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專題26.1.1反比例函數(shù)六大題型（一課一講）
【人教版】
題型一：用反比例函數(shù)描述數(shù)量關(guān)系
【經(jīng)典例題1】郵局準(zhǔn)備把一批《百科全書》打包寄給山區(qū)的小朋友，每包的本數(shù)和包數(shù)如下表：
每包的本數(shù)/本 10 20 40
包數(shù)/包 60 30 15
用表示包數(shù)，用表示每包的本數(shù)，用式子表示與的關(guān)系為 ，y與x成 比例關(guān)系．
【答案】 反
【分析】本題考查由表格求反比例函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的定義．
總本數(shù)=每包的本數(shù)×包數(shù)，總本數(shù)一定，即乘積一定，那么每包的本數(shù)和包數(shù)成反比例．
【詳解】解：由表格可知：，
，
y與x成反比例關(guān)系．
故答案為：，反．
【變式訓(xùn)練1-1】如圖，用繩子圍矩形，記矩形相鄰的兩邊長為．
(1)若繩長為，則與的關(guān)系式為 ，是的 函數(shù)；
(2)若矩形的面積是，則與的關(guān)系式為 ，是的 函數(shù)；
(3)若矩形的周長為，矩形的面積為，則與的關(guān)系式為 ，是的 函數(shù)．
【答案】(1)；一次
(2)；反比例
(3)；二次
【分析】本題主要考查一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意可得，化簡即可得出答案；
（2）根據(jù)題意可得，化簡即可得出答案；
（3）根據(jù)題意可得，，即可得出，，即可得出答案；
【詳解】（1）解：∵繩長為，矩形相鄰的兩邊長為，
∴，
即，
∴是的一次函數(shù)，
故答案為：，一次．
（2）解：∵矩形的面積是，矩形相鄰的兩邊長為，
∴，
即，
∴是的反比例函數(shù)，
故答案為：，反比例．
（3）解：∵矩形的周長為，矩形的面積為，
∴，，
∴，
∴，
∴是的二次函數(shù)，
故答案為：，二次．
【變式訓(xùn)練1-2】一個物體重，該物體對地面的壓強(qiáng)隨它與地面的接觸面積的變化而變化，則p與S之間的函數(shù)表達(dá)式為 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系，解題關(guān)鍵是知道壓強(qiáng)與受力面積成反比．根據(jù)物理中的壓強(qiáng)與接觸面積、物體的重量之間的關(guān)系：壓強(qiáng)壓力受力面積，構(gòu)造反比例模型，解決實(shí)際問題即可．
【詳解】解：∵壓強(qiáng)與接觸面積成反比例關(guān)系，
∴根據(jù)壓強(qiáng)公式得： ，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練1-3】一個菱形的面積為，它的兩條對角線長分別為，則與之間的函數(shù)關(guān)系式為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)菱形面積對角線的積可列出關(guān)系式．
【詳解】解：由題意得：，可得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是記住菱形的面積公式．
【變式訓(xùn)練1-4】下列四個說法：①書的總頁數(shù)一定，未讀的頁數(shù)與已讀的頁數(shù)成正比例；②如果保持圓的半徑不變，圓的周長與圓周率成正比例；③小麥的總產(chǎn)量一定，每公頃產(chǎn)量與公頃數(shù)成反比例；④圓柱體積一定，圓柱的底面積與高成反比例．其中正確說法的個數(shù)有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查了正比例和反比例的概念；
根據(jù)乘積一定的兩個量成反比例，商一定的兩個量成正比例逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：①書的總頁數(shù)一定，未讀的頁數(shù)與已讀的頁數(shù)的和一定，未讀的頁數(shù)與已讀的頁數(shù)不成正比例，說法錯誤；
②如果保持圓的半徑不變，圓的周長也不變，而圓周率是定值，故圓的周長與圓周率不成正比例，說法錯誤；
③小麥的總產(chǎn)量一定，每公頃產(chǎn)量與公頃數(shù)成反比例，說法正確；
④圓柱體積一定，圓柱的底面積與高成反比例，說法正確；
正確說法的個數(shù)有2個，
故選：B．
題型二：根據(jù)定義判斷是否為反比例函數(shù)（解析式）
【經(jīng)典例題2】下列關(guān)系式中，y是x的反比例函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的定義，熟知一般地，形如，其中是常數(shù)的函數(shù)叫做反比例函數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的定義解答即可．
【詳解】解：A、不符合的形式，不是反比例函數(shù)，不符合題意；
B、不符合的形式，不是反比例函數(shù)，不符合題意；
C、不符合的形式，不是反比例函數(shù)，不符合題意；
D、可化為，符合的形式，是反比例函數(shù)，符合題意，
故選：D．
【變式訓(xùn)練2-1】有下列函數(shù)：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥，其中是的反比例函數(shù)的有（　　)
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的定義，利用反比例函數(shù)的定義，一般地，形如，的函數(shù)是反比例函數(shù)，對每個式子逐一判斷即可得出結(jié)論．
【詳解】解：反比例函數(shù)形式為：，
則①是反比例函數(shù)，②不是反比例函數(shù)，③是反比例函數(shù)，
④是反比例函數(shù)，⑤不是反比例函數(shù)，⑥不是反比例函數(shù)，
故①③④是反比例函數(shù)，
故選：C．
【變式訓(xùn)練2-2】下列關(guān)系式中，是關(guān)于的反比例函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查反比例函數(shù)定義．根據(jù)題意形如“”形式稱為是關(guān)于的反比例函數(shù)，逐一對選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得到本題答案．
【詳解】解：是反比例函數(shù)，B選項(xiàng)符合題意，
中是關(guān)于的正比例函數(shù)，A選項(xiàng)不符合題意，
