資源簡介

第03講 等比數列及其前項和
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 2
第三部分：高頻考點一遍過 5
高頻考點一：等比數列基本量的運算 5
高頻考點二：等比數列的判斷與證明 10
高頻考點三：等比數列的性質及其綜合應用（角度1：等比數列的性質） 12
高頻考點四：等比數列的性質及其綜合應用 16
（角度2：等比數列前項和性質） 16
第四部分：新定義題 20
第一部分：基礎知識
1.等比數列的概念
(1)等比數列的定義
一般地，如果一個數列從2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母()表示．數學語言表達：，為常數，.
(2)等比中項
如果，，成等比數列，那么叫做與的等比中項．即：是與的等比中項 ，，成等比數列 .
2.等比數列的有關公式
(1)若等比數列的首項為，公比是，則其通項公式為；可推廣為.
(2)等比數列的前項和公式：當時，；當時，.
3.等比數列的性質
設數列是等比數列，是其前項和．
(1)若，則，其中.特別地，若，則，其中.
(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即，，，…仍是等比數列，公比為()．
(3)若數列，是兩個項數相同的等比數列，則數列，和(其中，，是非零常數)也是等比數列．
第二部分：高考真題回顧
1．（2024·北京·高考真題）設與是兩個不同的無窮數列，且都不是常數列.記集合，給出下列4個結論：
①若與均為等差數列，則M中最多有1個元素；
②若與均為等比數列，則M中最多有2個元素；
③若為等差數列，為等比數列，則M中最多有3個元素；
④若為遞增數列，為遞減數列，則M中最多有1個元素.
其中正確結論的序號是 .
2．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發展有著悠久的歷史，戰國時期就已經出現了類似于砝碼的、用來測量物體質量的“環權”．已知9枚環權的質量（單位：銖）從小到大構成項數為9的數列，該數列的前3項成等差數列，后7項成等比數列，且，則 ；數列所有項的和為 ．
3．（2024·全國·高考真題（甲卷文））已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和.
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：等比數列基本量的運算
典型例題
例題1．（23-24高二上·河北保定）記為等比數列的前項和，若，，則（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（24-25高二上·全國·課前預習）在等比數列中：
(1)若，，求和；
(2)若，，求．
例題3．（23-24高二下·湖北·階段練習）在數列中，，前n項之和為.
(1)若是等差數列，，求b的值；
(2)若是等比數列，，求b的值.
例題4．（23-24高二·江蘇·課后作業）在等比數列中，
(1)已知，，求q和；
(2)已知，，求和；
(3)已知，，求q和.
練透核心考點
1．（23-24高二下·貴州黔南·期末）記為等比數列的前n項和，若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·全國·課后作業）已知數列為等比數列.
(1)若，且，求的值；
(2)若數列的前三項和為168，，求，的等比中項.
3．（23-24高三·四川）設是等比數列，已知，．
(1)求的通項公式；
(2)求的前項和．
4．（23-24高二·江蘇·課后作業）在等比數列中，
(1)已知，，，求q和；
(2)已知，，，求q和；
(3)已知，，，求和；
(4)已知，，，求q和n.
方法總結解決等比數列基本量運算的思想方法
(1)方程思想:等比數列的基本量為首項和公比,通常利用已知條件及通項公式或前項和公式列方程(組)求解,等比數列中包含,,,,五個量,可“知三求二”.
(2)整體思想:當所給條件只有一個時,可將已知和所求都用,表示,尋求兩者間的聯系,整體代換即可求解.
(3)分類討論思想:若題目中公比未知,則運用等比數列前項和公式時要對分和兩種情況進行討論.
高頻考點二：等比數列的判斷與證明
典型例題
例題1．（2024高三·全國·專題練習）已知數列和滿足：，，，，其中．證明：數列是等比數列；
例題2．（23-24高二下·上海寶山·階段練習）已知數列滿足：.
(1)求證：是等比數列；
(2)求數列的通項公式.
練透核心考點
1．（2024高三·全國·專題練習）已知數列中，，.證明：是等比數列；
2．（2024高三·全國·專題練習）已知數列滿足，且．求證：數列為等比數列；
練透核心考點
1．（23-24高二上·甘肅定西·階段練習）正項等比數列的前項和為，若，，則（ ）
A．9 B． C．9或 D．18
2．（23-24高三·云南紅河·階段練習）等比數列的首項，前n項和為，若，則數列的前10項和為　　
A．65 B．75 C．90 D．110
3．（2024·湖北黃岡·二模）已知等差數列的前項和為是等比數列，若，且，則的最小值為 .
