，
一次函數表達式為；
（2）①由（1）得點坐標為，
根據題意，點坐標為，
點在軸正半軸上，且，
點坐標為，
設直線的函數表達式為
∵直線經過點，
，得；
②設直線，根據題意得
解得
∴，
當時，，
點坐標為，
當時，
∴點坐標為，
∴的面積．
題型三：反比例函數綜合之最值問題
【經典例題3】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于，兩點．
(1)求反比例函數及一次函數的表達式；
(2)若點P是y軸上一動點，連接，．當的值最小時，求點P的坐標．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題；
（1）依據題意，由，在反比例函數上，可得的值，進而求出反比例函數，再將代入求出的坐標，最后利用待定系數法求出一次函數的解析式；
（2）依據題意，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，則的最小值等于的長，結合，與關于軸對稱，故為，，又，可得直線為，再令，則，進而可以得解．
【詳解】（1）解：∵在反比例函數的圖象上，
∴，
∴反比例函數的表達式為；
又∵在反比例函數的圖象上，
∴，
∴．
設一次函數的表達式為，將，代入，
得，
解得
∴一次函數的表達式為；
（2）解：如解圖，
作點M關于y軸的對稱點，連接交y軸于點P，則的最小值等于的長，
∵與關于y軸對稱，
∴，
又∵，
∴直線的表達式為．
令，得，
∴當的值最小時，點P的坐標為．
【變式訓練3-1】如圖，一次函數的圖象與反比例函數（k為常數且）的圖象相交于，B兩點．
(1)求反比例函數的表達式；
(2)在y軸上有一動點E，當最小時，求點E的坐標；
(3)將一次函數的圖象沿y軸向下平移b個單位（），使平移后的圖象與反比例函數的圖象有且只有一個交點，求b的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或9
【分析】（1）由一次函數過，利用待定系數法求出m的值，則得出A點坐標，由反比例函數（k為常數且）過A點，求出k值，即可得反比例函數解析式；
（2）根據一次函數的圖象與反比例函數（k為常數且）的圖象相交于，B兩點，則，求出B點坐標，得到B關于x軸對稱點，連接交y軸與E點，此時最小，求出的解析式即可求出結果；
（3）設一次函數的圖象沿y軸向下平移b個單位（）后為，與聯立轉化為一元二次方程，當時，只有一個交點，即可求b的值．
【詳解】（1）解：一次函數的圖象與反比例函數（k為常數且）的圖象相交于，B兩點，
∴當時，，
，
，
反比例函數解析式：；
（2）根據題意可得：，
解得：，
則，
即，
關于x軸對稱點，
連接交y軸與E點，此時最小，
設直線為：，
則，
解得：，
直線為：，
當時，，
；
（3）設一次函數的圖象沿y軸向下平移b個單位（）后為，
平移后的圖象與反比例函數只有一個交點，
，
則，
，
解得：或，
故或．
【點睛】本題考查了一次函數和反比例函數交點的問題以及利用待定系數法求一次函數解析式，利用軸對稱求最小值的問題，函數圖象的平移問題，理解題意是解決問題的關鍵．
【變式訓練3-2】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象交于點，，與軸，軸分別交于，兩點．
(1)求一次函數和反比例函數的表達式；
(2)若點在軸上，當的周長最小時，請直接寫出點的坐標；
(3)將直線向下平移個單位長度后與軸，軸分別交于，兩點，當時，求的值．
【答案】(1)一次函數的表達式為，反比例函數的表達式為
(2)點的坐標為
(3)或
【分析】本題考查了待定系數法求函數的解析式，軸對稱-最短路徑問題，勾股定理，正確地求出函數的解析式是解題的關鍵．
（1）根據已知條件列方程求得，得到反比例函數的表達式為，求得，解方程組即可得到結論；
（2）如圖，作點A關于y軸的對稱點E，連接交y軸于P，則此時，的周長最小，根據軸對稱的性質得到，得到直線的解析式為，當時，，于是得到點P的坐標為；
（3）將直線向下平移a個單位長度后得直線的解析式為，得到，根據勾股定理即可得到結論．
【詳解】（1）解：一次函數與反比例函數的圖象交于點，，
，
，
反比例函數的表達式為，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函數的表達式為；
（2）解：如圖，作點關于軸的對稱點，連接交軸于，
此時，的周長最小，
點，
，
設直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
當時，，
點的坐標為；
（3）解：將直線向下平移個單位長度后與軸，軸分別交于，兩點，
直線的解析式為，
，，
，
，
解得或．
【變式訓練3-3】如圖，直線與雙曲線交于A（1，8），B（4，n）兩點，與x軸，y軸分別交于點C，D．
(1)求一次函數與反比例函數的表達式；
(2)設點P是y軸上的一個動點，當△APB的周長最小時，請求出點P的坐標；
(3)將直線向下平移t個單位后，與雙曲線有唯一交點，t的值為 ．
【答案】(1)，
(2)
(3)或；
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的綜合問題，一次函數的平移，求函數的解析式，根的判別式等知識；
（1）先把點代入求出m的值，然后求出n的值，再利用待定系數法，即可求出k的值；
（2）作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，連接，此時，的周長最小，得出，求得直線的解析式為，令，即可求解；
（3）由題意，得到平移后的解析式為，然后聯合方程，利用根的判別式，即可求出答案．
【詳解】（1）解：根據題意，
把點代入，則
，解得；
∴，
把代入，則
，
∴；
把點、代入，則
，解得，
∴；
（2）作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，連接，
∴，
∴，
此時，的周長最小，
∵，
∴，
設直線的解析式為，
∴，解得，
∴，
當時，，
∴．
（3）解：根據題意，把向下平移t個單位，則，
聯合與，則
，
整理得：，
∵與有唯一交點，
∴，
解得：或．
【變式訓練3-4】如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數的圖像經過點，點與點關于軸對稱，且點在反比例函數的圖像上．
(1)求的值和反比例函數的解析式；
(2)設是直線上的一動點．當線段最短時，求的面積．
【答案】(1)1；
(2)
【分析】本題考查正比例函數、反比例函數的性質以及直線與坐標軸的交點問題，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵，
（1）將將代入得到的值，與點關于軸對稱，可得，再將點代入即可得到反比例函數的解析式；
（2）設，當時，線段最短，根據勾股定理可得點的坐標，即可得到、的值，的面積即可求解．
【詳解】（1）解：將代入得，
∴，
∵點與點關于軸對稱，
∴，
將代入得，
∴．
（2）解：設，
當時，線段最短，
由（1）知，，
∴，
，
，
由勾定理得，
∴，
整理得：
解之得：（舍），．
∴，
∴，
，
∴．
【變式訓練3-5】如圖，函數的圖象與函數的圖象交于點，．
(1)求，的值和反比例函數的解析式；
(2)觀察圖象，直接寫出不等式的解集；
(3)若點是軸上的動點，當周長最小時，求點的坐標．
【答案】(1)a，b的值分別為6，3，反比例解析式為
(2)或
(3)P點坐標為
【分析】本題考查反比例函數與一次函數的交點問題，最短路徑問題(將軍飲馬問題)，運用數形結合思想解題是關鍵．
