資源簡介

第03講函數的奇偶性、對稱性與周期性
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 4
高頻考點一：函數奇偶性 4
角度1：判斷函數奇偶性 4
角度2：根據函數奇偶性求解析式 4
角度3：函數奇偶性的應用 5
角度4：由函數奇偶性求參數 5
角度5：奇偶性+單調性解不等式 5
高頻考點二：函數周期性及其應用 6
角度1：由函數周期性求函數值 6
角度2：由函數周期性求解析式 7
高頻考點三：函數的對稱性 8
角度1：由函數對稱性求解析式 8
角度2：由函數對稱性求函數值或參數 8
角度3：對稱性+奇偶性+周期性的綜合應用 8
第四部分：新定義題（解答題） 9
第一部分：基礎知識
1、函數的奇偶性
（1）函數奇偶性定義
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數是偶函數 圖象關于軸對稱
奇函數 如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數是奇函數 圖象關于原點對稱
注意：由函數奇偶性的定義可知，函數具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內的任意一個x，也在定義域內（即定義域關于原點對稱）．
（2）常用結論與技巧：
①對數型復合函數判斷奇偶性常用或來判斷奇偶性.
②，在它們的公共定義域上有下面的結論：
偶函數 偶函數 偶函數 偶函數 偶函數 偶函數
偶函數 奇函數 不能確定 不能確定 奇函數 奇函數
奇函數 偶函數 不能確定 不能確定 奇函數 奇函數
奇函數 奇函數 奇函數 奇函數 偶函數 偶函數
③若是定義在區間上奇函數，且，則（注意：反之不成立）
2、函數對稱性（異號對稱）
（1）軸對稱：若函數關于直線對稱，則
①；
②；
③
（2）點對稱：若函數關于直線對稱，則
①
②
③
（2）點對稱：若函數關于直線對稱，則
①
②
③
3、函數周期性（同號周期）
（1）周期函數定義
對于函數，如果存在一個非零常數，使得當取定義域內的任何值時，都有，那么就稱函數為周期函數，稱為這個函數的周期，則（）也是這個函數的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫做的最小正周期（若不特別說明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函數都有最小正周期.
（3）函數周期性的常用結論與技巧
設函數，.
①若，則函數的周期；
②若，則函數的周期；
③若，則函數的周期；
④若，則函數的周期；
⑤，則函數的周期
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·（乙卷理））已知是偶函數，則（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（多選）（2023·全國·（新課標Ⅰ卷））已知函數的定義域為，，則（ ）．
A． B．
C．是偶函數 D．為的極小值點
3．（2023·全國·（甲卷理））若為偶函數，則 ．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：函數奇偶性
角度1：判斷函數奇偶性
典型例題
例題1．（2024上·廣東·高一校聯考期末）下列函數是奇函數的是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024上·云南昆明·高一期末）下列四個函數中在定義域內為非奇非偶函數的個數是（　　）
（1）
（2）
（3）
（4）
A．1個 B．2個 C．3個 D．0個
例題3．（2024上·廣東·高一統考期末）下列函數是偶函數的是（ ）
A． B． C． D．
角度2：根據函數奇偶性求解析式
典型例題
例題1．（2024上·福建漳州·高一統考期末）若函數是偶函數，且當時，，則當時， .
例題2．（2024上·廣東清遠·高一統考期末）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則的解析式為 .
角度3：函數奇偶性的應用
典型例題
例題1．（2024上·廣東深圳·高一統考期末）已知且，則的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
例題2．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知函數，若，則 .
例題3．（2024上·江西上饒·高一統考期末）若函數是上的偶函數，則的值為 .
角度4：由函數奇偶性求參數
典型例題
例題1．（2024上·山西長治·高一校聯考期末）若為奇函數，則的值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
例題2．（2024·浙江·校聯考一模）若函數是上的偶函數，則 ．
例題3．（2024下·浙江·高三校聯考開學考試）已知函數是奇函數，則 .
