資源簡介

第03講 平面向量的數量積
目錄
第一部分：基礎知識 2
第二部分：高考真題回顧 4
第三部分：高頻考點一遍過 4
高頻考點一：平面向量數量積的定義及辨析 4
高頻考點二：平面向量數量積的幾何意義 5
高頻考點三：平面向量數量積的運算（求數量積） 6
高頻考點四：平面向量數量積的運算（模運算） 7
高頻考點五：平面向量數量積的運算（向量的夾角） 8
高頻考點六：平面向量數量積的運算（兩向量成銳角（鈍角）求參數） 10
高頻考點七：平面向量數量積的運算（已知模求數量積） 11
高頻考點八：向量的垂直關系 12
高頻考點九：向量的投影（投影向量) 13
高頻考點十：平面向量的綜合應用 13
高頻考點十一：最值范圍問題 15
第四部分：典型易錯題型 16
備注：兩向量成銳角（鈍角）求參數時注意共線問題 16
第五部分：新定義題 17
第一部分：基礎知識
1、平面向量數量積有關概念
1.1向量的夾角
已知兩個非零向量和，如圖所示，作，，則
()叫做向量與的夾角，記作．
(2)范圍：夾角的范圍是．
當時，兩向量，共線且同向；
當時，兩向量，相互垂直，記作；
當時，兩向量，共線但反向．
1.2數量積的定義：
已知兩個非零向量與，我們把數量叫做與的數量積(或內積)，記作，即，其中θ是與的夾角，記作：．
規定：零向量與任一向量的數量積為零．記作：.
1.3向量的投影
①定義：在平面內任取一點，作.過點作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.
②投影向量計算公式:
當為銳角（如圖（1））時，與方向相同，，所以；
當為直角（如圖（2））時，，所以；
當為鈍角（如圖（3））時，與方向相反，所以，即.
當時，，所以；
當時，，所以
綜上可知，對于任意的，都有.
2、平面向量數量積的性質及其坐標表示
已知向量，為向量和的夾角：
2.1數量積
2.2模：
2.3夾角：
2.4非零向量的充要條件：
2.5三角不等式：（當且僅當時等號成立）
3、平面向量數量積的運算
①
②
③
4、極化恒等式
①平行四邊形形式：若在平行四邊形中，則
②三角形形式：在中，為的中點，所以
5、常用結論
①
②
③
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．1
2．（2023·全國·乙卷文）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
3．（2023·全國·甲卷文）已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國·乙卷理）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示 ；若，則的最大值為 ．
6．（2023·全國·新課標Ⅱ卷）已知向量，滿足，，則 ．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：平面向量數量積的定義及辨析
典型例題
1．（2024高一下·全國·專題練習）對于任意向量，下列命題中正確的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一下·吉林長春·階段練習）在中，下列命題正確的個數是（ ）
①；②；③若，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（23-24高一下·四川內江·階段練習）在三角形中，在上的投影向量為，則 ．
練透核心考點
1．（23-24高一下·山東青島·期中）在中，，若，則下列結論正確的為（ ）
A．一定為鈍角三角形 B．一定不為直角三角形
C．一定為銳角三角形 D．可為任意三角形
2．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）在等式①；②；③；④若，且，則；其中正確的命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（多選）（23-24高一下·四川樂山·期末）已知平面向量，，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．若，，則 D．，則
高頻考點二：平面向量數量積的幾何意義
典型例題
1．（23-24高一下·河北衡水·期末）如圖，在邊長為的等邊中，點為中線上的動點，點為的中點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習）圓是中華民族傳統文化的形態象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國人所崇尚的圖騰.如圖所示的是一個圓形，圓心為，、是圓上的兩點，若，則 .

練透核心考點
1．（23-24高一下·安徽滁州·階段練習）《易經》是中華民族智慧的結晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，易經包含了深菨的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據八卦圖抽象得到的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則（ ）

A． B．1 C． D．
2．（23-24高一上·湖南長沙·期末）在中，C為直角頂點，，則的值為（　　）
A．4 B．8 C．16 D．缺少條件，做不出來
高頻考點三：平面向量數量積的運算（求數量積）
典型例題
1．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）已知等邊的邊長為，那么（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·山東·階段練習）在中，為邊上一點，滿足，則（ ）
A． B．6 C． D．
3．（2024·全國·模擬預測）在正六邊形中，已知，則 ．
練透核心考點
1．（23-24高三下·海南省直轄縣級單位·開學考試）如圖，點P，A，B均在邊長為1的小正方形組成的網格上，則（ ）

A．－8 B．－4 C．0 D．4
2．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知向量，，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
3．（23-24高三下·江蘇揚州·階段練習）如圖，正八邊形，其外接圓半徑為2，則= .

