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第01講 函數的概念及其表示
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 3
高頻考點一：函數的概念 3
高頻考點二：函數定義域 5
角度1：具體函數的定義域 5
角度2：抽象函數定義域 5
角度3：已知定義域求參數 5
高頻考點三：函數解析式 6
角度1：湊配法求解析式（注意定義域） 6
角度2：換元法求解析式（換元必換范圍） 6
角度3：待定系數法 7
角度4：方程組消去法 7
高頻考點四：分段函數 8
角度1：分段函數求值 8
角度2：已知分段函數的值求參數 9
角度3：分段函數求值域（最值） 9
高頻考點五：函數的值域 10
角度1：二次函數求值域 10
角度2：分式型函數求值域 10
角度3：根式型函數求值域 10
角度4：根據值域求參數 11
第四部分：典型易錯題型 12
備注：求函數解析式容易忽略定義域 12
備注：抽象函數定義域問題容易忽視了，單獨一個“”的取值范圍叫定義域 12
第五部分：新定義題（解答題） 12
第一部分：基礎知識
1、函數的概念
設、是兩個非空數集，如果按照某種確定的對應關系，使對于集合中的任意一個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么稱為從集合到集合的一個函數，記作，.
其中：叫做自變量，的取值范圍叫做函數的定義域
與的值相對應的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域．
2、同一（相等）函數
函數的三要素：定義域、值域和對應關系．
同一（相等）函數：如果兩個函數的定義和對應關系完全一致，則這兩個函數相等，這是判斷兩函數相等的依據．
3、函數的表示
函數的三種表示法
解析法（最常用） 圖象法（解題助手） 列表法
就是把變量，之間的關系用一個關系式來表示，通過關系式可以由的值求出的值. 就是把，之間的關系繪制成圖象，圖象上每個點的坐標就是相應的變量，的值. 就是將變量，的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關系.
4、分段函數
若函數在其定義域內，對于定義域內的不同取值區間，有著不同的對應關系，這樣的函數通常叫做分段函數．
5、高頻考點結論
5.1函數的定義域是使函數解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數定義域的要求為：
(1)分式型函數：分母不等于零.
(2)偶次根型函數：被開方數大于或等于0.
(3)一次函數、二次函數的定義域均為
(4)的定義域是.
(5)(且)，，的定義域均為.
(6)(且)的定義域為.
(7)的定義域為.
5.2函數求值域
（1）分離常數法：
將形如()的函數分離常數，變形過程為：
，再結合的取值范圍確定的取值范圍，從而確定函數的值域.
（2）換元法：
如：函數，可以令，得到，函數
可以化為()，接下來求解關于t的二次函數的值域問題，求解過程中要注意t的取值范圍的限制．
（3）基本不等式法和對勾函數
（4）單調性法
（5）求導法
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·北京·統考高考真題）已知函數，則 ．
2．（2022·北京·統考高考真題）設函數若存在最小值，則a的一個取值為 ；a的最大值為 ．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：函數的概念
典型例題
例題1．（2024上·福建福州·高一福建省福清第一中學校考階段練習）下列四個圖形中，不是以為自變量的函數的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024上·四川瀘州·高一統考期末）托馬斯說：“函數是近代數學思想之花”根據函數的概念判斷：下列對應關系是集合到集合的函數的是（ ）
A． B． C． D．
練透核心考點
1．（2024上·海南省直轄縣級單位·高三校考階段練習）已知函數的對應關系如下表所示，函數的圖象是如下圖所示，則的值為（ ）
1 2 3
4 3
A． B．0 C．3 D．4
2．（多選）（2024上·陜西安康·高一校考期末）下列各圖中，是函數圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
高頻考點二：函數定義域
角度1：具體函數的定義域
典型例題
例題1．（2024下·河南·高一信陽高中校聯考開學考試）函數的定義域為（ ）
A．且 B． C． D．
例題2．（2024上·北京東城·高三統考期末）函數的定義域為 .
