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第05講 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立（有解）問題
目錄
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1
第二部分：高考真題回顧 2
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3
高頻考點(diǎn)一：分離變量法 3
高頻考點(diǎn)二：分類討論法 4
高頻考點(diǎn)三：等價(jià)轉(zhuǎn)化法 6
高頻考點(diǎn)四：最值定位法解決雙參不等式問題 8
高頻考點(diǎn)五：值域法解決雙參等式問題 10
第四部分：新定義題 12
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、分離參數(shù)法
用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；
步驟：
①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時(shí)自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）
②轉(zhuǎn)化：，使得能成立；
，使得能成立．
③求最值.
2、分類討論法
如果無法分離參數(shù)，可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項(xiàng)系數(shù)與判別式的方法(，或，)求解．
3、等價(jià)轉(zhuǎn)化法
當(dāng)遇到型的不等式有解（能成立）問題時(shí)，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)或者“右減左”的函數(shù)，進(jìn)而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問題.
4、最值定位法解決雙參不等式問題
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
5、值域法解決雙參等式問題
,,使得成立
①，求出的值域，記為
②求出的值域，記為
③則,求出參數(shù)取值范圍.
第二部分：高考真題回顧
1．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)
（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：分離變量法
典型例題
例題1．（2024·四川宜賓·二模）已知不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高二下·江西景德鎮(zhèn)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，不等式在上存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍 ．
例題3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）（1）已知，求的最大值與最小值；
（2）若關(guān)于x的不等式存在唯一的整數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
例題4．（23-24高三上·青海西寧·期末）已知函數(shù).
(1)證明：.
(2)若關(guān)于的不等式有解，求的取值范圍.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·吉林延邊·一模）若對(duì)任意，存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的不等式成立，則實(shí)數(shù)的最小值為 ．
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍 ．
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)， ，若使不等式成立，求的取值范圍.
4．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.
高頻考點(diǎn)二：分類討論法
典型例題
例題1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知關(guān)于的不等式解集中恰有3個(gè)不同的正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若對(duì)任意有解，求的取值范圍.
例題3．（23-24高二下·重慶綦江·期中）已知函數(shù)（），（）．
(1)若函數(shù)在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)與的值；
(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
例題4．（2024·四川瀘州·二模）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二下·江蘇泰州·期中）若，不等式恒成立，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若在上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍.
3．（23-24·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)若在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
4．（23-24高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在，使得，求的取值范圍.
高頻考點(diǎn)三：等價(jià)轉(zhuǎn)化法
典型例題
例題1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若關(guān)于的不等式有解，則的最小值是 .
例題2．（2024·江蘇·一模）已知函數(shù)，函數(shù).
(1)若過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn).
①求的值；
②當(dāng)兩點(diǎn)不重合時(shí)，求線段的長；
(2)若，使得不等式成立，求的最小值.
例題3．（23-24高二下·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）已知.
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)若存在，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二下·北京·期中）已知函數(shù)，.
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在（是常數(shù)，）使不等式成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
2．（2023·河北承德·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
3．（23-24高二下·山東聊城·階段練習(xí)）已知函數(shù)，
(1)若，且對(duì)于任意，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
(2)令，若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
高頻考點(diǎn)四：最值定位法解決雙參不等式問題
典型例題
例題1．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；
(2)若，且對(duì)，都，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中參數(shù)．設(shè)函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求a的取值范圍．
3．（23-24高二下·甘肅張掖·階段練習(xí)）已知函數(shù)為的導(dǎo)數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)，若對(duì)任意，均存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
高頻考點(diǎn)五：值域法解決雙參等式問題
典型例題
例題1．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)和函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，滿足不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且對(duì)于任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
例題2．（23-24高一上·遼寧遼陽·期末）已知函數(shù)．
(1)求的解析式；
(2)若函數(shù)，，，，求的取值范圍．
例題3．（23-24高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）己知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；
(2)已知，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求不等式的解集.
