資源簡介

第02講 常用邏輯用語
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 3
高頻考點一：充分條件與必要條件的判斷 3
高頻考點二：充分條件與必要條件的應用 4
高頻考點三：充分條件與必要條件（“是”，“的”）結構對比 5
高頻考點四：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷 5
高頻考點五：含有一個量詞的命題的否定 6
高頻考點六：根據全稱（特稱）命題的真假求參數 7
第四部分：典型易錯題型 8
注意：“的”字結構倒裝 8
注意：最高項系數含參數，容易忽略系數為0 8
注意：給定的區間是非區間，不能用判別法 8
注意：給定的區間是區間，可用判別法 8
第五部分：新定義題（解答題） 8
第一部分：基礎知識
1、充分條件、必要條件與充要條件的概念
（1）若，則是的充分條件，是的必要條件；
（2）若且，則是的充分不必要條件；
（3）若且，則是的必要不充分條件；
（4） 若，則是的充要條件；
（5）若且，則是的既不充分也不必要條件.
拓展延伸一：等價轉化法判斷充分條件、必要條件
（1）是的充分不必要條件是的充分不必要條件；
（2）是的必要不充分條件是的必要不充分條件；
（3）是的充要條件是的充要條件；
（4）是的既不充分也不必要條件是的既不充分也不必要條件.
拓展延伸二：集合判斷法判斷充分條件、必要條件
若以集合的形式出現，以集合的形式出現，即：，：，則
（1）若，則是的充分條件；
（2）若，則是的必要條件；
（3）若，則是的充分不必要條件；
（4）若，則是的必要不充分條件；
（5）若，則是的充要條件；
（6）若且，則是的既不充分也不必要條件.
拓展延伸三：充分性必要性高考高頻考點結構
（1）是的充分不必要條件且（注意標志性詞：“是”，此時與正常順序）
（2）的充分不必要條件是且（注意標志性詞：“的”，此時與倒裝順序）
2、全稱量詞與存在量詞
（1）全稱量詞
短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.
（2）存在量詞
短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.
（3）全稱量詞命題及其否定（高頻考點）
①全稱量詞命題：對中的任意一個，有成立；數學語言：.
②全稱量詞命題的否定：.
（4）存在量詞命題及其否定（高頻考點）
①存在量詞命題：存在中的元素，有成立；數學語言：.
②存在量詞命題的否定：.
（5）常用的正面敘述詞語和它的否定詞語
正面詞語 等于（） 大于（） 小于（） 是
否定詞語 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是
正面詞語 都是 任意的 所有的 至多一個 至少一個
否定詞語 不都是 某個 某些 至少兩個 一個也沒有
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·天津·統考高考真題）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
2．（2023·北京·統考高考真題）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：充分條件與必要條件的判斷
典型例題
例題1．（2024上·河北承德·高一統考期末）若，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
例題2．（2024下·云南昆明·高二統考開學考試）若集合，集合，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
例題3．（2024上·江蘇連云港·高一統考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
練透核心考點
1．（2024上·貴州畢節·高一統考期末）設，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024上·浙江寧波·高一余姚中學校聯考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2024上·上海·高一上海市大同中學校考期末）已知為非零實數，則“”是“”成立的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件
高頻考點二：充分條件與必要條件的應用
典型例題
例題1．（2024下·上海·高一開學考試）已知，，若是的必要不充分條件，則實數的取值范圍是 ．
例題2．（2024·全國·高一專題練習）給出如下三個條件：①充要②充分不必要③必要不充分.請從中選擇補充到下面橫線上.
已知集合，，存在實數使得“”是“”的 條件.
例題3．（2023上·山西晉中·高一統考期末）已知不等式的解集為.
(1)求不等式的解集；
(2)設非空集合，若是的充分不必要條件，求的取值范圍.
練透核心考點
1．（2024·全國·高一假期作業）已知集合，若“”是“”的必要條件，則實數的取值范圍是 ．
2．（2023上·江蘇蘇州·高一校考階段練習）設命題：實數滿足，其中；命題：實數x滿足，若是的充分不必要條件，則實數a的取值范圍為 ．
3．（2023上·河南鄭州·高一校考階段練習）已知命題，滿足，不等式恒成立，命題，則是的 條件.
