資源簡介

第03講 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
目錄
第一部分：基礎(chǔ)知識 1
第二部分：高考真題回顧 2
第三部分：高頻考點一遍過 3
高頻考點一：公式的基本應(yīng)用 3
高頻考點二：公式的逆用及變形 4
高頻考點三：輔助角公式的運用 5
高頻考點四：二倍角 5
高頻考點五：拼湊角 6
高頻考點六：降冪公式 7
第四部分：新定義題 8
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
①兩角和與差的正弦公式
②兩角和與差的余弦公式
③兩角和與差的正切公式
2、二倍角公式
①
②；；
③
3、降冪公式
4、輔助角公式：
(其中)
5、常用結(jié)論
①兩角和與差的正切公式的變形：
②
③
④
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·全國·新課標(biāo)Ⅱ卷）若，則（ ）
A． B．
C． D．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：公式的基本應(yīng)用
典型例題
例題1．（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高一下·河北張家口·階段練習(xí)）（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知tan α＝，tan β＝－，則tan (2α＋β)的值為（ ）
A．－ B．－
C．1 D．
例題4．（多選）（23-24高一下·四川綿陽·階段練習(xí)）計算下列各式，結(jié)果為的是（ ）
A． B．
C． D．
練透核心考點
1．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）計算的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）計算 .
4．（23-24高一上·山西呂梁·期末）已知，，則 .
高頻考點二：公式的逆用及變形
典型例題
例題1．（23-24高一上·廣西賀州·期末）設(shè)，，，則有（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在中，若，則的值是 ．
例題4．（23-24高一上·湖南衡陽·期末）計算求值
(1)已知，求的值．
(2)
練透核心考點
1．（2024·山西呂梁·一模）的值為（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）（ ）
A．1 B． C．3 D．
3．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）（ ）
A． B．
C．1 D．
4．（21-22高一·全國·課前預(yù)習(xí)）計算：＝ .
例題3．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知，則 ．
例題4．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知，則的值為 .
練透核心考點
1．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·江西·期末）已知角的終邊上有一點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知角終邊經(jīng)過點，則（ ）
A． B． C． D．
高頻考點五：拼湊角
典型例題
例題1．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）設(shè)為銳角，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知是銳角，，則的值為 .
例題4．（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）已知，且．求：
(1)的值；
(2)的值．
練透核心考點
1．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山東煙臺·一模）若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習(xí)）若，則 .
高頻考點六：降冪公式
典型例題
例題1．（23-24高二上·寧夏石嘴山·期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高一下·廣東深圳·期中）計算：（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2024·吉林白山·一模）化簡 ．
練透核心考點
1．（23-24高三上·陜西漢中·期中）已知，函數(shù)在單調(diào)遞減，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高一下·全國·課后作業(yè)）的值是（ ）
A． B． C． D．1
3．（2023·吉林·三模）化簡=（ ）
A． B． C． D．
第四部分：新定義題
1．（2023·上海楊浦·模擬預(yù)測）設(shè)是定義域為的函數(shù)，如果對任意的、均成立， 則稱是“平緩函數(shù)”.
(1)若， 試判斷和是否為“平緩函數(shù)” 并說明理由; (參考公式:時， 恒成立)
(2)若函數(shù)是“平緩函數(shù)”， 且是以 1為周期的周期函數(shù)， 證明:對任意的、， 均有;
(3)設(shè) 為定義在上函數(shù)， 且存在正常數(shù) 使得函數(shù)為“平緩函數(shù)”. 現(xiàn)定義數(shù)列滿足:， 試證明:對任意的正整數(shù).
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第03講 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
目錄
第一部分：基礎(chǔ)知識 1
第二部分：高考真題回顧 2
第三部分：高頻考點一遍過 4
高頻考點一：公式的基本應(yīng)用 4
高頻考點二：公式的逆用及變形 6
高頻考點三：輔助角公式的運用 9
高頻考點四：二倍角 11
高頻考點五：拼湊角 14
高頻考點六：降冪公式 17
第四部分：新定義題 20
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
①兩角和與差的正弦公式
②兩角和與差的余弦公式
③兩角和與差的正切公式
2、二倍角公式
①
②；；
③
3、降冪公式
4、輔助角公式：
(其中)
5、常用結(jié)論
①兩角和與差的正切公式的變形：
②
③
④
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計算作答.
【詳解】因為，而，因此，
則，
所以.
故選：B
【點睛】方法點睛：三角函數(shù)求值的類型及方法
（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．
（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．
（3）“給值求角”：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．
2．（2022·全國·新課標(biāo)Ⅱ卷）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.
【詳解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故選：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:設(shè)β=0則sinα +cosα =0，取，排除A, B；
再取α=0則sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；選C.
[方法三]：三角恒等變換
所以
即
故選：C.
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：公式的基本應(yīng)用
典型例題
例題1．（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式計算可得.
【詳解】
。
故選：A
例題2．（23-24高一下·河北張家口·階段練習(xí)）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用誘導(dǎo)公式變形，再利用兩角差的正弦公式計算.
