資源簡介

第05講 復數
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 3
高頻考點一：復數的概念 3
高頻考點二：復數的幾何意義 4
高頻考點三：復數分類 5
高頻考點四：復數模 6
高頻考點五：待定系數求復數 7
高頻考點六：復數的四則運算 7
高頻考點七：共軛復數 8
第四部分：新定義題（解答題） 9
第一部分：基礎知識
1、復數的概念
我們把形如的數叫做復數,其中叫做虛數單位,滿足.全體復數所構成的集合叫做復數集.
復數的表示:復數通常用字母表示,即,其中的與分別叫做復數的實部與虛部.
2、復數相等
在復數集中任取兩個數，，（），我們規定.
3、復數的分類
對于復數(),當且僅當時,它是實數；當且僅當時,它是實數0；當時,它叫做虛數；當且時,它叫做純虛數.這樣,復數()可以分類如下:
4、復數的幾何意義
（1）復數的幾何意義——與點對應
復數的幾何意義1：復數復平面內的點
（2）復數的幾何意義——與向量對應
復數的幾何意義2：復數 平面向量
5、復數的模
向量的模叫做復數)的模，記為或
公式：，其中
復數模的幾何意義：復數在復平面上對應的點到原點的距離；
特別的，時，復數是一個實數，它的模就等于(的絕對值).
6、共軛復數
（1）定義
一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數；虛部不等于0的兩個共軛復數也叫共軛虛數.
（2）表示方法
表示方法：復數的共軛復數用表示，即如果，則.
7、復數代數形式的加法（減法）運算
（1）復數的加法法則
設，，（）是任意兩個復數，那么它們的和：
顯然：兩個復數的和仍然是一個確定的復數
（2）復數的減法法則
類比實數集中減法的意義，我們規定，復數的減法是加法的逆運算，即把滿足：的復數叫做復數減去復數的差，記作
注意：①兩個復數的差是一個確定的復數；
②兩個復數相加減等于實部與實部相加減，虛部與虛部相加減.
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·北京·統考高考真題）在復平面內，復數對應的點的坐標是，則的共軛復數（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國·（乙卷文））（ ）
A．1 B．2 C． D．5
3．（2023·全國·（甲卷文））（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2023·全國·（新高考Ⅰ卷））已知，則（ ）
A． B． C．0 D．1
5．（2023·全國·（新高考Ⅱ卷））在復平面內，對應的點位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：復數的概念
典型例題
例題1．（2024下·上海·高三開學考試）下列命題不正確的為（ ）
A．若復數，的模相等，則，是共軛復數
B．，都是復數，若是虛數，則不是的共軛復數
C．復數是實數的充要條件是
D．，，則對應的點的軌跡為線段
例題2．（多選）（2024上·云南昆明·高二統考期末）已知復數，則下列說法正確的是（ ）
A．的虛部為 B．復數在復平面內對應的點位于第二象限
C．的共軛復數 D．
練透核心考點
1．（2024上·廣東深圳·高三統考期末）復數的實部與虛部之和是（ ）
A．7 B．13 C．21 D．27
2．（2024下·高一單元測試）已知復數
①在復平面內對應點的坐標為(1，－1)；
②復數的虛部為；
③復數的共軛復數為；
④；
⑤復數是方程在復數范圍內的一個根.