(2)記，對(duì)，總使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2．（23-24高一上·廣東茂名·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，
(1)若不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若對(duì)任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
3．（23-24高一上·北京·期中）“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”的充要條件是“對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意，都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，
(1)求的值；
(2)設(shè)函數(shù)
①證明函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)稱；
②若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
第四部分：新定義題
.1．（23-24高一下·湖南長沙·開學(xué)考試）若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；
(2)已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的最大值.21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
第05講 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立（有解）問題
目錄
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1
第二部分：高考真題回顧 2
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3
高頻考點(diǎn)一：分離變量法 3
高頻考點(diǎn)二：分類討論法 10
高頻考點(diǎn)三：等價(jià)轉(zhuǎn)化法 18
高頻考點(diǎn)四：最值定位法解決雙參不等式問題 25
高頻考點(diǎn)五：值域法解決雙參等式問題 31
第四部分：新定義題 37
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、分離參數(shù)法
用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；
步驟：
①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時(shí)自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）
②轉(zhuǎn)化：，使得能成立；
，使得能成立．
③求最值.
2、分類討論法
如果無法分離參數(shù)，可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項(xiàng)系數(shù)與判別式的方法(，或，)求解．
3、等價(jià)轉(zhuǎn)化法
當(dāng)遇到型的不等式有解（能成立）問題時(shí)，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)或者“右減左”的函數(shù)，進(jìn)而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問題.
4、最值定位法解決雙參不等式問題
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
5、值域法解決雙參等式問題
,,使得成立
①，求出的值域，記為
②求出的值域，記為
③則,求出參數(shù)取值范圍.
第二部分：高考真題回顧
1．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)
（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
【答案】（I）；（II）證明見解析；（III）
【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；
（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；
（III）令，題目等價(jià)于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.
【詳解】（I），則，
又，則切線方程為；
（II）令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，畫出大致圖像如下：
所以當(dāng)時(shí)，與僅有一個(gè)交點(diǎn)，令，則，且，
當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減，
為的極大值點(diǎn)，故存在唯一的極值點(diǎn)；
（III）由（II）知，此時(shí)，
所以，
令，
若存在a，使得對(duì)任意成立，等價(jià)于存在，使得，即，
，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，故，
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)；第三問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：分離變量法
典型例題
例題1．（2024·四川宜賓·二模）已知不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求出，即為所求.
【詳解】不等式有解，即，，只需要，
令，
，，
令，，
，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，，所以存在，使得，即，
，，即；，，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，又由，可得，
.
.
故選：A.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由題意問題轉(zhuǎn)化為，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即只要.
例題2．（23-24高二下·江西景德鎮(zhèn)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，不等式在上存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍 ．
【答案】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在上存在實(shí)數(shù)解，令，由求解.
【詳解】原條件等價(jià)于：在上存在實(shí)數(shù)解．
則在上存在實(shí)數(shù)解，
令，
則，
因?yàn)闀r(shí)，，則，
故在上單調(diào)遞增，
∴ 的最小值為，
∴ 時(shí)，不等式在上存在實(shí)數(shù)解．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
例題3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）（1）已知，求的最大值與最小值；
（2）若關(guān)于x的不等式存在唯一的整數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）最大值，最小值1；（2）
【分析】
（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值比較大小即可求解最值；
（2）解法一：把不等式化為，由的單調(diào)性結(jié)合端點(diǎn)函數(shù)值分析求解即可；
解法二：令，求導(dǎo)，對(duì)a進(jìn)行分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)性及最大值，從而求得a的范圍，結(jié)合有唯一整數(shù)解，進(jìn)一步求出a的取值范圍.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>令，解得，，的變化情況如下表所示．
x 1
+ 0
單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 1
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，有極大值，也是的最大值.
又因?yàn)椋?br/>所以，所以為的最小值.
（2）解法一：因?yàn)椋圆坏仁娇苫癁椋?br/>由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
因?yàn)榈淖畲笾担?br/>所以，時(shí)，最大，所以不等式，
即存在唯一的整數(shù)解只能為1，所以，所以a的取值范圍為.
