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4.2.2平面直角坐標系（二）六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：坐標系中描點
【經典例題1】已知：，，
(1)在坐標系中描出各點，畫出 ABC；
(2)求 ABC的面積；
(3)設點P在y軸上，且與 ABC的面積相等，直接寫出點P的坐標．
【答案】(1)見解析
(2)4
(3)點的坐標為或
【分析】本題考查的是坐標與圖形，三角形的面積的計算，清晰的分類討論是解本題的關鍵；
（1）根據A，B，C的坐標描出各點，再連接即可；
（2）過點向、軸作垂線，垂足為、，再利用割補法求解面積即可；
（3）根據的面積求出，再進一步求解即可．
【詳解】（1）解：如圖所示： ABC為所求，
（2）解：過點向、軸作垂線，垂足為、．
四邊形的面積，的面積，
的面積，的面積
的面積四邊形的面積的面積的面積的面積
．
（3）解：∵點在軸上，
∴的面積，
即，解得：．
所以點的坐標為或．
所以點的坐標為或．
【變式訓練1-1】在平面直角坐標系中
(1)在圖中描出，，；
(2)連接、、，試判斷 ABC的形狀；
(3)求 ABC的面積．
【答案】(1)見解析
(2) ABC是直角三角形
(3) ABC的面積＝25
【分析】此題主要考查了描點，勾股定理，以及勾股定理逆定理，關鍵是正確畫出圖形，算出、、的長．
（1）根據題目中給出的點的坐標描出點；
（2）連接、、，利用勾股定理結合網格算出、、的長，根據數據可得到，由勾股定理逆定理可得是直角三角形；
（3）根據三角形面積公式計算即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：
（2）解：，
，
，
，
，
，
是直角三角形；
（3）解： ABC的面積．
【變式訓練1-2】（1）畫平面直角坐標系中，并描出下列各點：，，，；
（2）連接，，，，求四邊形的面積．
【答案】（）描點見解析；（）．
【分析】（）平面直角坐標系中，描出各點即可；
（）過作軸于點，過作軸于點，根據即可求解；
本題考查了點的坐標，三角形的面積，梯形的面積，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】（）如圖，
（）如圖，過作軸于點，過作軸于點，
∴，，，，，
∴
．
【變式訓練1-3】在平面直角坐標系中，已知三角形三個頂點的坐標分別為，，．
(1)在圖中的平面直角坐標系中畫出三角形；
(2)若在上，且軸，求的值．
【答案】(1)見解析；
(2)．
【分析】（）在平面內描出點，然后連接各點即可；
（）由軸，可得點與點的橫坐標相同，列出方程，再解方程即可；
本題考查了平面直角坐標系，點的坐標特征，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】（1）如圖所示，
∴三角形即為所求；
（2）∵在上，且軸，，
∴ ，
解得：．
【變式訓練1-4】已知，，，四個點．
(1)在圖中描出四個點，順次連接；
(2)直接寫出線段之間的關系；
(3)在y軸上是否存在點，使若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)，
(3)存在，，
【分析】本題考查了坐標與圖形、三角形面積，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用數形結合的思想是解此題的關鍵．
（1）根據題意畫出圖象即可；
（2）結合圖象即可得出答案；
（3）先計算出．設在軸上存在點，使，列方程計算即可得出答案．
【詳解】（1）解：畫出圖象如圖所示：
（2）解：由圖象可得：，；
（3）解：∵．
設在軸上存在點，使
∴，即
解得：
∴在y軸上存在，使．
【變式訓練1-5】在平面直角坐標系中，點M的坐標為，點A的坐標為，點B的坐標為．
(1)若點M在y軸上，求點M的坐標：
(2)在平面直角坐標系中描出點A和點B；
(3)連接A、B、O三點，求三角形的面積．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)8
【分析】本題考查了坐標與圖形性質，坐標軸上點的坐標特征．
（1）根據y軸上的點的橫坐標為0，列式求解；
（2）根據點A和點B的坐標描點即可；
（3）根據三角形的面積公式計算即可．
【詳解】（1）∵點M在y軸上，
∴，
∴，
∴點M的坐標為
（2）如圖，
（3）三角形的面積．
題型二：坐標與圖形
【經典例題2】如圖，在平面直角坐標系中，，點C在第一象限，，求點C的坐標．
【答案】點C坐標．