4．（23-24高二下·四川成都·階段練習）已知等比數列的各項均為正數，若，則等于 ；
高頻考點四：等比數列的性質及其綜合應用
（角度2：等比數列前項和性質）
典型例題
例題1．（23-24高二下·河南南陽·期中）若正項等比數列的前項和為，且，則的最小值為（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
例題2．（23-24高二下·河南·開學考試）已知等比數列的前項和為，若，則（ ）
A．324 B．420 C．480 D．768
例題3．（23-24高一下·江西撫州·階段練習）等比數列共有項，其中，偶數項和為84，奇數項和為170，則（ ）
A．3 B．4 C．7 D．9
例題4．（23-24高一下·福建龍巖）已知是等比數列的前項和，若存在，滿足，則數列的公比為（ ）
A． B．2 C． D．3
練透核心考點
1．（23-24高二下·湖北恩施·期中）設是等比數列的前項和，若，則（ ）
A． B． C．5 D．
2．（23-24高二上·重慶·期中）已知等比數列有項，，所有奇數項的和為85，所有偶數項的和為42，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024高一·全國·專題練習）已知等比數列的公比，且，則等于（ ）
A．100 B．80 C．60 D．40
4．（2024·浙江寧波）等比數列的首項為1，項數是偶數，所有得奇數項之和為85，所有的偶數項之和為170，則這個等比數列的項數為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
第四部分：新定義題
1．（24-25高三上·河北邢臺·開學考試）定義：若數列滿足，則稱數列為“線性數列”.
(1)已知為“線性數列”，且，證明：數列為等比數列.
(2)已知.
（i）證明：數列為“線性數列”.
（ii）記，數列的前項和為，證明：.
2．（23-24高二下·江西撫州·階段練習）數列，數列前n項和為．
(1)求數列的通項公式；
(2)若（a為非零實數），求；
(3)若對任意的，都存在，使得成立，求實數t的最大值．
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第03講 等比數列及其前項和
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 2
第三部分：高頻考點一遍過 5
高頻考點一：等比數列基本量的運算 5
高頻考點二：等比數列的判斷與證明 10
高頻考點三：等比數列的性質及其綜合應用（角度1：等比數列的性質） 12
高頻考點四：等比數列的性質及其綜合應用 16
（角度2：等比數列前項和性質） 16
第四部分：新定義題 20
第一部分：基礎知識
1.等比數列的概念
(1)等比數列的定義
一般地，如果一個數列從2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母()表示．數學語言表達：，為常數，.
(2)等比中項
如果，，成等比數列，那么叫做與的等比中項．即：是與的等比中項 ，，成等比數列 .
2.等比數列的有關公式
(1)若等比數列的首項為，公比是，則其通項公式為；可推廣為.
(2)等比數列的前項和公式：當時，；當時，.
3.等比數列的性質
設數列是等比數列，是其前項和．
(1)若，則，其中.特別地，若，則，其中.
(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即，，，…仍是等比數列，公比為()．
(3)若數列，是兩個項數相同的等比數列，則數列，和(其中，，是非零常數)也是等比數列．
第二部分：高考真題回顧
1．（2024·北京·高考真題）設與是兩個不同的無窮數列，且都不是常數列.記集合，給出下列4個結論：
①若與均為等差數列，則M中最多有1個元素；
②若與均為等比數列，則M中最多有2個元素；
③若為等差數列，為等比數列，則M中最多有3個元素；
④若為遞增數列，為遞減數列，則M中最多有1個元素.
其中正確結論的序號是 .
【答案】①③④
【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、等差數列的單調性、等比數列通項公式的基本量計算、等比數列的單調性
【分析】利用兩類數列的散點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結合通項公式的特征及反證法可判斷③的正誤.
【詳解】對于①，因為均為等差數列，故它們的散點圖分布在直線上，
而兩條直線至多有一個公共點，故中至多一個元素，故①正確.
對于②，取則均為等比數列，
但當為偶數時，有，此時中有無窮多個元素，故②錯誤.