解法二：令，由題意可知有唯一整數(shù)解，
，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，
而，所以，與題意矛盾；
當(dāng)時(shí)，由可得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以時(shí)，取最大值為，
由題意可知，解得，
因?yàn)椋援?dāng)即時(shí)，
由有唯一整數(shù)解知，解得，
若，由在單調(diào)遞增知，矛盾
所以，由在單調(diào)遞減可知，
所以符合題意；
當(dāng)時(shí)，，，
由在單調(diào)遞減可知，，不符合題意；
綜上所述，a的取值范圍為.
例題4．（23-24高三上·青海西寧·期末）已知函數(shù).
(1)證明：.
(2)若關(guān)于的不等式有解，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性求出的最小值即可證明.
（2）分離參數(shù)，借助（1）中不等式關(guān)系進(jìn)行放縮，求其最小值，即可求出的取值范圍.
【詳解】（1）.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
故.
（2）由題意可得不等式有解.
因?yàn)椋?br/>所以
當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.
故的取值范圍為
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·吉林延邊·一模）若對(duì)任意，存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的不等式成立，則實(shí)數(shù)的最小值為 ．
【答案】
【分析】
根據(jù)題意分析可知，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問題分析求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>可得，
構(gòu)建，則，
構(gòu)建，
因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即；
可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，
可得，可得，
所以實(shí)數(shù)的最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決不等式存在性問題的方法技巧
根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為某函數(shù)在該區(qū)間上最大(小)值滿足的不等式成立問題，進(jìn)而用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)在該區(qū)間上的最值問題，最后構(gòu)建不等式求解．
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍 ．
【答案】
【分析】
由題意，即，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.
【詳解】存在，使得可得，
構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
則，所以，，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)， ，若使不等式成立，求的取值范圍.
【答案】
【分析】
由題設(shè)不等式能成立轉(zhuǎn)化為在上能成立，即需求的最大值，求解即得的取值范圍.
【詳解】
因?yàn)槭共坏仁匠闪ⅲ裕?
設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為.
由，令，得.
當(dāng)在區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，，的變化情況如下表：
＋ 0 －
↗ 極大值 ↘
由上表可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，也是最大值，為.所以，
即的取值范圍是.
4．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.
【答案】(1)極小值為，無極大值
(2)4
【分析】（1）直接利用導(dǎo)函數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求極值即可；
（2）分離參數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值即可.
【詳解】（1）由，
令；令，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴在處取得極小值，且為，無極大值；
（2）由能成立，
問題轉(zhuǎn)化為，
令，
由；由，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，則，
故m的最小值為4．
高頻考點(diǎn)二：分類討論法
典型例題
例題1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知關(guān)于的不等式解集中恰有3個(gè)不同的正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意可得的解集中恰有3個(gè)不同的正整數(shù)解，設(shè) ，，作出兩函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象分，分別求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?
設(shè)，，則，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
又因?yàn)槭沁^點(diǎn)的直線，如圖所示：

由此可得當(dāng)時(shí)，的解集中有若干個(gè)不同的正整數(shù)解，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，要使不等式的解集中恰有3個(gè)不同的正整數(shù)解，

當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取最小值，
因?yàn)椋藭r(shí)，
當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取最大值，
因?yàn)椋藭r(shí)，
所以的取值范圍為.
故選：D.
例題2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若對(duì)任意有解，求的取值范圍.
【答案】(1)極小值為1，無極大值；
(2).
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求極值；
（2）由題意可得任意有解，設(shè)，分、及討論即可求解.
【詳解】（1），得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以的極小值為，無極大值；
（2）對(duì)任意即，
設(shè)，，
①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，成立；
②當(dāng)時(shí)，令單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，成立；
③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，，不成立.
綜上，.
例題3．（23-24高二下·重慶綦江·期中）已知函數(shù)（），（）．
(1)若函數(shù)在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)與的值；
(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)
【分析】
（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)幾何意義得到方程，求出，從而得到，代入切線中，求出答案；
（2）轉(zhuǎn)化為時(shí)，，求導(dǎo)得到的單調(diào)性，求出，再分三種情況求出，得到不等式，求出的取值范圍.