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，坐標與圖形的性質，作，垂足為M，證明，即可解答，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，作，垂足為M，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
∴點C坐標；
【變式訓練2-1】如圖，在平面直角坐標系中，正方形的邊與軸正方向的夾角為，且點的橫坐標為2．
(1)求正方形的面積；
(2)寫出點、點、點的坐標，并說明理由．
【答案】(1)；
(2)，，；理由見解析．
【分析】本題考查含的直角三角形特征，全等三角形的性質和判定，平面直角坐標系，正方形的性質及其運用，熟練掌握正方形的性質及其運用是解題的關鍵；
（1）過點作軸，垂足為點，在中，求出的長度，即可求解；
（2）由勾股定理可得，進而求得的長度，過點作軸于點，作軸交的延長線于，證明，求得，求得的長度，進而求解；
【詳解】（1）過點作軸，垂足為點，
在中
，
；
（2）理由如下：過A作軸于E，
由（1）知，在中，由勾股定理得：，
，
；
過點作軸于點，作軸交的延長線于，
，
∴
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【變式訓練2-2】如圖,,,點、,則點的坐標是
【答案】
【分析】如圖,過點作過點作通過證明可得即可求解．
【詳解】如圖,過點作過點作
∵點、
∴
∵
∴且
∴且
∴
∴
∴
∴點
故答案為：
【點睛】本題借助于坐標與圖形性質,重點考查了直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質,解題的關鍵是做高線構造全等三角形．
【變式訓練2-3】如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，，，則點的坐標是 ．
【答案】
【分析】本題考查了坐標與圖形，全等三角形的判定和性質，象限內點的坐標特征，利用數形結合思想解決問題是關鍵．過點作軸于點，過點作軸于點，證明，得到，，即可得到點的坐標．
【詳解】解：如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
點的坐標為，
，，
，，
點在第二象限，
點的坐標是，
故答案為：
【變式訓練2-4】如圖， ABC中，，，，線段上有一點P（不含端點），連接，動點M從A點出發，沿線段以每秒1個單位長度的速度運動到點P，再沿線段以每秒個單位長度的速度運動到點C后停止，當點M在整個運動過程中用時最少時，點P的坐標是 ．
【答案】
【分析】根據時間的表達式，分別作軸，軸，使、交于D，過點P作于點E，連接，利用，C點坐標特點構造等腰直角三角形，找到和之間關系，放在同一個三角形中，兩邊之和大于第三邊找到與關系，為垂線的時候最短，即可找到P點坐標．
【詳解】解：P在整個過程中用時：
如圖分別作軸，軸，使、交于D，過點P作于點E，連接，
，，，
∴，，
，
，
為等腰直角三角形，
∴，
∵，
也是等腰直角三角形，
，
，
當時，取得最小值，
即點E在點處時，運動時間最小，即與的交點為點P的位置，
此時點P的橫坐標為，
設直線的解析式為，
將點，代入解析式得，
解得:，
∴解析式為，
將代入，得，
∴當P的坐標為，點P在整個運動過程中用時最少，
故答案為：．
【點睛】本題考查了直角坐標系下動點問題，二元一次方程組，最短路徑問題，構造等腰直角三角形，將有關線段放在一個三角形中，利用三角形成形條件，找到最短路徑下P點的坐標是解答本題的關鍵．
【變式訓練2-5】在平面直角坐標系中，三角形的面積為3，三個頂點的坐標分別為，，，且a，b均為負整數，點C在如圖所示的網格中，則點C的坐標是 ．
【答案】或或
【分析】根據三角形面積公式，在第三象限內找出格點使的面積為3，然后寫出點坐標．本題考查了坐標與圖形性質：利用點的坐標計算相應線段的長和判斷線段與坐標軸的位置關系，記住各象限內點的坐標特征．也考查了三角形面積公式．
【詳解】解：、均為負整數，
點在第三象限，
當以為底邊時，
∵的面積為3，
則，則；
當以為底邊時，
∵的面積為3，
則，
則，，
當時，如圖所示：
則，
∴此時的面積為3；
點坐標．不在要求的網格中，應舍去，
故答案為：或或．
題型三：實際問題中用坐標表示位置
【經典例題3】在中國象棋棋盤的部分示意圖上建立如圖所示的平面直角坐標系，“車”所在位置的坐標為，則“炮”所在位置的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平面直角坐標系，解題的關鍵在于根據已知條件確定原點，先確定坐標系的原點和每一格的單位長度，根據坐標系可直接得到答案．
【詳解】解：∵“車”所在位置的坐標為，
∴確定點O是平面直角坐標系的原點，且每一格的單位長度是1，
∴“炮”所在位置的坐標為．
