資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題26.2實際問題與反比例函數七大題型（一課一講）
【人教版】
題型一：反比例函數的圖像與實際
【經典例題1】在化學課上，老師教同學們配制食鹽溶液，若有食鹽，則溶液的濃度y與加水后溶液質量x之間的函數圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-1】已知矩形的面積為，相鄰的兩條邊長分別為和，則與之間的函數圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
【變式訓練1-2】小宇每天騎自行車上學，從家到學校所需時間t（單位：min）與騎車速度v（單位：）之間的函數關系如圖所示，一天早上，由于起床晚了，為了不遲到，需要在15分鐘內趕到學校，那么他騎行的速度至少是（ ）
A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.4
【變式訓練1-3】已知圓柱的側面積是 ，若圓柱底面半徑為 ，高線長為 ，則 關于 的函數的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-4】一個矩形的面積是，則這個矩形的一組鄰邊長與的函數關系的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
【變式訓練1-5】甲、乙兩地相距，一輛汽車從甲地開往乙地，把汽車到達乙地所用時間y（單位：h）表示為汽車平均速度x單位：）的函數，則此函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
題型二：從圖像中獲取信息判斷正誤
【經典例題2】已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流（單位：）與電阻（單位：）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示，根據圖象可知，下列說法正確的是（ ）
A．與的函數關系式是
B．當時，
C．當時，
D．當電阻越大時，蓄電池的電流也越大
【變式訓練2-1】小麗要把一篇文章錄入電腦，如圖是錄入時間（分鐘）與錄字速度（字/分鐘）成反比例函數的圖象，該圖象經過點．根據圖象可知，下列說法不正確的是（ ）
A．這篇文章一共1500字．
B．當小麗的錄字速度為75字/分鐘時，錄入時間為20分鐘．
C．小麗在19:20開始錄入，要求完成錄入時不超過19:35，則小麗每分鐘至少應錄入90字．
D．小麗原計劃每分鐘錄入125字，實際錄入速度比原計劃提高了，則小麗會比原計劃提前2分鐘完成任務．
【變式訓練2-2】根據物理學知識，壓強就是單位面積上受到的壓力，壓強的計算公式為，其中P是壓強，F是壓力，S是受力面積，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強P是它的受力面積S的反比例函數，其函數圖象如圖所示．下列說法錯誤的是（ ）
A．P關于S的函數關系式為，；
B．當時，物體所受的壓強是；
C．當時，受力面積是；
D．壓強隨著面積的增大而增大．
【變式訓練2-3】為保護視力，某公司推出一款亮度可調節的臺燈．導體中的電流與導體的電阻和導體兩端的電壓之間滿足關系式．臺燈燈光亮度的改變，可以通過調節總電阻來控制電流的變化實現．如圖是通過該臺燈的電流與電阻的反比例函數圖象，根據圖象判斷下列說法錯誤的是（ ）
A．與的函數關系式是
B．當時，
C．當電阻減小時，通過該臺燈的電流增大
D．當時，的取值范圍是
【變式訓練2-4】嘉嘉利用如左圖所示的電路探究電流與電阻的關系，通過實驗，發現電流隨著電阻的變化而變化，并結合數據描點，連線，畫成右圖所示的函數圖象．若該電路的最小電阻為，則該電路能通過的（ ）
A．最大電流是 B．最大電流是
C．最小電流是 D．最小電流是
【變式訓練2-5】密閉容器內有一定質量的氣體，當容器的體積y（單位：）變化時，氣體的密度（單位：）隨之變化．已知密度p與體積y是反比例函數關系，它的圖象如圖所示．則下列說法正確的是（ ）
A．函數解析式為
B．容器內氣體密度隨著氣體的體積v的增大而增大
C．當時，
D．當時，
題型三：列解析式
【經典例題3】矩形面積是，設它的一邊長為，則矩形的另一邊長與x的函數關系是 ．
【變式訓練3-1】合安高速（合肥到安慶）全程千米，小明自駕車走高速從合肥到安慶辦事，則他所需時間（小時）與平均速度（千米小時）之間的函數表達式是 ．
【變式訓練3-2】數學來源于生活，又服務于生活．反比例函數是描述現實世界中具有反比例變化規律的數學模型．根據反比例函數，編一道生活中的數學問題： ．
【變式訓練3-3】近視眼鏡的度數（度）與鏡片焦距成反比例，已知度近視眼鏡鏡片的焦距為米，則眼鏡度數與鏡片焦距之間的函數關系式為 ．（無需確定的取值范圍）
【變式訓練3-4】你吃過拉面嗎？實際上在做拉面的過程中就滲透著數學知識：一定體積的面團做成拉面，面條的總長度是面條的粗細（橫截面積）的反比例函數，當橫截面積為時，面條的總長度為，請寫出y與s的函數關系式 ．
【變式訓練3-5】在對某物體做功一定的情況下，力與物體在力的方向上移動的距離成反比例函數關系，且當時，．
(1)試確定與之間的函數表達式；
(2)求當力時，物體在力的方向上移動的距離．
題型四：實際應用之消毒類問題
【經典例題4】某校根據《學校衛生工作條例》，為預防“蚊蟲叮咬”，對教室進行“薰藥消毒”．已知藥物在燃燒釋放過程中，室內空氣中每立方米含藥量與燃燒時間之間的關系如圖所示．根據圖象所示信息，解答下列問題：
(1)求一次函數和反比例函數的解析式，并寫出自變量的取值范圍；
(2)據測定，當室內空氣中每立方米的含藥量低于時，對人體無毒害作用．從消毒開始，至少在多少分鐘內，師生不能待在教室？
【變式訓練4-1】為了預防甲型流感，某校對教室采取噴灑藥物消毒，在對某教室進行消毒的過程中，先經過分鐘的集中藥物噴灑，再封閉教室分鐘，然后打開門窗進行通風，室內每立方米空氣中含藥量與藥物在空氣中的持續時間（分鐘）之間的函數關系，在藥物噴灑和封閉教室期間，與均滿足一次函數的關系，在打開門窗通風后與滿足反比例函數的關系，如圖所示．
(1)研究表明，室內空氣中的含藥量低于時方可進入教室，從封閉教室開始，至少經過多少分鐘后學生方可返回教室？
(2)當室內空氣中的含藥量不低于且持續時間不低于分鐘時，才能完全有效殺滅流感病毒．試通過分析判斷此次消毒是否完全有效？
【變式訓練4-2】為了預防春季流行性感冒，學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒．已知藥物燃燒時室內每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（分鐘）成正比例；藥物燃燒后，與成反比例，如圖所示．請根據圖中提供的信息，解答下列問題：
(1)藥物燃燒后與的函數關系式為 ，自變量取值范圍是 ；
(2)當空氣中每立方米的含藥量低于毫克時學生方可進教室，那么從消毒開始，至少需要幾分鐘后，學生才能回到教室？
【變式訓練4-3】國慶假期間，學校進行全方位消毒，對教室進行“熏藥消毒”．已知藥物在燃燒釋放過程中，室內空氣中每立方米含藥量（毫克）與燃燒時間（分）之間的關系如圖所示（圖象由線段與部分雙曲線組成）．根據圖象提供的信息，解答下列問題：
(1)求藥物在燃燒釋放過程中，與之間的函數關系式；
(2)根據藥物說明書要求，只有當空氣中每立方米的含藥量不低于4毫克時，對預防才有作用，且至少持續作用15分鐘以上，才能完全消滅病毒，請問這次消毒是否徹底？