和中也不是關(guān)于的反比例函數(shù)，C，D不符合題意，
故選：B．
【變式訓(xùn)練2-3】下列式子中：①；②；③；④ ；⑤，能表示y是x 的反比例函數(shù)的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】本題考查反比例函數(shù)的定義，掌握反比例函數(shù)的三種形式是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)形如，y叫x的反比例函數(shù)，作出判斷即可．
【詳解】解：①是正比例函數(shù)，故①不能表示y是x 的反比例函數(shù)；
②是反比例函數(shù)，故②能表示y是x 的反比例函數(shù)；
③∵，∴，故③能表示y是x 的反比例函數(shù)；
④ ∵，∴，故④能表示y是x 的反比例函數(shù)；
⑤是正比例函數(shù)，故⑤不能表示y是x 的反比例函數(shù)；
∴②③④，共3個能表示y是x 的反比例函數(shù)．
故選：B．
【變式訓(xùn)練2-4】下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示y是x的反比例函數(shù)的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】本題主要考查了正比例函數(shù)及反比例函數(shù)的定義，正確理解相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)反比例函數(shù)的定義分析即可得出答案．
【詳解】解：①，不是反比例函數(shù)；
②，是反比例函數(shù)；
③，是反比例函數(shù)；
④，是反比例函數(shù)；
⑤，不是反比例函數(shù)．
綜上所述，能表示y是x的反比例函數(shù)的有3個．
故選：B．
【變式訓(xùn)練2-5】下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)的定義，判斷一個函數(shù)是否是反比例函數(shù)，首先看看兩個變量是否具有反比例關(guān)系，然后根據(jù)反比例函數(shù)的意義去判斷，其形式為為常數(shù)，或?yàn)槌?shù)，．
利用反比例函數(shù)定義進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：A、是正比例函數(shù)，不是反比例函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；
B、不是反比例函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、是反比例函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；
D、不是反比例函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
題型三：根據(jù)定義判斷是否為反比例函數(shù)（敘述）
【經(jīng)典例題3】已知壓力F、受力面積S、壓強(qiáng)P之間的關(guān)系是．則下列說法不正確的是（ ）
A．當(dāng)壓強(qiáng)P為定值時，壓力F與受力面積S成正比函數(shù)關(guān)系；
B．當(dāng)壓強(qiáng)P為定值時，受力面積S越大，壓力F也越大；
C．當(dāng)壓力F為定值時，壓強(qiáng)P與受力面積S成正比例函數(shù)關(guān)系；
D．當(dāng)壓力F為定值時，壓強(qiáng)P與受力面積S成反比例函數(shù)關(guān)系．
【答案】C
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)關(guān)系和反比例函數(shù)關(guān)系的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．在中，當(dāng)壓強(qiáng)P為定值時，壓力F與受力面積S成正比函數(shù)關(guān)系，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
B．在中，當(dāng)壓強(qiáng)P為定值時，受力面積S越大，壓力F也越大，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
C．在中，當(dāng)壓力F為定值時，壓強(qiáng)P與受力面積S成反比例函數(shù)關(guān)系，故選項(xiàng)不正確，符合題意；
D．在中，當(dāng)壓力F為定值時，壓強(qiáng)P與受力面積S成反比例函數(shù)關(guān)系，故選項(xiàng)正確，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了正比例函數(shù)關(guān)系和反比例函數(shù)關(guān)系，熟練掌握正比例函數(shù)關(guān)系和反比例函數(shù)關(guān)系的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練3-1】下列說法正確的是（ ）
A．周長為1的矩形的長與寬成正比例
B．面積為1的等腰三角形的腰長與底邊長成正比例
C．面積為1的矩形的長與寬成反比例
D．等邊三角形的面積與它的邊長成正比例
【答案】C
【分析】本題考查了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)解析式的一般形式．
根據(jù)正比例函數(shù)的定義及形式反比例函數(shù)的定義及形式可判斷各個命題的真假．
【詳解】解：A、設(shè)長方形的長為x、寬為y，
∴，即，
∴長方形的長和寬不成任何比例關(guān)系，故本選項(xiàng)錯誤；
B、設(shè)等腰三角形的腰為a，底邊長為b，
∴等腰三角形底邊上的高為，
∵等腰三角形的面積為1，
∴，即，
∴面積一定的等腰三角形的腰長和底邊長不成任何比例關(guān)系，故本選項(xiàng)錯誤；
C、∵長方形的面積長寬，該長方形的面積是定值1，
∴長與寬的乘積為定值，
∴面積為1的長方形的長與寬成反比例，故本選項(xiàng)正確；
D、設(shè)等邊三角形的邊長為t，面積為S，
∴等邊三角形的高為，
∴，
∴等邊三角形的面積與邊長不成比例關(guān)系，故本選項(xiàng)錯誤．
故選C．
【變式訓(xùn)練3-2】下列問題中兩個變量之間的關(guān)系不是反比例函數(shù)的是（ ）
A．某人參加賽跑時，時間與跑步平均速度之間的關(guān)系
B．長方形的面積一定，它的兩條鄰邊的長與之間的關(guān)系
C．壓強(qiáng)公式中，一定時，壓強(qiáng)與受力面積之間的關(guān)系