【變式訓練3-1】已知，，若白棋A 飛掛后，黑棋C 尖頂，黑棋C 的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了坐標確定位置，利用A、B兩點的坐標確定平面直角坐標系是解題關鍵．
根據已知A，B兩點的坐標建立坐標系，然后確定其它點的坐標．
【詳解】解：根據，，建立平面直角坐標系如圖所示：
∴．
故選：D
【變式訓練3-2】2023年12月16日，“橫跨”花溪、南明、云巖和烏當四區的貴陽地鐵3號線正式開通運營．“北京路”是其中的一個換乘站，若以“北京路”為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，若用表示“噴水池”，則可以表示“貴陽一中”的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了坐標確定位置，根據平面直角坐標系解答即可．
【詳解】解：如圖所示：
“貴陽一中”的坐標是，
故選：A．
【變式訓練3-3】2025年第九屆亞洲冬季運動會將在哈爾濱舉行．如圖是本屆亞冬會的會徽“超越”，將其放在平面直角坐標系中，若A，C兩點的坐標分別為，，則點B的坐標為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了用坐標確定位置．先根據A，C兩點的坐標建立好坐標系，即可確定點B的坐標．
【詳解】解：∵A，C兩點的坐標分別為，，
∴建立坐標系如圖所示：
∴點B的坐標為．
故答案為：．
【變式訓練3-4】如圖是一組密碼的一部分，為了保密，不同情況采用不同的密碼，請你運用所學知識找到破譯的“鑰匙”．目前，已破譯出“怕方溫”的真實意思是“都是水”．破譯后“再青都”的真實意思是“ ”．
【答案】昨天到
【分析】本題考查了坐標確定位置，發現規律是解答本題的關鍵．解答本題的關鍵是發現對應字之間的規律．根據題意可以發現對應字之間的規律，從而可以解答本題．
【詳解】解：由題意可得，
“怕方溫”的真實意思是“都是水”，“怕”所對應的字為“都”，是“怕”字先向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到的“都”，其他各個字對應也是這樣得到的，
破譯后“再青都”的真實意思是“昨天到”，
故答案為：昨天到．
【變式訓練3-5】我國水墨畫發展有著悠遠歷史，相傳始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以來續有發展，重于意境優美，圖為水墨畫“早有蜻蜓立上頭”，若將其放在平面直角坐標系中，點，，則點C坐標為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了點的坐標，根據已知點的坐標，找出原點，建立平面直角坐標系，然后根據點的位置，寫出點的坐標．解題關鍵是熟練掌握根據已知點的坐標，找出坐標原點．
【詳解】解：如圖所示，根據點，，建立坐標系，如圖所示：
∴點坐標為：，
故答案為：．
【變式訓練3-6】如圖所示，一個小正方形網格的邊長表示．A同學上學時從家中出發，先向東走，再向北走就到達學校．
(1)以學校為坐標原點，向東為x軸正方向，向北為y軸正方向，在圖中建立平面直角坐標系；
(2)B同學家的坐標是；
(3)在你所建的平面直角坐標系中，如果C同學家的坐標為，請你在圖中描出表示C同學家的點．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)見解析
【分析】本題考查了坐標確定位置：平面內的點與有序實數對一一對應；記住平面內特殊位置的點的坐標特征．
（1）由于同學上學時從家中出發，先向東走250米，再向北走50米就到達學校，則可確定點位置，然后畫出直角坐標系；
（2）利用第一象限點的坐標特征寫出點坐標；
（3）根據坐標的意義描出點．
【詳解】（1）以學校為坐標原點，向東為x軸正方向，向北為y軸正方向，建立平面直角坐標系如圖所示．
（2）同學家的坐標是，
故答案為：；
（3）C同學家的坐標為(在平面直角坐標系中如圖所示．
題型四：用方位角和距離確定物體的位置
【經典例題4】北京時間2023年12月18日23時59分，甘肅臨夏州積石山縣發生6.2級地震，震源深度10公里．以下能夠準確表示這次地震震中位置的是（ ）
A．北緯 B．東經
C．甘肅西南方向 D．北緯，東經
【答案】D
【分析】本題考查了坐標確定位置，理解坐標的定義是解題的關鍵．根據點的坐標的定義，確定一個位置需要兩個數據解答即可．
【詳解】解：A．北緯無法確定這次地震震中位置，故此選項不合題意；
B．東經無法確定這次地震震中位置，故此選項不合題意；
C．甘肅西南方向無法確定這次地震震中位置，故此選項不合題意；
D．北緯，東經能確定這次地震震中位置，故此選項符合題意；
故選：D．