對于③，設，，
若中至少四個元素，則關于的方程至少有4個不同的正數解，
若，則由和的散點圖可得關于的方程至多有兩個不同的解，矛盾；
若，考慮關于的方程奇數解的個數和偶數解的個數，
當有偶數解，此方程即為，
方程至多有兩個偶數解，且有兩個偶數解時，
否則，因單調性相反，
方程至多一個偶數解，
當有奇數解，此方程即為，
方程至多有兩個奇數解，且有兩個奇數解時即
否則，因單調性相反，
方程至多一個奇數解，
因為，不可能同時成立，
故不可能有4個不同的整數解，即M中最多有3個元素，故③正確.
對于④，因為為遞增數列，為遞減數列，前者散點圖呈上升趨勢，
后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.
故答案為：①③④.
【點睛】思路點睛：對于等差數列和等比數列的性質的討論，可以利用兩者散點圖的特征來分析，注意討論兩者性質關系時，等比數列的公比可能為負，此時要注意合理轉化.
2．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發展有著悠久的歷史，戰國時期就已經出現了類似于砝碼的、用來測量物體質量的“環權”．已知9枚環權的質量（單位：銖）從小到大構成項數為9的數列，該數列的前3項成等差數列，后7項成等比數列，且，則 ；數列所有項的和為 ．
【答案】 48 384
【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、等比中項的應用、等比數列通項公式的基本量計算、求等比數列前n項和
【分析】方法一：根據題意結合等差、等比數列的通項公式列式求解，進而可求得結果；方法二：根據等比中項求，在結合等差、等比數列的求和公式運算求解.
【詳解】方法一：設前3項的公差為，后7項公比為，
則，且，可得，
則，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因為為等比數列，則，
且，所以；
又因為，則；
空2：設后7項公比為，則，解得，
可得，所以.
故答案為：48；384.
3．（2024·全國·高考真題（甲卷文））已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和.
【答案】(1)
(2)
【知識點】寫出等比數列的通項公式、等比數列通項公式的基本量計算、分組（并項）法求和、利用an與sn關系求通項或項
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項后可求通項；
（2）利用分組求和法即可求.
【詳解】（1）因為,故，
所以即故等比數列的公比為，
故，故，故.
（2）由等比數列求和公式得，
所以數列的前n項和
.
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：等比數列基本量的運算
典型例題
例題1．（23-24高二上·河北保定）記為等比數列的前項和，若，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】等比數列通項公式的基本量計算、求等比數列前n項和
【分析】由題意求出等比數列的首項和公比，利用等比數列的前n項和公式，即可求得答案.
【詳解】設等比數列的公比為q，
則由，，得，
解得，
故，
故選：B
例題2．（24-25高二上·全國·課前預習）在等比數列中：
(1)若，，求和；
(2)若，，求．
【答案】(1)或
(2)
【知識點】利用等比數列的通項公式求數列中的項、等比數列通項公式的基本量計算
【分析】（1）（2）根據題意結合等比數列的通項公式列式求解即可.
【詳解】（1）因為，則，解得，
當時，；
當時，．
綜上所述：或.
（2）因為，則，即．
又因為，則，即．
兩式相除得，所以．
例題3．（23-24高二下·湖北·階段練習）在數列中，，前n項之和為.
(1)若是等差數列，，求b的值；
(2)若是等比數列，，求b的值.
【答案】(1)
(2)
【知識點】等比數列前n項和的基本量計算、利用等差數列通項公式求數列中的項、等差數列通項公式的基本量計算
【分析】（1）設的公差為d，根據題意求出首項和公差，即可得出答案；
（2）根據等比數列前項和公式求出公比即可得解.
【詳解】（1）解：設的公差為d，則由已知可得：，
解得，
∴；
（2）解：若是等比數列，則公比為，
又，則，
則，，則，
故，解得.
例題4．（23-24高二·江蘇·課后作業）在等比數列中，
(1)已知，，求q和；
(2)已知，，求和；
(3)已知，，求q和.
【答案】(1)當時，,當時，；
(2)，；
(3)當時，,當時，.
【知識點】等比數列前n項和的基本量計算、等比數列通項公式的基本量計算
【分析】根據等比數列的基本量之間的關系，即可求解.
【詳解】（1）解：，解得：，
當時，,
當時，.
（2）解：,解得：，所以
（3）解：，解得：或，
當時，,
當時，.
練透核心考點
1．（23-24高二下·貴州黔南·期末）記為等比數列的前n項和，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】等比數列通項公式的基本量計算、求等比數列前n項和
【分析】設等比數列的公比為，根據題意，列出方程組，求得的值，結合等比數列的求和公式，即可求解.
