資源簡介

第02講 函數的單調性與最大（?。┲?br/>目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 3
高頻考點一：函數的單調性 3
角度1：求函數的單調區間 3
角度2：根據函數的單調性求參數 4
角度3：復合函數的單調性 4
角度4：根據函數單調性解不等式 4
高頻考點二：函數的最大（?。┲?5
角度1：利用函數單調性求最值 5
角度2：根據函數最值求參數 6
角度3：不等式恒成立問題 6
角度4：不等式有解問題 7
第四部分：典型易錯題型 9
備注：單調區間容易忽視定義域 9
備注：分段函數單調性問題容易忽視分段點大小比較 9
備注：利用單調性解不等式容易忽略函數定義域 9
第五部分：新定義題（解答題） 10
第一部分：基礎知識
1、函數的單調性
（1）單調性的定義
一般地，設函數的定義域為，如果對于定義域內某個區間上的任意兩個自變量的值，；
①當時，都有，那么就說函數在區間上是增函數
②當時，都有，那么就說函數在區間上是減函數
（2）單調性簡圖：
（3）單調區間（注意先求定義域）
若函數在區間上是增函數或減函數，則稱函數在這一區間上具有（嚴格的）單調性，區間叫做函數的單調區間．
（4）復合函數的單調性（同調增；異調減）
對于函數和，如果當時，，且在區間上和在區間上同時具有單調性，則復合函數在區間上具有單調性，并且具有這樣的規律：增增(或減減)則增，增減(或減增)則減．
2、函數的最值
（1）設函數的定義域為，如果存在實數滿足
①對于任意的，都有；
②存在，使得
則為最大值
（2）設函數的定義域為，如果存在實數滿足
①對于任意的，都有；
②存在，使得
則為最小值
3、常用高頻結論
（1）設，.
①若有或，則在閉區間上是增函數；
②若有或，則在閉區間上是減函數.此為函數單調性定義的等價形式.
（2）函數相加或相減后單調性：
設，兩個函數，在區間上的單調性如下表，則在上的單調性遵循（增+增=增；減+減=減）
增 增 增
減 減 減
增 減 增
減 增 減
（3）對鉤函數單調性：（，）的單調性：在和上單調遞增，在和上單調遞減．
（4）常見對鉤函數：（），的單調性：在和上單調遞增，在和上單調遞減．
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·北京·統考高考真題）下列函數中，在區間上單調遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國·（新課標Ⅰ卷））設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：函數的單調性
角度1：求函數的單調區間
典型例題
例題1．（2024上·湖南婁底·高一校考期末）函數的單調遞增區間是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024上·四川宜賓·高一校考期末）函數的單調遞減區間是 ．
角度2：根據函數的單調性求參數
典型例題
例題1．（2024上·河北滄州·高一統考期末）已知函數在R上單調遞增，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024上·廣東深圳·高一?？计谀┖瘮翟谏蠁握{遞增，則k的取值范圍為 ．
角度3：復合函數的單調性
典型例題
例題1．（2024·全國·高一假期作業）已知函數，則單調遞增區間為 ．
例題2．（2024·全國·高一假期作業）函數的單調遞減區間是 .
角度4：根據函數單調性解不等式
典型例題
例題1．（2024上·福建莆田·高一校聯考期末）已知偶函數在區間上是增函數，則滿足的取值范圍是 .
例題2．（2024上·海南海口·高一海南中學校考期末）已知函數是定義在R上的奇函數，且當時，．
(1)求在R上的解析式；
(2)判斷的單調性，并解不等式．
練透核心考點
1．（2024上·浙江溫州·高一統考期末）已知函數在定義域上是減函數，則的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
2．（2024上·福建福州·高一福建省福州第一中學校考期末）設函數（且）在區間上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·山東青島·高一統考期末）定義在上的函數，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全國·高三專題練習）函數的單調遞減區間是（ ）
A． B．和
C． D．和
5．（2024·江蘇·高一假期作業）函數的單增區間為（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024下·全國·高一開學考試）若函數在內滿足：對于任意的實數，都有成立，則實數的取值范圍為 ．
高頻考點二：函數的最大（?。┲?br/>角度1：利用函數單調性求最值
典型例題
例題1．（2024下·高二課前預習）函數在上的最大值和最小值分別是（　 ?。?br/>A．12， B．5， C．5， D．12，
例題2．（2024上·江蘇鎮江·高一統考期末）函數的定義域為，則值域為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2024上·河南許昌·高一統考期末）已知函數．
(1)判斷函數奇偶性，并用定義法證明；
(2)寫出函數的單調區間，并用定義法證明某一個區間的單調性；
(3)求函數在上的最大值和最小值．
角度2：根據函數最值求參數
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一假期作業）已知函數有最小值，則實數a的取值范圍是 .