【詳解】.
故選：D.
例題3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知tan α＝，tan β＝－，則tan (2α＋β)的值為（ ）
A．－ B．－
C．1 D．
【答案】C
【詳解】
因為tan α＝，tan β＝－，所以tan （α＋β）＝＝＝＝，所以tan （2α＋β）＝tan [α＋（α＋β）]＝＝＝1.
【考查意圖】
利用和差倍角公式化簡求值．
例題4．（多選）（23-24高一下·四川綿陽·階段練習(xí)）計算下列各式，結(jié)果為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】對于A，利用三角函數(shù)的特殊值即可求解；對于B ，D，利用兩角和的正切公式即可求解；對于C，利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式即可求解.
【詳解】對于A ，，故 A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，由，得，故D正確.
故選：BCD.
練透核心考點
1．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）計算的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合兩角和的正弦公式，即可求解.
【詳解】由
.
故選：A.
2．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式即可求解.
【詳解】原式
故選：C.
3．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）計算 .
【答案】/
【分析】利用誘導(dǎo)公式及兩角差的余弦公式計算可得.
【詳解】
.
故答案為：
4．（23-24高一上·山西呂梁·期末）已知，，則 .
【答案】
【分析】利用兩角和正切公式直接求解即可.
【詳解】.
故答案為：
高頻考點二：公式的逆用及變形
典型例題
例題1．（23-24高一上·廣西賀州·期末）設(shè)，，，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由兩角差的正弦公式求，由二倍角的正切公式求，由二倍角的正弦公式求，即可根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小．
【詳解】，
，
，
正弦函數(shù)在是單調(diào)遞增的，．
又 ．
故選：A．
例題2．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正切和角公式得到，整理后得到答案.
【詳解】，
，
．
故選：C
例題3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在中，若，則的值是 ．
【答案】/
【分析】
根據(jù)題意由兩角和的正切公式可得，即可得，求出結(jié)果.
【詳解】
由，得，
即，又，
所以，則，
所以.
故答案為：
例題4．（23-24高一上·湖南衡陽·期末）計算求值
(1)已知，求的值．
(2)
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）利用正弦二倍角公式化簡，再結(jié)合齊次式相關(guān)概念化簡計算即可；
（2）根據(jù)題意進(jìn)行通分，根據(jù)正弦二倍角公式、兩角和的余弦公式、誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡計算即可.
【詳解】（1）原式
（2）原式
練透核心考點
1．（2024·山西呂梁·一模）的值為（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】
先把正切化為弦，再分別應(yīng)用配角公式和正弦的二倍角公式化簡即可.
【詳解】
.
故選：D.
2．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】由利用兩角和的正切公式計算可得.
【詳解】因為，
所以，
所以.
故選：B
3．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）（ ）
A． B．
C．1 D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合兩角差的正切公式，利用特殊角的三角函數(shù)值，即可求解.
【詳解】由兩角差的正切公式，可得.
故選：A.
4．（21-22高一·全國·課前預(yù)習(xí)）計算：＝ .
【答案】
【分析】由題意由兩角差的正切公式即可得解.
【詳解】由題意．
故答案為：．
高頻考點三：輔助角公式的運用
典型例題
例題1．（23-24高一下·上海奉賢·階段練習(xí)）函數(shù)的值域是 ．
【答案】
【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，再利用整體法求值域.
【詳解】
，
又，
.
的值域為.
例題2．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）化簡 .
【答案】
【分析】
根據(jù)題意，利用兩角差的正弦公式，準(zhǔn)確化簡，即可求解.
【詳解】
由.
故答案為：.
例題3．（23-24高一下·上海·階段練習(xí)）把化成的形式
【答案】
【分析】
根據(jù)給定條件，逆用和角的正弦公式化簡即得.
【詳解】依題意，.
故答案為：
練透核心考點
1．（23-24高三下·上海·階段練習(xí)）函數(shù)的最大值為 .
【答案】5
【分析】
借助輔助角公式計算即可得.
【詳解】，其中，
由，故的最大值為5.
故答案為：5.
2．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知，若函數(shù)的最大值為2，則 .
【答案】
【分析】
由輔助角公式得函數(shù)最大值，進(jìn)而列方程即可求解.
【詳解】由題意，其中，
所以，
又因為，所以.
故答案為：.
3．（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知，函數(shù)的最小正周期為，則實數(shù) ．
【答案】
【分析】先用輔助角公式化簡，然后利用周期公式求解.
【詳解】，
故，所以.
故答案為：.
高頻考點四：二倍角
典型例題
例題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系以及正弦的二倍角公式，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.
【詳解】因為，所以.
故選：D.
例題2．（2024·貴州畢節(jié)·二模）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先判斷，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，最后由二倍角余弦公式計算可得.
【詳解】因為，且，
所以，又，解得或（舍去），
又，解得或，
又，所以，所以，所以.
