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第04講 一元二次函數(shù)（方程，不等式）
目錄
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 3
高頻考點(diǎn)一：一元二次（分式）不等式解法（不含參） 3
高頻考點(diǎn)二：一元二次不等式解法（含參） 4
高頻考點(diǎn)三：一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)（方程）的關(guān)系 6
高頻考點(diǎn)四：一元二次不等式恒成立問(wèn)題 7
角度1：上恒成立（優(yōu)選法） 7
角度2：上成立（優(yōu)選法） 7
角度3：上恒成立（優(yōu)選分離變量法） 8
角度4：上成立（優(yōu)選分離變量法） 8
角度5：已知參數(shù)，求取值范圍（優(yōu)選變更主元法） 8
高頻考點(diǎn)五：分式不等式 10
高頻考點(diǎn)六：一元二次不等式的應(yīng)用 11
第四部分：典型易錯(cuò)題型 13
備注：一元二次不等式最高項(xiàng)系數(shù)容易忽略化正。 13
備注：分式不等式容易直接乘到另一側(cè)忽略正負(fù)而漏解。 13
第五部分：新定義題（解答題） 13
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、二次函數(shù)
（1）形式：形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).
（2）特點(diǎn)：
①函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程的實(shí)根.
②當(dāng)且()時(shí)，恒有()；當(dāng)且()時(shí)，恒有().
2、一元二次不等式
只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱(chēng)為一元二次不等式.
3.或型不等式的解集
不等式 解集
4、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系
判別式
二次函數(shù)的圖象
一元二次方程 的根 有兩相異實(shí)數(shù)根，() 有兩相等實(shí)數(shù)根 沒(méi)有實(shí)數(shù)根
一元二次不等式 的解集
一元二次不等式 的解集
5、分式不等式解法
（1）
（2）
（3）
（4）
6、單絕對(duì)值不等式
（1）
（2）
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．2
2．（2023·全國(guó)·（新課標(biāo)Ⅰ卷））設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)
高頻考點(diǎn)一：一元二次（分式）不等式解法（不含參）
典型例題
例題1．（2024上·江西南昌·高一校聯(lián)考期末）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．
(1)求不等式的解集；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
例題3．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高一校考期末）解下列關(guān)于x的不等式：
(1)；
(2).
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·廣東江門(mén)·高一統(tǒng)考期末）一元二次不等式的解集為 .
2．（2024上·湖南岳陽(yáng)·高一校考期末）已知不等式的解集為，設(shè)不等式的解集為集合.
(1)求集合；
(2)設(shè)全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
3．（2024上·四川綿陽(yáng)·高一四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考期末）已知集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
高頻考點(diǎn)二：一元二次不等式解法（含參）
典型例題
例題1．（2024上·四川南充·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)，的值；
(2)求關(guān)于的不等式的解集.
例題2．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；
(2)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.
例題3．（2024上·甘肅慶陽(yáng)·高一校考期末）已知函數(shù)，其中.
(1)若，求實(shí)數(shù)的值；
(2)求不等式的解集.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·江蘇南京·高一南京師大附中校考期末）設(shè)為實(shí)數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024上·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合．
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
3．（2024上·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）已知.
(1)若，求的值；
(2)求關(guān)于的不等式的解集.
高頻考點(diǎn)三：一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)（方程）的關(guān)系
典型例題
例題1．（多選）（2024上·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的不等式（，）的解集為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．的最大值為
C．的最小值為4 D．的最小值為
例題2．（2024上·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則的最小值為 ．
例題3．（2023上·江蘇南京·高一期末）已知不等式的解集為，設(shè)不等式的解集為集合.
(1)求集合；
(2)設(shè)全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
練透核心考點(diǎn)
1．（多選）（2024上·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為{或}，則（ ）
A．且 B．
C．不等式的解集為 D．不等式的解集為
2．（2024上·湖南·高一校聯(lián)考期末）已知.