角度4：不等式有解問題
典型例題
例題1．（2023上·遼寧·高一校聯考階段練習）若“，”為真命題，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2023上·湖北武漢·高一武漢市第四中學?？茧A段練習）已知關于的不等式在上有解，則實數的取值范圍是 .
例題3．（2023上·江蘇連云港·高三江蘇省海州高級中學校考階段練習）已知函數.
(1)當時，求的最大值和最小值；
(2)若，使成立，求實數的取值范圍.
練透核心考點
1．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學校聯考開學考試）下列選項中是“，”成立的一個必要不充分條件的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·高一專題練習）函數，的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024·全國·高三專題練習）已知函數在區間上的最大值為，則實數的值為 ．
4．（2024上·黑龍江哈爾濱·高一統考期末）已知函數.
(1)若是奇函數，求實數的值；
(2)若，求在上的值域.
5．（2024·全國·高一假期作業）已知
(1)根據單調性的定義證明函數在區間上是減函數
(2)若函數（）的最大值與最小值之差為1，求實數的值
6．（2024上·河南商丘·高一睢縣回族高級中學校聯考期末）已知函數.
(1)設函數，實數滿足，求；
(2)若在時恒成立，求的取值范圍.
7．（2023上·江蘇南通·高一統考期中）已知函數.
(1)試判斷函數在區間上的單調性，并用函數單調性定義證明；
(2)若存在，使成立，求實數的范圍.
8．（2023下·河北邢臺·高二校聯考階段練習）已知函數，．
(1)求函數在上的值域；
(2)若，，使得，求實數的取值范圍．
第四部分：典型易錯題型
備注：單調區間容易忽視定義域
1．（2023上·陜西西安·高一校考階段練習）函數的單調增區間是 ．
2．（2023下·福建三明·高一永安市第九中學?？茧A段練習）函數的單調遞減區間是 .
備注：分段函數單調性問題容易忽視分段點大小比較
1．（2023上·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學?？奸_學考試）已知是上的減函數，則實數的取值范圍是 ．
2．（2023上·廣東深圳·高一?？计谀┤?，滿足對任意，都有成立，則的取值范圍是 .
備注：利用單調性解不等式容易忽略函數定義域
1．（2023上·重慶·高一重慶市輔仁中學校?？计谥校┒x在上的奇函數為減函數，且，則實數的取值范圍是 ．
2．（2023·全國·高三專題練習）已知定義在上的函數是減函數，則滿足的x的取值范圍是 ．
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·福建泉州·高一統考期末）給定函數與，若為減函數且值域為（為常數），則稱對于具有“確界保持性”.
(1)證明：函數對于不具有“確界保持性”；
(2)判斷函數對于是否具有“確界保持性”；
(3)若函數對于具有“確界保持性”，求實數的值.21世紀教育網(www.21cnjy.com)
第02講 函數的單調性與最大（?。┲?br/>目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 4
高頻考點一：函數的單調性 4
角度1：求函數的單調區間 4
角度2：根據函數的單調性求參數 5
角度3：復合函數的單調性 6
角度4：根據函數單調性解不等式 7
高頻考點二：函數的最大（?。┲?10
角度1：利用函數單調性求最值 10
角度2：根據函數最值求參數 12
角度3：不等式恒成立問題 14
角度4：不等式有解問題 15
第四部分：典型易錯題型 23
備注：單調區間容易忽視定義域 23
備注：分段函數單調性問題容易忽視分段點大小比較 24
備注：利用單調性解不等式容易忽略函數定義域 24
第五部分：新定義題（解答題） 25
第一部分：基礎知識
1、函數的單調性
（1）單調性的定義
一般地，設函數的定義域為，如果對于定義域內某個區間上的任意兩個自變量的值，；
①當時，都有，那么就說函數在區間上是增函數
②當時，都有，那么就說函數在區間上是減函數
（2）單調性簡圖：
（3）單調區間（注意先求定義域）
若函數在區間上是增函數或減函數，則稱函數在這一區間上具有（嚴格的）單調性，區間叫做函數的單調區間．
（4）復合函數的單調性（同調增；異調減）
對于函數和，如果當時，，且在區間上和在區間上同時具有單調性，則復合函數在區間上具有單調性，并且具有這樣的規律：增增(或減減)則增，增減(或減增)則減．
2、函數的最值
（1）設函數的定義域為，如果存在實數滿足
①對于任意的，都有；
②存在，使得
則為最大值
（2）設函數的定義域為，如果存在實數滿足
①對于任意的，都有；
②存在，使得
則為最小值
3、常用高頻結論
（1）設，.
