資源簡介

第02講 等差數列及其前n項和
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 2
第三部分：高頻考點一遍過 3
高頻考點一：等差數列基本量的運算 3
高頻考點二：等差數列的判斷與證明 5
高頻考點三：等差數列的性質及其應用（角度1：等差數列的性質） 6
高頻考點四：等差數列的性質及其應用（角度2：等差數列前n項和的性質） 7
高頻考點五：等差數列的性質及其應用（角度3：等差數列的最值問題） 8
第四部分：新定義題 10
第一部分：基礎知識
1.等差數列的概念
(1)定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母表示．數學語言表示為()(或者），為常數．
(2)等差中項：若，，成等差數列，則叫做和的等差中項，且.
注：證明一個數列是等差數列可以使用①定義法：()(或者）
②等差中項法：
2.等差數列的有關公式
(1)若等差數列的首項是，公差是，則其通項公式為，可推廣為(*)．
(2)等差數列的前項和公式(其中)．
3.等差數列的常用性質
已知為等差數列，為公差，為該數列的前項和．
(1)等差數列中，當時， ()．
特別地，若，則()．
(2)相隔等距離的項組成的數列是等差數列，即，，，…仍是等差數列，公差為()．
(3)也成等差數列，其首項與首項相同，公差為.
(4)，，…也成等差數列，公差為.
（5）若數列,均為等差數列且其前項和分別為,,則
4.等差數列與函數的關系
(1)等差數列與一次函數的關系
可化為的形式．當時，是關于的一次函數；當時，數列為遞增數列；當時，數列為遞減數列．
(2)等差數列前項和公式可變形為.當時，它是關于的二次函數，表示為(，為常數)．
第二部分：高考真題回顧
1．（2024·全國·高考真題（甲卷文））已知等差數列的前項和為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024·全國·高考真題（新課標Ⅱ））記為等差數列的前n項和，若，，則 .
3．（2024·上海·高考真題）若．
(1)過，求的解集；
(2)存在使得成等差數列，求的取值范圍．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：等差數列基本量的運算
典型例題
例題1．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）等差數列按照如圖的方式排列成一個的方陣，并從里到外分為n層. 設第n層內的所有數字和為，且有，則數列的公差為 ．
例題2．（2024·四川達州·二模）等差數列的前項和為，且.
(1)求；
(2)若為等比數列，，求通項公式.
例題3．（2024高二上·江蘇·專題練習）在等差數列中，
(1)已知，，，求和；
(2)已知，，求；
(3)已知，，，求．
練透核心考點
1．（24-25高二上·全國·課后作業）（1）在等差數列中，，求的值；
（2）在等差數列中，，，求．
2．（24-25高二上·全國·課堂例題）在等差數列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，，求及；
(3)已知，，，求項數.
3．（24-25高二上·全國·課后作業）在等差數列中．
(1)，，，求n和d；
(2)，，求和d．
方法總結：解決等差數列基本量運算的思想方法
(1)方程思想:等差數列的基本量為首項和公差,通常利用已知條件及通項公式或前項和公式列方程(組)求解,等差數列中包含,,,,五個量,可“知三求二”.
(2)整體思想:當所給條件只有一個時,可將已知和所求都用,表示,尋求兩者間的聯系,整體代換即可求解.
高頻考點二：等差數列的判斷與證明
典型例題
例題1．（2024高三·全國·專題練習）在正項數列中，，則（ ）
A．16 B．8 C． D．7
例題2．（24-25高二上·全國·課堂例題）若數列的前項和，求這個數列的通項公式，并判斷這個數列是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？
練透核心考點
1．（2024高二·云南）已知數列中，，，.
(1)求的值；
(2)證明：數列是等差數列；
(3)求數列的通項公式.
