資源簡介

第04講 正弦定理和余弦定理
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 4
高頻考點一：利用正、余弦定理解三角形（三角形個數問題） 4
高頻考點二：利用正、余弦定理解三角形（利用正，余弦定理解三角形） 5
高頻考點三：利用正、余弦定理解三角形（正余弦定理綜合應用） 6
高頻考點四：判斷三角形的形狀 7
高頻考點五：三角形面積相關問題（求三角形面積） 8
高頻考點六：三角形面積相關問題（三角形面積的最值（范圍）） 9
高頻考點七：三角形周長（邊）相關問題（求三角形周長（邊長）） 11
高頻考點八：三角形周長（邊）相關問題（三角形周長（邊長）的最值） 12
第四部分：典型易錯題型 14
備注：銳角三角形周長取值范圍問題，注意考查角的取值范圍 14
第五部分：新定義題 15
第一部分：基礎知識
1、正弦定理
1.1正弦定理的描述
①文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.
②符號語言：在中， 若角、及所對邊的邊長分別為，及，則有
1.2正弦定理的推廣及常用變形公式
在中， 若角、及所對邊的邊長分別為，及，其外接圓半徑為，則
①
②；；；
③
④
⑤，，（可實現邊到角的轉化）
⑥，，（可實現角到邊的轉化）
2、余弦定理
2.1余弦定理的描述
①文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.
②符號語言：在中，內角，所對的邊分別是,則：
；
2.2余弦定理的推論
；
；
3、三角形常用面積公式
①；
②；
③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內切圓半徑）；
④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).
4、常用結論
在三角形中的三角函數關系
①
②
③
④
⑤
⑥若
⑦若或
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·北京·高考真題）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·乙卷文）在中，內角的對邊分別是，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·甲卷文）記的內角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積．
4．（2023·全國·新課標Ⅰ卷）已知在中，．
(1)求；
(2)設，求邊上的高．
5．（2023·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：利用正、余弦定理解三角形（三角形個數問題）
典型例題
例題1．（23-24高一下·浙江·階段練習）在中，分別根據下列條件解三角形，其中有兩解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
例題2．（多選）（23-24高一下·甘肅金昌·階段練習）在中，角的對邊分別為，則下列對的個數的判斷正確的是（ ）
A．當時，有兩解
B．當時，有一解
C．當時，無解
D．當時，有兩解
例題3．（23-24高一下·上?！るA段練習）在中，，，要使被唯一確定，那么的取值范圍是 .
練透核心考點
1．（多選）（23-24高一下·河北滄州·階段練習）在中，內角所對的邊分別為，下列各組條件中，能使恰有一個解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多選）（23-24高一下·河南濮陽·階段練習）在中，，，（a為常數），若滿足條件的三角形有且僅有兩個，則a的取值可能為（ ）
A．7 B．14 C．15 D．16
3．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）的內角的對邊分別為，若滿足的三角形有一解，則的取值范圍為 .
高頻考點二：利用正、余弦定理解三角形（利用正，余弦定理解三角形）
典型例題
例題1．（23-24高一下·河南·階段練習）在中，角的對邊分別是，若，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高一下·內蒙古呼倫貝爾·階段練習）在中，若，，，則 .
例題3．（23-24高一下·內蒙古呼倫貝爾·階段練習）在中，已知，，，則的值為 .
練透核心考點
1．（多選）（23-24高二下·山東菏澤·階段練習）在中，角的對邊分別是，若，則角B的值為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．（2024·全國·模擬預測）已知在中，點在線段上，且，則 ．
3．（23-24高一下·內蒙古呼倫貝爾·階段練習）在中，內角，，的對邊分別為，，，其中，，，解這個三角形.
高頻考點三：利用正、余弦定理解三角形（正余弦定理綜合應用）
典型例題
例題1．（2024·湖南·二模）在中，角所對邊分別為，且，若，，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．2或4
例題2．（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習）在中，，則邊 ．
例題3．（2024·全國·模擬預測）在中，內角所對的邊分別為，且，，則的最小值是 .
練透核心考點
1．（2024·海南·模擬預測）在中，內角的對邊分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·遼寧遼陽·一模）在中，內角的對邊分別為，且，則的最小值為 .
3．（23-24高一下·內蒙古呼倫貝爾·階段練習）在三角形中，內角，，所對的邊分別是，，，其中，
(1)若，則等于多少.
(2)求.