(1)若不等式的解集是，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
3．（2023上·福建三明·高一校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)．
(1)若關(guān)于的不等式的解集是，求實(shí)數(shù)，的值；
(2)若，，解關(guān)于的不等式．
高頻考點(diǎn)四：一元二次不等式恒成立問(wèn)題
角度1：上恒成立（優(yōu)選法）
典型例題
例題1．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）若不等式的解集為R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學(xué)校校考階段練習(xí)）不等式（）恒成立的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
角度2：上成立（優(yōu)選法）
典型例題
例題1．（2023上·廣東珠海·高一校聯(lián)考期中）命題：，為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
角度3：上恒成立（優(yōu)選分離變量法）
典型例題
例題1．（2023上·遼寧鐵嶺·高三校聯(lián)考期中）已知，，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
B． C． D．
角度4：上成立（優(yōu)選分離變量法）
典型例題
例題1．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）若關(guān)于x的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)m的最小值為（ ）
A．9 B．5 C．6 D．
角度5：已知參數(shù)，求取值范圍（優(yōu)選變更主元法）
典型例題
例題1．（2024上·福建福州·高一福建省長(zhǎng)樂(lè)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的解集；
(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)滿足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023上·湖南張家界·高一慈利縣第一中學(xué)校考期中）（1）若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2．（2024上·福建南平·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
3．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．
(1)求不等式的解集；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
4．（2024上·四川內(nèi)江·高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的最小值為，且是其一個(gè)零點(diǎn)，都有．
(1)求的解析式；
(2)求在區(qū)間上的最小值；
(3)若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高一湖南師大附中校考期末）設(shè)全集，集合，．
(1)求；
(2)已知集合，若，求a的取值范圍．
高頻考點(diǎn)六：一元二次不等式的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2023上·貴州貴陽(yáng)·高一校考階段練習(xí)）一家車(chē)輛制造廠引進(jìn)了一條摩托車(chē)整車(chē)裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車(chē)數(shù)量（單位：輛）與創(chuàng)造的價(jià)值（單位：元）之間有如下的關(guān)系：.若這家工廠希望在一個(gè)星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，則在一個(gè)星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn) （填寫(xiě)區(qū)間范圍）輛摩托車(chē)？
例題2．（2024上·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）某新能源公司投資280萬(wàn)元用于新能源汽車(chē)充電樁項(xiàng)目，且年內(nèi)的總維修保養(yǎng)費(fèi)用為萬(wàn)元，該項(xiàng)目每年可給公司帶來(lái)200萬(wàn)元的收入.設(shè)到第且年年底，該項(xiàng)目的純利潤(rùn)（純利潤(rùn)=累計(jì)收入-累計(jì)維修保養(yǎng)費(fèi)-投資成本）為萬(wàn)元.已知到第3年年底，該項(xiàng)目的純利潤(rùn)為128萬(wàn)元.
(1)求實(shí)數(shù)的值.并求該項(xiàng)目到第幾年年底純利潤(rùn)第一次能達(dá)到232萬(wàn)元；
(2)到第幾年年底，該項(xiàng)目年平均利潤(rùn)（平均利潤(rùn)=純利潤(rùn)年數(shù)）最大？并求出最大值.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024下·西藏·高一開(kāi)學(xué)考試）為發(fā)展空間互聯(lián)網(wǎng)，搶占6G技術(shù)制高點(diǎn)，某企業(yè)計(jì)劃加大對(duì)空間衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)研發(fā)的投入.據(jù)了解，該企業(yè)研發(fā)部原有100人，年人均投入a（）萬(wàn)元，現(xiàn)把研發(fā)部人員分成兩類(lèi)：技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員有x名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加4x%，技術(shù)人員的年人均投入為萬(wàn)元.
(1)要使調(diào)整后的研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100人的年總投入，則調(diào)整后的技術(shù)人員最多有多少人？
(2)是否存在實(shí)數(shù)m，同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①技術(shù)人員的年人均投入始終不減少；②調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由.
2．（2023上·陜西寶雞·高一寶雞市渭濱中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)為，寬為的矩形地面的四周種植花卉，中間種植草坪，如果要求草坪外側(cè)四周的花卉帶的寬度都相同，且草坪的面積不超過(guò)總面積的一半，則花卉帶的寬度至少應(yīng)為多少米？
第四部分：典型易錯(cuò)題型
備注：一元二次不等式最高項(xiàng)系數(shù)容易忽略化正。
1．（2023上·湖南永州·高一校考階段練習(xí)）一元二次不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
備注：分式不等式容易直接乘到另一側(cè)忽略正負(fù)而漏解。
2．（2023上·吉林·高一吉化第一高級(jí)中學(xué)校校考階段練習(xí)）不等式的解集為 .
