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第05講 三角函數的圖象與性質
目錄
第一部分：基礎知識 2
第二部分：高考真題回顧 4
第三部分：高頻考點一遍過 5
高頻考點一：三角函數的定義域 5
高頻考點二：三角函數的值域 6
高頻考點三：三角函數的周期性 7
高頻考點四：三角函數的奇偶性 8
高頻考點五：三角函數的對稱性 9
高頻考點六：三角函數的單調性（求三角函數的單調區間） 11
高頻考點七：三角函數的單調性（根據三角函數的單調性比較大小） 12
高頻考點八：三角函數的單調性（根據三角函數的單調性求參數） 13
高頻考點九：三角函數中的求解（的取值范圍與單調性相結合） 14
高頻考點十：三角函數中的求解（的取值范圍與對稱性相結合） 15
高頻考點十一：三角函數中的求解（的取值范圍與三角函數的最值相結合） 16
第四部分：新定義題 17
第一部分：基礎知識
1、正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(下表中)
函數
圖象
定義域
值域
周期性
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
對稱中心
對稱軸方程 無
遞增區間
遞減區間 無
2、三角函數的周期性
函數
周期
函數
周期
函數 () () ()
周期
其它特殊函數，可通過畫圖直觀判斷周期
(1)函數的最小正周期．應特別注意函數的周期為，函數()的最小正周期．
(2)函數的最小正周期．應特別注意函數的周期為．函數()的最小正周期均為．
(3)函數的最小正周期．應特別注意函數|的周期為，函數() 的最小正周期均為．
3、三角函數的奇偶性
三角函數 取何值為奇函數 取何值為偶函數
() ()
() ()
()
(1)函數是奇函數 ()，是偶函數 ()；
(2)函數是奇函數 ()，是偶函數 ()；
(3)函數是奇函數 ()．
4、三角函數的對稱性
(1)函數的圖象的對稱軸由()解得，對稱中心的橫坐標由()解得；
(2)函數的圖象的對稱軸由()解得，對稱中心的橫坐標由()解得；
(3)函數的圖象的對稱中心由)解得．
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·乙卷理）已知函數在區間單調遞增，直線和為函數的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·天津·高考真題）已知函數的圖象關于直線對稱，且的一個周期為4，則的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全國·新課標Ⅰ卷）已知函數在區間有且僅有3個零點，則的取值范圍是 ．
4．（2023·全國·新課標Ⅱ卷）已知函數，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則 ．

5．（2023·北京·高考真題）設函數．
(1)若，求的值．
(2)已知在區間上單調遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區間上單調遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：三角函數的定義域
典型例題
例題1．（2024高三上·河南·專題練習）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高一上·江蘇南通·期中）在內函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期末）求函數的定義域 ．
例題4．（23-24高三上·河南新鄉·階段練習）函數的定義域為 .（用區間表示結果）
練透核心考點
1．（23-24高一下·湖南長沙·開學考試）已知的定義域是，則的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三·全國·專題練習）函數y＝的定義域為 ．
3．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習）函數的定義域為 .
4．（23-24高一上·湖北孝感·期末）函數的定義域為 .
高頻考點二：三角函數的值域
典型例題
例題1．（2024·湖北·二模）已知函數，，則函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高一下·河北承德·階段練習）已知函數的定義域為，值域為，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（23-24高一下·北京·階段練習）設函數．則= ；函數的最小值為 ．
例題4．（23-24高一上·山西陽泉·期末）已知函數．
(1)求的最小正周期及單調遞減區間；
(2)求函數在上的最大值和最小值，并求出取得最值時x的值．
練透核心考點
1．（23-24高一下·江西·階段練習）函數，的值域為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·上海·階段練習）函數的值域為 ．
3．（23-24高三下·浙江·開學考試）函數的值域為 .
4．（23-24高一下·福建莆田·期中）函數，的值域為 ．
高頻考點三：三角函數的周期性
典型例題
例題1．（23-24高一下·北京·期中）函數的最小正周期是（　　）
A．4π B．2π C．π D．
例題2．（23-24高一上·福建廈門·階段練習）以下函數中最小正周期為的個數是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
例題3．（23-24高一下·湖北·開學考試）下列四個函數中以為最小正周期且為奇函數的是（ ）
A． B．
C． D．
例題4．（23-24高一下·北京順義·階段練習）已知函數，那么函數最小正周期為 ；對稱軸方程為 .
練透核心考點
1．（23-24高一上·山東聊城·期末）下列函數中，既是周期函數又是偶函數的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多選）（23-24高一上·湖北武漢·期末）已知下列函數中，最小正周期為的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·四川成都·期末）下列四個函數中，以為最小正周期，且為奇函數的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三下·北京順義·階段練習）已知關于x的函數的圖象關于對稱，則的周期為 ，實數 .