高頻考點四：平面向量數量積的運算（模運算）
典型例題
1．23-24高三下·安徽滁州·階段練習）已知向量滿足，則（ ）
A．3 B． C．7 D．
2．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習）已知平面向量滿足且，則（ ）
A． B．5 C． D．6
3．（2024·全國·模擬預測）若，，則 ．
4．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知，，，，則 .
練透核心考點
1．（2024·陜西西安·三模）已知平面向量，的夾角為，若，，則（ ）
A．2 B． C．或2 D．2或
2．（2023高二上·甘肅蘭州·學業考試）已知向量，，則 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夾角的余弦值為，，，則等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．（2023·北京海淀·三模）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（ ）
A．1 B．2 C． D．4
高頻考點五：平面向量數量積的運算（向量的夾角）
典型例題
1．（2024·遼寧鞍山·二模）已知非零向量，滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一·全國·專題練習）已知非零向量滿足，則向量夾角的余弦值為 .
3．（23-24高一下·江蘇揚州·階段練習）已知在中，N是邊AB的中點，且，設AM與CN交于點P．記．
(1)用表示向量；
(2)若，且，求的余弦值．
4．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）已知向量．
(1)若，求的坐標；
(2)若，求與的夾角．
練透核心考點
1．（23-24高一下·河北滄州·階段練習）已知向量，則 ．
2．（2021·河南·模擬預測）已知，，，則向量與的夾角的正切值為 ．
3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）已知，，．
(1)求；
(2)求向量與的夾角．
4．（23-24高一下·河北滄州·階段練習）已知向量，，．
(1)若，，求的值；
(2)若，求與的夾角的余弦值．
高頻考點六：平面向量數量積的運算（兩向量成銳角（鈍角）求參數）
典型例題
1．（23-24高二上·湖南長沙·開學考試）已知點，，向量，若與成銳角，則y的取值范圍為 ．
2．（23-24高一下·河南南陽·期中）已知且與的夾角為銳角，則的取值范圍是 .
3．（23-24高三上·黑龍江雞西·階段練習）已知平面向量，，．
(1)①若，求；②若，求；
(2)若向量與的夾角為鈍角，求x的取值范圍．
4．（23-24高一下·江蘇淮安·期中）已知向量，．
(1)若，求實數k的值；
(2)若與的夾角是鈍角，求實數k的取值范圍．
練透核心考點
1．（23-24高一下·甘肅天水·期末）已知，若與的夾角為鈍角，則實數的取值范圍是 .
2．（23-24高一下·內蒙古呼和浩特·階段練習）已知向量，，則與的夾角為鈍角時，的取值范圍為 .
3．（23-24高一下·江西景德鎮·期中）若向量，的夾角為鈍角，則實數的取值范圍為 ．
4．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知向量，．
(1)求以及向量與的夾角的余弦值；
(2)已知與的夾角為銳角，求的取值范圍．
高頻考點七：平面向量數量積的運算（已知模求數量積）
典型例題
1．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）已知向量，，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·云南昆明·階段練習）已知平面向，，，， ，若，則的最大值為（ ）
A．8 B． C． D．
3．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習）若向量，滿足，，，則 .
練透核心考點
1．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夾角的余弦值為，，，則等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．（2023·四川綿陽·模擬預測）已知平面向量與的夾角為，且，則（ ）
A． B．-2 C．2 D．
3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）向量，若存在實數，使得，則的取值范圍是
高頻考點八：向量的垂直關系
典型例題
1．（2024高一·江蘇·專題練習）已知且向量與互相垂直，則k的值為（ ）
A． B．
C． D．1
2．（23-24高三下·河南·階段練習）已知向量，若，則 .
3．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）已知，，與的夾角為．
(1)求；
(2)若向量與相互垂直，求實數k的值．
練透核心考點
1．（23-24高一下·天津靜海·階段練習）已知，，，且與垂直，則實數的值為 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·云南·階段練習）已知單位向量，的夾角為，，若與垂直，則 .
3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）已知向量，滿足，，且，的夾角為.
(1)求；
(2)若，求實數的值；
高頻考點九：向量的投影（投影向量)
典型例題
1．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）已知，則向量在上的投影向量的模長為（ ）
A．1 B． C． D．
2．（23-24高一下·江西宜春·階段練習）已知向量與的夾角為，且，，則向量在向量上的投影數量為（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）已知向量、、，其中且與的夾角是與的夾角是，則在方向上的投影數量為 ．
練透核心考點
1．（23-24高一下·山東泰安·階段練習）已知向量，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·山東青島·期末）已知平面向量，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·上海浦東新·期末）已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為 ．
高頻考點十：平面向量的綜合應用
典型例題
1．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習）已知向量
(1)向量夾角的余弦值；
(2)若向量與垂直，求實數k的值；
(3)若向量，且與向量平行，求實數k的值.
2．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習）已知非零向量滿足，且.
(1)求；
(2)當時，求向量與的夾角θ的值.
3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）已知平面內的三個向量，，．
(1)若，求實數的值；
(2)若，求實數的值．
高頻考點十一：最值范圍問題
典型例題
1．（23-24高一下·北京·階段練習）已知向量滿足，，則的最大值等于（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2024高三·全國·專題練習）已知，，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全國·模擬預測）鍵線式可以簡潔直觀地描述有機物的結構，在有機化學中極其重要．有機物萘可以用左圖所示的鍵線式表示，其結構簡式可以抽象為右圖所示的圖形．已知與為全等的正六邊形，且，點為該圖形邊界（包括頂點）上的一點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·福建莆田·期中）設平面向量，其中為單位向量，且滿足，則的最大值為 ．
練透核心考點
1．（2024高三·全國·專題練習）已知A，B，C，D是半徑為2的圓O上的四個動點，若，則的最大值為（ ）
A．6 B．12 C．24 D．32
2．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知，，，，，則的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．
3．（23-24高一下·河南周口·階段練習）已知平面向量滿足，則的最大值為 .
4．（23-24高一下·重慶·階段練習）若，，平面內一點P，滿足，的最大值是 ．
第四部分：典型易錯題型
備注：兩向量成銳角（鈍角）求參數時注意共線問題
1．（2024高三·全國·專題練習）已知，為互相垂直的單位向量，，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍為 ．
2．（23-24高一下·河北滄州·階段練習）已知是夾角為的兩個單位向量．若，其中，若的夾角為銳角，則的取值范圍 ．
3．（23-24高三上·北京懷柔·階段練習）已知平面向量，滿足，與的夾角為，若與的夾角為鈍角，則一個滿足條件的的值可以為 ．
第五部分：新定義題
1．（23-24高一下·山西大同·階段練習）元向量（）也叫維向量，是平面向量的推廣，設為正整數，數集中的個元素構成的有序組稱為上的元向量，其中為該向量的第個分量．元向量通常用希臘字母等表示，如上全體元向量構成的集合記為．對于，記，定義如下運算：加法法則，模公式，內積，設的夾角為，則．
(1)設，解決下面問題：
①求；
②設與的夾角為，求；
(2)對于一個元向量，若，稱為維信號向量．規定，已知個兩兩垂直的120維信號向量滿足它們的前個分量都相同，證明：．21世紀教育網(www.21cnjy.com)
第03講 平面向量的數量積
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 8
高頻考點一：平面向量數量積的定義及辨析 8
高頻考點二：平面向量數量積的幾何意義 11
高頻考點三：平面向量數量積的運算（求數量積） 13
高頻考點四：平面向量數量積的運算（模運算） 16
高頻考點五：平面向量數量積的運算（向量的夾角） 19
高頻考點六：平面向量數量積的運算（兩向量成銳角（鈍角）求參數） 23
高頻考點七：平面向量數量積的運算（已知模求數量積） 27
高頻考點八：向量的垂直關系 30
高頻考點九：向量的投影（投影向量) 32
高頻考點十：平面向量的綜合應用 34
高頻考點十一：最值范圍問題 39
第四部分：典型易錯題型 48
備注：兩向量成銳角（鈍角）求參數時注意共線問題 48
第五部分：新定義題 50
第一部分：基礎知識
1、平面向量數量積有關概念
1.1向量的夾角
已知兩個非零向量和，如圖所示，作，，則
()叫做向量與的夾角，記作．
(2)范圍：夾角的范圍是．
當時，兩向量，共線且同向；
當時，兩向量，相互垂直，記作；
當時，兩向量，共線但反向．
1.2數量積的定義：
已知兩個非零向量與，我們把數量叫做與的數量積(或內積)，記作，即，其中θ是與的夾角，記作：．
規定：零向量與任一向量的數量積為零．記作：.
1.3向量的投影
①定義：在平面內任取一點，作.過點作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.
②投影向量計算公式:
當為銳角（如圖（1））時，與方向相同，，所以；
當為直角（如圖（2））時，，所以；
當為鈍角（如圖（3））時，與方向相反，所以，即.
當時，，所以；
當時，，所以
綜上可知，對于任意的，都有.
2、平面向量數量積的性質及其坐標表示
已知向量，為向量和的夾角：
2.1數量積
2.2模：
2.3夾角：
2.4非零向量的充要條件：
2.5三角不等式：（當且僅當時等號成立）
3、平面向量數量積的運算
①
②
③
4、極化恒等式
①平行四邊形形式：若在平行四邊形中，則
②三角形形式：在中，為的中點，所以
5、常用結論
①
②
③
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】
利用平面向量數量積的運算律，數量積的坐標表示求解作答.
【詳解】
向量滿足，
所以.
故選：B
2．（2023·全國·乙卷文）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【分析】方法一：以為基底向量表示，再結合數量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據數量積的定義運算求解.
【詳解】方法一：以為基底向量，可知，
則，
所以；
方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，
則，可得，
所以；
方法三：由題意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故選：B.
3．（2023·全國·甲卷文）已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模與數量積的坐標表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運算公式即可得解.
【詳解】因為，所以，
則，，
所以.
故選：B.
4．（2023·全國·乙卷理）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數量積定義可得，或然后結合三角函數的性質即可確定的最大值.
【詳解】
如圖所示，，則由題意可知:，
由勾股定理可得