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·福建莆田·高一莆田一中校考期末）小穎同學(xué)在學(xué)習(xí)探究活動(dòng)中，定義了一種運(yùn)等“”：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有，通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)新運(yùn)算滿足交換律：.小穎提出了兩個(gè)猜想：，，，①；②.
(1)請(qǐng)你任選其中一個(gè)猜想，判斷其正確與否，若正確，進(jìn)行證明；若錯(cuò)誤，請(qǐng)說(shuō)明理由；（注：兩個(gè)猜想都判斷、證明或說(shuō)明理由，僅按第一解答給分）
(2)設(shè)且，，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?
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第04講 一元二次函數(shù)（方程，不等式）
目錄
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 4
高頻考點(diǎn)一：一元二次（分式）不等式解法（不含參） 4
高頻考點(diǎn)二：一元二次不等式解法（含參） 7
高頻考點(diǎn)三：一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)（方程）的關(guān)系 10
高頻考點(diǎn)四：一元二次不等式恒成立問(wèn)題 15
角度1：上恒成立（優(yōu)選法） 15
角度2：上成立（優(yōu)選法） 16
角度3：上恒成立（優(yōu)選分離變量法） 16
角度4：上成立（優(yōu)選分離變量法） 17
角度5：已知參數(shù)，求取值范圍（優(yōu)選變更主元法） 17
高頻考點(diǎn)五：分式不等式 23
高頻考點(diǎn)六：一元二次不等式的應(yīng)用 25
第四部分：典型易錯(cuò)題型 28
備注：一元二次不等式最高項(xiàng)系數(shù)容易忽略化正。 28
備注：分式不等式容易直接乘到另一側(cè)忽略正負(fù)而漏解。 29
第五部分：新定義題（解答題） 29
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、二次函數(shù)
（1）形式：形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).
（2）特點(diǎn)：
①函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程的實(shí)根.
②當(dāng)且()時(shí)，恒有()；當(dāng)且()時(shí)，恒有().
2、一元二次不等式
只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱(chēng)為一元二次不等式.
3.或型不等式的解集
不等式 解集
4、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系
判別式
二次函數(shù)的圖象
一元二次方程 的根 有兩相異實(shí)數(shù)根，() 有兩相等實(shí)數(shù)根 沒(méi)有實(shí)數(shù)根
一元二次不等式 的解集
一元二次不等式 的解集
5、分式不等式解法
（1）
（2）
（3）
（4）
6、單絕對(duì)值不等式
（1）
（2）
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．
方法二：將集合中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出．
【詳解】方法一：因?yàn)椋?br/>所以．
故選：C．
方法二：因?yàn)椋瑢⒋氩坏仁剑挥惺共坏仁匠闪ⅲ裕?br/>故選：C．
2．（2023·全國(guó)·（新課標(biāo)Ⅰ卷））設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.
【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)
高頻考點(diǎn)一：一元二次（分式）不等式解法（不含參）
典型例題
例題1．（2024上·江西南昌·高一校聯(lián)考期末）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)，解一元二次不等式即可，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可解.
【詳解】設(shè)，則不等式可化為，
解得，
所以，解得.
故選：A
例題2．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．
(1)求不等式的解集；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)．
【分析】（1）利用韋達(dá)定理求參數(shù)后再解不等式即可.
（2）對(duì)變量范圍進(jìn)行討論，分離參數(shù)法求解參數(shù)即可.
【詳解】（1）因?yàn)橐辉尾坏仁降慕饧癁椋?br/>所以和1是方程的兩個(gè)實(shí)根，則，
解得．因此所求不等式即為：，解集為或．
（2）可化為：，當(dāng)時(shí)顯然成立；
當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，
令，則，
當(dāng)，即時(shí)，
所以，即．
例題3．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高一校考期末）解下列關(guān)于x的不等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可；
（2）根據(jù)分式不等式的解法求解即可.
【詳解】（1）由，得，
即，所以，
所以不等式的解集為；
（2）由，得，
則，解得或，
所以不等式的解集為或.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·廣東江門(mén)·高一統(tǒng)考期末）一元二次不等式的解集為 .
【答案】
【分析】轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)一元二次不等式后，分解因式直接解不等式即可.
【詳解】由可得，
即，
解得或，
所以不等式的解集為.
故答案為：
2．（2024上·湖南岳陽(yáng)·高一校考期末）已知不等式的解集為，設(shè)不等式的解集為集合.