2．（23-24高二上·重慶·階段練習）已知是等差數列，若，．
(1)求的通項公式；
(2)證明是等差數列．
證明是等差數列 定義法 ()(或者）
等差中項法
判斷是等差數列 的通項關于的一次函數
的前項和 （注意沒有常數項）
高頻考點三：等差數列的性質及其應用（角度1：等差數列的性質）
典型例題
例題1．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習）已知等差數列的前10項和為100，且，則（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
例題2．（2024·遼寧·模擬預測）記等差數列的前n項和為，若，，則（ ）
A．60 B．80 C．140 D．160
練透核心考點
1．（24-25高三上·廣西南寧·開學考試）已知等差數列的前項和為，若，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川·模擬預測）已知等差數列的前項和為，且，則（ ）
A．36 B．48 C．52 D．66
高頻考點四：等差數列的性質及其應用（角度2：等差數列前n項和的性質）
典型例題
例題1．（23-24高二下·山東濰坊·期中）已知等差數列的前項和為，若，，則（ ）
A．54 B．63 C．72 D．135
例題2．（2024高二·全國·專題練習）已知是等差數列的前n項和，若，，則等于（ ）
A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040
例題3．（23-24高二下·遼寧大連·階段練習）已知等差數列的前項和分別為與，且，則（ ）
A． B． C． D．
例題4．（2024高三·全國·專題練習）已知、是等差數列、的前n項和，且，求.
例題2．（23-24高二下·全國·課后作業）數列是等差數列，，．
(1)從第幾項開始有？
(2)求此數列的前項和的最大值．
練透核心考點
1．（23-24高二下·貴州遵義·期末）數列的前n項和記為，已知，．
(1)求證：是等差數列；
(2)若，，成等比數列，求的最大值．
2．（23-24高二上·廣東深圳）已知等差數列中，，.
(1)求的通項公式；
(2)若的前項和為，求的最大值.
方法總結求等差數列前項和最值的兩種方法
第四部分：新定義題
1．（24-25高三上·安徽·開學考試）定義：從數列中隨機抽取m項按照項數從小到大的順序依次記為，將它們組成一個項數為m的新數列，其中，若數列為遞增數列，則稱數列是數列的“m項遞增衍生列”；
(1)已知數列滿足，數列是的“3項遞增衍生列”，寫出所有滿足條件的﹔
(2)已知數列是項數為m的等比數列，其中，若數列為1，16，81，求證：數列不是數列的“3項遞增衍生列”；
(3)已知首項為1的等差數列的項數為14，且，數列是數列的“m項遞增衍生列”，其中．若在數列中任意抽取3項，且均不構成等差數列，求m的最大值．
2．（23-24高二下·北京房山·期末）若數列滿足：對任意，都有，則稱是“數列”．
(1)若，，判斷，是否是“數列”；
(2)已知是等差數列，，其前項和記為，若是“數列”，且恒成立，求公差的取值范圍；
(3)已知是各項均為正整數的等比數列，，記，若是“數列”，不是“數列”，是“數列”，求數列的通項公式．21世紀教育網(www.21cnjy.com)
第02講 等差數列及其前n項和
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 2
第三部分：高頻考點一遍過 4
高頻考點一：等差數列基本量的運算 4
高頻考點二：等差數列的判斷與證明 8
高頻考點三：等差數列的性質及其應用（角度1：等差數列的性質） 10
高頻考點四：等差數列的性質及其應用（角度2：等差數列前n項和的性質） 12
高頻考點五：等差數列的性質及其應用（角度3：等差數列的最值問題） 15
第四部分：新定義題 18
第一部分：基礎知識
1.等差數列的概念
(1)定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母表示．數學語言表示為()(或者），為常數．
(2)等差中項：若，，成等差數列，則叫做和的等差中項，且.
注：證明一個數列是等差數列可以使用①定義法：()(或者）
②等差中項法：
2.等差數列的有關公式
(1)若等差數列的首項是，公差是，則其通項公式為，可推廣為(*)．
(2)等差數列的前項和公式(其中)．
3.等差數列的常用性質
已知為等差數列，為公差，為該數列的前項和．
(1)等差數列中，當時， ()．
特別地，若，則()．
(2)相隔等距離的項組成的數列是等差數列，即，，，…仍是等差數列，公差為()．
(3)也成等差數列，其首項與首項相同，公差為.