以上5個結論中正確的命題個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
高頻考點二：復數的幾何意義
典型例題
例題1．（2024下·全國·高一專題練習）“”是“復數在復平面內對應的點位于第四象限”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
例題2．（2024上·四川成都·高三樹德中學校考期末）在復平面內，復數，對應的點分別是，則的模是（ ）
A．5 B． C．2 D．
例題3．（多選）（2024·湖南長沙·長沙一中校聯考模擬預測）已知復數，在復平面上對應的點分別為A，B，且O為復平面原點若．（i為虛數單位），向量繞原點逆時針方向旋轉90°，且模伸長為原來的2倍后與向量重合，則（ ）
A．的虛部為 B．點B在第二象限
C． D．
練透核心考點
1．（2024上·廣東佛山·高三石門中學校考期末）復數在復平面內所對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（多選）（2024下·高一單元測試）關于復數，下列說法錯誤的是（ ）
A．若，則或
B．復數與分別對應向量與，則向量對應的復數為
C．若z是復數，則
D．若復數z滿足，則復數z對應的點所構成的圖形面積為
3．（2024·全國·高一假期作業）復平面上兩個點分別對應兩個復數，它們滿足下列兩個條件：①；②兩點連線的中點對應的復數為，若為坐標原點，則的面積為
高頻考點三：復數分類
典型例題
例題1．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學校聯考期末）若復數為純虛數，則（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
例題2．（2024下·全國·高一專題練習）復數，求實數m的取值范圍使得：
(1)z為純虛數；
(2)z在復平面上對應的點在第四象限．
高頻考點四：復數模
典型例題
例題1．（2024·福建漳州·統考模擬預測）已知復數，滿足，，則的最大值為 .
例題2．（2024·全國·高三專題練習）已知復數滿足，則的最大值是 ．
例題3．（2024·全國·高三專題練習）在復平面內，已知復數滿足，為虛數單位，則的最大值為 .
練透核心考點
1．（2024·天津濱海新·高三天津市濱海新區塘沽第一中學校聯考期末）已知是純虛數（其中，是虛數單位），則 ；
2．（2024·全國·高一假期作業）若，且滿足，則的最大值為 .
3．（2024·全國·高一假期作業）設復數、，滿足，，則 ．
高頻考點五：待定系數求復數
典型例題
例題1．（2024·全國·高一假期作業）設復數、，滿足，，則 ．
例題2．（2024·全國·高三專題練習）滿足，的一個復數 ．
練透核心考點
1．（2024·全國·高一假期作業）若復數和復數滿足，，，則 .
2．（2024·全國·高三專題練習）在復平面內，已知復數滿足，為虛數單位，則的最大值為 .
高頻考點六：復數的四則運算
典型例題
例題1．（2024·湖南邵陽·統考一模）下列各式的運算結果不是純虛數的是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024上·貴州遵義·高二統考期末）若，則（ ）
A．2 B．1 C． D．
例題3．（2024·全國·高一假期作業）設復數、，滿足，，則 ．
練透核心考點
1．（2024上·浙江湖州·高三統考期末）已知復數滿足（為虛數單位），則（ ）
A．8 B．6 C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）若，則等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·高三專題練習）復數的虛部為 .
高頻考點七：共軛復數
典型例題
例題1．（2024上·浙江湖州·高三統考期末）已知復數滿足（為虛數單位），則（ ）
A．8 B．6 C． D．
例題2．（2024上·四川成都·高三樹德中學校考期末）在復平面內，復數，對應的點分別是，則的模是（ ）
A．5 B． C．2 D．
例題3．（2024上·天津·高三校聯考期末）設，則的共軛復數為 ．
練透核心考點
1．（2024·陜西寶雞·統考一模）已知復數，為z的共軛復數，則在復平面表示的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·全國·模擬預測）已知復數，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·高三專題練習）在復平面內，復數對應的點為，則 .
第四部分：新定義題（解答題）
1．（2024下·浙江麗水·高三校考開學考試）數學中的數，除了實數、復數之外，還有四元數．四元數在計算機圖形學中有廣泛應用，主要用于描述空間中的旋轉．集合中的元素稱為四元數，其中i,j,k都是虛數單位，d稱為的實部，稱為的虛部．兩個四元數之間的加法定義為．
兩個四元數的乘法定義為：,四元數的乘法具有結合律，且乘法對加法有分配律．對于四元數，若存在四元數使得，稱是的逆，記為．實部為0的四元數稱為純四元數，把純四元數的全體記為W．
(1)設,四元數．記表示的共軛四元數．
（i）計算；
（ii）若，求；
（iii）若，證明：；
(2)在空間直角坐標系中，把空間向量與純四元數看作同一個數學對象．設．
（i）證明：;
（ii）若是平面X內的兩個不共線向量，證明：是X的一個法向量．
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第05講 復數
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 4
高頻考點一：復數的概念 4
高頻考點二：復數的幾何意義 6
高頻考點三：復數分類 9
高頻考點四：復數模 13
高頻考點五：待定系數求復數 15
高頻考點六：復數的四則運算 17
高頻考點七：共軛復數 19
第四部分：新定義題（解答題） 21
第一部分：基礎知識
1、復數的概念
我們把形如的數叫做復數,其中叫做虛數單位,滿足.全體復數所構成的集合叫做復數集.