高頻考點四：判斷三角形的形狀
典型例題
例題1．（2024·河南新鄉·二模）在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，，則（ ）
A．為銳角三角形 B．為直角三角形
C．為鈍角三角形 D．的形狀無法確定
例題2．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）在中，角的對邊分別為，若，則的形狀為（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
例題3．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）在中，角所對的邊分別為，且，則的形狀為（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
練透核心考點
1．（23-24高一下·寧夏銀川·階段練習）在中，其內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
2．（23-24高一下·山東聊城·階段練習）在中，，則的形狀為（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
3．（23-24高一下·安徽合肥·階段練習）在中，若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
高頻考點五：三角形面積相關問題（求三角形面積）
典型例題
例題1．（23-24高一下·山東濟南·階段練習）已知分別為內角的對邊，的面積，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024·遼寧撫順·一模）記的內角的對邊分別為，已知．
(1)求角；
(2)若，點為的重心，且，求的面積．
例題3．（23-24高一下·福建廈門·階段練習）在中，角所對的邊分別為，已知.
(1)求角的大?。?br/>(2)若，求的面積.
練透核心考點
1．（2024·全國·模擬預測）若的內角的對邊分別為，，，點在邊上，且的面積為，則 ．
2．（23-24高一下·浙江·階段練習）已知向量，函數．
(1)在中，分別為內角的對邊，若，求A；
(2)在（1）條件下，，求的面積．
3．（2024·全國·模擬預測）已知中，角、、的對邊分別是．
(1)求角的大??；
(2)若，為邊上一點，，，求的面積．
高頻考點六：三角形面積相關問題（三角形面積的最值（范圍））
典型例題
例題1．（23-24高一下·福建泉州·階段練習）在銳角中，、、分別是角、、所對的邊，已知且，則銳角面積的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（21-22高一下·全國·期末）在①；②向量，，；③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上.并加以解答.在中，角，，的對邊分別為，，，且_________.
(1)求角的大小；
(2)設是上一點，且，，求面積的最大值.（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）
例題3．（23-24高二上·福建福州·期中）已知在，角所對的邊分別是，且．
(1)求的大??；
(2)若，求面積的取值范圍．
練透核心考點
1．（23-24高二下·遼寧本溪·開學考試）在①；②；③；這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題（其中S為的面積）.
問題：在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且______.
(1)求角B的大??；
(2)AC邊上的中線，求的面積的最大值.
2．（2024·山西·一模）中角所對的邊分別為，其面積為，且.
(1)求；
(2)已知，求的取值范圍.
3．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）在中，角，，的對邊分別為，，，．
(1)求；
(2)若點是上的點，平分，且，求面積的最小值．
高頻考點七：三角形周長（邊）相關問題（求三角形周長（邊長））
典型例題
例題1．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．若的面積，且，則的周長為（ ）
A． B．15 C． D．
例題2．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）記的內角，，的對邊分別為，，，已知，.
(1)求角的大小;
(2)已知直線為的平分線，且與交于點，若，求的周長.
例題3．（23-24高一下·河南周口·階段練習）已知，，分別為三個內角，，的對邊，且.
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)若的面積為，求的周長.
練透核心考點
1．（2024·全國·模擬預測）在中，角所對的邊分別為，，，的外接圓半徑為，，且．
(1)求的值；
(2)若的面積為，求的周長．
例題2．（2024高三·全國·專題練習）在中，角所對的邊分別為是的角平分線，若，則的最小值為
例題3．（2024·遼寧·模擬預測）已知的內角的對邊分別為．
(1)求；
(2)若為銳角三角形，且，求的周長的取值范圍．
例題4．（23-24高一下·廣東東莞·階段練習）已知的內角所對的邊分別是，．
(1)求角；
(2)若外接圓的周長為，求周長的取值范圍．
練透核心考點
1．（2024·廣東梅州·一模）已知是銳角三角形，角，，所對的邊分別為，，，為的面積，，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高一下·江蘇連云港·期中）設銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍是 ．
3．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求A；
(2)若，求周長的取值范圍.
4．（22-23高一下·江蘇·階段練習）在銳角三角形中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
(1)求角B的值；
(2)若，求的取值范圍．
第四部分：典型易錯題型
備注：銳角三角形周長取值范圍問題，注意考查角的取值范圍
1．（23-24高一下·河南洛陽·階段練習）在中，角的對邊分別為，且．
(1)求角的大小；
(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．
2．（23-24高一下·浙江寧波·階段練習）在銳角中，已知.
(1)求；
(2)求的取值范圍.
3．（23-24高三上·河北邢臺·期中）在銳角三角形中，內角的對邊分別為，且．
(1)求角的大?。?br/>(2)若，求面積的取值范圍．
第五部分：新定義題
1．（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習） “費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題．該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數學家托里拆利給出了解答，當的三個內角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為費馬點．試用以上知識解決下面問題：已知的內角所對的邊分別為，
(1)若，
①求；
②若，設點為的費馬點，求；
(2)若，設點為的費馬點，，求實數的最小值．
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第04講 正弦定理和余弦定理
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 6
高頻考點一：利用正、余弦定理解三角形（三角形個數問題） 6
高頻考點二：利用正、余弦定理解三角形（利用正，余弦定理解三角形） 9
高頻考點三：利用正、余弦定理解三角形（正余弦定理綜合應用） 11
高頻考點四：判斷三角形的形狀 14
高頻考點五：三角形面積相關問題（求三角形面積） 16
高頻考點六：三角形面積相關問題（三角形面積的最值（范圍）） 21
高頻考點七：三角形周長（邊）相關問題（求三角形周長（邊長）） 28
高頻考點八：三角形周長（邊）相關問題（三角形周長（邊長）的最值） 34
第四部分：典型易錯題型 41
備注：銳角三角形周長取值范圍問題，注意考查角的取值范圍 41
第五部分：新定義題 45
第一部分：基礎知識
1、正弦定理
1.1正弦定理的描述
①文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.