①若有或，則在閉區間上是增函數；
②若有或，則在閉區間上是減函數.此為函數單調性定義的等價形式.
（2）函數相加或相減后單調性：
設，兩個函數，在區間上的單調性如下表，則在上的單調性遵循（增+增=增；減+減=減）
增 增 增
減 減 減
增 減 增
減 增 減
（3）對鉤函數單調性：（，）的單調性：在和上單調遞增，在和上單調遞減．
（4）常見對鉤函數：（），的單調性：在和上單調遞增，在和上單調遞減．
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·北京·統考高考真題）下列函數中，在區間上單調遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函數的單調性，結合復合函數的單調性判斷ABC，舉反例排除D即可.
【詳解】對于A，因為在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上單調遞減，故A錯誤；
對于B，因為在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上單調遞減，故B錯誤；
對于C，因為在上單調遞減，在上單調遞減，
所以在上單調遞增，故C正確；
對于D，因為，，
顯然在上不單調，D錯誤.
故選：C.
2．（2023·全國·（新課標Ⅰ卷））設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指數型復合函數單調性，判斷列式計算作答.
【詳解】函數在R上單調遞增，而函數在區間上單調遞減，
則有函數在區間上單調遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：函數的單調性
角度1：求函數的單調區間
典型例題
例題1．（2024上·湖南婁底·高一?？计谀┖瘮档膯握{遞增區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由對數函數單調性、二次函數單調性以及復合函數單調性列出不等式組即可求解.
【詳解】由題意，令，
解得，即函數的單調遞增區間是.
故選：D.
例題2．（2024上·四川宜賓·高一?？计谀┖瘮档膯握{遞減區間是 ．
【答案】
【分析】根據題意，由條件可得在單調遞減，在單調遞增，再由復合函數的單調性即可得到結果.
【詳解】設，由可得，或，
則函數，由在單調遞減，在單調遞增，
而在單調遞增，由復合函數的單調性可知，
函數的單調遞減區間是.
故答案為：
角度2：根據函數的單調性求參數
典型例題
例題1．（2024上·河北滄州·高一統考期末）已知函數在R上單調遞增，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分段函數的單調性列出不等式組即可求參數的取值范圍.
【詳解】因為函數在R上單調遞增．所以，解得，
即實數a的取值范圍是.
故選：A．
例題2．（2024上·廣東深圳·高一校考期末）函數在上單調遞增，則k的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】分、和三種情況，結合單調性的性質以及對勾函數單調性分析求解.
【詳解】若，則在上單調遞增，
所以函數在上單調遞增，符合題意；
若，則函數在上單調遞增，符合題意；
若，則在上單調遞減，在上單調遞增，
則，解得；
綜上所述：k的取值范圍為.
故答案為：.
角度3：復合函數的單調性
典型例題
例題1．（2024·全國·高一假期作業）已知函數，則單調遞增區間為 ．
【答案】/
【分析】根據二次函數以及指數函數的性質，結合復合函數的單調性法則即可求解.
【詳解】由于在單調遞減，在單調遞增，
而函數為上的單調遞增函數，
所以的單調遞增區間為，
故答案為：
例題2．（2024·全國·高一假期作業）函數的單調遞減區間是 .
【答案】和
【分析】對函數化簡后，作出函數的圖象，根據圖象可求得結果.