高頻考點三：充分條件與必要條件（“是”，“的”）結構對比
典型例題
例題1．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學校聯考開學考試）下列選項中是“，”成立的一個必要不充分條件的是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2023上·貴州黔南·高一貴州省甕安中學校考階段練習）已知條件，條件，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
例題3．（2024上·安徽安慶·高一安慶一中校考期末）“關于的不等式對上恒成立”的一個必要不充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
練透核心考點
1．（2024·陜西西安·西安中學校考一模）已知，則下列選項中是“”的充分不必要條件的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·山東濟寧·高一統考期末）“”是“”的（ ）
B．，都有
C．，使得
D．，都有
高頻考點五：含有一個量詞的命題的否定
典型例題
例題1．（2024上·山東濰坊·高一統考期末）設，命題“存在，使有實根”的否定是（ ）
A．任意，使無實根 B．任意，使有實根
C．存在，使無實根 D．存在，使有實根
例題2．（2024·全國·高一專題練習）已知命題，，則命題的真假以及否定分別為（ ）
A．真，， B．假，，
C．真，， D．假，，
練透核心考點
1．（2024上·廣東佛山·高一統考期末）命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全國·高一專題練習）若命題P：，則為（ ）
A． B．
C． D．
高頻考點六：根據全稱（特稱）命題的真假求參數
典型例題
例題1．（2024上·陜西渭南·高一校考期末）已知命題：“，”為假命題，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024上·陜西寶雞·高一寶雞市石油中學校考階段練習），．若此命題是假命題，則實數a的取值集合是 ．
練透核心考點
1．（2024上·廣東深圳·高一統考期末）已知命題“”是真命題，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·安徽·高一校聯考期末）已知“，”為真命題，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
第四部分：典型易錯題型
注意：“的”字結構倒裝
1．（2023·江蘇·高一專題練習）線段在x軸下方的一個充分條件但不是必要條件是 .
注意：最高項系數含參數，容易忽略系數為0
2．（2023上·遼寧大連·高一大連八中校考階段練習）“”是“關于的不等式，對任意的恒成立”的 條件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
注意：給定的區間是非區間，不能用判別法
3．（2023上·云南曲靖·高一校考期中）若“，”為真命題，則實數a的取值范圍為 .
注意：給定的區間是區間，可用判別法
4．（2023上·陜西渭南·高一統考期中）已知命題：“，”是假命題，則實數a的取值范圍是 .
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024·全國·高三專題練習）設函數的定義域為，且區間，對任意且，記，.若，則稱在上具有性質；若，則稱在上具有性質；若，則稱在上具有性質；若，則稱在上具有性質.
(1)記：①充分而不必要條件；
②必要而不充分條件；
③充要條件；
④既不充分也不必要條件
則在上具有性質是在上單調遞增的_____（填正確選項的序號）；
在上具有性質是在上單調遞增的_____（填正確選項的序號）；
在上具有性質是在上單調遞增的_____（填正確選項的序號）；
(2)若在滿足性質，求實數的取值范圍；
(3)若函數在區間上恰滿足性質 性質 性質 性質中的一個，直接寫出實數的最小值.
2．（2024·全國·高一假期作業）對于有限個自然數組成的集合，定義集合，記集合的元素個數為.定義變換，變換將集合變換為集合.
（1）若，求；
（2）若集合，證明：的充要條件是.21世紀教育網(www.21cnjy.com)
第02講 常用邏輯用語
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 4
高頻考點一：充分條件與必要條件的判斷 4
高頻考點二：充分條件與必要條件的應用 7
高頻考點三：充分條件與必要條件（“是”，“的”）結構對比 9
高頻考點四：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷 12
高頻考點五：含有一個量詞的命題的否定 15
高頻考點六：根據全稱（特稱）命題的真假求參數 16
第四部分：典型易錯題型 17
注意：“的”字結構倒裝 17
注意：最高項系數含參數，容易忽略系數為0 18
注意：給定的區間是非區間，不能用判別法 18
注意：給定的區間是區間，可用判別法 19
第五部分：新定義題（解答題） 19
第一部分：基礎知識
1、充分條件、必要條件與充要條件的概念
（1）若，則是的充分條件，是的必要條件；
（2）若且，則是的充分不必要條件；
（3）若且，則是的必要不充分條件；
（4） 若，則是的充要條件；
（5）若且，則是的既不充分也不必要條件.