(1)求集合；
(2)設(shè)全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意得和是方程的兩根，代入求得，化簡(jiǎn)所求不等式，求解即可；
（2）將是成立的必要條件轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系，結(jié)合子集的定義及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br/>則和是方程的兩根，
所以，解得，
所以不等式為不等式，
解得，即集合.
（2）因?yàn)槭浅闪⒌谋匾獥l件，所以.
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
3．（2024上·四川綿陽(yáng)·高一四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考期末）已知集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）解不等式得出A，代入得出B，進(jìn)而根據(jù)并集的運(yùn)算求解，即可得出答案；
（2）根據(jù)已知可推得A，分以及，根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組，求解即可得出答案.
【詳解】（1）解可得，或，
所以，或.
當(dāng)時(shí)，，
所以或.
（2）由“”是“”的必要不充分條件，
所以，.
又或，.
當(dāng)，有，即，顯然滿足；
當(dāng)時(shí)，有，即.
要使A，
則有或，
解得或.
綜上所述，或.
高頻考點(diǎn)二：一元二次不等式解法（含參）
典型例題
例題1．（2024上·四川南充·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)，的值；
(2)求關(guān)于的不等式的解集.
【答案】(1)；
(2)答案見(jiàn)解析.
【分析】（1）由不等式解集可得是的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)值；
（2）由題意有，討論、、求不等式解集.
【詳解】（1）由題設(shè)的解集為，即是的兩個(gè)根，
所以.
（2）由題意，
當(dāng)時(shí)，解得或，故解集為；
當(dāng)時(shí)，解得，故解集為；
當(dāng)時(shí)，解得或，故解集為；
例題2．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；
(2)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.
【答案】(1)或
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）直接解二次方程即可得解；
（2）分類(lèi)討論的取值范圍，解二次不等式即可得解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
令，得，解得或，
故的零點(diǎn)為或.
（2）因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得；
當(dāng)時(shí)，不等式可化為，
又，故解得或；
綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.
例題3．（2024上·甘肅慶陽(yáng)·高一校考期末）已知函數(shù)，其中.
(1)若，求實(shí)數(shù)的值；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)題意，由，列出方程，即可求解；
（2）根據(jù)題意，得到，結(jié)合一元二次不等式不等式的解法，即可求解.
【詳解】（1）由函數(shù)，因?yàn)椋傻茫獾?
（2）因?yàn)椋傻茫矗?br/>當(dāng)時(shí)，解得，所以不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，解得或，所以不等式的解集為，
綜上可得，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·江蘇南京·高一南京師大附中校考期末）設(shè)為實(shí)數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分類(lèi)討論解不等式，判斷不可能的解集.
【詳解】關(guān)于的不等式，
若，不等式為，解得，此時(shí)解集為；
若，方程，解得或，
時(shí)，不等式解得或，此時(shí)解集為；
時(shí)，，不等式解得，此時(shí)解集為；
時(shí)，，不等式解集為，
時(shí)，，不等式解得，此時(shí)解集為；
所以不等式的解集不可能是.
故選：B
2．（2024上·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合．
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)分式不等式化簡(jiǎn)集合，即可根據(jù)并集的運(yùn)算求解，
（2）根據(jù)包含關(guān)系即可列不等式求解.
【詳解】（1）由解得，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以．
（2）因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>所以，解得，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
3．（2024上·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）已知.
(1)若，求的值；
(2)求關(guān)于的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)詳見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求參數(shù)的值；
（2）分解因式，對(duì)的值進(jìn)行分類(lèi)討論即可求解.
【詳解】（1）由得函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為：，
由.
（2）由.
當(dāng)時(shí)，可得：;
當(dāng)時(shí)，可得：；
當(dāng)時(shí)，可得：
綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：
高頻考點(diǎn)三：一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)（方程）的關(guān)系
典型例題
例題1．（多選）（2024上·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的不等式（，）的解集為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．的最大值為
C．的最小值為4 D．的最小值為
【答案】ABD
【分析】利用二次不等式的解集得方程的兩根為和，結(jié)合韋達(dá)定理得，從而判斷A，再利用基本不等式計(jì)算判斷BCD.