【變式訓練4-1】如圖，食堂在教室的北偏西，的位置，那么教室在食堂的 的位置．
【答案】南偏東，
【分析】本題考查了方向角的概念，利用有序實數對表示位置，根據題意算出，再結合題干的條件，即可解題．
【詳解】解：如圖所示：
由平行線的性質可得：，
食堂在教室的北偏西，的位置，
∴教室在食堂的南偏東，的位置；
故答案為：南偏東，．
【變式訓練4-2】一艘船在處遇險后向相距位于處的救生船報警．用方向和距離描述救生船相對于遇險船的位置為（北偏東，），救生船接到報警后準備前往救援，請用方向和距離描述遇險船相對于救生船的位置 ．
【答案】南偏西，
【分析】本題考查了方向角，根據方向角的定義即可求解，正確識圖是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意可得，遇險船相對于救生船的位置為南偏西，，
故答案為：南偏西，．
【變式訓練4-3】某軍事行動中，對軍隊部署的方位，采用鐘代碼的方式來表示．例如，北偏東方向45千米的位置，與鐘面相結合，以鐘面圓心為基準，時針指向北偏東的時刻是2時，那么這個地點就用代碼020045來表示，按這種表示的方式，南偏西方向66千米的位置，可用代碼表示為 ．

【答案】070066
【分析】本題考查了坐標確定位置，讀懂題目信息，理解代碼的各位數字的實際意義是解題的關鍵．根據代碼編寫要求，第1、2、3、4位數字表示時間，第5、6位數字表示距離，再根據南偏西方向方向與對應，然后寫出即可．
【詳解】解：∵南偏西方向的時刻是，
∴南偏西方向66千米的位置，可用代碼表示為070066．
故答案為：070066．
【變式訓練4-4】如圖，雷達探測器測得六個目標A，B，C，D，E，F出現，按照規定的目標表示方法，目標C，F的位置表示為，．
(1)按照此方法表示目標A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______；
(2)若目標C的實際位置是北偏西距觀測站，目標F的實際位置是南偏西距觀測站，寫出目標A，B，D，E的實際位置；
(3)若另有目標G在東南方向距觀測站處，目標H在南偏東距觀測站處，寫出G，H的位置表示．
【答案】(1)，，，
(2)目標A的實際位置為北偏東距觀測站，目標B的實際位置為正北方向距觀測站，目標D的實際位置為南偏西距觀測站，目標E的實際位置為南偏東距觀測站
(3)，
【分析】本題考查了用有序數對表示位置、用方向角和距離確定物體的位置，理解題意、熟練掌握用有序數對表示位置、用方向角和距離確定物體的位置是解題的關鍵．
（1）根據“目標C，F的位置表示為，”， 表示目標A，B，D，E的位置即可；
（2）根據“目標C的實際位置是北偏西距觀測站，目標F的實際位置是南偏西距觀測站”，求出每一圈表示，觀察圖形，根據用方向角和距離確定物體的位置，寫出目標A，B，D，E的實際位置即可；
（3）根據“目標G在東南方向距觀測站處，目標H在南偏東距觀測站處”，觀察圖形并計算，寫出G，H的位置表示即可．
【詳解】（1）解：∵目標C，F的位置表示為，，
∴按照此方法表示：，，，，
故答案為：，，，；
（2）解：∵，，目標C的實際位置是北偏西距觀測站，目標F的實際位置是南偏西距觀測站，
∴，
又∵，，，，
∴，，，，
∴目標A的實際位置為北偏東距觀測站，目標B的實際位置為正北方向距觀測站，目標D的實際位置為南偏西距觀測站，目標E的實際位置為南偏東距觀測站；
（3）解：∵目標G在東南方向距觀測站處，目標H在南偏東距觀測站處，
∴，，，，
∴，．
【變式訓練4-5】“四大街、八小巷，七十二條綿綿巷．”形象地反映出大同城方正的街巷棋盤格局．傳統的棋盤式里坊格局，是大同古城顯著的城市風格和特色．如圖是古城內部分建筑物的平面示意圖．若魁星樓的坐標為，純陽宮的坐標為．
(1)請你根據題目條件在圖中畫出平面直角坐標系，并寫出關帝廟的坐標；
(2)若華嚴寺的坐標為，太平樓的坐標為，請在圖中標出華嚴寺和太平樓的位置；
(3)如圖，純陽宮與九龍獄的圖上距離為個單位長度，如果1個單位長度表示140米，請你用方向和距離描述純陽宮相對于九龍獄的位置；反過來如何用方向和距離描述九龍獄相對于純陽宮的位置．
【答案】(1)圖見解析，）
(2)華嚴寺和太平樓的位置見解析
(3)純陽宮在九龍獄的南偏西，米處；九龍獄在純陽宮的北偏東，米處
【分析】本題主要考查了在實際問題中用坐標表示位置，方位角相關知識，掌握用坐標表示位置以及方位角是解題的關鍵．
（）建立平面直角坐標系即可得出．
（2）利用坐標軸相關知識表示坐標即可．
（3）根據圖象，利用方位角表示位置即可．
【詳解】（1）建立平面直角坐標系如下圖所示，關帝廟的坐標為．
（2）華嚴寺和太平樓的位置如上圖所示．
（3）純陽宮在九龍獄的南偏西，它們之間的距離為（米）．
所以純陽宮在九龍獄的南偏西，米處；
九龍獄在純陽宮的北偏東，米處．
