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第05講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 2
第三部分：高頻考點一遍過 3
高頻考點一：指數(shù)與指數(shù)冪的運算 3
高頻考點二：指數(shù)函數(shù)的概念 5
高頻考點三：指數(shù)函數(shù)的圖象 7
角度1：判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象 7
角度2：根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象求參數(shù) 8
角度3：指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題 9
角度4：指數(shù)函數(shù)圖象應用 10
高頻考點四：指數(shù)（型）函數(shù)定義域 15
高頻考點五：指數(shù)（型）函數(shù)的值域 17
角度1：指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域 17
角度2：指數(shù)型復合函數(shù)值域 17
角度3：根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域（最值）求參數(shù) 19
高頻考點六：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性 22
角度1：由指數(shù)（型）函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 22
角度2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式 23
高頻考點七：指數(shù)函數(shù)的最值 26
角度1：求已知指數(shù)型函數(shù)的值域 26
角度2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)最值求參數(shù) 27
第四部分：新定義題(解答題） 32
第一部分：基礎知識
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．
（2）性質(zhì)：
①(且)；
②當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，
2、分數(shù)指數(shù)冪
①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；
②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；
③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0；0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．
3、指數(shù)冪的運算性質(zhì)
①；
②；
③.
4、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
（1）指數(shù)函數(shù)的概念
函數(shù)(，且)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，函數(shù)的定義域是．
（2）指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
底數(shù)
圖象
性質(zhì) 定義域為，值域為
圖象過定點
當時，恒有； 當時，恒有 當時，恒有； 當時，恒有
在定義域上為增函數(shù) 在定義域上為減函數(shù)
注意 指數(shù)函數(shù)(，且)的圖象和性質(zhì)與的取值有關，應分與來研究
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）設，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知，則（ ）
A．25 B．5 C． D．
3．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（ ）
A． B．
C． D．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：指數(shù)與指數(shù)冪的運算
典型例題
例題1．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）計算： ．
例題2．（2024上·河南漯河·高一漯河高中期末）計算．
(1)；
(2)．
練透核心考點
1．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）化簡求值.
(1)
(2)
2．（2024上·湖南長沙·高一統(tǒng)考期末）計算下列各式的值：
(1)；
(2).
高頻考點二：指數(shù)函數(shù)的概念
典型例題
例題1．（2024上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考期末）已知指數(shù)函數(shù)且，則（ ）
A．3 B．2 C． D．
例題2．（2024上·云南昆明·高一期末）若指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求的解析式及的值．
練透核心考點
1．（多選）（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·山東棗莊·高一校考期末）若指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則 ．
高頻考點三：指數(shù)函數(shù)的圖象
角度1：判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象
典型例題
例題1．（2024下·浙江溫州·高一浙江省樂清中學校聯(lián)考開學考試）在同一直角坐標系中，函數(shù)與的圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）函數(shù)的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
角度2：根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024·上海·高一專題練習）若函數(shù)的圖象與軸有公共點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（多選）（2024·全國·高一專題練習）函數(shù)的圖象如圖所示，其中為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
角度3：指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題
典型例題
例題1．（2024上·重慶·高一重慶市青木關中學校校考期末）函數(shù)且的定點為 .
例題2．（2024上·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（，且）的圖象恒過定點 ，則 的坐標為 .
角度4：指數(shù)函數(shù)圖象應用
典型例題
例題1．（2024下·四川遂寧·高三射洪中學校考開學考試）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024上·安徽·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)在上的大致圖象為（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（2024上·上海·高一上海南匯中學校考期末）已知函數(shù)的定義域為，值域為，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．2
練透核心考點
1．（2024上·陜西西安·高一西安市鐵一中學校考期末）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．C． D．
2．（多選）（2024上·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）在同一直角坐標系中，函數(shù)與的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多選）（2024上·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)（其中且）的圖象過第一、三、四象限，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（多選）（2024下·全國·高一開學考試）已知函數(shù)（且的圖象如圖所示，則函數(shù)的大致圖象不可能為（ ）
B．
C．D．
5．（2024上·江蘇徐州·高三校考開學考試）函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024上·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過的定點坐標為 .
7．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)，且的圖象恒過定點，點又在冪函數(shù)的圖象上，則 .
