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第01講 導數的概念及運算
目錄
第一部分：基礎知識 2
第二部分：高考真題回顧 4
第三部分：高頻考點一遍過 4
高頻考點一：導數的概念 4
高頻考點二：導數的運算 5
高頻考點三：求切線方程（在型） 6
高頻考點四：求切線方程（過型） 6
高頻考點五：已知切線方程（或斜率）求參數 7
高頻考點六：導數與函數圖象 8
高頻考點七：公切線問題 10
高頻考點八：與切線有關的轉化問題 11
高頻考點九：已知切線條數求參數 12
第四部分：典型易錯題型 13
備注：求導時分子公式記錯 13
備注：復合函數求導容易誤用求導法則 13
備注：求切線時“過型”容易誤把已知點直接當切點 13
第一部分：基礎知識
1、平均變化率
（1）變化率
事物的變化率是相關的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值.
（2）平均變化率
一般地，函數在區間上的平均變化率為：.
（3）如何求函數的平均變化率
求函數的平均變化率通常用“兩步”法：
①作差：求出和
②作商：對所求得的差作商，即.
2、導數的概念
（1）定義：函數在處瞬時變化率是，我們稱它為函數在處的導數,記作.
（2）定義法求導數步驟：
求函數的增量：；
求平均變化率：；
求極限，得導數：.
3、導數的幾何意義
函數在點處的導數的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，即.
4、基本初等函數的導數公式
基本初等函數 導數
(為常數)
()
()
(，)
5、導數的運算法則
若，存在，則有
（1）
（2）
（3）
6、復合函數求導
復合函數的導數和函數，的導數間的關系為，即對的導數等于對的導數與對的導數的乘積．
7、曲線的切線問題
（1）在型求切線方程
已知：函數的解析式.計算：函數在或者處的切線方程.
步驟：第一步：計算切點的縱坐標（方法：把代入原函數中），切點.
第二步：計算切線斜率.
第三步：計算切線方程.切線過切點，切線斜率。
根據直線的點斜式方程得到切線方程：.
（2）過型求切線方程
已知：函數的解析式.計算：過點（無論該點是否在上）的切線方程.
步驟：第一步：設切點
第二步：計算切線斜率；計算切線斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：計算切線方程.根據直線的點斜式方程得到切線方程：.
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·甲卷文）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：導數的概念
典型例題
例題1．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習）設函數在處存在導數為2，則（ ）
A．2 B．1 C． D．4
例題2．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習）已知函數，則等于（ ）
A．1 B．
C． D．0
練透核心考點
1．（23-24高二上·浙江金華·期末）如果函數在處的導數為1，那么（ ）
A．1 B． C． D．
2．（23-24高二上·云南昭通·期末）設函數在處存在導數為2，則（ ）
A．2 B．1 C． D．6
高頻考點二：導數的運算
典型例題
例題1．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習）函數的導函數為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（多選）（23-24高二下·河南·開學考試）下列求導數運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（23-24高二下·湖北黃岡·階段練習）求下列函數的導數：
(1)；
(2)
(3) ；
練透核心考點
1．（多選）（23-24高二下·四川遂寧·階段練習）下列結論中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
2．（多選）（23-24高二下·河北·開學考試）下列求導運算正確的是（ ）
A．若，則 B．
C． D．
高頻考點三：求切線方程（在型）
典型例題
例題1．（23-24高二下·廣西·開學考試）曲線在點處的切線的斜率為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
例題2．（23-24高二下·重慶九龍坡·階段練習）函數的圖象在點處的切線方程的斜率為 ．
例題3．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知函數，若曲線在點處的切線與直線平行，則 .
練透核心考點
1．（23-24高二下·上海·階段練習）已知、為實數，函數在處的切線方程為，則的值 .
2．（23-24高二上·福建南平·期末）已知函數在處的切線為，則直線的方程為 .
3．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函數，則函數在點處切線方程為 ．
高頻考點四：求切線方程（過型）
典型例題
例題1．（2024高二下·全國·專題練習）已知曲線方程為，則過點且與曲線相切的直線方程為 .
例題2．（23-24高二下·江西·階段練習）已知函數，點在曲線上.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求曲線過點的切線方程.
