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第05講：第六章 數(shù)列 章節(jié)總結(jié)
目錄
第一部分：典型例題講解 1
題型一：數(shù)列求通項(xiàng)之前項(xiàng)和法 1
題型二：數(shù)列求通項(xiàng)之前項(xiàng)積法 3
題型三：數(shù)列求通項(xiàng)之累加法；累乘法 6
題型四：數(shù)列求通項(xiàng)之構(gòu)造法 8
題型五：數(shù)列求通項(xiàng)之倒數(shù)法 10
題型六：數(shù)列求和之倒序相加法 12
題型七：數(shù)列求和之分組求和法 14
題型八：數(shù)列求和之裂項(xiàng)相消法 17
題型九：數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法 20
題型十：數(shù)列求和之奇偶項(xiàng)討論求和 23
題型十一：數(shù)列求和之插入新數(shù)列混合求和 27
第二部分：新定義題 29
第一部分：典型例題講解
題型一：數(shù)列求通項(xiàng)之前項(xiàng)和法
1．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ．
2．（24-25高三上·福建·開(kāi)學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列中且，其中為數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
3．（24-25高三上·廣東·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為的前項(xiàng)和，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
4．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足．
(1)求的通項(xiàng)公式；
題型二：數(shù)列求通項(xiàng)之前項(xiàng)積法
1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)積，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)的積記為，且滿足.
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
3．（2023·浙江·二模）記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：.
4．（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，．
(1)求與的通項(xiàng)公式；
題型三：數(shù)列求通項(xiàng)之累加法；累乘法
1．（2024·廣東江門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則 ．
2．（23-24高一下·上海·期末）在數(shù)列中，已知，且，則 ．
3．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知數(shù)列滿足，則 ．
4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且 ，求通項(xiàng)公式=
題型四：數(shù)列求通項(xiàng)之構(gòu)造法
1．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則的通項(xiàng)公式為 .
2．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·開(kāi)學(xué)考試）數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ．
3．（23-24高三下·廣東·階段練習(xí)）在數(shù)列中，，且，則的通項(xiàng)公式為 ．
4．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在數(shù)列中，，，則通項(xiàng)公式 ．
題型五：數(shù)列求通項(xiàng)之倒數(shù)法
1．（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·期中）已知數(shù)列中，且，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若數(shù)列滿足遞推關(guān)系式，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·全國(guó)·單元測(cè)試）已知數(shù)列滿足，，，則 .
4．（23-24高二上·重慶·期末）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前8項(xiàng)和 ．
題型六：數(shù)列求和之倒序相加法
1．（23-24高二下·北京·期中）已知，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知為正項(xiàng)等比數(shù)列，且，若函數(shù)，則（ ）
A．2023 B．2024 C． D．1012
3．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù) 倒序相加法 最小二乘法 每一個(gè)階代數(shù)方程必有個(gè)復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則 .
題型七：數(shù)列求和之分組求和法
1．（2024高二下·四川宜賓·競(jìng)賽）九連環(huán)是中國(guó)的一種古老智力游戲，它環(huán)環(huán)相扣，趣味無(wú)窮.長(zhǎng)期以來(lái)，這個(gè)益智游戲是數(shù)學(xué)家及現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)專家用于數(shù)學(xué)研究的課堂和例子.現(xiàn)假設(shè)有個(gè)圓環(huán)，用表示某種規(guī)則下個(gè)圓環(huán)所需的最小移動(dòng)次數(shù).已知數(shù)列滿足下列條件：，，記的前項(xiàng)和為，則 ； ．
2．（22-23高三上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）在數(shù)列中， .
(1)求，，；
(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.
3．（23-24高二下·重慶九龍坡·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
題型八：數(shù)列求和之裂項(xiàng)相消法
1．（23-24高二下·上海寶山·期末）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，且是3與的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
(2)若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求的最小值.
2．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和
3．（23-24高二下·貴州遵義·階段練習(xí)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
題型九：數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法
1．（23-24高二下·江西新余·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
2．（24-25高二上·福建龍巖·開(kāi)學(xué)考試）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和
3．（23-24高二下·山東淄博·期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為且滿足；等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的最大項(xiàng)；
(3)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求，
題型十：數(shù)列求和之奇偶項(xiàng)討論求和
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
50項(xiàng)和.
