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第03講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值
目錄
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1
第二部分：高考真題回顧 2
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 3
高頻考點(diǎn)一：函數(shù)圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系 3
高頻考點(diǎn)二：求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)） 5
高頻考點(diǎn)三：根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù) 5
高頻考點(diǎn)四：求函數(shù)的最值（不含參） 7
高頻考點(diǎn)五：求函數(shù)的最值（含參） 8
高頻考點(diǎn)六：根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù) 10
第四部分：典型易錯(cuò)題型 11
備注：已知函數(shù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)，忽視了回代檢驗(yàn)答案 11
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、函數(shù)的極值
一般地，對(duì)于函數(shù)，
（1）若在點(diǎn)處有，且在點(diǎn)附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱(chēng)為的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值.
（2）若在點(diǎn)處有，且在點(diǎn)附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱(chēng)為的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值．
（3）極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)通稱(chēng)極值點(diǎn)，極小值與極大值通稱(chēng)極值.
注：極大（小）值點(diǎn)，不是一個(gè)點(diǎn)，是一個(gè)數(shù).
2、函數(shù)的最大（小）值
一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.
設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求在上的最大值與最小值的步驟為：
（1）求在內(nèi)的極值；
（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.
3、函數(shù)的最值與極值的關(guān)系
（1）極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言，最值是對(duì)函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；
（2）在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大（小）值可能有多個(gè)（或者沒(méi)有），但最大（小）值只有一個(gè)（或者沒(méi)有）；
（3）函數(shù)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn)；
（4）對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.
第二部分：高考真題回顧
1．（多選）（2023·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t（ ）．
A． B．
C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)
2．（2023·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅱ卷）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)
高頻考點(diǎn)一：函數(shù)圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系
典型例題
例題1．（多選）（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）
A．在區(qū)間上單調(diào)遞增
B．在區(qū)間上有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)
C．在區(qū)間上最多有4個(gè)零點(diǎn)
D．在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)
例題2．（多選）（23-24高二·全國(guó)·單元測(cè)試）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列命題，以下正確的命題（ ）
A．是函數(shù)的極值點(diǎn)
B．是函數(shù)的最小值點(diǎn)
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．在處切線的斜率小于零
練透核心考點(diǎn)
1．（多選）（23-24高二上·江蘇·課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下列說(shuō)法正確的為（　 ）
A．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的
B．函數(shù)在處取得極大值
C．函數(shù)在處取得極大值
D．函數(shù)在處取得極小值
2．（多選）（23-24高二·江蘇南京·期中）已知函數(shù)定義域?yàn)椋糠謱?duì)應(yīng)值如表，的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示. 下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的有（ ）
A．函數(shù)的極大值點(diǎn)有個(gè)
B．函數(shù)在上是減函數(shù)
C．若時(shí)，的最大值是，則的最大值為4
D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)
高頻考點(diǎn)二：求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)）
典型例題
例題1．（2024高二下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（22-23高二下·寧夏石嘴山·期末）設(shè)函數(shù)，則 （ ）
A．為極大值點(diǎn) B．為極大值點(diǎn)
C．為極小值點(diǎn) D．無(wú)極值點(diǎn)
例題3．（23-24高三上·北京東城·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·廣西南寧·三模）函數(shù)的極小值點(diǎn)為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二·天津?yàn)I海新·期中）函數(shù)在區(qū)間上的極小值點(diǎn)是（ ）
A．0 B． C． D．
3．（23-24高二·陜西·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的極小值點(diǎn)為 ，極大值為 ．
高頻考點(diǎn)三：根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024·廣東佛山·二模）若函數(shù)（）既有極大值也有極小值，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)有極值，則（ ）
A．1 B．2 C． D．3
例題3．（2024高二下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)在上有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
例題4．（2024·廣東汕頭·一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三上·山東青島·階段練習(xí)）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·陜西西安·期末）已知函數(shù)在時(shí)取得極大值4，則 ．
3．（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求證：當(dāng)時(shí)，曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)；
(2)若既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
高頻考點(diǎn)四：求函數(shù)的最值（不含參）
典型例題
例題1．（23-24高二下·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）函數(shù)在上的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例題2．（2024高二下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上的最大值為4，則在上的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．2
例題3．（23-24高二下·上海青浦·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 .