【詳解】設等比數列的公比為，
因為，可得解得，
所以．
故選：A．
2．（23-24高二下·全國·課后作業）已知數列為等比數列.
(1)若，且，求的值；
(2)若數列的前三項和為168，，求，的等比中項.
【答案】(1)6
(2)
【知識點】等比數列通項公式的基本量計算、確定等比中項、等比數列前n項和的基本量計算、等比數列下標和性質及應用
【分析】（1）利用等比數列的性質計算即可；
（2）利用等比數列前n項和公式結合等比通項公式求出，再利用等比中項定義求解即可.
【詳解】（1）因為，所以，即，
又，所以；
（2）設等比數列{an}的公比為q，因為，所以.
由已知得，即，解得，
若G是，的等比中項，則有，
所以，所以，的等比中項為.
3．（23-24高三·四川）設是等比數列，已知，．
(1)求的通項公式；
(2)求的前項和．
【答案】(1)
(2)
【知識點】等比數列前n項和的基本量計算、寫出等比數列的通項公式、求等比數列前n項和、等比數列通項公式的基本量計算
【分析】（1）由已知求得公比，進一步求出首項，代入等比數列的通項公式即可；
（2）利用等比數列求和公式求和即可.
【詳解】（1）設數列的公比為q，
則由已知有，，所以，．
因此．
（2）由(1)則前n項和
4．（23-24高二·江蘇·課后作業）在等比數列中，
(1)已知，，，求q和；
(2)已知，，，求q和；
(3)已知，，，求和；
(4)已知，，，求q和n.
【答案】(1)，
(2)或
(3)
(4)
【知識點】等比數列前n項和的基本量計算、等比數列通項公式的基本量計算
【分析】（1）由基本量法列方程直接可解；
（2）由基本量法列方程直接可解；
（3）由基本量法列方程直接可解；
（4）由基本量法列方程直接可解,
【詳解】（1）由題知，解得，所以
（2）若，則，故
由題知，解得或
（3）由題知，解得
（4）易知，所以由題知，解得
方法總結解決等比數列基本量運算的思想方法
(1)方程思想:等比數列的基本量為首項和公比,通常利用已知條件及通項公式或前項和公式列方程(組)求解,等比數列中包含,,,,五個量,可“知三求二”.
(2)整體思想:當所給條件只有一個時,可將已知和所求都用,表示,尋求兩者間的聯系,整體代換即可求解.
(3)分類討論思想:若題目中公比未知,則運用等比數列前項和公式時要對分和兩種情況進行討論.
高頻考點二：等比數列的判斷與證明
典型例題
例題1．（2024高三·全國·專題練習）已知數列和滿足：，，，，其中．證明：數列是等比數列；
【答案】證明見解析
【知識點】由定義判定等比數列、由遞推關系證明等比數列
【分析】利用等比數列的定義證明即可.
【詳解】由數列滿足，，
可得，結合題設易知，即，
又由，，可得，
所以數列是以首項，公比等于的等比數列.
例題2．（23-24高二下·上海寶山·階段練習）已知數列滿足：.
(1)求證：是等比數列；
(2)求數列的通項公式.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【知識點】寫出等比數列的通項公式、由遞推關系證明等比數列、由定義判定等比數列
【分析】（1）將遞推公式由來表示，進而利用等比數列的定義即可判斷；
（2）由（1）利用等比數列通項公式即可求解.
【詳解】（1）證明：由得，易知，則，
又，所以是首項為，公比為的等比數列.
（2）由（1）可得，
所以.
練透核心考點
1．（2024高三·全國·專題練習）已知數列中，，.證明：是等比數列；
【答案】證明見解析
【知識點】由定義判定等比數列、由遞推關系證明等比數列
【分析】變形得到，證明出結論.
【詳解】因為數列中，，，
所以，且，
所以是等比數列，公比為2，首項為2.
2．（2024高三·全國·專題練習）已知數列滿足，且．求證：數列為等比數列；
【答案】證明見解析
【知識點】由定義判定等比數列、由遞推關系證明等比數列
【分析】由題意可構造出，結合等比數列的定義即可得.