角度2：抽象函數定義域
典型例題
例題1．（2024上·江蘇徐州·高三沛縣湖西中學學業考試）已知函數的定義域是，則的定義域是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學校聯考期末）若冪函數的圖象過點，則的定義域是（ ）
A． B． C． D．
角度3：已知定義域求參數
典型例題
例題1．（2024上·吉林通化·高三校考階段練習）已知函數的定義域是R，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024·全國·高三專題練習）若函數的定義域為，則的值為 ．
練透核心考點
1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024上·山西長治·高一校聯考期末）函數的定義域為 .
3．（2024·全國·高三專題練習）若函數的定義域為，則實數a的取值范圍為 .
4．（2024·全國·高三專題練習）函數的定義域為，則實數的值為 ．
高頻考點三：函數解析式
角度1：湊配法求解析式（注意定義域）
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知，則函數 ，= ．
例題2．（2024上·重慶長壽·高一重慶市長壽中學校校聯考期末）已知（a，b均為常數），且．
(1)求函數的解析式；
角度2：換元法求解析式（換元必換范圍）
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知函數，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024·全國·高三專題練習）已知，求的解析式.
角度3：待定系數法
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知函數是一次函數，且，則（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
例題2．（2024·江蘇·高一專題練習）設二次函數滿足，且，求的解析式.
角度4：方程組消去法
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知滿足，則解析式為 ．
例題2．（2024·江蘇·高一專題練習）已知，求函數的解析式．
練透核心考點
1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知函數，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江蘇·高一專題練習）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·全國·高三專題練習）若函數滿足方程且，則：
（1） ；（2） ．
4．（2024·全國·高三專題練習）已知定義域為R的函數滿足，則 .
5．（2024·江蘇·高一專題練習）求下列函數的解析式
(1)設函數是一次函數，且滿足，求的解析式
(2)設滿足，求的解析式
6．（2024·江蘇·高一專題練習）（1）已知是一次函數，且滿足，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
高頻考點四：分段函數
角度1：分段函數求值
典型例題
例題1．（2024上·江西南昌·高一校聯考期末）已知函數，，則（ ）
A． B． C． D．0
例題2．（2024上·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學校考期末）已知函數，則 ．
角度2：已知分段函數的值求參數
典型例題
例題1．（2024·全國·高三專題練習）已知函數且，則（ ）
A．-16 B．16 C．26 D．27
例題2．（2024上·江蘇常州·高三統考期末）已知函數若，則實數的值為 ．
角度3：分段函數求值域（最值）
典型例題
例題1．（2024上·河南南陽·高一校聯考期末）函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024上·四川達州·高一統考期末）已知函數，則的最大值是（ ）
A．60 B．58 C．56 D．52
練透核心考點
1．（2024上·云南大理·高一統考期末）已知，，則函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陜西西安·統考一模）已知函數，則（ ）
A． B． C． D．2
例題1．（2024·全國·高一假期作業）函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）已知函數.
(1)求的解析式；
(2)求的值域.
角度4：根據值域求參數
典型例題
例題1．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實驗學校校考一模）已知函數，若的值域為，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024·上海·高一假期作業）已知，若函數的值域為，則實數的取值范圍為 .
例題3．（2024上·廣東深圳·高一深圳市高級中學校考期末）已知函數的值域為，則實數的取值范圍為 ．
練透核心考點
1．（2024上·廣東廣州·高二廣東實驗中學校聯考期末）函數的最大值是（ ）
A． B． C． D．4
2．（2024·全國·高三專題練習）已知函數若的值域為,則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·高三專題練習）世界公認的三大著名數學家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數學王子”美譽的高斯提出了取整函數，表示不超過x的最大整數，例如．已知，，則函數的值域為 ．
4．（2024·全國·高三專題練習）函數的值域是或，則此函數的定義域為 .
5．（2024·全國·高三專題練習）求函數的值域為 .