D．三角形的一條邊長一定時，它的面積與這條邊上的高之間的關(guān)系
【答案】D
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的定義，對于兩個變量，若它們的乘積一定，則這兩個變量是反比例函數(shù)關(guān)系，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：A、由題意得，，則時間與跑步平均速度之間的關(guān)系是反比例函數(shù)，不符合題意；
B、由題意得，，則長方形的面積一定，它的兩條鄰邊的長與之間的關(guān)系是反比例函數(shù)，不符合題意；
C、由題意得，，則一定時，壓強(qiáng)與受力面積之間的關(guān)是反比例函數(shù)，不符合題意；
D、由題意得，（l為一邊長，h為該邊上的高），則l一定時，它的面積與這條邊上的高之間的關(guān)系不是反比例函數(shù)，符合題意；
故選：D
【變式訓(xùn)練3-3】下面幾組相關(guān)聯(lián)的量中，成反比例關(guān)系的是（　?。?br/>A．讀一本書，已讀的頁數(shù)與未讀的頁數(shù)
B．小明的年齡和媽媽的年齡
C．班級的出勤率一定，出勤人數(shù)和總?cè)藬?shù)
D．平行四邊的面積一定，它的底和高
【答案】D
【詳解】本題考查成反比例關(guān)系的判定，關(guān)鍵是就看這兩個量是對應(yīng)的比值一定，還是對應(yīng)的乘積一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘積一定，則成反比例．按成反比例關(guān)系的定義判定即可．
【解答】解：A、已經(jīng)讀了的頁數(shù)未讀的頁數(shù)這本書的總頁數(shù)（一定），和一定，所以已經(jīng)讀了的頁數(shù)與未讀的頁數(shù)不成比例；
B、媽媽的年齡與小明的年齡差一定，所以小明的年齡和媽媽的年齡不成比例；
C、出勤人數(shù)：總?cè)藬?shù)出勤率（一定），商一定，所以出勤人數(shù)和總?cè)藬?shù)成正比例；
D、平行四邊形的底高平行四邊形的面積（一定），乘積一定，所以平行四邊形的底和高成反比例．
故選：D．
題型四：根據(jù)定義求反比例函數(shù)中的參數(shù)
【經(jīng)典例題4】已知函數(shù) 是反比例函數(shù)，則的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．任意實(shí)數(shù)
【答案】B
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的定義，根據(jù)反比例函數(shù)的定義的形式，可得，由此即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意可得，，
解得，，
∴，
故選：B ．
【變式訓(xùn)練4-1】已知函數(shù)是關(guān)于的反比例函數(shù)，則的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的定義，解一元二次方程，根據(jù)反比例函數(shù)的定義可得，然后求解即可，解題的關(guān)鍵是熟記反比例函數(shù)的定義：形如的函數(shù)叫做反比例函數(shù)．
【詳解】∵函數(shù)是關(guān)于的反比例函數(shù)，
∴，解得：，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練4-2】若函數(shù)是反比例函數(shù)，則的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的定義，根據(jù)反比例函數(shù)的定義，則即可求解，解題關(guān)鍵是將一般形式轉(zhuǎn)化為的形式．
【詳解】解：∵函數(shù)是反比例函數(shù)，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練4-3】已知函數(shù)是反比例函數(shù)，則
【答案】
【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)的定義，正確得出關(guān)于的等式是解題關(guān)鍵．直接利用反比例函數(shù)的定義得出的值，再利用系數(shù)不能等于0，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：∵
則，
解得：
．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練4-4】已知是反比例函數(shù)，則 ．
【答案】4
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的定義，一般地，形如的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵是反比例函數(shù)，
∴，
∴，
故答案為：4．
【變式訓(xùn)練4-5】已知函數(shù)．
(1)當(dāng)m取什么值時，y是x的二次函數(shù)．
(2)當(dāng)m取什么值時，y是x的反比例函數(shù)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，反比例函數(shù)的定義，解一元二次方程及不等式，掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義列方程和不等式求解即可；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)的定義列方程和不等式求解即可．
【詳解】（1）解：函數(shù)是y關(guān)于x的二次函數(shù)，
，，
解得：，
即當(dāng)時，y是x的二次函數(shù)；
（2）解：函數(shù)是y關(guān)于x的反比例函數(shù)，
，，
解得：，
即當(dāng)時，y是x的反比例函數(shù)．
題型五：求反比例函數(shù)值
【經(jīng)典例題5】反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點(diǎn)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了求反比例函數(shù)值．熟練掌握求反比例函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．分別將各選項(xiàng)的點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)代入，求縱坐標(biāo)，然后判斷作答即可．
【詳解】解：A、當(dāng)時，，故不符合題意；