角度5：奇偶性+單調性解不等式
典型例題
例題1．（2024上·貴州黔東南·高一統考期末）已知是定義在上的偶函數，且對任意的，恒成立.若，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024上·山東威海·高一統考期末）已知函數是定義在上的偶函數，在上單調遞增，且，則不等式的解集為 .
例題3．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市第八中學校校考期末）在上滿足，且在上是遞減函數，若，則的取值范圍是 .
練透核心考點
1．（2024上·湖南婁底·高一校考期末）已知函數是定義在的奇函數，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯考一模）已知為奇函數，則（ ）
A．3 B． C．0 D．
3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統考一模）已知為奇函數，則（ ）
A． B．2 C．1 D．
4．（2024下·西藏·高一開學考試）若函數是定義在上的偶函數，則（ ）
A． B． C． D．2
5．（2024上·陜西西安·高三統考期末）已知是奇函數，則（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
6．（2024下·四川·高三四川省西充中學校聯考期末）已知，則滿足的實數的取值范圍是 ．
練透核心考點
1．（2023·湖南岳陽·校考模擬預測）設函數是定義域為的奇函數，且，則 ．
2．（2022·全國·高三專題練習）已知定義在上的偶函數滿足，，則 .
3．（2023上·江蘇·高一專題練習）設是周期為2的奇函數，當時，，則時，＝ ．
4．（2022上·全國·高一專題練習）已知是定義在上周期為的函數，當時，，那么當時， .
高頻考點三：函數的對稱性
角度1：由函數對稱性求解析式
典型例題
例題1．（2021下·江西九江·高二統考期末）若函數與的圖象關于直線對稱，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022上·安徽合肥·高一統考期末）已知是定義在R上的函數的對稱軸，當時，，則的解析式是 ．
角度2：由函數對稱性求函數值或參數
典型例題
例題1．（2023·陜西咸陽·咸陽市實驗中學校考一模）函數為偶函數，且圖象關于直線對稱，，則 ．
例題2．（2023下·河北石家莊·高三校聯考期中）已知是上的奇函數，當時，，則 ．
角度3：對稱性+奇偶性+周期性的綜合應用
典型例題
例題1．（多選）（2024下·河南·高一信陽高中校聯考開學考試）已知函數的定義域均為是偶函數，且，若，則（ ）
A．
B．的圖象關于點中心對稱
C．
D．
例題2．（多選）（2024下·海南省直轄縣級單位·高三嘉積中學校考開學考試）已知定義域為的函數對任意實數都有，且，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．函數的圖象關于點對稱
D．
練透核心考點
1．（2023上·湖北荊州·高一荊州中學校考期中）已知函數，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·重慶·高一重慶一中校考期末）已知定義在R上的函數的圖象關于點成中心對稱，且當時，（其中為待定常數），則 .
3．（多選）（2024下·重慶·高三重慶一中校考開學考試）已知定義在上的函數，是奇函數，是偶函數，當，，，，則下列說法中正確的有（ ）
A．函數的最小正周期為
B．函數關于點對稱
C．
D．函數有8個不同零點
4．（2024·陜西西安·西安中學校考一模）函數是定義在上的函數，且為偶函數，是奇函數，當時，，則 .
