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第02講 導數與函數的單調性
目錄
第一部分：基礎知識 2
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 3
高頻考點一：利用導數求函數的單調區間（不含參） 3
高頻考點二：已知函數在區間上單調 4
高頻考點三：已知函數在區間上存在單調區間 5
高頻考點四：已知函數在區間上不單調 5
高頻考點五：函數單調性之導函數與原函數圖象的單調性 6
高頻考點六：函數單調性之比較大小 8
高頻考點七：函數單調性之構造函數解不等式 9
高頻考點八：含參問題討論單調性（一次型） 9
高頻考點九：含參問題討論單調性（可因式分解二次型） 10
高頻考點十：含參問題討論單調性（不可因式分解二次型） 12
第四部分：典型易錯題型 13
備注：已知函數在某區間上單調，求解時容易忽視“等號”而存在單調區間卻容易誤加了“等號” 13
備注：解不等式時容易忽視定義域 13
第一部分：基礎知識
1、函數的單調性與導數的關系（導函數看正負，原函數看增減）
條件 恒有 結論
函數在區間上可導 在內單調遞增
在內單調遞減
在內是常數函數
2、求已知函數（不含參）的單調區間
①求的定義域
②求
③令，解不等式，求單調增區間
④令，解不等式，求單調減區間
注：求單調區間時，令（或）不跟等號.
3、由函數的單調性求參數的取值范圍的方法
（1）已知函數在區間上單調
①已知在區間上單調遞增，恒成立.
②已知在區間上單調遞減，恒成立.
注：已知單調性，等價條件中的不等式含等號.
（2）已知函數在區間上存在單調區間
①已知在區間上存在單調增區間令，解不等式，求單調增區間，則
②已知在區間上存在單調減區間令，解不等式，求單調減區間，則
（3）已知函數在區間上不單調，使得
4、含參問題討論單調性
第一步：求的定義域
第二步：求（導函數中有分母通分）
第三步：確定導函數有效部分，記為
對于進行求導得到，對初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來就只需考慮導函數有效部分，只有該部分決定的正負.
第四步：確定導函數有效部分的類型：
①為一次型（或可化為一次型）②為二次型（或可化為二次型）
第五步：通過分析導函數有效部分，討論的單調性
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·新課標Ⅱ卷）已知函數在區間上單調遞增，則a的最小值為（ ）．
A． B．e C． D．
2．（2023·全國·乙卷理）設，若函數在上單調遞增，則a的取值范圍是 .
3．（2023·全國·乙卷文）已知函數．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程．
(2)若函數在單調遞增，求的取值范圍．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：利用導數求函數的單調區間（不含參）
典型例題
1．（23-24高二下·寧夏·階段練習）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·遼寧·一模）已知.
(1)求在處的切線方程；
(2)求的單調遞減區間.
練透核心考點
1．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習）若函數，則函數的單調遞減區間為（ ）
A．， B． C． D．
2．（23-24高二下·江蘇·階段練習）函數的單調增區間為 ．
高頻考點二：已知函數在區間上單調
典型例題
1．（22-23高二下·北京·階段練習）若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·河南·階段練習）若函數的圖象在區間上單調遞增，則實數的最小值為 ．
練透核心考點
1．（23-24高三上·安徽亳州·階段練習）已知函數在區間上單調遞增，則a的取值范圍是： .
2．（22-23高二下·內蒙古興安盟·期中）若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是 .
高頻考點三：已知函數在區間上存在單調區間
典型例題
1．（23-24高三上·福建泉州·階段練習）若函數在上存在單調遞增區間，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二·安徽六安·期末）若函數存在增區間，則實數的取值范圍為
A． B．
C． D．
3．（2023高二·全國·專題練習）若函數存在增區間，則實數的取值范圍為 .
練透核心考點
1．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）在區間上，函數存在單調遞增區間，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多選）（23-24高二下·寧夏·階段練習）已知函數在區間上存在單調遞減區間，則可能的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．e
3．（23-24高三·全國·專題練習）若函數存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是 .