(4)，，…也成等差數列，公差為.
（5）若數列,均為等差數列且其前項和分別為,,則
4.等差數列與函數的關系
(1)等差數列與一次函數的關系
可化為的形式．當時，是關于的一次函數；當時，數列為遞增數列；當時，數列為遞減數列．
(2)等差數列前項和公式可變形為.當時，它是關于的二次函數，表示為(，為常數)．
第二部分：高考真題回顧
1．（2024·全國·高考真題（甲卷文））已知等差數列的前項和為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知識點】等差數列前n項和的基本量計算、等差數列通項公式的基本量計算、利用等差數列的性質計算
【分析】可以根據等差數列的基本量，即將題目條件全轉化成和來處理，亦可用等差數列的性質進行處理，或者特殊值法處理.
【詳解】方法一：利用等差數列的基本量
由，根據等差數列的求和公式，，
又.
故選：D
方法二：利用等差數列的性質
根據等差數列的性質，，由，根據等差數列的求和公式，
，故.
故選：D
方法三：特殊值法
不妨取等差數列公差，則，則.
故選：D
2．（2024·全國·高考真題（新課標Ⅱ））記為等差數列的前n項和，若，，則 .
【答案】95
【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、求等差數列前n項和
【分析】利用等差數列通項公式得到方程組，解出，再利用等差數列的求和公式節即可得到答案.
【詳解】因為數列為等差數列，則由題意得，解得，
則.
故答案為：.
3．（2024·上海·高考真題）若．
(1)過，求的解集；
(2)存在使得成等差數列，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【知識點】根據二次函數零點的分布求參數的范圍、根據函數的單調性解不等式、等差中項的應用
【分析】（1）求出底數，再根據對數函數的單調性可求不等式的解；
（2）存在使得成等差數列等價于在上有解，利用換元法結合二次函數的性質可求的取值范圍．
【詳解】（1）因為的圖象過，故，故即（負的舍去），
而在上為增函數，故，
故即，
故的解集為.
（2）因為存在使得成等差數列，
故有解，故，
因為，故，故在上有解，
由在上有解，
令，而在上的值域為，
故即.
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：等差數列基本量的運算
典型例題
例題1．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）等差數列按照如圖的方式排列成一個的方陣，并從里到外分為n層. 設第n層內的所有數字和為，且有，則數列的公差為 ．
【答案】4
【知識點】等差數列通項公式的基本量計算
【分析】由題意，求出，設等差數列的公差為，則，即可解出數列的公差.
【詳解】由題意的，設等差數列的公差為，
則，
即，解得.
故答案為：4.
例題2．（2024·四川達州·二模）等差數列的前項和為，且.
(1)求；
(2)若為等比數列，，求通項公式.
【答案】(1)
(2)
【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、等差數列前n項和的基本量計算、等比數列通項公式的基本量計算
【分析】（1）應用等差數列基本量運算得出，再求；
（2）應用等比數列通項公式基本量運算得出公比，再求通項即可.
【詳解】（1）設等差數列公差為，.
（2）
數列公比為
例題3．（2024高二上·江蘇·專題練習）在等差數列中，
(1)已知，，，求和；
(2)已知，，求；
(3)已知，，，求．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、求等差數列前n項和、等差數列前n項和的基本量計算
【分析】（1）根據等差數列前項和公式求出，再由通項公式求出；
（2）設等差數列的公差為，依題意得到關于、的方程組，解得、，再由求和公式計算可得
（3）利用等差數列前項和公式及下標和性質求出，從而得到，最后由求和公式計算可得.
【詳解】（1）由題意得，解得．
又，∴，∴，．
（2）設等差數列的公差為，
，，
，解得，
則．
（3），
，
，
．
練透核心考點
1．（24-25高二上·全國·課后作業）（1）在等差數列中，，求的值；
（2）在等差數列中，，，求．
【答案】（1）1；（2）.