第四部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·山東聊城·高一統考期末）若存在實數、使得，則稱函數為函數，的“函數”．
(1)若函數為函數、的“函數”，其中為奇函數，為偶函數，求函數、的解析式；
(2)設函數，，是否存在實數、使得函數為函數、的“函數”，且同時滿足：①是偶函數；②的值域為．若存在，求出、的值；若不存在，請說明理由．
注：為自然對數的底數．
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第03講函數的奇偶性、對稱性與周期性
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 5
高頻考點一：函數奇偶性 5
角度1：判斷函數奇偶性 5
角度2：根據函數奇偶性求解析式 7
角度3：函數奇偶性的應用 8
角度4：由函數奇偶性求參數 9
角度5：奇偶性+單調性解不等式 10
高頻考點二：函數周期性及其應用 14
角度1：由函數周期性求函數值 14
角度2：由函數周期性求解析式 15
高頻考點三：函數的對稱性 18
角度1：由函數對稱性求解析式 18
角度2：由函數對稱性求函數值或參數 19
角度3：對稱性+奇偶性+周期性的綜合應用 20
第四部分：新定義題（解答題） 23
第一部分：基礎知識
1、函數的奇偶性
（1）函數奇偶性定義
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數是偶函數 圖象關于軸對稱
奇函數 如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數是奇函數 圖象關于原點對稱
注意：由函數奇偶性的定義可知，函數具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內的任意一個x，也在定義域內（即定義域關于原點對稱）．
（2）常用結論與技巧：
①對數型復合函數判斷奇偶性常用或來判斷奇偶性.
②，在它們的公共定義域上有下面的結論：
偶函數 偶函數 偶函數 偶函數 偶函數 偶函數
偶函數 奇函數 不能確定 不能確定 奇函數 奇函數
奇函數 偶函數 不能確定 不能確定 奇函數 奇函數
奇函數 奇函數 奇函數 奇函數 偶函數 偶函數
③若是定義在區間上奇函數，且，則（注意：反之不成立）
2、函數對稱性（異號對稱）
（1）軸對稱：若函數關于直線對稱，則
①；
②；
③
（2）點對稱：若函數關于直線對稱，則
①
②
③
（2）點對稱：若函數關于直線對稱，則
①
②
③
3、函數周期性（同號周期）
（1）周期函數定義
對于函數，如果存在一個非零常數，使得當取定義域內的任何值時，都有，那么就稱函數為周期函數，稱為這個函數的周期，則（）也是這個函數的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫做的最小正周期（若不特別說明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函數都有最小正周期.
（3）函數周期性的常用結論與技巧
設函數，.
①若，則函數的周期；
②若，則函數的周期；
③若，則函數的周期；
④若，則函數的周期；
⑤，則函數的周期
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·（乙卷理））已知是偶函數，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根據偶函數的定義運算求解.
【詳解】因為為偶函數，則，
又因為不恒為0，可得，即，
則，即，解得.
故選：D.
2．（多選）（2023·全國·（新課標Ⅰ卷））已知函數的定義域為，，則（ ）．
A． B．
C．是偶函數 D．為的極小值點
【答案】ABC
【分析】方法一：利用賦值法，結合函數奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.
方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構造特殊函數進行判斷即可.
【詳解】方法一：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，
對于D，不妨令，顯然符合題設條件，此時無極值，故錯誤.
方法二：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，
對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，
故可以設，則，
當肘，，則，
令，得；令，得；
故在上單調遞減，在上單調遞增，
因為為偶函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減，

顯然，此時是的極大值，故D錯誤.
故選：.
3．（2023·全國·（甲卷理））若為偶函數，則 ．
【答案】2
【分析】利用偶函數的性質得到，從而求得，再檢驗即可得解.
【詳解】因為為偶函數，定義域為，
所以，即，
則，故，
此時，
所以，
又定義域為，故為偶函數，
所以.
故答案為：2.
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：函數奇偶性
角度1：判斷函數奇偶性
典型例題
例題1．（2024上·廣東·高一校聯考期末）下列函數是奇函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據奇函數的定義判斷即可.
【詳解】對于A，因為的定義域為，且，所以為偶函數；
對于B，因為的定義域為，且，所以不是奇函數；
對于C，因為的定義域為，且，所以為奇函數；
對于D，因為的定義域為，且，所以為偶函數；
故選：.
例題2．（2024上·云南昆明·高一期末）下列四個函數中在定義域內為非奇非偶函數的個數是（　　）
（1）
（2）
（3）
（4）
A．1個 B．2個 C．3個 D．0個
【答案】C
【分析】根據題意，依次分析4個函數，求出定義域，根據奇函數和偶函數的定義作出判斷.