高頻考點四：三角函數的奇偶性
典型例題
例題1．（23-24高三下·安徽·階段練習）已知函數的圖象向右平移個單位長度后，得到函數的圖象.若是偶函數，則為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024·陜西西安·一模）將函數的圖象向左平移m（）個單位，所得圖象關于原點對稱，則m的值可以是（ ）．
A． B．π C． D．
例題3．（23-24高一上·河北邢臺·階段練習）已知函數的圖象關于原點中心對稱，則的最小值為 ．
練透核心考點
1．（23-24高一下·安徽·階段練習）將函數的圖象向右平移個單位長度后，所得函數為奇函數，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）若函數為奇函數，則（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·北京·開學考試）將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，若，則寫出a的一個可能值為 ．
高頻考點五：三角函數的對稱性
典型例題
例題1．（23-24高三下·陜西安康·階段練習）若函數的最小正周期為，則的圖象的一條對稱軸方程為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024·陜西渭南·模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則的圖象的一條對稱軸為（ ）
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
例題3．（23-24高一上·山西長治·期末）函數的圖象的一個對稱中心是（ ）
A． B． C． D．
例題4．（多選）（23-24高一下·河南南陽·階段練習）下列關于函數的說法不正確的是（ ）
A．定義域為 B．最小正周期是
C．圖象關于成中心對稱 D．在定義域上單調遞增
練透核心考點
1．（23-24高一下·云南·階段練習）下列函數中，以點為對稱中心的函數是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·陜西榆林·二模）若函數的圖象關于直線對稱，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南·模擬預測）已知函數滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河北邯鄲·三模）寫出一個，使得函數的圖象關于點對稱，則可以為 ．
高頻考點六：三角函數的單調性（求三角函數的單調區間）
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶銅梁·階段練習）已知函數．
(1)求函數的最小值，并求出函數取得最小值的x的集合．
(2)求函數在上的單調遞增區間．
例題2．（23-24高一上·廣東陽江·期末）已知函數的最小正周期為.
(1)求的值；
(2)求函數的單調遞增區間；
例題3．（22-23高一·全國·課時練習）已知函數，其中，（，），的部分圖像如下圖．
(1)求，，的值；
(2)求的單調增區間，
練透核心考點
1．（21-22高一上·黑龍江佳木斯·期末）已知函數
(1)求函數的最小正周期及在上的最大值和最小值
(2)求函數的單調遞增區間和單調遞減區間
2．（23-24高一上·湖北荊州·期末）已知函數 的圖象關于點 對稱.
(1)求的單調遞增區間;
(2)求不等式 的解集.
3．（2023高一上·全國·專題練習）已知函數.
(1)求它的最小正周期和單調遞減區間；
(2)試比較與的大小.
高頻考點七：三角函數的單調性（根據三角函數的單調性比較大小）
典型例題
例題1．（23-24高一上·湖南張家界·期末）若，，，，則a，b，c，d的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習）設，，，則有（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（多選）（2024高三·全國·專題練習）（多選）下列各式正確的是（ ）
A．tan ＜tan
B．tan 2＞tan 3
C．cos (－)＞cos (－)
D．sin (－)＜sin (－)
練透核心考點
1．（多選）（2024·全國·模擬預測）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多選）（23-24高一上·全國·期末）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一下·北京順義·階段練習）與的大小關系是 （填：“或=”中的一個）.
高頻考點八：三角函數的單調性（根據三角函數的單調性求參數）
典型例題
例題1．（23-24高一下·河北張家口·階段練習）已知函數，若在區間上是單調函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高一下·江西宜春·階段練習）已知函數在上單調遞減，則的最大值為（ ）
例題3．（2024·安徽蕪湖·二模）已知偶函數的圖像關于點中心對稱，且在區間上單調，則 ．
練透核心考點
1．（多選）（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知在區間上單調遞增，則的取值可能在（ ）
A． B． C． D．
2．（多選）（2024·遼寧·一模）已知函數在區間上單調遞減，且在區間上有且僅有一個零點，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·江西南昌·開學考試）已知函數在區間上有且只有2個零點，則ω的取值范圍是 .
高頻考點十：三角函數中的求解（的取值范圍與對稱性相結合）
典型例題
例題1．（2024·吉林延邊·一模）將函數的圖象向左平移個單位長度后得到曲線，若關于軸對稱，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高三上·河北承德·期中）將函數的圖像向左平移個單位長度后得到曲線，若關于軸對稱，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2023·湖南永州·一模）已知函數，若，在區間上沒有零點，則的取值共有（ ）
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
練透核心考點
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數的圖像關于原點中心對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·上海·階段練習）已知函數的初始相位為，若在區間上有且只有三條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·河北邯鄲·三模）寫出一個，使得函數的圖象關于點對稱，則可以為 ．
高頻考點十一：三角函數中的求解（的取值范圍與三角函數的最值相結合）
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知函數在區間上是增函數，且在區間上恰好取得一次最大值1，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高二下·浙江杭州·期中）若函數在區間單調遞減，且最小值為負值，則的值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．
例題3．（23-24高三下·廣東·階段練習）已知函數的圖象關于原點對稱，其中，，且在區間上有且只有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍為 ．
練透核心考點
1．（23-24高三上·廣東深圳·期末）若函數在有最小值，沒有最大值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數在區間上的最小值為－2，則的取值范圍是 ．
3．（2024·全國·模擬預測）已知函數，其中為常數，且，將函數的圖象向左平移個單位所得的圖象對應的函數在取得極大值，則的值為 .
