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第02講 平面向量基本定理及坐標表示
目錄
第02講 平面向量基本定理及坐標表示 1
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 2
第三部分：高頻考點一遍過 3
高頻考點一：平面向量基本定理的應用 3
高頻考點二：平面向量的坐標表示 4
高頻考點三：平面向量共線的坐標表示（由向量平行求參數） 6
高頻考點四：平面向量共線的坐標表示（由坐標解決三點共線問題） 6
第四部分：新定義題 8
第一部分：基礎知識
1、平面向量的基本定理
1.1定理：如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這個平面內任意向量，有且只有一對實數，使.
1.2基底：
不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.
（1）不共線的兩個向量可作為一組基底，即不能作為基底；
（2）基底一旦確定，分解方式唯一；
（3）用基底兩種表示，即，則，進而求參數.
2、平面向量的正交分解
不共線的兩個向量相互垂直是一種重要的情形，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3、平面向量的坐標運算
3.1平面向量的坐標表示
在直角坐標系中，分別取與軸，軸方向相同的兩個不共線的單位向量作為基底，存在唯一一組有序實數對使,則有序數對，叫做的坐標，記作.
3.2平面向量的坐標運算
（1）向量加減：若，則；
（2）數乘向量：若，則；
（3）向量數量積：若，則；
（4）任一向量：設，則.
4、平面向量共線的坐標表示
若，則的充要條件為
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·新課標Ⅰ卷）已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全國·乙卷文）已知向量，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022·全國·新課標Ⅰ卷）在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：平面向量基本定理的應用
典型例題
例題1．（23-24高一下·湖南·階段練習）如圖，在平行四邊形中，點是的中點，點為線段上的一個三等分點，且，若，則（ ）
A．1 B． C． D．
例題2．（23-24高一下·重慶巴南·階段練習）在矩形中，已知分別是上的點，且滿足．若點在線段上運動，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（23-24高一下·福建漳州·階段練習）在三角形中，，，，為線段上任意一點，交于.

(1)若.
①用，表示；
②若，求的值；
(2)若，求的最小值.
練透核心考點
1．（23-24高一下·四川成都·階段練習）如圖，在中，點為邊的點且，點在邊上，且，交于點且，則為（ ）

A． B． C． D．
2．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）在中，是線段上的動點（與端點不重合），設，則的最小值是 ．
3．（23-24高三下·江蘇揚州·階段練習）如圖，在△中，為線段上靠近點的三等分點，是線段上一點，過點的直線與邊，分別交于點，，設，.

(1)若，，求的值；
(2)若點為線段的中點，求的最小值.
高頻考點二：平面向量的坐標表示
典型例題
例題1．（23-24高一下·天津·階段練習）已知向量與的夾角為，且，若點的坐標為，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
高頻考點三：平面向量共線的坐標表示（由向量平行求參數）
典型例題
例題1．（23-24高一下·山西運城·階段練習）已知平面向量，，且，則（ ）
A． B． C． D．8
例題2．（23-24高一下·山西大同·階段練習）已知向量，，則“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
例題3．（23-24高一下·江蘇·階段練習）設，向量，，若，則 ．
練透核心考點
1．（23-24高一下·湖南·階段練習）已知向量，，若向量，共線且，則的最大值為（ ）
A．6 B．4 C．8 D．3
2．（2024·貴州畢節·模擬預測）已知向量，，，若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·安徽·階段練習）已知向量滿足.若，則實數（ ）
A． B． C．3 D．
高頻考點四：平面向量共線的坐標表示（由坐標解決三點共線問題）
典型例題
例題1．（22-23高一下·河北邯鄲·期中）已知向量，，，若B，C，D三點共線，則（ ）
A．－16 B．16 C． D．
例題2．（22-23高一下·河北保定·期中）已知、、三點共線，則（ ）
A． B． C． D．
例題3．（22-23高一下·廣西河池·階段練習）已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，三點共線，求的值．
練透核心考點
1．（22-23高一下·貴州貴陽·階段練習）已知，三點、、共線，則 ．
2．（22-23高一·全國·隨堂練習）判斷下列各組三點是否共線：
(1)，，；
(2)，，；
(3)，，.
（22-23高一·全國·課堂例題）已知三點共線，求x的值．
第四部分：新定義題
1．（18-19高一下·北京東城·期中）已知集合 .對于，給出如下定義：①；②；③A與B之間的距離為.說明：的充要條件是.
(1)當時，設，求；
(2)若，且存在，使得，求證：；
(3)記.若，且，求的最大值.
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第02講 平面向量基本定理及坐標表示
目錄
第02講 平面向量基本定理及坐標表示 1
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 2
第三部分：高頻考點一遍過 3
高頻考點一：平面向量基本定理的應用 3
高頻考點二：平面向量的坐標表示 9
高頻考點三：平面向量共線的坐標表示（由向量平行求參數） 12
高頻考點四：平面向量共線的坐標表示（由坐標解決三點共線問題） 14
第四部分：新定義題 16
第一部分：基礎知識
1、平面向量的基本定理
1.1定理：如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這個平面內任意向量，有且只有一對實數，使.
1.2基底：
不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.
（1）不共線的兩個向量可作為一組基底，即不能作為基底；
（2）基底一旦確定，分解方式唯一；
（3）用基底兩種表示，即，則，進而求參數.
2、平面向量的正交分解
不共線的兩個向量相互垂直是一種重要的情形，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3、平面向量的坐標運算
3.1平面向量的坐標表示
在直角坐標系中，分別取與軸，軸方向相同的兩個不共線的單位向量作為基底，存在唯一一組有序實數對使,則有序數對，叫做的坐標，記作.
3.2平面向量的坐標運算
（1）向量加減：若，則；
（2）數乘向量：若，則；
（3）向量數量積：若，則；
（4）任一向量：設，則.
4、平面向量共線的坐標表示
若，則的充要條件為
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·新課標Ⅰ卷）已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據向量的坐標運算求出，，再根據向量垂直的坐標表示即可求出．
【詳解】因為，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故選：D．
2．（2022·全國·乙卷文）已知向量，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得，然后求得.
【詳解】因為，所以.
故選：D
3．（2022·全國·新課標Ⅰ卷）在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．
【詳解】因為點D在邊AB上，，所以，即，
所以．
故選：B．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：平面向量基本定理的應用
典型例題
例題1．（23-24高一下·湖南·階段練習）如圖，在平行四邊形中，點是的中點，點為線段上的一個三等分點，且，若，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意可知，，根據平面向量基本定理，將用線性表示，根據兩個向量相等即可求出的值，即可得出答案.
【詳解】由題知點為線段上的一個三等分點，所以，
所以
，
因為不共線，所以，故.
故選：D.
例題2．（23-24高一下·重慶巴南·階段練習）在矩形中，已知分別是上的點，且滿足．若點在線段上運動，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立基底，，則，然后將設，最終表示為，然后得到，進而求出范圍．
【詳解】矩形中，已知分別是上的點，且滿足，