【詳解】當或時，，對稱軸為，
當時，，對稱軸為，
作出的圖象如圖所示，
由圖可知單調遞減區間為，
故答案為：和

角度4：根據函數單調性解不等式
典型例題
例題1．（2024上·福建莆田·高一校聯考期末）已知偶函數在區間上是增函數，則滿足的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據函數的奇偶性與單調性將函數不等式等價轉化為，解得即可.
【詳解】因為偶函數在區間上是增函數，
所以在區間上單調遞減，
不等式等價于，等價于，
即，解得，即滿足的取值范圍是.
故答案為：
例題2．（2024上·海南?？凇じ咭缓Ｄ现袑W校考期末）已知函數是定義在R上的奇函數，且當時，．
(1)求在R上的解析式；
(2)判斷的單調性，并解不等式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由題意根據奇函數的定義以及當時，，可以求出當時的表達式，從而即可進一步求解.
（2）首先根據時，單調遞增，從而得到在上是單調增函數，再結合奇函數性質即可將表達式等價轉換，解一元二次不等式即可得解.
【詳解】（1）設，則，當時，，
因為，所以，即，
又，所以，
所以；
（2）時，單調遞增，
又因為函數是定義在R上的奇函數，
所以在上是單調增函數，
不等式可化為，
所以，即，解得或.
所以不等式的解集為或.
練透核心考點
1．（2024上·浙江溫州·高一統考期末）已知函數在定義域上是減函數，則的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】D
【分析】由題意只需，由此對比選項即可得解.
【詳解】由題意當時，單調遞減，當時，單調遞增，
若函數在定義域上是減函數，只需，
解得，對比選項可知的值可以是.
故選：D.
2．（2024上·福建福州·高一福建省福州第一中學?？计谀┰O函數（且）在區間上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指數函數及復合函數的單調性計算即可.
【詳解】易知，顯然在上單調遞增，
在上單調遞減，
因為在區間上單調遞增，結合復合函數的單調性可知，且，
所以.
故選：A
3．（2024上·山東青島·高一統考期末）定義在上的函數，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函數的奇偶性和單調性解不等式.
【詳解】定義在上的函數，函數為偶函數且在上單調遞增，
若，則有，即，解得.
所以的取值范圍為.
故選：D
4．（2024·全國·高三專題練習）函數的單調遞減區間是（ ）
A． B．和
C． D．和
【答案】B
【分析】將絕對值函數轉化成分段函數，由二次函數的性質即可求
【詳解】，
則由二次函數的性質知，當時，的單調遞減區間為；
當，的單調遞減區間為，
故的單調遞減區間是和.
故選：B
5．（2024·江蘇·高一假期作業）函數的單增區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】得出分段函數解析式，即可得解.
【詳解】.
因為，，
所以的增區間是．
故選：D
6．（2024下·全國·高一開學考試）若函數在內滿足：對于任意的實數，都有成立，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】先得到函數在R上單調遞增，再根據分段函數單調遞增需滿足每一段上單調遞增，且在分段處，左端點的函數值小于等于右端點的函數值，得到不等式，求出答案.
【詳解】由題意得在R上單調遞增，
由題意得，解得.
故答案為：
高頻考點二：函數的最大（?。┲?br/>角度1：利用函數單調性求最值
典型例題
例題1．（2024下·高二課前預習）函數在上的最大值和最小值分別是（　 ?。?br/>A．12， B．5， C．5， D．12，
【答案】C
【分析】將函數求導，得到導函數零點，在函數定義域上分析討論函數的單調性，再考慮區間的端點值，即得函數的最值.
【詳解】由求導得：，
令可解得：或，因，故，
由可解得：，由可解得：，
故函數在區間上單調遞增，在上單調遞減，
故當時，函數；
又，故當時，函數.
即函數在上的最大值和最小值分別是.
故選:C．
例題2．（2024上·江蘇鎮江·高一統考期末）函數的定義域為，則值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意先判斷函數單調性，結合單調性求最值和值域.
【詳解】因為函數的定義域為，
且在內單調遞增，可知在內單調遞增，
可知在內的最小值為，最大值為，
所以值域為.
故選：A.