高頻考點四：指數(shù)（型）函數(shù)定義域
典型例題
例題1．（2024上·山東威海·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024上·北京·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）函數(shù)的定義域為（ ）
A． B． C． D．
練透核心考點
1．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）函數(shù)的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024上·安徽阜陽·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域為 .
高頻考點五：指數(shù)（型）函數(shù)的值域
角度1：指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域
典型例題
例題1．（2023上·廣西南寧·高一校考期中）函數(shù)的值域是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2023上·上海浦東新·高三上海南匯中學校考階段練習）函數(shù)，的值域為 ．
角度2：指數(shù)型復合函數(shù)值域
典型例題
例題1．（2023上·福建三明·高一校聯(lián)考期中）函數(shù) 在時的值域是 ．
例題2．（2023上·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點.
(1)求實數(shù)的值；
(2)求函數(shù)的定義域和值域.
例題3．（2023上·河南省直轄縣級單位·高一校考階段練習）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與值域.
角度3：根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域（最值）求參數(shù)
典型例題
例題1．（2023下·廣東廣州·高一校考期中）函數(shù)（且）的值域是，則實數(shù)（ ）
A．3 B． C．3或 D．或
例題2．（2023上·全國·高一期末）如果函數(shù) 且在區(qū)間上的最大值是，則的值為（ ）
A．3 B． C． D．3或
練透核心考點
1．（2023上·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·廣東東莞·高一東莞市東莞中學校考期中）函數(shù)的值域為 .
3．（2023上·黑龍江綏化·高三校考階段練習）當時，函數(shù)的值域為 .
4．（2023·江蘇·高一專題練習）已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)的取值范圍為 .
5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若的值域是，求的值．
2．（2024上·陜西渭南·高一校考期末）已知函數(shù)，對于任意兩個不相等的實數(shù)，，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
3．（2024上·新疆烏魯木齊·高一校聯(lián)考期末）不等式的解集為 ．
4．（2024上·山西長治·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為 ．
高頻考點七：指數(shù)函數(shù)的最值
角度1：求已知指數(shù)型函數(shù)的值域
典型例題
例題1．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小值為 .
例題2．（2024上·廣東深圳·高一校考期末）已知定義在上的函數(shù)()
(1)若，求函數(shù)在上的最大值；
(2)若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．
角度2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)最值求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．若函數(shù)的最大值為1，則實數(shù)（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024上·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
角度3：含參指數(shù)（型）函數(shù)最值
典型例題
例題1．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.
(1)當時，求的最小值；
(2)記的最小值為，求的解析式.
練透核心考點
1．（2024上·北京·高三階段練習）若函數(shù)有最小值，則t的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·北京·高一北京市十一學校校考期末）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，則的值是 .
3．（2024上·吉林·高一長春外國語學校校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，.
(1)時，求的值域；
(2)若的最小值為4，求的值.
4．（2023上·江蘇連云港·高一校考階段練習）設函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).
(1)求的值，并判斷的單調(diào)性（不證明）；
(2)若，且在上的最小值為，求的值.
第四部分：新定義題
1．（2023上·上海·高一校考階段練習）對于定義域在上的函數(shù)，定義．設區(qū)間，對于區(qū)間上的任意給定的兩個自變量的值、，當時，總有，則稱是的“函數(shù)”．
(1)判斷函數(shù)是否存在“函數(shù)”，請說明理由；
(2)若非常值函數(shù)是奇函數(shù)，求證：存在“函數(shù)”的充要條件是存在常數(shù)，使得；
(3)若函數(shù)與函數(shù)的定義域都為，且均存在“函數(shù)”，求實數(shù)的值．21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
第05講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 2
第三部分：高頻考點一遍過 3
高頻考點一：指數(shù)與指數(shù)冪的運算 3
高頻考點二：指數(shù)函數(shù)的概念 5
高頻考點三：指數(shù)函數(shù)的圖象 7
角度1：判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象 7
角度2：根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象求參數(shù) 8
角度3：指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題 9
角度4：指數(shù)函數(shù)圖象應用 10
高頻考點四：指數(shù)（型）函數(shù)定義域 15
高頻考點五：指數(shù)（型）函數(shù)的值域 17
角度1：指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域 17
角度2：指數(shù)型復合函數(shù)值域 17
角度3：根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域（最值）求參數(shù) 19
高頻考點六：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性 22
角度1：由指數(shù)（型）函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 22
角度2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式 23
高頻考點七：指數(shù)函數(shù)的最值 26
角度1：求已知指數(shù)型函數(shù)的值域 26
角度2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)最值求參數(shù) 27
第四部分：新定義題（解答題） 32
第一部分：基礎知識
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．
（2）性質(zhì)：
①(且)；
②當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，
2、分數(shù)指數(shù)冪
①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；
②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；
③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0；0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．
3、指數(shù)冪的運算性質(zhì)
①；
②；
③.