例題4．（22-23高二下·河南·期中）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．
(1)求實(shí)數(shù)和的值；
(2)求在上的最大值（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）設(shè)，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（23-24高二下·山東泰安·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的最大值為 ．
3．（2024·江西南昌·一模）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)求的最大值.
例題4．（23-24高三上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若在處取得極值，求的極值；
(2)若在上的最小值為，求的取值范圍.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三上·河北·期末）已知函數(shù)的最小值為0，則 .
2．（22-23高二下·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，（為實(shí)數(shù)）．求在區(qū)間上的最小值．
3．（23-24高三上·上海·期中）已知，函數(shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，若斜率為0的直線l是的一條切線，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若與有相同的最小值，求實(shí)數(shù)a．
4．（23-24高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)求在上的最小值．
高頻考點(diǎn)六：根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024高二下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
例題2．（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）己知函數(shù)，其中.
(1)若曲線在處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得在上的最大值是 若存在，求出的值;若不存在，說(shuō)明理由.
例題3．（23-24高三上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中a是正數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，求a的取值范圍．
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·廣東·二模）已知函數(shù)的最小值為0，則a的值為 .
2．（23-24高二上·江蘇徐州·期末）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最小值2，求a的值.
3．（2023·四川瀘州·一模）已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)若函數(shù)在上存在最小值，求的取值范圍．
第四部分：典型易錯(cuò)題型
備注：已知函數(shù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)，忽視了回代檢驗(yàn)答案
1．（23-24高二·湖北黃岡·期末）已知函數(shù)在處有極小值，則常數(shù)的值為 （ ）
A．1 B．2或6 C．2 D．6
2．（23-24高二上·湖南邵陽(yáng)·期末）已知函數(shù)，若時(shí)，取極值0，則ab的值為（ ）
A．3 B．18 C．3或18 D．不存在
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第03講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值
目錄
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1
第二部分：高考真題回顧 2
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 5
高頻考點(diǎn)一：函數(shù)圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系 5
高頻考點(diǎn)二：求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)） 9
高頻考點(diǎn)三：根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù) 12
高頻考點(diǎn)四：求函數(shù)的最值（不含參） 17
高頻考點(diǎn)五：求函數(shù)的最值（含參） 21
高頻考點(diǎn)六：根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù) 27
第四部分：典型易錯(cuò)題型 32
備注：已知函數(shù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)，忽視了回代檢驗(yàn)答案 32
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、函數(shù)的極值
一般地，對(duì)于函數(shù)，
（1）若在點(diǎn)處有，且在點(diǎn)附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱(chēng)為的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值.
（2）若在點(diǎn)處有，且在點(diǎn)附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱(chēng)為的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值．
（3）極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)通稱(chēng)極值點(diǎn)，極小值與極大值通稱(chēng)極值.
注：極大（小）值點(diǎn)，不是一個(gè)點(diǎn)，是一個(gè)數(shù).
2、函數(shù)的最大（小）值
一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.
設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求在上的最大值與最小值的步驟為：
（1）求在內(nèi)的極值；
（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.
3、函數(shù)的最值與極值的關(guān)系
（1）極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言，最值是對(duì)函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；
（2）在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大（小）值可能有多個(gè)（或者沒(méi)有），但最大（小）值只有一個(gè)（或者沒(méi)有）；
（3）函數(shù)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn)；
（4）對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.
第二部分：高考真題回顧
1．（多選）（2023·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t（ ）．
A． B．
C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)
【答案】ABC
【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC，舉反例即可排除選項(xiàng)D.
方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對(duì)于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】方法一：
因?yàn)椋?br/>對(duì)于A，令，，故正確.
對(duì)于B，令，，則，故B正確.
對(duì)于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，故正確，
對(duì)于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)無(wú)極值，故錯(cuò)誤.