復數的表示:復數通常用字母表示,即,其中的與分別叫做復數的實部與虛部.
2、復數相等
在復數集中任取兩個數，，（），我們規定.
3、復數的分類
對于復數(),當且僅當時,它是實數；當且僅當時,它是實數0；當時,它叫做虛數；當且時,它叫做純虛數.這樣,復數()可以分類如下:
4、復數的幾何意義
（1）復數的幾何意義——與點對應
復數的幾何意義1：復數復平面內的點
（2）復數的幾何意義——與向量對應
復數的幾何意義2：復數 平面向量
5、復數的模
向量的模叫做復數)的模，記為或
公式：，其中
復數模的幾何意義：復數在復平面上對應的點到原點的距離；
特別的，時，復數是一個實數，它的模就等于(的絕對值).
6、共軛復數
（1）定義
一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數；虛部不等于0的兩個共軛復數也叫共軛虛數.
（2）表示方法
表示方法：復數的共軛復數用表示，即如果，則.
7、復數代數形式的加法（減法）運算
（1）復數的加法法則
設，，（）是任意兩個復數，那么它們的和：
顯然：兩個復數的和仍然是一個確定的復數
（2）復數的減法法則
類比實數集中減法的意義，我們規定，復數的減法是加法的逆運算，即把滿足：的復數叫做復數減去復數的差，記作
注意：①兩個復數的差是一個確定的復數；
②兩個復數相加減等于實部與實部相加減，虛部與虛部相加減.
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·北京·統考高考真題）在復平面內，復數對應的點的坐標是，則的共軛復數（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據復數的幾何意義先求出復數，然后利用共軛復數的定義計算.
【詳解】在復平面對應的點是，根據復數的幾何意義，，
由共軛復數的定義可知，.
故選：D
2．（2023·全國·（乙卷文））（ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】由題意首先化簡，然后計算其模即可.
【詳解】由題意可得，
則.
故選：C.
3．（2023·全國·（甲卷文））（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】利用復數的四則運算求解即可.
【詳解】
故選：C.
4．（2023·全國·（新高考Ⅰ卷））已知，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根據復數的除法運算求出，再由共軛復數的概念得到，從而解出．
【詳解】因為，所以，即．
故選：A．
5．（2023·全國·（新高考Ⅱ卷））在復平面內，對應的點位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根據復數的乘法結合復數的幾何意義分析判斷.
【詳解】因為，
則所求復數對應的點為，位于第一象限.
故選：A.
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：復數的概念
典型例題
例題1．（2024下·上海·高三開學考試）下列命題不正確的為（ ）
A．若復數，的模相等，則，是共軛復數
B．，都是復數，若是虛數，則不是的共軛復數
C．復數是實數的充要條件是
D．，，則對應的點的軌跡為線段
【答案】A
【分析】根據共軛復數的定義可判斷ABC，根據復數的幾何意義可判斷D.
【詳解】對于A，若復數，的模相等，則，還可能是相等的復數，故A錯誤；
對于B，若和是共軛復數，則相加為實數，不會為虛數，故B正確；
對于C，若復數是實數，則，從而，所以，
反之若，則由得，所以，
所以復數是實數的充要條件是，故C正確；
對于D，設，
由復數的幾何意義可知表示點到點和距離之和為2，
而點和之間距離為2，所以對應的點的軌跡為線段，故D正確.