高頻考點四：已知函數在區間上不單調
典型例題
1．（22-23高二下·湖北·階段練習）若函數在其定義域的一個子區間內不是單調函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數在區間上不是單調函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
練透核心考點
1．（23-24高二上·河南許昌·期末）若函數在其定義域的一個子區間上，不是單調函數，則實數k的取值范圍是 ．
高頻考點五：函數單調性之導函數與原函數圖象的單調性
典型例題
1．（22-23高二下·陜西咸陽·階段練習）函數的導函數在區間上的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高二下·甘肅平涼·階段練習）已知上的可導函數的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二下·湖北黃岡·階段練習）如圖所示為函數的圖象，則不等式的解集為 ．
練透核心考點
1．（23-24高二上·山西長治·期末）函數的導函數的圖象如圖所示，那么該函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多選）（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習）函數的圖象如圖，且在與處取得極值，給出下列判斷，其中正確的是（ ）
A． B．
C． D．函數在上單調遞減
3．（多選）（22-23高二下·廣西桂林·期末）設是定義域為R的奇函數，其導函數為，若時，圖象如圖所示，則可以使成立的x的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
高頻考點六：函數單調性之比較大小
典型例題
1．（23-24高二下·江蘇·階段練習）下列不等關系中，正確的是（為自然對數的底數）（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知，則a，b，c大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江西贛州·一模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
練透核心考點
1．（2024·浙江溫州·二模）已知，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
高頻考點七：函數單調性之構造函數解不等式
典型例題
1．（2024·湖南邵陽·二模）已知函數的定義域為為的導函數.若，且在上恒成立，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·福建莆田·開學考試）已知為函數的導函數，當時，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二下·寧夏·階段練習）設函數，若不等式對任意的恒成立，則的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
透核心考點
1．（23-24高二上·江蘇泰州·期末）不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·四川成都·二模）已知函數，若，則實數的取值范圍為 .
高頻考點八：含參問題討論單調性（一次型）
典型例題
1．（23-24高二下·重慶·階段練習）已知函數.
(1)討論的單調性；
2．（2024·陜西咸陽·二模）已知函數．
(1)討論的單調性；
練透核心考點
1．（2024高三·全國·專題練習）已知，討論函數的單調性.
2．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習）討論函數的單調性
3．（2024高二·上海·專題練習）設函數，其中.
(1)當時，求函數在處的切線方程；
(2)討論的單調性；
高頻考點十：含參問題討論單調性（不可因式分解二次型）
典型例題
1．（2024·四川南充·二模）已知函數.
(1)討論函數的單調性；
2．（2024高三·全國·專題練習）已知，討論的單調性.
練透核心考點
1．（2024高三·全國·專題練習）設函數（），討論的單調性.
2．（2024·山東青島·一模）已知函數．
(1)若，曲線在點處的切線斜率為1，求該切線的方程；
(2)討論的單調性．
第四部分：典型易錯題型
備注：已知函數在某區間上單調，求解時容易忽視“等號”而存在單調區間卻容易誤加了“等號”
1．（23-24高三上·福建泉州·階段練習）若函數在上存在單調遞增區間，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·福建南平·階段練習）已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·山西長治·期末）若函數（且）在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是 .
備注：解不等式時容易忽視定義域
1．（2024·陜西西安·二模）已知函數.若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·貴州貴陽·一模）已知是定義在上的偶函數，且也是偶函數，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．21世紀教育網(www.21cnjy.com)
第02講 導數與函數的單調性
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 2
第三部分：高頻考點一遍過 5
高頻考點一：利用導數求函數的單調區間（不含參） 5
高頻考點二：已知函數在區間上單調 7
高頻考點三：已知函數在區間上存在單調區間 9
高頻考點四：已知函數在區間上不單調 12
高頻考點五：函數單調性之導函數與原函數圖象的單調性 14
高頻考點六：函數單調性之比較大小 17
高頻考點七：函數單調性之構造函數解不等式 20
高頻考點八：含參問題討論單調性（一次型） 23
高頻考點九：含參問題討論單調性（可因式分解二次型） 24
高頻考點十：含參問題討論單調性（不可因式分解二次型） 29
第四部分：典型易錯題型 32
備注：已知函數在某區間上單調，求解時容易忽視“等號”而存在單調區間卻容易誤加了“等號” 32
備注：解不等式時容易忽視定義域 34
第一部分：基礎知識
1、函數的單調性與導數的關系（導函數看正負，原函數看增減）
條件 恒有 結論
函數在區間上可導 在內單調遞增
在內單調遞減
在內是常數函數
2、求已知函數（不含參）的單調區間
①求的定義域
②求
③令，解不等式，求單調增區間
④令，解不等式，求單調減區間
注：求單調區間時，令（或）不跟等號.