【詳解】由題意，不等式的解集為，
可得，且方程的兩根為和，
所以，所以，，
所以，所以A正確；
因?yàn)椋裕傻茫?br/>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，所以B正確；
由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，所以C錯(cuò)誤；
由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為，所以D正確.
故選：ABD
例題2．（2024上·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】由題可得a，b是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可求出的值，進(jìn)而可得，再由不等式“1”的代換即可求出答案.
【詳解】因?yàn)閰^(qū)間是關(guān)于的一元二次不等式的解集，
則a，b是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
則有，，，，
所以，且a，b是兩個(gè)不同的正數(shù)，
則有
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即，等號(hào)成立，
滿足，故的最小值是.
故答案為： .
例題3．（2023上·江蘇南京·高一期末）已知不等式的解集為，設(shè)不等式的解集為集合.
(1)求集合；
(2)設(shè)全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意得和是方程的兩根，代入求得，化簡(jiǎn)所求不等式，求解即可；
（2）將是成立的必要條件轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系，結(jié)合子集的定義及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br/>則和是方程的兩根，
所以，解得，
所以不等式為不等式，
解得，即集合.
（2）因?yàn)槭浅闪⒌谋匾獥l件，所以.
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
練透核心考點(diǎn)
1．（多選）（2024上·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為{或}，則（ ）
A．且 B．
C．不等式的解集為 D．不等式的解集為
【答案】AC
【分析】利用一元二次不等式、二次函數(shù)、一元二次的關(guān)系求參數(shù)一一判定選項(xiàng)即可.
【詳解】由題意可知，所以且，，故A正確，B錯(cuò)誤；
不等式，故C正確；
不等式，
即，所以或，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
2．（2024上·湖南·高一校聯(lián)考期末）已知.
(1)若不等式的解集是，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根據(jù)二次不等式的解集與二次方程的根的關(guān)系可得參數(shù)；
（2）這個(gè)不等式恒成立，首先討論時(shí)，能不能恒成立，其次在時(shí)，這是二次不等式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．
【詳解】（1）由題意可知，和3是方程的兩根，且，
所以，解得.
（2）由題可得，即對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，
當(dāng)時(shí)，不等式化為，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，有解得，
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
3．（2023上·福建三明·高一校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)．
(1)若關(guān)于的不等式的解集是，求實(shí)數(shù)，的值；
(2)若，，解關(guān)于的不等式．
【答案】(1)，；
(2)答案見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)給定的解集，借助一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列式計(jì)算即得.
（2）分類(lèi)討論解一元二次不等式即得.
【詳解】（1）由不等式的解集是，
得和是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，
于是，解得，，
所以，.
（2），不等式化為，即，
當(dāng)，即時(shí)，解不等式，得或；
當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為；
當(dāng)，即時(shí)，解不等式，得或，
所以當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.
高頻考點(diǎn)四：一元二次不等式恒成立問(wèn)題
角度1：上恒成立（優(yōu)選法）
典型例題
例題1．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）若不等式的解集為R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分類(lèi)討論，結(jié)合一元二次不等式解集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】由題意可知恒成立，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)時(shí)需滿足，即，求得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是
故選：C
例題2．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學(xué)校校考階段練習(xí)）不等式（）恒成立的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分和兩種情況討論求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，得，與題意矛盾，
當(dāng)時(shí)，則，解得，
綜上所述，，
所以不等式（）恒成立的一個(gè)充分不必要條件是A選項(xiàng).
故選：A.
角度2：上成立（優(yōu)選法）
典型例題
例題1．（2023上·廣東珠海·高一校聯(lián)考期中）命題：，為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化不等式在上有解，利用判別式求解.
【詳解】因?yàn)槊}：，為真命題，
所以不等式在上有解，
當(dāng)時(shí)，不等式可化為，得，符合題意；
當(dāng)時(shí)，由題意得，即，
解得，結(jié)合，得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
角度3：上恒成立（優(yōu)選分離變量法）
典型例題
例題1．（2023上·遼寧鐵嶺·高三校聯(lián)考期中）已知，，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，再根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，
又，可得，令，
則原題意等價(jià)于，，即，
，當(dāng)時(shí)，取到最大值，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
故選：C
角度4：上成立（優(yōu)選分離變量法）
典型例題
例題1．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）若關(guān)于x的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)m的最小值為（ ）
A．9 B．5 C．6 D．
【答案】B
【分析】先通過(guò)分離參數(shù)得到，然后利用基本不等式求解出的最小值，則的最小值可求.