2．（23-24高二下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列的通項(xiàng)，求的前項(xiàng)和；
(3)在任意相鄰兩項(xiàng)與（其中）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求的值．
第二部分：新定義題
1．（23-24高二下·貴州黔南·期末）對(duì)于，若數(shù)列滿足，則稱這個(gè)數(shù)列為“K數(shù)列”．
(1)已知數(shù)列1，2m，是“K數(shù)列”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
(2)是否存在首項(xiàng)為的等差數(shù)列為“K數(shù)列”，且其前n項(xiàng)和使得恒成立 若存在，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“K數(shù)列”，數(shù)列不是“K數(shù)列”，若，試判斷數(shù)列是否為“K數(shù)列”，并說(shuō)明理由．
2．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知為有窮整數(shù)數(shù)列，共有項(xiàng)．給定正整數(shù)，若對(duì)任意的，在中，存在，使得，表示中最大的一項(xiàng)，表示中最小的一項(xiàng)，則稱為有界數(shù)列．
(1)判斷是否為有界數(shù)列，判斷是否為有界數(shù)列，說(shuō)明理由；
(2)若共有4項(xiàng)，，且為單調(diào)遞增數(shù)列，寫(xiě)出所有的，使得為有界數(shù)列；
(3)若為有界數(shù)列，證明：．
3．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）定義：若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“線性數(shù)列”.
(1)已知為“線性數(shù)列”，且，證明：數(shù)列為等比數(shù)列.
(2)已知.
（i）證明：數(shù)列為“線性數(shù)列”.
（ii）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
第05講：第六章 數(shù)列 章節(jié)總結(jié)
目錄
第一部分：典型例題講解 1
題型一：數(shù)列求通項(xiàng)之前項(xiàng)和法 1
題型二：數(shù)列求通項(xiàng)之前項(xiàng)積法 3
題型三：數(shù)列求通項(xiàng)之累加法；累乘法 6
題型四：數(shù)列求通項(xiàng)之構(gòu)造法 8
題型五：數(shù)列求通項(xiàng)之倒數(shù)法 10
題型六：數(shù)列求和之倒序相加法 12
題型七：數(shù)列求和之分組求和法 14
題型八：數(shù)列求和之裂項(xiàng)相消法 17
題型九：數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法 20
題型十：數(shù)列求和之奇偶項(xiàng)討論求和 23
題型十一：數(shù)列求和之插入新數(shù)列混合求和 27
第二部分：新定義題 29
第一部分：典型例題講解
題型一：數(shù)列求通項(xiàng)之前項(xiàng)和法
1．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)
【分析】當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，不滿足上式，故可得該數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，有，
當(dāng)時(shí)，不滿足上式，所以.
故答案為：
2．（24-25高三上·福建·開(kāi)學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列中且，其中為數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、等比中項(xiàng)的應(yīng)用
【分析】（1）由 ，求得 ，進(jìn)而得出；
【詳解】（1）在數(shù)列中，又，且，
兩式相除得，，
所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，則，
所以，
當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
3．（24-25高三上·廣東·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為的前項(xiàng)和，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、由Sn求通項(xiàng)公式
【分析】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，代入題干表達(dá)式可得，通過(guò)計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式即可計(jì)算出前項(xiàng)和的表達(dá)式，最后結(jié)合公式，即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【詳解】（1）由，得，即；
又，
所以是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
所以，又是正項(xiàng)數(shù)列，所以．
當(dāng)時(shí)，，
又當(dāng)時(shí)，不符合時(shí)的形式．
所以
4．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足．
(1)求的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)
【分析】（1）根據(jù)時(shí)，，作差即可求解，
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>故當(dāng)時(shí)，．②
①②得，所以．
又當(dāng)時(shí)，符合，從而的通項(xiàng)公式為．
（2）記的前n項(xiàng)和為，
由（1）知，
則．
題型二：數(shù)列求通項(xiàng)之前項(xiàng)積法
1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)積，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算
【分析】由前n項(xiàng)積，求出通項(xiàng)，得解.
【詳解】，，又，
，.
.
故選：C.
2．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)的積記為，且滿足.