【變式訓練4-4】為預防某種流感病毒，某校對教室采取噴灑藥物的方式進行消毒．在消毒過程中，先進行的藥物噴灑，接著封閉教室，然后打開門窗進行通風．教室內空氣中的含藥量與藥物在空氣中的持續時間之間的函數關系如圖所示，在打開門窗通風前分別滿足兩個一次函數關系，在通風后滿足反比例函數關系．
(1)求藥物噴灑后空氣中含藥量與藥物在空氣中的持續時間的函數表達式；
(2)如果室內空氣中的含藥量達到及以上且持續時間不低于，才能有效消毒，通過計算說明此次消毒是否有效？
【變式訓練4-5】為了預防流感，某學校在休息天用藥熏消毒法對教室進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為（a為常數），如圖所示．據圖中提供的信息，解答下列問題：
(1)寫出從藥物釋放開始，y與t之間的兩個函數關系式及相應的自變量取值范圍；
(2)據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，學生方可進入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過多少小時后，學生才能進入教室？
(3)當每立方米空氣中的含藥量y達到毫克消毒才有效，問消毒的有效時間為多少？
題型五：實際應用之行程問題
【經典例題5】小林每天騎自行車去單位上班，他每天騎自行車上班時的平均速度為，所需時間為 ．已知當小林騎車的平均速度為 時，所需時間為 ．
(1)求時間關于速度的函數表達式．
(2)如果小林騎車的速度為 ，那么他需要幾分鐘到達單位？
(3)如果小林騎車到單位不得超過 ，那么他騎車的平均速度至少是多少？
【變式訓練5-1】一段高速公路上，當汽車平均速度為 時，通過這段路程所需時間為，設汽車的平均速度為，所需時間為．
(1)求關于的函數表達式，并說明是哪一種函數；
(2)若這段高速公路上汽車的平均速度是，則行駛完這段路程需多少時間？
【變式訓練5-2】某海輪以每小時10千米的速度從港行駛到港，共用小時（不考慮水流速度）．
(1)寫出時間(時）與速度(千米/時）之間的函數表達式；
(2)若返航速度增至每小時千米，則該海輪從港返回港（沿原水路）需幾小時？
【變式訓練5-3】甲車和乙車從A地開往B地，已知A、B兩地全長約600km．設甲車的速度是，到達B地所用的時間為．
(1)寫出y關于x的函數表達式；
(2)公路規定：行駛速度不得超過，請利用函數性質，求甲車到達B地所需的最短時間；
(3)若乙車的速度是甲車的倍，乙到達B地所用的時間比甲車少80分鐘，求乙車的速度．
【變式訓練5-4】“人潮人海中，有你有我”，上下學的“停車大戰”與“擁堵大戲”已成為社會熱點問題．某校對本校下午放學校門口“堵塞”情況做了一次調查后發現：每天放學時間2分鐘后校門外學生流量變化大致可以用“擁擠指數”與放學后時間（分）的函數關系描述．如圖，2~12分鐘函數圖象為拋物線，且在第12分鐘達到該函數最大值100，12分鐘之后為函數的圖象的一部分．
(1)求二次函數和反比例函數的表達式（需明確取值范圍）；
(2)若“擁擠指數”，出于安全考慮，需要護學崗執勤人員維護秩序、疏導交通．請依據圖象計算每天至少需要執勤的時間．
【變式訓練5-5】自1997年以來，我國鐵路一共經歷了六次大提速．2004年第五次提速后，一列客車從A地開往B地，以的平均速度行駛需要5 h，2007年又經歷了第六次提速．
(1)設第六次提速后該路段的平均速度為v，全程運行的時間為t，請寫出t與v之間的函數表達式；
(2)如果第六次提速后該路段的平均速度為，那么提速后全程運行需要多長時間？
(3)如果全程運行時間控制在內，那么提速后的平均速度至少應為多少？
題型六：實際應用之物理問題
【經典例題6】如圖，取一根長的均勻木桿，用細繩綁在木桿的中點O處并將其吊起來．在中點O的左側處掛了一個約的物體，在中點O的右側用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態．

(1)請問當物體保持不動時，彈簧秤的示數y（單位：N）與彈簧秤到中點O的距離x（單位：）滿足怎樣的函數關系？請寫出y關于x的函數表達式．
(2)左側所掛物體的質量與位置不變，保持木桿處于水平狀態下，移動彈簧秤到什么位置時，最省力（彈簧秤的示數最小）？并求出此時彈簧秤的示數為多少，
【變式訓練6-1】已知汽車前燈電路上的電壓保持不變，選用燈泡的電阻與通過的電流強度I（A）成反比例．當選用燈泡的電阻為時，測得通過的電流強度為．
(1)求I關于R的函數表達式和自變量R的取值范圍；
(2)若通過的電流強度I正好為，求選用燈泡的電阻R的值．
【變式訓練6-2】公元前3世紀，古希臘科學家阿基米德發現了著名的“杠桿原理”．杠桿平衡時，阻力阻力臂動力動力臂．幾位同學玩撬石頭游戲，已知阻力（石頭重量）和阻力臂分別為和，設動力臂為l，動力為F，
(1)求動力F與動力臂l的函數表達式；
(2)若小明只有的力量，他該選擇動力臂為多少的撬棍才能撬動這塊大石頭？
(3)現有動力臂為的撬棍，若想撬動石頭，直接寫出動力F滿足的條件．
【變式訓練6-3】綜合實踐：自制密度秤測量液體密度．
問題情境：實驗小組利用天平制作了一臺密度秤．如圖，支點固定不變，左側托盤固定在點，，托盤上放置質量為的砝碼；右側托盤點在上滑動，，托盤上放置紙杯，實驗時分別向杯中倒入的不同液體，滑動點，使天平保持平衡．（杠桿原理：砝碼的質量杯中液體的質量．液體的質量液體的密度體積，）
問題解決：
(1)設右側托盤液體的密度為，的長為，若，求關于的函數表達式．并求出的取值范圍．
(2)若在紙杯中倒入的水時，滑動點，當點到達點處時，天平保持平衡：若向紙杯中倒入等體積的某種液體后，點從點向右滑動至點處，天平保持平衡．刻度顯示：點處的讀數正好是點處的讀數的，求這種液體的密度．
【變式訓練6-4】已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流（單位：）與電阻（單位：）是反比例函數關系，它的圖像如圖所示．
(1)這個反比例函數的解析式是______；
(2)若使用時電阻，則電流是______；
(3)如果以蓄電池為電源的用電器的電流不能超過，那么用電器的可變電阻至少是多少？
【變式訓練6-5】如圖， 是漁民騎坐 “木海馬” 在灘涂上趕海， 這一工具大大提高了漁民趕海時的效率．已知人和 “木海馬” 對灘涂的壓力 （單位∶ ），“木海馬” 底面面積 （單位：） 與人和木板對灘涂的壓強 （單位∶ ）滿足關系： ，若人和木板對灘涂的壓力 合計為 ，

(1)用含 的代數式表示 ；
(2)當 “木海馬” 底面面積為 時，人和木板對灘涂的壓強是多少 ；
(3)若要人和木板對灘涂的壓強不超過 ，則 “木海馬” 底面面積至少需要多少 ．
【變式訓練6-6】某氣球內充滿一定質量的氣體，當溫度不變時，該氣球內氣體的壓強和氣體體積成反比例．測得一組數據如下表：
150
(1)根據表中的數據求出壓強關于體積的函數表達式．
(2)當氣體體積為時，氣球內氣體的壓強是多少？
(3)當氣球內氣體的壓強小于且大于時，氣球不會爆炸并且形態剛好，求問此時氣體的體積的取值范圍．
題型七：實際應用之其他問題
【經典例題7】喝綠茶前需要燒水和泡茶兩個工序，即需要將電熱水壺中的水燒到100℃，然后停止燒水，等水溫降低到適合的溫度時再泡茶，燒水時水溫與時間成一次函數關系；停止加熱過了1分半鐘后，水壺中水的溫度與時間近似于反比例函數關系（如圖）．已知水壺中水的初始溫度是，降溫過程中水溫不低于．
(1)分別寫出圖中所對應的函數關系式，并且寫出自變量x的取值范圍；
(2)從水壺中的水燒開降到就可以進行泡制綠茶，問從水燒開到泡茶需要等待多長時間？