方法二：
因?yàn)椋?br/>對(duì)于A，令，，故正確.
對(duì)于B，令，，則，故B正確.
對(duì)于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，故正確，
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，對(duì)兩邊同時(shí)除以，得到，
故可以設(shè)，則，
當(dāng)肘，，則，
令，得；令，得；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時(shí)是的極大值，故D錯(cuò)誤.
故選：.
2．（2023·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅱ卷）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）
【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類(lèi)討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.
【詳解】（1）構(gòu)建，則對(duì)恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
構(gòu)建，
則，
構(gòu)建，則對(duì)恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
即對(duì)恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
綜上所述：.
（2）令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>若，則，
因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故是的極小值點(diǎn)，不合題意，所以.
當(dāng)時(shí)，令
因?yàn)椋?br/>且，
所以函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，
由題意可得：，
（i）當(dāng)時(shí)，取，，則，
由（1）可得，
且，
所以，
即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：在上單調(diào)遞減，
所以是的極小值點(diǎn)，不合題意；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，取，則，
由（1）可得，
構(gòu)建，
則，
且，則對(duì)恒成立，
可知在上單調(diào)遞增，且，
所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，則，且，
則，
即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：在上單調(diào)遞增，
所以是的極大值點(diǎn)，符合題意；
綜上所述：，即，解得或，
故a的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：
1.當(dāng)時(shí)，利用，換元放縮；
2.當(dāng)時(shí)，利用，換元放縮.
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)
高頻考點(diǎn)一：函數(shù)圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系
典型例題
例題1．（多選）（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）
A．在區(qū)間上單調(diào)遞增
B．在區(qū)間上有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)
C．在區(qū)間上最多有4個(gè)零點(diǎn)
D．在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)
【答案】CD
【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)圖像的正負(fù)性，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而逐一對(duì)選項(xiàng)辨析即可.
【詳解】由圖可知，在區(qū)間為負(fù)，單調(diào)遞減，
在區(qū)間為正，單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；
在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)附近左右兩邊的值一正一負(fù)，
故有3個(gè)極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
在區(qū)間，為負(fù)，單調(diào)遞減，
在區(qū)間，為正，單調(diào)遞增，
則在與時(shí)取得極小值，
在時(shí)取得極大值，則當(dāng)與時(shí)，
，且時(shí)，
在區(qū)間上最多有4個(gè)零點(diǎn),
故C正確；
在區(qū)間上為正，單調(diào)遞增，
在區(qū)間上為負(fù)，單調(diào)遞減，
則為極大值點(diǎn)，故D正確；
故選：CD.
例題2．（多選）（23-24高二·全國(guó)·單元測(cè)試）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列命題，以下正確的命題（ ）
A．是函數(shù)的極值點(diǎn)
B．是函數(shù)的最小值點(diǎn)
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．在處切線的斜率小于零
【答案】AC
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷出的單調(diào)性、極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、切線的斜率，由此判斷出命題錯(cuò)誤的選項(xiàng).
【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知當(dāng)x∈（﹣∞,﹣3）時(shí)，，在時(shí)，，
∴函數(shù)y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C正確；
則﹣3是函數(shù)y＝f（x）的極小值點(diǎn)，故A正確；
∵在上單調(diào)遞增，∴﹣1不是函數(shù)y＝f（x）的最小值點(diǎn)，故B不正確；
∵函數(shù)y＝f（x）在x＝0處的導(dǎo)數(shù)大于0，∴切線的斜率大于零，故D不正確；
故選：AC
練透核心考點(diǎn)
1．（多選）（23-24高二上·江蘇·課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下列說(shuō)法正確的為（　 ）
A．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的
B．函數(shù)在處取得極大值
C．函數(shù)在處取得極大值
D．函數(shù)在處取得極小值
【答案】ABD
【分析】
根據(jù)圖象，先判斷出在和上大于0，在和上小于0，從而可得的單調(diào)性和極值點(diǎn).