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列、裂項(xiàng)相消法求和、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式
【分析】（1）分類討論與兩種情況，利用遞推式求得與，從而得證；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，即，易知，則，
當(dāng)時(shí)，，所以，即，
故數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.
（2）由（1）得，
則，
所以.
3．（2023·浙江·二模）記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】由定義判定等比數(shù)列、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和
【分析】（1）由等比數(shù)列的定義可得答案；
（2）由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得答案.
【詳解】（1）由可得，，即，
又因?yàn)椋?br/>所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以；
（2），
所以
.
4．（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，．
(1)求與的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)，．
【知識(shí)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和
【分析】（1）由已知得， ，兩式相除得，由已知得，求得數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；
【詳解】（1）解：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)積，所以，所以，
兩式相除得，
因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，，所以，即，所以數(shù)列的公差為，
所以，
所以，．
題型三：數(shù)列求通項(xiàng)之累加法；累乘法
1．（2024·廣東江門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】累加法求數(shù)列通項(xiàng)、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、裂項(xiàng)相消法求和
【分析】根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可計(jì)算出.
【詳解】由，則，
當(dāng)時(shí)，上式相加，得，
所以，又符合上式，可知，
所以．
故答案為：
2．（23-24高一下·上海·期末）在數(shù)列中，已知，且，則 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】累加法求數(shù)列通項(xiàng)、裂項(xiàng)相消法求和
【分析】由累加法和裂項(xiàng)相消法求通項(xiàng)即可得出答案.
【詳解】由可得：
，
．
故答案為：.
3．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知數(shù)列滿足，則 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】累乘法求數(shù)列通項(xiàng)、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)
【分析】當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差變形可得，利用累乘法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式
【詳解】將代入可得，解得，
由可得，
兩式相減得即，
所以，
也滿足，故對(duì)任意的，，
故答案為：
4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且 ，求通項(xiàng)公式=
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、累乘法求數(shù)列通項(xiàng)
【分析】由條件可得，化簡(jiǎn)得，再由遞推即可得到所求通項(xiàng).
【詳解】由，得，
∵，∴，∴ ，∴，
∴，
又滿足上式，∴.
故答案為：.
題型四：數(shù)列求通項(xiàng)之構(gòu)造法
1．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則的通項(xiàng)公式為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)
【分析】給兩邊同時(shí)加一個(gè)數(shù)，構(gòu)造成等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解的通項(xiàng)公式即可.
【詳解】設(shè)，即，所以，解得，
所以，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，
所以．
故答案為：
2．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·開(kāi)學(xué)考試）數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)
【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，將，經(jīng)化簡(jiǎn)可知新的數(shù)列是等差數(shù)列，在變形可求得.
【詳解】由題意知將等式兩邊同時(shí)除以，
可得，因?yàn)椋钥芍?br/>則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，所以.
故答案為：
3．（23-24高三下·廣東·階段練習(xí)）在數(shù)列中，，且，則的通項(xiàng)公式為 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)
【分析】利用待定系數(shù)法，設(shè)，變形得出，對(duì)比題干中的等式，求出、的值，可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】因?yàn)椋O(shè)，其中、，
整理可得，
所以，，解得，所以，，
且，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比也為的等比數(shù)列，
所以，，解得.
故答案為：.
4．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在數(shù)列中，，，則通項(xiàng)公式 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】由定義判定等比數(shù)列、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)
【分析】由遞推關(guān)系式可證得數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，由此可得.
【詳解】由得：，又，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
，則.
故答案為：.
題型五：數(shù)列求通項(xiàng)之倒數(shù)法
1．（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·期中）已知數(shù)列中，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、根據(jù)數(shù)列遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)
【分析】采用倒數(shù)法可證得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到，得解.
【詳解】由得：，
又，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
，
，，
，
故選：D．
2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若數(shù)列滿足遞推關(guān)系式，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)
【分析】利用取倒數(shù)法可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>所以，又，所以，
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，
則，得，
所以.
故選：A
3．（23-24高二下·全國(guó)·單元測(cè)試）已知數(shù)列滿足，，，則 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、判斷等差數(shù)列、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)
【分析】將變形可得數(shù)列為等差數(shù)列，再借助等差數(shù)列求解即得.
【詳解】數(shù)列中，，，顯然，取倒數(shù)得，
即，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，
因此，所以.