【變式訓練7-1】心理學研究發現，一般情況下，在一節40分鐘的數學課中，學生的注意力隨上課時間的變化而變化．開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持在較為理想的穩定狀態，隨后學生的注意力開始分散．通過實驗分析可知，學生的注意力指標數y隨時間x（分鐘）的變化規律如圖所示，點B的坐標為，點C的坐標為，為反比例函數圖象的一部分．
(1)求所在的反比例函數的解析式；
(2)吳老師計劃在課堂上講解一道推理題，準備花費20分鐘講解，為了達到最佳的教學效果，要求學生的注意力指標數不低于38，請問吳老師的安排是否合理？并說明理由．
【變式訓練7-2】小明家飲水機中原有水的溫度為，通電開機后，飲水機自動開始加熱，此過程中水溫y（）與開機時間x（分）滿足一次函數關系，當加熱到時自動停止加熱，隨后水溫開始下降，此過程中水溫y（）與開機時間x（分）成反比例關系，當水溫降至時，飲水機又自動開始加熱…，重復上述程序（如圖所示），根據圖中提供的信息，解答下列問題：
(1)當時，求水溫y（）與開機時間x（分）的函數關系式；
(2)求圖中t的值；
(3)有一天，小明在上午（水溫），開機通電后去上學，中午放學回到家時間剛好，請問此時飲水機內水的溫度約為多少？并求：在這段時間里，水溫共有幾次達到？
【變式訓練7-3】某蔬菜生產基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統的大棚栽培一種新品種蔬菜．如圖是試驗階段的某天恒溫系統從開啟到關閉后，大棚內的溫度與時間之間的函數關系，其中線段，表示恒溫系統開啟階段，雙曲線的一部分表示恒溫系統關閉階段．請根據圖中信息解答下列問題：
(1)求y與的函數表達式；
(2)若該蔬菜適宜生長溫度低于16℃，則這天該蔬菜適宜生長的時間是多長？
【變式訓練7-4】心理學家研究發現，一般情況下，一節課40分鐘，學生的注意力隨教師講課時間的變化而變化．學生的注意力指數y隨時間x（分鐘）的變化規律如圖所示（其中，為線段，為雙曲線的一部分）．
(1)上課后的第5分鐘與第30分鐘相比較，第 分鐘時學生的注意力更集中．
(2)一道數學題，需要講18分鐘，為了學生聽課效果較好，要求學生的注意力指數不低于40，那么通過怎樣的時間安排，教師能在學生注意力達到所需狀態下講完這道題？請通過計算說明．
【變式訓練7-5】如圖，是某天恒溫系統從開啟到關閉后，大棚內的溫度與時間之間的函數關系，其中線段，表示恒溫系統開啟階段，雙曲線的一部分表示恒溫系統關閉階段．請根據圖中信息解答下列問題：
(1)當時，求與的關系式；
(2)大棚里栽培的蔬菜在溫度為到的條件下最適合生長，若某天恒溫系統開啟前的溫度是，那么這種蔬菜一天最適合生長的時間有多長？
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
專題26.2實際問題與反比例函數七大題型（一課一講）
【人教版】
題型一：反比例函數的圖像與實際
【經典例題1】在化學課上，老師教同學們配制食鹽溶液，若有食鹽，則溶液的濃度y與加水后溶液質量x之間的函數圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查反比例函數的圖象，根據題意求出y與x的函數解析式，即可判斷其圖象．
【詳解】解∶根據題意，得，即．
∴函數圖象為雙曲線在第一象限的部分．
故答案：C．
【變式訓練1-1】已知矩形的面積為，相鄰的兩條邊長分別為和，則與之間的函數圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數的實際應用，由題意可得，則與之間的函數圖象是反比例函數圖象，并且分布在第一象限，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】解：∵矩形的面積為，相鄰的兩條邊長分別為和，
∴，
∴函數解析式為：，
∴與之間的函數圖象大致是：
故選：．
【變式訓練1-2】小宇每天騎自行車上學，從家到學校所需時間t（單位：min）與騎車速度v（單位：）之間的函數關系如圖所示，一天早上，由于起床晚了，為了不遲到，需要在15分鐘內趕到學校，那么他騎行的速度至少是（ ）
A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.4
【答案】A
【分析】此題主要考查了反比例函數的應用，正確得出函數關系式是解題關鍵．利用待定系數法求出反比例函數解析式，進而代入數據得出答案．
【詳解】解：設，當時，，
解得：，
故與的函數表達式為：，
為了不遲到，需不超過15分鐘趕到學校，
，
解得：，
他騎車的速度至少是0.2．
故選：A．
【變式訓練1-3】已知圓柱的側面積是 ，若圓柱底面半徑為 ，高線長為 ，則 關于 的函數的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查函數圖象的識別，現實生活中存在大量成反比例函數的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用實際意義確定其所在的象限．
根據題意有：，化簡可得；故與之間的函數圖象為反比例函數，且根據實際意義、應大于0，其圖象在第一象限；即可得出答案．
【詳解】解：，
．
故選：B．
【變式訓練1-4】一個矩形的面積是，則這個矩形的一組鄰邊長與的函數關系的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】考查了反比例函數的應用及圖象，解題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用實際意義確定其所在的象限．根據題意有：；故y與x之間的函數圖象為反比例函數，且根據x、y實際意義x、y應大于0，其圖象應在第一象限．
【詳解】解：由矩形的面積公式可得：，
∴
故選：D．
【變式訓練1-5】甲、乙兩地相距，一輛汽車從甲地開往乙地，把汽車到達乙地所用時間y（單位：h）表示為汽車平均速度x單位：）的函數，則此函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數的應用，形如的函數叫反比例函數，反比例函數的圖象是雙曲線；有實際意義的反比例函數圖象應只在第一象限．根據時間路程速度，得到相應的函數解析式，看屬于哪類函數，得到相應圖象即可．
【詳解】解：，
，
符合反比例函數的一般形式，且速度和時間均為正數，
圖象應為雙曲線在第一象限的一支．
故選：C
題型二：從圖像中獲取信息判斷正誤
【經典例題2】已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流（單位：）與電阻（單位：）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示，根據圖象可知，下列說法正確的是（ ）
A．與的函數關系式是
B．當時，
C．當時，
D．當電阻越大時，蓄電池的電流也越大
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數的應用、待定系數法求反比例函數解析式、求函數值、反比例函數的性質，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．設反比例函數的解析式為：，利用待定系數法可求得，然后根據反比例函數的圖象及性質逐一判斷即可求解．
【詳解】設反比例函數的解析式為：，其中，將點代入，
得：，解得：，即該反比例函數的解析式為：，故A正確；
當時，則，故B錯誤；