【詳解】（1），由得，
∴，，
即切點(diǎn)為，代入方程得，
所以，；
（2）由題意可得時(shí)，．
∵時(shí)，在恒成立，
故在為增函數(shù)，
∴，
．
①當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上遞增，所以，
由解得，舍去；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
故，解得或，
∴；
③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞減，所以，
由解得，∴.
綜上，.
例題4．（2024·四川瀘州·二模）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；
（2）先利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，再構(gòu)造，將問題轉(zhuǎn)化為，利用的單調(diào)性，分析得，從而得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，
所以，，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）因?yàn)椋遥?br/>所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；
不妨令，
當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
且，
所以，此時(shí)符合題意；
當(dāng)，即時(shí)，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
顯然在處取得極小值，此時(shí)極小值為，
而，
所以，
要使，則必有，解得，故，
綜上:的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：
（1）有解；有解．
（2）有解；有解．
（3）有解；有解．
（4），，．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二下·江蘇泰州·期中）若，不等式恒成立，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)所構(gòu)造函數(shù)的最值進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)，則有，因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為：，
要想，不等式恒成立，只需，即，
因?yàn)椋杂谐闪ⅲ?br/>設(shè)，則有，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為：，
因此要想成立，只需，所以的最大值為，
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.
2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若在上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍.
【答案】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為，從而求出，分類討論的取值范圍，分別求出即可得解.
【詳解】令，
若使能成立，則對(duì)于，即可，
而.
當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
則，，
而顯然成立，故；
當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
則，可得；
當(dāng)，即時(shí)，
令，得；令，得；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，
而，∴，故，即不成立；
綜上：.
3．（23-24·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)若在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無極大值
(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由極值的定義求解即可；
（2）分和兩種情況分析求解，當(dāng)時(shí)，不等式變形為在，上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解的最小值，即可得到答案．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以
當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值，無極大值.
（2）因?yàn)樵谏嫌薪猓?br/>所以在上有解，
當(dāng)時(shí)，不等式成立，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)在上有解，
令，則
由（1）知時(shí)，即，
當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題或有解問題的策略為：通常構(gòu)造新函數(shù)或參變量分離，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值從而求得參數(shù)的取值范圍．
4．（23-24高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在，使得，求的取值范圍.
【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
(2)
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)之間的大小關(guān)系分類討論進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）時(shí)，，.
令，得；令，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>由已知可知，
∴.
①當(dāng)時(shí)，則，則當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，
∴存在，使得的充要條件是，即，
解得；
②當(dāng)時(shí)，則，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
∴存在，使得的充要條件是，
而，不符合題意，應(yīng)舍去.
③當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，成立.
綜上可得：的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)之間的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論.
高頻考點(diǎn)三：等價(jià)轉(zhuǎn)化法
典型例題
例題1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若關(guān)于的不等式有解，則的最小值是 .
【答案】/
【分析】參變分離可得有解，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求出參數(shù)的取值范圍，從而得解.
【詳解】由得，顯然，
所以有解，
令，則，
令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以，則，即的最小值是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是參變分離得到有解，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出.
例題2．（2024·江蘇·一模）已知函數(shù)，函數(shù).
(1)若過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn).
①求的值；
②當(dāng)兩點(diǎn)不重合時(shí)，求線段的長；
(2)若，使得不等式成立，求的最小值.
【答案】(1)①或1；②
(2)1
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)求的切線，再由切線與也相切，利用判別式即可求出；根據(jù)確定點(diǎn)，即可求；
（2）轉(zhuǎn)化為原命題的非命題，利用單調(diào)性及恒成立探索時(shí)非命題成立，可得當(dāng)時(shí)原命題成立，再驗(yàn)證能取得即可得解.
【詳解】（1）①，設(shè)
，
切點(diǎn).
方程，即，
聯(lián)立，
由，可得或1；
②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)重合，舍去.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
此時(shí).
（2）令，
，則，
所以在上單調(diào)遞增，
若對(duì)，均有成立，即恒成立，
或，
對(duì)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，
若，即時(shí)，，
若，即時(shí)，，
均有.