故答案為：.
4．（23-24高二上·重慶·期末）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前8項(xiàng)和 ．
【答案】502
【知識(shí)點(diǎn)】構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和
【分析】根據(jù)取倒數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可得到答案.
【詳解】由，取倒數(shù)得，
所以，
因?yàn)椋裕裕?br/>所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以，則，
所以數(shù)列的前8項(xiàng)和.
故答案為：502
題型六：數(shù)列求和之倒序相加法
1．（23-24高二下·北京·期中）已知，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】倒序相加法求和
【分析】利用倒序相加法計(jì)算求解.
【詳解】，
則
兩式相加得
所以，
所以.
故選：A.
2．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知為正項(xiàng)等比數(shù)列，且，若函數(shù)，則（ ）
A．2023 B．2024 C． D．1012
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用、倒序相加法求和、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用
【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再由題意可得出，由倒序相加法可求出答案.
【詳解】因?yàn)闉檎?xiàng)等比數(shù)列，且，
所以，
由可得，
所以，
所以設(shè)，
則，
所以兩式相加可得：，故，
故選：A.
3．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù) 倒序相加法 最小二乘法 每一個(gè)階代數(shù)方程必有個(gè)復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則 .
【答案】46
【知識(shí)點(diǎn)】倒序相加法求和
【分析】先證，由倒序相加法可得通項(xiàng)，然后可解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br/>設(shè)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，其中，且，則有，
從而當(dāng)時(shí)，有：，當(dāng)時(shí)，，
，
相加得
所以，又，
所以對(duì)一切正整數(shù)，有；
故有.
故答案為：46.
題型七：數(shù)列求和之分組求和法
1．（2024高二下·四川宜賓·競(jìng)賽）九連環(huán)是中國(guó)的一種古老智力游戲，它環(huán)環(huán)相扣，趣味無(wú)窮.長(zhǎng)期以來(lái)，這個(gè)益智游戲是數(shù)學(xué)家及現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)專家用于數(shù)學(xué)研究的課堂和例子.現(xiàn)假設(shè)有個(gè)圓環(huán)，用表示某種規(guī)則下個(gè)圓環(huán)所需的最小移動(dòng)次數(shù).已知數(shù)列滿足下列條件：，，記的前項(xiàng)和為，則 ； ．
【答案】 341
【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、分組（并項(xiàng)）法求和、累加法求數(shù)列通項(xiàng)、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和
【分析】根據(jù)遞推式，逐項(xiàng)列出奇數(shù)項(xiàng)相鄰項(xiàng)相減，然后運(yùn)用累加法可求出奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，從而可求出，再計(jì)算出偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，然后綜合可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用分組求和法可求得.
【詳解】由題意可知，，
則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，，……，
，
所以
，
所以；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，，……，
，
所以
，
所以，
所以
故答案為：341，
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的問(wèn)題，考查等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，考查累加法、分組求和，解題的關(guān)鍵是分為奇數(shù)和偶數(shù)結(jié)合已知的遞推式求出通項(xiàng)公式，考查分類討論的思想、轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.
2．（22-23高三上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）在數(shù)列中， .
(1)求，，；
(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.
【答案】(1)，，
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、分組（并項(xiàng)）法求和
【分析】（1）根據(jù)通項(xiàng)公式求出前3項(xiàng)即可.
（2）由題意可知，數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為等比數(shù)列，利用分組求和即可，注意對(duì)項(xiàng)數(shù)奇偶的討論.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以，，.
（2）因?yàn)椋允且?為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列.
是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列.
所以
.
3．（23-24高二下·重慶九龍坡·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、分組（并項(xiàng)）法求和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和
【分析】（1）利用等差數(shù)列的概念計(jì)算公差，再求通項(xiàng)即可；
（2）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，分組求和計(jì)算即可.
【詳解】（1）由題意可知，所以，
設(shè)的公差為d，則，
所以；
（2）由題意知，，
易知，
故
.
題型八：數(shù)列求和之裂項(xiàng)相消法
1．（23-24高二下·上海寶山·期末）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，且是3與的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
(2)若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、裂項(xiàng)相消法求和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等比中項(xiàng)的應(yīng)用
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可得，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式代入化簡(jiǎn)可求出，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由裂項(xiàng)相消法求和即可得，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性可求得答案.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，
即，解得，
所以，
即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由，
.