第四部分：新定義題
1．（23-24高一下·四川涼山·階段練習）設O為坐標原點，定義非零向量的“相伴函數”為，稱為函數的“相伴向量”．
(1)設函數，求函數的相伴向量；
(2)記的“相伴函數”為，若方程在區間上有且僅有四個不同的實數解，求實數k的取值范圍．21世紀教育網(www.21cnjy.com)
第05講 三角函數的圖象與性質
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 7
高頻考點一：三角函數的定義域 7
高頻考點二：三角函數的值域 10
高頻考點三：三角函數的周期性 15
高頻考點四：三角函數的奇偶性 19
高頻考點五：三角函數的對稱性 22
高頻考點六：三角函數的單調性（求三角函數的單調區間） 25
高頻考點七：三角函數的單調性（根據三角函數的單調性比較大小） 31
高頻考點八：三角函數的單調性（根據三角函數的單調性求參數） 34
高頻考點九：三角函數中的求解（的取值范圍與單調性相結合） 38
高頻考點十：三角函數中的求解（的取值范圍與對稱性相結合） 42
高頻考點十一：三角函數中的求解（的取值范圍與三角函數的最值相結合） 45
第四部分：新定義題 48
第一部分：基礎知識
1、正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(下表中)
函數
圖象
定義域
值域
周期性
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
對稱中心
對稱軸方程 無
遞增區間
遞減區間 無
2、三角函數的周期性
函數
周期
函數
周期
函數 () () ()
周期
其它特殊函數，可通過畫圖直觀判斷周期
(1)函數的最小正周期．應特別注意函數的周期為，函數()的最小正周期．
(2)函數的最小正周期．應特別注意函數的周期為．函數()的最小正周期均為．
(3)函數的最小正周期．應特別注意函數|的周期為，函數() 的最小正周期均為．
3、三角函數的奇偶性
三角函數 取何值為奇函數 取何值為偶函數
() ()
() ()
()
(1)函數是奇函數 ()，是偶函數 ()；
(2)函數是奇函數 ()，是偶函數 ()；
(3)函數是奇函數 ()．
4、三角函數的對稱性
(1)函數的圖象的對稱軸由()解得，對稱中心的橫坐標由()解得；
(2)函數的圖象的對稱軸由()解得，對稱中心的橫坐標由()解得；
(3)函數的圖象的對稱中心由)解得．
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·乙卷理）已知函數在區間單調遞增，直線和為函數的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意分別求出其周期，再根據其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【詳解】因為在區間單調遞增，
所以，且，則，，
當時，取得最小值，則，，
則，，不妨取，則，
則，
故選：D.
2．（2023·天津·高考真題）已知函數的圖象關于直線對稱，且的一個周期為4，則的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由題意分別考查函數的最小正周期和函數在處的函數值，排除不合題意的選項即可確定滿足題意的函數解析式.
【詳解】由函數的解析式考查函數的最小周期性：
A選項中，B選項中，
C選項中，D選項中，
排除選項CD，
對于A選項，當時，函數值，故是函數的一個對稱中心，排除選項A，
對于B選項，當時，函數值，故是函數的一條對稱軸，
故選：B.
3．（2023·全國·新課標Ⅰ卷）已知函數在區間有且僅有3個零點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】
令，得有3個根，從而結合余弦函數的圖像性質即可得解.
【詳解】
因為，所以，
令，則有3個根，
令，則有3個根，其中，
結合余弦函數的圖像性質可得，故，
故答案為：.
4．（2023·全國·新課標Ⅱ卷）已知函數，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則 ．

【答案】
【分析】設，依題可得，，結合的解可得，，從而得到的值，再根據以及，即可得，進而求得．
【詳解】設，由可得，
由可知，或，，由圖可知，
，即，．
因為，所以，即，．
所以，
所以或，
又因為，所以，．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查根據圖象求出以及函數的表達式，從而解出，熟練掌握三角函數的有關性質，以及特殊角的三角函數值是解題關鍵．
5．（2023·北京·高考真題）設函數．
(1)若，求的值．
(2)已知在區間上單調遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區間上單調遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1).
(2)條件①不能使函數存在；條件②或條件③可解得，.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把的解析式化簡，根據在上的單調性及函數的最值可求出，從而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若選條件③：由的單調性可知在處取得最小值，則與條件②所給的條件一樣，解法與條件②相同．
【詳解】（1）因為
所以，
因為，所以.
（2）因為，
所以，所以的最大值為，最小值為.
若選條件①：因為的最大值為，最小值為，所以無解，故條件①不能使函數存在；
若選條件②：因為在上單調遞增，且，
所以,所以,,
所以，
又因為，所以，
所以，
所以，因為，所以.
所以，；
若選條件③：因為在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在處取得最小值，即.
以下與條件②相同．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：三角函數的定義域
典型例題
例題1．（2024高三上·河南·專題練習）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由對數的真數大于零，二次根式的被開方數非負和分式的分母不為零，列不等式組可求得結果.
【詳解】要使有意義，需滿足，
解得且．
所以定義域為.
故選：B．
例題2．（23-24高一上·江蘇南通·期中）在內函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據函數的解析式有意義，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由函數，其中有意義，
則滿足，其中，即，其中，
解得，即函數的定義域為.
故選：C.
例題3．（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期末）求函數的定義域 ．
【答案】
【分析】利用正切函數的定義，列出不等式求解即得.
【詳解】函數有意義，則，解得，
所以函數的定義域為.
故答案為：
例題4．（23-24高三上·河南新鄉·階段練習）函數的定義域為 .（用區間表示結果）
【答案】
【分析】根據對數函數的真數大于零，偶次方根下大于等于零及正切函數的定義域列式求解即可.
【詳解】要使函數有意義，
只需，所以，，
即，，
所以或，
所以函數的定義域為.
故答案為：.
練透核心考點
1．（23-24高一下·湖南長沙·開學考試）已知的定義域是，則的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函數的定義域，可得出關于的不等式，解之即可.
【詳解】因為的定義域是，
對于函數，有，可得，
解得，
因此，函數的定義域為.
故選：D.
2．（2024高三·全國·專題練習）函數y＝的定義域為 ．
【答案】
【詳解】
由sin x≠cos x，得tan x≠1，即x≠＋kπ，k∈Z，
所以函數y＝的定義域為.
3．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習）函數的定義域為 .
【答案】.
【分析】根據題意，利用正切函數的性質，列出不等式，即可求解.