②符號語言：在中， 若角、及所對邊的邊長分別為，及，則有
1.2正弦定理的推廣及常用變形公式
在中， 若角、及所對邊的邊長分別為，及，其外接圓半徑為，則
①
②；；；
③
④
⑤，，（可實現邊到角的轉化）
⑥，，（可實現角到邊的轉化）
2、余弦定理
2.1余弦定理的描述
①文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.
②符號語言：在中，內角，所對的邊分別是,則：
；
2.2余弦定理的推論
；
；
3、三角形常用面積公式
①；
②；
③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內切圓半徑）；
④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).
4、常用結論
在三角形中的三角函數關系
①
②
③
④
⑤
⑥若
⑦若或
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·北京·高考真題）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.
【詳解】因為，
所以由正弦定理得，即，
則，故，
又，所以.
故選：B.
2．（2023·全國·乙卷文）在中，內角的對邊分別是，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結合誘導公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內角和定理可得的值.
【詳解】由題意結合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
據此可得，
則.
故選：C.
3．（2023·全國·甲卷文）記的內角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根據余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出．
【詳解】（1）
因為，所以，解得：．
（2）
由正弦定理可得
，
變形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面積為．
4．（2023·全國·新課標Ⅰ卷）已知在中，．
(1)求；
(2)設，求邊上的高．
【答案】(1)
(2)6
【分析】
（1）根據角的關系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；
（2）利用同角之間的三角函數基本關系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據等面積法求解即可.
【詳解】（1）
，
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）
由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
5．（2023·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據正弦定理即可解出；
（2）根據余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出，再由平方關系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．
【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都為銳角，因此，，
．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：利用正、余弦定理解三角形（三角形個數問題）
典型例題
例題1．（23-24高一下·浙江·階段練習）在中，分別根據下列條件解三角形，其中有兩解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】由余弦定理可判定選項A，利用正弦定理和大邊對大角可判斷選項B，C，D.
【詳解】對于A，已知三角形三邊，且任意兩邊之和大于第三邊，
任意兩邊之差小于第三邊，從而可由余弦定理求內角，只有一解，A錯誤；
對于B，根據正弦定理得，，
又，，B有兩解，故B符合題意；
對于C，由正弦定理：得：，
C只有一解，故C不符合題意.
對于D，根據正弦定理得，，
又，，D只有一解，故D不符合題意.
故選：B
例題2．（多選）（23-24高一下·甘肅金昌·階段練習）在中，角的對邊分別為，則下列對的個數的判斷正確的是（ ）
A．當時，有兩解
B．當時，有一解
C．當時，無解
D．當時，有兩解
【答案】AC
【分析】由正弦定理對四個選項一一判斷，得到答案.
【詳解】對于A，由正弦定理得，即，所以，
又因為，所以或，有兩解，故A正確；
對于B，由正弦定理得，無解，故B錯誤；
對于C，由正弦定理得，無解，故C正確；
對于D，由正弦定理得，
又，所以為銳角，此三角形只有一解，故D錯誤.
故選：AC.
例題3．（23-24高一下·上?！るA段練習）在中，，，要使被唯一確定，那么的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據利用正弦定理，結合三角形有1個解的條件即可求解.
【詳解】根據題意，，，
由正弦定理得：，則，
三角形只有一個解，則或，
則或，即或，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
練透核心考點
1．（多選）（23-24高一下·河北滄州·階段練習）在中，內角所對的邊分別為，下列各組條件中，能使恰有一個解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由已知條件，利用正弦定理角三角形，根據結果判斷解的個數.
【詳解】由正弦定理，，得，
若，，無解，A選項錯誤；
若，，得，恰有一個解，B選項正確；
若，，，有兩解，有兩個解，C選項錯誤；
若，，，恰有一個解，D選項正確.
故選：BD
2．（多選）（23-24高一下·河南濮陽·階段練習）在中，，，（a為常數），若滿足條件的三角形有且僅有兩個，則a的取值可能為（ ）
A．7 B．14 C．15 D．16
【答案】BC
【分析】
根據三角形有兩解的條件，判斷的范圍，即可得出正確選項.
【詳解】由題意，當滿足，即時，
滿足條件的三角形有且僅有兩個，
因為，所以，
而，
所以的取值可能為14，15.
