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2024-2025學年高考數學一輪復習講義(新高考)第02講平面向量基本定理及坐標表示(含新定義解答題)(分層精練)(學生版+解析)

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2024-2025學年高考數學一輪復習講義(新高考)第02講平面向量基本定理及坐標表示(含新定義解答題)(分層精練)(學生版+解析)

資源簡介

第02講 平面向量基本定理及坐標表示 (分層精練)
A夯實基礎B能力提升C綜合素養(新定義解答題)
A夯實基礎
一、單選題
1.(23-24高一下·廣東深圳·階段練習)若向量,則( )
A.1 B. C. D.4
2.(23-24高一下·安徽合肥·階段練習)已知,用,表示,則等于( )
A. B.
C. D.
3.(2024·四川廣安·二模)已知,分別為的邊,的中點,若,,則點的坐標為( )
A. B. C. D.
4.(23-24高一下·山東棗莊·階段練習)若向量,則( )
A. B. C. D.
5.(23-24高一下·江蘇南通·階段練習)在銳角中,為邊上的高,,,則的值為( )
A. B. C. D.
6.(23-24高一下·山東·階段練習)在中,為的重心,滿足,則( )
A. B. C.0 D.
7.(2024·福建漳州·模擬預測)在中,是邊上一點,且是的中點,記,則( )
A. B. C. D.
(1)用分別表示向量,;
(2)求證:B,E,F三點共線.
14.(23-24高一下·天津靜海·階段練習)已知向量,.
(1)求的值;
(2)求及向量在向量上的投影向量的坐標;
(3)若,且、、三點共線,求的值.
15.(23-24高一下·遼寧撫順·開學考試)在第六章 平面向量初步中我們學習了向量的加法、減法和數乘向量三種運算,以及由它們組合成的線性運算.那向量乘法該怎樣運算呢?數學中向量的乘法有兩種:數量積和矢量積.這些我們還都沒學到.現在我們重新定義一種向量的乘法運算:若,,則.請按這種運算,解答如下兩道題.
(1)已知,,求.
(2)已知,,求.
B能力提升
1.(2024·四川宜賓·二模)已知向量,向量滿足,,則(  )
A. B. C. D.
2.(23-24高一下·重慶萬州·階段練習)在三角形中,點是在邊上且邊上存在點滿足,直線和直線交于點,若,則的值為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.(22-23高三上·全國·階段練習)在平行四邊形中,,,若,則( )
A.1 B.2 C.4 D.8
4.(2024·云南紅河·二模)如圖,在棱長均相等的斜三棱柱中,,,若存在,使成立,則的最小值為 .
5.(23-24高一下·遼寧撫順·階段練習)如圖,正方形中,分別為線段上的點,滿足,連接交于點.

(1)求證:;
(2)設,求的最大值和的最大值.
C綜合素養(新定義解答題)
1.(22-23高一下·北京·期中)對平面向量,定義.
(1)設,求;
(2)設,,,,,點是平面內的動點,其中是整數.
(ⅰ)記,,,,的最大值為,直接寫出的最小值及當取最小值時,點的坐標.
(ⅱ)記.求的最小值及相應的點的坐標.
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第02講 平面向量基本定理及坐標表示 (分層精練)
A夯實基礎B能力提升C綜合素養(新定義解答題)
A夯實基礎
一、單選題
1.(23-24高一下·廣東深圳·階段練習)若向量,則( )
A.1 B. C. D.4
【答案】C
【分析】根據給定條件,利用共線向量的坐標表示求解即得.
【詳解】向量,所以,即.
故選:C
2.(23-24高一下·安徽合肥·階段練習)已知,用,表示,則等于( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根據向量減法,將用表示,然后整理可得.
【詳解】因為,
所以,整理得.
故選:C
3.(2024·四川廣安·二模)已知,分別為的邊,的中點,若,,則點的坐標為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根據向量的數乘運算,向量坐標與終點、始點的關系可解.
【詳解】因為,分別為,的中點,
所以,
設,又,所以
即,解得.
故選:A