3、由函數的單調性求參數的取值范圍的方法
（1）已知函數在區間上單調
①已知在區間上單調遞增，恒成立.
②已知在區間上單調遞減，恒成立.
注：已知單調性，等價條件中的不等式含等號.
（2）已知函數在區間上存在單調區間
①已知在區間上存在單調增區間令，解不等式，求單調增區間，則
②已知在區間上存在單調減區間令，解不等式，求單調減區間，則
（3）已知函數在區間上不單調，使得
4、含參問題討論單調性
第一步：求的定義域
第二步：求（導函數中有分母通分）
第三步：確定導函數有效部分，記為
對于進行求導得到，對初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來就只需考慮導函數有效部分，只有該部分決定的正負.
第四步：確定導函數有效部分的類型：
①為一次型（或可化為一次型）②為二次型（或可化為二次型）
第五步：通過分析導函數有效部分，討論的單調性
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·新課標Ⅱ卷）已知函數在區間上單調遞增，則a的最小值為（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】
根據在上恒成立，再根據分參求最值即可求出．
【詳解】
依題可知，在上恒成立，顯然，所以，
設，所以，所以在上單調遞增，
，故，即，即a的最小值為．
故選：C．
2．（2023·全國·乙卷理）設，若函數在上單調遞增，則a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】原問題等價于恒成立，據此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側函數的單調性可得實數的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數的取值范圍.
【詳解】由函數的解析式可得在區間上恒成立，
則，即在區間上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
結合題意可得實數的取值范圍是.
故答案為：.
3．（2023·全國·乙卷文）已知函數．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程．
(2)若函數在單調遞增，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由題意首先求得導函數的解析式，然后由導數的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；
（2）原問題即在區間上恒成立，整理變形可得在區間上恒成立，然后分類討論三種情況即可求得實數的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，
則，
據此可得，
所以函數在處的切線方程為，即.
（2）由函數的解析式可得，
滿足題意時在區間上恒成立.
令，則，
令，原問題等價于在區間上恒成立，
則，
當時，由于，故，在區間上單調遞減，
此時，不合題意;
令，則，
當，時，由于，所以在區間上單調遞增，
即在區間上單調遞增，
所以，在區間上單調遞增，，滿足題意.
當時，由可得，
當時，在區間上單調遞減，即單調遞減，
注意到，故當時，，單調遞減，
由于，故當時，，不合題意.
綜上可知：實數得取值范圍是.
【點睛】方法點睛：
（1）求切線方程的核心是利用導函數求切線的斜率，求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導，合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.
（2）由函數的單調性求參數的取值范圍的方法
①函數在區間上單調，實際上就是在該區間上(或)恒成立．
②函數在區間上存在單調區間，實際上就是(或)在該區間上存在解集．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：利用導數求函數的單調區間（不含參）
典型例題
1．（23-24高二下·寧夏·階段練習）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用導數求函數的單調遞增區間.
【詳解】函數，定義域為，
，，解得，
所以函數的單調遞增區間為.
故選：B
2．（2024·遼寧·一模）已知.
(1)求在處的切線方程；
(2)求的單調遞減區間.
【答案】(1)
(2)單調遞減區間為，
【分析】
（1）先求原函數的導函數，再求出處的導數值即切線的斜率，寫出切線方程即可；
（2）求的單調遞減區間，只需求出其導函數滿足不等式的解集即可.
【詳解】（1）
由于，
其導函數為：，
得：，，
所以在處的切線方程為：，即；
（2）
由于，
得：，
若，則，即，
由于，則，
只需即可，解得，，
故的單調遞減區間為：，.
練透核心考點
1．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習）若函數，則函數的單調遞減區間為（ ）
A．， B． C． D．
【答案】C
【分析】
求函數的導數，利用導數小于零并結合定義域即可得解.