故選：BC
3．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）的內角的對邊分別為，若滿足的三角形有一解，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】利用正弦定理，結合三角形邊角關系求解即得.
【詳解】在中，由正弦定理，得，而，
當時，只有一解，，
當，即時，，只有一解，
所以的取值范圍為.
故答案為：
高頻考點二：利用正、余弦定理解三角形（利用正，余弦定理解三角形）
典型例題
例題1．（23-24高一下·河南·階段練習）在中，角的對邊分別是，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理計算即得.
【詳解】由正弦定理可得，所以.
故選：A.
例題2．（23-24高一下·內蒙古呼倫貝爾·階段練習）在中，若，，，則 .
【答案】或
【分析】利用正弦定理即可得解，注意三角形大邊對大角的特征.
【詳解】因為，，，
由正弦定理，得.
因為，則，
又，所以或.
故答案為：或.
例題3．（23-24高一下·內蒙古呼倫貝爾·階段練習）在中，已知，，，則的值為 .
【答案】
【分析】根據給定條件，利用余弦定理列式計算即得.
【詳解】在中，，，，
由余弦定理得.
故答案為：
練透核心考點
1．（多選）（23-24高二下·山東菏澤·階段練習）在中，角的對邊分別是，若，則角B的值為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】AD
【分析】根據給定條件，利用余弦定理，結合同角公式計算即得.
【詳解】在中，由余弦定理得，又，
因此，解得，而，
所以或.
故選：AD
2．（2024·全國·模擬預測）已知在中，點在線段上，且，則 ．
【答案】
【分析】由題意，根據正弦定理、余弦定理計算即可求解.
【詳解】在中，由余弦定理，得，
則，即，
在中，，
由正弦定理得，解得．
故答案為：
3．（23-24高一下·內蒙古呼倫貝爾·階段練習）在中，內角，，的對邊分別為，，，其中，，，解這個三角形.
【答案】，，
【分析】利用余弦定理與勾股定理的推論即可得解.
【詳解】因為，，，
所以，即（負值舍去），
則，所以是直角三角形，且，
所以，
綜上，，，.
高頻考點三：利用正、余弦定理解三角形（正余弦定理綜合應用）
典型例題
例題1．（2024·湖南·二模）在中，角所對邊分別為，且，若，，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．2或4
【答案】C
【分析】利用余弦定理先得B，結合余弦的和差公式構造齊次式弦化切解方程計算即可.
【詳解】由余弦定理得，
即，
，
所以或，
又，所以.
故選：C
【點睛】思路點睛：由余弦定理先求，根據條件及余弦的和差角公式、弦化切構造齊次式方程解方程即可.
例題2．（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習）在中，，則邊 ．
【答案】
【分析】首先求出，再利用余弦定理計算可得.
【詳解】因為，所以，又是三角形的內角，所以為銳角，
因為，
所以．
由余弦定理得
所以（負值舍去）.
故答案為：．
例題3．（2024·全國·模擬預測）在中，內角所對的邊分別為，且，，則的最小值是 .
【答案】
【分析】利用正弦定理邊角互化，然后利用余弦定理得到，最后由輔助角公式求解即可.
【詳解】因為，所以由正弦定理得，
所以，即，
所以由正弦定理得.
由可得，代入，可得.
由余弦定理可得.
由得，
，其中，
為定值，且，所以當最大時，最小.
所以當時，取最小值5，此時取得最小值，，
所以的最小值為.
故答案為：
練透核心考點
1．（2024·海南·模擬預測）在中，內角的對邊分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意利用正弦定理分析求解.
【詳解】由正弦定理可得.
故選：A.
2．（2024·遼寧遼陽·一模）在中，內角的對邊分別為，且，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由正弦定理及條件可得，再利用基本不等式即可求出結果.
【詳解】由正弦定理得，，
因為，所以，
當且僅當即等號成立，所以的最小值為.
故答案為：.
3．（23-24高一下·內蒙古呼倫貝爾·階段練習）在三角形中，內角，，所對的邊分別是，，，其中，
(1)若，則等于多少.
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換即可得解；
（2）由正弦定理化角為邊，代入得，再由余弦定理即可得解.
【詳解】（1）因為，，
所以由正弦定理得.
（2）因為，
所以由正弦定理可得，
又，所以，
所以.
高頻考點四：判斷三角形的形狀
典型例題
例題1．（2024·河南新鄉·二模）在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，，則（ ）
A．為銳角三角形 B．為直角三角形
C．為鈍角三角形 D．的形狀無法確定
【答案】C
【分析】根據余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.
【詳解】由于,
故為鈍角，進而三角形為鈍角三角形
故選：C
例題2．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）在中，角的對邊分別為，若，則的形狀為（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
【答案】B
【分析】將已知等式兩邊利用正弦定理化邊為角，運用差角的正弦公式整理分析即得.
