資源簡介

幾何證明舉例
【學習目標】
1．會證明等腰三角形的性質定理及判定定理，等邊三角形的性質定理及判定定理。
2．掌握基本的證明方法，會通過分析的方法探索證明的思路，學會綜合法證明的格式。
3．進一步體會通過合情推理探索數學結論，運用演繹推理加以證明的過程，發展推理的能力。
4．會證明線段垂直平分線和角平分線的性質定理及其逆定理，理解并會運用上述定理，證明有關的命題。
5．掌握證明直角三角形的判定定理的證明及應用，會通過分析的方法探索證明的思路，學會綜合法證明的格式。
【學習重難點】
1．等腰三角形、等邊三角形性質定理與判定定理的證明及應用。
2．線段垂直平分線和角平分線的性質定理與其逆定理的證明及靈活應用。
3．直角三角形的判定方法的靈活應用，尺規作直角三角形的方法。
【學時安排】
3學時
【第一學時】
【學習過程】
一、導入激學
等腰三角形是軸對稱圖形，它有______條對稱軸，分別是_____________。
等邊三角形是軸對稱圖形，它有______條對稱軸，分別是_____________。
二、導預疑學
1．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數為（ ）
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
2．已知AD是等邊△ABC的高，BE是AC邊的中線，AD與BE交于點F，則∠AFE=______。
三、導問互學
問題一：求證：等腰三角形的兩個底角相等。
已知：如圖，在△ABC中，AB=AC。
求證：∠B=∠C。
證明：
歸納結論等腰三角形三線合一性質： 。
問題二：求證：三個角都相等的三角形是等邊三角形。
四、導根典學
如圖，△ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點，F為CA的延長線上一點，過點F作FG⊥BC于G點，并交AB于E點，試說明下列結論成立的理由：
（1）AD∥FG；
（2）△AEF是等腰三角形。
五、導標達學
1．三角形的一個外角平分線平行于三角形的一邊，則這個三角形一定是 。
2．正△ABC的兩條角平分線BD和CE交于點I，則∠BIC等于（ ）
A．60° B．90°
C．120° D．150°
3．下列三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角（每個頂點處各取一個外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形，其中是等邊三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
4．如圖（4），D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點，且AD=BE=CF，則△DEF的形狀是（ ）
A．等邊三角形 B．腰和底邊不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等邊三角形
（4） （6）
5．Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，則AB的長度是（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
6．如圖（6），E是等邊△ABC中AC邊上的點，∠1=∠2，BE=CD，則對△ADE的形狀最準確的判斷是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．不等邊三角形 D．不能確定形狀
7．如圖（7），在等腰三角形ABC中，頂角∠A=36°。若BD平分∠ABC，則圖中等腰三角形有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
8．已知，如圖（8），在△ABC中，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，過O作DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E，若BD+CE=5，則線段DE的長為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（7） （8）
9．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在BC、AB、AC邊上，且BE=CF，BD=CE。
（1）求證：△DEF是等腰三角形；
（2）當∠A=40°時，求∠DEF的度數。
10．如圖，已知點B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形。BE交AC于F，AD交CE于H，
①求證：△BCE≌△ACD；
②求證：CF=CH；
③判斷△CFH的形狀并說明理由。
六、導法慧學
1．證明等腰三角形的性質定理及判定定理，等邊三角形的性質定理及判定定理。
2．通過分析的方法探索證明的思路，學會綜合法證明的格式。
【第二學時】
【學習過程】
一、導入激學
如圖，三條公路圍成的一個三角形區域，要在這個區域中建一個加油站，使它到三條公路的距離都相等，加油站應建在什么位置？請用尺規作圖，找出建造加油站的位置。
二、導預疑學
1．已知線段AB和它外一點P，若PA=PB，則點P在AB的____________________；若點P在AB的____________________，則PA=PB。
2．如圖，到△ABC的三個頂點距離相等的點是△ABC的（ ），到△ABC的三邊距離相等的點是（ ）
A．三邊垂直平分線的交點 B．三條角平分線的交點
C．三條高的交點 D．三邊中線的交點
3．一個三角形如果有兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上，那么這個三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
三、導問互學
問題一：如圖1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，△BCE的周長等于50，求BC的長。
問題二：如圖，△ABC中，∠CAB=120 ，AB，AC的垂直平分線分別交BC于點E、F，則∠EAF等于（ ）