6．（2024·全國·高三專題練習）已知函數的值域為，則常數 ．
7．（2024·江蘇·高一假期作業）求下列函數的值域.
(1)
(2)
第四部分：典型易錯題型
備注：求函數解析式容易忽略定義域
1．（2023上·廣東佛山·高一校考期中）已知函數，則函數的解析式為 ．
2．（2023上·江蘇鹽城·高一校考期中）若函數，則 ．
備注：抽象函數定義域問題容易忽視了，單獨一個“”的取值范圍叫定義域
1．（2023上·湖北咸寧·高一校考階段練習）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·江西贛州·高一江西省信豐中學校考階段練習）若函數的定義域是，則函數的定義域是 .
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·重慶·高一校聯考期末）已知函數的定義域為，若存在實數，使得，都滿足，則稱函數為“三倍函數”.
(1)判斷函數是否為“三倍函數”，并說明理由；
(2)若函數，為“三倍函數”，求的取值范圍.
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第01講 函數的概念及其表示
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 4
高頻考點一：函數的概念 4
高頻考點二：函數定義域 6
角度1：具體函數的定義域 6
角度2：抽象函數定義域 6
角度3：已知定義域求參數 7
高頻考點三：函數解析式 9
角度1：湊配法求解析式（注意定義域） 9
角度2：換元法求解析式（換元必換范圍） 10
角度3：待定系數法 11
角度4：方程組消去法 12
高頻考點四：分段函數 15
角度1：分段函數求值 15
角度2：已知分段函數的值求參數 16
角度3：分段函數求值域（最值） 17
高頻考點五：函數的值域 20
角度1：二次函數求值域 20
角度2：分式型函數求值域 21
角度3：根式型函數求值域 22
角度4：根據值域求參數 23
第四部分：典型易錯題型 27
備注：求函數解析式容易忽略定義域 27
備注：抽象函數定義域問題容易忽視了，單獨一個“”的取值范圍叫定義域 28
第五部分：新定義題（解答題） 29
第一部分：基礎知識
1、函數的概念
設、是兩個非空數集，如果按照某種確定的對應關系，使對于集合中的任意一個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么稱為從集合到集合的一個函數，記作，.
其中：叫做自變量，的取值范圍叫做函數的定義域
與的值相對應的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域．
2、同一（相等）函數
函數的三要素：定義域、值域和對應關系．
同一（相等）函數：如果兩個函數的定義和對應關系完全一致，則這兩個函數相等，這是判斷兩函數相等的依據．
3、函數的表示
函數的三種表示法
解析法（最常用） 圖象法（解題助手） 列表法
就是把變量，之間的關系用一個關系式來表示，通過關系式可以由的值求出的值. 就是把，之間的關系繪制成圖象，圖象上每個點的坐標就是相應的變量，的值. 就是將變量，的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關系.
4、分段函數
若函數在其定義域內，對于定義域內的不同取值區間，有著不同的對應關系，這樣的函數通常叫做分段函數．
5、高頻考點結論
5.1函數的定義域是使函數解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數定義域的要求為：
(1)分式型函數：分母不等于零.
(2)偶次根型函數：被開方數大于或等于0.
(3)一次函數、二次函數的定義域均為
(4)的定義域是.
(5)(且)，，的定義域均為.
(6)(且)的定義域為.
(7)的定義域為.
5.2函數求值域
（1）分離常數法：
將形如()的函數分離常數，變形過程為：
，再結合的取值范圍確定的取值范圍，從而確定函數的值域.
（2）換元法：
如：函數，可以令，得到，函數
可以化為()，接下來求解關于t的二次函數的值域問題，求解過程中要注意t的取值范圍的限制．
（3）基本不等式法和對勾函數
（4）單調性法
（5）求導法
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·北京·統考高考真題）已知函數，則 ．
【答案】1
【分析】根據給定條件，把代入，利用指數、對數運算計算作答.