因?yàn)椋械姆穸椋沟貌坏仁匠闪ⅲ?br/>所以由，使得不等式成立，可得，其中包含情況，
而時(shí)，單調(diào)遞增，注意到
在上遞減，在上遞增，成立，符合.
綜上：的最小值為1.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問條件為存在性問題，利用命題與命題的否定之間的真假關(guān)系，轉(zhuǎn)化為研究恒成立問題是本題關(guān)鍵點(diǎn)之一，其次證明均有時(shí)，變換主元，轉(zhuǎn)為關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)分類討論，是解決問題的關(guān)鍵所在.
例題3．（23-24高二下·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）已知.
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)若存在，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)即可求得的最小值；
（2）由分離常數(shù)，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得解.
【詳解】（1）依題意，的定義域是，，..
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
（2）因?yàn)榇嬖冢钩闪ⅲ?br/>即能成立，即能成立，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：有解問題：
（1）有解；有解．
（2）有解；有解．
（3）有解；有解．
（4），，．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二下·北京·期中）已知函數(shù)，.
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在（是常數(shù)，）使不等式成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是
(2)
【分析】（1）求得，令，求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）把不等式轉(zhuǎn)化為則有解，設(shè)，即，求得，求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?br/>令，解得，
所以，，的對(duì)應(yīng)值表為
x
- 0 +
極小值
所以的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.
（2）解：由不等式，可得，則
設(shè)，
因?yàn)榇嬖冢愠闪ⅲ?br/>又由，令，解得或（舍去）
根據(jù)的對(duì)應(yīng)值表
x 1
- 0 +
極小值
所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以.
【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
2．（2023·河北承德·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）先求定義域，求導(dǎo)后，對(duì)進(jìn)行分類討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由題意，可取，得，對(duì)原不等式進(jìn)行放縮可得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得，再構(gòu)造，求導(dǎo)得，取特殊值可得的最小值為正數(shù)，所以可知在處取得極小值，可得，所以恒成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br/>，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，由，解得：，由，解得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.
（2）由，得，
取時(shí)，得，所以，
下證：，即證：，
令，則，
構(gòu)造，則，
易知在上是單調(diào)遞增函數(shù)，
又，，
在上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，
且滿足，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，
在上恒成立，即，
在上恒成立，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合簡(jiǎn)答題常常以壓軸題的形式出現(xiàn)，難度相對(duì)較大，主要考向有以下幾點(diǎn)：
1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（含參數(shù)）或判斷函數(shù)（含參數(shù)）的單調(diào)性；
2、求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程，或知道切線方程求參數(shù)；
3、求函數(shù)的極值（最值）；
4、求函數(shù)的零點(diǎn)（零點(diǎn)個(gè)數(shù)），或知道零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍；
5、證明不等式；
解決方法：對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)解決，在證明不等式或求參數(shù)取值范圍時(shí)，通常會(huì)對(duì)函數(shù)進(jìn)行參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)再結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性等解決.
3．（23-24高二下·山東聊城·階段練習(xí)）已知函數(shù)，
(1)若，且對(duì)于任意，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
(2)令，若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)區(qū)間，再討論，得出在上的單調(diào)性，由此得出實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使成立，求出的最小值，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【詳解】（1）由，可得，
若，則；若，則；
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
則，即符合題意；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，解得；
綜上所述：實(shí)數(shù)k的取值范圍為．
（2）若，則，可得，
故原題意等價(jià)于至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使成立，
構(gòu)造，則對(duì)恒成立，
故在上單調(diào)遞增，則，可得，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．兩招破解不等式的恒成立問題
（1）分離參數(shù)法
第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；
第三步：根據(jù)要求得所求范圍．
（2）函數(shù)思想法
第一步將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；
第三步：構(gòu)建不等式求解．
2．利用導(dǎo)數(shù)解決不等式存在性問題的方法技巧
根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為某函數(shù)在該區(qū)間上最大(小)值滿足的不等式成立問題，進(jìn)而用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)在該區(qū)間上的最值問題，最后構(gòu)建不等式求解．
高頻考點(diǎn)四：最值定位法解決雙參不等式問題
典型例題
例題1．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；
(2)若，且對(duì)，都，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，注意構(gòu)造中間函數(shù)判斷的符號(hào)；
（2）構(gòu)造研究其單調(diào)性證在上恒成立，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究在上的最大值，結(jié)合已知恒能成立有即可求范圍.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以．
設(shè)，則，故在上遞減．
，即，
在上單調(diào)遞減，最小值為．
（2）令，則在上恒成立，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，
所以，即在上恒成立；
又，當(dāng)時(shí)，
在區(qū)間上單調(diào)遞增；
在區(qū)間上單調(diào)遞減．
函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．
綜上，只需，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
例題2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中參數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，對(duì)分類討論求解單調(diào)區(qū)間；
（2）不等式成立，轉(zhuǎn)化為，然后求解函數(shù)的最大與最小值列出不等式求解．
【詳解】（1），
（1）當(dāng)時(shí)，，，的減區(qū)間是．
（2）當(dāng)時(shí)，，的減區(qū)間是．
（3）當(dāng)時(shí)，，，的增區(qū)間是，
，的減區(qū)間是．
綜上，當(dāng)時(shí)，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間是，減區(qū)間是.