【詳解】
從圖象上可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，，
于是，故在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的，A正確；
當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，
故函數(shù)在處取得極大值，B正確；
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的，C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，于是，
故在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的，
而在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的，
所以函數(shù)在處取得極小值，D正確．
故選：ABD
2．（多選）（23-24高二·江蘇南京·期中）已知函數(shù)定義域?yàn)椋糠謱?duì)應(yīng)值如表，的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示. 下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的有（ ）
A．函數(shù)的極大值點(diǎn)有個(gè)
B．函數(shù)在上是減函數(shù)
C．若時(shí)，的最大值是，則的最大值為4
D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)
【答案】ABD
【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象可判斷A、B選項(xiàng)的正誤；取，結(jié)合函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)的正誤；作出函數(shù)的草圖，數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.
【詳解】由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為、，B選項(xiàng)正確；
函數(shù)有個(gè)極大值點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大值是，而最大值不是，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
作出函數(shù)的圖象如下圖所示，由下圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)和原函數(shù)之間的關(guān)系，由圖象判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.
高頻考點(diǎn)二：求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)）
典型例題
例題1．（2024高二下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的極值點(diǎn).
【詳解】
易知函數(shù)的定義域是，
由題意，，
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，
在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，
極大值點(diǎn)是，極小值點(diǎn)是．
故選：A.
例題2．（22-23高二下·寧夏石嘴山·期末）設(shè)函數(shù)，則 （ ）
A．為極大值點(diǎn) B．為極大值點(diǎn)
C．為極小值點(diǎn) D．無(wú)極值點(diǎn)
【答案】B
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到極值點(diǎn).
【詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>則，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則在處取得極大值，即為極大值點(diǎn).
故選：B
例題3．（23-24高三上·北京東城·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).
【答案】(1)
(2)見(jiàn)解析.
【分析】（1）已知函數(shù)的解析式，把點(diǎn)代入，再根據(jù)在點(diǎn)處與直線相切，求出，的值；
（2）由題意先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，解出極值點(diǎn)，然后再根據(jù)極值點(diǎn)的值討論函數(shù)的增減性及其增減區(qū)間.
【詳解】（1），
曲線在點(diǎn)處與直線相切，
，
∴
（2），
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，由，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
即函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；
此時(shí)是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)．
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·廣西南寧·三模）函數(shù)的極小值點(diǎn)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出極值點(diǎn).
【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)椋?br/>所以，令得，
令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在處取得極小值．
故選：D
2．（23-24高二·天津?yàn)I海新·期中）函數(shù)在區(qū)間上的極小值點(diǎn)是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究的區(qū)間單調(diào)性，進(jìn)而確定極小值點(diǎn).
【詳解】由題設(shè)，
所以在上，遞減，
在上，遞增，
所以極小值點(diǎn)為.
故選：B
3．（23-24高二·陜西·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的極小值點(diǎn)為 ，極大值為 ．
【答案】 18
【分析】
求導(dǎo)，即可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的定義即可求解.
【詳解】由得，
令，解得或，
令，解得，
故在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故在處取極小值，在處取極大值，
故，，
故答案為：，18，
高頻考點(diǎn)三：根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024·廣東佛山·二模）若函數(shù)（）既有極大值也有極小值，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>又函數(shù)既有極大值也有極小值，所以函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，
由，所以方程有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)，
所以，即.
故選：B
例題2．（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)有極值，則（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】
先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；再求出極值點(diǎn)，代入函數(shù)解方程即可.
【詳解】由題目條件可得：函數(shù)的定義域?yàn)椋?
令，得；
令，得.
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，
故，解得.
故選：B
例題3．（2024高二下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)在上有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由題意可得在上有變號(hào)零點(diǎn)，即在上有實(shí)數(shù)根，利用基本不等式求出的最小值可得答案.
【詳解】的定義域?yàn)椋?br/>要函數(shù)在上有極值，
則在上有變號(hào)零點(diǎn)，即在上有實(shí)數(shù)根，且不能為相等實(shí)根.
令，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以.
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
則函數(shù)在上沒(méi)有極值，
故.
故答案為：.