（1）將點，代入直線的解析式即可求出a、b，再將點代入反比例函數解析式即可求出k，從而得解；
（2）利用數形結合思想即可得解；
（3）作A關于y軸對稱點，連與y軸的交點為所求的點，用待定系數法求出直線的解析式，從而得解．
【詳解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴，，
將點代入得：，即，
∴反比例解析式為，
綜上所述：a，b的值分別為6，3，反比例解析式為；
（2）由圖象可知：當或時，一次函數對應的函數值比反比例函數對應的函數值大，
即不等式的解集是：或；
（3）作A關于y軸對稱點，連交y軸于點P，連，
此時最小，且，
由的長為定值可知，此時周長最短，
設直線為直線的解析式是：，
把代入得：，
解得，
∴直線為直線的解析式是：，
當時，
∴，
故P點坐標為時周長最小．
【變式訓練3-6】如圖，直線與x軸交于點，與軸交于點，與反比例函數交于點，．
(1)請求出，，的值；
(2)根據圖象，直接寫出不等式的解集：________；
(3)點是軸上一動點，連接，，當周長最小時，點的坐標為________．
【答案】(1)，，；
(2)或；
(3)．
【分析】此題考查了待定系數法確定反比例解析式與一次函數解析式，軸對稱以及坐標與圖形性質，熟練掌握一次函數和反比例函數圖象及性質是解題的關鍵．
（）利用待定系數法求出一次函數和反比例函數解析式，再把代入即可求解；
（）根據函數圖象即可判斷；
（）找出點關于軸對稱的點，連接，與軸交于點，在求出直線解析式即可；
【詳解】（1）∵直線和反比例函數圖象過點，
∴，，解得：，，
∴反比例函數解析式為，
∵點在圖象上，
∴，
綜上可知：，，；
（2）由（）得：，
∴點，
當，即直線圖象在圖象上方，
根據圖象可得，或，
故答案為：或；
（3）如圖，點關于軸對稱的點，連接，與軸交于點，
∴，
利用得到，則根據兩點之間線段最短，點為所求點，此時周長最小，
設直線解析式為，且過點，，
∴，解得：，
∴直線解析式為，則當時，，
∴點，
故答案為：．
題型四：反比例函數綜合之存在性問題（三角形）
【經典例題4】如圖，反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點和
(1)分別求出反比例函數與一次函數的解析式；
(2)根據圖象直接寫出不等式的解集；
(3)在x軸上是否存在點P使為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)反比例函數解析式為，一次函數解析式為
(2)或
(3)或或或
【分析】本題主要考查了反比例函數與一次函數綜合，勾股定理和等腰三角形的定義：
（1）先把點A左邊代入反比例函數解析式求出反比例函數解析式，進而求出點B的坐標，再把A、B坐標代入一次函數解析式求出對應的一次函數解析式即可；
（2）根據函數圖象找到反比例函數圖象在一次函數圖象上方時自變量的取值范圍即可；
（3）設，則，，再分當時，當時，當時，三種情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：把代入中得：，解得，
∴反比例函數解析式為
把代入中得；，
∴，
把，代入中得：，
∴，
∴一次函數解析式為；
（2）解：由函數圖象可知，當反比例函數圖象在一次函數圖象上方時，自變量的取值范圍為或，
∴不等式的解集為或；
（3）解：設，
∵，，
∴，，
當時，則，解得，
∴此時點P的坐標為或；
當時，則，解得或（舍去），
∴此時點P的坐標為；
當時，則，解得，
∴此時點P的坐標為；
綜上所述，點P的坐標為或或或．
【變式訓練4-1】如圖所示，反比例函數（）的圖象與一次函數（）的圖象交于、兩點，直線分別與x軸、y軸交于點C、D．
(1)分別求反比例函數和一次函數的解析式；
(2)若（）是x軸的正半軸上一動點，過P作x軸的垂線，分別與一次函數的圖象和反比例函數的圖象交于點M、N，設的長為d，求出d與t之間的函數關系式；
(3)在第二象限內是否存在點Q，使得是等腰直角三角形．若存在，請直接寫出點Q的坐標，請說明理由．
【答案】(1)y，
(2)
(3)或或
【分析】（1）將點A，B坐標代入反比例函數解析式中求出a，m，得出反比例函數解析式和點A，B坐標，最后將點A，B坐標代入直線AB的解析式求解，即可求出一次函數解析式；
（2）由題意得，，，得出，，分兩種情況得出答案；
（3）先求出，，再分三種情況，利用三垂線構造全等三角形求解，即可求出答案．
【詳解】（1）解：∵反比例函數（）的圖象過、兩點，
∴，
解得：，
∴、，反比例函數的解析式是y，
∵一次函數（）的圖象過點、，
∴
解得，
∴一次函數的解析式為；
（2）解：由題意得，，，
∴，，
當時，點M在點N的上方，則；
當時，點M在點N的下方，則；
綜上，d與t之間的函數關系式為
（3）解：由（1）知，直線的解析式為，
令，則，
令，則，解得，
∴，，
∴，，
如圖，
∵是等腰直角三角形，
∴①當，時，
過點Q作軸于H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②當，時，
過點作軸于點G，
同理可證，
∴，，
∴
∴；
③當，時，
過點作軸于點K，作軸于點L，
同理可得，，
∴，，
∴設（），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為或或．
【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，待定系數法，懂得添加輔助線構造全等三角形，掌握分類討論思想是解題的關鍵．
【變式訓練4-2】如圖所示，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于A，B兩點，與x軸、y軸分別交于C，D兩點，連接，．
(1)求k的值．
(2)x軸上是否存在一點E，使為等腰三角形 若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)10
(2)存在，或或或或
【分析】此題是一道反比例函數綜合題，涉及待定系數法，一次函數與反比例函數的交點問題，解一元二次方程；
（1）先求出，再根據求出點坐標，最后代入計算即可；
（2）先求出，，再設，根據為等腰三角形列方程求解即可．
【詳解】（1）對于，當時，．
∴，
∴，
設點B的橫坐標為t，則
∵，
∴，
解得．
∴，
把代入中，得
∴．
（2）由（1）得，則反比例函數解析式為，
聯立，解得或，
∴，．
設，則
，，．
①若，即，
∴，
解得．
此時點E的坐標為．·
②若，即，
∴，
解得，
此時點E的坐標為或，
③若，即，
∴，
解得，
此時點E的坐標為或，
綜上所述，x軸上存在一點或或或或，使為等腰三角形．
【變式訓練4-3】綜合與探究
如圖1，已知正比例函數與反比例函數的圖象交于點，，且點的橫坐標為，點的縱坐標為．
(1)求反比例函數的表達式．
(2)如圖2，將直線向上平移4個單位長度，與坐標軸交于點，，若是軸上的一個動點，分別連接，，求取得最小值時點的坐標．
(3)如圖3，以點和點為頂點作矩形，使得軸，軸，邊交軸于點，是的中點，直線交軸于點，交軸于點，在第二象限內是否存在點，使得為等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)取得最小值時點的坐標
(3)存在；或或
【分析】（1）先求出，，然后代入反比例函數解析式，得出答案即可；
（2）求出直線的解析式為，得出，作點C關于x軸的對稱點，連接，交x軸于點P，連接，根據，得出，說明當最小時，最小，根據兩點間線段最短，得出此時最小，即最小，求出直線的解析式為，再求出點P的坐標即可；