B、當(dāng)時，，故不符合題意；
C、當(dāng)時，，故符合題意；
D、當(dāng)時，，故不符合題意；
故選：C．
【變式訓(xùn)練5-1】若點(diǎn)不在雙曲線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了反比例的性質(zhì)，熟練掌握該知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意在雙曲線上的點(diǎn)滿足，然后逐項(xiàng)代入判斷即可．
【詳解】解：
在雙曲線上的點(diǎn)滿足
A、，故該點(diǎn)在此雙曲線上，選項(xiàng)A不符合題意；
B、，故該點(diǎn)不在此雙曲線上，選項(xiàng)B符合題意；
C、，故該點(diǎn)在此雙曲線上，選項(xiàng)C不符合題意；
D、，故該點(diǎn)在此雙曲線上，選項(xiàng)D不符合題意；
故選：B．
【變式訓(xùn)練5-2】已知點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，則的最小值為( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可知，把變形為，即可求解．
【詳解】解：點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，
，，
，
，
當(dāng)，時，有最小值為，
故選：A．
【變式訓(xùn)練5-3】已知反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)和點(diǎn)，則的值為 ．
【答案】
【分析】直接根據(jù)解答即可．本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)和點(diǎn)，
∴，
，
解得．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練5-4】在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，則的值是 .
【答案】0
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，已知自變量求函數(shù)值，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
將點(diǎn)和代入，求得和，再相加即可．
【詳解】解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，
∴有，
∴，
故答案為：0．
【變式訓(xùn)練5-5】在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，若，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，先將點(diǎn)和代入函數(shù)解析式得出，，結(jié)合題意可得，即可求解．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，
∴，，
又∵，
∴，
即；
即的值為．
故答案為：．
題型六：反比例函數(shù)之定義新運(yùn)算
【經(jīng)典例題6】定義：若一個函數(shù)的圖象上存在橫、縱坐標(biāo)之和為零的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個函數(shù)圖象的“平衡點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)的圖象的“平衡點(diǎn)”．
(1)在函數(shù)①，②，③，④的圖象上，存在“平衡點(diǎn)”的函數(shù)是_____；（填序號）
(2)設(shè)函數(shù)與的圖象的“平衡點(diǎn)”分別為點(diǎn)、，過點(diǎn)作軸，垂足為．當(dāng)為等腰三角形時，求的值；
(3)若將函數(shù)的圖象繞軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的圖象上恰有個“平衡點(diǎn)”時，求的縱坐標(biāo)．
【答案】(1)①②
(2)的值為或或或；
(3)
【分析】（1）根據(jù)“平衡點(diǎn)”的定義求解即可；
（2）先求得；，，從而得，，，然后分類討論秋季即可；
（3）設(shè)，由，得拋物線的頂點(diǎn)為，從而得點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式為，再根據(jù)新定義列方程求解即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)“平衡點(diǎn)”的定義，“平衡點(diǎn)”的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，
在中，令得，
∴或，
∴當(dāng)時，當(dāng)時，，
∴的圖象上存在“平衡點(diǎn)”和，
同理可得，，的圖象上不存在“平衡點(diǎn)”，的圖象上存在“平衡點(diǎn)”；
故答案為：①②；
（2）解：在中，令得，
解得或，
，
；
在中，令得，
解得，
當(dāng)時，，
，，，
若，則，
解得；
若，則，
解得或；
若，則，
解得或（此時，重合，舍去）；
的值為或或或；
（3）解：設(shè)，
，
拋物線的頂點(diǎn)為，
點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，
旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式為，
在中，令得：
，
，
旋轉(zhuǎn)后的圖象上恰有個“平衡點(diǎn)”
有兩個相等實(shí)數(shù)根，
，即，
，
∴的縱坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，反比例函數(shù)求自變量的值，等腰三角形的定義，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練6-1】定義：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，若，，其中為常數(shù)，且，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的“級變換點(diǎn)”．
例如，點(diǎn)是點(diǎn)的“級變換點(diǎn)”
(1)函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)的“級變換點(diǎn)”？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