【詳解】
因為，定義域為，
所以，
令，解得，則函數的單調遞減區間為.
故選：C.
2．（23-24高二下·江蘇·階段練習）函數的單調增區間為 ．
【答案】（或）
【分析】
求出函數的定義域與導函數，再解關于導函數的不等式即可.
【詳解】函數的定義域為，
又，
令，解得，
所以函數的單調增區間為（或）.
故答案為：（或）
高頻考點二：已知函數在區間上單調
典型例題
1．（22-23高二下·北京·階段練習）若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】原函數在區間上單調遞增，則導函數在區間上恒大于或等于0，可求實數的取值范圍.
【詳解】由，則，
因為函數在區間上單調遞增，所以恒成立，
即恒成立，則，解得.
故選：B
2．（23-24高三上·河南·階段練習）若函數的圖象在區間上單調遞增，則實數的最小值為 ．
【答案】
【分析】
利用函數的單調性轉化為在區間上恒成立，
構造函數，利用導數求最小值即可求得即.
【詳解】
因為，所以．
由的圖象在區間上單調遞增，
可知不等式即在區間上恒成立．
令，則，
當時，，所以在上單調遞減，
故要使在上恒成立，只需．
由，解得，
故實數a的取值范圍為，則a的最小值為．
故答案為：
練透核心考點
1．（23-24高三上·安徽亳州·階段練習）已知函數在區間上單調遞增，則a的取值范圍是： .
【答案】
【分析】根據函數單調性得在上恒成立，再根據分參求最值即可求解.
【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，
設，所以，所以在上單調遞增，
，故，即，即a的最小值為.
故a的取值范圍是.
故答案為：
2．（22-23高二下·內蒙古興安盟·期中）若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】
根據函數在區間上單調遞增，得到函數在上成立，再由題意即可得出的取值范圍.
【詳解】
因為函數在區間上單調遞增，
所以在區間上函數，所以
設，，
函數在區間上單調遞增，
所以只需即可.
故答案為：.
高頻考點三：已知函數在區間上存在單調區間
典型例題
1．（23-24高三上·福建泉州·階段練習）若函數在上存在單調遞增區間，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據條件得出存在，使成立，即存在，使成立，構造函數，，求出的最值即可解決問題.
【詳解】因為函數在上存在單調遞增區間，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 變形得，因為，所以，
所以當，即時，，所以，
故選：D．
2．（23-24高二·安徽六安·期末）若函數存在增區間，則實數的取值范圍為
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先假設函數不存在增區間，則單調遞減，利用的導數恒小于零列不等式，將不等式分離常數后，利用配方法求得常數的取值范圍，再取這個取值范圍的補集，求得題目所求實數的取值范圍.
【詳解】若函數不存在增區間，則函數單調遞減，
此時在區間恒成立，
可得，則，可得，
故函數存在增區間時實數的取值范圍為．故選C.
【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查不等式恒成立問題的求解策略，屬于中檔題.
3．（2023高二·全國·專題練習）若函數存在增區間，則實數的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由題意知，存在使得，利用參變量分離法得出，利用基本不等式在時的最小值，即可得出實數的取值范圍.
【詳解】，定義域為，，
由題意可知，存在使得，即.
當時，，
所以，，因此，實數的取值范圍是.
故答案為：.
練透核心考點
1．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）在區間上，函數存在單調遞增區間，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據給定條件，利用導數結合函數單調性建立不等式，再構造函數求出函數最大值即得.
【詳解】函數，求導得，
依題意，不等式在上有解，即在上有解，
令，，求導得，
當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，
當時，，因此，
所以實數的取值范圍是.
故選：C
2．（多選）（23-24高二下·寧夏·階段練習）已知函數在區間上存在單調遞減區間，則可能的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．e
【答案】CD
【分析】求得，根據題意，轉化為即在有解，設，利用導數求得函數的最小值，結合選項，即可求解.
【詳解】由函數，可得，
因為函數在區間上存在單調遞減區間，
即在有解，即在有解，
設，可得，
所以函數單調遞增，所以，即，
結合選項，可得選項C、D符合題意.
故選：CD.
3．（23-24高三·全國·專題練習）若函數存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】先求導函數，遞減小于0，再解含參數的不等式分類討論即可.