【詳解】因，由正弦定理，，即,
因,則，故, ,即，故是等腰三角形.
故選：B.
例題3．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）在中，角所對的邊分別為，且，則的形狀為（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【分析】利用正弦定理及三角恒等變換化簡求出角即可得解.
【詳解】因為，
所以，即，即，
所以，
在中，，
所以，所以，
所以，
因為，所以，則，
所以，所以為直角三角形，
故選：B．
練透核心考點
1．（23-24高一下·寧夏銀川·階段練習）在中，其內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】A
【分析】利用余弦定理角化邊，然后整理化簡即可得答案.
【詳解】因為
所以，
整理得，
即的形狀是等腰三角形.
故選：A.
2．（23-24高一下·山東聊城·階段練習）在中，，則的形狀為（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【分析】利用二倍角的余弦公式，結合余弦定理化簡即可得解.
【詳解】在中，，則，
由余弦定理得，整理得，則，
所以是直角三角形.
故選：B
3．（23-24高一下·安徽合肥·階段練習）在中，若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利用余弦定理將化簡為，從而可求解.
【詳解】由，得，
由余弦定理得，化簡得，
當時，即，則為直角三角形；
當時，得，則為等腰三角形；
綜上：為等腰或直角三角形，故D正確.
故選：D.
高頻考點五：三角形面積相關問題（求三角形面積）
典型例題
例題1．（23-24高一下·山東濟南·階段練習）已知分別為內角的對邊，的面積，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據余弦定理和三角形面積公式得到方程，求出，得到答案.
【詳解】由余弦定理得，
又三角形面積公式得，
故，
又，故，即，
又，故.
故選：C
例題2．（2024·遼寧撫順·一模）記的內角的對邊分別為，已知．
(1)求角；
(2)若，點為的重心，且，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據正余弦定理邊角互化即可求解，
（2）根據重心的性質可得，進而根據余弦定理可得，由面積公式即可求解.
【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，
整理得，由余弦定理可得．
又因為，所以．
（2）設的延長線交于點，因為點為的重心，所以點為中點，
又因為，所以．
在中，由和，可得．
在和中，有，
由余弦定理可得
故，
所以，
所以的面積為．
例題3．（23-24高一下·福建廈門·階段練習）在中，角所對的邊分別為，已知.
(1)求角的大??；
(2)若，求的面積.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根據正弦定理邊角互化，結合特殊角的三角函數值求解即可；
（2）分類討論，根據余弦定理求得，然后代入三角形面積公式求解即可.
【詳解】（1）由及正弦定理知：.
因為為三角形內角，則，所以.
因為為三角形內角，則或.
（2）若，由余弦定理得，，
則，即，
即，因為，則，
所以的面積；
若，則，即，因為，則，
所以的面積.
練透核心考點
1．（2024·全國·模擬預測）若的內角的對邊分別為，，，點在邊上，且的面積為，則 ．
【答案】
【分析】先根據結合兩角和的正余弦公式求出，再利用正弦定理求出，再根據的面積求出邊，再在中，利用余弦定理即可得解.
【詳解】因為，所以，
所以，所以，
即，所以，
因為，所以，
因為，
所以，
又，所以，
因為點在邊上，，所以，
因為，，所以，
所以，
所以，得，
在中，，
由余弦定理可得，
得．
故答案為：.
【點睛】方法點睛：在處理三角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系．題中若出現邊的一次式一般采用到正弦定理，出現邊的二次式一般采用到余弦定理．應用正、余弦定理時，注意公式變式的應用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．
2．（23-24高一下·浙江·階段練習）已知向量，函數．
(1)在中，分別為內角的對邊，若，求A；
(2)在（1）條件下，，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量數量積的坐標表示式和三角恒等變換將函數化成正弦型函數，再由解三角方程即得；
（2）由余弦定理求得邊，利用三角形面積公式計算即得.
【詳解】（1）由向量，函數，
得．
由，即，
因為，所以，
從而，解得．
（2）由余弦定理，得，
則，則．所以，
所以的面積．
3．（2024·全國·模擬預測）已知中，角、、的對邊分別是．
(1)求角的大小；
(2)若，為邊上一點，，，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及誘導公式、恒等變換公式得到的正切值，進而求解即可；
（2）解法一利用已知條件和向量的知識得到，進而實數化得到和的一個關系式，再由三角形余弦定理結合角的互補關系得出和的另一個關系式，聯立方程求解即可；解法二直接由第一問的結果結合余弦定理得出和的一個關系式，再由三角形余弦定理結合角的互補關系得出和的另一個關系式，聯立方程求解即可.