【詳解】由函數，則滿足，解得，
所以函數的定義域為.
故答案為：.
4．（23-24高一上·湖北孝感·期末）函數的定義域為 .
【答案】
【分析】利用正切函數的性質即可得解.
【詳解】因為，
所以，則，
所以函數的定義域為.
故答案為：.
高頻考點二：三角函數的值域
典型例題
例題1．（2024·湖北·二模）已知函數，，則函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等變換可得，以為整體，結合正弦函數的有界性分析求解.
【詳解】由題意可知：
，
當時，則，所以
故選：B.
例題2．（23-24高一下·河北承德·階段練習）已知函數的定義域為，值域為，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根據給定函數，結合周期性，在長為一個周期的區間內探討使得的函數性質即可得解.
【詳解】函數的周期為，由，得，
即，解得，
在長為一個周期的區間上，取，得，當時，，
顯然函數在上單調遞減，在上單調遞增，
由在上的值域為，則當時，，于是，
當時，，于是，
所以的取值范圍是.
故選：B
例題3．（23-24高一下·北京·階段練習）設函數．則= ；函數的最小值為 ．
【答案】 /
【分析】
先化簡，然后計算，換元，然后利用二次函數的性質求最值.
【詳解】，
則，
令，
則，對稱軸為，
故最小值為.
故答案為：；.
例題4．（23-24高一上·山西陽泉·期末）已知函數．
(1)求的最小正周期及單調遞減區間；
(2)求函數在上的最大值和最小值，并求出取得最值時x的值．
【答案】(1)最小正周期為，單調遞減區間為
(2)時取得最小值，時取得最大值
【分析】（1）化簡的最小正周期，然后求得的最小正周期，利用整體代入法求得的單調遞減區間.
（2）根據三角函數最值的求法求得正確答案.
【詳解】（1）
，
．
函數的單調遞減區間為：
，
，
．
函數的單調遞減區間為：
（2）由得，，
當，即時，取得最小值為，
當，即時取得最大值為1．
練透核心考點
1．（23-24高一下·江西·階段練習）函數，的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出的范圍，再由正切函數的性質求出范圍，再乘以3即可.
【詳解】
故選：C.
2．（23-24高一下·上海·階段練習）函數的值域為 ．
【答案】
【分析】利用換元法，結合正弦函數的值域與二次函數的性質即可得解.
【詳解】令，則，
易知開口向上，對稱軸為，
當時，，
當時，，
所以的值域為.
故答案為：.
3．（23-24高三下·浙江·開學考試）函數的值域為 .
【答案】
【分析】化簡可得，令且，所以函數的值域等價于在區間上的值域，利用二次函數求出在區間上的值域即可.
【詳解】由題可得：
，令，則，令，
所以函數的值域等價于在區間上的值域，
由于，所以當時，，，
則函數的值域為，
故答案為：
4．（23-24高一下·福建莆田·期中）函數，的值域為 ．
【答案】
【分析】首先確定的范圍，結合二次函數值域的求法可求得結果.
【詳解】當時，，
，
當時，；當時，；
，的值域為.
故答案為：.
高頻考點三：三角函數的周期性
典型例題
例題1．（23-24高一下·北京·期中）函數的最小正周期是（　　）
A．4π B．2π C．π D．
【答案】A
【分析】根據余弦的二倍角公式化簡求出周期即可.
【詳解】因為，
所以的最小正周期，
故選：A.
例題2．（23-24高一上·福建廈門·階段練習）以下函數中最小正周期為的個數是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】對于A，直接畫出函數圖象驗證即可；對于BCD，舉出反例推翻即可.
【詳解】畫出函數的圖象如圖所示：

由圖可知函數的最小正周期為，滿足題意；
對于而言，，即函數的最小正周期不是，不滿足題意；
對于而言，，即函數的最小正周期不是，不滿足題意；
對于而言，，即函數的最小正周期不是，不滿足題意；
綜上所述，滿足題意的函數的個數有1個.
故選：A.
例題3．（23-24高一下·湖北·開學考試）下列四個函數中以為最小正周期且為奇函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】A選項，函數不是周期函數；BC選項，不滿足奇偶性；D選項滿足要求.
【詳解】A選項，函數圖象如下：
不是周期函數，
BC選項，與是偶函數，
D選項，的周期為且，
故為奇函數，D正確.
故選：D．
例題4．（23-24高一下·北京順義·階段練習）已知函數，那么函數最小正周期為 ；對稱軸方程為 .
【答案】
【分析】
根據二倍角公式及輔助角公式化簡函數的解析式，繼而利用周期公式及整體代入法求解對稱軸即可.
【詳解】因為
，
所以函數的最小正周期，
令,
得，
所以函數的對稱軸為.
故答案為：；.
練透核心考點
1．（23-24高一上·山東聊城·期末）下列函數中，既是周期函數又是偶函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由三角函數周期性，奇偶性逐一判斷每一選項即可求解.
【詳解】對于A，是奇函數不滿足題意，故A錯誤；
對于B，若，首先定義域為關于原點對稱，
且，所以是偶函數，
又，所以是周期函數，故B正確；
對于C，畫出函數的圖象如圖所示：
由此可知函數不是周期函數，故C錯誤；
對于D，若，則，所以不是偶函數，故D錯誤.
故選：B.
2．（多選）（23-24高一上·湖北武漢·期末）已知下列函數中，最小正周期為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由圖象變換，周期為，則根據對稱性，周期為，同理可判斷A、B、C；而，可判定.