【知識點】利用等差數列的性質計算、等差數列片段和的性質及應用、等差數列通項公式的基本量計算、等差數列前n項和的基本量計算
【分析】（1）利用等差數列的前項和公式及項的性質化簡后，代入即得；
（2）利用等差數列的片段和的性質得到新的等差數列，由等差數列的前項和公式求出新數列的公差，通過求新數列的第11項即可求出.
【詳解】（1）∵為等差數列，∴，，
∴．
（2）∵數列為等差數列，
∴，，，…，也成等差數列，
設其公差為d，由此數列的前10項之和為，
即（*）．又∵，代入（*）式，解得，
∴，．
2．（24-25高二上·全國·課堂例題）在等差數列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，，求及；
(3)已知，，，求項數.
【答案】(1)110
(2)，
(3)14
【知識點】求等差數列前n項和、利用等差數列通項公式求數列中的項、等差數列通項公式的基本量計算、等差數列前n項和的基本量計算
【分析】（1）設等差數列的公差為，根據等差數列通項公式以及求和公式求得，進而可得結果；
（2）根據等差數列求和公式求得，進而可得結果；
（3）根據等差數列性質可得，再結合等差數列求和公式運算求解.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，
則，解得，
所以.
（2）因為，
整理得，解得或（舍去），
所以．
（3）因為，，
可得，即．
又因為，所以．
3．（24-25高二上·全國·課后作業）在等差數列中．
(1)，，，求n和d；
(2)，，求和d．
【答案】(1)，
(2)，
【知識點】等差數列前n項和的基本量計算、等差數列通項公式的基本量計算
【分析】（1）根據等差數列的通項公式和求和公式列方程解出；
（2）根據等差數列的求和公式和通項公式列方程解出．
【詳解】（1），
．
，
．
（2），．
，
．
方法總結：解決等差數列基本量運算的思想方法
(1)方程思想:等差數列的基本量為首項和公差,通常利用已知條件及通項公式或前項和公式列方程(組)求解,等差數列中包含,,,,五個量,可“知三求二”.
(2)整體思想:當所給條件只有一個時,可將已知和所求都用,表示,尋求兩者間的聯系,整體代換即可求解.
高頻考點二：等差數列的判斷與證明
典型例題
例題1．（2024高三·全國·專題練習）在正項數列中，，則（ ）
A．16 B．8 C． D．7
【答案】D
【知識點】由遞推關系式求通項公式、利用定義求等差數列通項公式
【分析】先根據已知得出是等差數列，再根據已知計算出公差，結合等差數列的通項公式計算即可.
【詳解】是等差數列,
，可得等差數列公差為3，
.
故選:D.
例題2．（24-25高二上·全國·課堂例題）若數列的前項和，求這個數列的通項公式，并判斷這個數列是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？
【答案】是，首項，公差．
【知識點】判斷等差數列、利用an與sn關系求通項或項、等差數列前n項和的二次函數特征
【分析】根據與之間的關系求得，再結合等差數列的定義分析判斷.
【詳解】因為，
當時，；
當時，；
且適合上式，所以，．
可得，
所以數列是等差數列，且首項，公差．
練透核心考點
1．（2024高二·云南）已知數列中，，，.
(1)求的值；
(2)證明：數列是等差數列；
(3)求數列的通項公式.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【知識點】由遞推關系證明數列是等差數列、根據數列遞推公式寫出數列的項、利用定義求等差數列通項公式、求等差數列前n項和
【分析】（1）根據題意，令，即可求得的值；
（2）根據題意，化簡得到，結合等差數列的定義，即可得證；
（3）由（2）求得，利用疊加法，結合等差數列的求和公式，即可求解.
【詳解】（1）解：數列中，，，且，
令，可得.
（2）證明：由，
當時，可得，則，
又由，，可得，
所以是公差為的等差數列，即數列是公差為4等差數列.
（3）解：由（2）知，數列是首項為，公差為的等差數列，
可得，
所以
.
即數列的通項公式為
2．（23-24高二上·重慶·階段練習）已知是等差數列，若，．
(1)求的通項公式；
(2)證明是等差數列．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【知識點】利用定義求等差數列通項公式、由遞推關系證明數列是等差數列
【分析】（1）設等差數列的公差為d，得，結合等差數列的通項公式即得；
（2）根據等差數列的定義可證.