【詳解】（1）的定義域為，且，
故是偶函數，錯誤；
（2）的定義域為R，，且，
故是非奇非偶函數，正確；
（3）定義域為，故為非奇非偶函數，正確；
（4）的定義域為R，且，且，
故為非奇非偶函數，正確.
故選：C．
例題3．（2024上·廣東·高一統考期末）下列函數是偶函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出定義域，判斷定義域是否關于原點對稱，再判斷對定義域內任意的是否都有即可.
【詳解】對于A，定義域為，與不恒等，故A錯誤；
對于B，定義域為，與不恒等，故B錯誤；
對于C，定義域為，與不恒等，故C錯誤；
對于D，，解得或，定義域關于原點對稱，
，是偶函數，故D正確.
故選：D.
角度2：根據函數奇偶性求解析式
典型例題
例題1．（2024上·福建漳州·高一統考期末）若函數是偶函數，且當時，，則當時， .
【答案】
【分析】根據偶函數的性質求解即可.
【詳解】解：因為數是偶函數，且當時，，
所以當時，，
所以，
即，
所以當時，.
故答案為：
例題2．（2024上·廣東清遠·高一統考期末）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則的解析式為 .
【答案】
【分析】根據奇函數的性質得到，求出時的函數解析式，求出答案.
【詳解】因為是定義在上的奇函數，所以.
當時，，
所以當時，.
綜上，
故答案為：
角度3：函數奇偶性的應用
典型例題
例題1．（2024上·廣東深圳·高一統考期末）已知且，則的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【分析】令，利用奇函數的性質求解即可.
【詳解】令，
因為，所以函數為奇函數，
由，得，所以，
所以.
故選：C.
例題2．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知函數，若，則 .
【答案】
【分析】從函數解析式不難看出前兩項構成的函數為奇函數，故可將其設成，證明其奇偶性，再利用奇函數特征代入計算即得.
【詳解】令，，由,可得函數為奇函數，
則由得，故.
故答案為：.
例題3．（2024上·江西上饒·高一統考期末）若函數是上的偶函數，則的值為 .
【答案】
【分析】由題意先得，結合偶函數的性質得，檢驗后相加即可求解.
【詳解】由題意首先，解得，
即函數是上的偶函數，
由，解得，此時，經檢驗符合題意，
所以.
故答案為：.
角度4：由函數奇偶性求參數
典型例題
例題1．（2024上·山西長治·高一校聯考期末）若為奇函數，則的值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根據題意，結合，列出方程，即可求得的值.
【詳解】由函數為奇函數，可得，
可得，解得，
經檢驗，當時，，
滿足，符合題意，所以.
故選：D.
例題2．（2024·浙江·校聯考一模）若函數是上的偶函數，則 ．
【答案】1
【分析】根據函數是上的偶函數，利用特殊值可得答案.
【詳解】若函數是上的偶函數，
則有，即，解得，
當時，此時，，
當時，，，
當時，，，
所以函數是上的偶函數，符合題意，
則.
故答案為：1.
例題3．（2024下·浙江·高三校聯考開學考試）已知函數是奇函數，則 .
【答案】/0.5
【分析】根據為奇函數，故，變形后得到，求出答案.
【詳解】為奇函數，
故，即，
即，
故，解得.
故答案為：
角度5：奇偶性+單調性解不等式
典型例題
例題1．（2024上·貴州黔東南·高一統考期末）已知是定義在上的偶函數，且對任意的，恒成立.若，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函數單調性的定義及利用函數的單調性和奇偶性綜合解出該抽象函數不等式即可.
【詳解】因為是定義在上的偶函數，
且對任意的，恒成立，
所以在上單調遞增，在上單調遞減.
易得，
所以由得;由得，
故不等式的解集是.