例題3．（23-24高二下·河北邢臺·階段練習）已知函數的圖像在點處的切線與直線平行．
(1)求在上的最值；
(2)求經過點，并與曲線相切的直線的方程．
練透核心考點
1．（2024高二下·全國·專題練習）曲線過點的切線方程為 .
2．（2024高二下·上海·專題練習）已知函數.
(1)求函數的最小值；
(2)求函數過點的切線；
3．（23-24高二下·四川成都·階段練習）已知曲線，求
(1)曲線過點的切線方程；
(2)曲線平行于直線的切線方程.
高頻考點五：已知切線方程（或斜率）求參數
典型例題
例題1．（2024·福建漳州·一模）若曲線在點處的切線方程為，則（ ）
A．3 B． C．0 D．1
例題2．（22-23高三上·全國·階段練習）若函數在點處的切線的斜率為1，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
練透核心考點
1．（23-24高三下·廣東·階段練習）已知函數在點處的切線與直線垂直，則的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2024·陜西西安·模擬預測）若直線與曲線相切，則切點的橫坐標為 ．
高頻考點六：導數與函數圖象
典型例題
例題1．（23-24高二下·湖北黃岡·期中）函數f (x)的圖象如圖所示，下列數值排序正確的是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（23-24高二下·北京懷柔·期中）如圖，函數的圖象在點處的切線是，方程為，則 （ ）

A． B． C． D．
例題3．（多選）（23-24高二下·全國·課時練習）如圖顯示物體甲、乙在時間到范圍內路程的變化情況，下列說法正確的是（ ）
A．在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在到范圍內，甲的平均速度等于乙的平均速度
C．在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在到范圍內，甲的平均速度小于乙的平均速度
練透核心考點
1．（23-24高二下·湖北·階段練習）函數的圖象如圖所示，則下列不等關系中正確的是（ ）

A． B．
C． D．
練透核心考點
1．（23-24高二下·湖南·期中）已知函數，．若經過點存在一條直線l與曲線和都相切，則（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
2．（23-24高二下·河南洛陽·階段練習）若曲線與曲線：=有公切線，則實數的最大值為（ ）
A．+ B．- C．+ D．
3．（2023·重慶·模擬預測）已知函數，若這兩個函數的圖象在公共點處有相同的切線，則 ．
高頻考點八：與切線有關的轉化問題
典型例題
例題1．（23-24高二下·江蘇揚州·階段練習）已知實數，，，滿足，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例題2．（2024·陜西西安·二模）若，，則的最小值為（ ）
A． B．6 C．8 D．12
例題3．（2024·安徽合肥·一模）已知點，定義為的“鏡像距離”.若點在曲線上，且的最小值為2，則實數的值為 .
練透核心考點
1．（23-24高三下·四川巴中·階段練習）實數滿足，,的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三·全國·專題練習）已知點為函數的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．
3．（23-24高三上·貴州黔東南·階段練習）已知點P在函數的圖象上，點Q在函數的圖象上，則的最小值為 .
高頻考點九：已知切線條數求參數
典型例題
例題1．（23-24高三下·重慶·階段練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高二上·廣東深圳·期末）過點可以做三條直線與曲線相切，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（多選）（2024高三·全國·專題練習）已知，若過點可以作曲線的三條切線，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
練透核心考點
1．（23-24高三上·內蒙古錫林郭勒盟·期末）若過點可以作三條直線與曲線相切，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·遼寧·期末）若過點可以作曲線的兩條切線，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·全國·專題練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則的取值范圍為 .