故選：B
例題3．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知，則 ．
【答案】/
【分析】利用余弦函數(shù)的二倍角公式即可得解；
【詳解】因為，所以，所以，
因為，所以，解得或（舍去）.
故答案為：.
例題4．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知，則的值為 .
【答案】/
【分析】
利用正余弦的齊次式法求得，再利用正切的倍角公式即可得解.
【詳解】
因為，等式左邊分子、分母同時除以得， ，解得，
所以.
故答案為：.
練透核心考點
1．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知同分化簡得出.進(jìn)而根據(jù)二倍角的正切公式，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，
所以，，
所以，.
故選：A.
2．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)二倍角公式化簡后利用周期的計算公式即可求解.
【詳解】，故最小正周期為.
故選：B
3．（23-24高三上·江西·期末）已知角的終邊上有一點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合二倍角公式即可求解.
【詳解】由題意可得，
故，
故選：B
4．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知角終邊經(jīng)過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
借助三角函數(shù)定義及二倍角的正切公式計算即可得.
【詳解】
由，故，
則.
故選：D.
高頻考點五：拼湊角
典型例題
例題1．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角余弦公式可得結(jié)果.
【詳解】
，
故選：D.
例題2．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）設(shè)為銳角，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)求出，根據(jù)即可求解.
【詳解】因為為銳角，則，因為，
所以，
所以
.
故選：D.
例題3．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知是銳角，，則的值為 .
【答案】
【分析】先由已知結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值確定，再由正弦展開式結(jié)合拆角計算得到最后結(jié)果.
【詳解】因為，，所以，
又，所以，即，又，所以，
所以，
所以，
故答案為：.
例題4．（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）已知，且．求：
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由的范圍求出的范圍，再利用平方關(guān)系及兩角和的余弦公式求值即得.
（2）由兩角差的余弦公式求出即可求出的值.
【詳解】（1）由，得，由，，
得，，
所以
.
（2）由（1）知，
，而，
所以.
練透核心考點
1．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)平方關(guān)系求出，再根據(jù)結(jié)合兩角和的余弦公式即可得解.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
所以，
則
.
故選：A.
2．（2024·山東煙臺·一模）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】由可得，
故，
故選：C
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
因為sin （15°－）＝，所以cos （30°－α）＝cos 2（15°－）＝1－2sin2（15°－）＝1－2×＝.
4．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習(xí)）若，則 .
【答案】/0.28
【分析】令，代入，利用三角公式變形計算即可.
【詳解】令，則，
所以
.
故答案為：.
高頻考點六：降冪公式
典型例題
例題1．（23-24高二上·寧夏石嘴山·期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為在上單調(diào)遞減，
所以，即，
又，所以，
令，
因為，，所以，
所以問題轉(zhuǎn)化為在（）上單調(diào)遞減，
所以問題轉(zhuǎn)化為在（）上單調(diào)遞減，
又，，單調(diào)遞減區(qū)間為，，
所以，
所以，解得.
故選：D.
2．（22-23高一下·全國·課后作業(yè)）的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】利用降冪公式、積化和差公式以及誘導(dǎo)公式即可得到答案.
【詳解】原式
.
故選：A.
3．（2023·吉林·三模）化簡=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用降次公式和誘導(dǎo)公式化簡所求表達(dá)式，由此求得正確結(jié)論.
【詳解】依題意，原式，故選B.
【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)降次公式，考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.
第四部分：新定義題
1．（2023·上海楊浦·模擬預(yù)測）設(shè)是定義域為的函數(shù)，如果對任意的、均成立， 則稱是“平緩函數(shù)”.
(1)若， 試判斷和是否為“平緩函數(shù)” 并說明理由; (參考公式:時， 恒成立)
(2)若函數(shù)是“平緩函數(shù)”， 且是以 1為周期的周期函數(shù)， 證明:對任意的、， 均有;
(3)設(shè) 為定義在上函數(shù)， 且存在正常數(shù) 使得函數(shù)為“平緩函數(shù)”. 現(xiàn)定義數(shù)列滿足:， 試證明:對任意的正整數(shù).
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）利用是“平緩函數(shù)”判斷可得答案；
（2）設(shè)、，分、，根據(jù)為上的“平緩函數(shù)”可得答案；
（3）由為上的“平緩函數(shù)”得，對任意的，利用證明可得答案.
【詳解】（1）對于函數(shù)，由對任意的、，
，
可知函數(shù)是上的“平緩函數(shù)”. 對于函數(shù)，由對任意的、，
，
因此函數(shù)也是上的“平緩函數(shù)”；
（2）由已知可得，由于函數(shù)是周期函數(shù)，
故不妨設(shè)、.
當(dāng)時，由為上的“平緩函數(shù)”得；
當(dāng)時，不妨設(shè)，，此時由為上的“平緩函數(shù)”得
綜上所述，命題得證；
（3）由為上的“平緩函數(shù)”，且得，則對任意的，
，
因此
【點睛】思路點睛：本題主要是根據(jù)是“平緩函數(shù)”的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷，考查了學(xué)生的邏輯推理能力、運算能力.
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