例題4．（2024·廣東汕頭·一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】
（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍.
【詳解】（1）
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，由，得，由，得，
則函數(shù)在上遞增，在上遞減，函數(shù)只有極大值，不合題意；
當(dāng)時(shí)，由，得或，
①若，即，由，得或，由，得，
則函數(shù)在上遞增，在上遞減，
因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；
②若，即，由，得或，由，得，
則函數(shù)在上遞增，在上遞減，
因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；
③若，即，由在上恒成立，得在上遞增，
函數(shù)無(wú)極值，不合題意，
所以的取值范圍為.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三上·山東青島·階段練習(xí)）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在有兩個(gè)不相等實(shí)根，即有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，利用數(shù)形結(jié)合法求解．
【詳解】解：，則，
要使函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，
只需方程在有兩個(gè)不相等實(shí)根．
即，令，則．
當(dāng)，，
當(dāng)，，
在遞增，在遞減，當(dāng)，，
，
其圖象如下：
，．
故選：D．
2．（23-24高二上·陜西西安·期末）已知函數(shù)在時(shí)取得極大值4，則 ．
【答案】
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，待定系數(shù)計(jì)算并驗(yàn)證即可.
【詳解】由題意可知，
因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)取得極大值4，所以，
解之得，
檢驗(yàn)，此時(shí)，令或，
令，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即滿足題意，
故.
故答案為：
3．（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求證：當(dāng)時(shí)，曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)；
(2)若既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)求導(dǎo)，分析函數(shù)單調(diào)性，確定圖象，可證明曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn).
（2）將既存在極大值，又存在極小值，轉(zhuǎn)換為有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)問(wèn)題，討論零點(diǎn)位置可得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得：，
令，得；令，得；
則函數(shù)在上遞增，在上遞減，
故，
所以曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn).
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>求導(dǎo)得，
設(shè)，
令，解得，.
因?yàn)榧却嬖跇O大值，又存在極小值，即在有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，
則，解得且，
綜上所述：的取值范圍為.
高頻考點(diǎn)四：求函數(shù)的最值（不含參）
典型例題
例題1．（23-24高二下·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）函數(shù)在上的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析的性質(zhì)，從而求得在的極大值與端點(diǎn)值，由此得解.
【詳解】
因?yàn)椋裕?br/>令，得或；令，得；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的極大值為，
而，
所以在上的最大值為.
故選：B.
例題2．（2024高二下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上的最大值為4，則在上的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷得在上單調(diào)遞增，從而列式得解.
【詳解】因?yàn)椋瑸檎龑?shí)數(shù)，
所以恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上的最大值為，即，
所以在上的最小值為.
故選：A.
例題3．（23-24高二下·上海青浦·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 .
【答案】0
【分析】
根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最小值.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值是0.
故答案為：0
例題4．（22-23高二下·河南·期中）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．
(1)求實(shí)數(shù)和的值；
(2)求在上的最大值（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求的值，再根據(jù)切線過(guò)切點(diǎn)求的值；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分析函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，再求函數(shù)的最大值.
【詳解】（1）
因?yàn)?br/>所以，
由題意可得，，
解得:，.
（2）
由(1)可得，
所以，且，
易得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
又，，且，
即最大值為：.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）設(shè)，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)題意，令，求導(dǎo)可得，即可得到在單調(diào)遞減，從而得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋睿瑒t，由可得， 當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
所以時(shí)，有最小值為.
故選：D
【點(diǎn)睛】，
2．（23-24高二下·山東泰安·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】
求導(dǎo)得出函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求得的最大值為.
【詳解】由可得，
令可得，
又，所以，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；
易知；
因此的最大值為.
故答案為：
3．（2024·江西南昌·一模）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)求的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求導(dǎo)得，令可求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由（1）易判斷在時(shí)單增，在時(shí)單減，進(jìn)而求出.
【詳解】（1），令，得，即，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以，即的最大值為.
4．（23-24高二上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知函數(shù)在處取得極小值5．
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】
（1）由題意得到，，求出，，檢驗(yàn)后得到答案；
（2）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到極值和最值情況，得到答案.