4、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
（1）指數(shù)函數(shù)的概念
函數(shù)(，且)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，函數(shù)的定義域是．
（2）指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
底數(shù)
圖象
性質(zhì) 定義域為，值域為
圖象過定點
當時，恒有； 當時，恒有 當時，恒有； 當時，恒有
在定義域上為增函數(shù) 在定義域上為減函數(shù)
注意 指數(shù)函數(shù)(，且)的圖象和性質(zhì)與的取值有關，應分與來研究
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）設，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)對應冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關系即可.
【詳解】由在R上遞增，則，
由在上遞增，則.
所以.
故選：D
2．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知，則（ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，冪的運算性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可解出．
【詳解】因為，，即，所以．
故選：C.
3．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤．
【詳解】，故A錯誤，C正確；
，不是常數(shù)，故BD錯誤；
故選：C．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：指數(shù)與指數(shù)冪的運算
典型例題
例題1．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）計算： ．
【答案】24
【分析】由指數(shù)冪運算和對數(shù)運算可求.
【詳解】．
故答案為：24
例題2．（2024上·河南漯河·高一漯河高中期末）計算．
(1)；
(2)．
【答案】(1)3
(2)2
【分析】（1）利用分數(shù)指數(shù)冪的運算法則計算即可；
（2）先將根式轉(zhuǎn)化為指數(shù)冪，利用指數(shù)的運算法則計算即可.
【詳解】（1）
=；
（2）
.
練透核心考點
1．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）化簡求值.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）利用分數(shù)指數(shù)冪和根式的運算公式，即可化解求值；
（2）利用對數(shù)運算法則和運算公式，化解求值.
【詳解】（1）
；
（2）
.
2．（2024上·湖南長沙·高一統(tǒng)考期末）計算下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則，化簡求值，即得答案；
（2）根據(jù)對數(shù)的運算法則，化簡求值，即得答案；
【詳解】（1）原式.
（2）原式.
高頻考點二：指數(shù)函數(shù)的概念
典型例題
例題1．（2024上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考期末）已知指數(shù)函數(shù)且，則（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)函數(shù)值求出，再求函數(shù)值即可.
【詳解】，
故選：A.
例題2．（2024上·云南昆明·高一期末）若指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求的解析式及的值．
【答案】，
【分析】設，由可求出的值，可得出函數(shù)的解析式，進而可求得的值.
【詳解】解：設指數(shù)函數(shù)，則，解得，
所以，，
故.
練透核心考點
1．（多選）（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義求解.
【詳解】因為函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，
所以，解得或.
故選：AB
2．（2024上·山東棗莊·高一校考期末）若指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則 ．
【答案】/
【分析】采用待定系數(shù)法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)所過點可求得函數(shù)解析式，代入即可.
【詳解】設指數(shù)函數(shù)且，
過點，，解得：，，
.
故答案為：.
高頻考點三：指數(shù)函數(shù)的圖象
角度1：判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象
典型例題
例題1．（2024下·浙江溫州·高一浙江省樂清中學校聯(lián)考開學考試）在同一直角坐標系中，函數(shù)與的圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分和兩種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性進行判斷即可．
【詳解】對于A，B，當時，函數(shù)在R上為單調(diào)遞減函數(shù)；
又，所以在區(qū)間和區(qū)間上單調(diào)遞減，
且當時，，故A和B均錯誤；
對于C，當時，函數(shù)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，
又，所以在區(qū)間和區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯誤，D正確．
故選：D．
例題2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）函數(shù)的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)圖象變換可得函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度得到的，由此可得出結(jié)論
【詳解】因為函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度得到的，
而的圖象過點，且在上是增函數(shù)，
所以的圖象過點，且在上是增函數(shù)，
故選：A
角度2：根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024·上海·高一專題練習）若函數(shù)的圖象與軸有公共點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】與有公共點，轉(zhuǎn)化為與有公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，可得結(jié)果.