題型五：根據方位描述確定物體的位置
【經典例題5】某同學要從學校回家，所有道路的方向是向西或向北，若他的路線是．則陰影部分覆蓋的數對可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查根據方位描述確定物體的位置，根據題中平移規則求解即可．
【詳解】解：∵所有道路的方向是向西或向北，
∴某同學的路線是．
故選：A．
【變式訓練6-1】如圖為小麗使用微信與小紅的對話記錄，據圖中兩個人的對話記錄，若下列有一種走法能從銀泰城出發走到小紅家，此走法為（ ）
A．向北直走100米，再向東直走700米 B．向北直走300米，再向西直走400米
C．向北直走400米，再向東直走300米 D．向北直走700米，再向西直走100米
【答案】D
【分析】如圖，根據對話畫出圖形，進而得出從銀泰城出發走到小紅家的路線．
【詳解】解：如圖所示
從銀泰城出發走到小紅家：向北直走700米，再向西直走100米．
故選D．
【點睛】本題考查用方位描述物體的位置，根據描述正確畫出方位圖是解題的關鍵．
【變式訓練6-2】107路公交車線路運行圖如下：
(1)107路公交車從起始站出發，向______行______到達農場，再向______偏______ ______度方向行______到達公園．
(2)由市民廣場向______方向行______到達政府大樓，再向______偏______ ______度方向行________到達體育館．
(3)107路公交車從體育館向南偏東的方向行到達終點站．請在圖中畫出終點站的位置．
【答案】(1)正東方向，，北，東，，
(2)正南，，北，東，，
(3)畫圖見解析
【分析】本題考查的是根據方向和距離，確定物體的位置；
（1）依據圖上標注的各種信息，以及地圖上的方向辨別方法“上北下南，左西右東”就可以直接填寫答案；
（2）依據圖上標注的各種信息，以及地圖上的方向辨別方法“上北下南，左西右東”就可以直接填寫答案；
（3）先計算體育館到終點站的圖上距離：（厘米），再依據距離和方向確定終點站的位置即可；
【詳解】（1）解： 107路公交車從起始站出發，向正東方向行到達農場，再向北偏東方向行到達公園，
（2）解：由市民廣場向正南方向行到達政府大樓，再向北偏東方向行到達體育館；
（3）解：圖上距離：；
終點站位置如圖：
；
【變式訓練6-3】如圖，以學校為參照點，分別寫出商場、書店、游泳館和車站的位置．
【答案】見解析
【分析】此題主要考查依據方向角和距離確定物體的位置．
確定物體的位置要有三個步驟：（1）定觀察點，（2）量角度，（3）算距離，據此即可進行解答．
【詳解】解：商場在學校北偏西方向上，距離學校；
書店在學校北偏東方向上，距離學校；
游泳館在學校南偏西方向上，距離學校；
車站在學校南偏東方向上，距離學校．
【變式訓練6-4】如圖，杭州亞運會數字火炬手和吉祥物瓊琮、宸宸、蓮蓮在的方格每小格邊長為上沿著網格線運動數字火炬手從處出發去尋找、、處的吉祥物，規定：向上向右走為正，向下向左走為負，如果從到記為：，從到記為：，其中第一個數表示左右方向，第二個數表示上下方向，那么圖中：
(1)______，______；______，______； ______；
(2)若數字火炬手的行走路線為，則數字火炬手走過的路程為______m；
(3)若數字火炬手從處去尋找最后一棒火炬手汪順的行走路線依次為，，，，請在圖中標出最后一棒火炬手汪順的位置點．
【答案】(1) ，；，0；；
(2)10；
(3)見解析．
【分析】本題考查了坐標確定位置，讀懂題目信息，理解標記的兩個數的實際意義是解題的關鍵．
（1）根據標記的第一個數字表示左、右方向，第二個數字表示上、下方向依次寫出即可；
（2）根據運動路線列式計算即可得解；
（3）在圖中依次表示出各位置，然后確定出點的位置即可．
【詳解】（1）解：根據題中的新定義得：，，；
（2）解：若數字火炬手的行走路線為，則數字火炬手走過的路程為．
（3）解：如圖所示，點為火炬手汪順的位置．
【變式訓練6-5】七（1）班同學到綬溪公園開展勞動實踐活動，李想和陳臻根據景區示意圖描述延壽橋的位置，圖中小正方形的邊長表示．
李想：“延壽橋在森林秘境西北方向約處．”
陳臻：“我通過建立平面直角坐標系，得到延壽橋的坐標是．

(1)根據信息畫出平面直角坐標系；并用方位和距離描述山地公園相對于森林秘境的位置．
(2)寫出公園內狀元碼頭、綬溪水街的坐標．
【答案】(1)見解析，山地公園在森林秘境的正南方向，距離；
(2)狀元碼頭的坐標為、綬溪水街的坐標．
【分析】（1）根據題意建立直角坐標系，再描述山地公園的位置即可；
（2）根據（1）中的直角坐標系，即可得出對應坐標．
【詳解】（1）解：如圖，以森林秘境為原點建立直角坐標系，
由景區示意圖可知，山地公園在森林秘境的正南方向，距離；

（2）解：由（1）直角坐標系可知，狀元碼頭的坐標為、綬溪水街的坐標．