第四部分：典型易錯題型
備注：求導時分子公式記錯
1．（22-23高二·全國·隨堂練習）求下列函數的導數：
(1)；(2)；(3)；
備注：復合函數求導容易誤用求導法則
1．（23-24高二上·全國·課時練習）函數的導數為（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23高二下·寧夏銀川·階段練習）下列求導運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
備注：求切線時“過型”容易誤把已知點直接當切點
1．（23-24高二下·重慶渝北·階段練習）已知函數，過點作該函數曲線的切線，則該切線方程為（ ）．
A． B．
C． D．
2．（23-24高三下·山東德州·開學考試）過點與曲線相切的直線與軸的交點坐標為 .21世紀教育網(www.21cnjy.com)
第01講 導數的概念及運算
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 4
高頻考點一：導數的概念 4
高頻考點二：導數的運算 5
高頻考點三：求切線方程（在型） 8
高頻考點四：求切線方程（過型） 10
高頻考點五：已知切線方程（或斜率）求參數 14
高頻考點六：導數與函數圖象 16
高頻考點七：公切線問題 19
高頻考點八：與切線有關的轉化問題 23
高頻考點九：已知切線條數求參數 27
第四部分：典型易錯題型 31
備注：求導時分子公式記錯 31
備注：復合函數求導容易誤用求導法則 32
備注：求切線時“過型”容易誤把已知點直接當切點 33
第一部分：基礎知識
1、平均變化率
（1）變化率
事物的變化率是相關的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值.
（2）平均變化率
一般地，函數在區間上的平均變化率為：.
（3）如何求函數的平均變化率
求函數的平均變化率通常用“兩步”法：
①作差：求出和
②作商：對所求得的差作商，即.
2、導數的概念
（1）定義：函數在處瞬時變化率是，我們稱它為函數在處的導數,記作.
（2）定義法求導數步驟：
求函數的增量：；
求平均變化率：；
求極限，得導數：.
3、導數的幾何意義
函數在點處的導數的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，即.
4、基本初等函數的導數公式
基本初等函數 導數
(為常數)
()
()
(，)
5、導數的運算法則
若，存在，則有
（1）
（2）
（3）
6、復合函數求導
復合函數的導數和函數，的導數間的關系為，即對的導數等于對的導數與對的導數的乘積．
7、曲線的切線問題
（1）在型求切線方程
已知：函數的解析式.計算：函數在或者處的切線方程.
步驟：第一步：計算切點的縱坐標（方法：把代入原函數中），切點.
第二步：計算切線斜率.
第三步：計算切線方程.切線過切點，切線斜率。
根據直線的點斜式方程得到切線方程：.
（2）過型求切線方程
已知：函數的解析式.計算：過點（無論該點是否在上）的切線方程.
步驟：第一步：設切點
第二步：計算切線斜率；計算切線斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：計算切線方程.根據直線的點斜式方程得到切線方程：.
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·甲卷文）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由切點設切線方程，再求函數的導數，把切點的橫坐標代入導數得到切線的斜率，代入所設方程即可求解.
【詳解】設曲線在點處的切線方程為，
因為，
所以，
所以
所以
所以曲線在點處的切線方程為.
故選：C
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：導數的概念
典型例題
例題1．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習）設函數在處存在導數為2，則（ ）
A．2 B．1 C． D．4
【答案】D
【分析】
利用導數的極限定義計算可得.
【詳解】由導數的定義可知，.
故選：D.
例題2．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習）已知函數，則等于（ ）
A．1 B．
C． D．0
【答案】B
【分析】
利用求導法則結合導數定義求解即可.
【詳解】由得，所以，
所以
故選：B
練透核心考點
1．（23-24高二上·浙江金華·期末）如果函數在處的導數為1，那么（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據導數的定義可直接得到答案.
【詳解】因為函數在處的導數為1，
根據導數的定義可知，
故選：A.
2．（23-24高二上·云南昭通·期末）設函數在處存在導數為2，則（ ）
A．2 B．1 C． D．6
【答案】B
【分析】
由導數的概念求解.
【詳解】由已知有，
則.
故選：B
高頻考點二：導數的運算
典型例題
例題1．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習）函數的導函數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
借助導數的運算法則計算即可得.
【詳解】.
故選：B.
例題2．（多選）（23-24高二下·河南·開學考試）下列求導數運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
根據導數的運算法則依次判斷即可.
【詳解】
對于A，，故A錯誤；
對于B，由指數函數求導公式可得，故B正確；
對于，故C正確；
對于，故D正確.
故選：BCD.
例題3．（23-24高二下·湖北黃岡·階段練習）求下列函數的導數：
(1)；
(2)
(3) ；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）（2）（3）根據復合函數的導數公式和導數運算法則運算即可．
【詳解】（1）=
（2）因為y=ln=，
所以··=.