【詳解】證明：由，得，
又，，，
∴是首項為3，公比為3的等比數列．
證明是等比數列 定義法 () (或者）
等差中項法
判斷是等比數列 的通項關于的指數函數 （，）
的前項和 （，，）
高頻考點三：等比數列的性質及其綜合應用（角度1：等比數列的性質）
典型例題
例題1．（24-25高二上·全國·課后作業）等比數列中，，，則數列的前10項和等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知識點】對數的運算性質的應用、等比數列下標和性質及應用、等比數列通項公式的基本量計算
【分析】先應用等比數列的項的性質再根據對數運算性質計算.
【詳解】∵數列是等比數列，，，∴，
∴．
故選：B.
例題2．（23-24高二下·山東青島·階段練習）已知等比數列中，存在，滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】利用函數單調性求最值或值域、對勾函數求最值、等比數列下標和性質及應用
【分析】首先由等比數列的性質可知，，再根據基本不等式和對勾函數的性質確定的最小值.
【詳解】由等比數列的性質可知，，，
則，
當，時等號成立，聯立和，得，時，取等號，
因為，所以等號取不到，
設，，其中 ，則，
設函數，函數在區間上單調遞減，在區間單調遞增，
由以上可知，不成立，則2兩側滿足條件的數值有，此時，
以及，此時，
，，
因為，所以的最小值為，
所以的最小值為.
故選：A
例題3．（23-24高二下·遼寧大連·階段練習）已知等比數列滿足，則的最小值是 ．
【答案】27
【知識點】等比數列下標和性質及應用、基本不等式求和的最小值
【分析】根據題意利用等比數列性質可得，對于利用等邊數列性質可得，再結合基本不等式運算求解.
【詳解】因為數列是等比數列，則，可得，
所以，
當且僅當時，等號成立，
所以的最小值是27.
故答案為：27.
例題4．（2024·湖北黃岡）設等比數列滿足，且，，則的最小值為 .
【答案】
【知識點】正項等比數列的對數成等差數列的應用、等比數列通項公式的基本量計算
【分析】設等比數列的公比為，則，根據題中條件列出關于和的方程組，解出這兩個量，求出數列的通項公式，可得出關于的表達式，再利用二次函數的性質求出的最小值.
【詳解】設等比數列的公比為，則，由題意可得，
解得，，則，
所以，，
因此，當或時，取得最小值，故答案為.
【點睛】本題考查等比數列與等差數列的綜合問題，在求解等比數列時，一般建立首項和公比的方程組，利用方程思想求解，考查運算求解能力，屬于中等題.
練透核心考點
1．（23-24高二上·甘肅定西·階段練習）正項等比數列的前項和為，若，，則（ ）
A．9 B． C．9或 D．18
【答案】C
【知識點】利用等比數列的通項公式求數列中的項、等比數列通項公式的基本量計算、等比數列下標和性質及應用、等比數列前n項和的基本量計算
【分析】運用等比數列性質解題即可.
【詳解】正項等比數列的前項和為，
若，則，則.
又，則，即，即，
則，化簡，解得都滿足題意.
則或.
故選：C.
2．（23-24高三·云南紅河·階段練習）等比數列的首項，前n項和為，若，則數列的前10項和為　　
A．65 B．75 C．90 D．110
【答案】A
【分析】由的首項，前項和為，，求出，可得 ，再求數列前10項和．
【詳解】∵的首項，前項和為，，
解得 故數列的前項和為
故選A.
【點睛】本題考查等比數列的通項與求和，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎．
3．（2024·湖北黃岡·二模）已知等差數列的前項和為是等比數列，若，且，則的最小值為 .
【答案】5
【知識點】求等差數列前n項和、等比數列下標和性質及應用、等差數列通項公式的基本量計算
【分析】根據題意結合等差數列分析可知，進而可得，再結合等比數列性質可得，即可得結果.
【詳解】設等差數列的公差為，
因為，可知，
且，則，即，
所以；
又因為是等比數列，且，則，
顯然，可得，
則，所以最小值為5.
故答案為：5.
4．（23-24高二下·四川成都·階段練習）已知等比數列的各項均為正數，若，則等于 ；
【答案】
【知識點】等比數列下標和性質及應用、對數的運算
【分析】由得，再根據等比數列的性質得，進而可得.
【詳解】由得，
所以，
因為等比數列的各項均為正數，
所以，
故，得.
故答案為：
高頻考點四：等比數列的性質及其綜合應用
（角度2：等比數列前項和性質）
典型例題
例題1．（23-24高二下·河南南陽·期中）若正項等比數列的前項和為，且，則的最小值為（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
【答案】B
【知識點】等比數列片段和性質及應用、基本不等式求和的最小值
【分析】根據題意，利用等比數列的性質，得到，求得，結合基本不等式的公式，即可求解．
【詳解】由題意，設等比數列的公比為，
因為成等比數列，可得，
又因為，即
所以，
所以，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：B.