【點睛】本題考查了方位、坐標與圖形，根據題意正確建立直角坐標系是解題關鍵．
【變式訓練6-6】如果下面每個小正方形的對角線長，請按要求填一填，畫一畫．

(1)學校的位置用數對表示是 （ ， ）；公園的位置是，請在圖中標出公園的位置；
(2)學校東偏北方向處是小橋，請在圖中標出小橋的位置；
(3)公園位于小橋的 偏 方向上，距離是 ．
【答案】(1)，圖見解析；
(2)圖見解析；
(3)東，南（或南，東），．
【分析】本題考查了學生對數對位置的掌握與應用．
（1）從圖上即可得出學校的位置；
（2）根據題干描述在圖上標出小橋的位置即可；
（3）從第二小題得到的圖上，即可判斷出公園位于小橋位置．
【詳解】（1）解：學校的位置用數對表示是，公園的位置是如圖：

（2）解：∵小橋在學校東偏北方向處，
∴用數對表示小橋的位置為：，如圖：

（3）解：如圖可知，

則公園位于小橋的東偏南或南偏東方向上，距離是．
題型七：點坐標規律探索
【經典例題7】如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，，，動點P從點A出發，以每秒2個單位的速度按逆時針方向沿四邊形的邊做環繞運動：另一動點Q從點C出發，以每秒3個單位的速度按順時針方向沿四邊形的邊做環繞運動，則第2024次相遇點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查點坐標規律探索、行程問題中的相遇問題，通過計算找到坐標變化規律是解答的關鍵．根據坐標與圖形可得四邊形的各邊長，結合點P、Q的速度求得兩點相遇點的坐標，找出坐標變化規律即可求解．
【詳解】解：∵點，，，，
∴，，
∴四邊形的周長為，
由題意，經過1秒時，兩點在點處相遇，隨后，兩點走的路程和是10的倍數時，兩點相遇，相鄰兩次相遇間隔時間為（秒），
∴第二次相遇點是邊的中點；
第三次相遇點是點；
第四次相遇點為點；
第五次相遇點為點，
第六次相遇點為點，……，
由此發現，每五次相遇點重合一次，
∵，
∴第2024次相遇點與第四次相遇點重合，即，
故選：B．
【變式訓練7-1】如圖，在平面直角坐標系中，一只瓢蟲從點A出發以2個單位長度/秒的速度沿循環爬行，第2024秒瓢蟲在（ ）處．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了點的坐標規律探索，能夠找到規律是解題關鍵．
根據坐標可知，，求出循環爬行一周用時秒，然后計算，根據余數可確定最后的位置．
【詳解】解：∵，
∴，，
∵一只瓢蟲從點A出發以2個單位長度/秒的速度沿循環爬行，
∴爬行一周所需的時間為：秒，
∵，
∴在第2023秒時，瓢蟲在點，
∴到第2024秒時，瓢蟲從點往點跑了秒鐘，即跑了2個單位長度，
故在第2024秒時，瓢蟲的坐標為，
故選：A．
【變式訓練7-2】如圖，在平面直角坐標系中，每個最小方格的邊長均為1個單位長，，，，…，均在格點上，其順序按圖中“→”方向排列，如：，，，，，，….根據這個規律，點 的坐標為 ．
【答案】
【分析】本題考查平面直角坐標系當中點的規律，正確找出平面直角坐標系當中點的規律是解題的關鍵．
根據各個點的位置關系，可得出下標為4的倍數的點在第四象限的角平分線上，由圖可知，被4除余1的點在第三象限的角平分線的點上，再根據第三象限內點的符號得出答案即可．
【詳解】解：∵，，，，，，…，
∴下標為4的倍數的點在第四象限的角平分線上，被4除余1的點在第三象限的角平分線的直線上，
由規律可得，，即點在第三象限的角平分線的直線上，
∴點，
故答案為：．
【變式訓練7-3】如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點O出發，沿著箭頭所示方向，每次移動1個單位，依次得到點…，則點的坐標是 ．
【答案】
【分析】本題考查了點的坐標規律探索問題，旨在考查學生的抽象概括能力，由題意可得的坐標為，的坐標為，據此即可求解．
【詳解】解：由題意可知：的坐標為，的坐標為
∵
∴點的坐標是，即
故答案為：
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4.2.2平面直角坐標系（二）六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：坐標系中描點
【經典例題1】已知：，，
(1)在坐標系中描出各點，畫出 ABC；
(2)求 ABC的面積；
(3)設點P在y軸上，且與 ABC的面積相等，直接寫出點P的坐標．
【變式訓練1-1】在平面直角坐標系中
(1)在圖中描出，，；
(2)連接、、，試判斷 ABC的形狀；
(3)求 ABC的面積．
【變式訓練1-2】（1）畫平面直角坐標系中，并描出下列各點：，，，；
（2）連接，，，，求四邊形的面積．