（3）
練透核心考點
1．（多選）（23-24高二下·四川遂寧·階段練習）下列結論中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】ABC
【分析】
根據簡單復合函數的求導法則計算可得.
【詳解】對于A：，則，故A正確；
對于B：，則，故B正確；
對于C：，則，故C正確；
對于D：，則，故D錯誤；
故選：ABC
2．（多選）（23-24高二下·河北·開學考試）下列求導運算正確的是（ ）
A．若，則 B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
根據求導公式依次判定選項即可得到答案.
【詳解】
對于A，若，則，故A正確；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D錯誤．
故選：AC
高頻考點三：求切線方程（在型）
典型例題
例題1．（23-24高二下·廣西·開學考試）曲線在點處的切線的斜率為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】求函數在處的導數即可.
【詳解】
因為，
所以
曲線在點處的切線的斜率為．
故選：B
例題2．（23-24高二下·重慶九龍坡·階段練習）函數的圖象在點處的切線方程的斜率為 ．
【答案】
【分析】
求導后借助導數的幾何意義計算即可得.
【詳解】，則.
故答案為：.
例題3．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知函數，若曲線在點處的切線與直線平行，則 .
【答案】6
【分析】
求導得切線斜率，利用直線平行求解即可.
【詳解】由題意知，所以，解得.
故答案為：6.
練透核心考點
1．（23-24高二下·上海·階段練習）已知、為實數，函數在處的切線方程為，則的值 .
【答案】21
【分析】
求導，點斜式得到直線方程，對應項相等得.
【詳解】
由，得，
則，又，則切線方程為，
即
，得
故答案為：21.
2．（23-24高二上·福建南平·期末）已知函數在處的切線為，則直線的方程為 .
【答案】
【分析】
分別求得即可代入求解.
【詳解】因為，，從而，
所以函數在處的切線為的方程為：，即.
故答案為：.
3．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函數，則函數在點處切線方程為 ．
【答案】
【分析】
求導，求出斜率，寫出切線方程.
【詳解】由已知，
則，又，
所以切線方程為，
即.
故答案為：.
高頻考點四：求切線方程（過型）
典型例題
例題1．（2024高二下·全國·專題練習）已知曲線方程為，則過點且與曲線相切的直線方程為 .
【答案】
【分析】由導數的定義以及幾何意義得切線斜率，由此即可得解.
【詳解】因為，
又點在曲線上，
所以，∴所求切線的斜率，
故所求切線的方程為，即.故答案為：
例題2．（23-24高二下·江西·階段練習）已知函數，點在曲線上.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求曲線過點的切線方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】
（1）由已知條件求出的值，求出的值，利用導數的幾何意義可得出所求切線的方程；
（2）設切點坐標為，利用導數的幾何意義寫出切線方程，將點的坐標代入切線方程，求出的值，即可得出所求切線的方程.
【詳解】（1）解：因為函數，點在曲線，則，所以，，
所以，，則，
因此，曲線在點處的切線方程為，即.
（2）解：設切點坐標為，則，
所以，曲線在點處的切線方程為，即，
將點的坐標代入切線方程可得，解得或，
當時，所求切線方程為；
當時，所求切線方程為.
綜上所述，曲線過點的切線方程為或.
例題3．（23-24高二下·河北邢臺·階段練習）已知函數的圖像在點處的切線與直線平行．
(1)求在上的最值；
(2)求經過點，并與曲線相切的直線的方程．
【答案】(1)，
(2)
【分析】
（1）根據題意，由導數的幾何意義即可求得，然后求得的極值，即可得到最值；
（2）根據題意，由導數的幾何意義，設出切點的坐標，代入計算，即可得到結果.
【詳解】（1）因為，則，
且函數的圖像在點處的切線與直線平行，
則，即，所以.
所以，則，
當時，令，解得，
當時，，則單調遞減，
當時，，則單調遞增，
所以時，有極小值，即最小值，
則，又 ，，
，所以.
（2）由（1）可知，則，
設切點坐標為，則切線斜率，
所以切線方程為，
將點代入，可得，
解得，則切線方程為，
即.