設，則，，
聯立，可解得，
因為點在線段上運動，則可設，
，
又，所以，
，
因為，所以．
故選：B．
例題3．（23-24高一下·福建漳州·階段練習）在三角形中，，，，為線段上任意一點，交于.

(1)若.
①用，表示；
②若，求的值；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①利用向量的幾何運算求解；②設，然后用表示，然通過，將也用表示，然后利用系數對應相等列方程組求解；
（2）設，將用表示，然后利用系數對應相等將用表示，然后利用基本不等式求最值.
【詳解】（1）①因為，所以，
故在中，；
②因為，，三點共線，設，
所以，
因為，所以，所以
又由①及已知，，所以，
解得；
（2）因為，又，，三點共線，設，
所以，
又因為，所以，
，
當且僅當，即時取得等號，所以的最小值為.
練透核心考點
1．（23-24高一下·四川成都·階段練習）如圖，在中，點為邊的點且，點在邊上，且，交于點且，則為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，利用和三點共線，分別得到和，列出方程組，求得的值，進而求得的值，從而得解.
【詳解】由題意知，點為邊的點且，點在邊上，且，
因為三點共線，
所以存在實數使得，
又因為三點共線，
所以存在實數使得，
可得，解得，即，
因為，所以.
故選：A.
2．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）在中，是線段上的動點（與端點不重合），設，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】根據題意，由平面向量的線性運算可得，再由基本不等式代入計算，即可得到結果.
【詳解】
因為，所以，因為，
所以，且三點共線，
則，，
則，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以的最小值是.
故答案為：
3．（23-24高三下·江蘇揚州·階段練習）如圖，在△中，為線段上靠近點的三等分點，是線段上一點，過點的直線與邊，分別交于點，，設，.

(1)若，，求的值；
(2)若點為線段的中點，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據三點共線，用表達，再用表達，結合三點共線，即可由共線定理求得；
（2）用表達，再用表達，根據，待定系數求得關于參數的表達式，利用基本不等式即可求得其最小值.
【詳解】（1）由點共線可設，
則，即，
，，，
為線段上靠近點的三等分點，，
由點共線可設，即，
故，解得，故，.
（2），，，
故，又為中點，
則，
故，得，
，
當且僅當，即時，等號成立；
故的最小值為.
高頻考點二：平面向量的坐標表示
典型例題
例題1．（23-24高一下·天津·階段練習）已知向量與的夾角為，且，若點的坐標為，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題設可知，繼而得到，由此即可解出點坐標.
【詳解】由題意知與的長度相等，方向相反，
所以，
又因為，
設，則，
所以，解得，即，
故選：A
例題2．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，分別取與x軸，y軸正方向相同的兩個單位向量作為基底，若，，則向量的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用基底法分解向量，再表示成坐標即可.
【詳解】
由題意得，.
故選：A
例題3．（2024高一下·江蘇·專題練習）已知在非平行四邊形ABCD中，，且三點的坐標分別為，則頂點C的橫坐標的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據平面向量共線可求得，當ABCD為平行四邊形時可求得C的橫坐標為3，即可得結果.
【詳解】當ABCD為平行四邊形時，如下圖所示：