例題3．（2024上·河南許昌·高一統考期末）已知函數．
(1)判斷函數奇偶性，并用定義法證明；
(2)寫出函數的單調區間，并用定義法證明某一個區間的單調性；
(3)求函數在上的最大值和最小值．
【答案】(1)奇函數，證明見解析；
(2)單調遞增區間為和，單調遞減區間為和，證明見解析；
(3)最大值為10，最小值為6.
【分析】（1）利用函數奇偶性的定義計算即可；
（2）利用定義法作差計算函數的單調性即可；
（3）利用函數的單調性計算最值即可.
【詳解】（1）函數為奇函數．
由函數可知其定義域為，關于原點對稱，
設，有．
所以函數為奇函數；
（2）函數的單調遞增區間為和，
函數的單調遞減區間為和．
下面證明單調區間，
設，則，
若，則，此時，
若，則，此時，
即在上單調遞減，在上單調遞增，
由函數為奇函數，所以在上單調遞減，在上單調遞增，
綜上：函數的單調遞增區間為和，
函數的單調遞減區間為和．
（3）由上可知在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
且．
則函數在上的最大值為10，最小值為6．
角度2：根據函數最值求參數
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一假期作業）已知函數有最小值，則實數a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】化簡函數，去絕對值后，根據函數有最小值得出函數的變化趨勢，即可求出實數a的取值范圍.
【詳解】解：由題意，
在中，
∵函數有最小值，
∴函數應在上單調遞減，在上單調遞增或常函數，
∴，解得：，
∴有最小值時，實數a的取值范圍是.
故答案為：.
例題2．（2024上·吉林通化·高三校考階段練習）已知函數在區間上有最小值4，則實數k＝ ．
【答案】4
【分析】由函數在上有最小值可知，k＞0，再由基本不等式即可求得k的值．
【詳解】解：依題意，，則，當且僅當時，等號成立
則，解得．
故答案為：4．
【點睛】本題考查已知函數的最值求參數的值，考查分析能力及計算能力，屬于基礎題．
例題3．（2023上·江蘇鎮江·高一江蘇省鎮江第一中學?？茧A段練習）若函數 在 的最大值為2，則 的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據必要性，最值的定義以及二次函數圖象對稱軸位置分類討論即可解出．
【詳解】設，，，
因為函數在 的最大值為2，，
所以，解得：，
當時，函數在上先遞減再遞增，
而，
所以，，且，即函數在 的最大值為2，符合題意；
當時，函數在上遞減，所以，
而，所以函數在 的最大值為2，符合題意，
綜上，．
故答案為：
角度3：不等式恒成立問題
典型例題
例題1．（多選）（2023上·江蘇淮安·高一?？茧A段練習）已知關于的不等式對恒成立，則實數的可取值是（ ）
A．-2 B．0 C．3 D．7
【答案】BCD
【分析】分與兩種情況，結合根的判別式得到不等式，求出的取值范圍，得到答案.
【詳解】當時，恒成立，滿足要求，
當時，需滿足，解得，
故實數的取值范圍是，故A錯誤，BCD正確.
故選：BCD
例題2．（2023上·江蘇揚州·高一江蘇省邗江中學?？茧A段練習）已知函數.
(1)若，且，求函數的值域；
(2)若，都有，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）配方后得到函數的單調性，從而求出函數的最值，得到值域；
（2）轉化為在上恒成立，數形結合得到不等式組，求出的取值范圍.
【詳解】（1）時，，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
故在處取得最小值，最小值為，
又，故最大值為8，故值域為；
（2）在上恒成立，
故只需，解得或，
故的取值范圍是.
例題3．（2023上·廣東潮州·高一饒平縣第二中學?？计谥校┮阎獌绾瘮翟谏蠁握{遞減.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由冪函數的概念與性質直接列式求解;
（2）分離參數，利用基本不等式求最值即可求解.
【詳解】（1）因為冪函數在上單調遞減，
則，解得，故
（2）由（1）可知，對任意的恒成立，
由基本不等式可得，
當且僅當時，即當時，等號成立，
所以，，因此，實數的取值范圍是.
角度4：不等式有解問題
典型例題
例題1．（2023上·遼寧·高一校聯考階段練習）若“，”為真命題，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令，從而根據題意可得或，進而求解即可．
【詳解】原不等式可化為，
令，是關于的一次函數，
因為“，”為真命題，
所以或，
即或，解得或,
所以的取值范圍為．
故選：B．
例題2．（2023上·湖北武漢·高一武漢市第四中學?？茧A段練習）已知關于的不等式在上有解，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】參變分離，得到在上有解，由基本不等式求出，從而得到實數的取值范圍.