由圖像可知，當時，，故C錯誤；
因為電流（單位：）與電阻（單位：）是反比例函數關系，
所以當電阻越大時，蓄電池的電流越小，故D錯誤；
故選：A．
【變式訓練2-1】小麗要把一篇文章錄入電腦，如圖是錄入時間（分鐘）與錄字速度（字/分鐘）成反比例函數的圖象，該圖象經過點．根據圖象可知，下列說法不正確的是（ ）
A．這篇文章一共1500字．
B．當小麗的錄字速度為75字/分鐘時，錄入時間為20分鐘．
C．小麗在19:20開始錄入，要求完成錄入時不超過19:35，則小麗每分鐘至少應錄入90字．
D．小麗原計劃每分鐘錄入125字，實際錄入速度比原計劃提高了，則小麗會比原計劃提前2分鐘完成任務．
【答案】C
【分析】本題考查了求反比例函數解析式，反比例函數的應用，有理數混合運算的應用，掌握反比例函數的性質是解題關鍵．先利用待定系數法求出反比例解析式，根據反比例函數的定義，即可判斷A 選項；求出時的函數值，即可判斷B選項；求出時的值，再結合反比例函數的增減性，即可判斷C選項；分別求出和時的函數值，作差即可判斷D選項．
【詳解】解：設反比例函數解析式為，將點代入得：，
解得：，
即反比例函數解析式為，
A、錄入時間（分鐘）與錄字速度（字/分鐘）的乘積恒為，即這篇文章一共1500字，說法正確，不符合題意；
B、當錄字速度為時，錄入時間，說法正確，不符合題意；
C、當錄入時間時，，
，在第一象限內，隨的增大而減小，
即錄入時間不超過分鐘時，每分鐘至少應錄入100字，說法錯誤，符合題意；
D、當時，，
當時，，
（分鐘），
即比原計劃提前2分鐘完成任務，說法正確，不符合題意；
故選：C
【變式訓練2-2】根據物理學知識，壓強就是單位面積上受到的壓力，壓強的計算公式為，其中P是壓強，F是壓力，S是受力面積，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強P是它的受力面積S的反比例函數，其函數圖象如圖所示．下列說法錯誤的是（ ）
A．P關于S的函數關系式為，；
B．當時，物體所受的壓強是；
C．當時，受力面積是；
D．壓強隨著面積的增大而增大．
【答案】D
【分析】此題考查了反比例函數的圖象和性質，先求出反比例函數解析式，再利用函數解析式和函數圖象分別進行解答即可．
【詳解】解：把代入得到，，
∴P關于S的函數關系式為，，
故A正確；
當時，物體所受的壓強是，故B正確；
當時，，解得，即受力面積是；故C正確；
∵，
∴在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強隨著面積的增大而減小，故D錯誤．
故選：D
【變式訓練2-3】為保護視力，某公司推出一款亮度可調節的臺燈．導體中的電流與導體的電阻和導體兩端的電壓之間滿足關系式．臺燈燈光亮度的改變，可以通過調節總電阻來控制電流的變化實現．如圖是通過該臺燈的電流與電阻的反比例函數圖象，根據圖象判斷下列說法錯誤的是（ ）
A．與的函數關系式是
B．當時，
C．當電阻減小時，通過該臺燈的電流增大
D．當時，的取值范圍是
【答案】B
【分析】本題考查了反比例函數的應用，根據反比例函數的性質逐項分析即可得出答案，熟練掌握反比例函數的性質是解答本題的關鍵．
【詳解】解：A、將代入關系式得：，
解得：，
∴與的函數關系式是，故原說法正確，不符合題意；
B、當時，，故原說法錯誤，符合題意；
C、當電阻減小時，通過該臺燈的電流增大，故原說法正確，不符合題意；
D、當時，的取值范圍是，即，故原說法正確，不符合題意；
故選：B．
【變式訓練2-4】嘉嘉利用如左圖所示的電路探究電流與電阻的關系，通過實驗，發現電流隨著電阻的變化而變化，并結合數據描點，連線，畫成右圖所示的函數圖象．若該電路的最小電阻為，則該電路能通過的（ ）
A．最大電流是 B．最大電流是
C．最小電流是 D．最小電流是
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數的解析式，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用待定系數法求出它們的關系式．
可設，由于點代入這個函數解析式，則可求得的值，然后代入求得的值即可．
【詳解】解：根據電壓電流電阻，設，
將點代入，
可得：，
解得：，
，
若該電路的最小電阻值為，該電路能通過的最大電流是，
故選：A．
【變式訓練2-5】密閉容器內有一定質量的氣體，當容器的體積y（單位：）變化時，氣體的密度（單位：）隨之變化．已知密度p與體積y是反比例函數關系，它的圖象如圖所示．則下列說法正確的是（ ）
A．函數解析式為
B．容器內氣體密度隨著氣體的體積v的增大而增大
C．當時，
D．當時，
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數的應用，解題的關鍵是根據題意確定反比例函數的解析式，難度不大．利用待定系數法確定反比例函數的解析式，再逐一判定即可．
【詳解】解：設，
將代入得，
解得，
，故A選項錯誤，不符合題意；
容器內氣體密度隨著氣體的體積v的增大而減小，故B選項說法錯誤，不符合題意；
將代入得，解得：，
當時，，故C選項正確，符合題意；
將代入得，解得，故D選項錯誤，不符合題意．
故選：C．
題型三：列解析式
【經典例題3】矩形面積是，設它的一邊長為，則矩形的另一邊長與x的函數關系是 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數在實際生活中的應用，根據矩形的面積公式得到y與x之間的函數關系式即可．
【詳解】解：∵長方形的面積為，一邊長為，另一邊長為，
∴，即．
故答案為：．
【變式訓練3-1】合安高速（合肥到安慶）全程千米，小明自駕車走高速從合肥到安慶辦事，則他所需時間（小時）與平均速度（千米小時）之間的函數表達式是 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數的定義，根據速度時間路程，即可得到結論，正確理解路程、速度、時間三者之間的關系對解題的關鍵．
【詳解】解：根據題意可得：，
故答案為．
【變式訓練3-2】數學來源于生活，又服務于生活．反比例函數是描述現實世界中具有反比例變化規律的數學模型．根據反比例函數，編一道生活中的數學問題： ．
【答案】一輛汽車從甲到開往乙地，其速度為x千米/小時，求其到達乙地需要的時間y（小時）與速度x（千米/小時）的函數關系（答案不唯一）
【分析】本題主要考查了反比例函數的實際應用，只需要建立兩個變量乘積為定值240，需要求解兩個變量的函數關系式的問題即可．
【詳解】解：甲、乙兩地相距240千米，一輛汽車從甲到開往乙地，其速度為x千米/小時，求其到達乙地需要的時間y（小時）與速度x（千米/小時）的函數關系式．
故答案為：一輛汽車從甲到開往乙地，其速度為x千米/小時，求其到達乙地需要的時間y（小時）與速度x（千米/小時）的函數關系（答案不唯一）．
【變式訓練3-3】近視眼鏡的度數（度）與鏡片焦距成反比例，已知度近視眼鏡鏡片的焦距為米，則眼鏡度數與鏡片焦距之間的函數關系式為 ．（無需確定的取值范圍）
【答案】
【分析】本題主要考查了根據實際問題列反比例函數關系式．設眼鏡度數與鏡片焦距之間的函數關系式為：，把代入即可求出k的值．
【詳解】解：設眼鏡度數與鏡片焦距之間的函數關系式為：，
把代入，
可得出，
∴眼鏡度數與鏡片焦距之間的函數關系式為，
故答案為：．
【變式訓練3-4】你吃過拉面嗎？實際上在做拉面的過程中就滲透著數學知識：一定體積的面團做成拉面，面條的總長度是面條的粗細（橫截面積）的反比例函數，當橫截面積為時，面條的總長度為，請寫出y與s的函數關系式 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數的應用，設y與x的函數關系式為，把代入求解即可．