【詳解】與有公共點，即與有公共點，圖象如圖
可知
故選：B
【點睛】本題考查了函數(shù)的交點問題，考查了運算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎題目.
例題2．（多選）（2024·全國·高一專題練習）函數(shù)的圖象如圖所示，其中為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)的單調(diào)性確定，由確定.
【詳解】，由圖知為減函數(shù)，故，所以，故A正確C錯誤；
由圖知，所以，故B錯誤D正確.
故選：AD
角度3：指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題
典型例題
例題1．（2024上·重慶·高一重慶市青木關中學校校考期末）函數(shù)且的定點為 .
【答案】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點的性質(zhì)即可確定定點的坐標．
【詳解】因為且，令，得到，此時，
所以函數(shù)的定點為，
故答案為：.
例題2．（2024上·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（，且）的圖象恒過定點 ，則 的坐標為 .
【答案】
【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由函數(shù)可知，當時，，
即函數(shù)圖象恒過點.
故答案為：
角度4：指數(shù)函數(shù)圖象應用
典型例題
例題1．（2024下·四川遂寧·高三射洪中學校考開學考試）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性即可排除CD，由特殊點的函數(shù)值即可排除A.
【詳解】，則的定義域為R，
又，
所以為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故排除CD，
當時，，故排除A.
故選：B.
例題2．（2024上·安徽·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)在上的大致圖象為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定函數(shù)的奇偶性，結(jié)合即可判斷得解.
【詳解】依題意，，因此函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，排除AB；
又，選項C不滿足，D符合題意.
故選：D
例題3．（2024上·上海·高一上海南匯中學校考期末）已知函數(shù)的定義域為，值域為，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象相關性質(zhì)和對數(shù)的運算法則進行計算即可.
【詳解】由題意得，，
作出函數(shù)圖象如圖所示，

令，解得或，
則當，時，取得最大值，
此時.
故選：B
練透核心考點
1．（2024上·陜西西安·高一西安市鐵一中學校考期末）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)奇偶性可知函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合賦值法和排除法即可求解.
【詳解】由題可知，，
所以函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，
又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除A，C；
又，排除B．
故選：D．
2．（多選）（2024上·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）在同一直角坐標系中，函數(shù)與的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】按照、討論，結(jié)合二次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】若，則函數(shù)是R上的增函數(shù)，
函數(shù)的圖象的對稱軸方程為，故A可能，B不可能；
若，則函數(shù)是R上的減函數(shù)，
，函數(shù)的圖象與軸的負半軸相交，對稱軸為，
故C可能，D不可能.
故選：AC.
3．（多選）（2024上·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)（其中且）的圖象過第一、三、四象限，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根據(jù)圖象的性質(zhì)可得：，即可求解.
【詳解】函數(shù)（其中且）的圖象在第一、三、四象限，
根據(jù)圖象的性質(zhì)可得：，
即，
故選：BD.
4．（多選）（2024下·全國·高一開學考試）已知函數(shù)（且的圖象如圖所示，則函數(shù)的大致圖象不可能為（ ）
B．
C．D．
【答案】AD
【分析】由指數(shù)函數(shù)的圖象特征，結(jié)合冪函數(shù)在第一象限的圖象特征可得答案.
【詳解】根據(jù)題意可得，
的圖象是向上平移a個單位得到的，
結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)可知在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
當a為奇數(shù)時，圖象如C選項所示；當a為偶數(shù)時，圖象如B選項所示，
選項A，D不符合題意．
故選：AD.
5．（2024上·江蘇徐州·高三校考開學考試）函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判斷函數(shù)為奇函數(shù)得到選項C錯誤，計算，得到選項D錯誤，根據(jù)時，，選項B錯誤，得到答案.
【詳解】函數(shù)，的定義域關于原點對稱，
，
所以是奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關于原點對稱，選項C錯誤；
因為，所以選項D錯誤；
當時，，選項B錯誤．
故選：A．
6．（2024上·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過的定點坐標為 .
【答案】
【分析】由指數(shù)型函數(shù)的定點問題，令，即可得定點坐標．
【詳解】由函數(shù)（且），
令，得，
所以，
所以函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過的定點坐標為.