拓展延伸一：等價轉化法判斷充分條件、必要條件
（1）是的充分不必要條件是的充分不必要條件；
（2）是的必要不充分條件是的必要不充分條件；
（3）是的充要條件是的充要條件；
（4）是的既不充分也不必要條件是的既不充分也不必要條件.
拓展延伸二：集合判斷法判斷充分條件、必要條件
若以集合的形式出現，以集合的形式出現，即：，：，則
（1）若，則是的充分條件；
（2）若，則是的必要條件；
（3）若，則是的充分不必要條件；
（4）若，則是的必要不充分條件；
（5）若，則是的充要條件；
（6）若且，則是的既不充分也不必要條件.
拓展延伸三：充分性必要性高考高頻考點結構
（1）是的充分不必要條件且（注意標志性詞：“是”，此時與正常順序）
（2）的充分不必要條件是且（注意標志性詞：“的”，此時與倒裝順序）
2、全稱量詞與存在量詞
（1）全稱量詞
短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.
（2）存在量詞
短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.
（3）全稱量詞命題及其否定（高頻考點）
①全稱量詞命題：對中的任意一個，有成立；數學語言：.
②全稱量詞命題的否定：.
（4）存在量詞命題及其否定（高頻考點）
①存在量詞命題：存在中的元素，有成立；數學語言：.
②存在量詞命題的否定：.
（5）常用的正面敘述詞語和它的否定詞語
正面詞語 等于（） 大于（） 小于（） 是
否定詞語 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是
正面詞語 都是 任意的 所有的 至多一個 至少一個
否定詞語 不都是 某個 某些 至少兩個 一個也沒有
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·天津·統考高考真題）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】B
【分析】根據充分、必要性定義判斷條件的推出關系，即可得答案.
【詳解】由，則，當時不成立，充分性不成立；
由，則，即，顯然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分條件.
故選：B
2．（2023·北京·統考高考真題）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】解法一：由化簡得到即可判斷；解法二：證明充分性可由得到，代入化簡即可，證明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入即可，證明必要性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【詳解】解法一：
因為，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要條件.
解法二：
充分性：因為，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因為，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
解法三：
充分性：因為，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因為，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
故選：C
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：充分條件與必要條件的判斷
典型例題
例題1．（2024上·河北承德·高一統考期末）若，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】結合三角函數的誘導公式，判斷“”和“”之間的邏輯推理關系，即可得答案.
【詳解】當時，，
即成立；
又因為，
所以或，
結合，解得或或，
即成立，推不出，
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：B
例題2．（2024下·云南昆明·高二統考開學考試）若集合，集合，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據指數、對數不等式的解法分別解出集合、，結合集合的包含關系判斷即可．
【詳解】集合，
集合，
則B是A的真子集，
所以“”是“”的必要不充分條件，
故選：B．
例題3．（2024上·江蘇連云港·高一統考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】D
【分析】舉出反例，得到充分性和必要性均不成立，得到答案.
【詳解】設，此時滿足，但不滿足，充分性不成立，
設，此時滿足，但不滿足，必要性不成立，
故是的既不充分也不必要條件.
故選：D
練透核心考點
1．（2024上·貴州畢節·高一統考期末）設，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據題意，利用指數函數與對數函數的性質，求得不等式的解集，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由不等式，可得，解得，
又由不等式，即，可得，解得，
因為集合是集合的真子集，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：B.
2．（2024上·浙江寧波·高一余姚中學校聯考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】利用不等式的基本性質、特殊值法結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.