練透核心考點
1．（2024高二下·全國·專題練習）曲線過點的切線方程為 .
【答案】或
【分析】
先利用導數的定義求出，設切線的切點是，則由導數的幾何意義可得切線的斜率為，再由切線過點和，表示出切線的斜率，從而列方程可求出，則可求出斜率，進而可求出切線方程.
【詳解】
，
因為點不在曲線上，
所以設切線的切點是，則切線的斜率，
又切線過點和，
所以，
所以，
化簡得，
因為，所以或.
所以，或，
所以所求切線方程是或，
即或.
故答案為：或.
2．（2024高二下·上海·專題練習）已知函數.
(1)求函數的最小值；
(2)求函數過點的切線；
【答案】(1)
(2)或
【分析】
（1）由題意對求導得函數單調性，由此即可求解；
（2）由題意設出切點，表示出切線方程（含參），從而，，由此可求得，，進一步即可得解.
【詳解】（1）
由題意得，的定義域為，
，
令，解得，或（舍去）；，解得，所以，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以.
（2）設切點為，切線的斜率，
所以，
因為直線過點，所以，又，
解得或，
所以直線方程為或
3．（23-24高二下·四川成都·階段練習）已知曲線，求
(1)曲線過點的切線方程；
(2)曲線平行于直線的切線方程.
【答案】(1)或.
(2)或
【分析】
（1）設出切點，寫出切線方程，代入點，即可求得切線方程.
（2）設出切點，用導數求得切點處切線的斜率與已知直線斜率相等，進而求出切點，寫出切線方程.
【詳解】（1）因為切點在曲線上，所以可設切點為，求導得，
則，則切線方程為，
因為切線過，代入切向方程得：化簡得，
則或
所以曲線過點的切線方程為：或.
（2）直線的斜率為，設切點為，
則由（1）知切線方程為，
則由切線與直線平行得，即或，
所以切線方程為或，
即或
高頻考點五：已知切線方程（或斜率）求參數
典型例題
例題1．（2024·福建漳州·一模）若曲線在點處的切線方程為，則（ ）
A．3 B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】
根據題意結合導數的幾何意義列式求解即可.
【詳解】因為，則，
由題意可得：，解得，所以.
故選：C.
例題2．（22-23高三上·全國·階段練習）若函數在點處的切線的斜率為1，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用導數的幾何意義可得出，利用基本不等式可求得的最大值.
【詳解】由已知，所以，
，得，所以，
當且僅當時等號成立．
故選:C．
練透核心考點
1．（23-24高三下·廣東·階段練習）已知函數在點處的切線與直線垂直，則的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】
根據導數的幾何意義結合基本不等式求解即可.
【詳解】，
因為函數在點處的切線與直線垂直，
所以，即，則不可能同時為負數，
當或時，，
當時，，
當時，，
當且僅當時，取等號，
綜上所述，的最大值為.
故選：A.
2．（2024·陜西西安·模擬預測）若直線與曲線相切，則切點的橫坐標為 ．
【答案】1
【分析】
求出函數的導函數，令，再利用導數說明函數的單調性，由，即可得到方程的解，從而得解.
【詳解】
因為，所以，
設函數，則，
所以在定義域上單調遞增，
因為，所以方程的解為，則所求切點的橫坐標為．
故答案為：
高頻考點六：導數與函數圖象
典型例題
例題1．（23-24高二下·湖北黃岡·期中）函數f (x)的圖象如圖所示，下列數值排序正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由已知函數的圖象，先判斷它的單調性，然后根據函數圖象斜率的變化，從而求解．
【詳解】
觀察函數的圖象知：當時，單調遞增，且當時，，
隨著逐漸增大，函數圖象由陡逐漸變緩，，，，
而（即點B）處切線的傾斜角比（即點A）處的傾斜角小，且均為銳角，
，又是割線AB的斜率，顯然，
所以.
故選：B
例題2．（23-24高二下·北京懷柔·期中）如圖，函數的圖象在點處的切線是，方程為，則 （ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據導數的幾何意義知為處切線的斜率.
【詳解】因為函數的圖象在點處的切線方程為，所以.