【詳解】函數，所以.
故答案為：1
2．（2022·北京·統考高考真題）設函數若存在最小值，則a的一個取值為 ；a的最大值為 ．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【分析】根據分段函數中的函數的單調性進行分類討論，可知，符合條件，不符合條件，時函數沒有最小值，故的最小值只能取的最小值，根據定義域討論可知或， 解得 .
【詳解】解：若時，，∴；
若時，當時，單調遞增，當時，，故沒有最小值，不符合題目要求；
若時，
當時，單調遞減，，
當時，
∴或，
解得，
綜上可得；
故答案為：0（答案不唯一），1
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：函數的概念
典型例題
例題1．（2024上·福建福州·高一福建省福清第一中學校考階段練習）下列四個圖形中，不是以為自變量的函數的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據函數定義作出判斷.
【詳解】根據函數定義，在定義域內，對于任意的，只能有唯一確定的與其對應，ABC滿足要求，
D選項，在定義域內對于，有兩個確定的與其對應，D錯誤.
故選：D
例題2．（2024上·四川瀘州·高一統考期末）托馬斯說：“函數是近代數學思想之花”根據函數的概念判斷：下列對應關系是集合到集合的函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，利用函數的定義，逐項判斷即可.
【詳解】對于A，集合中的元素按對應關系，在集合中沒有元素與之對應，A不是；
對于B，集合中的元素按對應關系，在集合中沒有元素與之對應，B不是；
對于C，集合中的每個元素按對應關系，在集合中都有唯一元素與之對應，C是；
對于D，集合中的元素按對應關系，在集合中沒有元素與之對應，D不是.
故選：C
練透核心考點
1．（2024上·海南省直轄縣級單位·高三校考階段練習）已知函數的對應關系如下表所示，函數的圖象是如下圖所示，則的值為（ ）
1 2 3
4 3
A． B．0 C．3 D．4
【答案】D
【分析】觀察函數圖象得，再利用數表求解即得.
【詳解】觀察函數的圖象，得，由數表得，
所以.
故選：D
2．（多選）（2024上·陜西安康·高一校考期末）下列各圖中，是函數圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根據函數的定義判斷即可.
【詳解】根據函數的定義，對于定義域內的每一個值都有唯一的一個值與之對應，
可看出BD滿足.
故選：BD
高頻考點二：函數定義域
角度1：具體函數的定義域
典型例題
例題1．（2024下·河南·高一信陽高中校聯考開學考試）函數的定義域為（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】C
【分析】可直接求出函數的定義域進行判斷.
【詳解】由題得，解得，即函數的定義域為.
故選：
例題2．（2024上·北京東城·高三統考期末）函數的定義域為 .
【答案】
【分析】根據分式的分母不為，對數的真數大于求解即可.
【詳解】，
解得且，
函數的定義域為.
故答案為：.
角度2：抽象函數定義域
典型例題
例題1．（2024上·江蘇徐州·高三沛縣湖西中學學業考試）已知函數的定義域是，則的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據抽象函數的定義域可得滿足，結合根式的意義即可求解.
【詳解】因為函數的定義域為，
所以滿足，即，
又，即，
所以，解得.
所以函數的定義域為.
故選：D.
例題2．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學校聯考期末）若冪函數的圖象過點，則的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設，根據冪函數的圖象過點求出的值，即可求出的定義域，再根據抽象函數的定義域計算規則得到，解得即可.
【詳解】設，依題意可得，解得，所以，
所以的定義域為，值域為，且，
對于函數，則，解得，
即函數的定義域是.
故選：B
角度3：已知定義域求參數
典型例題
例題1．（2024上·吉林通化·高三校考階段練習）已知函數的定義域是R，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，建立恒成立的不等式，再分類討論求解作答.