(2)動點(diǎn)與其“級變換點(diǎn)”分別在直線，上，在，上分別取點(diǎn)，．若，求證：；
(3)關(guān)于的二次函數(shù)的圖象上恰有兩個點(diǎn)，這兩個點(diǎn)的“1級變換點(diǎn)”都在直線上，求的取值范圍．
【答案】(1)不存在，理由見解析
(2)證明見解析
(3)且
【分析】對于（1），根據(jù)定義解答即可；
對于（2），先求出兩直線的關(guān)系式，再將代入關(guān)系式，討論得出結(jié)論；
對于（3），由定義可知“1級變換點(diǎn)”都在函數(shù)的圖象上，再將兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立，根據(jù)圖像有交點(diǎn)求出，進(jìn)而確定兩個圖象的交點(diǎn)為，然后分和兩種情況討論，即可得出答案．
【詳解】（1）不存在，理由如下：
根據(jù)定義可知的k級變換點(diǎn)為，
將點(diǎn)代入函數(shù)，得，
無解，所以不存在；
（2）點(diǎn)的“k級變換點(diǎn)”為，
∴直線和直線的關(guān)系式為，，
當(dāng)時，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）二次函數(shù)的圖象的點(diǎn)的“1級變換點(diǎn)”都在函數(shù)的圖象上，
即，
整理，得，
，
函數(shù)的圖象和直線有公共點(diǎn)，
由的公共點(diǎn)是．
當(dāng)時，，得，
又，
解得，
∴且；
當(dāng)，時，兩個圖象僅有一個公共點(diǎn)，不合題意，舍去．
所以n的取值范圍是且．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義的理解，反比例函數(shù)的性質(zhì)，求一次函數(shù)的關(guān)系式，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，理解“k級變換點(diǎn)”是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練6-2】平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)和，給出如下定義：，稱點(diǎn)為點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”．例如：點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)，點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)
根據(jù)定義，解答下列問題：
(1)點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)________．
(2)點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)，點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)，點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)，…，以此類推，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________．
(3)若點(diǎn)是函數(shù)圖象上點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．
【分析】（1）依據(jù)“可控變點(diǎn)”的定義可得，點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)；
（2）依據(jù)變化規(guī)律可得每四次變化出現(xiàn)一次循環(huán)，即可得到當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）由題意知，點(diǎn)M在上，設(shè)，當(dāng)時，的“可控變點(diǎn)”坐標(biāo)為：，當(dāng)時，的“可控變點(diǎn)”坐標(biāo)為：，再結(jié)合反比例函數(shù)的特點(diǎn)解答即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，，
∴根據(jù)“可控變點(diǎn)”的定義可得，點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)，
（2）當(dāng)時，點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)，
點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)，
點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)，
點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)，…，
故每四次變化出現(xiàn)一次循環(huán)；
當(dāng)時，
點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)，
點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)，
點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)，
點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)，…，
故每四次變化出現(xiàn)一次循環(huán)；
∵，
∴當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（3）由題意知，點(diǎn)M在上，設(shè)，
當(dāng)時，的“可控變點(diǎn)”坐標(biāo)為：，
∵點(diǎn)是函數(shù)圖象上點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”，
∴，則，
∴，
當(dāng)時，的“可控變點(diǎn)”坐標(biāo)為：，
∵點(diǎn)是函數(shù)圖象上點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”，
∴，則，
此時，
∴