當點位于直線異側時或PB為直徑時，設，
則：
，則
當時，有最大值.

當點位于直線同側時，設，
則：
，
，則
當時，有最大值.
綜上可得，的最大值為.
故選：A.
【點睛】
本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數量積的問題轉化為三角函數求最值的問題，考查了學生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.
5．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示 ；若，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】
空1：根據向量的線性運算，結合為的中點進行求解；空2：用表示出，結合上一空答案，于是可由表示，然后根據數量積的運算和基本不等式求解.
【詳解】空1：因為為的中點，則，可得，
兩式相加，可得到，
即，則；
空2：因為，則，可得，
得到，
即，即.
于是.
記，
則，
在中，根據余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，當且僅當取得等號，
則時，有最大值.
故答案為：；.

6．（2023·全國·新課標Ⅱ卷）已知向量，滿足，，則 ．
【答案】
【分析】法一：根據題意結合向量數量積的運算律運算求解；法二：換元令，結合數量積的運算律運算求解.
【詳解】法一：因為，即，
則，整理得，
又因為，即，
則，所以.
法二：設，則，
由題意可得：，則，
整理得：，即.
故答案為：.
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：平面向量數量積的定義及辨析
典型例題
1．（2024高一下·全國·專題練習）對于任意向量，下列命題中正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的數量積及向量加法法則，逐項分析判斷即得.
【詳解】，當且僅當共線時取等號，A錯誤；
由向量加法的三角形法則知，，當且僅當同向或至少一個為零向量時取等號，B錯誤；
是與共線的向量，是與共線的向量，因此與不一定相等，C錯誤；
，因此，D正確.
故選：D
2．（23-24高一下·吉林長春·階段練習）在中，下列命題正確的個數是（ ）
①；②；③若，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根據向量的運算公式，即可判斷選項.
【詳解】
①，故①錯誤；②.故②正確；
③，則，為等腰三角形，故③正確；
④若，只能說明中，角是銳角，不能說明其它角的情況，所以不能判斷為銳角三角形，故④錯誤.
故選：B
3．（23-24高一下·四川內江·階段練習）在三角形中，在上的投影向量為，則 ．
【答案】
【分析】首先根據投影公式求，再轉化向量，即可求解.
【詳解】由題意，，為中點，
由在上的投影向量為，
即，又，
所以，
所以.
故答案為：
練透核心考點
1．（23-24高一下·山東青島·期中）在中，，若，則下列結論正確的為（ ）
A．一定為鈍角三角形 B．一定不為直角三角形
C．一定為銳角三角形 D．可為任意三角形
【答案】D
【分析】
根據數量積的概念即可判斷為銳角，再利用三角形的定義判斷即可.
【詳解】因為，所以，所以，
所以為銳角，但是不能確定其它角是否為銳角、直角或鈍角，所以不能確定的形狀，
故可為任意三角形.
故選：D
2．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）在等式①；②；③；④若，且，則；其中正確的命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由零向量、向量數乘、數量積等概念和性質，即可判斷正誤，進而確定答案.
【詳解】零向量與任何向量的數量積都為0，故①錯誤；
0乘以任何向量都為零向量，故②正確；
向量的加減、數乘滿足結合律，而向量數量積不滿足結合律，故③錯誤；
不一定有，如滿足條件，結論不成立，故④錯誤；
故選：A
3．（多選）（23-24高一下·四川樂山·期末）已知平面向量，，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．若，，則 D．，則
【答案】BD
【分析】
根據數量積的運算律及定義判斷即可.
【詳解】對于A：表示與共線的一個向量，
表示與共線的一個向量，故A錯誤；
對于B：，故B正確；
對于C：因為，即，
又，所以，
即向量與在向量方向上的投影相同，故C錯誤；
對于D：若，則，
即，
所以，則，故D正確；
故選：BD
高頻考點二：平面向量數量積的幾何意義
典型例題
1．（23-24高一下·河北衡水·期末）如圖，在邊長為的等邊中，點為中線上的動點，點為的中點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據數量積的定義可得為在上的投影，結合圖，分別計算點與點重合、點與點重合時對應的的值，可得的取值范圍，從而可得的取值范圍.
【詳解】
因為，
其中為在上的投影，
又因為點為邊長為的等邊中線上的動點，
點為的中點，當點與點重合時，為等邊三角形，
此時有最大值，所以，
當點與點重合時，此時有最小值，
，
所以，又，
所以，即．
故選：B．
2．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習）圓是中華民族傳統文化的形態象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國人所崇尚的圖騰.如圖所示的是一個圓形，圓心為，、是圓上的兩點，若，則 .