A．40 B．50 C．60 D．80
四、導根典學
將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BC，BD為折痕，則∠CBD的度數為（ ）
A．60° B．75°
C．90° D．95°
五、導標達學
1．下列說法：①若直線PE是線段AB的垂直平分線，則EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，則直線PE垂直平分線段AB；③若PA=PB，則點P必是線段AB的垂直平分線上的點；④若EA=EB，則過點E的直線垂直平分線段AB，其中正確的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．如圖所示，DE是線段AB的垂直平分線，下列結論一定成立的是（ ）
A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°
3．如圖：Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分線，∠CAD：∠DAB=2：1，則∠B的度數為（ ）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
4．如圖，△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，在以下結論中：①△ADE≌△ADF；②△BDE≌△CDF；③△ABD≌△ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；⑥BD=CD，其中正確結論的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如圖，△ABC中，∠C=90 ，BD平分∠ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分線，DE=BD，且DE=1.5cm，則AC等于（ ）
6．線段AB外有兩點C，D（在AB同側）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，則∠ACB=（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
7．如圖，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E，△BCE的周長等于18cm，則AC的長等于 cm。
8．如圖，Rt△ABC中，∠C=90 ，BD是角平分線，DE⊥AB，垂足為E，BC=6，CD=3，AE=4，則DE=_______，AD=_______，△ABC的周長是_______。
9．若一個三角形兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上，則這個三角形是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定
10．如圖所示，在△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分線，DE是BC的垂直平分線，求∠C的度數。
六、導法慧學
1．掌握基本的證明方法，會通過分析的方法探索證明的思路。
2．線段垂直平分線和角平分線的性質定理與其逆定理的證明及靈活應用。
【第三學時】
【學習過程】
一、導入激學
在△ABC內部取一點P使得點P到△ABC的三邊距離相等，則點P應是△ABC的哪三條線交點（ ）
A．高 B．角平分線 C．中線 D．邊的垂直平分線
二、導預疑學
1．直角三角形的判定方法：________________。
2．如圖，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS”證明△ABC≌△ABD，則需要加條件________或________；若利用“HL”證明△ABC≌△ABD，則需要加條件________或________。
三、導問互學
問題一：
已知，如圖，△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，BE=CF，則下列說法正確的有幾個（ ）
（1）AD平分∠EDF； （2）△EBD≌△FCD；
（3）BD=CD； （4）AD⊥BC；
（A）1個； （B）2個；
（C）3個； （D）4個。
問題二：
如圖3，已知：AD＝BC，BE⊥AC，DF⊥AC，且BE＝DF。
求證：（1）△ABE≌△CDF。（2）AB∥CD。
四、導根典學
如圖，在△ABC中，已知D是BC中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，DE＝DF。求證：AB=AC。
五、導標達學
1．下面說法不正確的是（ ）
A．有一角和一邊對應相等的兩個直角三角形全等
B．有兩邊對應相等的兩個直角三角形全等
C．有兩角對應相等的兩個直角三角形全等
D．有兩角和一邊對應相等的兩個直角三角形全等
2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，則△DEB的周長為___________cm。
3．△ABC中，∠C=90°，AD為角平分線，BC=32，BD∶DC=9∶7，則點D到AB的距離為（ ）
A．18cm B．16cm C．14cm D．12cm
4．如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則供選擇的地址有（ ）
A．1處 B．2處 C．3處 D．4處
5．已知：如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC，你能說明BE與DF相等嗎？
6．如圖，CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E，BE，CD交于點O，且AO平分∠BAC，求證：OB=OC。
六、導法慧學
1．掌握證明直角三角形的判定定理的證明及應用。
2．會通過分析的方法探索證明的思路，學會綜合法證明的格式。
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