【詳解】（1），
因?yàn)樵谔幦O小值5，所以，得，
此時(shí)
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
所以在時(shí)取極小值，符合題意
所以，．
又，所以．
（2），所以
列表如下：
0 1 2 3
0 0
1 ↗ 極大值6 ↘ 極小值5 ↗ 10
由于，故時(shí)，．
高頻考點(diǎn)五：求函數(shù)的最值（含參）
典型例題
例題1．（22-23高二下·天津和平·階段練習(xí)）函數(shù)，若恒有，則a的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題可知的最小值大于等于0，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即得.
【詳解】由題可得，
由，可得，此時(shí)單調(diào)遞減，
由，可得，此時(shí)單調(diào)遞增，
∴，
∴.
故選：C.
例題2．（2023高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.求的最小值；
【答案】0
【分析】求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性與最值求解即可.
【詳解】， 令，解得，
由為增函數(shù)知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以的最小值為.
例題3．（23-24高二下·黑龍江大慶·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)若，且與函數(shù)的圖象相切，求的值；
(2)若對(duì)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)即可得解.
（2）根據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)，按，分類(lèi)討論求解.
【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，
設(shè)直線與函數(shù)的圖象相切的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，于是，
而，，解得，又，解得，
所以.
（2）依題意，對(duì)恒成立，
設(shè)，顯然，恒成立，
當(dāng)時(shí)，，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得，
由得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，
于是，解得，因此；
所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.
例題4．（23-24高三上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若在處取得極值，求的極值；
(2)若在上的最小值為，求的取值范圍.
【答案】(1)極大值為，極小值為
(2)
【分析】
（1）根據(jù)極值點(diǎn)可得，進(jìn)而可得，利用導(dǎo)數(shù)即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可求解極值，
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合分類(lèi)討論即可求解.
【詳解】（1），，.
因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，則.
所以，，
令得或1，列表得
1
+ 0 - 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以的極大值為，極小值為.
（2）.
①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，的最小值為，滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，令，則或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)，的最小值為，不滿足題意；
③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，的最小值為，不滿足題意.
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍時(shí).
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三上·河北·期末）已知函數(shù)的最小值為0，則 .
【答案】
【分析】
求導(dǎo)，分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值.
【詳解】
因?yàn)椋?
若，則在上單調(diào)遞減，無(wú)最小值.
若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得.
故答案為：
2．（22-23高二下·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，（為實(shí)數(shù)）．求在區(qū)間上的最小值．
【答案】
【分析】根據(jù)得出在上的增減性，再分類(lèi)討論即可得出在區(qū)間上的最小值．
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：
單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，所以．
②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，
綜上，．
3．（23-24高三上·上海·期中）已知，函數(shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，若斜率為0的直線l是的一條切線，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若與有相同的最小值，求實(shí)數(shù)a．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）由得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再代入計(jì)算出縱坐標(biāo)即得切點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）首先由導(dǎo)數(shù)求得與的最小值，由兩最小值相等求，為此方程變形后引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性得出零點(diǎn)．
【詳解】（1）由題意，，由得，此時(shí)，
所以切點(diǎn)為；
（2），時(shí)，，在上是增函數(shù)，無(wú)最小值，所以，
，
時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，
所以有唯一的極小值也是最小值，
，，
，，遞減，時(shí)，，遞增，
所以有唯一的極小值也是最小值為，
由題意，，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，
所以，所以，即，是減函數(shù)，
又，因此是的唯一零點(diǎn)，
所以由得．
4．（23-24高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)求在上的最小值．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)
【分析】
（1）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解；
（2）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性、最值的關(guān)系，結(jié)合的不同取值范圍，分類(lèi)討論求解.
【詳解】（1）
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>則．
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
故此時(shí)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，由，得,由，得，
故此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）
由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，所以；
當(dāng)時(shí)，
(i)若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)，；
(ii)若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)，；
(iii)若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
此時(shí)，．
綜上所述，．
高頻考點(diǎn)六：根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024高二下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】
先利用導(dǎo)數(shù)分析的性質(zhì)，再結(jié)合在內(nèi)存在最小值，得到關(guān)于的不等式，解之即可得解.