【詳解】依題意，，不等式恒成立，
當時，恒成立，則，
當時，有，解得，則，因此
所以的取值范圍是
例題2．（2024·全國·高三專題練習）若函數的定義域為，則的值為 ．
【答案】
【分析】由定義域得一元二次不等式的解，從而由二次不等式的性質可得參數值．
【詳解】由題意的解是，
所以，解得，，所以．
故答案為：．
練透核心考點
1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據題意得到，再解不等式組即可.
【詳解】根據題意可得，解得且．
故選：C
.
故選：C
2．（2024上·山西長治·高一校聯考期末）函數的定義域為 .
【答案】
【分析】根據根號下部分大于等于0建立不等式求解即可.
【詳解】令，則或，解得或，
所以函數的定義域為.
故答案為：
3．（2024·全國·高三專題練習）若函數的定義域為，則實數a的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據題意轉化為在恒成立，結合一元二次方程的性質，列出不等式，即可求解.
【詳解】由函數的定義域為，即在恒成立，
結合一元二次方程的性質，則滿足，解得，
所以實數的取值范圍為.
故答案為：
4．（2024·全國·高三專題練習）函數的定義域為，則實數的值為 ．
【答案】
【分析】函數定義域滿足，根據解集結合根與系數的關系解得答案.
【詳解】的定義域滿足：，解集為，
故且，解得.
故答案為：
高頻考點三：函數解析式
角度1：湊配法求解析式（注意定義域）
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知，則函數 ，= ．
【答案】 11
【分析】利用換元法可求出，進一步可得.
【詳解】令，則，
所以，所以，
所以.
故答案為：；.
例題2．（2024上·重慶長壽·高一重慶市長壽中學校校聯考期末）已知（a，b均為常數），且．
(1)求函數的解析式；
【答案】(1)
【分析】（1）由，代入函數解析式求出，得函數的解析式；
【詳解】（1）由，得，即，
由，
可得解得
所以
角度2：換元法求解析式（換元必換范圍）
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知函數，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據換元法求函數解析式.
【詳解】令，可得.
所以，
因此的解析式為.
故選：D.
例題2．（2024·全國·高三專題練習）已知，求的解析式.
【答案】
【分析】令，則，代入函數解析式可得解.
【詳解】由，令，則，
所以，
所以.
【點睛】本題主要考查了已知的解析式求解析式的求解，解題的關鍵是換元法，但是需要主要定義域的變化，屬于基礎題
角度3：待定系數法
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知函數是一次函數，且，則（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【答案】A
【分析】設，根據恒成立可得a，b，然后可解.
【詳解】設，
則，
整理得，
所以，解，
所以，所以.
故選：A
例題2．（2024·江蘇·高一專題練習）設二次函數滿足，且，求的解析式.
【答案】
【分析】根據題意設，由求出c，由可求得，即可得答案.
【詳解】設二次函數為，
因為，所以，所以，
又因為，
即，
所以，解得：，
所以函數解析式為.
角度4：方程組消去法
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知滿足，則解析式為 ．
【答案】
【分析】用代得出一個式子，利用方程思想求解函數解析式.
【詳解】由 ①
用代可得， ②
由①②可得：
故答案為：
例題2．（2024·江蘇·高一專題練習）已知，求函數的解析式．
【答案】
【分析】通過構造方程組的方法來求得的解析式.
【詳解】①，
以替換，得②，
得：，
所以.
練透核心考點
1．（2024·江蘇·高一專題練習）已知函數，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據條件，通過配湊即可求出結果.
【詳解】因為，
所以.
故選：D.
2．（2024·江蘇·高一專題練習）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用換元法直接求解即可.
【詳解】令，，則，，
所以，
所以的解析式為：
故選：B.
3．（2024·全國·高三專題練習）若函數滿足方程且，則：
（1） ；（2） ．
【答案】
【分析】令可得；用替換，再解方程組可得答案.
【詳解】令可得：，所以；
由①得，②，
聯立①②可得：.
故答案為：①；②.