【詳解】因?yàn)樵谏嫌薪猓栽谏嫌薪猓?br/>所以，
又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
所以，所以，即的最小值為，
故選：B.
角度5：已知參數(shù)，求取值范圍（優(yōu)選變更主元法）
典型例題
例題1．（2024上·福建福州·高一福建省長(zhǎng)樂(lè)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的解集；
(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)滿足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）求解一元二次不等式即可；
（2）關(guān)于的不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)最值問(wèn)題求解，按系數(shù)符號(hào)與軸與區(qū)間的關(guān)系分類(lèi)討論求解即可.
【詳解】（1）時(shí)，函數(shù)，
不等式即為，
即，
解得，
∴不等式的解集為.
（2）設(shè)，，
根據(jù)題意知，在上恒成立，
①當(dāng)時(shí)，解得，
若，則在上單調(diào)遞增，
則，不符合題意；
若，則在上單調(diào)遞減，
則，不符合題意；
②當(dāng)，即時(shí)，的圖像為開(kāi)口向下的拋物線，
要使在上恒成立，需，
即，解得或，
又∵，∴此時(shí)無(wú)解；
③當(dāng)，即或時(shí)，的圖像為開(kāi)口向上的拋物線，其對(duì)稱(chēng)軸方程為，
（i）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
∴，解得或，
∵，，∴此時(shí)無(wú)解；
（ii）當(dāng)，即或時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，此時(shí)無(wú)解；
（iii）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
∴，解得或，
∵，，∴此時(shí)無(wú)解；
綜上，不存在符合題意的實(shí)數(shù).
練透核心考點(diǎn)
1．（2023上·湖南張家界·高一慈利縣第一中學(xué)校考期中）（1）若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）題目轉(zhuǎn)化為，利用均值不等式計(jì)算最值得到答案.
（2）變換得到，計(jì)算函數(shù)的最小值得到答案.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，有解，
即在上有解，
又，于是等價(jià)于，
故，又，
當(dāng)且僅當(dāng)即，即時(shí)等號(hào)成立，所以
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立．
因?yàn)椋耶?dāng)時(shí)有最大值為，
所以等價(jià)于．
在區(qū)間上的最小值為，故只需即可，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
2．（2024上·福建南平·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）解一元二次不等式即可得解；
（2）由題意得，恒成立，對(duì)分類(lèi)討論即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)，，不等式即為，
解得或，
所以的解集為或．
（2）因?yàn)椋?br/>所以不等式可化為，
依題意對(duì)，恒成立．
所以當(dāng)時(shí)，，不符合要求；
當(dāng)時(shí)，由一元二次函數(shù)性質(zhì)，可知，即，解得，
因此實(shí)數(shù)的取值范圍是．
3．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．
(1)求不等式的解集；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)．
【分析】（1）利用韋達(dá)定理求參數(shù)后再解不等式即可.
（2）對(duì)變量范圍進(jìn)行討論，分離參數(shù)法求解參數(shù)即可.
【詳解】（1）因?yàn)橐辉尾坏仁降慕饧癁椋?br/>所以和1是方程的兩個(gè)實(shí)根，則，
解得．因此所求不等式即為：，解集為或．
（2）可化為：，當(dāng)時(shí)顯然成立；
當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，
令，則，
當(dāng)，即時(shí)，
所以，即．
4．（2024上·四川內(nèi)江·高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的最小值為，且是其一個(gè)零點(diǎn)，都有．
(1)求的解析式；
(2)求在區(qū)間上的最小值；
(3)若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)性和最小值設(shè)頂點(diǎn)式，代入零點(diǎn)即可得到解析式；
（2）分和討論即可；
（3）通過(guò)分離參數(shù)法和基本不等式即可求出的范圍.
【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)都有，
所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
又因?yàn)槎魏瘮?shù)的最小值為，
所以可設(shè)二次函數(shù)的解析式為，
又因?yàn)槭瞧湟粋€(gè)零點(diǎn)，
所以，解得，
所以的解析式為.
（2）由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
.
（3）因?yàn)殛P(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，
即不等式在上有解，所以，
記，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為4，
所以，即，
故存在實(shí)數(shù)符合題意，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.