故選：A
例題3．（多選）（23-24高二下·全國·課時練習）如圖顯示物體甲、乙在時間到范圍內路程的變化情況，下列說法正確的是（ ）
A．在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在到范圍內，甲的平均速度等于乙的平均速度
C．在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在到范圍內，甲的平均速度小于乙的平均速度
【答案】BC
【分析】根據平均速度的公式結合條件即可判斷.
【詳解】在0到范圍內，甲、乙的平均速度都為，故A錯誤,B正確；
在到范圍內，甲的平均速度為，乙的平均速度為，
因為，，所以，故C正確，D錯誤．
故選：BC．
練透核心考點
1．（23-24高二下·湖北·階段練習）函數的圖象如圖所示，則下列不等關系中正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據導數的幾何意義和割線的斜率可得三者之間的大小關系.
【詳解】
設，由圖可得，
而，
故，
故選：C.
2．（23-24高二下·浙江杭州·期中）如圖，函數的圖象在點處的切線方程是，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依題意可知切點坐標，由切線方程得到，利用導數的概念解出即可.
【詳解】依題意可知切點，
函數的圖象在點處的切線方程是，
，即
又
即
故選：D.
3．（22-23高二下·上海黃浦·期末）已知在區間上，如圖所示的圖像中， 有可能表示函數的圖像.

【答案】①
【分析】利用導數的幾何意義，結合圖形即可得解.
【詳解】因為在區間上，
所以在上，切線的斜率始終大于，僅①滿足．
故答案為：①.
高頻考點七：公切線問題
典型例題
例題1．（23-24高二下·安徽合肥·期中）函數的圖象在點處的切線也是拋物線的切線，則（ ）
A．1 B．3 C．6 D．2
【答案】C
【分析】根據導數得出函數與拋物線在點處的切線的斜率，根據已知兩切線相同即可得出答案.
【詳解】，則，則在點處的切線的斜率為，
，則，則在點處的切線的斜率為，
函數的圖象在點處的切線也是拋物線的切線，
則，即，
故選：C.
例題2．（23-24高二下·安徽六安·階段練習）曲線與曲線的公切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】畫出圖象，從而確定正確選項.
【詳解】畫出以及四個選項中直線的圖象如下圖所示，由圖可知A選項符合.
故選：A
例題3．（23-24高二下·遼寧沈陽·期中）若直線是曲線與曲線的公切線，則 ．
【答案】5
【分析】由直線是曲線的切線求解，可得切線方程，再設直線與曲線的切點，由切點處的導數值等于切線的斜率，且切點處的函數值相等列式求解n，則答案可求．
【詳解】由，得，由，解得，
則直線與曲線相切于點，
∴，得，
∴直線是曲線的切線，
由，得，設切點為，
則，且，聯立可得，
解得，所以．
∴．
故答案為：5．
練透核心考點
1．（23-24高二下·湖南·期中）已知函數，．若經過點存在一條直線l與曲線和都相切，則（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】先求得 在 處的切線方程，然后與聯立，由 求解
【詳解】解析：∵，∴，∴，∴，∴曲線在處的切線方程為，由得，由，解得．
故選：B
2．（23-24高二下·河南洛陽·階段練習）若曲線與曲線：=有公切線，則實數的最大值為（ ）
A．+ B．- C．+ D．
【答案】C
【分析】根據導數的幾何意義求出兩曲線在切點的切線方程，可得，整理得，利用導數研究函數的單調性求出即可得出結果.
【詳解】設在曲線上的切點為，則切線斜率為，
在曲線上的切點為，切線斜率為，
所以切線方程分別為、，
即、，
有，整理得，
設，則，
令，令，
故函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上，如圖，
由圖可知，即k的最大值為.
故選：C.
3．（2023·重慶·模擬預測）已知函數，若這兩個函數的圖象在公共點處有相同的切線，則 ．
【答案】/
【分析】先根據和在公共點處有相同的切線得出在處兩函數的導數相等,再由在上,列方程組求解即可.
【詳解】因為，
所以，，
因為在公共點處有相同的切線，
所以即，
所以
故答案為：
高頻考點八：與切線有關的轉化問題
典型例題
例題1．（23-24高二下·江蘇揚州·階段練習）已知實數，，，滿足，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
將的最小值轉化為直線上的點與函數上的點間距離最小值的平方，由導數的幾何意義求函數的切線，從而得解.