【詳解】作的圖象，如圖，
由圖可知函數的最小正周期為，故A正確；
由于的周期為，則根據對稱性，
周期為，故B正確；
由于的周期為，周期為，故C正確；
而，周期為，故D錯誤.
故選：ABC
3．（23-24高一上·四川成都·期末）下列四個函數中，以為最小正周期，且為奇函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】
由最小正周期公式和三角函數的奇偶性對選項一一判斷即可得出答案.
【詳解】對于A，的最小正周期為，且為奇函數，故A正確；
對于B，的最小正周期為，故B錯誤；
對于C，最小正周期為，為偶函數，故C錯誤；
對于D，最小正周期為，為奇函數，故D正確.
故選：AD.
4．（23-24高三下·北京順義·階段練習）已知關于x的函數的圖象關于對稱，則的周期為 ，實數 .
【答案】
【分析】利用輔助角公式化解函數，判斷函數的周期，再結合對稱性與最值的關系，即可求解
【詳解】，其中，
所以函數的周期,
若函數的圖象關于對稱，
所以，即，兩邊平方后，
整理為，得.
故答案為：；
高頻考點四：三角函數的奇偶性
典型例題
例題1．（23-24高三下·安徽·階段練習）已知函數的圖象向右平移個單位長度后，得到函數的圖象.若是偶函數，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用給定的圖象變換求出的解析式，再利用正弦函數的奇偶性列式計算即得.
【詳解】依題意，，
由是偶函數，得，，
而，則.
故選：B
例題2．（2024·陜西西安·一模）將函數的圖象向左平移m（）個單位，所得圖象關于原點對稱，則m的值可以是（ ）．
A． B．π C． D．
【答案】D
【分析】先求平移后圖象的解析式，然后根據正弦函數的對稱性可得.
【詳解】將函數的圖象向左平移m個單位，
得的圖象，
因為的圖象關于原點對稱，
所以，即，
當時，得，
使，，的整數不存在.
故選：D
例題3．（23-24高一上·河北邢臺·階段練習）已知函數的圖象關于原點中心對稱，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】根據正切函數的奇偶性列式運算得解.
【詳解】因為的圖象關于原點中心對稱，
所以，又，故的最小值為．
故答案為：.
練透核心考點
1．（23-24高一下·安徽·階段練習）將函數的圖象向右平移個單位長度后，所得函數為奇函數，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意利用函數的圖象變換規律，三角函數的奇偶性，的取值范圍，進而即可求得的值．
【詳解】由將函數的圖象向右平移個單位長度后，
所得函數為為奇函數，
則，得，
又，則，，
故選：B．
2．（2024·全國·模擬預測）若函數為奇函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分0在定義域內和0不在定義域內兩種情況進行討論即可求得答案.
【詳解】若0在定義域內，由時，得，；
若0不在定義域內，由時，無意義，得．
綜上，．
故選：C．
3．（23-24高三下·北京·開學考試）將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，若，則寫出a的一個可能值為 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用給定變換求出函數的解析式，再結合函數的奇偶性列式計算求出的值，取其一即得.
【詳解】將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，
再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，
由得函數為偶函數，
則，解得，令，可得的一個值為.
故答案為：（答案不唯一）.
高頻考點五：三角函數的對稱性
典型例題
例題1．（23-24高三下·陜西安康·階段練習）若函數的最小正周期為，則的圖象的一條對稱軸方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據三角函數的周期性求得，進而求得的對稱軸.
【詳解】依題意，由，
得，所以的圖象的一條對稱軸為，
D選項正確，ABC選項錯誤.
故選：D
例題2．（2024·陜西渭南·模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則的圖象的一條對稱軸為（ ）
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
【答案】D
【分析】
將原函數平移后借助誘導公式及正弦函數的性質即可得.
【詳解】由題意可得，
令，則，
當時，有，其余選項均不符合.
故選：D.
例題3．（23-24高一上·山西長治·期末）函數的圖象的一個對稱中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，利用正切型函數的性質，準確運算，即可求解.
【詳解】由函數，令，解得，
令，可得，所以函數的一個對稱中心有，其它不是對稱中心.
故選：B．
例題4．（多選）（23-24高一下·河南南陽·階段練習）下列關于函數的說法不正確的是（ ）
A．定義域為 B．最小正周期是
C．圖象關于成中心對稱 D．在定義域上單調遞增
【答案】ABD
【分析】根據正切函數的周期公式、定義域、對稱中心、單調性可判斷出答案.
【詳解】函數的定義域為，A錯誤；
最小正周期，B錯誤；
解得，
所以圖象的對稱中心為點，當時，對稱中心為點，C正確；
當時，，當時，，
因為，，
所以由單調性的定義可知，D錯誤．
綜上，ABD符合題意.
故選：ABD.
練透核心考點
1．（23-24高一下·云南·階段練習）下列函數中，以點為對稱中心的函數是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據正弦、余弦、正切函數的性質計算可得.
【詳解】對于A：函數，令，解得，
所以函數的對稱中心為，，故A錯誤；
對于B：函數，令，解得，
所以函數的對稱中心為，，故B錯誤；
對于C：函數，令，解得，
所以函數的對稱中心為，，故C錯誤；
對于D：函數，令，解得，
所以函數的對稱中心為，，故D正確.
故選：D
2．（2024·陜西榆林·二模）若函數的圖象關于直線對稱，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由余弦函數的對稱性直接求解.
【詳解】
因為的圖象關于直線對稱，
所以，得，
因為，所以.
故選：C.
3．（2024·河南·模擬預測）已知函數滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據題意可知為的對稱中心，結合余弦函數對稱性分析求解.