故答案為：.
7．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)，且的圖象恒過定點，點又在冪函數(shù)的圖象上，則 .
【答案】4
【分析】由已知求出定點的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法求出，從而可得結(jié)果.
【詳解】由，得，所以定點，
設，又，得，所以，
所以，
故答案為：4.
高頻考點四：指數(shù)（型）函數(shù)定義域
典型例題
例題1．（2024上·山東威海·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次根式的意義可求得原函數(shù)的定義域.
【詳解】對于函數(shù)，有，可得，解得，
因此，函數(shù)的定義域為.
故選：A.
例題2．（2024上·北京·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）函數(shù)的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出不等式，即可求解.
【詳解】由函數(shù)有意義，則滿足，即，解得，
所以函數(shù)的定義域為.
故選：C.
練透核心考點
1．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）函數(shù)的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】函數(shù)的定義域滿足，解得答案.
【詳解】函數(shù)的定義域滿足，解得且.
故答案為：D
2．（2024上·安徽阜陽·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域為 .
【答案】
【分析】根據(jù)偶次根式被開方數(shù)大于等于、中求解出的范圍，則定義域可知.
【詳解】由題意可知，解得且，
故函數(shù)的定義域為．
故答案為：.
高頻考點五：指數(shù)（型）函數(shù)的值域
角度1：指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域
典型例題
例題1．（2023上·廣西南寧·高一校考期中）函數(shù)的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】因為是定義域在上的增函數(shù)．
所以當時，，，
所以的值域為．
故選：C.
例題2．（2023上·上海浦東新·高三上海南匯中學校考階段練習）函數(shù)，的值域為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得正確答案.
【詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
所以值域為.
故答案為：
角度2：指數(shù)型復合函數(shù)值域
典型例題
例題1．（2023上·福建三明·高一校聯(lián)考期中）函數(shù) 在時的值域是 ．
【答案】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)求出值域即得.
【詳解】當時，，函數(shù)，
顯然當，即時，，當，即時，，
所以所求值域是.
故答案為：
例題2．（2023上·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點.
(1)求實數(shù)的值；
(2)求函數(shù)的定義域和值域.
【答案】(1)
(2)R ；
【分析】（1）把已知點代入函數(shù)解析式計算即得；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式只需使分母不等于零，解不等式即得函數(shù)定義域，將函數(shù)式分離常數(shù)成，再從的值域開始，從內(nèi)到外利用不等式性質(zhì)推導出解析式的取值范圍即得值域.
【詳解】（1）將點代入可得：，解得：.
（2）由（1）可得：，要使函數(shù)有意義，須使，而此式恒成立，故函數(shù)的定義域為.
因，當時，，，則，故，即函數(shù)的值域為.
例題3．（2023上·河南省直轄縣級單位·高一校考階段練習）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與值域.
【答案】單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是；值域是
【分析】單調(diào)性根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性同增異減得出，值域根據(jù)換元法得出.
【詳解】函數(shù)，
設.
，
當時，，
，即.
函數(shù)在上的值域是.
又原函數(shù)是由和兩個函數(shù)復合而成，
第一個函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，第二個函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)
函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是.
角度3：根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域（最值）求參數(shù)
典型例題
例題1．（2023下·廣東廣州·高一校考期中）函數(shù)（且）的值域是，則實數(shù)（ ）
A．3 B． C．3或 D．或
【答案】C
【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別對和的情況討論單調(diào)性并求值域，從而列方程組即可得到答案.
【詳解】函數(shù)（且）的值域為，
又由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，值域是
所以有，即 ，解得；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域是
所以有，即 ，解得.
綜上所述，或.
故選：C.
例題2．（2023上·全國·高一期末）如果函數(shù) 且在區(qū)間上的最大值是，則的值為（ ）
A．3 B． C． D．3或
【答案】D
【分析】利用換元法，令，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性及在區(qū)間上的最大值是，求出的值即可.
【詳解】令，則．
當時，因為，所以，
又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，解得（舍去）．
當時，因為，所以，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，
解得（舍去）．
綜上知或．
故選：D.
練透核心考點
1．（2023上·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的值域.
【詳解】函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值為，
最小值為，所以函數(shù)的值域為.