4.(23-24高一下·山東棗莊·階段練習)若向量,則( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根據題意,結合向量的運算法則,即可求解.
【詳解】由向量,可得.
故選:C.
5.(23-24高一下·江蘇南通·階段練習)在銳角中,為邊上的高,,,則的值為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根據銳角三角函數及得到,即可得到,再由平面向量線性運算法則及平面向量基本定理求出、,即可得解.
【詳解】如圖在銳角中,為邊上的高,
所以,,又,
所以,所以,則,
所以,
又,所以,所以.
故選:C

6.(23-24高一下·山東·階段練習)在中,為的重心,滿足,則( )
A. B. C.0 D.
【答案】C
【分析】由題意作圖,根據重心的幾何性質,得到線段的比例關系,利用平面向量的運算,可得答案.
【詳解】設相交于點,為的重心,

可得為中點,,

所以,
所以.
故選:C.
7.(2024·福建漳州·模擬預測)在中,是邊上一點,且是的中點,記,則( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根據平面向量的線性運算法則進行運算即可.
【詳解】

故選:D.

8.(23-24高一下·重慶渝中·階段練習)鍵線式可以直觀地描述有機物的結構,在有機化學中廣泛使用.有機物“萘”可以用下左圖所示的鍵線式表示,其結構簡式可以抽象為下右圖所示的圖形.已知與為全等的正六邊形.若點為右邊正六邊形的邊界(包括頂點)上的動點,且向量,則實數的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】由“等和線定理”結合圖形分析得解.
【詳解】
由平面向量共線定理可得,,,則三點共線的充要條件是.
下面先證明“等和線定理”,
如圖,設,,
因為三點共線,所以存在,使得.

,,則.
由“等和線定理”結合圖形可知:當點在上時,易得,
當點在上時,易得,
當點在上時,易得,
當點在上時,易得,
當點在上時,易得,
當點在上時,易得,
綜上,可得.
故選:C.
二、多選題
9.(23-24高一下·江蘇南通·階段練習)已知向量,不共線,且,,,若,,三點共線,則實數的值為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】AC
【分析】首先表示出、,依題意可得,根據平面向量共線定理得到,從而得到關于、的方程組,解得即可.
【詳解】因為,,,
所以,

又向量,不共線,,,三點共線,
所以,則,即,
所以,解得或.
故選:AC
10.(23-24高二上·廣東東莞·階段練習)若三點共線,則m的值為( )
A.-2 B.-13 C.2 D.13
【答案】CD
【分析】利用平面向量共線的坐標表示計算即可.
【詳解】由題意可知,
因為三點共線,則共線,
不妨設,
則或13.
故選:CD
三、填空題
11.(23-24高一下·福建莆田·階段練習)在三角形ABC中,D是BC上靠近點C的三等分點,E為AD中點,若則 .
【答案】
【分析】根據向量基本定理得到答案.
【詳解】因為E為AD中點,所以,
因為D是BC上靠近點C的三等分點,所以,
所以.
故答案為:
12.(23-24高一下·天津濱海新·階段練習)已知:點和向量,若,則點B的坐標是 .
【答案】
【分析】設,利用向量共線的關系,列出方程求解即可.
【詳解】設,則,
所以,解得:.
所以點B的坐標是.
故答案為:.
四、解答題
13.(23-24高一下·遼寧撫順·開學考試)如圖,在中,D,F分別是BC,AC的中點,,,.
(1)用分別表示向量,;
(2)求證:B,E,F三點共線.
【答案】(1),;
(2)證明見解析.
【分析】(1)根據給定條件,結合幾何圖形用基底表示向量即得.
(2)由(1)的信息,利用共線向量的定理推理即可.
【詳解】(1)在中,由D是BC的中點,得,
而,于是
又F是AC的中點,所以.
(2)由(1)知,,因此,
即,而有公共點,所以B,E,F三點共線.
14.(23-24高一下·天津靜海·階段練習)已知向量,.
(1)求的值;
(2)求及向量在向量上的投影向量的坐標;
(3)若,且、、三點共線,求的值.
【答案】(1)
(2),,
(3)
【分析】(1)首先求出的坐標,再由坐標法求出向量的模;
(2)由坐標法求出、,再根據投影向量的定義計算可得;
(3)首先求出、的坐標,依題意,根據平面向量共線的坐標表示得到方程,解得即可.
【詳解】(1)∵,,
∴,
∴;
(2),,
∴,;
向量在向量上的投影向量為.
(3)、、三點共線