【詳解】因為，可知為的對稱中心，
則，可得，
解得，
且，可知：當時，取到最小值.
故選：A.
4．（2024·河北邯鄲·三模）寫出一個，使得函數的圖象關于點對稱，則可以為 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】
利用正弦函數的對稱性與周期性得到關于的方程，解之即可得解.
【詳解】因為的圖象關于點對稱，
所以，則，故，
又，所以，，，…．.
故答案為：（答案不唯一）.
高頻考點六：三角函數的單調性（求三角函數的單調區間）
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶銅梁·階段練習）已知函數．
(1)求函數的最小值，并求出函數取得最小值的x的集合．
(2)求函數在上的單調遞增區間．
【答案】(1)；
(2)和
【分析】（1）直接利用正弦函數的性質求最小值及取最小值時的集合；
（2）先通過求出的范圍，再根據正弦函數的性質求解單調增區間.
【詳解】（1）對于函數，
當時，即時，函數取得最小值；
（2），，
由和可得
和，
所以函數的單調增區間為和.
例題2．（23-24高一上·廣東陽江·期末）已知函數的最小正周期為.
(1)求的值；
(2)求函數的單調遞增區間；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由最小正周期求出，進而得到，代入求值即可；
（2）利用整體代入法，結合三角函數的性質即可得解.
【詳解】（1）因為的最小正周期為，
所以，，則，
故.
（2）令，解得，
故的單調遞增區間為.
例題3．（22-23高一·全國·課時練習）已知函數，其中，（，），的部分圖像如下圖．
(1)求，，的值；
(2)求的單調增區間，
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據函數圖像上的特殊點求得，，的值.
（2）利用整體代入法求得的遞增區間.
【詳解】（1）根據函數圖像可知，，
所以，
過點和點，
所以，
由于，所以，
則，所以，
所以.
（2）由，
解得，
所以的單調遞增區間為.
練透核心考點
1．（21-22高一上·黑龍江佳木斯·期末）已知函數
(1)求函數的最小正周期及在上的最大值和最小值
(2)求函數的單調遞增區間和單調遞減區間
【答案】(1)，最大值為，最小值
(2)單調遞增區間是，單調遞減區間是
【分析】（1）利用最小正周期公式計算即可求得函數最小正周期，由，得，借助余弦函數圖像即可求解；
（2）將看作整體，借助余弦函數性質建立不等式，計算即可求解.
【詳解】（1），
，
當，即時，，
當，即時，，
所以，的最大值為，最小值.
（2）由余弦函數性質可得：
當時，單調遞增,解得，
所以，的單調遞增區間是，
當時，單調遞減，解得，
所以，的單調遞減區間是.
2．（23-24高一上·湖北荊州·期末）已知函數 的圖象關于點 對稱.
(1)求的單調遞增區間;
(2)求不等式 的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意首先根據對稱中心求得函數表達式，然后令，解不等式組即可得解.
（2）由，得,解不等式組即可得解.
【詳解】（1）由題意知，的圖象關于點對稱，
，
即．
，
故．
令，
得，
即．
函數的單調遞增區間為．
（2）由（1）知，．
由，
得，
即．
不等式的解集為.
3．（2023高一上·全國·專題練習）已知函數.
(1)求它的最小正周期和單調遞減區間；
(2)試比較與的大小.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據正切函數解析式求解最小正周期和單調遞減區間；
（2）根據解析式求解函數值比較大小值.
【詳解】（1）因為
所以，
由，
，
因為在上單調遞增，
所以在上單調遞減．
故函數的最小正周期為，單調遞減區間為．
（2）,
，
因為，且在上單調遞增，
，
所以.
高頻考點七：三角函數的單調性（根據三角函數的單調性比較大小）
典型例題
例題1．（23-24高一上·湖南張家界·期末）若，，，，則a，b，c，d的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等變換可將式子化簡為，再由余弦函數單調性即可比較得出大小.
【詳解】易知
；
；
；
由余弦函數在上單調遞減，且,
所以可得，即.
故選：A
例題2．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習）設，，，則有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由倍角公式化簡為正切函數，再結合正切函數的單調性可得出答案.
【詳解】，
，
因為在上單調遞增，
所以，
即，
故選：C.
例題3．（多選）（2024高三·全國·專題練習）（多選）下列各式正確的是（ ）
A．tan ＜tan
B．tan 2＞tan 3
C．cos (－)＞cos (－)
D．sin (－)＜sin (－)
【答案】AC
【詳解】
tan＝tan (－π)＝tan (－)，因為正切函數y＝tan x在(－，)上為增函數，且－＜－＜＜，所以，tan (－)＜tan，即tan＜tan，故A正確；由于正切函數y＝tan x在(，)上為增函數，且＜2＜3＜，所以tan 2＜tan 3，故B錯誤；cos (－)＝cos＝cos，cos (－)＝cos＝cos，因為余弦函數y＝cos x在(0，π)上為減函數，且0＜＜＜π，所以cos＞cos，即cos (－)＞cos (－)，故C正確；由于正弦函數y＝sin x在(－，)上為增函數，且－＜－＜－＜，所以sin (－)＞sin (－)，故D錯誤．故選AC.
練透核心考點
1．（多選）（2024·全國·模擬預測）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】先判斷角所在的象限，再根據單調性和與對稱軸的距離判斷三角函數值的符號。
【詳解】因為,又,
所以函數在是單調遞增函數,
所以,故A不正確;
因為,,
且,
所以,故C正確;
因為,且,
所以,故B正確;
因為,且在為單調遞減函數,
所以,故D不對.