【詳解】，
由題意知，在上有實數解，
即有實數解，
當時，顯然滿足，
當時，只需
綜上所述
故答案為：
【點睛】本題考查導函數的單調性，及含參數的不等式有解求參數的取值范圍問題.
高頻考點四：已知函數在區間上不單調
典型例題
1．（22-23高二下·湖北·階段練習）若函數在其定義域的一個子區間內不是單調函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出函數的定義域，則有，對函數求導后，令求出極值點，使極值點在內，從而可求出實數的取值范圍.
【詳解】因為函數的定義域為，
所以，即，
，
令，得或（舍去），
因為在定義域的一個子區間內不是單調函數，
所以，得，
綜上，，
故選：A
2．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數在區間上不是單調函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把在區間上不是單調函數，轉化為在區間上有零點，用分離參數法得到，規定函數，求出值域即可得到實數的取值范圍.
【詳解】因為在區間上不是單調函數，
所以在區間上有解，即在區間上有解．
令，則．
當時，；當時，．
故在上單調遞減，在上單調遞增．又因為，
且當時，
所以在區間上單調遞增，所以，解得.
故選：A
練透核心考點
1．（23-24高二上·河南許昌·期末）若函數在其定義域的一個子區間上，不是單調函數，則實數k的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】
由題意求導結合函數單調性，列出不等式組即可求解.
【詳解】由題意單調遞增，且，
所以若函數在其定義域的一個子區間上，不是單調函數，
則，解得.
故答案為：.
高頻考點五：函數單調性之導函數與原函數圖象的單調性
典型例題
1．（22-23高二下·陜西咸陽·階段練習）函數的導函數在區間上的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用函數奇偶性，特殊點的函數值排除求解即可.
【詳解】易得，而，故，故是奇函數，排除A,D，而，排除B，故C正確.
故選：C
2．（22-23高二下·甘肅平涼·階段練習）已知上的可導函數的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由函數圖象得出和的解，然后用分類討論思想求得結論．
【詳解】由圖象知的解集為，的解集為，
或，
所以或，解集即為．
故選：D．
3．（23-24高二下·湖北黃岡·階段練習）如圖所示為函數的圖象，則不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】
由函數圖象的單調性可得其導數的正負，即可解出該不等式.
【詳解】由的圖象可得在，上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，，當x∈時，，
因為，所以或，
即或或，解得或，
所以原不等式的解集為．
故答案為：.
練透核心考點
1．（23-24高二上·山西長治·期末）函數的導函數的圖象如圖所示，那么該函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據導函數的圖像利用導數函數知識從而得到的圖像，從而求解.
【詳解】由題意知與軸有三個交點，不妨設為，
當，，當，,
當，，當，，
所以在區間，單調遞減，故A、C錯誤；
在區間,單調遞增，故B錯誤，故D正確.
故選：D.
2．（多選）（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習）函數的圖象如圖，且在與處取得極值，給出下列判斷，其中正確的是（ ）
A． B．
C． D．函數在上單調遞減
【答案】AC
【分析】
根據圖象確定極值點的范圍，進而得到導函數對應的二次函數的性質，根據二次函數的性質逐一判斷即可.
【詳解】
，
由圖知時，單調遞增，可知，所以，故B錯誤；
又，
，故A正確；
，故C正確；
，其圖象開口向上，對稱軸小于，函數在上單調遞增，故D錯誤．
故選：AC.
3．（多選）（22-23高二下·廣西桂林·期末）設是定義域為R的奇函數，其導函數為，若時，圖象如圖所示，則可以使成立的x的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根據函數的奇偶性以及時的圖象，判斷函數的函數值的正負情況，繼而可判斷其單調性，從而判斷的正負，即可求得答案.
【詳解】由題意可知當時，；當時，；
由于是定義域為R的奇函數，故當時，；當時，；
又在上單調遞增，在上單調遞減，
結合是定義域為R的奇函數，得在上單調遞增，在上單調遞減，
故當時，，當時，，
故當時，；當時，；
當時，；當時，；
當時，；當時，；
故可以使成立的x的取值范圍是，，，
故選：ABD
高頻考點六：函數單調性之比較大小
典型例題
1．（23-24高二下·江蘇·階段練習）下列不等關系中，正確的是（為自然對數的底數）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
構造函數利用其單調性可對選項一一判斷即得.