【答案】18
【分析】利用平面向量的投影求解.
【詳解】依題意得，
則.
故答案為：18
練透核心考點
1．（23-24高一下·安徽滁州·階段練習）《易經》是中華民族智慧的結晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，易經包含了深菨的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據八卦圖抽象得到的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則（ ）

A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用正八邊形的結構特征，結合數量積的定義計算即得.
【詳解】在正八邊形中，連接，則，
而，即，于是，
在等腰梯形中，，
所以.
故選：D

2．（23-24高一上·湖南長沙·期末）在中，C為直角頂點，，則的值為（　　）
A．4 B．8 C．16 D．缺少條件，做不出來
【答案】C
【分析】
由已知結合數量積的幾何意義求解.
【詳解】
如圖，
∵C為直角，，
∴.
故選：C
高頻考點三：平面向量數量積的運算（求數量積）
典型例題
1．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）已知等邊的邊長為，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用數量積的定義計算即得.
【詳解】等邊的邊長為1，則，
，
所以.
故選：D
2．（23-24高一下·山東·階段練習）在中，為邊上一點，滿足，則（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【分析】由題意分解向量得，進一步結合向量的數量積公式即可求解.
【詳解】
由題意，因為，
所以，
所以，
因為，
所以.
故選：B.
3．（2024·全國·模擬預測）在正六邊形中，已知，則 ．
【答案】/
【分析】求出角度，由余弦定理得到，利用數量積公式求出答案.
【詳解】在正六邊形中，，，
，
．
其中≌，
由余弦定理可得，
．
故答案為：
練透核心考點
1．（23-24高三下·海南省直轄縣級單位·開學考試）如圖，點P，A，B均在邊長為1的小正方形組成的網格上，則（ ）

A．－8 B．－4 C．0 D．4
【答案】A
【分析】根據向量的坐標運算即可求解.
【詳解】如圖，以點P為坐標原點，建立平面直角坐標系，則：，
，
，
故選:A．

2．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知向量，，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根據數量積得運算律計算即可.
【詳解】由，
所以，則.
故選：C
3．（23-24高三下·江蘇揚州·階段練習）如圖，正八邊形，其外接圓半徑為2，則= .