【詳解】解：設y與x的函數關系式為．
將代入上式，
解得：，
∴．
故答案為：．
【變式訓練3-5】在對某物體做功一定的情況下，力與物體在力的方向上移動的距離成反比例函數關系，且當時，．
(1)試確定與之間的函數表達式；
(2)求當力時，物體在力的方向上移動的距離．
【答案】(1)
(2)當力時，物體在力的方向上移動的距離為
【分析】本題考查的是反比例函數系數等于函數圖象上點的橫縱坐標的積，比較簡單．
（1）設函數關系式為，再利用待定系數法計算即可得出答案；
（2）把代入函數關系式計算即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵力與此物體在力的方向上移動的距離成反比例函數關系，
其函數關系式為，
點是反比例函數圖象上的點，
∴．
此函數的解析式為；
（2）解：把代入函數關系式得：，
．
即當力時，物體在力的方向上移動的距離為．
題型四：實際應用之消毒類問題
【經典例題4】某校根據《學校衛生工作條例》，為預防“蚊蟲叮咬”，對教室進行“薰藥消毒”．已知藥物在燃燒釋放過程中，室內空氣中每立方米含藥量與燃燒時間之間的關系如圖所示．根據圖象所示信息，解答下列問題：
(1)求一次函數和反比例函數的解析式，并寫出自變量的取值范圍；
(2)據測定，當室內空氣中每立方米的含藥量低于時，對人體無毒害作用．從消毒開始，至少在多少分鐘內，師生不能待在教室？
【答案】(1)一次函數解析式為，反比例函數的解析式為；
(2)從消毒開始，至少在分鐘內，師生不能待在教室．
【分析】（）利用待定系數法解答即可求解；
（）把分別代入（）中所得的函數解析式，求出的值，再結合函數圖象解答即可求解；
本題考查了一次函數與反比例函數的應用，利用待定系數法求出函數解析式是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：設反比例函數解析式為，
把代入得，，
∴，
∴反比例函數的解析式為，
把代入得，，
∴，
∴，
∴反比例函數的解析式為，
設正比例函數解析式為，
把代入得，，
∴，
∴一次函數解析式為；
（2）解：由可得，當時，，
由可得，當時，，
由函數圖象可得，當時，，
∵，
∴從消毒開始，至少在分鐘內，師生不能待在教室．
【變式訓練4-1】為了預防甲型流感，某校對教室采取噴灑藥物消毒，在對某教室進行消毒的過程中，先經過分鐘的集中藥物噴灑，再封閉教室分鐘，然后打開門窗進行通風，室內每立方米空氣中含藥量與藥物在空氣中的持續時間（分鐘）之間的函數關系，在藥物噴灑和封閉教室期間，與均滿足一次函數的關系，在打開門窗通風后與滿足反比例函數的關系，如圖所示．
(1)研究表明，室內空氣中的含藥量低于時方可進入教室，從封閉教室開始，至少經過多少分鐘后學生方可返回教室？
(2)當室內空氣中的含藥量不低于且持續時間不低于分鐘時，才能完全有效殺滅流感病毒．試通過分析判斷此次消毒是否完全有效？
【答案】(1)分鐘
(2)完全有效，見解析
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的實際應用，是一個分段函數，涉及待定系數法等知識點．掌握自變量、函數值等知識是解題的關鍵．
（1）當時，設與的函數關系式為：，代入圖中點的坐標求出，令，求出時間，再減去分鐘即可得結果．
（2）當時，設與的函數關系式為：，代入圖中點的坐標求出，令，求出，對于，令，求出時間，用兩時間之差與作比較，即可得結果．
【詳解】（1）解：由題意可得，故當時，設與的函數關系式為：，
把代入上式得，，
，
，
當時，，
，
（分鐘）．
答：至少經過分鐘后學生方可返回教室．
（2）當時，設與的函數關系式為：，
把代入上式得，，
，
，
當時，，
，
對于，當時，，
，
，
此次消毒是完全有效，
答：此次消毒完全有效．
【變式訓練4-2】為了預防春季流行性感冒，學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒．已知藥物燃燒時室內每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（分鐘）成正比例；藥物燃燒后，與成反比例，如圖所示．請根據圖中提供的信息，解答下列問題：
(1)藥物燃燒后與的函數關系式為 ，自變量取值范圍是 ；
(2)當空氣中每立方米的含藥量低于毫克時學生方可進教室，那么從消毒開始，至少需要幾分鐘后，學生才能回到教室？
【答案】(1)，
(2)分鐘
【分析】本題考查了反比例函數的應用，解題的關鍵是確定反比例函數的解析式．
（1）藥物燃燒后與的函數關系式為，將點代入即可求解；
（2）將代入反比例函數的解析式，求出對應的值，即可求解．
【詳解】（1）解：藥物燃燒后與的函數關系式為，
將點代入得：，
藥物燃燒后與的函數關系式為，自變量取值范圍是，
故答案為：，；
（2）當時，，
解得：，
從消毒開始，至少需要分鐘后，學生才能回到教室．
【變式訓練4-3】國慶假期間，學校進行全方位消毒，對教室進行“熏藥消毒”．已知藥物在燃燒釋放過程中，室內空氣中每立方米含藥量（毫克）與燃燒時間（分）之間的關系如圖所示（圖象由線段與部分雙曲線組成）．根據圖象提供的信息，解答下列問題：
(1)求藥物在燃燒釋放過程中，與之間的函數關系式；
(2)根據藥物說明書要求，只有當空氣中每立方米的含藥量不低于4毫克時，對預防才有作用，且至少持續作用15分鐘以上，才能完全消滅病毒，請問這次消毒是否徹底？
【答案】(1)
(2)這次消毒很徹底
【分析】本題考查了反比例函數的應用，理解正比例函數和反比例函數的性質．
（1）設雙曲線的解析式為，將代入求得，再求出，設線段的函數解析式為，將，代入計算即可；
（2）將分別代入求得的正比例函數和反比例函數求得的值，然后作差與15比較即可得出此次消毒是否有效．
【詳解】（1）解：設雙曲線的解析式為，
將代入解析式得，，
藥物在燃燒釋放過程中，雙曲線的函數解析式為，
將代入解析式得，，
解得，
故，
設線段的函數解析式為，
將代入可得：，
解得：，
藥物在燃燒釋放過程中，線段的函數解析式為，
綜上，；
（2）解：將代入中，可得：，解得：，
將代入中，，解得：，
∴空氣中每立方米的含藥量不低于4毫克的時間為，
這次消毒很徹底．
【變式訓練4-4】為預防某種流感病毒，某校對教室采取噴灑藥物的方式進行消毒．在消毒過程中，先進行的藥物噴灑，接著封閉教室，然后打開門窗進行通風．教室內空氣中的含藥量與藥物在空氣中的持續時間之間的函數關系如圖所示，在打開門窗通風前分別滿足兩個一次函數關系，在通風后滿足反比例函數關系．
(1)求藥物噴灑后空氣中含藥量與藥物在空氣中的持續時間的函數表達式；
(2)如果室內空氣中的含藥量達到及以上且持續時間不低于，才能有效消毒，通過計算說明此次消毒是否有效？
【答案】(1)；
(2)此次消毒有效，理由見解析
【分析】本題考查了反比例函數的應用：能把實際的問題轉化為數學問題，建立反比例函數的數學模型，理解題意以及對函數的分類討論是解題關鍵．
（1）當時，y與x為反比例函數關系式，，可得反比例函數解析式；
（2）計算正比例函數和反比例函數的函數值為5對應的自變量的值，則它們的差為含藥量不低于的持續時間，然后與比較大小即可判斷此次消毒是否有效．
【詳解】（1）解：當時，
設，將代入，
則，
∴；
（2）解：此次消毒有效．理由如下：
當時，
設，將代入，
則，解得：，
∴；
當時，，解得，
當時，，解得，
∵，
∴此次消毒有效．