例題2．（23-24高二下·河南·開學考試）已知等比數列的前項和為，若，則（ ）
A．324 B．420 C．480 D．768
【答案】C
【知識點】等比數列片段和性質及應用
【分析】根據等比數列前n項和的性質計算即可.
【詳解】因為為等比數列，且，顯然的公比不為，
所以也成等比數列.
由，解得.
故選：C.
例題3．（23-24高一下·江西撫州·階段練習）等比數列共有項，其中，偶數項和為84，奇數項和為170，則（ ）
A．3 B．4 C．7 D．9
【答案】A
【知識點】等比數列奇、偶項和的性質及應用
【分析】根據等比數列中偶數項和與奇數項和關系列式求解，即得結果.
【詳解】因為等比數列共有項，所以等比數列中偶數項有項，奇數項有項，
由題意得，所以偶數項和為，奇數項和為，相減得
故選：A
【點睛】本題考查等比數列和項公式基本量計算，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.
例題4．（23-24高一下·福建龍巖）已知是等比數列的前項和，若存在，滿足，則數列的公比為（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【知識點】等比數列前n項和的基本量計算、等比數列前n項和的其他性質
【分析】根據，解關于 的方程，注意還是的討論，代入公式即可求解.
【詳解】設數列的公比為，
若，則，與題中條件矛盾，
故
.
故選：B
【點睛】注意公式應用的前提，以及題中沒有說明 的取值時，要考慮是否為1.
練透核心考點
1．（23-24高二下·湖北恩施·期中）設是等比數列的前項和，若，則（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【知識點】等比數列片段和性質及應用
【分析】利用成等比數列求解可得答案.
【詳解】，，可得，
【詳解】設等比數列項數為2n項,所有奇數項之和為 ,所有偶數項之和為，
則,所以，
結合等比數列求和公式有：，解得n=4，
即這個等比數列的項數為8.
本題選擇C選項.
第四部分：新定義題
1．（24-25高三上·河北邢臺·開學考試）定義：若數列滿足，則稱數列為“線性數列”.
(1)已知為“線性數列”，且，證明：數列為等比數列.
(2)已知.
（i）證明：數列為“線性數列”.
（ii）記，數列的前項和為，證明：.
【答案】(1)證明見解析
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析
【知識點】由遞推關系證明等比數列、裂項相消法求和、數列新定義
【分析】（1）依題意可得，則，即可求出、，從而得到，結合等比數列的定義證明即可；
（2）（i）首先求出，令，求出、，再計算即可證明；
（ii）由（i）可得，利用裂項相消法求出，即可得證.
【詳解】（1）因為為“線性數列”，所以，
所以，即，解得，
所以，
所以，又，
所以是以為首項，為公比的等比數列；
（2）（i）因為，則，
令，即，解得，所以，
因為，
所以，所以數列為“線性數列”；
（ii）因為，則，
所以
，
因為，，所以，
所以.
【點睛】關鍵點點睛：本題解答關鍵是理解“線性數列”的定義，第二問的第一小問關鍵是，從而計算.
2．（23-24高二下·江西撫州·階段練習）數列，數列前n項和為．
(1)求數列的通項公式；
(2)若（a為非零實數），求；
(3)若對任意的，都存在，使得成立，求實數t的最大值．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)41
【知識點】數列的極限、寫出等比數列的通項公式、構造法求數列通項、數列不等式恒成立問題
【分析】(1)根據遞推公式，可推出數列為等比數列，進而可求出數列的通項公式；
(2)根據題意可知為等比數列，則對的關系進行化簡，對進行分類討論，最后通過極限運算可得結果；
(3)根據存在性問題，需要求出最小值，然后再根據恒成立問題，分離變量可得出的最大值.
【詳解】（1）因為，所以，
又因，所以數列是首項為2，公比為2的等比數列，
則，所以.
（2）根據題意知，則，記，
當時，則，此時不存在；
當時，則，
當時，，
當時，，
當時， ，則不存在.
（3）由題意知，對有解，
因為，所以當時，，
當時，，
則,
所以，對任意恒成立，
即，對任意恒成立，
因為，所以最小值為6，所以，
所以實數t的最大值為41.
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