故選：A
例題2．（多選）（2024上·云南昆明·高二統考期末）已知復數，則下列說法正確的是（ ）
A．的虛部為 B．復數在復平面內對應的點位于第二象限
C．的共軛復數 D．
【答案】CD
【分析】由復數的乘、除法運算化簡復數可判斷A；由復數的幾何意義可判斷B；由共軛復數的定義可判斷C；由復數的模長公式可判斷D.
【詳解】，
對于A，的虛部為，故A錯誤；
對于B，復數在復平面內對應的點為，位于第四象限，故B錯誤；
對于C，的共軛復數，故C正確；
對于D，，故D正確.
故選：CD.
練透核心考點
1．（2024上·廣東深圳·高三統考期末）復數的實部與虛部之和是（ ）
A．7 B．13 C．21 D．27
【答案】B
【分析】根據復數的運算求解即可.
【詳解】因為，
所以復數的實部與虛部之和是，
故選：B.
2．（2024下·高一單元測試）已知復數
①在復平面內對應點的坐標為(1，－1)；
②復數的虛部為；
③復數的共軛復數為；
④；
⑤復數是方程在復數范圍內的一個根.
以上5個結論中正確的命題個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用復數除法運算求得，根據復數在復平面內對應的點的坐標判斷①的正誤，根據復數的概念判斷②的正誤，根據復數的共軛復數可以判斷③的正誤，根據復數模的概念判斷④的正誤，利用方程在復數范圍內求解判斷⑤的正誤.
【詳解】因為，
所以在復平面內對應點的坐標為(1，－1)，所以①正確；
復數的虛部為，所以②錯誤；
復數的共軛復數為，所以③錯誤；
，所以④正確；
方程在復數范圍內的根為，
所以復數是方程在復數范圍內的一個根，所以⑤正確；
所以正確的命題個數為3個，
故選：C.
高頻考點二：復數的幾何意義
典型例題
例題1．（2024下·全國·高一專題練習）“”是“復數在復平面內對應的點位于第四象限”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】求出復數在復平面內對應的點位于第四象限的等價條件，利用集合的包含關系及充分條件、必要條件求解.
【詳解】因為復數在復平面內對應的點位于第四象限，
而成立推不出成立，，
所以是復數在復平面內對應的點位于第四象限的必要不充分條件，
故選：B
例題2．（2024上·四川成都·高三樹德中學校考期末）在復平面內，復數，對應的點分別是，則的模是（ ）
A．5 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由復數對應的點求出復數的代數形式，利用共軛復數和復數的除法化簡，模長公式求模.
【詳解】復平面內，復數，對應的點分別是，
則有，，， ，
.
故選：D
例題3．（多選）（2024·湖南長沙·長沙一中校聯考模擬預測）已知復數，在復平面上對應的點分別為A，B，且O為復平面原點若．（i為虛數單位），向量繞原點逆時針方向旋轉90°，且模伸長為原來的2倍后與向量重合，則（ ）
A．的虛部為 B．點B在第二象限
C． D．
【答案】BD
【分析】結合復數的幾何意義，依題意求解出對應的坐標，然后逐項判斷即可；
【詳解】因為， 所以對應的坐標為，，
向量與軸夾角為

由題意可知，且，選項B正確；
，的虛部為，選項A錯誤；
，所以，選項C錯誤；
，選項D正確；
故選：BD.
練透核心考點
1．（2024上·廣東佛山·高三石門中學校考期末）復數在復平面內所對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根據復數的乘法和除法以及幾何意義求解即可.