【詳解】設則當時，，當時，，
故在上單調遞增，在上單調遞減.
對于A項，由，
因在上單調遞減，故，故A項錯誤；
對于B項，由，
因在上單調遞減，故，故B項錯誤；
對于C項，由，
因在上單調遞減，故，故C項錯誤；
對于D項，由，
因在上單調遞減，故，故D項正確.
故選：D.
2．（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知，則a，b，c大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據式子結構，構造函數，利用導數判斷出的單調性，進而得到a，b，c的大小關系.
【詳解】根據式子結構，構造函數，則，
令，則，令，得，
因此在單調遞增，在單調遞減，
而，，，
因為，所以，即.
故選：D
3．（2024·江西贛州·一模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】構造函數，對求導可得在上單調遞減，可得，即，再由作差法比較的大小，即可得出答案.
【詳解】令,,
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
因為，所以，即，
所以可得，故，
因為，
所以，
故.
故選：D.
練透核心考點
1．（2024·浙江溫州·二模）已知，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
構造函數，利用導數法求最值得，從而有，再利用函數單調遞減得，利用函數單調遞增得，即可比較大小.
【詳解】對，因為，則，即函數在單調遞減，
且時，，則，即，所以，
因為且，所以，
又，所以.
故選：B
2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先判斷，構造，比較的大小.
【詳解】因為，而，所以b最大，
構造函數，因為，
當時，當時，
所以在單調遞減，在單調遞增，
又因為，所以，即，
故.
故選：B．
高頻考點七：函數單調性之構造函數解不等式
典型例題
1．（2024·湖南邵陽·二模）已知函數的定義域為為的導函數.若，且在上恒成立，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
設，利用導數求得在上單調遞減，把不等式轉化為，即可求解.
【詳解】
設函數，可得，
所以函數在上單調遞減，
由，可得，即，
可得，所以，即不等式的解集為.
故選：D.
2．（23-24高二下·福建莆田·開學考試）已知為函數的導函數，當時，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
構造函數，其中，利用導數分析函數在上的單調性，結合單調性逐項判斷即可.
【詳解】構造函數，其中，則，
所以，函數在上為減函數，
對于AB選項，，即，可得，A錯B對；
對于CD選項，，即，D對，C無法判斷.
故選：BD.
3．（23-24高二下·寧夏·階段練習）設函數，若不等式對任意的恒成立，則的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】求得，得到函數的單調性，把轉化為在上恒成立，結合二次函數的性質和不等式的解法，即可求解.
【詳解】由函數，可得，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
因為，且，則且，
所以不等式，
即為在上恒成立，
即在上恒成立，
設，當時，可得，
所以，解得，即，
結合選項，可得選項C、D符合題意.
故選：CD.
練透核心考點
1．（23-24高二上·江蘇泰州·期末）不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
不等式等價于，構造函數，求導，確定單調性，利用單調性解不等式即可.
【詳解】由得，
設，則，所以在上單調遞減，
故由得，
所以，解得.
故選：B.
2．（2024·四川成都·二模）已知函數，若，則實數的取值范圍為 .
【答案】
【分析】
首先判斷函數的奇偶性，再利用導數說明函數的單調性，最后根據奇偶性與單調性將函數不等式轉化為自變量的不等式，解得即可.
【詳解】函數的定義域為，且，
所以為奇函數，
又，所以在上單調遞增，
不等式，即，
等價于，解得或，
所以實數的取值范圍為.
故答案為：
高頻考點八：含參問題討論單調性（一次型）
典型例題
1．（23-24高二下·重慶·階段練習）已知函數.