（2），，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得不等式成立，
，
，，,，，單減，，，單增．
．
，，，．
例題3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)設(shè)．當(dāng)時(shí)，若對(duì)，，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系可得導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而可得函數(shù)單調(diào)性；
（2）由（1）在上的最小值為，再將題意轉(zhuǎn)化為在上的最小值不大于在上的最小值，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的最值討論即可.
【詳解】（1）∵，∴，
令，可得兩根分別為1，，
∵，∴
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．
（2），，由（1）知，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴在上的最小值為．
對(duì)，，使，即
在上的最小值不大于在上的最小值，（*）
又，
∴①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與（*）矛盾；
②當(dāng)時(shí)，，同樣與（*）矛盾；
③當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，
解不等式，可得，
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二下·四川綿陽·期中）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)，對(duì)，，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）由單調(diào)性知在上恒成立，采用分離變量法知，由此可求得結(jié)果；
（2）將問題等價(jià)于，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求得，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此構(gòu)造不等式可求得結(jié)果.
【詳解】（1），
在上單調(diào)遞增，在上恒成立，
，
當(dāng)時(shí)，，，
實(shí)數(shù)的最小值為.
（2）對(duì)“，，使成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，”，
在上單調(diào)遞增，，
，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中參數(shù)．設(shè)函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求a的取值范圍．
【答案】
【分析】不等式成立，轉(zhuǎn)化為，然后求解函數(shù)的最大與最小值列出不等式求解
【詳解】由題意可知，
因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得不等式成立，
∴
，∵，，，單調(diào)遞減減，
當(dāng)，，∴單調(diào)遞增．
∴，
．
∴，∴，
∵，∴．
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集 ．
3．（23-24高二下·甘肅張掖·階段練習(xí)）已知函數(shù)為的導(dǎo)數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)，若對(duì)任意，均存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，由得到切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)即可得到切線方程；
（2）轉(zhuǎn)化問題為，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求得的最小值，構(gòu)造，由的導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性，利用端點(diǎn)值和極值判斷的正負(fù)，進(jìn)而判斷的單調(diào)性，求得，即可求解.
【詳解】（1）由題意，所以0，
即切線的斜率，且，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（2）由題意知，
且的對(duì)稱軸為直線，
所以當(dāng)時(shí)，.
由（1），設(shè)，則，
所以，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
又，所以在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，
設(shè)為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，即，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
高頻考點(diǎn)五：值域法解決雙參等式問題
典型例題
例題1．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)和函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，滿足不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且對(duì)于任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，根據(jù)恒成立問題利用參變分離分析求解；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)單調(diào)性可得，由題意可得需要的取值范圍總包含于的取值范圍，根據(jù)三角函數(shù)有界性可得，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)運(yùn)算求解.