（3）先求出，再求出直線的解析式為：，得出，，分三種情況：當，時，當，時，當，時，分別畫出圖形求出結果即可．
【詳解】（1）解：∵正比例函數與反比例函數的圖象交于點，，
∴A與B關于原點對稱，
∵點的橫坐標為，點的縱坐標為
∴點的縱坐標為3，點的橫坐標為2，
即，，
把代入得：，
∴反比例函數的表達式為；
（2）解：把代入得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵將直線向上平移4個單位長度，得到直線，
∴直線的解析式為，
把代入得：，
∴，
作點C關于x軸的對稱點，連接，交x軸于點P，連接，如圖所示：
則點，
根據軸對稱可知：，
∴，
∴當最小時，最小，
∵兩點間線段最短，
∴此時最小，即最小，
設直線的解析式為，把，代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為，
把代入得：，
解得：，
∴取得最小值時點P的坐標為．
（3）解：∵以點和點為頂點作矩形，使得軸，軸，
∴，
∵邊交軸于點，
∴,
∵是的中點，
∴，
設直線的解析式為：，把，代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為：，
把代入得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴，，
當，時，過點Q作軸于點K，如圖所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
當，時，過點Q作軸于點K，如圖所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
當，時，過點Q作軸于點K，過點N作于點I，如圖所示：
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴；
綜上分析可知：點Q的坐標為或或．
【點睛】本題主要考查了反比例函數的性質，矩形的性質，三角形全等的判定和性質，求一次函數解析式，軸對稱的性質，解題的關鍵是作出輔助線，數形結合，注意進行分類討論．
【變式訓練4-4】已知一次函數與反比例函數 的圖象交于兩點．
(1)①求一次函數和反比例函數的表達式；
②求的面積．
(2)在x軸的負半軸上，是否存在點P，使得為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)①， ；②
(2)或或
【分析】本題考查了一次函數與反比例函數綜合問題，掌握待定系數法是解題關鍵．
（1）①將代入 可求得反比例函數的表達式為： ；進一步可得；將、代入即可求解；②設一次函數與軸交于點，可求得，根據即可求解；
（2）設點，分類討論，，，三種情況即可求解；
【詳解】（1）解：①將代入 得： ，
解得：；
∴反比例函數的表達式為： ；
∴，即：；
將、代入得：，
解得：，
∴一次函數的表達式為：
②設一次函數與軸交于點，如圖所示：
由得；
∴
∴
（2）解：設點，
，則，
解得：；
，則，
解得：或（舍）；
，則，
解得：；
綜上所述：點P的坐標為或或
【變式訓練4-5】已知一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點；與x軸交于點C．
(1)求一次函數和反比例函數的表達式；
(2)若點P在y軸上，且滿足求點P的坐標；
(3)我們將有一個內角為的三角形稱為“半直角三角形”，這個角所對的邊為“半直角邊”．反比例函數在第四象限的圖象上是否存在點Q，使得是不以為“半直角邊”的“半直角三角形”？若存在，請求出點`Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）待定系數法進行求解即可；
（2）設，根據，結合，列出方程進行求解即可；
（3）分和兩種情況，進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點；
∴，
∴，
∴，，
∴，解得：，
∴；
（2）設直線交軸與點，
∵，
∴當時，，時，，
∴，
∴，
設，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
（3）存在；
①當時，將繞點旋轉90度得到，連接，交的延長線于點，如圖，則：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
設的解析式為：，則：，
∴，
∴，
聯立，解得：或（舍去）；
∴；
②當時，將繞點旋轉90度得到，連接交于點，則，，
∴，
∴，
同法可得：的解析式為：，
聯立，解得：或，
∴；
綜上：或．
【點睛】本題考查反比例函數與一次函數的綜合應用，待定系數法求函數解析式，分割法求面積，旋轉的性質，綜合性強，難度大，計算量大，熟練掌握相關知識點，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．
題型五：反比例函數綜合之存在性問題（四邊形）
【經典例題5】如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點，與軸交于點，與反比例函數在第四象限內的圖象交于點 .
(1)求反比例函數的表達式；
(2)當時.直接寫出的取值范圍；
(3)若點在雙曲線上，點在平面上，是否存在點、點，使四邊形為矩形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點P的坐標為
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數綜合、勾股定理，矩形的性質：
（1）將點A代入函數中可得到函數表達式，進而可求得點C的坐標，再將點C的坐標代入反比例函數即可；
（2）將一次函數與反比例函數聯立方程組，求得交點坐標即可得出結果；
（3）過點作交軸于點，勾股定理得出點的坐標，再求出直線的表達式，與反比例函數聯立方程組即可．
【詳解】（1）解：∵點，在直線上，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
在中，當時，，
∴，
把代入中得到：，
∴，
∴反比例函數的表達式為；
（2）解：聯立，解得或，
∴一次函數與反比例函數的兩個交點坐標分別為，
由函數圖像可知，當時，一次函數圖像在反比例函數圖像上方，
∴當時，；
（3）解：存在，理由如下：
如圖所示，設直線交y軸于點，
∵四邊形為矩形
∴，則以點A為直角頂點的直角三角形，
由一次函數解析式可得，
∵，
∴，，，
在中，
∴，
∴，
解得：，
∴，
同理可得直線的解析式為，
聯立，解得或，
即點P的坐標為，
∴在雙曲線上存在點P，使四邊形為矩形，此時點P的坐標為．
【變式訓練5-1】如圖1，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于兩點（點在點左邊），過兩點作直線，與雙曲線的另一交點為，過作直線的平行線交雙曲線于點．
(1)則點坐標為 ，點坐標為 ，并求直線的解析式；
(2)如圖2，點在軸負半軸上，連接，交直線于點，連接，且，將線段在軸上移動，得到線段（如圖3），請求出的最大值；
(3)如圖4，點在軸上，在平面內是否存在一點，使以點為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)點的坐標為或或或
【分析】（1）聯立方程組即可得出點的坐標，利用待定系數法先求出直線的解析式，再求出的解析式即可；