【詳解】由已知，
則，即為直線上的點，
為函數上的點，
則，
設與相切，由，
則，可得，所以切點為，則，
則切點到直線的距離為，
所以最小值為2.
故選：B.
例題2．（2024·陜西西安·二模）若，，則的最小值為（ ）
A． B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】設函數和，轉化為切點到直線的距離為平方，根據導數的幾何意義，求得切點坐標，結合點到直線的距離公式，即可求解.
【詳解】由題意，設函數，直線，
設直線與函數的切點為
可得，可得，解得，可得，
即切點坐標為，則切點到直線的距離為，
又因為表示點到直線的距離為平方，
所以的最小值為.
故選：C.
例題3．（2024·安徽合肥·一模）已知點，定義為的“鏡像距離”.若點在曲線上，且的最小值為2，則實數的值為 .
【答案】/
【分析】依題意求出的反函數，將“鏡像距離”轉化成一對反函數圖象上兩點之間的距離，利用導函數的幾何意義求出切線方程即可求得結果.
【詳解】由函數可得，即；
所以的反函數為；
由點在曲線上可知點在其反函數上，
所以相當于上的點到曲線上點的距離，
即，
利用反函數性質可得與關于對稱，
所以可得當與垂直時，取得最小值為2，
因此兩點到的距離都為1，
過點的切線平行于直線，斜率為1，即，
可得，即；
點到的距離，解得；
當時，與相交，不合題意；
因此.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用反函數性質將“鏡像距離”問題轉化為兩函數圖象上兩點距離的最值問題，再由切線方程可解得參數值.
練透核心考點
1．（23-24高三下·四川巴中·階段練習）實數滿足，,的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據指對結構調整變形已知方程，再構造函數，得到函數零點為0，進而構造函數與，則表示曲線上的點到直線的距離的平方.
【詳解】化簡已知得，
，即，
令，原式化簡為，
令，則，所以在R上單調遞增，
又，所以有唯一零點，所以，此方程有唯一根為0，
即，即，
分別設與，
則表示曲線上的點到直線的距離的平方，
下面求上與平行的切線，
因為，所以，
當時，，解得：，所以切點為，
所以到直線距離為：，
此距離即為曲線上的點到直線的距離的最小值，
所以的最小值為2.
故選：C.
2．（2023高三·全國·專題練習）已知點為函數的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】由圓的對稱性可得，只需考慮圓心到函數圖象上一點的距離的最小值.設圖象上一點，利用導數幾何意義可得，利用導數解得，從而可求解.
【詳解】
由圓的對稱性可得只需考慮圓心到函數圖象上一點的距離的最小值．
設圖象上一點，令圖象上一點的切線為
由的導數為，即切線的斜率為，
當時，圓心到函數圖象上一點的距離最小，
此時，即有，
由，可得，遞增，又，
所以，，
所以點到點的距離最小，且為，
則線段的長度的最小值為，
故選：A．
3．（23-24高三上·貴州黔東南·階段練習）已知點P在函數的圖象上，點Q在函數的圖象上，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據函數在某點處的切線斜率，利用兩點間距離，兩直線位置關系，結合圖象，可得答案.
【詳解】
由函數，求導可得：，則，
在處的切線方程為，整理可得：；
由函數，求導可得：，則，
在處的切線方程為，整理可得；
由直線的斜率，易知：直線分別與兩條切線垂直..
故答案為：.
高頻考點九：已知切線條數求參數
典型例題
例題1．（23-24高三下·重慶·階段練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設切點坐標為，由切點坐標求出切線方程，代入坐標，關于的方程有兩個不同的實數解，變形后轉化為直線與函數圖象有兩個交點，構造新函數由導數確定函數的圖象后可得.
【詳解】設切點坐標為，由于，因此切線方程為，
又切線過點，則，，
設，函數定義域是，
則直線與曲線有兩個不同的交點，，
當時，恒成立，在定義域內單調遞增，不合題意；
當時，時，，單調遞減，
時，，單調遞增，所以，
結合圖象可知，即.
故選：A.