【變式訓練1-3】在平面直角坐標系中，已知三角形三個頂點的坐標分別為，，．
(1)在圖中的平面直角坐標系中畫出三角形；
(2)若在上，且軸，求的值．
【變式訓練1-4】已知，，，四個點．
(1)在圖中描出四個點，順次連接；
(2)直接寫出線段之間的關系；
(3)在y軸上是否存在點，使若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由．
【變式訓練1-5】在平面直角坐標系中，點M的坐標為，點A的坐標為，點B的坐標為．
(1)若點M在y軸上，求點M的坐標：
(2)在平面直角坐標系中描出點A和點B；
(3)連接A、B、O三點，求三角形的面積．
題型二：坐標與圖形
【經典例題2】如圖，在平面直角坐標系中，，點C在第一象限，，求點C的坐標．
【變式訓練2-1】如圖，在平面直角坐標系中，正方形的邊與軸正方向的夾角為，且點的橫坐標為2．
(1)求正方形的面積；
(2)寫出點、點、點的坐標，并說明理由．
【變式訓練2-2】如圖,,,點、,則點的坐標是
【變式訓練2-3】如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，，，則點的坐標是 ．
【變式訓練2-4】如圖， ABC中，，，，線段上有一點P（不含端點），連接，動點M從A點出發，沿線段以每秒1個單位長度的速度運動到點P，再沿線段以每秒個單位長度的速度運動到點C后停止，當點M在整個運動過程中用時最少時，點P的坐標是 ．
【變式訓練2-5】在平面直角坐標系中，三角形的面積為3，三個頂點的坐標分別為，，，且a，b均為負整數，點C在如圖所示的網格中，則點C的坐標是 ．
題型三：實際問題中用坐標表示位置
【經典例題3】在中國象棋棋盤的部分示意圖上建立如圖所示的平面直角坐標系，“車”所在位置的坐標為，則“炮”所在位置的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-1】已知，，若白棋A 飛掛后，黑棋C 尖頂，黑棋C 的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】2023年12月16日，“橫跨”花溪、南明、云巖和烏當四區的貴陽地鐵3號線正式開通運營．“北京路”是其中的一個換乘站，若以“北京路”為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，若用表示“噴水池”，則可以表示“貴陽一中”的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-3】2025年第九屆亞洲冬季運動會將在哈爾濱舉行．如圖是本屆亞冬會的會徽“超越”，將其放在平面直角坐標系中，若A，C兩點的坐標分別為，，則點B的坐標為 ．
【變式訓練3-4】如圖是一組密碼的一部分，為了保密，不同情況采用不同的密碼，請你運用所學知識找到破譯的“鑰匙”．目前，已破譯出“怕方溫”的真實意思是“都是水”．破譯后“再青都”的真實意思是“ ”．
【變式訓練3-5】我國水墨畫發展有著悠遠歷史，相傳始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以來續有發展，重于意境優美，圖為水墨畫“早有蜻蜓立上頭”，若將其放在平面直角坐標系中，點，，則點C坐標為 ．
【變式訓練3-6】如圖所示，一個小正方形網格的邊長表示．A同學上學時從家中出發，先向東走，再向北走就到達學校．
(1)以學校為坐標原點，向東為x軸正方向，向北為y軸正方向，在圖中建立平面直角坐標系；
(2)B同學家的坐標是；
(3)在你所建的平面直角坐標系中，如果C同學家的坐標為，請你在圖中描出表示C同學家的點．
題型四：用方位角和距離確定物體的位置
【經典例題4】北京時間2023年12月18日23時59分，甘肅臨夏州積石山縣發生6.2級地震，震源深度10公里．以下能夠準確表示這次地震震中位置的是（ ）
A．北緯 B．東經
C．甘肅西南方向 D．北緯，東經
【變式訓練4-1】如圖，食堂在教室的北偏西，的位置，那么教室在食堂的 的位置．
【變式訓練4-2】一艘船在處遇險后向相距位于處的救生船報警．用方向和距離描述救生船相對于遇險船的位置為（北偏東，），救生船接到報警后準備前往救援，請用方向和距離描述遇險船相對于救生船的位置 ．
【變式訓練4-3】某軍事行動中，對軍隊部署的方位，采用鐘代碼的方式來表示．例如，北偏東方向45千米的位置，與鐘面相結合，以鐘面圓心為基準，時針指向北偏東的時刻是2時，那么這個地點就用代碼020045來表示，按這種表示的方式，南偏西方向66千米的位置，可用代碼表示為 ．

【變式訓練4-4】如圖，雷達探測器測得六個目標A，B，C，D，E，F出現，按照規定的目標表示方法，目標C，F的位置表示為，．