【詳解】（1）設等差數列的公差為d，，，
所以，
（2）證明：因為
所以是公差為的等差數列.
證明是等差數列 定義法 ()(或者）
等差中項法
判斷是等差數列 的通項關于的一次函數
的前項和 （注意沒有常數項）
高頻考點三：等差數列的性質及其應用（角度1：等差數列的性質）
典型例題
例題1．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習）已知等差數列的前10項和為100，且，則（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【知識點】利用等差數列的性質計算、等差數列前n項和的基本量計算、等差中項的應用
【分析】利用等差中項可知，根據等差數列求和公式運算求解.
【詳解】因為為等差數列，則，即，
又因為，
可得，所以．
故選：C.
例題2．（2024·遼寧·模擬預測）記等差數列的前n項和為，若，，則（ ）
A．60 B．80 C．140 D．160
【答案】C
【知識點】求等差數列前n項和、等差數列通項公式的基本量計算、利用等差數列的性質計算
【分析】根據給定條件，求出等差數列的公差及首項，再利用前n項和公式計算即得.
【詳解】等差數列中，，而，則，
公差，，
所以.
故選：C
練透核心考點
1．（24-25高三上·廣西南寧·開學考試）已知等差數列的前項和為，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】利用等差數列的性質計算、求等差數列前n項和
【分析】由條件結合等差數列性質求，再結合等差數列求和公式和性質求.
【詳解】因為數列為等差數列，
所以，又，
所以，
所以，又，
所以.
故選：D.
2．（2023·四川·模擬預測）已知等差數列的前項和為，且，則（ ）
A．36 B．48 C．52 D．66
【答案】D
【知識點】利用等差數列的性質計算、求等差數列前n項和
【分析】根據等差數列性質及求和公式進行計算即可.
【詳解】由，得，得.
故選：D
高頻考點四：等差數列的性質及其應用（角度2：等差數列前n項和的性質）
典型例題
例題1．（23-24高二下·山東濰坊·期中）已知等差數列的前項和為，若，，則（ ）
A．54 B．63 C．72 D．135
【答案】B
【知識點】求等差數列前n項和、等差數列片段和的性質及應用
【分析】首先根據題意得到，，為等差數列，再根據等差中項的性質即可得到答案.
【詳解】因為是等差數列，所以，，為等差數列，
即成等差數列，
所以，解得.
故選：B
例題2．（2024高二·全國·專題練習）已知是等差數列的前n項和，若，，則等于（ ）
A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040
【答案】B
【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、前n項和與n的比所組成的等差數列、利用定義求等差數列通項公式
【分析】根據等差數列前n項和的性質，結合等差數列的通項公式進行求解即可.
【詳解】是等差數列的前n項和，則數列是等差數列．
，，
則數列的公差，首項為，
，．
故選：B．
例題3．（23-24高二下·遼寧大連·階段練習）已知等差數列的前項和分別為與，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】兩個等差數列的前n項和之比問題
【分析】利用等差數列的求和公式及性質可得答案.
【詳解】因為均為等差數列，所以，
因為，所以.
故選：A
例題4．（2024高三·全國·專題練習）已知、是等差數列、的前n項和，且，求.
【答案】.
【知識點】等差數列前n項和的基本量計算、兩個等差數列的前n項和之比問題、由Sn求通項公式
【分析】根據等差數列的前項和公式的二次函數結構，可設，結合，即可求解.
【詳解】若等差數列的公差有為零，不符合題意；
所以等差數列、的公式均不為，
由等差數列的前項和公式知，
即等差數列的前項和公式知是關于的二次函數，
因為，可設，（其中），
可得
，
所以.
故答案為：.
練透核心考點
1．（23-24高二上·河北唐山·期末）記是等差數列的前n項和，若，，則（ ）
A．27 B．36 C．45 D．78
【答案】D
【知識點】求等差數列前n項和、等差數列片段和的性質及應用
【分析】根據等差數列的前n項和的性質：對于，,成等差數列，取,列出方程組求解即得.