【詳解】
因?yàn)椋裕?br/>令，得或，
令，得或；令，得，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極小值，
令，解得或，
若函數(shù)在內(nèi)存在最小值，
則，解得.
故答案為：.
例題2．（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）己知函數(shù)，其中.
(1)若曲線在處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得在上的最大值是 若存在，求出的值;若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，
【分析】
（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即可求出參數(shù)值.
（2）含參分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到最大值，分別求解即可得到參數(shù)值.
【詳解】（1），則，
故曲線在處的切線為，
即，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)切線為，不符合要求
當(dāng)時(shí)，令，有，
令，有，故，即，故
（2），
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
的最大值是，解得，舍去;
②當(dāng)時(shí)，由，得，
當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，時(shí)，，
的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，
又在上的最大值為;
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，
解得，舍去.
綜上所述，存在符合題意，此時(shí)
例題3．（23-24高三上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中a是正數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，求a的取值范圍．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論確定單調(diào)性；
（2）由（1）的結(jié)論分類(lèi)討論確定最大值點(diǎn)，從而得參數(shù)范圍．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以．
①當(dāng)時(shí)，，在上嚴(yán)格遞增；
②當(dāng)時(shí)，由得或，由得，
所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，由得或，由得，
所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
（2）由（1）可知①當(dāng)時(shí)，，
在上嚴(yán)格遞增，此時(shí)在上的最大值為；
②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
在上的最大值只有可能是或，
因?yàn)樵谏系淖畲笾禐椋?br/>所以，
解得，此時(shí)；
③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
在上的最大值可能是或，
因?yàn)樵谏系淖畲笾禐椋?br/>所以，
(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最小值2，求a的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得答案；
（2）對(duì)求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，可得，再令，證得，即，可得出答案.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)椋?br/>則，則，，
由于函數(shù)在點(diǎn)處切線方程為，即.
（2）的定義域?yàn)椋?br/>，
當(dāng)時(shí)，令，解得：；令，解得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，，即
則令，設(shè)，，
令，解得：；令，解得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，解得：.
3．（2023·四川瀘州·一模）已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)若函數(shù)在上存在最小值，求的取值范圍．
【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）直接求導(dǎo)代入得到，再驗(yàn)證即可；
（2）計(jì)算出，，再比較兩者大小即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)槭呛瘮?shù)函數(shù)的極值點(diǎn)，
所以，
，此時(shí)，
所以在上，在上，在上，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)為函數(shù)極值點(diǎn)，
故所求的值為12.
（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，
，
因?yàn)椋裕裕缘娜≈捣秶?
第四部分：典型易錯(cuò)題型
備注：已知函數(shù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)，忽視了回代檢驗(yàn)答案
1．（23-24高二·湖北黃岡·期末）已知函數(shù)在處有極小值，則常數(shù)的值為 （ ）
A．1 B．2或6 C．2 D．6
【答案】C
【分析】求導(dǎo)，利用求出或6，檢驗(yàn)后得到答案.
【詳解】，
由題意得，即，解得或6，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故函數(shù)在處有極小值，滿足要求，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故函數(shù)在處有極大值，不合要求，
故常數(shù)的值為2.
故選：C
2．（23-24高二上·湖南邵陽(yáng)·期末）已知函數(shù)，若時(shí)，取極值0，則ab的值為（ ）
A．3 B．18 C．3或18 D．不存在
【答案】B
【分析】利用導(dǎo)數(shù)與極值的定義得到關(guān)于的方程組，從而求得，然后再檢驗(yàn)時(shí)，函數(shù)是否能取得極值，由此得解.
【詳解】由，得，
因?yàn)闀r(shí)，取得極值0，
所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)函數(shù)在在處取不到極值；
經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，函數(shù)在處取得極值0，滿足題意；
所以，所以.
故選：B.
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