【詳解】當時，不妨取，，則，所以，“”“”，
另一方面，當時，由不等式的基本性質可得，
所以，“”“”，
因此，“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
3．（2024上·上海·高一上海市大同中學校考期末）已知為非零實數，則“”是“”成立的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件
【答案】D
【分析】舉反例結合充分必要條件的定義分析即可.
【詳解】顯然時不能推出，反之時也不能推出，
則“”是“”成立的既非充分又非必要條件.
故選：D
高頻考點二：充分條件與必要條件的應用
典型例題
例題1．（2024下·上海·高一開學考試）已知，，若是的必要不充分條件，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】問題轉化為：的解集是的解集的真子集，可解決此題．
【詳解】由解得，
由解得，
根據題意得：是的真子集，
（等號不同時成立），解得：．
故答案為：．
例題2．（2024·全國·高一專題練習）給出如下三個條件：①充要②充分不必要③必要不充分.請從中選擇補充到下面橫線上.
已知集合，，存在實數使得“”是“”的 條件.
【答案】②，③
【分析】分別根據充要條件及充分不必要條件，必要不充分條件計算求解即可.
【詳解】①“”是“”的充要條件，則，，此方程無解，故不存在實數，則不符合題意；
②“”是“”的充分不必要條件時，，，；解得，符合題意；
③“”是“”的必要不充分條件時，當，，得；
當，需滿足，，，解集為；
綜上所述，實數的取值范圍.
故答案為：②，③.
例題3．（2023上·山西晉中·高一統考期末）已知不等式的解集為.
(1)求不等式的解集；
(2)設非空集合，若是的充分不必要條件，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根據不等式的解集求出，再根據一元二次不等式的解法即可得解；
（2）由是的充分不必要條件，可得是的真子集，列不等式組求解即可.
【詳解】（1）因為不等式的解集為，
所以方程的解為，
所以，，得，，
則不等式即，
解得，故解集；
（2）由（1）知，，而是的充分不必要條件，
則是的真子集，
所以，解得，
綜上所述，的取值范圍是.
練透核心考點
1．（2024·全國·高一假期作業）已知集合，若“”是“”的必要條件，則實數的取值范圍是 ．
【答案】或
【分析】根據不等式求得集合，再利用“”是“”的必要條件，得，即可求得實數的取值范圍.
【詳解】解：，，即，解得或
或
“”是“”的必要條件，，且恒成立
則或，解得或．
故答案為：或
2．（2023上·江蘇蘇州·高一校考階段練習）設命題：實數滿足，其中；命題：實數x滿足，若是的充分不必要條件，則實數a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】先解不等式，根據充分、必要條件的知識列不等式，再求出的取值范圍.
【詳解】對于命題，，
因為，所以.
對于命題，，由，解得.
因為是的充分不必要條件，
所以是的必要不充分條件，所以 ，
所以，解得，
所以的取值范圍是.
故答案為：
3．（2023上·河南鄭州·高一校考階段練習）已知命題，滿足，不等式恒成立，命題，則是的 條件.
【答案】充分不必要
【分析】將不等式恒成立問題轉化為最值問題，然后利用基本不等式求最值即可.
【詳解】不等式恒成立，即，
且滿足，
，
當且僅當即時，等號成立.
所以，解得，
故命題，命題，
所以是的充分不必要條件.
故答案為：充分不必要
高頻考點三：充分條件與必要條件（“是”，“的”）結構對比
典型例題
例題1．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學校聯考開學考試）下列選項中是“，”成立的一個必要不充分條件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】變形得到，根據函數單調性得到，故，由于是的真子集，故A正確，其他選項不合要求.
【詳解】，，
即，，
∴，其中在上單調遞減，
在上單調遞增，
其中時，，當時，，
故，即，
由于是的真子集，故“”的必要不充分條件為“”，
其他選項均不合要求.
故選：A
例題2．（2023上·貴州黔南·高一貴州省甕安中學校考階段練習）已知條件，條件，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】解一元二次不等式結合充分不必要條件的定義即可得解.
【詳解】由題意條件，條件或，所以是的充分不必要條件.
故選：A.