【答案】
【分析】由，結合角度關系以及數量積定義和運算律即可求得結果.
【詳解】正八邊形，故，
故；
則.
故答案為：.
高頻考點四：平面向量數量積的運算（模運算）
典型例題
1．23-24高三下·安徽滁州·階段練習）已知向量滿足，則（ ）
A．3 B． C．7 D．
【答案】B
【分析】根據平面向量模的運算性質，結合平面向量數量積的運算性質進行求解即可.
【詳解】∵向量滿足，
，
，
，
.
故選：B
2．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習）已知平面向量滿足且，則（ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】D
【分析】由垂直關系的向量表示及數量積的運算律列式計算即得.
【詳解】由，得，由，得，則，
由，得，即，則，
所以.
故選：D
3．（2024·全國·模擬預測）若，，則 ．
【答案】
【分析】首先求出，再根據數據量的運算律得到，最后根據計算可得.
【詳解】因為，所以，
又，所以，
所以
.
故答案為：
4．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知，，，，則 .
【答案】
【分析】根據給定條件，利用向量線性運算的坐標表示，垂直關系的坐標表示求解即得.
【詳解】由，，得，而，且，
因此，解得，即，所以.
故答案為：
練透核心考點
1．（2024·陜西西安·三模）已知平面向量，的夾角為，若，，則（ ）
A．2 B． C．或2 D．2或
【答案】A
【分析】將平方后，結合平面向量數量積公式計算即可.
【詳解】因為，，
所以，解得（舍負）.
故選：A.
2．（2023高二上·甘肅蘭州·學業考試）已知向量，，則 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
計算，再計算模長即可.
【詳解】
由題意知，
所以，
故選：D．
3．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夾角的余弦值為，，，則等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】
先由模長公式得，再結合數量積公式求即可.
【詳解】由題意可得，，，
可得，，
解得.
故選：B.
4．（2023·北京海淀·三模）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】
設，，根據求出，再根據得到，最后根據向量模的坐標表示及二次函數的性質計算可得.
【詳解】依題意設，，
由，所以，則，
又，且，
所以，即，
所以，當且僅當時取等號，
即的最大值為.
故選：C
高頻考點五：平面向量數量積的運算（向量的夾角）
典型例題
1．（2024·遼寧鞍山·二模）已知非零向量，滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據投影向量可得，再結合向量夾角公式運算求解.
【詳解】由向量在向量上投影向量為，
所以得，
又因為，所以，故C正確.
故選：C.
2．（2024高一·全國·專題練習）已知非零向量滿足，則向量夾角的余弦值為 .
【答案】
【分析】由，可得，結合數量積的運算律求出，再根據向量夾角的計算公式求解即可.
【詳解】因為且為非零向量，設，則，
又，所以，則，
所以，
設向量的夾角為，則，
即向量夾角的余弦值為.
故答案為：.
3．（23-24高一下·江蘇揚州·階段練習）已知在中，N是邊AB的中點，且，設AM與CN交于點P．記．
(1)用表示向量；
(2)若，且，求的余弦值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據平面向量線性運算結合條件求解即得；
（2）利用結合條件根據向量夾角公式運算求解即得.
【詳解】（1），
，
.
（2）因為三點共線，所以得，
，得，
所以，
所以，即的余弦值為.
4．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）已知向量．
(1)若，求的坐標；
(2)若，求與的夾角．
【答案】(1)或；
(2)．
【分析】
（1）根據向量模的坐標表示求解即可；
（2）利用坐標表示向量的數量積及向量夾角公式得解.
【詳解】（1）由題意，設，
因為，所以，所以，
所以或．
（2）
因為，
所以，所以，
即，
設與的夾角為，則，
又，所以，所以與的夾角．
練透核心考點
1．（23-24高一下·河北滄州·階段練習）已知向量，則 ．
【答案】/
【分析】
根據向量夾角的坐標運算公式進行計算即可.
【詳解】因為，
則，
所以，
故答案為：.
2．（2021·河南·模擬預測）已知，，，則向量與的夾角的正切值為 ．
【答案】/
【分析】確定，根據向量的夾角公式計算，再根據同角三角函數關系計算即可.
【詳解】設向量與的夾角為，因為，所以，
，，所以，
又，所以，所以，
所以向量與的夾角的正切值為．
故答案為：．
3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）已知，，．
(1)求；
(2)求向量與的夾角．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）由條件結合數量積的運算律求，再結合關系求；
（2）根據向量的夾角余弦公式求向量與的夾角余弦，再求其夾角.
【詳解】（1）因為，，
所以，
解得，．
所以，
所以．
（2）．
設向量與的夾角為，則
．
因為，所以．
4．（23-24高一下·河北滄州·階段練習）已知向量，，．
(1)若，，求的值；
(2)若，求與的夾角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助平面向量基本定理與坐標運算計算即可得；
（2）借助向量垂直可得數量積為0，結合向量夾角公式計算即可得.
【詳解】（1）因為，所以，
因為，所以，解得，所以；
（2）因為，所以，
即，解得，所以，
故．
高頻考點六：平面向量數量積的運算（兩向量成銳角（鈍角）求參數）
典型例題
1．（23-24高二上·湖南長沙·開學考試）已知點，，向量，若與成銳角，則y的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據向量夾角為銳角利用數量積求解.
【詳解】因為，，與成銳角，
所以，
解得，
當與同向時，，即，解得，
此時滿足，但與所成角為0，不滿足題意，
綜上，與成銳角時，y的取值范圍為.
故答案為：
2．（23-24高一下·河南南陽·期中）已知且與的夾角為銳角，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】先利用題意算出，再利用平面向量夾角為銳角的充要條件，列出不等式求解作答.
【詳解】因為，，所以，
因為與的夾角為銳角，所以，且與不同向共線，
所以且，
解得且，所以的取值范圍為，
故答案為：.
3．（23-24高三上·黑龍江雞西·階段練習）已知平面向量，，．
(1)①若，求；②若，求；
(2)若向量與的夾角為鈍角，求x的取值范圍．
【答案】(1)①或；②或
(2)
【分析】
（1）根據向量平行，垂直可構造方程求得；
（2）根據向量夾角與數量積的關系可構造不等式求得結果.
【詳解】（1），，
①若，則，即，解得或；
②若，則，解得或.
（2）由，解得或，
又時，或，
若向量與的夾角為鈍角，則或或，
故的取值范圍為.
4．（23-24高一下·江蘇淮安·期中）已知向量，．
(1)若，求實數k的值；
(2)若與的夾角是鈍角，求實數k的取值范圍．
【答案】(1)k＝
(2)．
【分析】（1）先求出，然后再根據垂直關系即可求出；
（2）由與的夾角是鈍角得到且與方向不相反，得到不等式組，求出實數k的取值范圍.
【詳解】（1），
因為，所以，
解得：.
（2）若與的夾角是鈍角，
則且與方向不相反，
即，且
解得：且，
故實數k的取值范圍是.
練透核心考點
1．（23-24高一下·甘肅天水·期末）已知，若與的夾角為鈍角，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據兩向量夾角為鈍角列不等式，求解的取值范圍即可.
【詳解】因為與的夾角為鈍角，所以，
解得且，即實數的取值范圍是.
故答案為：
2．（23-24高一下·內蒙古呼和浩特·階段練習）已知向量，，則與的夾角為鈍角時，的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據與的夾角為鈍角利用平面向量的夾角公式列出不等式，但是要排除兩個向量成角時的情況.
【詳解】因為與的夾角為鈍角，所以，
即，所以，解得，
同時向量，也不能成的角， 所以，
所以的取值范圍為.
故答案為：.
3．（23-24高一下·江西景德鎮·期中）若向量，的夾角為鈍角，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據向量的夾角列式，從而求得的取值范圍.
【詳解】依題意，向量與的夾角為鈍角，
所以，解得且，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