故選:D.
例題2．（2024上·山東威海·高一統考期末）已知函數是定義在上的偶函數，在上單調遞增，且，則不等式的解集為 .
【答案】
【分析】利用偶函數的性質結合對數函數的圖象與性質計算即可.
【詳解】由題意可知，
又在上單調遞增，則時，，
則，
根據對數函數的性質可知.
故答案為：
例題3．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市第八中學校校考期末）在上滿足，且在上是遞減函數，若，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據函數的奇偶性、單調性化簡不等式，結合函數的定義域求得的取值范圍.
【詳解】∵，∴.
∵，∴.
∴，解得，
∴的取值范圍是.
故答案為：.
練透核心考點
1．（2024上·湖南婁底·高一校考期末）已知函數是定義在的奇函數，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函數為奇函數求出的值，由函數有意義的條件求出的取值范圍，即可求的取值范圍.
【詳解】函數是定義在的奇函數，
則有，解得，
即，有意義，，解得，
所以有，
此時，滿足在上為奇函數，
由，所以.
故選：C.
2．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯考一模）已知為奇函數，則（ ）
A．3 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】確定函數的定義域，根據奇函數的定義域關于原點對稱，可求得a的值，驗證后即可確定答案.
【詳解】由題意可得，
即，且，且，
由于為奇函數，故其定義域關于原點對稱，
故，
此時，定義域關于原點對稱，滿足，
即為奇函數，符合題意，故，
故選：B
3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統考一模）已知為奇函數，則（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】根據函數的奇偶性求函數在區間上的解析式，對比系數求得.
【詳解】當時，，所以，
通過對比系數得.
故選：A
4．（2024下·西藏·高一開學考試）若函數是定義在上的偶函數，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】利用偶函數的定義可計算的值，再根據解析式計算函數值即可.
【詳解】因為函數是定義在上的偶函數，
所以且，則，
所以，則.
故選：D．
5．（2024上·陜西西安·高三統考期末）已知是奇函數，則（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
【答案】B
【分析】根據題意，利用，求得的值，進而求得的值，得到答案.
【詳解】由函數，
因為是奇函數，所以，
即，
整理得，解得，
所以．
故選：B.
6．（2024下·四川·高三四川省西充中學校聯考期末）已知，則滿足的實數的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】分析函數的奇偶性與單調性，將所求不等式變形為，結合函數的單調性可得出關于實數的不等式，解之即可.
【詳解】因為，該函數的定義域為，
，故函數為奇函數，
因為對任意的恒成立，
所以，函數在上為減函數，
由可得，
所以，，解得，即實數的取值范圍是.
故答案為：.
7．（2024上·陜西商洛·高一統考期末）已知偶函數，則不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】由時，，可知函數在上單調遞增，于是有，即，求解即可.
【詳解】當時，單調遞增，因為為偶函數，
所以不等式轉化為，
則，解得．
故答案為：
高頻考點二：函數周期性及其應用
角度1：由函數周期性求函數值
典型例題
例題1．（2023上·安徽·高二校聯考期中）已知函數對于任意實數x滿足，若，則 （ ）
A．-5 B．-3 C．3 D．5
【答案】C
【分析】首先判斷函數的周期，利用周期求函數值.
【詳解】由，，可知，函數的周期，
.
故選：C
例題2．（2024上·河北滄州·高一統考期末）已知函數是定義在R上的奇函數，且滿足，當時，，則 ．
【答案】1
【分析】依題意可得，從而得到是以為周期的周期函數，再根據所給函數解析式及函數的周期性、奇偶性計算可得.
【詳解】，，是的一個周期，
又當時，，
．
故答案為：
例題3．（2024·全國·高三專題練習）設函數的定義域為，且，，則 ．
【答案】512．
【分析】根據得，由可依次遞推得到.