例題3．（2024上·安徽安慶·高一安慶一中校考期末）“關于的不等式對上恒成立”的一個必要不充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分、兩種情況討論，在時，直接驗證即可；在時，根據題意可得出關于實數的不等式組，綜合可得出實數的取值范圍，再根據必要不充分條件求解.
【詳解】當時，則有，解得，不合題意；
當時，則，解得.
綜上所述，關于的不等式對上恒成立”的充要條件為，
所以一個必要不充分條件是.
故選：A.
練透核心考點
1．（2024·陜西西安·西安中學校考一模）已知，則下列選項中是“”的充分不必要條件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據不等式性質及指數函數的單調性，結合充分條件，必要條件的定義逐項判斷即可.
【詳解】對于A，當，滿足，但不成立，
當時，滿足，但不成立，故A錯誤；
對于B，當時，，但，故B正確；
對于C，時，，但不成立，
時，，但不成立，故C錯誤；
對于D，因為指數函數在上單調遞增，故，故D錯誤.
故選：B
2．（2024上·山東濟寧·高一統考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【分析】根據對數函數性質結合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】若，可得，即，即充分性成立；
若，例如，則，不成立，即必要性不成立；
綜上所述：“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
3．（2023上·廣東·高一校聯考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】解不等式，然后根據充分條件必要條件的概念得到答案.
【詳解】因為，所以，因為，所以.
故“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
高頻考點四：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷
典型例題
例題1．（多選）（2023上·湖北孝感·高一湖北省孝感市第一高級中學校聯考期中）設表示不超過x的最大整數，如：，，又稱為取整函數，以下關于“取整函數”的描述，正確的是（ ）
A．是奇函數
B．，，若，則
C．，
D．不等式的解集為
【答案】BCD
【分析】由“取整函數”的定義逐個選項分析即可.
【詳解】A．取和0.5，函數值分別為和0，故A不正確；
B．設，則，，，，
則，因此，故B正確；
C．設（，），
當時，，，
此時，
當時，，，
此時，
綜合可得，C正確；
D．不等式，可得：，或，
∴，或，因此不等式的解集為，故D正確．
故選：BCD．
例題2．（多選）（2023上·江西九江·高一九江一中校考期中）下列命題中，真命題的是（ ）
A．，都有
B．，使得
C．任意非零實數、，都有
D．若正實數、滿足，則
【答案】BD
【分析】取可判斷A選項；解方程，可判斷B選項；取，，可判斷C選項；利用基本不等式可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，當時，，A錯；
對于B選項，由可得，解得，B對；
對于C選項，不妨取，，則，C錯；
對于D選項，若正實數、滿足，
則，
當且僅當時，即當時，等號成立，故，D對.
故選：BD.
練透核心考點
1．（多選）（2023上·浙江杭州·高一校聯考階段練習）下列命題是真命題的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根據基本不等式，求得的取值范圍，可判定A不正確；根據當時，得到，可判定B正確；結合配方法，可判定C正確；結合對數函數的性質，可判定D不正確.
【詳解】對于A中，當時，則，當且僅當時，等號成立；
當時，則，當且僅當時，等號成立，
所以的取值范圍為，所以A不正確；
對于B中，當時，可得，所以命題為真命題，所以B正確；
對于C中，由，所以命題為真命題，所以C正確；
對于D中，當時，，所以命題為假命題，所以D不正確.
故選：BC.
2．（多選）（2023上·廣東廣州·高一廣州市第二中學校考期中）已知函數，則下列命題正確的是（ ）
A．，使得
B．，都有
C．，使得
D．，都有
【答案】BCD
【分析】利用代入法，結合一元二次方程根的判別式、比較法逐一判斷即可.
【詳解】A：，該方程的判別式，
所以該方程無實數根，因此本選項命題不正確；
B：二次函數的對稱軸為，
所以有，因此本選項命題正確；
C：，顯然當時，不等式成立，所以本選項命題正確；
D：，所以本選項正確，
故選：BCD
高頻考點五：含有一個量詞的命題的否定
典型例題
例題1．（2024上·山東濰坊·高一統考期末）設，命題“存在，使有實根”的否定是（ ）
A．任意，使無實根 B．任意，使有實根
C．存在，使無實根 D．存在，使有實根
【答案】A
【分析】根據含有一個量詞的命題的否定，即可得答案.