,.
15.(23-24高一下·遼寧撫順·開學考試)在第六章 平面向量初步中我們學習了向量的加法、減法和數乘向量三種運算,以及由它們組合成的線性運算.那向量乘法該怎樣運算呢?數學中向量的乘法有兩種:數量積和矢量積.這些我們還都沒學到.現在我們重新定義一種向量的乘法運算:若,,則.請按這種運算,解答如下兩道題.
(1)已知,,求.
(2)已知,,求.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)直接利用新定義計算即可;
(2)設,利用新定義計算,列方程組求解.
【詳解】(1)因為,,,
所以;
(2)設,
因為,,
所以,
因為,所以,
解,得,即.
B能力提升
1.(2024·四川宜賓·二模)已知向量,向量滿足,,則(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】設出,根據題意利用向量的坐標運算列式運算求解.
【詳解】設,則,
由,得,
又,得,即,
聯立,解得.
.
故選:C.
2.(23-24高一下·重慶萬州·階段練習)在三角形中,點是在邊上且邊上存在點滿足,直線和直線交于點,若,則的值為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【分析】
將和都用和表示出來,然后利用列式計算即可.
【詳解】由題意,,
則,
同理可得:,
因為直線和直線交于點,
所以存在使,
即,兩式作商得
解得.
故選:C.
3.(22-23高三上·全國·階段練習)在平行四邊形中,,,若,則( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【答案】D
【分析】根據向量的加減運算及數乘運算可得,從而得解.
【詳解】,




,,.
故選:D.
4.(2024·云南紅河·二模)如圖,在棱長均相等的斜三棱柱中,,,若存在,使成立,則的最小值為 .
【答案】(1)證明見解析
(2)的最大值為1;的最大值為
【分析】(1)建立平面直角坐標系,利用平面向量證明垂直關系;
(2)根據三點共線可得,利用向量的坐標運算可得,進而結合基本不等式求最值.
【詳解】(1)如圖,建立平面直角坐標系,

不妨設,
則,
可得,
因為,可知,所以.
(2)因為三點共線,且,可知,
由(1)可知,
則,
又因為,則,
可得,
則,
若,則;
若,則,
當且僅當,即時,等號成立;
綜上所述:的最大值為1;
又因為,
當且僅當,即時,等號成立;
所以的最大值為.
C綜合素養(新定義解答題)
1.(22-23高一下·北京·期中)對平面向量,定義.
(1)設,求;
(2)設,,,,,點是平面內的動點,其中是整數.
(ⅰ)記,,,,的最大值為,直接寫出的最小值及當取最小值時,點的坐標.
(ⅱ)記.求的最小值及相應的點的坐標.
【答案】(1)5
(2)(i)的最小值為,;(ii)的最小值為13,
【分析】(1)根據題意直接求解即可;
(2)(i)先證明充分性,設,其中,從而由絕對值不等式性質得到,此時,點的坐標為,再說明必要性;
(ii)設點的坐標為,表達出,
,,分別求出和的最小值,進而得到的最小值及此時點的坐標.
【詳解】(1)當時,;
(2)(i)的最小值為,此時點的坐標為.
一方面,設,其中.
,,
相加得,故.
欲使上述不等式的等號均成立,有且,得.
另一方面,當點的坐標為時,,,

此時,.
(ⅱ)設點的坐標為.


,,
所以,
其中
(當且僅當時,等號成立),
(當且僅當時,等號成立),
所以,當且僅當且時,等號成立,
即點時,等號成立.
【點睛】定義新運算問題,命題新穎,且存在知識點交叉,常常會和不等式,函數的性質,包括單調性,值域等進行結合,很好的考慮了知識遷移,綜合運用能力,對于此類問題,一定要解讀出題干中的信息,正確理解問題的本質,轉化為熟悉的問題來進行解決.
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