【詳解】因為，所以復數z在復平面內所對應的點位于第四象限，
故選：D．
2．（多選）（2024下·高一單元測試）關于復數，下列說法錯誤的是（ ）
A．若，則或
B．復數與分別對應向量與，則向量對應的復數為
C．若z是復數，則
D．若復數z滿足，則復數z對應的點所構成的圖形面積為
【答案】ABC
【分析】對于，結合特殊值法，即可求解；對于，結合向量的運算法則，即可求解；對于，結合特殊值法，即可求解；對于，結合復數的幾何意義，即可求解．
【詳解】對于A，取，則，故A錯誤；
對于B，，B錯誤；
對于C，取，但知C錯誤；
對于D，設復數，則由可知，
故復數z對應的點所構成的圖形面積為，D正確．
故選：ABC．
3．（2024·全國·高一假期作業）復平面上兩個點分別對應兩個復數，它們滿足下列兩個條件：①；②兩點連線的中點對應的復數為，若為坐標原點，則的面積為
【答案】20
【分析】設，根據復數的運算及集合意義可得點的坐標，再根據中點坐標公式列方程求得的值，從而可得向量的坐標，根據向量的坐標運算確定模長與角度，從而得的面積.
【詳解】設，
則.
所以點的坐標分別為
又兩點連線的中點對應的復數為，
解得
.
又
的面積為.
故答案為：.
高頻考點三：復數分類
典型例題
例題1．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學校聯考期末）若復數為純虛數，則（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】利用復數的除法運算法則以及純虛數的定義求解.
【詳解】因為為純虛數，
所以解得，
故選：.
例題2．（2024下·全國·高一專題練習）復數，求實數m的取值范圍使得：
(1)z為純虛數；
(2)z在復平面上對應的點在第四象限．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據z為純虛數，列出方程，即可求解；
（2）根據z在復平面上對應的點在第四象限，列出不等式組，即可求解；
【詳解】（1），
若z為純虛數，則，解得：.
（2）由題意知，，解得：.
例題3．（2023下·河北唐山·高一校聯考期中）已知，，復數，且，復數在復平面上對應的點在函數的圖像上.
(1)求復數；
(2)若為純虛數，求實數的值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用復數的四則運算，得到，再根據條件得到，又由題設知，從而求出得到結果；
（2）利用（1）中的結果和復數的除法，再結合條件即可求出結果.
【詳解】（1）因為，
所以，對應的點為，
所以，得到，又，
所以，又，
由，解得，
所以.
（2）由（1）知，，
所以，
故，得到.
練透核心考點
1．（2024·天津濱海新·高三天津市濱海新區塘沽第一中學校聯考期末）已知是純虛數（其中，是虛數單位），則 ；
【答案】
【分析】根據實部為0虛部不為0，解方程可得復數，進而根據復數的除法運算計算模長即可.
【詳解】由題意，解得，∴，
．
故答案為：．
2．（2024·全國·高一假期作業）已知復數滿足.
（1）若是實數，求復數；
（2）求的取值范圍.
【答案】（1）復數或；（2）.
【分析】（1）利用實數概念及模長，即可得到復數；
（2）利用點與圓的位置關系，即可得到取值范圍.
【詳解】（1）設i ，、，則，
又是實數，
∴，又，
∴或，
∴復數或；
（2）
表示復數對應的點與對應的點間的距離，
而復數在以原點為圓心，半徑為5的圓上，
如圖所示，
，
∴.

3．（2024下·全國·高一專題練習）已知，復數，當m為何值時，
（1）z為實數？
（2）z為虛數？
（3）z為純虛數？
（4）z在復平面內對應的點在第四象限？
【答案】（1）或（2）且（3）（4）
【分析】由題意得解得，
（1）由，求出m即可；
（2），即可得出m；
（3）由，解得范圍；
（4）根據象限特征，由，解得范圍.
【詳解】解：，
（1）由得或，
即當或時，z為實數；
（2）由得且，
即當且時，z為虛數；
（3）由得，
即當時，z為純虛數；
（4）由解得，
即當時，z在復平面內對應的點在第四象限.
【點睛】本題考查復數的有關概念及其運算法則、方程與不等式的解法，考查推理能力與計算能力．
高頻考點四：復數模
典型例題
例題1．（2024·福建漳州·統考模擬預測）已知復數，滿足，，則的最大值為 .