【詳解】，，
，，
，
，，
，，
．
故答案為：512．
角度2：由函數周期性求解析式
典型例題
例題1．（2022上·河北·高三校聯考階段練習）已知函數是定義在R上的奇函數，且滿足，當時，，則當時，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據函數的奇偶性求出時的解析式，再求出函數的周期為4，故得到時，
【詳解】由題意知，則，
所以函數是以4為周期的周期函數，又當時，，且是定義在上的奇函數，
所以時，，，
所以當時，，.
故選：B.
例題2．（2023·全國·高三對口高考）函數的周期為，且當時，，則，的解析式為 ．
【答案】/
【分析】由求出的取值范圍，再結合函數的周期性可求得在上的解析式.
【詳解】因為函數的周期為，當時，，
且，當時，則，
故當時，.
故答案為：.
例題3．（2023下·甘肅白銀·高二校考期末）若定義在上的奇函數滿足，當時，．
(1)求的值；
(2)當時，求函數的表達式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題可得，再結合條件可求；
（2）由題可求當時，，再結合函數的周期性即求.
【詳解】（1）∵定義在上的奇函數滿足，
∴，，
∴，即函數是以為周期的周期函數，
又時，
∴，
（2）∵當時，
∴當時，，
∴，
∴當時，，
∴.
練透核心考點
1．（2023·湖南岳陽·校考模擬預測）設函數是定義域為的奇函數，且，則 ．
【答案】0
【分析】由函數為奇函數可得，再根據函數的周期性即可得解.
【詳解】因為函數是定義域為的奇函數，
所以，
因為，
所以函數是以為周期的周期函數，
所以.
故答案為：.
2．（2022·全國·高三專題練習）已知定義在上的偶函數滿足，，則 .
【答案】
【分析】利用條件與函數的奇偶性，推得函數是以2為周期的周期函數，進而可得的值．
【詳解】由題意，函數滿足，即，
又由函數是上的偶函數，所以，即，
所以函數是以2為周期的周期函數，又，
則.
故答案為：.
3．（2023上·江蘇·高一專題練習）設是周期為2的奇函數，當時，，則時，＝ ．
【答案】
【分析】利用函數的周期性和奇偶性，可得，結合的范圍以及已知條件，即可求得答案.
【詳解】當時，，則，
因為當時，，所以．
因為是周期為2的奇函數，
所以，
故答案為：
4．（2022上·全國·高一專題練習）已知是定義在上周期為的函數，當時，，那么當時， .
【答案】
【分析】根據周期性求函數解析式即可.
【詳解】解：因為當時，,是定義在上周期為的函數
所以，，
故答案為：
高頻考點三：函數的對稱性
角度1：由函數對稱性求解析式
典型例題
例題1．（2021下·江西九江·高二統考期末）若函數與的圖象關于直線對稱，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先設出函數圖像上任意點的坐標，再求出關于直線對稱的點，代入函數的解析式即可求解．
【詳解】解：設函數圖像上的點為，關于直線對稱的點為，
將點代入函數的解析式可得：，
故，
故選：D．
例題2．（2022上·安徽合肥·高一統考期末）已知是定義在R上的函數的對稱軸，當時，，則的解析式是 ．
【答案】
【分析】依題意得到，再代入化簡，進而即可得到的解析式．
【詳解】由是定義在R上的函數的對稱軸，則，
又當時，，
則當時，即，則，
所以的解析式是．
故答案為：．
角度2：由函數對稱性求函數值或參數
典型例題
例題1．（2023·陜西咸陽·咸陽市實驗中學校考一模）函數為偶函數，且圖象關于直線對稱，，則 ．
【答案】4
【分析】根據函數的對稱性求出，利用奇偶性求得，再利用函數的奇偶性以及對稱性即可求得的值，即得答案.
【詳解】由于函數圖象關于直線對稱，，
故，又為偶函數，故，
則，
故答案為：4
例題2．（2023下·河北石家莊·高三校聯考期中）已知是上的奇函數，當時，，則 ．
【答案】
【分析】由題目條件得到關于點成中心對稱，從而得到，求出，得到.