【變式訓練4-5】為了預防流感，某學校在休息天用藥熏消毒法對教室進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為（a為常數），如圖所示．據圖中提供的信息，解答下列問題：
(1)寫出從藥物釋放開始，y與t之間的兩個函數關系式及相應的自變量取值范圍；
(2)據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，學生方可進入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過多少小時后，學生才能進入教室？
(3)當每立方米空氣中的含藥量y達到毫克消毒才有效，問消毒的有效時間為多少？
【答案】(1)反比例函數關系式為，正比例函數關系式為；
(2)至少需要經過6小時后，學生才能進入教室
(3)小時
【分析】本題考查了反比例函數的應用，現實生活中存在大量成反比例函數的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用待定系數法求出它們的關系式．
（1）首先根據題意，已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為（a為常數），將數據代入用待定系數法可得反比例函數的關系式；
（2）根據（1）中的關系式列不等式，進一步求解可得答案．
（3）把代入兩個函數求得x值相減即可求得有效時間．
【詳解】（1）解：將點代入函數關系式得：，
解得，有，
將代入得：，
解得：，
所以所求反比例函數關系式為，
再將代入得：，
解得：，
所以所求正比例函數關系式為．
（2）解：根據題意可得：，
解得，
根據圖象可知：當時，，
所以至少需要經過6小時后，學生才能進入教室．
（3）解：把代入到得：，
解得：，
把代入到得：，
解得：，
∴消毒的有效時間為：（小時）．
題型五：實際應用之行程問題
【經典例題5】小林每天騎自行車去單位上班，他每天騎自行車上班時的平均速度為，所需時間為 ．已知當小林騎車的平均速度為 時，所需時間為 ．
(1)求時間關于速度的函數表達式．
(2)如果小林騎車的速度為 ，那么他需要幾分鐘到達單位？
(3)如果小林騎車到單位不得超過 ，那么他騎車的平均速度至少是多少？
【答案】(1)
(2)12分鐘
(3)至少是
【分析】本題考查了反比例函數的應用，正確理解反比例函數關系是關鍵．
（1）根據速度、時間、路程的關系即可寫出函數的關系式；
（2）把代入函數解析式，即可求得時間．
（3）把代入函數的解析式，即可求得速度；
【詳解】（1）解：時間 關于速度 的函數表達式為：，
即．
（2）解：把代入函數解析式得：，
解得：．
答：他至少需要12分鐘到達單位．
（3）解：把代入函數的解析式，得：，
答：他騎車的平均速度至少是：．
【變式訓練5-1】一段高速公路上，當汽車平均速度為 時，通過這段路程所需時間為，設汽車的平均速度為，所需時間為．
(1)求關于的函數表達式，并說明是哪一種函數；
(2)若這段高速公路上汽車的平均速度是，則行駛完這段路程需多少時間？
【答案】(1)，反比例函數
(2)
【分析】本題考查了反比例函數的應用，根據題意列出函數關系式是解題的關鍵．
（1）根據速度，時間與路程的關系，列出函數關系式即可求解；
（2）將代入（1）的關系式即可求解．
【詳解】（1）解：根據題意得，
∴，
∴y是關于x的反比例函數；
（2）解：將代入
∴行駛完這段路程需．
【變式訓練5-2】某海輪以每小時10千米的速度從港行駛到港，共用小時（不考慮水流速度）．
(1)寫出時間(時）與速度(千米/時）之間的函數表達式；
(2)若返航速度增至每小時千米，則該海輪從港返回港（沿原水路）需幾小時？
【答案】(1)
(2)該海輪從港返回港需小時
【分析】本題考查了反比例函數的實際應用，正確理解路程不變時，時間與速度是反比例函數關系是解決本題的關鍵．
（1）貨船行駛的路程不變，因而時間與速度成反比例函數關系，利用待定系數法即可求得函數解析式；
（2）在解析式中令，即可求得時間．
【詳解】（1）設函數的解析式是，把，得：，
則函數的解析式是：；
（2）當時，．
從港返回港（沿原水路）需5小時．
【變式訓練5-3】甲車和乙車從A地開往B地，已知A、B兩地全長約600km．設甲車的速度是，到達B地所用的時間為．
(1)寫出y關于x的函數表達式；
(2)公路規定：行駛速度不得超過，請利用函數性質，求甲車到達B地所需的最短時間；
(3)若乙車的速度是甲車的倍，乙到達B地所用的時間比甲車少80分鐘，求乙車的速度．
【答案】(1)
(2)車到達B地所需的最短時間為
(3)乙車的速度為
【分析】本題考查反比例函數、分式方程的應用，掌握反比例函數的增減性和分式方程的解法是解題的關鍵．
（1）根據“時間＝路程÷速度”解答即可；
（2）根據反比例函數的增減性和x的取值范圍計算即可；
（3）根據題意，得乙車的速度為，由“A、B兩地的距離÷甲車的速度兩地的距離÷乙車的速度”列方程并求解，從而求出乙車的速度即可．
【詳解】（1）解：根據題意，得，
∴y關于x的函數表達式為．
（2）解：∵，，
∴y隨x的增大而減小，
∵，
∴當時，y值最小， ，
∴甲車到達B地所需的最短時間為．
（3）解：乙車的速度為．
根據題意，得，
解得，
經檢驗，是所列分式方程的解，
，
答：乙車的速度為．
【變式訓練5-4】“人潮人海中，有你有我”，上下學的“停車大戰”與“擁堵大戲”已成為社會熱點問題．某校對本校下午放學校門口“堵塞”情況做了一次調查后發現：每天放學時間2分鐘后校門外學生流量變化大致可以用“擁擠指數”與放學后時間（分）的函數關系描述．如圖，2~12分鐘函數圖象為拋物線，且在第12分鐘達到該函數最大值100，12分鐘之后為函數的圖象的一部分．
(1)求二次函數和反比例函數的表達式（需明確取值范圍）；
(2)若“擁擠指數”，出于安全考慮，需要護學崗執勤人員維護秩序、疏導交通．請依據圖象計算每天至少需要執勤的時間．
【答案】(1)；
(2)每天至少需要執勤的時間為分鐘．
【分析】本題考查了函數圖象，待定系數法求函數解析式，求自變量值，利用數形結合的思想解決問題是關鍵．
（1）根據二次函數的頂點坐標設頂點式，再將點代入二次函數的表達式求出的值即可；將點代入反比例函數函數表達式，求出的值即可；
（2）求出當函數值為時，兩段函數的自變量取值，再結合圖象作差即可．
【詳解】（1）解：由圖象可知，二次函數圖象的頂點坐標為，
設二次函數表達式為，
將點代入二次函數的表達式得：，
解得：，
二次函數表達式為；
將點代入反比例函數函數表達式得：，
解得：，
反比例函數的表達式為；
（2）解：由，
解得：或（舍），
由，
解得：，
，
每天至少需要執勤的時間為分鐘．
【變式訓練5-5】自1997年以來，我國鐵路一共經歷了六次大提速．2004年第五次提速后，一列客車從A地開往B地，以的平均速度行駛需要5 h，2007年又經歷了第六次提速．
(1)設第六次提速后該路段的平均速度為v，全程運行的時間為t，請寫出t與v之間的函數表達式；
(2)如果第六次提速后該路段的平均速度為，那么提速后全程運行需要多長時間？
(3)如果全程運行時間控制在內，那么提速后的平均速度至少應為多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查反比例函數應用，根據題目給定條件正確列出有關量的函數表達式，是解答關鍵．
（1）根據路程、速度、時間之間的關系列出t與v之間的函數表達式即可；
（2）把代入到（1）得到的函數表達式全程運行時間；
（3）把代入到（1）得到的函數表達式得到提速后的平均速度，再根據題意判定速度范圍即可．
【詳解】（1）解：
∴
（2）當時，
答：提速后全程運行3h．
（3）當時，
由函數增減性可知，速度至少為．