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，新定義的理解，坐標(biāo)變換，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握新定義“可控變點(diǎn)”，解答此題還需要根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律進(jìn)行判斷．
【變式訓(xùn)練6-3】在平面直角坐標(biāo)系中，對于和點(diǎn)，給出如下定義：若，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是．
(1)點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；
(2)判斷點(diǎn)中，哪一個點(diǎn)是函數(shù)圖象上某一個點(diǎn)的限變點(diǎn)？并說明理由；
(3)若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)B是函數(shù)圖象上某一個點(diǎn)的限變點(diǎn)，理由見解析
(3)或
【分析】（1）根據(jù)限變點(diǎn)的定義進(jìn)行求解即可；
（2）先分別假設(shè)A、B是函數(shù)圖象上某一個點(diǎn)的限變點(diǎn)，進(jìn)而求出函數(shù)圖象上對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，看該點(diǎn)是否在函數(shù)圖象上即可；
（3）根據(jù)題意可得圖象上的點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)點(diǎn)必在函數(shù)的圖象上，然后結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故答案為：
（2）解：點(diǎn)B是函數(shù)圖象上某一個點(diǎn)的限變點(diǎn)，理由如下：
∵，
∴若點(diǎn)A是函數(shù)圖象上某一個點(diǎn)的限變點(diǎn)，則這個點(diǎn)的坐標(biāo)為，
又∵不在函數(shù)圖象上，
∴點(diǎn)A不是函數(shù)圖象上某一個點(diǎn)的限變點(diǎn)；
∵，
∴若點(diǎn)B是函數(shù)圖象上某一個點(diǎn)的限變點(diǎn)，則這個點(diǎn)的坐標(biāo)為，
又∵在函數(shù)圖象上，
∴點(diǎn)B是函數(shù)圖象上某一個點(diǎn)的限變點(diǎn)；
（3）解：由題意得，圖象上的點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)點(diǎn)必在函數(shù)的圖象上，
∵，
∴或．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，一次函數(shù)與幾何綜合等等，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練6-4】在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，給出如下定義：當(dāng)點(diǎn)，滿足時，稱點(diǎn)N是點(diǎn)M的負(fù)等積點(diǎn)已知點(diǎn)．
(1)在，，，中，點(diǎn)M的負(fù)等積點(diǎn)是 ．
(2)如果點(diǎn)M的負(fù)等積點(diǎn)N在雙曲線上，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【答案】(1)，；
(2)或；
【分析】（1）根據(jù)負(fù)等積點(diǎn)定義直接求值判斷即可得到答案；
（2）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)負(fù)等積點(diǎn)定義代入列式求值即可得到答案.
【詳解】（1）解：由題意可得，
，故不是點(diǎn)M的負(fù)等積點(diǎn)，
，故是點(diǎn)M的負(fù)等積點(diǎn)，
，故不是點(diǎn)M的負(fù)等積點(diǎn)，
，故是點(diǎn)M的負(fù)等積點(diǎn)，
故答案為：，；
（2）解：設(shè)，
∵點(diǎn)N是點(diǎn)M的負(fù)等積點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為：或；
【點(diǎn)睛】本題考查新定義下運(yùn)算及反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是讀懂新定義，根據(jù)新定義列方程求解．
【變式訓(xùn)練6-5】定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，稱該點(diǎn)為這個函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”，該函數(shù)稱為“等值函數(shù)”．例如：“等值函數(shù)”，其圖象上的“等值點(diǎn)”為（1，1）．
(1)在下列關(guān)于x的函數(shù)中，是“等值函數(shù)”的，請?jiān)谙鄳?yīng)題目后面的橫線上打“√”．
①________；②________；③________．
(2)若點(diǎn)A，點(diǎn)B是“等值函數(shù)”（其中m＞0）上的“等值點(diǎn)”，且，求m的取值范圍；
(3)若“等值函數(shù)”的圖象上存在唯一的一個“等值點(diǎn)”，且當(dāng)時，n的最小值為k，求k的值．
【答案】(1)①×，②√，③√；
(2)
(3)，．
【分析】（1）根據(jù)等值函數(shù)的定義判斷即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求出m的取值即可；
（3）根據(jù)得出m，n，k的關(guān)系式，分情況討論得出k的值即可．
【詳解】（1）解：①∵時無解，
∴不是“等值函數(shù)”；
②時，解得，
∴是“等值函數(shù)”；
③時，
解得或，
∴是“等值函數(shù)”；
故答案為：①×，②√，③√；
（2）解：∵是“等值函數(shù)”，
∴，
整理得，，
∵點(diǎn)A、點(diǎn)B是“等值函數(shù)”上的“等值點(diǎn)”，
設(shè)，，
∴，，，
∴
∵，∴，
∴；
（3）解：∵“等值函數(shù)”的圖象上存在唯一的一個“等值點(diǎn)”，
∴，且，
∴，
，
∴，
n是關(guān)于m的二次函數(shù)，對稱軸為，
①若，即，
當(dāng)時，n有最小值k，，
∴；（舍去），
∴；
②若，即，當(dāng)時，n有最小值k，，
解得（舍去）；
③若，即，當(dāng)時，n有最小值k，，
解得；