例題2．（23-24高二上·廣東深圳·期末）過點可以做三條直線與曲線相切，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
設切點坐標，寫出切線方程，過點，代入化簡得，將問題轉化為該方程有三個不等實根，結合導函數討論單調性數形結合求解.
【詳解】設切點為，∵，∴，
∴M處的切線斜率，則過點P的切線方程為，
代入點的坐標，化簡得，
∵過點可以作三條直線與曲線相切，
∴方程有三個不等實根.
令，求導得到，
可知在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，
如圖所示，
故，即.
故選：A.
【點睛】
關鍵點點睛：本題考查導數的幾何意義，求切線方程，關鍵點在于將問題轉化為方程的根的問題，根據方程的根的個數，求解參數的取值范圍，考查導函數的綜合應用，涉及等價轉化，數形結合思想，屬于中檔題.
例題3．（多選）（2024高三·全國·專題練習）已知，若過點可以作曲線的三條切線，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
設切點為，利用導數的幾何意義求出切線方程，即可得到，令，利用導數說明函數的單調性，求出函數的極值，依題意有三個零點，則且，從而得到不等關系.
【詳解】
設切點為，切線方程為，由，可知，所以，
即切線的斜率，所以切線方程為，
所以，所以，
令，則，
因為，所以當或時，，當時，，
所以在和上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，取得極大值，當時，取得極小值，
即，，
依題意有三個零點，
所以且，
即
故選：ABC
練透核心考點
1．（23-24高三上·內蒙古錫林郭勒盟·期末）若過點可以作三條直線與曲線相切，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設出切點，表示出切線方程，將點代入，則關于切點橫坐標的方程有三個實根，通過分離參數，將問題轉化為兩個函數圖象有三個不同交點的問題求解即可．
【詳解】由，得，
設切點為,，過切點的切線方程為，
代入點坐標化簡為，即這個方程有三個不等式實根，
令，求導得到，
由，得，由，得，或，
故函數上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，
故得,結合，，
當時，，時，，
得，
故選：D．

2．（23-24高三上·遼寧·期末）若過點可以作曲線的兩條切線，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】設出切點坐標，根據導數的幾何意義，確定，化簡可得，結合題意有，解不等式即可求出的取值范圍.
【詳解】令，則有，設過點作曲線的切線，
切點為，根據題意有，即，
又，可得，因為，所以上式可化為
，整理有：，因為過點可以作曲線
的兩條切線，所以方程有兩解，所以，即，
解得或.
故選：D
3．（2024高二下·全國·專題練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】
根據切線的求解，將問題轉化為方程有兩解，即可根據判別式求解.
【詳解】
令，則有，設過點作曲線的切線，
切點為，根據題意有，即，
可得.
備注：復合函數求導容易誤用求導法則
1．（23-24高二上·全國·課時練習）函數的導數為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根據復合函數的求導法則以及導數的乘法運算法則求解出原函數的導數.
【詳解】解析：因為，
所以，所以，
故選：B.
2．（22-23高二下·寧夏銀川·階段練習）下列求導運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據導數的運算逐一判斷即可.
【詳解】：，A錯誤，
：，B錯誤，
：，C正確，
：，D錯誤，
故選：C．
備注：求切線時“過型”容易誤把已知點直接當切點
1．（23-24高二下·重慶渝北·階段練習）已知函數，過點作該函數曲線的切線，則該切線方程為（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求出函數的導數，再利用導數的幾何意義求出切線方程作答.
【詳解】函數，求導得：，設切點坐標為，
于是，解得，則，
所以所求切線方程為，即.
故選：D
2．（23-24高三下·山東德州·開學考試）過點與曲線相切的直線與軸的交點坐標為 .
【答案】
【分析】設切點坐標，利用導數求出過切點的切線方程，代入已知點求出，即可求出直線與軸的交點坐標.
【詳解】設切點坐標為，
由，得，
則過切點的切線方程為，
把點代入切線方程得，，即，
因為，而在上單調遞增，在上單調遞減，
所以只有一個解，所以，
所以切線方程的斜率為，
所以切線方程為，令，解得.
故過點與曲線相切的直線與軸的交點坐標為.
故答案為：.
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