（2）設，先表示出，再求出，結合，求出，從而得出，將點向上平移4個單位長度，得到點，設點、關于軸對稱，則，連接并延長交軸于點，即可得解；
（3）設，，分三種情況：當為對角線時，當為邊時，菱形為時，當為邊時，菱形為時；分別利用菱形的性質結合勾股定理求解即可．
【詳解】（1）解：聯立方程組，
解得：或，
∵點在點左邊，
∴，，
設直線的解析式為，
將代入解析式得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵，
∴設直線的解析式為：，
將代入解析式得：，
解得：，
∴直線的解析式為：；
（2）解：∵點、關于原點對稱，，
∴，
∵點在軸負半軸上，
∴設，
令直線交軸于，
，
在中，當時，，即，
∴，
∴，
聯立，
解得：或，
∴，
∴，
作于，連接、，則，，
設，，
由勾股定理得：，，
∵，
∴，
解得：（負值舍去），
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，則，
如圖，將點向上平移4個單位長度，得到點，則，則為平行四邊形，
∴，
設點、關于軸對稱，則，連接并延長交軸于點，
，
∴的最大值為；
（3）解：由（2）可得：，，
設，，
∵以點為頂點的四邊形是菱形，
∴當為對角線時，，
解得：，即，
當為邊時，菱形為時，，
解得：或，即或；
當為邊時，菱形為時，，
解得：或（不符合題意，舍去），即；
綜上所述，點的坐標為或或或．
【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、求一次函數解析式、三角形面積公式、勾股定理、菱形的性質等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用數形結合與分類討論的思想是解此題的關鍵．
【變式訓練5-2】如圖，一次函數與反比例函數在第一象限交于、兩點，垂直軸于點，為坐標原點，四邊形的面積為．
(1)求反比例函數及一次函數的解析式；
(2)在反比例函數位于第三象限的圖象上是否存在一點，使得的面積最小？如果有，求出點的坐標和的面積最小值．
【答案】(1)，
(2)點，面積的最小值為
【分析】本題考查反比例函數與一次函數的交點坐標，待定系數法求一次函數、反比例函數的關系式，掌握反比例函數與一次函數的交點坐標的計算方法是正確解答的前提，根據坐標得出相應線段的長是計算面積的關鍵．
（1）利用待定系數法求得反比例函數的解析式，進而利用四邊形的面積得出，解方程即可求得N的坐標，然后把M、N的坐標代入，進一步求得一次函數的解析式；
（2）求出與直線平行且在第三象限內與反比例函數有唯一公共點的坐標即為點P的坐標，此時面積的最小，利用三角形、梯形面積以及各個部分面積之間的關系進行計算即可．
【詳解】（1）解：如圖，
∵反比例函數過點，
，
反比例函數的解析式為，
設，
，
，
四邊形的面積為，
四邊形的面積為，
，
解得，舍去，
，
一次函數的圖象經過點、，
，解得，
一次函數的解析式為；
（2）解：與直線平行，且在第三象限與反比例函數有唯一公共點時，的面積最小，
設與直線平行的直線的關系式為，當與在第三象限有唯一公共點時，
方程有唯一解，
即有兩個相等的實數根，
，
解得或舍去，
與直線平行的直線的關系式為，
方程的解為，
經檢驗，是原方程的解，
當時，，
點，
如圖，過點作的垂線，交的延長線于點，交軸于點，延長交于點，
由題意得，
，，，， ，
，
答：點，面積的最小值為．
【變式訓練5-3】如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于點、兩點．
(1)求一次函數與反比例函數的解析式；
(2)若點為線段上一點，且，連接、，求；
(3)如果一個矩形的長寬之比為，我們把該矩形稱為“倍邊矩形”．請探究，在平面內是否存在、兩點（點在直線上方），使得四邊形為倍邊矩形，若存在，請求、兩點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)反比例函數的表達式為：，直線的表達式為：
(2)3
(3)存在，、點或
【分析】（1）利用待定系數法即可求解；
（2）利用，而，則，即可求解；
（3）證明和的相似比為2，設，，分為和兩種情況分別得到得關于、的方程求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得：，
則反比例函數的表達式為：，
將點的坐標代入上式得：，
即點，
由點、的坐標得，，
解得，
直線的表達式為：；
（2）解：連接、，
由一次函數的表達式知，點，
則，
，
則；
（3）解：存在，理由：
由題意得，，，
過點作軸的平行線分別交過點、和軸的平行線于點、，
則和的相似比為，
設，，
則，，
則且，
解得：，，
則點，
由中點坐標公式得：點，
當時，
則和的相似比為，
設，，
則，，
則且，
解得：，，
則點，
由中點坐標公式得：點，
即、點或點、點．
【點睛】本題是反比例函數與一次函數的綜合題，考查了待定系數法求函數解析式，一次函數與反比例函數上點的坐標特點，相似三角形的判定和性質，中點坐標公式等，解題關鍵是要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系，解決相關問題．
【變式訓練5-4】如圖，一次函數與反比例函數相交于點、，與x軸、y軸分別交于點C、點D，點M是x軸負半軸上一動點，連接、、．
(1)求一次函數的解析式；
(2)若時，求點M的坐標；
(3)在（2）的條件下，將直線向下平移2個單位得到直線l，若點E是平移后直線l上一點，在y軸上是否在點F，使以點A、B、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)點的坐標為
(3)點的坐標為或或
【分析】（1）根據反比例函數過點，求得反比例函數的解析式為，把代入反比例函數中，得到，將，代入一次函數解方程組得到結論；
（2）設，求得，得到，過作軸于，過作軸于，根據三角形的面積公式列方程得到點的坐標；
（3）先求得直線的解析式為，根據平移的性質得到直線的解析式為，得到設，，、，根據平行四邊形的性質列方程組即可得到結論．
【詳解】（1）解：∵反比例函數過點，
∴，
∴反比例函數的解析式為，
∵在反比例函數的圖象上，
∴，
∴，
∴，
將，一次函數得，解得，
∴一次函數的解析式為；
（2）設，∵一次函數的解析式為，當時，，
∴，
∴，
過作軸于，過作軸于，
∴
，
解得，
∴點的坐標為；
（3）存在，設直線的解析式為，
∴，解得：，
∴直線的解析式為，
∵將直線向下平移2個單位得到直線，
∴直線的解析式為，
∵點是平移后直線上一點，
∴設，，、，
∵以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，
∴當為平行四邊形的對角線時，，解得：，
∴；
當為平行四邊形的對角線時，，解得：，
∴；
當為平行四邊形的對角線時，，
解得：，
∴，
綜上所述，點的坐標為或或．
【點睛】本題是反比例函數的綜合題，考查了待定系數法求函數的解析式，三角形的面積，平行四邊形的性質，平移的性質，正確地求出函數的解析式是解題的關鍵．
【變式訓練5-5】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象在第一象限內交于和兩點，直線與軸相交于點，連接．
(1)求一次函數與反比例函數的表達式；
(2)當時，請結合函數圖象，直接寫出關于的不等式的解集；
(3)過點作平行于軸，交于點，在軸上是否存在點，使以點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在請求出點坐標，若不存在請說明理由．