因?yàn)椋矗?br/>所以為嚴(yán)格增數(shù)列，
所以時(shí)，有最小值.
2．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和
【答案】(1)；
(2).
【知識(shí)點(diǎn)】累加法求數(shù)列通項(xiàng)、裂項(xiàng)相消法求和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)
【分析】（1）根據(jù)給定條件，可得當(dāng)時(shí)，，，再利用累加法求出的通項(xiàng).
（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即得.
【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，，，
，滿足上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（2）由（1）知，，
當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，
于是，，
因此，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和.
3．（23-24高二下·貴州遵義·階段練習(xí)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和
【分析】（1）利用結(jié)合題意求解；
（2）由（1）得，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，
解得或，
當(dāng)時(shí)，則，
得，
所以，
，
所以，即，
所以，
若，則由，得，不合題意，舍去，
所以，
所以，
所以數(shù)列是以3為公差的等差數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以舍去，
所以；
（2）由（1）可知，
所以
題型九：數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法
1．（23-24高二下·江西新余·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和
【分析】（1）求出、，由直線的點(diǎn)斜式方程可得切線方程，令可得；
（2）由（1）可得.方法一，利用錯(cuò)位相減求和可得答案；方法二，利用裂項(xiàng)相消求和可得答案.
【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，
所以，則切線方程為，
即，
令，解得，所以；
（2）由（1）可得，.
方法一：
所以，
則，
兩式相減得，
故
，
所以由可得，
故；
方法二：
，
所以.
.
所以由可得，
故.
2．（24-25高二上·福建龍巖·開(kāi)學(xué)考試）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和
【答案】(1)
(2)
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、由定義判定等比數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、錯(cuò)位相減法求和
【分析】（1）根據(jù)條件，建立方程組，即可求解；
（2）根據(jù)條件得到，從而有是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，即可求解；
（3）根據(jù)條件，利用錯(cuò)位相減法，即可求解.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋裕?br/>則，解得，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2），即，所以，
所以是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，
所以，得到.
（3），
所以①，
則②，
①②，得.
則.
3．（23-24高二下·山東淄博·期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為且滿足；等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的最大項(xiàng)；
(3)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求，
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】確定數(shù)列中的最大（小）項(xiàng)、前n項(xiàng)和與通項(xiàng)關(guān)系、錯(cuò)位相減法求和
【分析】（1）由前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合等比性質(zhì)得出的通項(xiàng)公式；
（2）由作差法得出單調(diào)性，進(jìn)而得出最值；
（3）由錯(cuò)位相減法求解即可.
【詳解】（1），且，，
，
，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則.
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則由，得，
解得： (舍)，或，所以.
（2）由 (1) 可知，
當(dāng)時(shí)，， 所以，
當(dāng)時(shí)，，所以.
經(jīng)分析可知當(dāng)時(shí)，最大，且最大值為.
（3）由（1）可知，，設(shè)，
則，
兩式相減得
故.
題型十：數(shù)列求和之奇偶項(xiàng)討論求和
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、分組（并項(xiàng)）法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)
【分析】（1）退位相減求得數(shù)列是等比數(shù)列，從而求解出結(jié)果；
（2）由（1）可得，從而求出前項(xiàng)和.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得.
當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，
即，又，
數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.
數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）知，，
，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
.
2．（23-24高三上·江蘇蘇州·期中）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、分組（并項(xiàng)）法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)
【分析】（1）法一：根據(jù)得到，從而得到，可得的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列，求出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，得到答案；
法二：變形得到，結(jié)合，得到，利用求出答案；
（2）變形得到，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，求和，得到答案.
【詳解】（1）法一: 當(dāng)時(shí)，，即，由，得，
由，得，
兩式相減得：．又，滿足上式．
所以當(dāng)時(shí)，，
又當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得：，
所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，
所以 （n為奇數(shù)），
數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，
所以 （n為偶數(shù)），
所以，即的通項(xiàng)公式是．
法二：因?yàn)椋?br/>所以，
同理可得，
故，
因?yàn)椋裕矗?br/>當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，適合上式，所以的通項(xiàng)公式是.