【答案】/
【分析】設，根據題意求得，根據復數的幾何意義求得對應點的軌跡，再根據幾何意義求目標式的最大值.
【詳解】令復數，，，則，
所以，所以，，即.
又因為，即在復平面內，復數所對應的點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓.
又點到點的距離為，
所以的最大值為.
故答案為：.
例題2．（2024·全國·高三專題練習）已知復數滿足，則的最大值是 ．
【答案】/
【分析】根據復數模公式，復數的幾何意義及橢圓的定義可得復數對應的點，然后利用三角代換結合條件即可求解．
【詳解】設，由，得，
因此在復平面內，復數對應的點在以為焦點，長軸長為4的橢圓上，
所以可設橢圓方程為，則，
所以橢圓方程為，
而表示點與點的距離，可設，
所以與點的距離，
所以當時，，即的最大值是.
故答案為：
例題3．（2024·全國·高三專題練習）在復平面內，已知復數滿足，為虛數單位，則的最大值為 .
【答案】6
【分析】將問題化為定點到圓上點距離的最大值，即可求解.
【詳解】令且，則，即復數對應點在原點為圓心，半徑為1的圓上，
而，即點到定點距離的最大值，
所以的最大值為.
故答案為：
練透核心考點
1．（2024·天津濱海新·高三天津市濱海新區塘沽第一中學校聯考期末）已知是純虛數（其中，是虛數單位），則 ；
【答案】
【分析】根據實部為0虛部不為0，解方程可得復數，進而根據復數的除法運算計算模長即可.
【詳解】由題意，解得，∴，
．
故答案為：．
2．（2024·全國·高一假期作業）若，且滿足，則的最大值為 .
【答案】3
【分析】根據復數模的幾何意義，結合圖形，即可求解.
【詳解】，復數的軌跡表示以點為圓心，1為半徑的圓，表示圓上的點到點的距離，
如圖，當過點和圓的圓心，即為最大值.

故答案為：
3．（2024·全國·高一假期作業）設復數、，滿足，，則 ．
【答案】
【分析】設，，利用復數的模長公式、復數的運算以及復數相等可得出、以及的值，再利用復數的加法以及復數的模長公式可求得的值.
【詳解】設，，
因為，則，
又因為，
所以，，即，
由，可得，故，解得，
由，可得，
所以，，所以，.
故答案為：.
高頻考點五：待定系數求復數
典型例題
例題1．（2024·全國·高一假期作業）設復數、，滿足，，則 ．
【答案】
【分析】設，，利用復數的模長公式、復數的運算以及復數相等可得出、以及的值，再利用復數的加法以及復數的模長公式可求得的值.
【詳解】設，，
因為，則，
又因為，
所以，，即，
由，可得，故，解得，
由，可得，
所以，，所以，.
故答案為：.
例題2．（2024·全國·高三專題練習）滿足，的一個復數 ．
【答案】（或中的一個，答案不唯一）
【分析】設，根據可得出或，分、兩種情況討論，結合復數的模長公式可求得復數的值.
【詳解】設，則，
因為，則，即或.
當時，即，由，解得或，此時，或；
當時，即，由，解得，此時，.
綜上所述，或.
故答案為：（或中的一個，答案不唯一）
練透核心考點
1．（2024·全國·高一假期作業）若復數和復數滿足，，，則 .
【答案】/
【分析】設，根據復數的運算及模的公式即可求解.
【詳解】設，且，
則，
又，所以，
即，則，
因為，
所以，
所以.
故答案為：.
2．（2024·全國·高三專題練習）在復平面內，已知復數滿足，為虛數單位，則的最大值為 .
【答案】6
【分析】將問題化為定點到圓上點距離的最大值，即可求解.
【詳解】令且，則，即復數對應點在原點為圓心，半徑為1的圓上，
而，即點到定點距離的最大值，
所以的最大值為.