4．（2024·全國·高三專題練習）已知定義域為R的函數滿足，則 .
【答案】
【解析】由題意利用方程思想求得函數的解析式即可.
【詳解】因為，
所以，
同除以2得，
兩式相加可得，即.
故答案為：.
【點睛】求函數解析式常用方法：
(1)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)，可用待定系數法；
(2)換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；
(3)方程法：已知關于f(x)與或f(－x)的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．
5．（2024·江蘇·高一專題練習）求下列函數的解析式
(1)設函數是一次函數，且滿足，求的解析式
(2)設滿足，求的解析式
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用待定系數法求函數解析式；
（2）利用消元法求函數解析式.
【詳解】（1）設一次函數的解析式為，
則，
所以，解得，或，
所以或.
（2）由①，
得②，
①②得，
即.
6．（2024·江蘇·高一專題練習）（1）已知是一次函數，且滿足，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）設出，根據題目條件得到方程組，求出，，得到函數解析式；
（2）換元法求出函數解析式，注意自變量取值范圍.
【詳解】（1）由題意，設函數為，
，
，
即，由恒等式性質，得，
，，
所求函數解析式為
（2）令，則，，
因為，所以，
所以.
高頻考點四：分段函數
角度1：分段函數求值
典型例題
例題1．（2024上·江西南昌·高一校聯考期末）已知函數，，則（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】由題意首先將代入得的值，進一步將代入即可求解.
【詳解】由題意，解得，
所以.
故選：C.
例題2．（2024上·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學校考期末）已知函數，則 ．
【答案】
【分析】由，從而可求解.
【詳解】由題意知當，，則，
所以.
故答案為：.
角度2：已知分段函數的值求參數
典型例題
例題1．（2024·全國·高三專題練習）已知函數且，則（ ）
A．-16 B．16 C．26 D．27
【答案】C
【分析】根據函數解析式，結合指數對數運算性質分類討論進行求解即可.
【詳解】當時，，
當時，，
所以，
故選：C
例題2．（2024上·江蘇常州·高三統考期末）已知函數若，則實數的值為 ．
【答案】
【分析】利用分段函數求解即可.
【詳解】，，．
故答案為：
角度3：分段函數求值域（最值）
典型例題
例題1．（2024上·河南南陽·高一校聯考期末）函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】法一，根據題意，分別求出當時與當時的最值，即可得到分段函數的值域；法二，畫出的草圖，數形結合可求出值域；
【詳解】法一：因為且，
所以當時，，當時，；
當時，，
所以函數的最小值為，最大值為3，故函數的值域為.
法二：畫出的草圖，如圖所示，由圖象可知函數的最小值為，最大值為3，故函數的值域為.

故選：D
例題2．（2024上·四川達州·高一統考期末）已知函數，則的最大值是（ ）
A．60 B．58 C．56 D．52
【答案】C
【分析】分和兩種情況討論，結合二次函數和反比例函數的性質即可得解.
【詳解】當時，，
此時，
當時，在上單調遞減，
此時，
綜上所述，.
故選：C.
練透核心考點
1．（2024上·云南大理·高一統考期末）已知，，則函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先得到，再作出其圖象求解.
【詳解】解：由題意得：，
其圖象，如圖所示：

由圖象知：函數y的值域為，
故選：A
2．（2024·陜西西安·統考一模）已知函數，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根據給定的分段函數，依次代入計算即得.
【詳解】函數，則，
所以.
故選：A
3．（多選）（2024上·山東濟寧·高一統考期末）已知，若，則所有可能的值是（ ）
A．－1 B． C．1 D．
【答案】BD
【分析】利用函數的解析式，結合指數、對數運算可求得結果.
【詳解】由已知可得
或或，
解得，或.
故選：BD
4．（2024·全國·模擬預測）函數的值域為 ．
【答案】
【分析】分別計算出分段函數每段函數取值范圍后取并集即可得.
【詳解】當時，，
當時，，
所以的值域為．
故答案為：.