（2）因?yàn)椋?br/>故當(dāng)時(shí)，①，
當(dāng)時(shí)，②，
①、②兩式相減得：，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋援?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
所以，
所以；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
,
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
，
綜上，.
3．（23-24高二上·福建漳州·期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
(3)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)；
(2)；
(3)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、裂項(xiàng)相消法求和、分組（并項(xiàng)）法求和
【分析】（1） 設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù)題意求出的值，即可得答案；
（2）由題意可得，再采用分組求和即可得答案；
（3）由題意可得，分為奇數(shù)、偶數(shù)分別求解即可.
【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，可得，即，
即，則，解得，
所以；
（2）由（1）可得：
所以
（3）解：因?yàn)椋?br/>當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
，
所以；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
，
.
題型十一：數(shù)列求和之插入新數(shù)列混合求和
1．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)若，在和中插入個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，插入的所有數(shù)依次構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，求的前50項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析，
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列、分組（并項(xiàng)）法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)
【分析】（1）由遞推關(guān)系求出，轉(zhuǎn)化為，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；
（2）先確定在新數(shù)列前50項(xiàng)中，有的前9項(xiàng)，新插入的等差數(shù)列前41項(xiàng)，再由分組求和公式求解．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，得，
所以，又，
所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，得，即．
（2）由題意得，在新數(shù)列中，從到，共插入了項(xiàng)，
共項(xiàng).
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以，在新數(shù)列前50項(xiàng)中，有的前9項(xiàng)，新插入的等差數(shù)列前41項(xiàng).
．
2．（23-24高二下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列的通項(xiàng)，求的前項(xiàng)和；
(3)在任意相鄰兩項(xiàng)與（其中）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、錯(cuò)位相減法求和、分組（并項(xiàng)）法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)作差計(jì)算可得；
（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得；
（3）根據(jù)已知確定前36項(xiàng)的元素構(gòu)成，應(yīng)用分組求和、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕瑒t，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)也成立，
所以的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）可知，
所以，
所以，
則
，
所以；
（3）由題意，數(shù)列元素依次為，
在到之間的個(gè)數(shù)為，故到處共有個(gè)元素，
所以前項(xiàng)中含及個(gè)，
故.
第二部分：新定義題
1．（23-24高二下·貴州黔南·期末）對(duì)于，若數(shù)列滿足，則稱這個(gè)數(shù)列為“K數(shù)列”．
(1)已知數(shù)列1，2m，是“K數(shù)列”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
(2)是否存在首項(xiàng)為的等差數(shù)列為“K數(shù)列”，且其前n項(xiàng)和使得恒成立 若存在，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“K數(shù)列”，數(shù)列不是“K數(shù)列”，若，試判斷數(shù)列是否為“K數(shù)列”，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由見(jiàn)解析
(3)答案見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、數(shù)列新定義、數(shù)列不等式能成立（有解）問(wèn)題
【分析】（1）根據(jù)題意得到，且，，再解不等式組即可；
（2）首先假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求，從而得到成立，再分類討論和的情況，即可得到答案.
（3）首先設(shè)數(shù)列的公比為q，則，根據(jù)題意得到，從而得到為最小項(xiàng)，同理得到為最小項(xiàng)，再利用“數(shù)列”的定義得到，或，，再分類討論即可得到答案.
【詳解】（1）由題意得，且，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
（2）不存在．理由：假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求，設(shè)公差為d，則，
由得．
由題意，得對(duì)均成立，即．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，恒成立，
因?yàn)椋裕c矛盾，
所以這樣的等差數(shù)列不存在．
（3）設(shè)數(shù)列的公比為q，則．
因?yàn)榈拿恳豁?xiàng)均為正整數(shù)，且，
所以在中，為最小項(xiàng).
同理，中，為最小項(xiàng).
由為“K數(shù)列”，只需，即．
又因?yàn)椴皇恰皵?shù)列”，且為最小項(xiàng)，
所以，即．
由數(shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，可得，
所以或．
當(dāng)時(shí)，，則．
令，則，
又，
所以為遞增數(shù)列，即，
因?yàn)椋?br/>所以對(duì)于任意的，都有，即數(shù)列為“K數(shù)列”．
當(dāng)時(shí)，，則．
因?yàn)椋詳?shù)列不是“K數(shù)列”．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列為“K數(shù)列”；
當(dāng)時(shí)，，數(shù)列不是“K數(shù)列”．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：需要根據(jù)題中所給的“K數(shù)列”滿足的條件,分析數(shù)列滿足的關(guān)系式再進(jìn)行列式分析,屬于難題.