故選：D
2．（2023上·廣東東莞·高一東莞市東莞中學校考期中）函數(shù)的值域為 .
【答案】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.
【詳解】令，因為指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
所以有，而，
因此函數(shù)的值域為.
故答案為：
3．（2023上·黑龍江綏化·高三校考階段練習）當時，函數(shù)的值域為 .
【答案】
【分析】利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】因為，
令，由于，則，
則原函數(shù)可化為，，
當時，取最小值，當時，取最大值，
故，即.
故答案為：
4．（2023·江蘇·高一專題練習）已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】利用函數(shù)的最值求出，通過函數(shù)的值域，求出的取值范圍
【詳解】，則在上遞減，在上遞增，
所以當時，函數(shù)取得最小值0，
由，得或，
所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為時，，
故答案為：
5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若的值域是，求的值．
【答案】0
【分析】利用換元法，令，則，則由題意可知的值域為，從而可求出的值
【詳解】令，則，
因為的值域是，即的值域是，
所以的值域為，
若，則為二次函數(shù)，其值域不可能為，
若，則，其值域為，
所以
高頻考點六：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性
角度1：由指數(shù)（型）函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024下·內(nèi)蒙古赤峰·高三校考開學考試）若函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，以及分段函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
則滿足，解得，
即實數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
例題2．（2024上·湖南湘西·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由題意得：在上單調(diào)遞增，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式即可.
【詳解】由題意得：在上單調(diào)遞增，
所以對稱軸，所以.
故選：B.
角度2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式
典型例題
例題1．（2024上·廣東潮州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析函數(shù)的奇偶性及其在上的單調(diào)性，將所求不等式變形為，解之即可.
【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且，
所以，函數(shù)為偶函數(shù)，
則不等式等價于，
因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，
當時，單調(diào)遞增，
所以，，可得，解得，
故原不等式的解集為.
故選：A.
例題2．（2024上·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則的解集為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得其定義域為，且，
所以為偶函數(shù)，當時，，
可得在上單調(diào)遞增，
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，不等式，即為，
可得，整理得，解得，
所以的解集為．
故答案為：．
練透核心考點
1．（2024·全國·高一專題練習）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)指數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性，可得關于a的不等式，解不等式即可得答案.
【詳解】由題意知函數(shù)由復合而成，
在上為增函數(shù)，由復合函數(shù)的同增異減性，
可知需為R上的增函數(shù)，
故，∴，∴或，
故選：D.
2．（2024上·陜西渭南·高一校考期末）已知函數(shù)，對于任意兩個不相等的實數(shù)，，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】由于對于任意兩個不相等的實數(shù)，，都有成立，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，解得，
所以的取值范圍是.
故答案為：
3．（2024上·新疆烏魯木齊·高一校聯(lián)考期末）不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法求得正確答案.
【詳解】依題意，，即，
由于在上單調(diào)遞增，所以，
，
解得或，所以不等式的解集為.
故答案為：
4．（2024上·山西長治·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性化簡不等式，由此求得不等式的解集.
【詳解】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則由得，解得，即不等式的解集為．
故答案為：
高頻考點七：指數(shù)函數(shù)的最值
角度1：求已知指數(shù)型函數(shù)的值域
典型例題
例題1．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小值為 .
【答案】
【解析】根據(jù)函數(shù)解析式，先令，將問題轉(zhuǎn)為求函數(shù)在上的最值問題，根據(jù)單調(diào)性，即可求解.
【詳解】因為，，
令，則，
所以
令，，
因為指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)都是增函數(shù)，
所以也是增函數(shù)，
所以時，.
故答案為：.
例題2．（2024上·廣東深圳·高一校考期末）已知定義在上的函數(shù)()
(1)若，求函數(shù)在上的最大值；
(2)若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）換元，令，可得，結(jié)合二次函數(shù)求最值；
（2）由，換元令，整理得，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析求解.
【詳解】（1）若，則，
因為，令，
可得的圖象開口向上，對稱軸為，
可知：當時，取得最大值，
所以函數(shù)在上的最大值為8.
（2）因為，
即，
整理得，
令，當且僅當，即時，等號成立，
則，，
則，整理得，
由題意可知：方程在內(nèi)有解，
因為在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，可得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
角度2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)最值求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．若函數(shù)的最大值為1，則實數(shù)（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)的性質(zhì)得出.