(1)按照此方法表示目標A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______；
(2)若目標C的實際位置是北偏西距觀測站，目標F的實際位置是南偏西距觀測站，寫出目標A，B，D，E的實際位置；
(3)若另有目標G在東南方向距觀測站處，目標H在南偏東距觀測站處，寫出G，H的位置表示．
【變式訓練4-5】“四大街、八小巷，七十二條綿綿巷．”形象地反映出大同城方正的街巷棋盤格局．傳統的棋盤式里坊格局，是大同古城顯著的城市風格和特色．如圖是古城內部分建筑物的平面示意圖．若魁星樓的坐標為，純陽宮的坐標為．
(1)請你根據題目條件在圖中畫出平面直角坐標系，并寫出關帝廟的坐標；
(2)若華嚴寺的坐標為，太平樓的坐標為，請在圖中標出華嚴寺和太平樓的位置；
(3)如圖，純陽宮與九龍獄的圖上距離為個單位長度，如果1個單位長度表示140米，請你用方向和距離描述純陽宮相對于九龍獄的位置；反過來如何用方向和距離描述九龍獄相對于純陽宮的位置．
題型五：根據方位描述確定物體的位置
【經典例題5】某同學要從學校回家，所有道路的方向是向西或向北，若他的路線是．則陰影部分覆蓋的數對可以是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-1】如圖為小麗使用微信與小紅的對話記錄，據圖中兩個人的對話記錄，若下列有一種走法能從銀泰城出發走到小紅家，此走法為（ ）
A．向北直走100米，再向東直走700米 B．向北直走300米，再向西直走400米
C．向北直走400米，再向東直走300米 D．向北直走700米，再向西直走100米
【變式訓練6-2】107路公交車線路運行圖如下：
(1)107路公交車從起始站出發，向______行______到達農場，再向______偏______ ______度方向行______到達公園．
(2)由市民廣場向______方向行______到達政府大樓，再向______偏______ ______度方向行________到達體育館．
(3)107路公交車從體育館向南偏東的方向行到達終點站．請在圖中畫出終點站的位置．
【變式訓練6-3】如圖，以學校為參照點，分別寫出商場、書店、游泳館和車站的位置．
【變式訓練6-4】如圖，杭州亞運會數字火炬手和吉祥物瓊琮、宸宸、蓮蓮在的方格每小格邊長為上沿著網格線運動數字火炬手從處出發去尋找、、處的吉祥物，規定：向上向右走為正，向下向左走為負，如果從到記為：，從到記為：，其中第一個數表示左右方向，第二個數表示上下方向，那么圖中：
(1)______，______；______，______； ______；
(2)若數字火炬手的行走路線為，則數字火炬手走過的路程為______m；
(3)若數字火炬手從處去尋找最后一棒火炬手汪順的行走路線依次為，，，，請在圖中標出最后一棒火炬手汪順的位置點．
【變式訓練6-5】七（1）班同學到綬溪公園開展勞動實踐活動，李想和陳臻根據景區示意圖描述延壽橋的位置，圖中小正方形的邊長表示．
李想：“延壽橋在森林秘境西北方向約處．”
陳臻：“我通過建立平面直角坐標系，得到延壽橋的坐標是．

(1)根據信息畫出平面直角坐標系；并用方位和距離描述山地公園相對于森林秘境的位置．
(2)寫出公園內狀元碼頭、綬溪水街的坐標．
【變式訓練6-6】如果下面每個小正方形的對角線長，請按要求填一填，畫一畫．

(1)學校的位置用數對表示是 （ ， ）；公園的位置是，請在圖中標出公園的位置；
(2)學校東偏北方向處是小橋，請在圖中標出小橋的位置；
(3)公園位于小橋的 偏 方向上，距離是 ．
題型七：點坐標規律探索
【經典例題7】如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，，，動點P從點A出發，以每秒2個單位的速度按逆時針方向沿四邊形的邊做環繞運動：另一動點Q從點C出發，以每秒3個單位的速度按順時針方向沿四邊形的邊做環繞運動，則第2024次相遇點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練7-1】如圖，在平面直角坐標系中，一只瓢蟲從點A出發以2個單位長度/秒的速度沿循環爬行，第2024秒瓢蟲在（ ）處．
A． B． C． D．
【變式訓練7-2】如圖，在平面直角坐標系中，每個最小方格的邊長均為1個單位長，，，，…，均在格點上，其順序按圖中“→”方向排列，如：，，，，，，….根據這個規律，點 的坐標為 ．
【變式訓練7-3】如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點O出發，沿著箭頭所示方向，每次移動1個單位，依次得到點…，則點的坐標是 ．
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