【答案】(1)反比例函數表達式為：，一次函數表達式為
(2)
(3)點坐標為或．
【分析】本題考查的是一次函數與反比例函數的綜合應用，平行四邊形的性質．
（1）利用可得反比例函數為，再求解，再利用待定系數法求解一次函數的解析式即可；
（2）由一次函數的圖象在反比例函數圖象的上方，結合可得答案；
（3）分四邊形和為平行四邊形，兩種情況討論，據此求解即可．
【詳解】（1）解：∵反比例函數過，
∴，
∴反比例函數為：，
把代入可得：，
∴，
∴，解得：，
∴一次函數為；
（2）解：由一次函數的圖象在反比例函數圖象的上方，結合可得
不等式的解集為：；
（3）解：存在
∵，
∴直線的解析式為：，
∵過點作平行于x軸，交于點D，
∴，
∴，
當四邊形為平行四邊形時，
∴，
∴點坐標為，
當四邊形為平行四邊形時，
∴，
∴點坐標為．
綜上，點坐標為或．
【變式訓練5-6】如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于，兩點，分別連接，．
(1)求這個反比例函數的表達式；
(2)求不等式的解集；
(3)在平面內是否存在一點，使得以點，，，為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，點坐標為或或
【分析】本題考查了一次函數和反比例函數綜合、求反比例函數解析式、根據圖象寫出不等式的解集、平行四邊形的性質、點坐標的平移等，解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
（1）把代入一次函數求解，得到點坐標，把點坐標代入求出反比例函數表達式即可
（2）聯立一次函數和反比例函數表達式，求出點坐標，結合點坐標，觀察圖象，得出不等式的解集即可；
（3）由題意知，分與為鄰邊，與為鄰邊，與為鄰邊，三種情況討論，根據點坐標的平移方式求解即可．
【詳解】（1）解：把代入一次函數得，解得，
∴，
把代入反比例函數得，解得，
∴反比例函數的表達式為；
（2）解：∵一次函數的表達式為，反比例函數的表達式為，
∴聯立表達式，得：，
整理得：，
，
∴或，
∴，，
∵，
∴點橫坐標，
∴結合圖象觀察，得不等式的解集為或；
（3）解：①當與為鄰邊，時，點先向左平移2個單位再向下平移1個單位到點，
∴點也先向左平移2個單位再向下平移1個單位到點，即；
②當與為鄰邊時，點先向左平移1個單位再向下平移2個單位到點，
∴點也先向左平移1個單位再向下平移2個單位到點，即；
③當與為鄰邊時，點先向右平移3個單位再向上平移3個單位到點，
∴點也先向右平移3個單位再向上平移3個單位到點，即．
綜上，存在，點坐標為或或．
題型六：反比例函數綜合之定義新運算
【經典例題6】定義運算：，當時 ，； 當時 ，．例如：；根據以上材料，解決下列問題．
(1) ；
(2)若，求x的取值范圍．
(3)如圖和在同一平面直角坐標系中，當，結合圖象，直接寫出x 的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本題主要考查了反比例函數與一次函數綜合，新定義，二次根式比較大小，解一元一次不等式：
（1）關鍵二次根式比較大小的方法得到，再根據新定義即可得到答案；
（2）根據新定義可得，解不等式即可得到答案；
（3）根據新定義得到，據此根據函數圖象找到一次函數圖象在反比例函數圖象上方或二者的交點處時，自變量的取值范圍即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
由函數圖象可知，當或時，一次函數圖象在反比例函數圖象上方或二者的交點處，
∴當時，或．
【變式訓練6-1】在平面直角坐標系中，對于點，給出如下定義：當點，滿足時，稱點是點的等和點．
(1)已知點，在，，中，是點等和點的有_____；
(2)若點的等和點在直線上，求的值；
(3)已知，雙曲線和直線，滿足的取值范圍是或．若點在雙曲線上，點的等和點在直線上，求點的坐標．
【答案】(1)和；
(2)；
(3)或．
【分析】（）根據等和點的定義判斷即可求解；
（）設點的橫坐標為，根據等和點的定義得點的縱坐標為，即可得點的坐標為，把點的坐標代入即可求解；
（）由題意可得，，雙曲線分布在一、三象限內，設直線與雙曲線的交點分別為點，如圖，由時的取值范圍是或，可得點的橫坐標為，點的橫坐標為，即得，得到反比例函數解析式為，設，點的橫坐標為，根據等和點的定義得，代入得，解方程得，，據此即可求解；
本題考查了點的坐標新定義運算，一次函數點的坐標特征，一次函數與反比例函數的交點問題，理解等和點的定義是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：由，得，，
∴點是點的等和點；
由，得，，，
∵，
∴不是點的等和點；
由，得，，
∴是點的等和點；
故答案為：和；
（2）解：設點的橫坐標為，
∵點是點的等和點，
∴點的縱坐標為，
∴點的坐標為，
∵點在直線上，
∴，
∴；
（3）解：由題意可得，，雙曲線分布在一、三象限內，設直線與雙曲線的交點分別為點，如圖，由時的取值范圍是或，可得點的橫坐標為，點的橫坐標為，
把代入得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函數解析式為，
設，點的橫坐標為，
∵點是點的等和點，
∴點的縱坐標為，
∴，
∵點在直線上，
∴，
整理得，，
去分母得，，
解得，，
經檢驗，是原方程的解，
∴點的坐標為或．

【變式訓練6-2】定義：函數圖象上縱坐標是橫坐標的兩倍的點，稱為該函數的“兩倍點”，而縱坐標比橫坐標的兩倍小的點稱為“弱倍點”．
(1)判斷下列函數圖象上是否有兩倍點？若有，求兩倍點；若無，說明理由．
①；②．
(2)如圖，反比例函數圖象上有一個兩倍點的橫坐標為3，求它的另一個兩倍點的坐標，并結合圖象寫出圖象上弱倍點的橫坐標的取值范圍．
【答案】(1)①存在兩倍點為；②不存在兩倍點，見解析
(2)或
【分析】本題主要考查了一次函數與反比例函數的交點問題：
（1）根據兩倍點的定義，即可求解；
（2）根據兩倍點的定義，可得，再由反比例函數的性質可得直線與反比例函數圖象的另一交點是其另一個兩倍點，再結合弱倍點的定義，可得反比例函數圖象的弱倍點在直線的下方，即可求解．
【詳解】（1）解：令．
①，
解得，
，故存在兩倍點為．
②，
即，
，
方程無實根，即不存在兩倍點．
（2）解：點是反比例函數圖象上的兩倍點，的橫坐標為3，
，
如圖，直線與反比例函數圖象的另一交點是其另一個兩倍點；
∵弱倍點應符合，即反比例函數圖象的弱倍點在直線的下方，
弱倍點的橫坐標的取值范圍為或．
【變式訓練6-3】我們定義：如果一個矩形A周長和面積都是B矩形的N倍，那么我們就稱矩形A是矩形B的完全N倍體．
【概念辨析】
（1）若矩形A是邊長為1的正方形，是否存在一個正方形B是正方形A的完全2倍體？ ．（填“存在”或“不存在”）．
【深入探究】
長為4，寬為3的矩形C是否存在完全2倍體？
小鳴和小棋分別有以下思路：
【小鳴方程流】設新矩形長和寬為x、y，則依題意，，
聯立由①得③，
將③代入②，得，再探究根的情況；
【小棋函數流】如圖，也可用反比例函數與一次函數來研究，作出圖象，有交點，意味著存在完全2倍體．
（2）那么長為4，寬為3的矩形C是否存在完全倍體？請你利用上述其中一種思路，若存在，請求出新矩形的長和寬；若不存在，請說明理由．
（3）靜靜認為對于任意長為m，寬為n的矩形都存在完全2倍體；小蘭認為有些矩形不存在完全2倍體．你支持誰的觀點？請說明理由．
【答案】（1）不存在；（2）不存在，見解析；（3）支持靜靜的觀點
【分析】（1）根據“完全N倍體”的定義及題干示例解答即可；