(1)討論的單調性；
【答案】(1)答案見解析
【分析】
（1）求出函數的定義域與導函數，再分、、三種情況討論，分別求出函數的單調區間；
【詳解】（1）函數的定義域為，
又，
當時，令，解得，所以在上單調遞增，
令，解得，所以在上單調遞減，
當時，，所以在上單調遞增
當時，令，解得，所以在上單調遞增，
令，解得，所以在上單調遞減，
綜上所述：當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
當時，所以在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
2．（2024·陜西咸陽·二模）已知函數．
(1)討論的單調性；
【答案】(1)答案見解析
【分析】
（1）求出定義域，求導，分與兩種情況，結合不等式，求出單調性；
【詳解】（1）
因為，定義域為，所以，
當時，由于，則，故恒成立，
所以在上單調遞減；
當時，令，解得，
當時，，則在上單調遞減；
當時，，則在上單調遞增，
綜上：當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增．
練透核心考點
1．（2024·廣西來賓·一模）已知函數.
(1)討論的單調性；
【答案】(1)答案見解析；
【分析】（1）求導，分和討論正負，得解；
【詳解】（1）
因為，所以，
當時，，函數在R上單調遞增；
當時，由，得，函數在區間上單調遞增，
由，得，函數在區間上單調遞減.
綜上，當時，在R上單調遞增；
當時，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.
高頻考點九：含參問題討論單調性（可因式分解二次型）
典型例題
1．（23-24高二下·江蘇·階段練習）已知函數．
(1)當時，求的單調增區間；
(2)求的單調區間；
【答案】(1)增區間為
(2)答案見解析
【分析】
（1）將函數求導，使導函數大于0求得，即得函數單調增區間；
（2）將函數求導分解因式，根據參數進行分類討論，得到函數的單調區間；
【詳解】（1）當時，，
因，由可得，則的單調增區間為.
（2）由求導得，
由可得或.
①當時，由可得，由可得；
②當時，在上恒成立；
③當時，由可得，由可得.
故當時，的單調增區間為，單調減區間為；
當時，的單調增區間為，無遞減區間；
當時，的單調增區間為，單調減區間為.
2．（23-24高三下·北京順義·階段練習）已知函數.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若，討論函數的單調性；
【答案】(1)
(2)答案見解析.
【分析】（1）根據導數幾何意義求出導數即為斜率，根據點斜式寫出直線方程；
（2）由題意得，討論根據判定其單調區間；
【詳解】（1）當時，
，
， ，
所以切線方程為：；
（2）由題，可得
由于，的解為，
①當，即時，，則在上單調遞增；
②當，即時，
在區間上，，在區間上，，
所以的單調增區間為；單調減區間為；
③當，即時，
在區間上，，在區間上，，
所以的單調增區間為；單調減區間為；
3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論的單調性.
【答案】答案見解析
【分析】求導得，分、、、討論可得答案.
【詳解】函數的定義域為，
求導得，
①當，即時，由，得，由，得，
因此在上單調遞增，在上單調遞減；
②當，即時，由，得或，由，得，
因此在，上單調遞增，在上單調遞減；
③當，即時，恒成立，因此在上單調遞增；
④當，即時，由，得或，由，
得，
因此在，上單調遞增，在上單調遞減，
綜上所述，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增；
當時，在，上單調遞增，在上單調遞減．
練透核心考點
1．（2024高三·全國·專題練習）已知，討論函數的單調性.
【答案】答案見解析
【分析】
求出函數的導數，對分類討論，由導數的正負求出函數的單調區間.
【詳解】由題意知，函數的定義域為，且
①當時，因為，所以，所以.
所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.
②當時，由，解得；由，解得或.
所以在上單調遞減，在，上單調遞增.
③當時，（當且僅當時，取等號）恒成立，所以在上單調遞增.
④當時，由，解得；由，解得或.
所以在上單調遞減，在，上單調遞增.
綜上，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在，上單調遞增；
當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在，上單調遞增.
2．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習）討論函數的單調性
【答案】見解析.
【分析】
對求導后按照兩根的大小及函數定義域分類討論，由此即可得解.
【詳解】
，
令得，
當即時，當時，；當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減；
當，即時，
當時，；當或時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減；
當即時，在上恒成立，
所以在上單調遞減；
當，即時，
當時，；當或時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減；
綜上，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
3．（2024高二·上海·專題練習）設函數，其中.
(1)當時，求函數在處的切線方程；
(2)討論的單調性；
【答案】(1)
(2)函數在上單調遞減，在上單調遞增
【分析】
（1）利用導數的幾何意義求出斜率，寫出方程即可.
（2）含參討論函數單調性即可.