題型六：實際應用之物理問題
【經典例題6】如圖，取一根長的均勻木桿，用細繩綁在木桿的中點O處并將其吊起來．在中點O的左側處掛了一個約的物體，在中點O的右側用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態．

(1)請問當物體保持不動時，彈簧秤的示數y（單位：N）與彈簧秤到中點O的距離x（單位：）滿足怎樣的函數關系？請寫出y關于x的函數表達式．
(2)左側所掛物體的質量與位置不變，保持木桿處于水平狀態下，移動彈簧秤到什么位置時，最省力（彈簧秤的示數最小）？并求出此時彈簧秤的示數為多少，
【答案】(1)
(2)彈簧秤離木桿中點距離為時，最省力即彈簧秤的示數最小，最小示數為
【分析】本題考查反比例函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，寫出相應的函數解析式，利用反比例函數的性質求最值．
（1）根據動力動力臂阻力阻力臂，即可得到和的函數關系，從而可以寫出和滿足哪種函數關系；
（2）根據反比例函數的性質和木桿的總長度，可以得到移動彈簧秤到什么位置時，最省力（彈簧秤的示數最小），并求出此時彈簧秤的示數為多少．
【詳解】（1）解：根據杠桿原理可知：
，
，
即是關于的反比例函數，函數表達式為；
（2）解：，，
當時，隨的增大而減小，
當取最大值時，取最小值，
木桿長，為木桿的中點，故，
當時，，
答：彈簧秤離木桿中點距離為時，最省力（彈簧秤的示數最小），最小示數為．
【變式訓練6-1】已知汽車前燈電路上的電壓保持不變，選用燈泡的電阻與通過的電流強度I（A）成反比例．當選用燈泡的電阻為時，測得通過的電流強度為．
(1)求I關于R的函數表達式和自變量R的取值范圍；
(2)若通過的電流強度I正好為，求選用燈泡的電阻R的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題考查了反比例函數的應用，求自變量的值．熟練掌握反比例函數的應用，求自變量的值是解題的關鍵．
（1）設I關于R的函數表達式為，將，代入，可求，則，由題意知，；
（2）將代入得，，計算求解即可．
【詳解】（1）解：設I關于R的函數表達式為，
將，代入得，，
∴，
由題意知，，
∴I關于R的函數表達式為，自變量R的取值范圍；
（2）解：將代入得，，
解得，，
∴選用燈泡的電阻R的值為．
【變式訓練6-2】公元前3世紀，古希臘科學家阿基米德發現了著名的“杠桿原理”．杠桿平衡時，阻力阻力臂動力動力臂．幾位同學玩撬石頭游戲，已知阻力（石頭重量）和阻力臂分別為和，設動力臂為l，動力為F，
(1)求動力F與動力臂l的函數表達式；
(2)若小明只有的力量，他該選擇動力臂為多少的撬棍才能撬動這塊大石頭？
(3)現有動力臂為的撬棍，若想撬動石頭，直接寫出動力F滿足的條件．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了反比例函數的應用，求反比例函數解析，解題的關鍵是理解題意，求出反比例函數解析．
（1）根據阻力阻力臂動力動力臂，求出動力F與動力臂l的函數表達式即可；
（2）將代入函數解析式，求出l的值即可；
（3）根據動力臂為，求出此時需要用的最小動力即可．
【詳解】（1）解：∵阻力（石頭重量）和阻力臂分別為和，
∴，
即；
（2）解：把代入得：
，
解得：，
答：他該選擇動力臂為的撬棍才能撬動這塊大石頭；
（3）解：∵動力臂為，
∴若想撬動石頭，必須使，
即．
【變式訓練6-3】綜合實踐：自制密度秤測量液體密度．
問題情境：實驗小組利用天平制作了一臺密度秤．如圖，支點固定不變，左側托盤固定在點，，托盤上放置質量為的砝碼；右側托盤點在上滑動，，托盤上放置紙杯，實驗時分別向杯中倒入的不同液體，滑動點，使天平保持平衡．（杠桿原理：砝碼的質量杯中液體的質量．液體的質量液體的密度體積，）
問題解決：
(1)設右側托盤液體的密度為，的長為，若，求關于的函數表達式．并求出的取值范圍．
(2)若在紙杯中倒入的水時，滑動點，當點到達點處時，天平保持平衡：若向紙杯中倒入等體積的某種液體后，點從點向右滑動至點處，天平保持平衡．刻度顯示：點處的讀數正好是點處的讀數的，求這種液體的密度．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本題主要考查了反比例函數的應用，解題的關鍵是理解題意，根據杠桿平衡條件列出等式．
（1）根據杠桿平衡條件，列出函數解析式，根據，求出的取值范圍即可；
（2）設點處的讀數為，則點N處的讀數為，根據杠桿平衡條件得出，根據，求出．
【詳解】（1）解：根據杠桿平衡原理可得：，
即，
∴，
∵，
∴；
（2）解：設點處的讀數為，則點N處的讀數為，
即，，
根據杠桿平衡條件得：，
，
∴，
即，
∵，
∴．
【變式訓練6-4】已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流（單位：）與電阻（單位：）是反比例函數關系，它的圖像如圖所示．
(1)這個反比例函數的解析式是______；
(2)若使用時電阻，則電流是______；
(3)如果以蓄電池為電源的用電器的電流不能超過，那么用電器的可變電阻至少是多少？
【答案】(1)；
(2)0.3；
(3)．
【分析】本題主要考查了反比例函數的實際應用，正確求出反比例函數解析式是解題的關鍵．
（1）利用待定系數法求解即可；
（2）把代入（1）所求解析式中求解即可；
（3）先求出當A時，，再由I隨R的增大而減小，可知要使電流不能超過10A，則電阻要不低于．
【詳解】（1）解：設反比例函數式，
∵把代入反比例函數式，
∴，
∴；
（2）解：當，；
（3）解：將代入，得，解得．
根據反比例函數的性質，，
∴在第一象限內，I隨著R的增大而減小．
所以用電器的可變電阻至少是．
【變式訓練6-5】如圖， 是漁民騎坐 “木海馬” 在灘涂上趕海， 這一工具大大提高了漁民趕海時的效率．已知人和 “木海馬” 對灘涂的壓力 （單位∶ ），“木海馬” 底面面積 （單位：） 與人和木板對灘涂的壓強 （單位∶ ）滿足關系： ，若人和木板對灘涂的壓力 合計為 ，

(1)用含 的代數式表示 ；
(2)當 “木海馬” 底面面積為 時，人和木板對灘涂的壓強是多少 ；
(3)若要人和木板對灘涂的壓強不超過 ，則 “木海馬” 底面面積至少需要多少 ．
【答案】(1)
(2)人和木板對灘涂的壓強是
(3)至少需要
【分析】本題主要考查了反比例函數的應用等知識點，
（1）根據，得出結論；
（2）把代入（1）中解析式即可；
（3）根據反比例函數的性質得出結論；
關鍵是求出反比例函數解析式．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：當時，，
答：人和木板對灘涂的壓強是；
（3）解：∵，
∴當時，p隨S的增大而減小，
∴當時，即，
∴，
答：“木海馬”底面面積至少需要．
【變式訓練6-6】某氣球內充滿一定質量的氣體，當溫度不變時，該氣球內氣體的壓強和氣體體積成反比例．測得一組數據如下表：
150
(1)根據表中的數據求出壓強關于體積的函數表達式．
(2)當氣體體積為時，氣球內氣體的壓強是多少？
(3)當氣球內氣體的壓強小于且大于時，氣球不會爆炸并且形態剛好，求問此時氣體的體積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了反比例函數的實際應用，利用反比例函數解析式的數值的意義求解是解題的關鍵．
（1）設函數解析式為，把點代入函數解析式求出值即可；
（2）將代入（1）中的反比例函數解析式即可求出；
（3）將和代入（1）中的反比例函數解析式，再根據增減性即可求出的范圍．