2．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知為有窮整數(shù)數(shù)列，共有項(xiàng)．給定正整數(shù)，若對(duì)任意的，在中，存在，使得，表示中最大的一項(xiàng)，表示中最小的一項(xiàng)，則稱為有界數(shù)列．
(1)判斷是否為有界數(shù)列，判斷是否為有界數(shù)列，說(shuō)明理由；
(2)若共有4項(xiàng)，，且為單調(diào)遞增數(shù)列，寫(xiě)出所有的，使得為有界數(shù)列；
(3)若為有界數(shù)列，證明：．
【答案】(1)為有界數(shù)列，不是有界數(shù)列；理由見(jiàn)解析
(2)的值為或
(3)證明見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】組合數(shù)的計(jì)算、數(shù)列新定義
【分析】（1）根據(jù)有界數(shù)列定義判斷即可；
（2）由題意得的值只有6種情況，分別為
（3）證明：因?yàn)闉?0-有界數(shù)列，所以，的值最少有10種情況，
所以，解得舍去．
當(dāng)時(shí)，，要使得為有界數(shù)列，
則從中任取2項(xiàng)的差值的絕對(duì)值分別對(duì)應(yīng)．
因?yàn)闉檎麛?shù)數(shù)列，且有界數(shù)列研究的是連續(xù)項(xiàng)中最大值與最小值的差值，
所以不妨設(shè)，且為單調(diào)遞增數(shù)列．
因?yàn)椋裕?br/>要使得中有2項(xiàng)的差值為9，不妨取．
要使得中有2項(xiàng)的差值為8，可取，即．
（若取或4，會(huì)使得，若取，會(huì)使得，均不滿足題意）
剩下無(wú)論取何值，都無(wú)法滿足從中任取2項(xiàng)的差值的絕對(duì)值分別對(duì)應(yīng)1，，
所以當(dāng)時(shí)，不可能為有界數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，存在為10—有界數(shù)列，如．
易得，當(dāng)時(shí)，存在，使得為有界數(shù)列．
綜上，若為有界數(shù)列，則．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列與計(jì)數(shù)原理，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．
解答與數(shù)列有關(guān)的新定義問(wèn)題的策略：
（1）通過(guò)給定的與數(shù)列有關(guān)的新定義，或約定的一種新運(yùn)算，或給出的由幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)的新問(wèn)題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題設(shè)所提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.
（2）遇到新定義問(wèn)題，需耐心研究題中信息，分析新定義的特點(diǎn)，搞清新定義的本質(zhì)，按新定義的要求“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問(wèn)題得以順利解決.
（3）類比“熟悉數(shù)列”的研究方式，用特殊化的方法研究新數(shù)列，向“熟悉數(shù)列”的性質(zhì)靠攏.
3．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）定義：若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“線性數(shù)列”.
(1)已知為“線性數(shù)列”，且，證明：數(shù)列為等比數(shù)列.
(2)已知.
（i）證明：數(shù)列為“線性數(shù)列”.
（ii）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列、裂項(xiàng)相消法求和、數(shù)列新定義
【分析】（1）依題意可得，則，即可求出、，從而得到，結(jié)合等比數(shù)列的定義證明即可；
（2）（i）首先求出，令，求出、，再計(jì)算即可證明；
（ii）由（i）可得，利用裂項(xiàng)相消法求出，即可得證.
【詳解】（1）因?yàn)闉椤熬€性數(shù)列”，所以，
所以，即，解得，
所以，
所以，又，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
（2）（i）因?yàn)椋瑒t，
令，即，解得，所以，
因?yàn)椋?br/>所以，所以數(shù)列為“線性數(shù)列”；
（ii）因?yàn)椋瑒t，
所以
，
因?yàn)椋裕?br/>所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答關(guān)鍵是理解“線性數(shù)列”的定義，第二問(wèn)的第一小問(wèn)關(guān)鍵是，從而計(jì)算.
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