【詳解】，令，
則，當時，，解得.
故選：B
例題2．（2024上·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】參變分離可得恒成立，結(jié)合基本不等式求出的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為恒成立，即恒成立，
所以恒成立，又由（當且僅當時取等號），
所以．
故選：A．
角度3：含參指數(shù)（型）函數(shù)最值
典型例題
例題1．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.
(1)當時，求的最小值；
(2)記的最小值為，求的解析式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當時代入，再結(jié)合換元法和二次函數(shù)性質(zhì)即可；
（2）由（1）知，令，，則原函數(shù)可化為，根據(jù)對稱軸與區(qū)間位置關系分情況討論即可求得．
【詳解】（1）設，因為，則，
則，，
當時，，，
∴時，，即當時，.
（2）由（1）知，，
其圖象的對稱軸為．
①當時，在上單調(diào)遞增，所以；
②當時，，
③當時，在上單調(diào)遞減，所以.
綜上，
練透核心考點
1．（2024上·北京·高三階段練習）若函數(shù)有最小值，則t的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設，將轉(zhuǎn)化為關于的函數(shù)，討論開口方向與對稱軸判斷即可.
【詳解】設，則，，有最小值.
當時，二次函數(shù)開口向下，無最小值；
當時，無最小值；
當時，若在上有最小值，則對稱軸，解得.
令，，，
當時，，，在上單調(diào)遞增，
故，
故的值域為；
（2）由（1）得，，對稱軸，
①當時，在上單調(diào)遞增，
，解得；
②當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
無解，舍去；
③當時，在上單調(diào)遞減，
，解得，舍去；
綜上所述，.
4．（2023上·江蘇連云港·高一校考階段練習）設函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).
(1)求的值，并判斷的單調(diào)性（不證明）；
(2)若，且在上的最小值為，求的值.
【答案】(1)，R上單調(diào)遞增；
(2)
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可求的值，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可直接判定的單調(diào)性；
（2）先根據(jù)條件計算，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可.
【詳解】（1）由題意可知，
此時，符合題意，即；
因為均在R上單調(diào)遞增，故在R上單調(diào)遞增；
（2）因為，即
所以
，
令，由（1）可知時，，
則，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，若時，，
若時，，與前提矛盾舍去；
綜上.
第四部分：新定義題
1．（2023上·上海·高一校考階段練習）對于定義域在上的函數(shù)，定義．設區(qū)間，對于區(qū)間上的任意給定的兩個自變量的值、，當時，總有，則稱是的“函數(shù)”．
(1)判斷函數(shù)是否存在“函數(shù)”，請說明理由；
(2)若非常值函數(shù)是奇函數(shù)，求證：存在“函數(shù)”的充要條件是存在常數(shù)，使得；
(3)若函數(shù)與函數(shù)的定義域都為，且均存在“函數(shù)”，求實數(shù)的值．
【答案】(1)不存在“函數(shù)”，理由見解析.
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意，由即可判斷；
（2）根據(jù)題意，由“函數(shù)”的定義，分別驗證其充分性以及必要性，即可證明；
（3）根據(jù)題意，由“函數(shù)”的定義可得，若，均存在“函數(shù)”， 則存在“函數(shù)”，然后代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1），當時，，當時，，
因此，則該函數(shù)不存在“函數(shù)”．
（2）充分性：若，則，
任取，，所以存在“函數(shù)”；
必要性：因為是奇函數(shù)，則，任取，
因為，是一個“函數(shù)”，
所以，則，
當時，則，，
所以，即，
所以，可得，從而有，
即是一個常數(shù)，設為，則.
（3）假設，均存在“函數(shù)”，任取，
則，，
則，
則存在“函數(shù)”，
因此均存在“函數(shù)”，
令，定義域為關于原點對稱，
且，
則是定義在上的奇函數(shù)，
由（2）可知，存在使得恒成立，則，
又時，若函數(shù)與函數(shù)均為“函數(shù)”，符合題意.
綜上可知，.
【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了新定義中“函數(shù)”的概念，以及函數(shù)奇偶性的應用，難度較大，解答本題的關鍵在于利用好題干中“函數(shù)”的定義，以及利用好（2）中的結(jié)論解決（3）中的問題.
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