4．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知向量，．
(1)求以及向量與的夾角的余弦值；
(2)已知與的夾角為銳角，求的取值范圍．
【答案】(1)；；
(2)
【分析】
（1）根據向量夾角公式計算求解即可；
（2）夾角為銳角時數量積為正，同時注意排除夾角為0的情況即可.
【詳解】（1）
由，，
得，
則；
，
（2）
，
由與的夾角為銳角，
則，
解得；
當時，有，有．
此時．
所以的取值范圍為且．
高頻考點七：平面向量數量積的運算（已知模求數量積）
典型例題
1．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）已知向量，，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據已知條件可得向量的夾角為，，再利用數量積運算可得解.
【詳解】由，可得向量的夾角為，
，
.
故選：C.
2．（23-24高三下·云南昆明·階段練習）已知平面向，，，， ，若，則的最大值為（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據題意由各向量間的夾角以及模長，畫出圖形利用圓心角和圓周角的關系并由向量數量積定義可得結果.
【詳解】如下圖所示：
令，，，
由余弦定理得，，
因為，所以，
則C點在圓E的優弧AB上運動，可得圓心角，
其中，，，，
則，所以，
所以
故選：B．
3．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習）若向量，滿足，，，則 .
【答案】
【分析】利用垂直向量的數量積為0，結合數量積的運算法則即可求得，從而得解.
【詳解】因為，
所以，
又，，所以，解得.
故答案為：.
練透核心考點
1．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夾角的余弦值為，，，則等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】
先由模長公式得，再結合數量積公式求即可.
【詳解】由題意可得，，，
可得，，
解得.
故選：B.
2．（2023·四川綿陽·模擬預測）已知平面向量與的夾角為，且，則（ ）
A． B．-2 C．2 D．
【答案】C
【分析】首先根據已知條件結合數量積的定義運算求出，然后再根據向量的運算法則進行求解即可.
【詳解】，解得：.
因此可得：.
故選：C
3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）向量，若存在實數，使得，則的取值范圍是
【答案】
【分析】對給定向量等式兩邊平方，借助一元二次方程有實根求出的取值范圍即得.
【詳解】向量，由兩邊平方，得，
整理得，
依題意，關于的方程有實根，顯然，否則，
則，即，解得或，
由，得，因此，，
所以的取值范圍是.
故答案為：
高頻考點八：向量的垂直關系
典型例題
1．（2024高一·江蘇·專題練習）已知且向量與互相垂直，則k的值為（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】B
【分析】根據向量垂直時數量積為0，結合數量積的運算律，列方程求解，即可求得答案.
【詳解】因為向量與互相垂直，
所以．所以，
因為，所以，
所以，解得，
故選：B
2．（23-24高三下·河南·階段練習）已知向量，若，則 .
【答案】
【分析】利用數量積的坐標運算求得，，再根據數量積運算求解即可.
【詳解】因為，所以，，
因為，所以，所以，解得.
故答案為：
3．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）已知，，與的夾角為．
(1)求；
(2)若向量與相互垂直，求實數k的值．
【答案】(1)2；
(2).
【分析】（1）根據題意求得數量積，再求向量的模長即可；
（2）根據向量垂直則數量積為零，結合（1）中所求，即可求得參數值.
【詳解】（1）根據題意，，
又.
（2）根據題意， ，即，，解得.
練透核心考點
1．（23-24高一下·天津靜海·階段練習）已知，，，且與垂直，則實數的值為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據向量垂直的數量積表示、向量數量積的運算律可構造方程求得結果.
【詳解】，，
與垂直，，
解得：.
故選：C.
2．（23-24高三下·云南·階段練習）已知單位向量，的夾角為，，若與垂直，則 .
【答案】
【分析】根據題意，結合，列出方程，即可求解.
【詳解】因為單位向量，的夾角為，可得，
又因為與垂直，可得，
即，解得.
故答案為：.
3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）已知向量，滿足，，且，的夾角為.
(1)求；
(2)若，求實數的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，結合向量的數量積的運算公式，準確計算，即可求解；
（2）根據題意，得到，結合數量積的計算公式，列出方程，即可求解.
【詳解】（1）解：由向量，，且，的夾角為，可得，
則.
（2）解：因為，所以，
即，即，
可得，即，解得.
高頻考點九：向量的投影（投影向量)
典型例題
1．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）已知，則向量在上的投影向量的模長為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根據投影的公式計算即可.
【詳解】向量在上的投影向量的模長為.
故選：B.
2．（23-24高一下·江西宜春·階段練習）已知向量與的夾角為，且，，則向量在向量上的投影數量為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根據數量積的定義求出，再由向量在向量上的投影數量為計算可得.
【詳解】因為向量與的夾角為，且，，
所以，
所以向量在向量上的投影數量為.
故選：B
3．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）已知向量、、，其中且與的夾角是與的夾角是，則在方向上的投影數量為 ．
【答案】1
【分析】先求出數量積，再根據數量積的幾何意義求解即可.
【詳解】因為且與的夾角是與的夾角是，
所以，
所以在方向上的投影數量為.
故答案為：1
練透核心考點
1．（23-24高一下·山東泰安·階段練習）已知向量，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據投影向量的定義，把在上的投影向量化簡為，代入坐標計算即得.
【詳解】在上的投影向量為.
故選：D.
2．（23-24高三上·山東青島·期末）已知平面向量，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據向量在向量上的投影向量公式：計算即得.
【詳解】根據平面向量的投影向量的規定可得: 向量在向量上的投影向量為：，即，
因，則，，則向量在向量上的投影向量為：.
故選：D.
3．（23-24高三上·上海浦東新·期末）已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為 ．
【答案】
【分析】根據題意，求得，結合投影向量公式，求得，即可求解.
【詳解】由向量，，可得，可得，
所以向量在向量上的投影向量為.
故答案為：.
高頻考點十：平面向量的綜合應用
典型例題
1．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習）已知向量
(1)向量夾角的余弦值；
(2)若向量與垂直，求實數k的值；
(3)若向量，且與向量平行，求實數k的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據向量數量積以及模的坐標運算，計算即可得出答案；
（2）求出向量與的坐標，根據向量垂直的坐標表示列出方程，求解即可得出答案；
（3）求出向量與向量的坐標，根據向量共線的坐標表示列出方程，求解即可得出答案.
【詳解】（1）由已知可得，，，，
所以，向量夾角的余弦值.
（2）由已知可得，，.
又向量與垂直，
所以，，即，
解得.
（3）由已知可得，.
又與向量平行，，
所以有，
整理可得，，解得.
2．（23-24高一下·重慶巴南·階段練習）已知向量滿足，設與的夾角為，
(1)若對任意實數，不等式恒成立，求的值；
(2)根據（1）中與的夾角值，求與夾角的余弦值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）把不等式兩邊平方，將問題轉化為一元二次不等式恒成立問題，即可得解；
（2）分別求出，再利用夾角公式即可得解．
【詳解】（1）將不等式兩邊同時平方，
得，
即
因為，與的夾角為，
則恒成立，
所以，
化簡得，解得．
（2）由（1）知，
則，
，則，
則，
故與夾角的余弦值為.
3．（23-24高一下·江蘇·階段練習）如圖所示，平行四邊形ABCD中，，，H，M分別是AD，DC的中點，F為BC上一點，且．