故選:BC.
2．（多選）（23-24高一上·全國·期末）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根據正弦、余弦、正切函數的單調性一一分析即可.
【詳解】，
，
因為，且在該范圍內單調遞增，則，故A錯誤；
對B，因為在上單調遞增，在上單調遞減，則
，，所以，故B正確；
，
，
因為，所以，所以，故C正確；
對D，，，所以，故D正確；
故選：BCD.
3．（23-24高一下·北京順義·階段練習）與的大小關系是 （填：“或=”中的一個）.
【答案】
【分析】
根據誘導公式化簡后，利用正切函數的單調性即可比較大小.
【詳解】
因為，
，
又，
所以，
故，
故答案為：.
高頻考點八：三角函數的單調性（根據三角函數的單調性求參數）
典型例題
例題1．（23-24高一下·河北張家口·階段練習）已知函數，若在區間上是單調函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據已知條件化為，利用換元法化為，結合正弦函數的單調性即可確定實數的取值范圍.
【詳解】
，令，
則，因為，所以；
又因為在區間上是單調函數，
則在區間上是單調函數，
所以，即，解得.
故選：C
例題2．（23-24高一下·江西宜春·階段練習）已知函數在上單調遞減，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用誘導公式及正弦函數的單調性計算即可.
【詳解】易知，，
在時，，
顯然，
若要符合題意，且能取得最大值，結合正弦函數的單調性可知需滿足：
，故的最大值為.
故選：A
例題3．（23-24高三上·廣東·期末）已知函數的最小正周期為，且在上單調遞減，在上單調遞增，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】先將函數降冪，由題設求出的值，再根據后續條件，考查所得函數在相應區間上的單調性，比較區間的包含關系計算即得.
【詳解】由的最小正周期為，得,則，
因當時，，此時函數單調遞減，即在上單調遞減；
當時，，此時函數單調遞增，即在上單調遞增.
由題知在上單調遞減，在上單調遞增，故須使，解得.
故答案為：.
練透核心考點
1．（2023·江西·模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根據三角函數的變換規則求出的解析式，再根據余弦函數的性質求出的單調遞增區間，即可得到，從而得到不等式組，解得即可.
【詳解】將函數的圖象向左平移個單位得到，
令，，解得，，
所以的單調遞增區間為，，
又函數在上單調遞增，所以，
所以，解得，即實數的取值范圍為.
故選：A
2．（23-24高三上·北京海淀·期中）若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為（　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分段函數的單調性分析求解即可.
【詳解】由題意易知，在上單調遞增；
在上單調遞增，需要滿足：.
要想滿足函數在上都是單調遞增，還需滿足：，
即.綜上所述，實數的取值范圍是.
故選：A.
3．（23-24高一上·江蘇徐州·期末）已知函數在區間上是減函數，則的取值集合為 .（用列舉法表示）
【答案】
【分析】由正切函數的單調性結合條件可得，由正切函數的單調區間與周期性可得，再對的值進行逐一驗證即可得出答案.
【詳解】由在區間上是減函數，則，且，解得
因為，所以或或或，
當時，，當時，，
當 ，即時，函數無意義，故不成立.
當時，,當時，，
由在上單調遞增，所以在區間上是減函數，
故滿足題意.
當時，,當時，，
由在上單調遞增，所以在區間上是減函數，
故滿足題意.
當時，,當時，，
當 ，即時，函數無意義，故不成立.
故答案為:
高頻考點九：三角函數中的求解（的取值范圍與單調性相結合）
典型例題
例題1．（2024高一上·全國·專題練習）已知函數（，，）的圖象關于軸對稱，且在區間上不單調，則的可能取值有（　　）
A．7個 B．8個 C．9個 D．10個
【答案】C
【分析】根據題意，得到，此時，結合函數在區間上不單調，求得，即可求解.
【詳解】由函數的圖像關于軸對稱，可得，
因為，可得，所以，
又由，可得，
當時，可得，可得在上單調遞減，不符合題意；
當時，可得，可得在上單調遞減，不符合題意；
當時，可得，可得在上不單調，符合題意；
當時，可得，可得在上單調遞增，不符合題意；
當時，則函數的最小正周期為，此時，
所以函數在上不是單調函數，符合題意，
所以，所以滿足條件的有9個.
故選：C.
例題2．（多選）（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習）已知函數的圖象過點，且在區間上具有單調性，則的取值范圍可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由函數的圖象過點求得，根據函數的單調性，結合三角函數的性質列式求得的范圍，即可得解.
【詳解】因為函數的圖象過點，所以，得，
因為，所以，所以，
當時，，
因為在區間上具有單調性，
所以，，
即且，，
則，，
因為，得，
因為，所以時，，則，故A正確；
當時，，故C正確；B、D錯誤.
故選：AC.
例題3．（2024·安徽蕪湖·二模）已知偶函數的圖像關于點中心對稱，且在區間上單調，則 ．
【答案】/1.5
【分析】
根據題意，再由對稱中心求出，最后根據函數單調性確定.
【詳解】因為偶函數，所以，，
即或，
又的圖像關于點中心對稱，
所以，即，
所以，
因為函數單調，所以，即，
所以當時，符合條件.
故答案為：
練透核心考點
1．（多選）（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知在區間上單調遞增，則的取值可能在（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】借助輔助角公式可將函數化為正弦型函數，借助正弦型函數的單調性即可得的范圍.
【詳解】，
當，由，則，
則有，，
解得，，
即，，
有，，即，即或，
當時，有，時，有，
故的取值可能在或.
故選：AC.