故答案為：
高頻考點六：復數的四則運算
典型例題
例題1．（2024·湖南邵陽·統考一模）下列各式的運算結果不是純虛數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用復數代數形式的乘法和除法運算對選項一一化簡即可得出答案.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D錯誤.
故選：D.
例題2．（2024上·貴州遵義·高二統考期末）若，則（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根據復數的共軛復數的概念，乘法、加法運算，復數模得解.
【詳解】.
故選：D
例題3．（2024·全國·高一假期作業）設復數、，滿足，，則 ．
【答案】
【分析】設，，利用復數的模長公式、復數的運算以及復數相等可得出、以及的值，再利用復數的加法以及復數的模長公式可求得的值.
【詳解】設，，
因為，則，
又因為，
所以，，即，
由，可得，故，解得，
由，可得，
所以，，所以，.
故答案為：.
練透核心考點
1．（2024上·浙江湖州·高三統考期末）已知復數滿足（為虛數單位），則（ ）
A．8 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】根據復數的除法運算及共軛復數的概念求解即可.
【詳解】因為，
解得，即，
所以，
故選：A
2．（2024·全國·模擬預測）若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由復數的乘法和除法運算化簡復數，再由共軛復數的定義即可得出答案.
【詳解】因為，所以．
故選：B．
3．（2024·全國·高三專題練習）復數的虛部為 .
【答案】1012
【分析】根據錯位相減法求和，復數乘除法，i乘方的周期性等相關知識直接求解.
【詳解】由題意得，
所以，
所以
，
所以
，
所以復數z的虛部為1012.
故答案為：1012
高頻考點七：共軛復數
典型例題
例題1．（2024上·浙江湖州·高三統考期末）已知復數滿足（為虛數單位），則（ ）
A．8 B．6 C． D．
【答案】A
【詳解】，
，，
所以，對應的點為，在第四象限.
故選：D
2．（2024·全國·模擬預測）已知復數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據復數的四則運算以及模的定義求解即可．
【詳解】由題，，
故選：A．
3．（2024·全國·高三專題練習）在復平面內，復數對應的點為，則 .
【答案】
【分析】根據已知可得，然后根據共軛復數以及復數的除法運算，化簡即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，所以，
所以，.
故答案為：.
第四部分：新定義題（解答題）
1．（2024下·浙江麗水·高三校考開學考試）數學中的數，除了實數、復數之外，還有四元數．四元數在計算機圖形學中有廣泛應用，主要用于描述空間中的旋轉．集合中的元素稱為四元數，其中i,j,k都是虛數單位，d稱為的實部，稱為的虛部．兩個四元數之間的加法定義為．
兩個四元數的乘法定義為：,四元數的乘法具有結合律，且乘法對加法有分配律．對于四元數，若存在四元數使得，稱是的逆，記為．實部為0的四元數稱為純四元數，把純四元數的全體記為W．
(1)設,四元數．記表示的共軛四元數．
（i）計算；
（ii）若，求；
（iii）若，證明：；
(2)在空間直角坐標系中，把空間向量與純四元數看作同一個數學對象．設．
（i）證明：;
（ii）若是平面X內的兩個不共線向量，證明：是X的一個法向量．
【答案】(1)（i）；（ii）；（iii）證明見解析
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析
【分析】（1）（i）由的共軛四元數定義求解即可；（ii）再結合題意求解即可；（iii）由純四元數的定義證明即可.
（2）（i）由純四元數的定義證明即可；（ii）在空間直角坐標系中，設,由題意可證明且，即可證明.
【詳解】（1）（i）．
（ii）因為，所以．
由（1）可得．
所以，
同理可驗證，
所以．
因此，．
（iii）設,則
．
由（ii）,，
而的實部為
，
所以的實部為0，所以．
（2）（i）設．則
，
,
所以,故．
（ii）在空間直角坐標系中，．所以
，
．
因此且．
因為不共線，所以,即是X的一個法向量．
【點睛】方法點睛：新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的：遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決．
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