【詳解】變形為，
故在上有解，
因為，所以，則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以，
故答案為：
例題3．（2023上·江蘇連云港·高三江蘇省海州高級中學?？茧A段練習）已知函數.
(1)當時，求的最大值和最小值；
(2)若，使成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)最大值為170，最小值為
(2)
【分析】（1）換元后得到，，求出最值；
（2）轉化為，只需，根據對勾函數的單調性得到函數最值，得到，求出答案.
【詳解】（1）令，
故，
當時，取得最小值，最小值為，
又，，
故的最大值為170，最小值為；
（2），即，
令，故在上有解，
，只需，
其中在上單調遞減，在上單調遞增，
又當時，，當時，，
故，解得，
故實數的取值范圍為.
練透核心考點
1．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學校聯考開學考試）下列選項中是“，”成立的一個必要不充分條件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】變形得到，根據函數單調性得到，故，由于是的真子集，故A正確，其他選項不合要求.
【詳解】，，
即，，
∴，其中在上單調遞減，
在上單調遞增，
其中時，，當時，，
故，即，
由于是的真子集，故“”的必要不充分條件為“”，
其他選項均不合要求.
故選：A
2．（2024·全國·高一專題練習）函數，的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】先分離常數，再利用函數單調性求解最值即可.
【詳解】，
而的圖象由函數圖象向左平移1個單位再向上平移2個單位得到，
所以在上單調遞增，
所以當時，函數，有最大值為.
故選：B
3．（2024·全國·高三專題練習）已知函數在區間上的最大值為，則實數的值為 ．
【答案】
【分析】將函數化為，,，討論，和時函數的單調性，運用單調性可得最大值，解方程即可得到所求值．
【詳解】解：函數，即，,，
當時，不成立；
當，即時，在,遞減，可得為最大值，
即，解得，成立；
當，即時，在,遞增，可得為最大值，
即，解得，不成立；
綜上可得．
故答案為：.
4．（2024上·黑龍江哈爾濱·高一統考期末）已知函數.
(1)若是奇函數，求實數的值；
(2)若，求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據奇函數的定義即可求解；
（2）結合函數的單調性即可求解.
【詳解】（1）由題意，
，
，
；
（2），
，
，
令，，
令，，
設，
，
，
在上單調遞減，
，即，
同理可證在上單調遞增，
，即，
綜上，在上的值域.
5．（2024·全國·高一假期作業）已知
(1)根據單調性的定義證明函數在區間上是減函數
(2)若函數（）的最大值與最小值之差為1，求實數的值
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）且，利用作差法證明即可；
（2）由（1）求出函數的最值，再根據題意即可得解.
【詳解】（1）且，
則，
因為，所以，
又因為，所以，
因此，
所以在是減函數；
（2）由（1）可知，是減函數，
所以時，取得最大值為，
時，取得最小值為，
因為最大值與最小值之差為1，
所以，解得.
6．（2024上·河南商丘·高一睢縣回族高級中學校聯考期末）已知函數.
(1)設函數，實數滿足，求；
(2)若在時恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）根據函數的奇偶性進行求解；
（2）分類討論，分別求出在上的最小值，從而得出結論，注意利用勾形函數的性質得出單調性．
【詳解】（1）因為的定義域為，關于原點對稱，
且，
則是上的奇函數，從而，
因為，所以，得，
所以.
（2）若，則在上單調遞增，
因為在時恒成立，所以，解得，所以.
若，由可得，當且僅當，即時等號成立，
則在上單調遞減，在上單調遞增.
若，則，解得，與矛盾；
若，則，解得，所以.
綜上所述，的取值范圍是.
7．（2023上·江蘇南通·高一統考期中）已知函數.
(1)試判斷函數在區間上的單調性，并用函數單調性定義證明；
(2)若存在，使成立，求實數的范圍.
【答案】(1)在區間上單調遞增，證明見解析；
(2).
【分析】（1）利用單調性定義，令，作差法判斷符號，即可得結果；
（2）問題化為成立，即可求參數范圍.