【詳解】因為是上的奇函數，所以的圖象關于點成中心對稱，
所以，即．
故答案為：
角度3：對稱性+奇偶性+周期性的綜合應用
典型例題
例題1．（多選）（2024下·河南·高一信陽高中校聯考開學考試）已知函數的定義域均為是偶函數，且，若，則（ ）
A．
B．的圖象關于點中心對稱
C．
D．
【答案】ABC
【分析】利用抽象函數的奇偶性、對稱性、周期性一一判定選項即可.
【詳解】因為是偶函數，則，
所以，
所以.
當時，，
又，所以，所以1，所以，故A正確；
由，得，
兩式相減得，所以，
又，所以，即，
所以的圖象關于點中心對稱，故B正確；
，所以是以6為周期的周期函數，
所以，故C正確；
，D不正確.
故選:ABC
例題2．（多選）（2024下·海南省直轄縣級單位·高三嘉積中學校考開學考試）已知定義域為的函數對任意實數都有，且，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．函數的圖象關于點對稱
D．
【答案】BD
【分析】根據給定條件，賦值計算判斷ABC；推理確定函數的周期，再利用周期性求值判斷D.
【詳解】定義域為的函數對任意實數都有，
令，則，而，因此，A錯誤；
，令，則，則，B正確；
顯然，則函數的圖象關于點不對稱，C錯誤；
D．函數有8個不同零點
【答案】ACD
【分析】根據函數的奇偶性、周期性、對稱性、零點等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】是奇函數，圖象關于對稱，所以關于對稱；
是偶函數，圖象關于直線對稱，所以關于直線對稱；
關于直線的對稱點為原點，
則關于原點對稱，所以是奇函數，
直線關于原點的對稱直線為，所以關于直線對稱，則B選項錯誤.
所以，
所以是周期為的周期函數，A選項正確.
，C選項正確.
當，，，
，
，解得，
所以，，
令得，，
畫出和的圖象如下圖所示，
由圖可知，兩個函數圖象有個交點，所以有個零點，所以D選項正確.
故選：ACD

4．（2024·陜西西安·西安中學校考一模）函數是定義在上的函數，且為偶函數，是奇函數，當時，，則 .
【答案】
【分析】先由函數的奇偶性確定函數的周期為，再由奇偶性得到，計算出結果即可.
【詳解】因為為偶函數，則有，故的圖像關于對稱，則有①，
是奇函數，則②，
聯立①②可得：，變形為，所以，則是周期為的周期函數，
所以，
又當時，，所以.
故答案為：.
第四部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·山東聊城·高一統考期末）若存在實數、使得，則稱函數為函數，的“函數”．
(1)若函數為函數、的“函數”，其中為奇函數，為偶函數，求函數、的解析式；
(2)設函數，，是否存在實數、使得函數為函數、的“函數”，且同時滿足：①是偶函數；②的值域為．若存在，求出、的值；若不存在，請說明理由．
注：為自然對數的底數．
【答案】(1)，
(2)存在，，
【分析】（1）根據題意以及函數的奇偶性可得出關于、的等式組，即可解得函數、的解析式；
（2）假設存在實數、滿足題設要求，根據偶函數的定義結合對數的運算性質可得出，再由函數的值域結合基本不等式可求出的值，進而可得出的值，即可得出結論.
【詳解】（1）解：因為為、的“函數”，
所以①，所以．
因為為奇函數，為偶函數，所以，，
所以②，
聯立①②得，，．
（2）解：假設存在實數、使得函數為函數、的“函數”．
則．
①因為是偶函數﹐所以．
即，
則，
整理得．
因為對恒成立，所以．
②．
因為，當且僅當取等號，
所以，
由于的值域為，所以，則，
又，所以．
綜上，存在，滿足要求．
【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方.
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