高頻考點五：函數的值域
角度1：二次函數求值域
典型例題
例題1．（2024上·上海·高一校考期末）函數，的最小值是 .
【答案】
【分析】根據二次函數的單調性進行求解即可.
【詳解】因為的圖象開口向上，對稱軸為，
又，所以的最小值是.
故答案為：.
例題2．（2024上·湖南衡陽·高一統考期末）已知二次函數滿足．
(1)求的解析式．
(2)求在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，則，利用換元法代入可求得的解析式；
（2）由（1）可得函數的解析式，結合二次函數的性質分析可得答案.
【詳解】（1）令，則，
，∴.
（2）因為，
所以的圖象對稱軸為，在上遞減，在上遞增，
∴，，
即的值域為.
角度2：分式型函數求值域
典型例題
例題1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）函數的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先分離常數，再確定分式函數值域，最后確定整個函數的值域.
【詳解】，
而由函數向右平移3個單位得到，
所以得值域和的值域相同，都為，
所以得值域為，
故選：B
例題2．（2024上·上海·高一上海中學校考期末）函數的值域是 ．
【答案】
【分析】利用分離常數項整理化簡函數解析式，根據指數函數的性質以及不等式性質，可得答案.
【詳解】由題意可知，函數，
由，，或，則或，
即函數值域為.
故答案為：
角度3：根式型函數求值域
典型例題
例題1．（2024·全國·高一假期作業）函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，，可得，利用函數單調性求值域.
【詳解】令，，則，
所以函數，函數在上單調遞增，
時，有最小值，
所以函數的值域為.
故選：C
例題2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）已知函數.
(1)求的解析式；
(2)求的值域.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）換元法求解析式；
（2）求復合函數的值域，先由內層二次函數配方法求值域，再由冪函數的性質可得函數值域.
【詳解】（1）令，則，
所以，
故.
（2）由（1）知，
設，圖象開口向上，
由，
，的值域為，
令，則的值域即函數的值域，
由函數在單調遞增，則，的值域為.
故的值域為.
角度4：根據值域求參數
典型例題
例題1．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實驗學校校考一模）已知函數，若的值域為，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助的值域為可得要取遍所有的正數，對進行分類討論即可得.
【詳解】若函數的值域為，則要取遍所有的正數．
所以或，解得，
即實數的取值范圍是.
故選：A．
例題2．（2024·上海·高一假期作業）已知，若函數的值域為，則實數的取值范圍為 .
【答案】
【分析】分類討論，在時由可得．
【詳解】時，不合題意，
因此且，∴，
故答案為：．
例題3．（2024上·廣東深圳·高一深圳市高級中學校考期末）已知函數的值域為，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】先求解出時的值域，然后根據分類討論時的值域，由此確定出的取值范圍.
【詳解】當時，，此時，
當且時，，
此時，且，所以不滿足；
當且時，，
由對勾函數單調性可知在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，此時，
若要滿足的值域為，只需要，解得；
當且時，因為均在上單調遞增，
所以在上單調遞增，且時，，時，，
所以此時，此時顯然能滿足的值域為；
綜上可知，的取值范圍是，
故答案為：.
練透核心考點
1．（2024上·廣東廣州·高二廣東實驗中學校聯考期末）函數的最大值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】設，根據輔助角公式，結合三角函數的性質求解.
【詳解】由，解得，故的定義域為.
設，
則，
其中，，
∵，則，
∴當，即時，
取最大值，即函數的最大值是.
故選：B.
2．（2024·全國·高三專題練習）已知函數若的值域為,則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分別畫出分段函數對應的兩個函數圖象，再對實數的取值進行分類討論即可.
【詳解】根據題意可得，在同一坐標系下分別畫出函數和的圖象如下圖所示：
由圖可知，當或時，兩圖象相交，
若的值域是，以實數為分界點，可進行如下分類討論：
當時，顯然兩圖象之間不連續，即值域不為；
同理當,值域也不是；
當時，兩圖象相接或者有重合的部分，此時值域是；
綜上可知，實數的取值范圍是.