則，依題意可得頂點C的橫坐標不能取3；
設頂點C的坐標為，則
由可得，且，
所以，即；
故滿足題意的頂點C的橫坐標的取值范圍是.
故答案為：
練透核心考點
1．（23-24高三上·江蘇常州·期末）已知扇形的半徑為5，以為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，，，弧的中點為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設，則，求出，利用同角三角函數關系得到，，求出答案.
【詳解】令，則，
，解得，
即，又，
又，解得，，
，即，
所以.
故選：B．
2．（22-23高一下·新疆烏魯木齊·期中）若，點的坐標為，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的坐標計算公式可求點的坐標.
【詳解】設，故，而，
故，故，故，
故選：A.
3．（2024高三·全國·專題練習）已知點，且，則點的坐標是 ．
【答案】
【分析】
利用平面向量的線性運算處理即可.
【詳解】
如圖，連接，

設為坐標原點，建立平面直角坐標系，，
整理得．
故答案為：
高頻考點三：平面向量共線的坐標表示（由向量平行求參數）
典型例題
例題1．（23-24高一下·山西運城·階段練習）已知平面向量，，且，則（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【分析】由向量平行的坐標表示可得答案.
【詳解】由題意知，所以，解得．
故選：B
例題2．（23-24高一下·山西大同·階段練習）已知向量，，則“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據向量共線的坐標表示求出參數的值，再根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】因為，，
若，則，解得，
所以由推得出，故充分性成立，
由推不出，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：B
例題3．（23-24高一下·江蘇·階段練習）設，向量，，若，則 ．
【答案】/
【分析】由向量平行可得，計算即可得解.
【詳解】由，則有，
即，
由，故，
故，即.
故答案為：.
練透核心考點
1．（23-24高一下·湖南·階段練習）已知向量，，若向量，共線且，則的最大值為（ ）
A．6 B．4 C．8 D．3
【答案】A
【分析】借助向量共線定理與基本不等式計算即可得.
【詳解】因為向量共線，所以，解得，
又，所以，，當且僅當時，等號成立.
故選：A.
2．（2024·貴州畢節·模擬預測）已知向量，，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據向量的坐標運算，結合向量平行的坐標表示列方程求可得結論.
【詳解】因為，，
所以，
因為，，
所以，
所以，
故選：A.
3．（23-24高三下·安徽·階段練習）已知向量滿足.若，則實數（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根據給定條件，求出的坐標，再利用向量共線的坐標表示計算即得.
【詳解】由，得，
由，得，所以.
故選：B
高頻考點四：平面向量共線的坐標表示（由坐標解決三點共線問題）
典型例題
例題1．（22-23高一下·河北邯鄲·期中）已知向量，，，若B，C，D三點共線，則（ ）
A．－16 B．16 C． D．
【答案】A
【分析】先求出和，根據B，C，D三點共線得到，進而列出方程求解.
【詳解】由題意得，，
因為B，C，D三點共線，
所以，
則，得.
故選：A.
例題2．（22-23高一下·河北保定·期中）已知、、三點共線，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出、，可知，利用平面向量共線的坐標表示可求得實數的值.
【詳解】因為、、，則，，
因為、、三點共線，則，所以，即．
故選：C.
例題3．（22-23高一下·廣西河池·階段練習）已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，三點共線，求的值．
【答案】(1)
(2)
（3）因為，所以，
因為直線GH與GL有公共點G，所以G，H，L三點共線.
3．（22-23高一·全國·課堂例題）已知三點共線，求x的值．
【答案】．
【分析】
利用向量與共線的坐標表示求解．
【詳解】
因為A，B，C三點共線，所以與共線．
而，．
所以，整理得，解得．
第四部分：新定義題
1．（18-19高一下·北京東城·期中）已知集合 .對于，給出如下定義：①；②；③A與B之間的距離為.說明：的充要條件是.
(1)當時，設，求；
(2)若，且存在，使得，求證：；
(3)記.若，且，求的最大值.
【答案】(1)
(2)見解析
(3)26
【分析】（1）當 時，直接利用求得的值
（2）設，則由題意可得
，使得，其中，得出 與同為非負數或同為負數，由此計算 的結果，計算 的結果，從而得出結論
（3）設 中有 項為非負數， 項為負數
不妨設 時， ， 時，
利用，得到
得到
求出 ， ，即可得到 的最大值
得到，再驗證得到成立的條件即可；
【詳解】（1）解：由于，
則
故
（2）解：設
使，
使得：，
，使得 ，其中 ，
與 同為非負數或同為負數，
，故得證；
（3）解：
設 中有 項為非負數， 項為負數
不妨設 時，
時，
所以
，整理得
又
即
對于
有 ，且
綜上所得，的最大值為
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