5．（2024上·安徽安慶·高一安慶一中校考期末）設(shè)定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，（其中為實(shí)數(shù)）．
(1)求的值；
(2)是否存在實(shí)數(shù)和，使不等式成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）由是定義在的奇函數(shù)，利用，即可求出的值，再利用定義驗(yàn)證.
（2）先證明函數(shù)單調(diào)性脫去不等式中的，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，通過(guò)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題求解.
【詳解】（1）由是定義在的奇函數(shù)，則有，得，把代入函數(shù)得，
而，所以符合題意.
（2），因?yàn)楹瘮?shù)且在單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，從而在上單調(diào)遞減.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減. 所以
設(shè)函數(shù)，要想滿足題意，只需大于在上的最小值或者小于在上的最大值即可，
由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可知在遞減，在遞增，在上遞減，
所以在上的最小值為，在上的最大值為.
所以存在.
高頻考點(diǎn)五：分式不等式
典型例題
例題1．（2024上·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，.
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出集合、，利用交集的定義可求得集合；
（2）由題意可得，分、兩種情況討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
由可得，解得，則，
因此，.
（2）解：因?yàn)椋?
當(dāng)時(shí)，，得，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，則，解得，
綜上所述，的取值范圍是.
例題2．（2024上·江蘇南京·高一南京師大附中校考期末）已知集合，集合.
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化簡(jiǎn)集合A，B，再利用集合的交集運(yùn)算求解；
（2）由，得到，分， ， ，討論集合A求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，集合 ,
，
，
所以；
（2）因?yàn)椋?br/>所以，
當(dāng)時(shí)，，
則，解得，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
則，解得，此時(shí)無(wú)解；
綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合.
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)，分別求出集合、，即可求出；
（2）根據(jù)是的充分條件，課確定，然后分和分別確定的取值范圍，再合并在一起.
【詳解】（1）由，即解得：，所以.
當(dāng)時(shí)，，所以.
（2）因?yàn)槭堑某浞謼l件，所以.
當(dāng)時(shí)，，解得：；
當(dāng)時(shí)，要滿足題意需，解之得：.
綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
2．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高一湖南師大附中校考期末）設(shè)全集，集合，．
(1)求；
(2)已知集合，若，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化簡(jiǎn)集合，根據(jù)集合的交集運(yùn)算得解；
（2）討論，由建立不等式求解即可.
【詳解】（1），，
所以.
（2）由（1）知，
因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，則 或，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
高頻考點(diǎn)六：一元二次不等式的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2023上·貴州貴陽(yáng)·高一校考階段練習(xí)）一家車(chē)輛制造廠引進(jìn)了一條摩托車(chē)整車(chē)裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車(chē)數(shù)量（單位：輛）與創(chuàng)造的價(jià)值（單位：元）之間有如下的關(guān)系：.若這家工廠希望在一個(gè)星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，則在一個(gè)星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn) （填寫(xiě)區(qū)間范圍）輛摩托車(chē)？
【答案】51~59
【分析】依據(jù)題意列出不等關(guān)系，解不等式再根據(jù)實(shí)際意義即可求出需生產(chǎn)51~59輛摩托車(chē).
【詳解】根據(jù)題意可知，
轉(zhuǎn)化為不等式，即可得，
解得；
所以應(yīng)該生產(chǎn)51~59輛摩托車(chē).
故答案為：51~59
例題2．（2024上·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）某新能源公司投資280萬(wàn)元用于新能源汽車(chē)充電樁項(xiàng)目，且年內(nèi)的總維修保養(yǎng)費(fèi)用為萬(wàn)元，該項(xiàng)目每年可給公司帶來(lái)200萬(wàn)元的收入.設(shè)到第且年年底，該項(xiàng)目的純利潤(rùn)（純利潤(rùn)=累計(jì)收入-累計(jì)維修保養(yǎng)費(fèi)-投資成本）為萬(wàn)元.已知到第3年年底，該項(xiàng)目的純利潤(rùn)為128萬(wàn)元.
(1)求實(shí)數(shù)的值.并求該項(xiàng)目到第幾年年底純利潤(rùn)第一次能達(dá)到232萬(wàn)元；
(2)到第幾年年底，該項(xiàng)目年平均利潤(rùn)（平均利潤(rùn)=純利潤(rùn)年數(shù)）最大？并求出最大值.
【答案】(1)，該項(xiàng)目到第4年年底純利潤(rùn)第一次能達(dá)到232萬(wàn)元.