(1)以，為基底表示向量與；
(2)若，，與的夾角為，求．
(3)設線段AM、FM的交點為，在（2）的條件下，求的余弦值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量的線性運算及向量的中點表示即可求解；
（2）根據（1）的結論及向量的數量積的定義，結合向量的數量積的運算律即可求解；
（3）利用（1）（2）及向量的數量積運算律，結合向量的模公式及向量的夾角公式即可求解.
【詳解】（1）平行四邊形ABCD中，，，H，M分別是AD，DC的中點，．
，
.
（2）由（1）知，，，
，，與的夾角為，
,
.
（3）由（1）（2）知，，，，，
，，，
，
，
因為線段AM、FM的交點為，
所以就是向量與的夾角，
所以.
故的余弦值為.
練透核心考點
1．（23-24高一下·湖北武漢·階段練習）在平面直角坐標系中，已知點和點，，且，其中O為坐標原點．
(1)若，求的值；
(2)若，設點D為線段OA（包括端點）上的動點，求的最小值；
(3)若，向量，，求式的最小值及對應的值．
【答案】(1)
(2)
(3)當時，最小0.
【分析】（1）求出，將目標式轉化為用表示，然后代入的值計算即可；
（2）設點，利用向量的坐標運算以及二次函數的性質計算模的最小值；
（3）計算化簡，然后利用正弦函數的性質求解最值.
【詳解】（1）因為，則，
則；
（2）因為，且，則點，設點，，
則，
所以，
當時，最小，且最小為；
（3）由已知點，則，
又，
所以
，
因為，所以，
則當，即時，取最小值，且最小值為.
2．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習）已知非零向量滿足，且.
(1)求；
(2)當時，求向量與的夾角θ的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據給定條件，利用數量積的運算律求解即得.
（2）利用數量積的運算律及夾角公式求解即得.
【詳解】（1）向量，由，得，即，
所以.
（2）由（1）知，，而，
則，，
因此，而，
所以所求夾角.
3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）已知平面內的三個向量，，．
(1)若，求實數的值；
(2)若，求實數的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據向量的坐標運算，得到，，再利用共線的坐標運算，即可求出結果；
（2）根據條件，利用垂直的坐標運算，即可求出結果.
【詳解】（1）因為，，，
所以，，
因為，所以，解得．
（2）由（1）知，又，
因為，所以，得到，
解得．
高頻考點十一：最值范圍問題
典型例題
1．（23-24高一下·北京·階段練習）已知向量滿足，，則的最大值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由，即得到點共圓，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.
【詳解】設，
因為，，所以，
又，所以，所以點共圓，
要使的最大，即為直徑，
在中，由余弦定理可得，
又由正弦定理，
即的最大值等于，
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是由向量之間的夾角確定點共圓，再由正弦和余弦定理求解即可.
2．（2024高三·全國·專題練習）已知，，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據題設向量模長和垂直條件，考慮運用幾何法求解，由想到構造矩形，運用極化恒等式推導出結論，求得,最后用三角形三邊關系定理得到的范圍，轉化即得.
【詳解】
如圖，設，，，點在圓上，
點在圓上，則，，由可得：，
作矩形, 則.
下證： .
設交于點，連接,因則 ，
同理可得：，兩式左右分別相加得：
，
.
即，故.
又，因，
即，故有．
故選:C．
【點睛】
方法點睛：本題考查平面向量的線性運算的模長范圍問題，屬于較難題.
處理平面向量的模長范圍問題，常用的方法有：
（1）坐標法：即通過建立直角坐標系，通過向量坐標運算求得；
（2）基向量表示法：即通過選設平面的基底，用基底表示相關向量，運算求得；
（3）構造幾何圖形法：即根據模長定值構造圓形，由向量點乘等于零得到兩向量垂直.
3．（2023·全國·模擬預測）鍵線式可以簡潔直觀地描述有機物的結構，在有機化學中極其重要．有機物萘可以用左圖所示的鍵線式表示，其結構簡式可以抽象為右圖所示的圖形．已知與為全等的正六邊形，且，點為該圖形邊界（包括頂點）上的一點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取線段的中點，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范圍.
【詳解】取線段的中點，則，
，
由圖可知，當點與點重合時，取最小值，且，
由圖形可知，當取最大值時，點在折線段上，
連接，則，
同理，
由正六邊形的幾何性質可知，，
所以，，
則、、三點共線，則，即，
當點在線段上從點運動到點的過程中，在逐漸增大，
同理可知，，
當點在線段上由點到的過程中，在逐漸增大，
所以，當取最大值時，點在折線段上運動，
以線段的中點為坐標原點，所在直線為軸，
線段的垂直平分線所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，
則、、、、、
、，設點，
（1）當點在線段上運動時，，
直線的方程為，即，
所以，線段的方程為，
則；
（2）當點在線段上運動時，，，則，
所以，；
（3）當點在線段上運動時，，
直線的方程為，即，
所以，線段的方程為，
所以，，
因為函數在上單調遞增，
故.