【詳解】（1）解：設，
將點代入，得，
，
故這個函數的解析式為；
（2）解：當時，．
（3）解：當時，．
當時，．
∵壓強隨體積的增大而減小，
∴．
題型七：實際應用之其他問題
【經典例題7】喝綠茶前需要燒水和泡茶兩個工序，即需要將電熱水壺中的水燒到100℃，然后停止燒水，等水溫降低到適合的溫度時再泡茶，燒水時水溫與時間成一次函數關系；停止加熱過了1分半鐘后，水壺中水的溫度與時間近似于反比例函數關系（如圖）．已知水壺中水的初始溫度是，降溫過程中水溫不低于．
(1)分別寫出圖中所對應的函數關系式，并且寫出自變量x的取值范圍；
(2)從水壺中的水燒開降到就可以進行泡制綠茶，問從水燒開到泡茶需要等待多長時間？
【答案】(1)，，
(2)min
【分析】本題考查了反比例函數的應用，解題的關鍵是從實際問題中整理出反比例函數的模型．
（1）將點的坐標代入反比例函數的一般形式利用待定系數法確定反比例函數的解析式，然后求得點和點的坐標，從而用待定系數法確定一次函數的解析式；
（2）將代入反比例函數的解析式，從而求得答案．
【詳解】（1）解：設停止加熱時，設，
由圖可知，將代入得：，解得：，
，
當時，得，解得：，
點坐標為，
點坐標為，
設當加熱燒水時，設，
由圖及題意可知，將代入得：，解得：，
當加熱燒水，函數關系式為；當停止加熱，得與的函數關系式為；；
（2）解：把代入，得，
（分鐘）；
從燒水開到泡茶需要等待分鐘．
【變式訓練7-1】心理學研究發現，一般情況下，在一節40分鐘的數學課中，學生的注意力隨上課時間的變化而變化．開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持在較為理想的穩定狀態，隨后學生的注意力開始分散．通過實驗分析可知，學生的注意力指標數y隨時間x（分鐘）的變化規律如圖所示，點B的坐標為，點C的坐標為，為反比例函數圖象的一部分．
(1)求所在的反比例函數的解析式；
(2)吳老師計劃在課堂上講解一道推理題，準備花費20分鐘講解，為了達到最佳的教學效果，要求學生的注意力指標數不低于38，請問吳老師的安排是否合理？并說明理由．
【答案】(1)
(2)老師安排不合理，理由見解析
【分析】本題考查的是一次函數與反比例函數的實際應用，理解題意是關鍵；
（1）設所在反比例函數的解析式為，再代入即可得到答案；
（2）先求解，再把代入一次函數與反比例函數計算，再進一步可得結論；
【詳解】（1）解：由題意，設所在反比例函數的解析式為
過點，
，
．
（2）解：老師安排不合理，理由如下：
由題意，設
∵直線過點和
解得，，
令，
，
令，
，
老師安排不合理．
【變式訓練7-2】小明家飲水機中原有水的溫度為，通電開機后，飲水機自動開始加熱，此過程中水溫y（）與開機時間x（分）滿足一次函數關系，當加熱到時自動停止加熱，隨后水溫開始下降，此過程中水溫y（）與開機時間x（分）成反比例關系，當水溫降至時，飲水機又自動開始加熱…，重復上述程序（如圖所示），根據圖中提供的信息，解答下列問題：
(1)當時，求水溫y（）與開機時間x（分）的函數關系式；
(2)求圖中t的值；
(3)有一天，小明在上午（水溫），開機通電后去上學，中午放學回到家時間剛好，請問此時飲水機內水的溫度約為多少？并求：在這段時間里，水溫共有幾次達到？
【答案】(1)
(2)
(3)飲水機內水溫約為，共有6次達到
【分析】本題考查了一次函數以及反比例函數的應用，根據題意得出正確的函數解析式是解題的關鍵．
（1）利用待定系數法即可得出答案；
（2）先求出反比例函數解析式進而得出的值即可得出答案；
（3）先求出總時間，再利用每40分鐘圖象重復出現一次，即可得出答案．
【詳解】（1）解：由圖象可知，當時是一次函數，
設將代入得：
，
解得，
∴水溫y（）與開機時間x（分）的函數關系式為：；
（2）在水溫下降過程中，設水溫y（）與開機時間x（分）的函數關系式為，
依據題意得：，解得，
∴反比例函數解析式為：，
當時，，
解得：；
（3）由（2），結合圖象，可知每分鐘圖象重復出現一次，
經歷時間為分鐘，
，
∴當時，，
答：飲水機內水溫約為，共有6次達到．
【變式訓練7-3】某蔬菜生產基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統的大棚栽培一種新品種蔬菜．如圖是試驗階段的某天恒溫系統從開啟到關閉后，大棚內的溫度與時間之間的函數關系，其中線段，表示恒溫系統開啟階段，雙曲線的一部分表示恒溫系統關閉階段．請根據圖中信息解答下列問題：
(1)求y與的函數表達式；
(2)若該蔬菜適宜生長溫度低于16℃，則這天該蔬菜適宜生長的時間是多長？
【答案】(1)
(2)一天該蔬菜適宜生長的時間是14.5小時
【分析】本題考查了反比例函數的應用、一次函數的應用，待定系數法求出函數解析式是解此題的關鍵．
（1）待定系數法求出反比例函數解析式即可；
（2）先求出直線的解析式，再將分別代入兩個函數解析式，求出兩個時間差，再計算適宜蔬菜生長的時間即可．
【詳解】（1）解：設雙曲線解析式為，
∵，
∴，
∴雙曲線解析式為；
答：y與的函數表達式為：；
（2）解：設直線的解析式為，將代入得：，
解得，
∴直線解析式為：，
當時，，
在反比例函數中，當時，，
一天中蔬菜不能生長的時間為：，
∴這天該蔬菜適宜生長的時間是（小時）．
答：一天該蔬菜適宜生長的時間是小時．
【變式訓練7-4】心理學家研究發現，一般情況下，一節課40分鐘，學生的注意力隨教師講課時間的變化而變化．學生的注意力指數y隨時間x（分鐘）的變化規律如圖所示（其中，為線段，為雙曲線的一部分）．
(1)上課后的第5分鐘與第30分鐘相比較，第 分鐘時學生的注意力更集中．
(2)一道數學題，需要講18分鐘，為了學生聽課效果較好，要求學生的注意力指數不低于40，那么通過怎樣的時間安排，教師能在學生注意力達到所需狀態下講完這道題？請通過計算說明．
【答案】(1)5；
(2)教師能在學生注意力達到所需要求狀態下講完這道題，見解析
【分析】本題主要考查了反比例函數的應用，根據實際意義列出解析式是解題的關鍵．
（1）根據圖像信息即可得到結論；
（2）分別求出注意力指數為時的兩個時間，再將兩時間之差與比較即可得到答案．
【詳解】（1）解：由圖像可知，
設線段的解析式為，
將代入，
得：，
解得，
故線段的解析式為，
設雙曲線的解析式為，
將代入，求得，
雙曲線的解析式為，
當時，，
當時，，
故上課后的第5分鐘與第30分鐘相比較，第5分鐘時學生的注意力更集中；
（2）解：當，，解得，
當，，解得，
，
教師能在學生注意力達到所需狀態下講完這道題．
【變式訓練7-5】如圖，是某天恒溫系統從開啟到關閉后，大棚內的溫度與時間之間的函數關系，其中線段，表示恒溫系統開啟階段，雙曲線的一部分表示恒溫系統關閉階段．請根據圖中信息解答下列問題：
(1)當時，求與的關系式；
(2)大棚里栽培的蔬菜在溫度為到的條件下最適合生長，若某天恒溫系統開啟前的溫度是，那么這種蔬菜一天最適合生長的時間有多長？
【答案】(1)；
(2)這種蔬菜一天內最適合生長的時間有小時
【分析】本題考查了反比例函數的應用，解答本題的關鍵是注意臨界點的應用．
（1）應用待定系數法求函數解析式即可；
（2）觀察圖象可知：三段函數都有的點，而且段是恒溫階段，，所以計算和兩段當時對應的值，相減就是結論．
【詳解】（1）解：設雙曲線解析式為：，
，
，
與的關系式為：；
（2）解：設的解析式為：，
把，代入中得：
，
解得：，
的解析式為：，
當時，，
解得：，
把代入，
得：，
解得：，
．
答：這種蔬菜一天內最適合生長的時間有小時．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