【詳解】（1）在區間上單調遞增.
證明如下：設，則
因為，所以，，，即
所以，故在區間上單調遞增.
（2）由（1）可知在上單調遞增，
所以，當時，取得最小值，即
又存在，使成立，
所以只需成立，即，解得.
故實數的范圍為.
8．（2023下·河北邢臺·高二校聯考階段練習）已知函數，．
(1)求函數在上的值域；
(2)若，，使得，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用導數可求得單調性，結合單調性可確定最值，由此可得值域；
（2）將問題轉化為，結合一次函數性質即可構造不等式求得結果.
【詳解】（1），當時，；
在上單調遞減，，；
在上的值域為.
（2），，使得，；
當時，；
由（1）知：當時，，，解得：，
即實數的取值范圍為.
第四部分：典型易錯題型
備注：單調區間容易忽視定義域
1．（2023上·陜西西安·高一?？茧A段練習）函數的單調增區間是 ．
【答案】
【分析】求出函數的定義域，利用復合函數“同增異減”的性質即可求得其單調增區間.
【詳解】由題意可知，解得，即函數定義域為，
易知函數由復合而成，
且在單調遞減，在單調遞增，在上單調遞減；
利用復合函數單調性可得的單調增區間是
故答案為：.
2．（2023下·福建三明·高一永安市第九中學?？茧A段練習）函數的單調遞減區間是 .
【答案】
【分析】根據復合函數的單調性原則即可由的單調性進行求解.
【詳解】令，解得，
則的定義域為，
記，由于的對稱軸為，
故其在上單調遞減，而在定義域內單調遞增，
由復合函數單調性的原則可知：在單調遞減，
故答案為：.
備注：分段函數單調性問題容易忽視分段點大小比較
1．（2023上·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學?？奸_學考試）已知是上的減函數，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據題意，結合分段函數的單調性的判定法，以及一次函數與對數函數的性質，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由函數 在上為單調遞減函數，
則滿足 ，解得，所以實數的取值范圍為.
故答案為：.
2．（2023上·廣東深圳·高一?？计谀┤?，滿足對任意，都有成立，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據函數在上是增函數，則每一段都是增函數，且左側的函數值不大于右側的函數值求解.
【詳解】函數的定義域為，
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·福建泉州·高一統考期末）給定函數與，若為減函數且值域為（為常數），則稱對于具有“確界保持性”.
(1)證明：函數對于不具有“確界保持性”；
(2)判斷函數對于是否具有“確界保持性”；
(3)若函數對于具有“確界保持性”，求實數的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)具有
(3)3
【分析】（1）令，以特殊值說明函數不滿足值域為，即可證明結論；
（2）根據對于具有“確界保持性”的定義，說明滿足定義中的條件，即可得出結論；
（3）根據的結構特點，先確定時，函數符合題意，再分別說明和時，函數值域不符合題意，即可確定答案.
【詳解】（1）證明：令，
因為，不滿足函數值域為，
故函數 對于不具有“確界保持性”；
（2）函數對于具有“確界保持性”；
理由如下：
令，
在上單調遞減，且當時，，
故函數對于具有“確界保持性”；
（3）令，
根據“確界保持性”定義可知在上單調遞減，
故，即的值域為；
由于
，
可以看到，若當，即時，
則可化簡為，且在上均單調遞減，
故先證明符合題意；
當時，，
先證明在上單調遞減，
設，
則
當時，，
故，，
，
則，
即，
故，即，
所以在上單調遞減；
故，
又因為，
當x趨向于無限大時，均無限接近于0，且大于0，
即，且無限接近于0，
故的值域為，
故函數對于具有“確界保持性”，
當時，，
取，則，不滿足函數值域為，
此時，不符合題意，舍去；
當時，，，
則，
取，則，不滿足函數值域為，
此時，不符合題意，舍去；
綜上，當時，函數對于具有“確界保持性”.
【點睛】難點點睛：本題考查了函數新定義問題，解答時要理解“確界保持性”.的含義，依據定義去解答，難點在于（3）中根據函數對于具有“確界保持性”，求解參數的值，解答時要根據函數的結構特點，確定a的值，說明其符合題意，然后分類說明其它情況不符合題意，即可解決問題.
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