【詳解】（1）由正弦定理得，
因為
故，
即，
即．
而，故，
又因為所以．
而，故．
（2）解法一：由知，
兩邊同時平方得，
即，化簡得．①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，
故，即，②
由①②得，
由于，得，代入②得．
所以的面積為．
解法二：在中，由余弦定理可得，
整理得，①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，
故，即，②
由①②得，
由于，得，代入②得，
所以的面積為．
高頻考點六：三角形面積相關問題（三角形面積的最值（范圍））
典型例題
例題1．（23-24高一下·福建泉州·階段練習）在銳角中，、、分別是角、、所對的邊，已知且，則銳角面積的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面積公式結合正弦定理化邊為角，再根據三角恒等變換轉化為三角函數求范圍即可.
【詳解】且，,
根據正弦定理得，,
即，
整理得，
，，，解得，，
，
，,
的面積
為銳角三角形，，，
，，
，
.
故選：C.
例題2．（21-22高一下·全國·期末）在①；②向量，，；③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上.并加以解答.在中，角，，的對邊分別為，，，且_________.
(1)求角的大小；
(2)設是上一點，且，，求面積的最大值.（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）若選①，利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導公式計算可得；若選②，依題意可得，根據數量積的坐標表示及正弦定理將邊化角，即可得解；若選③，利用余（正）弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導公式計算可得；
（2）在、中分別利用余弦定理表示出、，再由，可得，再在中利用余弦定理得到，再由基本不等式求出的最大值，最后由面積公式計算可得.
【詳解】（1）選①，，由正弦定理知，
∴，
∵，，∴，
∵，.
選②，因為，且，
所以，
由正弦定理知，，
∵，，∴，
∵，∴.
選③，∵，，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∵，∴.
（2）由題意得，，，，
在中，，
在中，，
∵，∴，
化簡得.
在中，，
∴，整理得，
∵（當且僅當時取等號），
∴，
∴，
即面積的最大值為.
例題3．（23-24高二上·福建福州·期中）已知在，角所對的邊分別是，且．
(1)求的大?。?br/>(2)若，求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化邊為角得到，知值由范圍求角即可；
（2）由（1），已知，由一組對邊角已知可得，借助這一常數利用正弦定理化邊為角，再由三角恒等變換化簡面積表達式求解最值.
【詳解】（1）因為，所以由正弦定理可得，
整理可得，又，所以．
（2）因為，所以由正弦定理得，
所以，
又，所以，
所以
又因為，可得，
所以（當且僅當時，等號成立），
可得，
由，,
即面積的取值范圍是．
練透核心考點
1．（23-24高二下·遼寧本溪·開學考試）在①；②；③；這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題（其中S為的面積）.
問題：在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且______.
(1)求角B的大??；
(2)AC邊上的中線，求的面積的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）若選①：根據正弦定理，化簡得到，再由余弦定理得到，即可求解；
若選②：由三角形的面積公式和向量的數量積的運算公式，化簡得到，得到，即可求解；
若選③：由正弦定理化簡可得到，求得，即可求解.
（2）根據向量的運算法則和基本不等式，化簡得到，結合面積公式，即可求解.
【詳解】（1）解：若選①：在中，因為，
由，
可得，
由正弦定理得，即，
則，
又因為，故.
若選②：由，可得，所以，
因為，所以.
若選③：因為，
正弦定理得，
又因為，所以，
即，
因為，，所以，
又因為，可得；
綜上所述：選擇①②③，都有.
（2）解：由，可得，
所以，可得，當且僅當時取等號，
則，當且僅當時取等號，
則的面積的最大值為.
2．（2024·山西·一模）中角所對的邊分別為，其面積為，且.
(1)求；
(2)已知，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根據面積公式以及余弦定理即可求解，進而可求解，
（2）根據余弦定理結合不等式即可求解.
【詳解】（1）
因為三角形的面積為，
則，
所以，又，則；
（2）由于，所以，
即，取等號，
故，
故
3．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）在中，角，，的對邊分別為，，，．
(1)求；
(2)若點是上的點，平分，且，求面積的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理邊化角結合兩角和的正弦公式，化簡已知等式，可得，結合同角的三角函數關系，即可求得答案；
（2）利用面積相等，即，推出，利用基本不等式結合三角形面積公式，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知中，，
故，即,
即,
所以，而，
故，即，
又，故；
（2）由于點是上的點，平分，且，
則，
由，得，
即，則，當且僅當時取等號，
故，當且僅當時取等號，
所以，
即面積的最小值為.
高頻考點七：三角形周長（邊）相關問題（求三角形周長（邊長））
典型例題
例題1．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．若的面積，且，則的周長為（ ）
A． B．15 C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理化簡已知等式可得，利用余弦定理可求，可求解的值,利用三角形的面積公式可求，由余弦定理可求，即可求周長．
【詳解】已知,由正弦定理得：，
整理可得，所以，
由于，所以；
的面積，所以，
又，所以由余弦定理，
可得，
解得或（舍去），
所以的周長．
故選：B
例題2．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）記的內角，，的對邊分別為，，，已知，.