綜上所述：，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合知識，根據(jù)二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個數(shù)得出的取值，熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
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專題26.1.1反比例函數(shù)六大題型（一課一講）
【人教版】
題型一：用反比例函數(shù)描述數(shù)量關(guān)系
【經(jīng)典例題1】郵局準(zhǔn)備把一批《百科全書》打包寄給山區(qū)的小朋友，每包的本數(shù)和包數(shù)如下表：
每包的本數(shù)/本 10 20 40
包數(shù)/包 60 30 15
用表示包數(shù)，用表示每包的本數(shù)，用式子表示與的關(guān)系為 ，y與x成 比例關(guān)系．
【變式訓(xùn)練1-1】如圖，用繩子圍矩形，記矩形相鄰的兩邊長為．
(1)若繩長為，則與的關(guān)系式為 ，是的 函數(shù)；
(2)若矩形的面積是，則與的關(guān)系式為 ，是的 函數(shù)；
(3)若矩形的周長為，矩形的面積為，則與的關(guān)系式為 ，是的 函數(shù)．
【變式訓(xùn)練1-2】一個物體重，該物體對地面的壓強(qiáng)隨它與地面的接觸面積的變化而變化，則p與S之間的函數(shù)表達(dá)式為 ．
【變式訓(xùn)練1-3】一個菱形的面積為，它的兩條對角線長分別為，則與之間的函數(shù)關(guān)系式為 ．
【變式訓(xùn)練1-4】下列四個說法：①書的總頁數(shù)一定，未讀的頁數(shù)與已讀的頁數(shù)成正比例；②如果保持圓的半徑不變，圓的周長與圓周率成正比例；③小麥的總產(chǎn)量一定，每公頃產(chǎn)量與公頃數(shù)成反比例；④圓柱體積一定，圓柱的底面積與高成反比例．其中正確說法的個數(shù)有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
題型二：根據(jù)定義判斷是否為反比例函數(shù)（解析式）
【經(jīng)典例題2】下列關(guān)系式中，y是x的反比例函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-1】有下列函數(shù)：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥，其中是的反比例函數(shù)的有（　　)
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓(xùn)練2-2】下列關(guān)系式中，是關(guān)于的反比例函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-3】下列式子中：①；②；③；④ ；⑤，能表示y是x 的反比例函數(shù)的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【變式訓(xùn)練2-4】下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示y是x的反比例函數(shù)的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【變式訓(xùn)練2-5】下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
題型三：根據(jù)定義判斷是否為反比例函數(shù)（敘述）
【經(jīng)典例題3】已知壓力F、受力面積S、壓強(qiáng)P之間的關(guān)系是．則下列說法不正確的是（ ）
A．當(dāng)壓強(qiáng)P為定值時，壓力F與受力面積S成正比函數(shù)關(guān)系；
B．當(dāng)壓強(qiáng)P為定值時，受力面積S越大，壓力F也越大；
C．當(dāng)壓力F為定值時，壓強(qiáng)P與受力面積S成正比例函數(shù)關(guān)系；
D．當(dāng)壓力F為定值時，壓強(qiáng)P與受力面積S成反比例函數(shù)關(guān)系．
【變式訓(xùn)練3-1】下列說法正確的是（ ）
A．周長為1的矩形的長與寬成正比例
B．面積為1的等腰三角形的腰長與底邊長成正比例
C．面積為1的矩形的長與寬成反比例
D．等邊三角形的面積與它的邊長成正比例
【變式訓(xùn)練3-2】下列問題中兩個變量之間的關(guān)系不是反比例函數(shù)的是（ ）
A．某人參加賽跑時，時間與跑步平均速度之間的關(guān)系
B．長方形的面積一定，它的兩條鄰邊的長與之間的關(guān)系
C．壓強(qiáng)公式中，一定時，壓強(qiáng)與受力面積之間的關(guān)系
D．三角形的一條邊長一定時，它的面積與這條邊上的高之間的關(guān)系
【變式訓(xùn)練3-3】下面幾組相關(guān)聯(lián)的量中，成反比例關(guān)系的是（　　）
A．讀一本書，已讀的頁數(shù)與未讀的頁數(shù)
B．小明的年齡和媽媽的年齡
C．班級的出勤率一定，出勤人數(shù)和總?cè)藬?shù)
D．平行四邊的面積一定，它的底和高
題型四：根據(jù)定義求反比例函數(shù)中的參數(shù)
【經(jīng)典例題4】已知函數(shù) 是反比例函數(shù)，則的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．任意實(shí)數(shù)
【變式訓(xùn)練4-1】已知函數(shù)是關(guān)于的反比例函數(shù)，則的值是 ．
【變式訓(xùn)練4-2】若函數(shù)是反比例函數(shù)，則的值是 ．
【變式訓(xùn)練4-3】已知函數(shù)是反比例函數(shù)，則
【變式訓(xùn)練4-4】已知是反比例函數(shù)，則 ．
【變式訓(xùn)練4-5】已知函數(shù)．
(1)當(dāng)m取什么值時，y是x的二次函數(shù)．
(2)當(dāng)m取什么值時，y是x的反比例函數(shù)．
題型五：求反比例函數(shù)值
【經(jīng)典例題5】反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點(diǎn)是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練5-1】若點(diǎn)不在雙曲線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)可能為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練5-2】已知點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，則的最小值為( )