（2）運用新定義“完全N倍體”及【小鳴方程流】和【小棋函數流】的方法分別解答即可；
（3）設新矩形長和寬為x、y，則依題意得，，可得，再運用根的判別式即可求得答案．
【詳解】解：（1）假設存在一個正方形B是正方形A的完全2倍體，則正方形B的周長是正方形A周長的2倍，
∵正方形A的邊長為1，
∴正方形B的邊長是2，
∴正方形B的面積是4，這與“完全2倍體”矛盾，所以不存在一個正方形B是正方形A的完全2倍體．
故答案為：不存在；
深入探究：長為4，寬為3的矩形C存在完全2倍體矩形，
理由：∵矩形的長為4，寬為3，
∴矩形的周長為14，面積為12，
小鳴方程流：
設新矩形長和寬為、，則依題意，，
聯立，
整理得：，
解得：，，
∴新矩形的長為12，寬為2時，周長為28，面積為24，
∴長為4，寬為3的矩形C存在完全2倍體矩形；
小棋函數流：如圖，設新矩形長和寬為、，則依題意，，
即，，利用反比例函數：與一次函數：來研究，作出圖象，有交點，意味著存在完全2倍體，如圖：
故長為4，寬為3的矩形存在完全倍體；
（2）方法1：設新矩形長和寬為x、y，則依題意得，，
聯立，得，
∴，
∴方程無解，
∴長為4，寬為3的矩形C不存在完全倍體．
方法2：如圖，
反比例函數：與一次函數：沒有交點，所以不存在完全倍體；
（3）設新矩形長和寬為x、y，則依題意得，，
∴，
∴，
∴對于任意長為m，寬為n的矩形都存在完全2倍體，
∴靜靜的說法是正確的．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根的判別式．需要認真閱讀理解新定義“矩形A是矩形B的完全N倍體”，根據題干過程模仿解題．第（3）題應用一元二次方程根的判別式求k的范圍．
【變式訓練6-4】我們定義：點P在一次函數上，點Q在反比例函數上，若存在P、Q兩點關于y軸對稱，我們稱二次函數為一次函數和反比例函數的“向光函數”，點P稱為“幸福點”．例如：點在上，點在上，P、Q兩點關于y軸對稱，此時二次函數為一次函數和反比例函數的“向光函數”，點是“幸福點”．
(1)判斷一次函數和反比例函數是否存在“向光函數”，若存在，請求出“幸福點”坐標；若不存在，請說明理；
(2)若一次函數與反比例函數只有一個“幸福點”，求其“向光函數”的解析式；
(3)已知一次函數與反比例函數有兩個“幸福點”A、B（A在B左側），其“向光函數”與軸x交于C、D兩點（C在D左側），若有以下條件：
①②“向光函數”經過點，③ ，記四邊形ACBD的面積為S，求的取值范圍．
【答案】(1)存在；“幸福點”坐標為，；
(2)“向光函數”的解析式為：或；
(3)
【分析】（1）假設存在“向光函數”，設“幸福點”坐標為，則，分別代入一次函數和反比例函數，得到關于的一元二次方程，解方程可得，，根據向光函數的定義，即可得到“幸福點”坐標；
（2因為一次函數和反比例函數只有一個“幸福點”，則一次函數與反比例函數只有一個交點，聯立一次函數與反比例函數得到關于的一元二次方程，得到關于的一元二次方程，令，求出的值，即可求出“向光函數”的解析式；
（3）一次函數與反比例函數有兩個“幸福點”、（在左側），則、關于軸對稱的點、一定在，上，根據“向光函數”滿足的條件可以得出，，進而表示邊形的面積為，即可求的取值范圍．
【詳解】（1）假設一次函數和反比例函數是存在“向光函數”，設“幸福點”坐標為，則
∴，
解并檢驗得：，，
∴一次函數和反比例函數是存在“向光函數”， “幸福點”坐標為，；
（2）∵一次函數關于y軸對稱的直線函數解析式為，而且一次函數與反比例函數只有一個“幸福點”，
所以與反比例函數只有一個交點，
∴，，
整理得：，
，
解得：，，
當時，則一次函數與反比例函數只有一個“幸福點”， 向光函數”的解析式為：，
當時，則一次函數與反比例函數只有一個“幸福點”， 向光函數”的解析式為：，
∴“向光函數”的解析式為：或．
（3）∵一次函數與反比例函數有兩個“幸福點”、（在左側），則、關于軸對稱的點、一定在上，
∴、關于軸對稱的點、是與的交點坐標，
∴，
整理得：，
又∵“向光函數”為，
∴與“向光函數”為關于軸對稱，
∴，
∵“向光函數”與軸交于、兩點（在左側），若有以下條件：①②“向光函數”經過點，③，
∴，
∴，
∴，
即“向光函數”為
又∵，
∴，
∴，
又∵“向光函數”與軸交于、兩點（在左側），與“向光函數”為關于軸對稱，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
令“向光函數”中，得即，
解得，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范圍是：．
【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，涉及到一次函數、反比例函數，理解題意是解答新定義題型的關鍵．
【變式訓練6-5】定義：若點A在一個函數圖象上，且點A的橫、縱坐標相等，則稱點A為這個函數的“等點”．
(1)關于“等點”，下列說法正確的有__________；
①函數有兩個“等點”；②函數有一個“等點”；③函數沒有“等點”．
(2)已知反比例函數與一次函數的圖象上有同一個“等點”，求反比例函數的表達式；
(3)函數的圖象上有兩個“等點”A、B，設A、B兩點之間的距離為m，若，則k的取值范圍是__________．
【答案】(1)①③
(2)
(3)
【分析】本題考查新定義，函數的圖象，反比函數與一次函數的性質．解題的關鍵是理解新定義，綜合運用函數的相關知識，熟練掌握函數與方程不等式的聯系．
（1）根據題意可知若函數有“等點”，則點應在函數圖象上，將其代入函數解析式即可求解；
（2）根據題意設該“等點”為，得，解得：，即可求得答案；
（3）根據題意得兩個“等點”為，，得，根據即可求得取值范圍．
【詳解】（1）解：由“等點”的定義可知，若函數有“等點”，則點應在函數圖象上，
當時，，即：
∴和是函數的兩個“等點”，故①正確；
當時，此時無解，
∴函數沒有“等點”，故②錯誤；
當時，，此時無解，，
∴函數沒有“等點”，故③正確；
綜上，正確的有①③，
故答案為：①③；
（2）∵反比例函數與一次函數的圖象上有同一個“等點”，
設該“等點”為，
∴，解得：，
∴反比例函數的表達式；
（3）∵函數的圖象上有兩個“等點”A、B，
∴有兩個不同得解，即有兩個不同得解，
則，，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
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專題26.1.2反比例函數的圖像與性質（三）六大題型（一課一講）
【人教版】
題型一：反比例函數綜合之交點問題
【經典例題1】如圖，一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點，與反比例函數的圖象分別交于C，D兩點，點，點B是線段的中點．
(1)求一次函數與反比例函數的解析式；
(2)求的面積；
(3)直接寫出當x取什么值時，．
【變式訓練1-1】關于x的一次函數和反比例函數的圖象都經過點．求：
(1)一次函數和反比例函數的解析式；
(2)兩函數圖象的另一個交點B的坐標；
(3) AOB的面積．
【變式訓練1-2】如圖，反比例函數與一次函數的圖象相交于點，．
(1)求該反比例函數和一次函數的解析式；
(2)觀察圖象，直接寫出當時自變量的取值范圍．
【變式訓練1-3】如圖，已知一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，兩點．
(1)求一次函數與反比例函數的解析式；
(2)根據圖象直接寫出不等式的解集．