【詳解】因是等差數列的前n項和，則成等差數列，
于是，代入，，解得：，
又,代入上述值，解得：.
故選：D.
2．（23-24高二下·云南·期中）設數列和都為等差數列，記它們的前項和分別為和，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】利用等差數列的性質計算、兩個等差數列的前n項和之比問題
【分析】由等差數列前項和公式及下標和定理計算即可．
【詳解】數列和都為等差數列，且，
則，
故選：B．
3．（24-25高二上·全國·課后作業）在等差數列中，，其前n項和為，若，則 ．
【答案】
【知識點】前n項和與n的比所組成的等差數列、利用等差數列通項公式求數列中的項
【分析】由等差數列前n項和的性質,知也為等差數列，由題意得其公差，，根據等差數列的通項公式可得，即可求解.
【詳解】由等差數列前n項和的性質可知，數列也為等差數列，
設其公差為d，則由，
可得，即．
又，
所以，
所以．
故答案為：.
4．（23-24高二上·貴州黔東南）設兩個等差數列和的前項和分別為和，且，則 .
【答案】
【知識點】兩個等差數列的前n項和之比問題
【分析】設，則，可求得、的值，即可得解.
【詳解】設，則，
則，，則.
故答案為：.
高頻考點五：等差數列的性質及其應用（角度3：等差數列的最值問題）
典型例題
例題1．（23-24高二上·安徽阜陽·階段練習）已知數列是等差數列，且，.
(1)求的通項公式；
(2)若數列的前n項和為，求的最小值及取得最小值時n的值.
【答案】(1)
(2)取最小值為，或
【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、求等差數列前n項和的最值、求等差數列前n項和
【分析】（1）設出等差數列的首項和公差，由題意列式求出首項和公差，則等差數列的通項公式可求；
（2）寫出等差數列的前n項和，利用配方法求得的最小值并求得使取得最小值時n的取值．
【詳解】（1）設的公差為d，則，
解得，
所以.
（2），
所以當或時，取得最小值，最小值為.
例題2．（23-24高二下·全國·課后作業）數列是等差數列，，．
(1)從第幾項開始有？
(2)求此數列的前項和的最大值．
【答案】(1)
(2)2108.4
【知識點】求等差數列前n項和的最值、利用等差數列通項公式求數列中的項、利用定義求等差數列通項公式
【分析】（1）求出數列的通項公式，解不等式即可；
（2）方法1：根據等差數列前項和的性質即可求此數列的前項和結合配方法求最大值即可；方法2：結合（1）知，，則有，從而根據數列的前項和即可求解．
【詳解】（1）因為，，
所以．
令，則．
由于，故當時，，
即從第項開始各項均小于；
（2）方法1：．
當取最接近于的自然數，即時，取到最大值．
方法2：因為，，
由（1），知，，
所以，且．
所以．
【點睛】解決此類問題有兩種思路：一是利用等差數列的前項和公式，可用配方法求最值，也可用頂點坐標法求最值；二是依據等差數列的通項公式，當時，數列一定為遞增數列，當時，數列一定為遞減數列．所以當，且時，無窮等差數列的前項和有最大值，其最大值是所有非負項的和；當，且時，無窮等差數列的前項和有最小值，其最小值是所有非正項的和，求解非負項是哪一項時，只要令即可．
練透核心考點
1．（23-24高二下·貴州遵義·期末）數列的前n項和記為，已知，．
(1)求證：是等差數列；
(2)若，，成等比數列，求的最大值．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【知識點】由遞推關系證明數列是等差數列、求等差數列前n項和的最值、等比中項的應用、利用an與sn關系求通項或項
【分析】（1）用與的關系式即可證明；
（2）利用等比中項的性質結合（1）的結論可求得，由等差數列的前項和公式可得，利用二次函數的對稱性和最值可得的最大值.
【詳解】（1）①，
當時， ②，
得：，
即，即，且.
是公差為的等差數列.