故選：B
3．（2024·全國·高三專題練習）世界公認的三大著名數學家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數學王子”美譽的高斯提出了取整函數，表示不超過x的最大整數，例如．已知，，則函數的值域為 ．
【答案】
【分析】根據題意，將變形，分析其取值范圍，結合取整函數定義，分析得到答案.
【詳解】根據題意，設，
則，
當時，，所以，即，所以，此時的取值為1；
當時，，所以，即，所以，此時的取值為；
綜上，的值域為，
故答案為：.
4．（2024·全國·高三專題練習）函數的值域是或，則此函數的定義域為 .
【答案】
【分析】利用反函數,可將原函數化為,(其中或),求出的值域即得的定義域.
【詳解】，其中或，
當時,是減函數,此時，
當時,是減函數,此時，
∴函數的定義域為.
故答案為：.
5．（2024·全國·高三專題練習）求函數的值域為 .
【答案】
【分析】通過換元，配方，將原函數轉化為二次函數頂點式的形式，要注意的是原函數是給定定義域的，要在定義域內求值域.
【詳解】令，則，
容易看出，該函數轉化為一個開口向下的二次函數，對稱軸為，
，所以該函數在時取到最大值，當時，函數取得最小值，
所以函數值域為.
故答案為：
6．（2024·全國·高三專題練習）已知函數的值域為，則常數 ．
【答案】7或
【詳解】因為，所以，
，即，
因為函數的值域為，
所以是方程的兩個根，
所以，，
解得或，所以7或.
故答案為：7或.
7．（2024·江蘇·高一假期作業）求下列函數的值域.
(1)
(2)
【答案】(1)
備注：抽象函數定義域問題容易忽視了，單獨一個“”的取值范圍叫定義域
1．（2023上·湖北咸寧·高一校考階段練習）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據條件先求解出的定義域，然后結合分式分母不、對數的真數大于列出關于的不等式組，由此求解出的定義域.
【詳解】依題意，函數的定義域為，
所以，即函數的定義域為，
所以在函數中有，解得，
所以的定義域為，
故選：A.
2．（2023上·江西贛州·高一江西省信豐中學校考階段練習）若函數的定義域是，則函數的定義域是 .
【答案】
【分析】應用求解抽象函數的定義域的方法求出的定義域，和的解集，即可求解.
【詳解】由題意得函數的定義域是，
令，所以，即，解得，
由，解得或，
所以函數的定義域為.
故答案為：.
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·重慶·高一校聯考期末）已知函數的定義域為，若存在實數，使得，都滿足，則稱函數為“三倍函數”.
(1)判斷函數是否為“三倍函數”，并說明理由；
(2)若函數，為“三倍函數”，求的取值范圍.
【答案】(1)不是“三倍函數”，理由見解析
(2)
【分析】（1）假設是“三倍函數”，得到，從而得以判斷；
（2）變換得到，的值域是，根據值域關系排除的情況，得到，分析可得，從而得解.
【詳解】（1）不是“三倍函數”，理由如下：
因為，，
假設是“三倍函數”，
則存在實數，使得，都滿足，
即，即，
因為的值域為，的值域為，不滿足條件，
故函數不是“三倍函數”.
（2）因為，為“三倍函數”，
所以存在，，都，有，
即，
當時，的值域是，
則在的值域包含，
當時，，則，
若，即，則，，
此時值域的區間長度不超過，而區間長度為，不滿足題意；
于是，即，，
要使在的值域包含，
則在的最小值至少要小于等于，
又時，在上單調遞減且，
故有，解得，
此時取，的值域是，
而，，故在的值域包含，滿足題意；
所以的取值范圍是.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是將題目的新定義問題，轉化為函數的值域的包含問題，從而得解.
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