(1)求角的大小;
(2)已知直線為的平分線，且與交于點，若，求的周長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和，得到，從而求出角；
（2）由三角形面積公式和余弦定理得到，從而求出周長.
【詳解】（1）由已知，得，
根據正弦定理，得，
即，
即，
由于，，
所以，所以；
（2）因為，
所以，
因為直線為的平分線，
所以，
所以，
則，即，
由余弦定理得，即，
所以，
解得或（舍），
故的周長為.
例題3．（23-24高一下·河南周口·階段練習）已知，，分別為三個內角，，的對邊，且.
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)若的面積為，求的周長.
【答案】(1)
(2)
(3)10
【分析】（1）由正弦定理化邊為角，利用內角和定理與和角的正弦公式化簡得到，即可求得角；
（2）由求得，利用二倍角公式求得的值，利用差角的正弦公式計算即得；
（3）由三角形面積公式求出，利用余弦定理變形轉化求出，即得的周長.
【詳解】（1），由正弦定理可得，
因，
所以，可得，
為三角形內角，，解得，
；
（2）由已知，所以，
，
，
.
（3），
，
由余弦定理得，
即，解得（負值舍去），
的周長為
練透核心考點
1．（2024·全國·模擬預測）在中，角所對的邊分別為，，，的外接圓半徑為，，且．
(1)求的值；
(2)若的面積為，求的周長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，由正弦定理、余弦定理化簡得到，結合三角恒等變換的公式，求得，得到，再利用兩角和的公式，即可求解；
（2）由（1）求得，由正弦定理得，令，，，結合三角形的面積公式列出方程，求得的值，進而求得其周長.
【詳解】（1）解：由，
可得，所以，
又由正弦定理，可得，
即，所以，
可得或，即或（舍去），
因為，可得，
所以．
（2）解：由（1）可得，，
則，
又由正弦定理得，
令，，，其中，
則，解得，
因此的周長為．
2．（23-24高二下·陜西西安·階段練習）記的內角、、的對邊分別為、、，且．
(1)求的大?。?br/>(2)若，的面積為，求的周長．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由正弦定理和，得到，求出；
（2）由三角形面積公式和余弦定理得到，從而求出周長.
【詳解】（1）由正弦定理得，
因為，所以，
所以，
又，
故，
得，
因為，所以，得，
又，所以．
（2）由，得，
由余弦定理，得，
得，得，
所以的周長為．
3．（2024高三·天津·專題練習）已知，，分別為三個內角，，的對邊，且．
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)若的面積為，，求的周長．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理化邊為角，利用內角和定理與和角的正弦公式化簡得到，即可求得角A；
（2）由求得，利用二倍角公式求得的值，利用差角的正弦公式計算即得；
（3）由三角形面積公式求出，利用余弦定理變形轉化求出，即得的周長.
【詳解】（1）．由正弦定理可得，
因，
所以，可得，
為三角形內角，，解得，，
．
（2）由已知，，所以，
，，
.
（3），，
由余弦定理得，
即，解得，
的周長為．
高頻考點八：三角形周長（邊）相關問題（三角形周長（邊長）的最值）
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習）銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根據正弦定理和條件化簡得到，把轉化為角求解可得答案.
【詳解】因為，所以，
整理可得，即有.
又，所以，解得，所以，
于是
.
因為三角形是銳角三角形，所以，所以，
所以的取值范圍是.
故選：B
例題2．（2024高三·全國·專題練習）在中，角所對的邊分別為是的角平分線，若，則的最小值為
【答案】
【分析】利用張角定理得到，再利用不等式中的妙用來求解最值.
【詳解】是的角平分線，
，
由張角定理得:，
即，
，
，
（當且僅當，即時取“=”）.
故答案為：.
例題3．（2024·遼寧·模擬預測）已知的內角的對邊分別為．
(1)求；
(2)若為銳角三角形，且，求的周長的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據正弦定理角化邊，結合余弦定理，即可求得答案；
（2）利用正弦定理求出的表達式，根據為銳角三角形確定B的范圍，求出三角形周長的表達式并化簡，結合正切函數性質，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知中，，
即，即，
故，而；
（2）由（1）知，而，
故由正弦定理得，則
，
由為銳角三角形，則，則，
故的周長
，
而，故，
故的周長的取值范圍為.
例題4．（23-24高一下·廣東東莞·階段練習）已知的內角所對的邊分別是，．
(1)求角；
(2)若外接圓的周長為，求周長的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由正弦定理化簡已知等式可得，利用余弦定理可得，結合范圍，可求的值．
（2）法一：由正弦定理可得，由余弦定理，基本不等式可求的范圍，進而可求的周長的最大值；法二：利用正弦定理，將周長化為角A的函數求出范圍即可.
【詳解】（1）由正弦定理可得，即．
由余弦定理得.