綜上所述，的最大值為，故，
故的取值范圍是.
故選：B.
【點睛】方法點睛：求兩個向量的數量積有三種方法：
（1）利用定義：
（2）利用向量的坐標運算；
（3）利用數量積的幾何意義．
具體應用時可根據已知條件的特征來選擇，同時要注意數量積運算律的應用．
4．（23-24高一下·福建莆田·期中）設平面向量，其中為單位向量，且滿足，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】利用向量的模公式及向量的數量積的性質，再利用向量的夾角公式和向量數量積的運算律可將表示為關于的函數的形式，令，換元后可得，結合的范圍即可求解.
【詳解】，為單位向量，
，即，
又
所以
設，，則
，
設，，則
，
因為，所以，所以，
所以的最大值為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：解題關鍵是能夠利用平面向量數量積的運算律將所求量轉化為以為自變量的函數的形式，從而利用函數求最值的方法求得最大值.
練透核心考點
1．（2024高三·全國·專題練習）已知A，B，C，D是半徑為2的圓O上的四個動點，若，則的最大值為（ ）
A．6 B．12 C．24 D．32
【答案】C
【分析】利用極化恒等式進行轉化可求最大值.
【詳解】如圖：
分別取AB，CD的中點E，F，連接DE，CE，EF．
又，所以由極化恒等式得
，，
所以
．
連接OE，OF，OA，OB，OC，OD，
由，，得，
所以E，F在以O為圓心，為半徑的圓上．所以EF的最大值為，
所以的最大值為24．
故選：
【點睛】知識點點睛：極化恒等式：在中，若為中點，則.
2．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知，，，，，則的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】由題意首先得出為兩外切的圓和橢圓上的兩點間的距離，再由三角形三邊關系將問題轉換為橢圓上點到另一個圓的圓心的最大值即可.
【詳解】如圖所示：
不妨設，
滿足，，，
又，即，
由橢圓的定義可知點在以為焦點，長軸長為4的橢圓上運動，
，
所以該橢圓方程為，
而，即，即，
這表明了點在圓上面運動，其中點為圓心，為半徑，
又，等號成立當且僅當三點共線，
故只需求的最大值即可，
因為點在橢圓上面運動，所以不妨設，
所以，
所以當且三點共線時，
有最大值.
故選：A.
【點睛】關鍵點睛：解題的關鍵是將向量問題轉換為圓錐曲線中的最值問題來做，通過數學結合的方法巧妙的將幾何問題融入代數方法，從而順利得解.
3．（23-24高一下·河南周口·階段練習）已知平面向量滿足，則的最大值為 .
【答案】30
【分析】設，則由題意可得點在以為圓心3為半徑的圓周上，點在以為圓心2為半徑的圓周上，然后結合圖形可求出的最大值.
【詳解】設，則，
因為，
所以點在以為圓心3為半徑的圓周上，點在以為圓心2為半徑的圓周上，如圖所示，
，由圖可知，當A，B，C三點共線，在如圖所示的位畳時，
有最大值有最大值5，此時取最大值1，
所以的最大值為30.
故答案為：30
【點睛】關鍵點點睛：此題考查向量的數量積，考查向量的加法法則的應用，解題的關鍵是根據題意畫出圖形，結合圖形求解，考查數形結合的思想，屬于較難題.
即可得的取值范圍.
【詳解】因為與的夾角為銳角，
所以，且與不同向，
所以，
因為，為互相垂直的單位向量，
所以，，，
所以，可得，
當與同向時，，即，
可得，可得，此時不滿足與的夾角為銳角，
綜上所述：實數的取值范圍為且.
故答案為：且.
2．（23-24高一下·河北滄州·階段練習）已知是夾角為的兩個單位向量．若，其中，若的夾角為銳角，則的取值范圍 ．
【答案】
【分析】
根據題意利用建立不等式，解出后，排除同向共線的情況即可.
【詳解】因為是夾角為的兩個單位向量，
則，
又，
則
，
由題意知，解得，
又當共線時，則存在唯一的實數，使得，
即，
所以，解得，
此時同向，夾角為，不符合題意，
故的取值范圍為，
故答案為：.
3．（23-24高三上·北京懷柔·階段練習）已知平面向量，滿足，與的夾角為，若與的夾角為鈍角，則一個滿足條件的的值可以為 ．
【答案】（答案不唯一，只要滿足即可）
【分析】由題意可得且這兩個向量不共線，再結合數量積的運算律及平面向量共線定理即可得解.
【詳解】因為，與的夾角為，
所以，
因為與的夾角為鈍角，
所以且這兩個向量不共線，
，解得，
當時，
存在唯一實數，使得，
所以，所以，
又不共線，所以，
綜上所述，，
所以滿足條件的的值可以為.
故答案為：.（答案不唯一，只要滿足即可）
第五部分：新定義題
1．（23-24高一下·山西大同·階段練習）元向量（）也叫維向量，是平面向量的推廣，設為正整數，數集中的個元素構成的有序組稱為上的元向量，其中為該向量的第個分量．元向量通常用希臘字母等表示，如上全體元向量構成的集合記為．對于，記，定義如下運算：加法法則，模公式，內積，設的夾角為，則．
(1)設，解決下面問題：
①求；
②設與的夾角為，求；
(2)對于一個元向量，若，稱為維信號向量．規定，已知個兩兩垂直的120維信號向量滿足它們的前個分量都相同，證明：．
【答案】(1)①；②
(2)證明見解析
【分析】（1）根據條件得到，再利用題設定義的運算，即可求出結果；
（2）任取，，得到，設的第個分量之和為，結合，即可求出結果.
【詳解】（1）因為，
所以，
①，
②因為，，所以.
（2）任取，，計算內積，設這些內積之和為，
則，設的第個分量之和為，
又因為，故，所以
又，
所以，即，所以.
【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵在于第（2）問，任取，，根據條件得到，再利用來解決問題.
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