【詳解】（1）
當時，，故，
此時函數在處的切線方程為：.
（2）
由題意，的定義域為，
，
則當時，單調遞增；當時，單調遞減.
故函數在上單調遞減，在上單調遞增.
高頻考點十：含參問題討論單調性（不可因式分解二次型）
典型例題
1．（2024·四川南充·二模）已知函數.
(1)討論函數的單調性；
【答案】(1)答案見解析
（1）求出導函數，按照的正負分類討論，由的正負可得單調性；
【詳解】（1）由題意知的定義域為，
，
當時，，在上單調遞減；
當時，令，
，
故方程有兩個不同的實數根，
分別為，，且，，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增.
綜上可知，當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
2．（2024高三·全國·專題練習）已知，討論的單調性.
【答案】當時，在R上單調遞增；當或時，在，上單調遞增，在上單調遞減．
【分析】
通過求出函數的導數，對其導數進行正負判斷，進而求出單調區間.
【詳解】
由題得，令得，
①若，即當時，恒成立，在R上單調遞增；
②若，即當或時，可得的兩根分別為，，
當時，，當時，，
所以在，上單調遞增，在上單調遞減．
綜上，當時，在R上單增；
當或時，在，上單調遞增，在上單調遞減．
練透核心考點
1．（2024高三·全國·專題練習）設函數（），討論的單調性.
【答案】答案見解析
【分析】
分類討論的不同取值，利用導函數的符號判斷單調性即可.
【詳解】
由題意可得的定義域為，，
設，令，，
①當時，，此時恒成立，在上單調遞增；
②當時，，設的兩根為，
由，可知的兩根都小于0，
所以在上大于0，所以在上單調遞增；
③當時，，由，解得，，
由，可知的兩根都大于0，
所以當時，，，在，上單調遞增，
當時，，，在上單調遞減.
綜述所述：當時，在上單調遞增；
當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.
2．（2024·山東青島·一模）已知函數．
(1)若，曲線在點處的切線斜率為1，求該切線的方程；
(2)討論的單調性．
【答案】(1)
(2)答案見解析
第四部分：典型易錯題型
備注：已知函數在某區間上單調，求解時容易忽視“等號”而存在單調區間卻容易誤加了“等號”
1．（23-24高三上·福建泉州·階段練習）若函數在上存在單調遞增區間，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據條件得出存在，使成立，即存在，使成立，構造函數，，求出的最值即可解決問題.
【詳解】因為函數在上存在單調遞增區間，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 變形得，因為，所以，
所以當，即時，，所以，
故選：D．
2．（23-24高二上·福建南平·階段練習）已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用導數與函數的關系將問題轉化為恒成立問題，從而得解.
【詳解】因為，所以，
因為在區間上單調遞減，
所以，即，則在上恒成立，
因為在上單調遞減，所以，故.
故選：A.
3．（23-24高二上·山西長治·期末）若函數（且）在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】函數求導后，在區間上單調遞增，轉化為在區間上恒成立，然后利用函數單調性求最值即得.
【詳解】由函數（且）在區間上單調遞增，
得在區間上恒成立，
又在區間上恒正，只需滿足在區間上恒成立即可，
令，
若，則，則一次函數在區間上單調遞減，不可能恒正；
若，則，則一次函數在區間單調遞增，
所以只需，即，解得，
故答案為：.
備注：解不等式時容易忽視定義域
1．（2024·陜西西安·二模）已知函數.若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用導數判斷出函數在定義域上單調遞增，根據已知轉化出，再解出結果.
【詳解】因為，，
所以，
所以是上的增函數，所以若
則，解得.
故選：D
2．（2024·貴州貴陽·一模）已知是定義在上的偶函數，且也是偶函數，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先根據函數是定義在上的偶函數，，再由函數也是偶函數，變形求得函數的解析式，并求得函數的單調區間，即可求解不等式.
【詳解】因為函數是定義在上的偶函數，，所以，則，
又因為函數也是偶函數，所以，得，
因為為減函數，為增函數，所以為減函數，
令，得，
所以時，，在上單調遞減，
根據偶函數的性質可知，函數在上單調遞增，
所以，即，即，得或，
所以不等式的解集為.
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據，得到，從而求得函數的解析式.
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