【詳解】（1）由得，即，整理得，
因?yàn)椋瑒t，可得，
又因?yàn)椋矗?br/>所以滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍為．
（2）由函數(shù)在上單調(diào)遞增，
可得，解得．
因?yàn)椋?br/>由得，
則，可得，
若要滿足題中條件，需要的取值范圍總包含于的取值范圍．
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
則，解得．
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為．
例題2．（23-24高一上·遼寧遼陽·期末）已知函數(shù)．
(1)求的解析式；
(2)若函數(shù)，，，，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用換元法求函數(shù)解析式即可.
（2）分別求出兩個(gè)函數(shù)值域，后轉(zhuǎn)化為子集問題解決即可.
【詳解】（1）令，則，
則，
所以的解析式為
（2）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以
因?yàn)椋裕?br/>所以
解得，所以的取值范圍是.
例題3．（23-24高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）己知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；
(2)已知，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可；
（2）將對(duì)任意的，總存在，使成立,轉(zhuǎn)化為值域之間的包含關(guān)系即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，,
故，即或.
故所求解集為：.
（2）當(dāng)時(shí)，，
對(duì)稱軸為,且,,
所以對(duì)任意的，,
，，，
若，則,，
對(duì)任意的，總存在，使成立，
則,解得；
若，則,，不符合題意，舍去；
若，則,，
對(duì)任意的，總存在，使成立，
則,解得；
綜上得：實(shí)數(shù)m的取值范圍是
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求不等式的解集.
(2)記，對(duì)，總使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用函數(shù)的定義域和單調(diào)性列不等式組即可得到答案；
（2）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得，又，總使得成立等價(jià)于值域值域，然后求的值域，并得，從而分離參數(shù)即可得到答案.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋字瘮?shù)在上是增函數(shù).
由得，即，
由函數(shù)的定義域和單調(diào)性可得，解得.
故不等式的解集為.
（2）(2)因?yàn)?對(duì),總使得成立，等價(jià)于值域值域.
函數(shù)的單調(diào)性可知，時(shí)，的值域?yàn)椋?br/>所以，即在恒成立，
分離參數(shù)得，
又易知與在均為減函數(shù)，
所以的最大值為；的最小值為，
所以.
故實(shí)數(shù)的取值范圍.
2．（23-24高一上·廣東茂名·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，
(1)若不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若對(duì)任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意利用參變分離可得在區(qū)間上恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合基本不等式分析求解；
（2）設(shè)在內(nèi)的值域?yàn)锳，在內(nèi)的值域?yàn)锽，可知，先取求得，再檢驗(yàn)即可.
【詳解】（1）因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，
即，恒成立．
等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，
又因?yàn)椋瑒t，
可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為：．
（2）設(shè)在內(nèi)的值域?yàn)锳，在內(nèi)的值域?yàn)锽，
若對(duì)任意的，存在，使得，則，
不妨設(shè)在上的值域?yàn)椋瑒t，
因?yàn)闀r(shí)，，
所以，即函數(shù)的圖象過對(duì)稱中心，
（i）當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由對(duì)稱性可知，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
由，，所以，所以，
由，可得，解得；
（ii）當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由對(duì)稱性可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
結(jié)合對(duì)稱性可得， 或，
因?yàn)椋裕?br/>易知，又，所以，
所以當(dāng)時(shí)，成立；
（iii）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由對(duì)稱性可知，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，，則，由得，
，解得.
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為
第四部分：新定義題
.1．（23-24高一下·湖南長沙·開學(xué)考試）若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；
(2)已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的最大值.
【答案】(1)不是“依賴函數(shù)”，理由見解析；
(2).
【分析】（1）由“依賴函數(shù)”的定義舉例子判斷即可；
（2）分類討論解決函數(shù)不等式恒成立的問題，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在的最小值問題即可.
【詳解】（1）對(duì)于函數(shù)的定義域R內(nèi)存在，而無解，故不是“依賴函數(shù)”.
（2）①若，故’
在上最小值為0，此時(shí)不存在，舍去；
②若，故’在上單調(diào)遞減，
從而， 解得（舍）或.
從而存在使得對(duì)任意的，有不等式都成立，
即對(duì)恒成立，則，得，
由存在，使能成立，
又在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，
從而，解得，
綜上，故實(shí)數(shù)的最大值為.
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