【變式訓練1-4】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖像與軸、軸分別交于點、，與反比例函數的圖像交于點．已知點坐標為，點坐標為．
(1)求反比例函數及一次函數的表達式；
(2)點在線段上，過點且平行于軸的直線交于點，交反比例函數圖像于點．當時，求點的坐標．
【變式訓練1-5】如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于、兩點．
(1)求反比例函數和一次函數的表達式．
(2)根據圖象，直接寫出關于的不等式的解集．
題型二：反比例函數綜合之面積問題
【經典例題2】如圖，已知是一次函數的圖象與反比例函數的圖象的兩個交點．
(1)求此反比例函數和一次函數的解析式；
(2)求三角形的面積；
(3)根據圖象直接寫出關于x的不等式的解集．
【變式訓練2-1】如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數的圖象交于A、B兩點，與x軸相交于點C，已知點B的坐標為．
(1)求反比例函數的解析式；
(2)直接寫出不等式的解集．
(3)點P為反比例函數圖象上任意一點，若，求點P的坐標；
【變式訓練2-2】如圖，反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于，兩點．
(1)求一次函數的解析式及 AOB的面積；
(2)根據圖象直接寫出不等式的解集；
(3)若點P是坐標軸上的一點，且滿足面積等于 AOB的面積的3倍，直接寫出點P的坐標．
【變式訓練2-3】如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于，兩點．與軸相交于點．
(1)求反比例函數的表達式；
(2)觀察圖象，直接寫出不等式的解集：______；
(3)若點為軸上的一動點．連接，當的面積為時，求點的坐標．
【變式訓練2-4】如圖，一次函數的圖象交反比例函數圖象于，兩點．
(1)求m，n的值；
(2)點E是軸上一點，且，求點的坐標；
【變式訓練2-5】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象交于點．
(1)求一次函數與反比例函數的函數表達式；
(2)過點作軸，垂足為．
①點在軸正半軸上，且，將直線向下平移個單位長度得到直線，若直線經過點，求的值；
②若直線與軸交于點，連接交軸于，求的長及 BDE的面積．
題型三：反比例函數綜合之最值問題
【經典例題3】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于，兩點．
(1)求反比例函數及一次函數的表達式；
(2)若點P是y軸上一動點，連接，．當的值最小時，求點P的坐標．
【變式訓練3-1】如圖，一次函數的圖象與反比例函數（k為常數且）的圖象相交于，B兩點．
(1)求反比例函數的表達式；
(2)在y軸上有一動點E，當最小時，求點E的坐標；
(3)將一次函數的圖象沿y軸向下平移b個單位（），使平移后的圖象與反比例函數的圖象有且只有一個交點，求b的值．
【變式訓練3-2】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象交于點，，與軸，軸分別交于，兩點．
(1)求一次函數和反比例函數的表達式；
(2)若點在軸上，當的周長最小時，請直接寫出點的坐標；
(3)將直線向下平移個單位長度后與軸，軸分別交于，兩點，當時，求的值．
【變式訓練3-3】如圖，直線與雙曲線交于A（1，8），B（4，n）兩點，與x軸，y軸分別交于點C，D．
(1)求一次函數與反比例函數的表達式；
(2)設點P是y軸上的一個動點，當△APB的周長最小時，請求出點P的坐標；
(3)將直線向下平移t個單位后，與雙曲線有唯一交點，t的值為 ．
【變式訓練3-4】如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數的圖像經過點，點與點關于軸對稱，且點在反比例函數的圖像上．
(1)求的值和反比例函數的解析式；
(2)設是直線上的一動點．當線段最短時，求的面積．
【變式訓練3-5】如圖，函數的圖象與函數的圖象交于點，．
(1)求，的值和反比例函數的解析式；
(2)觀察圖象，直接寫出不等式的解集；
(3)若點是軸上的動點，當周長最小時，求點的坐標．
【變式訓練3-6】如圖，直線與x軸交于點，與軸交于點，與反比例函數交于點，．
(1)請求出，，的值；
(2)根據圖象，直接寫出不等式的解集：________；
(3)點是軸上一動點，連接，，當周長最小時，點的坐標為________．
題型四：反比例函數綜合之存在性問題（三角形）
【經典例題4】如圖，反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點和
(1)分別求出反比例函數與一次函數的解析式；
(2)根據圖象直接寫出不等式的解集；
(3)在x軸上是否存在點P使為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式訓練4-1】如圖所示，反比例函數（）的圖象與一次函數（）的圖象交于、兩點，直線分別與x軸、y軸交于點C、D．
(1)分別求反比例函數和一次函數的解析式；
(2)若（）是x軸的正半軸上一動點，過P作x軸的垂線，分別與一次函數的圖象和反比例函數的圖象交于點M、N，設的長為d，求出d與t之間的函數關系式；
(3)在第二象限內是否存在點Q，使得是等腰直角三角形．若存在，請直接寫出點Q的坐標，請說明理由．
【變式訓練4-2】如圖所示，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于A，B兩點，與x軸、y軸分別交于C，D兩點，連接，．
(1)求k的值．
(2)x軸上是否存在一點E，使為等腰三角形 若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式訓練4-3】綜合與探究
如圖1，已知正比例函數與反比例函數的圖象交于點，，且點的橫坐標為，點的縱坐標為．
(1)求反比例函數的表達式．
(2)如圖2，將直線向上平移4個單位長度，與坐標軸交于點，，若是軸上的一個動點，分別連接，，求取得最小值時點的坐標．
(3)如圖3，以點和點為頂點作矩形，使得軸，軸，邊交軸于點，是的中點，直線交軸于點，交軸于點，在第二象限內是否存在點，使得為等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式訓練4-4】已知一次函數與反比例函數 的圖象交于兩點．
(1)①求一次函數和反比例函數的表達式；
②求的面積．
(2)在x軸的負半軸上，是否存在點P，使得為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式訓練4-5】已知一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點；與x軸交于點C．
(1)求一次函數和反比例函數的表達式；
(2)若點P在y軸上，且滿足求點P的坐標；
(3)我們將有一個內角為的三角形稱為“半直角三角形”，這個角所對的邊為“半直角邊”．反比例函數在第四象限的圖象上是否存在點Q，使得是不以為“半直角邊”的“半直角三角形”？若存在，請求出點`Q的坐標；若不存在，請說明理由．
題型五：反比例函數綜合之存在性問題（四邊形）
【經典例題5】如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點，與軸交于點，與反比例函數在第四象限內的圖象交于點 .