又，所以．
（2）方法一：因為△外接圓的周長為，所以△外接圓的直徑為．
由正弦定理得，則．
由余弦定理得．
因為，所以，即，
由三角形性質知，
當且僅當時，等號成立．
所以，故△周長的取值范圍為．
方法二：因為△外接圓的周長為，所以△外接圓的直徑為．
由正弦定理得，則．



∵
∴ ，∴
故△周長的取值范圍為．
練透核心考點
1．（2024·廣東梅州·一模）已知是銳角三角形，角，，所對的邊分別為，，，為的面積，，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求得，利用正弦定理以及三角恒等變換的知識化簡，利用三角函數值域的求法求得正確答案.
【詳解】依題意，，
，
由解得.
，
由于三角形是銳角三角形，所以，
所以，所以，
所以，
所以.
故選：A
2．（22-23高一下·江蘇連云港·期中）設銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據已知條件，利用正弦定理邊角互化結合三角恒等變換將目標式化為角的函數關系，再求的取值范圍，根據函數值域即可求得結果．
【詳解】因為，則，，
又，
故由正弦定理可得：
，
又為銳角三角形，故可得，
解得，則，
由于，在上單調遞增，
當當，
故，
即．
故答案為：．
3．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求A；
(2)若，求周長的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知結合正弦定理角化邊，整理根據余弦定理即可得出，然后根據A的范圍，即可得出答案；
（2）根據正弦定理得出，.設周長為，表示出周長.然后根據誘導公式以及輔助角公式化簡可得出.然后根據的范圍，即可得出答案.
【詳解】（1）在中，由已知結合正弦定理角化邊可得，
整理可得，所以.
又，所以.
（2）由（1）知，
所以，，
記的周長為，則，
由，，得，
所以.
又，所以，則，故
4．（22-23高一下·江蘇·階段練習）在銳角三角形中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
(1)求角B的值；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理邊化角后整理化簡即可；
（2）利用正弦定理得到，則，利用三角公式變形整理，利用三角函數的性質求最值.
【詳解】（1）因為，
由正弦定理邊化角可得，
所以，又，
所以，又為銳角，
則；
（2）由正弦定理，
則，
所以，
，
因為在銳角三角形中，得，
所以，
則，
所以的取值范圍為.
第四部分：典型易錯題型
備注：銳角三角形周長取值范圍問題，注意考查角的取值范圍
1．（23-24高一下·河南洛陽·階段練習）在中，角的對邊分別為，且．
(1)求角的大??；
(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理進行角化邊，然后根據余弦定理求解出的值，即可求出角；
（2）法一：根據正弦定理可得，根據三角恒等變換化簡可得，再根據的范圍求解即可；法二：過點作，垂足為，根據直角三角形性質結合圖形分析求解.
【詳解】（1）由正弦定理得，
整理得，所以，
又，所以．
（2）法一：由（1）知，即．
因為為銳角三角形，所以解得．
由正弦定理，得，
則
，
當時，，則．
又，
所以，所以，
所以，即，
所以周長的取值范圍是．
法二：（數形結合）過點作，垂足為，
在直線上取一點，使，則與均為直角三角形．
為銳角三角形，
點在線段上（不含端點）．
在中，，易得，
，周長為；
在中，，易得，周長為，
所以周長的范圍是．
2．（23-24高一下·浙江寧波·階段練習）在銳角中，已知.
(1)求；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理邊化角，再借助三角函數和差角公式化簡可解；
（2）利用正弦定理邊化角，再借助輔助角公式化簡求范圍.
【詳解】（1）由題意，根據正弦定理可得，
則，展開可得，
.
（2）由正弦定理，
則
所以
．
由，得，
所以，所以，
所以．
所以面積的取值范圍為．
第五部分：新定義題
1．（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習） “費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題．該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數學家托里拆利給出了解答，當的三個內角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為費馬點．試用以上知識解決下面問題：已知的內角所對的邊分別為，
(1)若，
①求；
②若，設點為的費馬點，求；
(2)若，設點為的費馬點，，求實數的最小值．
【答案】(1)①；②
(2).
【分析】（1）①利用正弦定理角化邊，然后利用余弦定理來求解；②利用等面積法列方程，結合向量數量積運算求得正確答案；
（2）由（1）結論可得，設，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再結合基本不等式即可求得答案.
【詳解】（1）①由正弦定理得，即，
所以，又，
所以；
②由①，所以三角形的三個角都小于，
則由費馬點定義可知：，
設，由得：
，整理得，
則
；
（2）因為，
所以，
所以，即，
所以或，
當時，，為直角三角形，
當，
則，
得，在三角形中不可能成立，
所以為的直角三角形，
因為點為的費馬點，則，
設，
則由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
當且僅當，結合，解得時，等號成立，
又，即有，解得或（舍去），
故實數的最小值為.
【點睛】關鍵點點睛：解答本題首先要理解費馬點的含義，從而結合（1）的結論可解答第二問，解答第二問的關鍵在于設，推出，結合費馬點含義，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解.
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