(2)到第6年年底，該項(xiàng)目年平均利潤(rùn)最大，最大為萬(wàn)元
【分析】（1）根據(jù)已知條件，由的值求得，由解不等式求得正確答案.
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求得的最大值，以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的.
【詳解】（1）依題意可得，，
已知，
且.
令，解得.
該項(xiàng)目到第4年年底純利潤(rùn)第一次能達(dá)到232萬(wàn)元.
（2）年平均利潤(rùn)為，
令且，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又.
到第6年年底，該項(xiàng)目年平均利潤(rùn)最大，最大為萬(wàn)元
練透核心考點(diǎn)
1．（2024下·西藏·高一開(kāi)學(xué)考試）為發(fā)展空間互聯(lián)網(wǎng)，搶占6G技術(shù)制高點(diǎn)，某企業(yè)計(jì)劃加大對(duì)空間衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)研發(fā)的投入.據(jù)了解，該企業(yè)研發(fā)部原有100人，年人均投入a（）萬(wàn)元，現(xiàn)把研發(fā)部人員分成兩類(lèi)：技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員有x名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加4x%，技術(shù)人員的年人均投入為萬(wàn)元.
(1)要使調(diào)整后的研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100人的年總投入，則調(diào)整后的技術(shù)人員最多有多少人？
(2)是否存在實(shí)數(shù)m，同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①技術(shù)人員的年人均投入始終不減少；②調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】(1)75人
(2)存在，7
【分析】（1）由題意列不等式，求解即可；
（2）由技術(shù)人員的年人均投入始終不減少得，調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入得，綜合得，根據(jù)的范圍由不等式恒成立求得值.
【詳解】（1）依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員人數(shù)為，年人均投入為萬(wàn)元，
則，
解得，
又， 所以調(diào)整后的技術(shù)人員的人數(shù)最多75人;
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件.
由技術(shù)人員年人均投入不減少得, 解得.
由研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入有
,
兩邊同除以得,
整理得,
故有,
【詳解】原不等式可化為，即．∴．
故選：C．
備注：分式不等式容易直接乘到另一側(cè)忽略正負(fù)而漏解。
2．（2023上·吉林·高一吉化第一高級(jí)中學(xué)校校考階段練習(xí)）不等式的解集為 .
【答案】
【分析】將分式不等式化為求解集.
【詳解】由，
所以不等式解集為.
故答案為：
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·福建莆田·高一莆田一中校考期末）小穎同學(xué)在學(xué)習(xí)探究活動(dòng)中，定義了一種運(yùn)等“”：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有，通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)新運(yùn)算滿足交換律：.小穎提出了兩個(gè)猜想：，，，①；②.
(1)請(qǐng)你任選其中一個(gè)猜想，判斷其正確與否，若正確，進(jìn)行證明；若錯(cuò)誤，請(qǐng)說(shuō)明理由；（注：兩個(gè)猜想都判斷、證明或說(shuō)明理由，僅按第一解答給分）
(2)設(shè)且，，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）無(wú)論選①還是選②，均要根據(jù)新運(yùn)算定義分別計(jì)算兩個(gè)猜想等式的兩邊，比較其結(jié)果，即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)新運(yùn)算定義化簡(jiǎn)可得的表達(dá)式，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷其單調(diào)性，結(jié)合其值域可得關(guān)于的方程，繼而推出是在上的兩個(gè)不同的根，結(jié)合方程根的分布列出不等式組，即可求得答案.
【詳解】（1）若選①，猜想正確；
證明：，
，
故；
若選②，猜想成立；
證明：，
而，
故；
（2）由題意可知
，
令，其圖象對(duì)稱(chēng)軸為，
故在上單調(diào)遞減，
因?yàn)樵趨^(qū)間上的值域?yàn)椋?br/>故，而，故，
此時(shí)在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，則，即，
即，整理得，
即，將代入，
得，同理得，
即是在上的兩個(gè)不同的根，
令，則，
解得，故.
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題給出了新運(yùn)算的定義，解答時(shí)要理解其含義，并根據(jù)新定義去運(yùn)算，解答的難點(diǎn)在于第二問(wèn)，要結(jié)合新運(yùn)算求得的表達(dá)式，并判斷其單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合值域得到關(guān)于參數(shù)的方程，再利用方程根的分布求解即可.
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