(1)求反比例函數的表達式；
(2)當時.直接寫出的取值范圍；
(3)若點在雙曲線上，點在平面上，是否存在點、點，使四邊形為矩形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式訓練5-1】如圖1，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于兩點（點在點左邊），過兩點作直線，與雙曲線的另一交點為，過作直線的平行線交雙曲線于點．
(1)則點坐標為 ，點坐標為 ，并求直線的解析式；
(2)如圖2，點在軸負半軸上，連接，交直線于點，連接，且，將線段在軸上移動，得到線段（如圖3），請求出的最大值；
(3)如圖4，點在軸上，在平面內是否存在一點，使以點為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點坐標；若不存在，請說明理由．
【變式訓練5-2】如圖，一次函數與反比例函數在第一象限交于、兩點，垂直軸于點，為坐標原點，四邊形的面積為．
(1)求反比例函數及一次函數的解析式；
(2)在反比例函數位于第三象限的圖象上是否存在一點，使得的面積最小？如果有，求出點的坐標和的面積最小值．
【變式訓練5-3】如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于點、兩點．
(1)求一次函數與反比例函數的解析式；
(2)若點為線段上一點，且，連接、，求；
(3)如果一個矩形的長寬之比為，我們把該矩形稱為“倍邊矩形”．請探究，在平面內是否存在、兩點（點在直線上方），使得四邊形為倍邊矩形，若存在，請求、兩點的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式訓練5-4】如圖，一次函數與反比例函數相交于點、，與x軸、y軸分別交于點C、點D，點M是x軸負半軸上一動點，連接、、．
(1)求一次函數的解析式；
(2)若時，求點M的坐標；
(3)在（2）的條件下，將直線向下平移2個單位得到直線l，若點E是平移后直線l上一點，在y軸上是否在點F，使以點A、B、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式訓練5-5】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象在第一象限內交于和兩點，直線與軸相交于點，連接．
(1)求一次函數與反比例函數的表達式；
(2)當時，請結合函數圖象，直接寫出關于的不等式的解集；
(3)過點作平行于軸，交于點，在軸上是否存在點，使以點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在請求出點坐標，若不存在請說明理由．
【變式訓練5-6】如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于，兩點，分別連接，．
(1)求這個反比例函數的表達式；
(2)求不等式的解集；
(3)在平面內是否存在一點，使得以點，，，為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
題型六：反比例函數綜合之定義新運算
【經典例題6】定義運算：，當時 ，； 當時 ，．例如：；根據以上材料，解決下列問題．
(1) ；
(2)若，求x的取值范圍．
(3)如圖和在同一平面直角坐標系中，當，結合圖象，直接寫出x 的取值范圍．
【變式訓練6-1】在平面直角坐標系中，對于點，給出如下定義：當點，滿足時，稱點是點的等和點．
(1)已知點，在，，中，是點等和點的有_____；
(2)若點的等和點在直線上，求的值；
(3)已知，雙曲線和直線，滿足的取值范圍是或．若點在雙曲線上，點的等和點在直線上，求點的坐標．
【變式訓練6-2】定義：函數圖象上縱坐標是橫坐標的兩倍的點，稱為該函數的“兩倍點”，而縱坐標比橫坐標的兩倍小的點稱為“弱倍點”．
(1)判斷下列函數圖象上是否有兩倍點？若有，求兩倍點；若無，說明理由．
①；②．
(2)如圖，反比例函數圖象上有一個兩倍點的橫坐標為3，求它的另一個兩倍點的坐標，并結合圖象寫出圖象上弱倍點的橫坐標的取值范圍．
【變式訓練6-3】我們定義：如果一個矩形A周長和面積都是B矩形的N倍，那么我們就稱矩形A是矩形B的完全N倍體．
【概念辨析】
（1）若矩形A是邊長為1的正方形，是否存在一個正方形B是正方形A的完全2倍體？ ．（填“存在”或“不存在”）．
【深入探究】
長為4，寬為3的矩形C是否存在完全2倍體？
小鳴和小棋分別有以下思路：
【小鳴方程流】設新矩形長和寬為x、y，則依題意，，
聯立由①得③，
將③代入②，得，再探究根的情況；
【小棋函數流】如圖，也可用反比例函數與一次函數來研究，作出圖象，有交點，意味著存在完全2倍體．
（2）那么長為4，寬為3的矩形C是否存在完全倍體？請你利用上述其中一種思路，若存在，請求出新矩形的長和寬；若不存在，請說明理由．
（3）靜靜認為對于任意長為m，寬為n的矩形都存在完全2倍體；小蘭認為有些矩形不存在完全2倍體．你支持誰的觀點？請說明理由．
【變式訓練6-4】我們定義：點P在一次函數上，點Q在反比例函數上，若存在P、Q兩點關于y軸對稱，我們稱二次函數為一次函數和反比例函數的“向光函數”，點P稱為“幸福點”．例如：點在上，點在上，P、Q兩點關于y軸對稱，此時二次函數為一次函數和反比例函數的“向光函數”，點是“幸福點”．
(1)判斷一次函數和反比例函數是否存在“向光函數”，若存在，請求出“幸福點”坐標；若不存在，請說明理；
(2)若一次函數與反比例函數只有一個“幸福點”，求其“向光函數”的解析式；
(3)已知一次函數與反比例函數有兩個“幸福點”A、B（A在B左側），其“向光函數”與軸x交于C、D兩點（C在D左側），若有以下條件：
①②“向光函數”經過點，③ ，記四邊形ACBD的面積為S，求的取值范圍．
【變式訓練6-5】定義：若點A在一個函數圖象上，且點A的橫、縱坐標相等，則稱點A為這個函數的“等點”．
(1)關于“等點”，下列說法正確的有__________；
①函數有兩個“等點”；②函數有一個“等點”；③函數沒有“等點”．
(2)已知反比例函數與一次函數的圖象上有同一個“等點”，求反比例函數的表達式；
(3)函數的圖象上有兩個“等點”A、B，設A、B兩點之間的距離為m，若，則k的取值范圍是__________．
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