（2）由（1）知是公差為的等差數列，
，
又，，成等比數列，
，
，即，
故，解得.
，
，
二次函數的對稱軸為，
，當或時取到最大值為.
故的最大值為.
2．（23-24高二上·廣東深圳）已知等差數列中，，.
(1)求的通項公式；
(2)若的前項和為，求的最大值.
【答案】(1)
(2)2020
【知識點】求等差數列前n項和的最值、等差數列通項公式的基本量計算
【分析】（1）計算，得到等差數列公差，得到通項公式.
（2）計算，根據二次函數性質得到最值.
【詳解】（1），，設的公差為，，所以，
.
（2）（法一），所以是單調遞減數列，
因為，設的前項和最大，則，即或，
的最大值為.
（法二），，的前項和為，
即，對稱軸，
所以或時取最大值，最大值為.
方法總結求等差數列前項和最值的兩種方法
假設數列是數列的“3項遞增衍生列”，
則存在，使，
所以，則，
所以．
因為，所以為有理數，但為無理數，
所以（*）式不可能成立．
綜上，數列不是數列的“3項遞增衍生列”．
（3）設等差數列的公差為d．
由，又，所以，
故數列為1，2，3，4，5，，14﹒
令，因為數列中各項均為正整數，故﹔
（若，則，成等差數列）
同理，且，所以，
同理，且，所以，
這與已知條件矛盾，所以，
此時可以構造數列為1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三項均不構成等差數列．
綜上所述，m的最大值為8．
【點睛】關鍵點點睛：數列新定義問題，解決的關鍵有兩點：一是緊抓新數列的定義，如題目中“m項遞增衍生列”條件的使用，是解題的入手點；二是應用數列的單調性或等差等比通項特性等重要性質構造等量或不等關系解決問題.
2．（23-24高二下·北京房山·期末）若數列滿足：對任意，都有，則稱是“數列”．
(1)若，，判斷，是否是“數列”；
(2)已知是等差數列，，其前項和記為，若是“數列”，且恒成立，求公差的取值范圍；
(3)已知是各項均為正整數的等比數列，，記，若是“數列”，不是“數列”，是“數列”，求數列的通項公式．
【答案】(1)數列是“數列”；數列不是“數列”；
(2)
(3)或
【知識點】求等差數列前n項和、等比數列通項公式的基本量計算、數列新定義
【分析】（1）直接根據“數列”的定義進行判斷即可；
（2）由是等差數列結合是“數列”可知公差，結合等差數列求和公式用含的式子表示，進一步結合恒成立即可求解；
（3）由“數列”的每一項（）均為正整數，可得且，進一步可得單調遞增，故將任意性問題轉換為與1比較大小關系可得的范圍，結合，或，注意此時我們還要分情況驗證是否是“數列”，從而即可得解.
【詳解】（1）對于數列而言，若，則,
所以數列是“數列”；
對于數列而言，若，則，則數列不是“數列”；
（2）因為等差數列是“數列”，所以其公差．
因為，所以，
由題意，得對任意的恒成立，
即對任意的恒成立．
當時，恒成立，故；
當時，對任意的恒成立，即
對任意的恒成立，
因為，所以．
所以的取值范圍是.
（3）設等比數列的公比為，因為，所以，
因為“數列”的每一項均為正整數，由得，
所以且，
因為，
所以，所以單調遞增，
所以在數列中，“”為最小項，
而，從而在數列中，“”為最小項．
因為是“數列”，則只需，所以，
因為數列不是“數列”，則，所以，
因為數列的每一項均為正整數，即，所以或，
（1）當時，，則，
令，
又，
所以為遞增數列，
又，
所以對于任意的，都有，即，
所以數列為“數列”，符合題意．
（2）同理可知，當時，，則，
令，
又，
所以為遞增數列，
又，
所以對于任意的，都有，即，
所以數列為“數列”，符合題意．
綜上，或.
【點睛】關鍵點點睛：第三問的關鍵是首先將恒成立任意性問題轉換為與1比較大小得出的值，回過頭去檢驗是否滿足題意即可順利得解.
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