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練5-3】已知反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)和點(diǎn)，則的值為 ．
【變式訓(xùn)練5-4】在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，則的值是 .
【變式訓(xùn)練5-5】在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，若，則的值為 ．
題型六：反比例函數(shù)之定義新運(yùn)算
【經(jīng)典例題6】定義：若一個函數(shù)的圖象上存在橫、縱坐標(biāo)之和為零的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個函數(shù)圖象的“平衡點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)的圖象的“平衡點(diǎn)”．
(1)在函數(shù)①，②，③，④的圖象上，存在“平衡點(diǎn)”的函數(shù)是_____；（填序號）
(2)設(shè)函數(shù)與的圖象的“平衡點(diǎn)”分別為點(diǎn)、，過點(diǎn)作軸，垂足為．當(dāng)為等腰三角形時，求的值；
(3)若將函數(shù)的圖象繞軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的圖象上恰有個“平衡點(diǎn)”時，求的縱坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練6-1】定義：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，若，，其中為常數(shù)，且，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的“級變換點(diǎn)”．
例如，點(diǎn)是點(diǎn)的“級變換點(diǎn)”
(1)函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)的“級變換點(diǎn)”？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
(2)動點(diǎn)與其“級變換點(diǎn)”分別在直線，上，在，上分別取點(diǎn)，．若，求證：；
(3)關(guān)于的二次函數(shù)的圖象上恰有兩個點(diǎn)，這兩個點(diǎn)的“1級變換點(diǎn)”都在直線上，求的取值范圍．
【變式訓(xùn)練6-2】平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)和，給出如下定義：，稱點(diǎn)為點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”．例如：點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)，點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)
根據(jù)定義，解答下列問題：
(1)點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)________．
(2)點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)，點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)，點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)，…，以此類推，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________．
(3)若點(diǎn)是函數(shù)圖象上點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練6-3】在平面直角坐標(biāo)系中，對于和點(diǎn)，給出如下定義：若，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是．
(1)點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；
(2)判斷點(diǎn)中，哪一個點(diǎn)是函數(shù)圖象上某一個點(diǎn)的限變點(diǎn)？并說明理由；
(3)若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是，求的取值范圍．
【變式訓(xùn)練6-4】在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，給出如下定義：當(dāng)點(diǎn)，滿足時，稱點(diǎn)N是點(diǎn)M的負(fù)等積點(diǎn)已知點(diǎn)．
(1)在，，，中，點(diǎn)M的負(fù)等積點(diǎn)是 ．
(2)如果點(diǎn)M的負(fù)等積點(diǎn)N在雙曲線上，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練6-5】定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，稱該點(diǎn)為這個函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”，該函數(shù)稱為“等值函數(shù)”．例如：“等值函數(shù)”，其圖象上的“等值點(diǎn)”為（1，1）．
(1)在下列關(guān)于x的函數(shù)中，是“等值函數(shù)”的，請?jiān)谙鄳?yīng)題目后面的橫線上打“√”．
①________；②________；③________．
(2)若點(diǎn)A，點(diǎn)B是“等值函數(shù)”（其中m＞0）上的“等值點(diǎn)”，且，求m的取值范圍；
(3)若“等值函數(shù)”的圖象上存在唯一的一個“等值點(diǎn)”，且當(dāng)時，n的最小值為k，求k的值．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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