2．（多選）（2024·遼寧·一模）已知函數在區間上單調遞減，且在區間上有且僅有一個零點，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】結合函數在給定區間上的單調性和零點個數，可確定的取值范圍，從而確定正確的選項.
【詳解】由，，.
又函數在區間上單調遞減，所以，
又因為，，所以，，
因為，所以，
因為在區間上有且僅有一個零點，
所以在區間上有且僅有一個實數根，
所以，解得，
綜上，，故BC正確，AD錯誤.
故選：BC
3．（23-24高三上·江西南昌·開學考試）已知函數在區間上有且只有2個零點，則ω的取值范圍是 .
【答案】
【分析】先求得，根據題意，結合余弦型函數的性質，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由，可得，其中，
因為函數在區間上有且僅有2個零點，
則滿足，解得，即實數的取值范圍是.
故答案為：.
高頻考點十：三角函數中的求解（的取值范圍與對稱性相結合）
典型例題
例題1．（2024·吉林延邊·一模）將函數的圖象向左平移個單位長度后得到曲線，若關于軸對稱，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
得出平移后的方程后，再根據正弦型函數的性質即可得到答案.
【詳解】結合題意可得，
因為曲線關于軸對稱，所以，
解得,因為，所以當時，有最小值.
故選：B.
例題2．（23-24高三上·河北承德·期中）將函數的圖像向左平移個單位長度后得到曲線，若關于軸對稱，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】得出平移后的方程后，再根據正弦型函數的性質即可得到答案.
【詳解】的圖像向左平移個單位長度后為，
由關于軸對稱，即有，
解得，又，故的最小值為.
故選：C.
例題3．（2023·湖南永州·一模）已知函數，若，在區間上沒有零點，則的取值共有（ ）
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
【答案】B
【分析】根據可得，根據在區間上沒有零點可得，即可求出的取值有幾個.
【詳解】由題意，在中，，
∴ ,所以，
兩式相減得，
所以，即，，
因為，所以 ，
令， ，
由題意知在上無零點，
故，，
所以，即，
兩式相加得，所以，
又，
所以，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，，
所以的取值有5個.
故選：B.
練透核心考點
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數的圖像關于原點中心對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦函數對稱中心求出的表達式，再賦值求得結果.
【詳解】函數的圖像關于原點中心對稱,則，解得，因為，當時，取得最小值.
故選：B
2．（23-24高一下·上海·階段練習）已知函數的初始相位為，若在區間上有且只有三條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根據x的取值范圍，確定，結合在區間上有且只有三條對稱軸，列出不等式，即可求得答案.
【詳解】由于函數的初始相位為，即，
當時，，
由于在區間上有且只有三條對稱軸，故，
解得，
故選：D
3．（2024·河北邯鄲·三模）寫出一個，使得函數的圖象關于點對稱，則可以為 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】
利用正弦函數的對稱性與周期性得到關于的方程，解之即可得解.
【詳解】因為的圖象關于點對稱，
所以，則，故，
又，所以，，，…．.
故答案為：（答案不唯一）.
高頻考點十一：三角函數中的求解（的取值范圍與三角函數的最值相結合）
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知函數在區間上是增函數，且在區間上恰好取得一次最大值1，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據給定條件，利用正弦函數的性質結合單調區間及最值情況，列出不等式求解即得.
【詳解】函數，由，得，即函數在上單調遞增，
依題意，，則，解得，
由，得，由在上恰好取得一次最大值1，得，解得，
所以的取值范圍是.
故選：B
例題2．（23-24高二下·浙江杭州·期中）若函數在區間單調遞減，且最小值為負值，則的值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】分和兩種情況討論，結合余弦函數的單調性求出的范圍，即可得解.
【詳解】當時，，
由，得，
因為函數在區間單調遞減，且最小值為負值，
所以，解得，
【答案】D
【分析】根據給定條件，求出相位的范圍，再利用余弦函數的性質列出不等式求解即得.
【詳解】當時，，
由函數在有最小值，沒有最大值，
得，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數在區間上的最小值為－2，則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】當x∈[－，]時，－ω≤ωx≤ω.因為函數f（x）＝2sin ωx在區間[－，]上的最小值為－2，所以－ω≤－或ω≥，解得ω≥.
3．（2024·全國·模擬預測）已知函數，其中為常數，且，將函數的圖象向左平移個單位所得的圖象對應的函數在取得極大值，則的值為 .
【答案】
【分析】先根據圖象平移得到的解析式，然后根據為最大值得到關于的方程，結合的范圍可知結果.
【詳解】由題意可知，
因為在取得極大值，所以在取得最大值，
所以，，即，
又因為，所以，當且僅當時，滿足條件，所以，
故答案為：.
第四部分：新定義題
1．（23-24高一下·四川涼山·階段練習）設O為坐標原點，定義非零向量的“相伴函數”為，稱為函數的“相伴向量”．
(1)設函數，求函數的相伴向量；
(2)記的“相伴函數”為，若方程在區間上有且僅有四個不同的實數解，求實數k的取值范圍．
【答案】(1)
(2),
【分析】（1）由相伴向量的定義，即可得出；
（2）化簡方程，令，，作出在區間上的圖象，由圖象即可得得范圍.
【詳解】（1）因為
，
所以函數的相伴向量為
（2）由題意，的“相伴函數” ，
方程為，，
則方程，有四個實數解，
所以， 有四個實數解，
令，，
①當，，
②當，，
據此作出的圖像：
由圖可知，當時，函數與有四個交點，
即實數的取值范圍為,.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查正弦函數圖像及應用，關鍵是分離參數并正確畫出函數圖像.
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