【詳解】由題意知命題“存在，使有實根”為存在量詞命題，
其否定為：任意，使無實根，
故選：A
例題2．（2024·全國·高一專題練習）已知命題，，則命題的真假以及否定分別為（ ）
A．真，， B．假，，
C．真，， D．假，，
【答案】C
【分析】利用基本不等式可推理得到命題為真，再否定量詞和結論，即得命題的否定.
【詳解】因為，當且僅當，即時等號成立，故命題為真．
又，.
故選:C．
練透核心考點
1．（2024上·廣東佛山·高一統考期末）命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據含有一個量詞的命題的否定，即可得答案.
【詳解】命題“”為全稱量詞命題，
它的否定是，
故選：C
2．（2024·全國·高一專題練習）若命題P：，則為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由特陳命題的否定是全稱命題即可得出答案.
【詳解】特稱命題“，”的否定.
故選：D.
高頻考點六：根據全稱（特稱）命題的真假求參數
典型例題
例題1．（2024上·陜西渭南·高一校考期末）已知命題：“，”為假命題，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據命題是假命題列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】由于命題：“，”為假命題，
所以，
解得.
故選：D
例題2．（2024上·陜西寶雞·高一寶雞市石油中學校考階段練習），．若此命題是假命題，則實數a的取值集合是 ．
【答案】
【分析】先得到，為真命題，分和兩種情況，結合根的判別式得到不等式，求出答案.
【詳解】由題意得，為真命題，
當時，恒成立，滿足要求，
當時，，解得，
綜上，實數a的取值集合為.
故答案為：
練透核心考點
1．（2024上·廣東深圳·高一統考期末）已知命題“”是真命題，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意可得，即可得解.
【詳解】因為命題“”是真命題，
所以，解得，
所以實數a的取值范圍是.
故選：D.
2．（2024上·安徽·高一校聯考期末）已知“，”為真命題，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據給定條件，分離參數，借助二次函數求出最小值即得.
【詳解】“，”為真命題，則“，”為真命題，
而，當且僅當時取等號，則，
所以實數a的取值范圍為.
故選：A
第四部分：典型易錯題型
注意：“的”字結構倒裝
1．（2023·江蘇·高一專題練習）線段在x軸下方的一個充分條件但不是必要條件是 .
【答案】(答案不唯一)
【分析】結合一次函數性質知,再結合充分不必要條件定義解題即可.
【詳解】結合一次函數圖象知，要使線段在x軸下方，需,．
就是一個使命題成立的充分條件但不是必要條件．
故答案為: .
注意：最高項系數含參數，容易忽略系數為0
2．（2023上·遼寧大連·高一大連八中校考階段練習）“”是“關于的不等式，對任意的恒成立”的 條件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要.
【分析】根據不等式對任意的恒成立，求得實數的取值范圍，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由不等式對任意的恒成立，
當時，不等式可化為，顯然恒成立；
當時，則滿足，解得，
綜上可得，實數的取值范圍為，
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024·全國·高三專題練習）設函數的定義域為，且區間，對任意且，記，.若，則稱在上具有性質；若，則稱在上具有性質；若，則稱在上具有性質；若，則稱在上具有性質.
(1)記：①充分而不必要條件；
②必要而不充分條件；
③充要條件；
④既不充分也不必要條件
則在上具有性質是在上單調遞增的_____（填正確選項的序號）；
在上具有性質是在上單調遞增的_____（填正確選項的序號）；
在上具有性質是在上單調遞增的_____（填正確選項的序號）；
(2)若在滿足性質，求實數的取值范圍；
(3)若函數在區間上恰滿足性質 性質 性質 性質中的一個，直接寫出實數的最小值.
【答案】(1)②；①；③
(2)
(3)1
【分析】（1）結合函數的單調性、充分、必要條件的知識確定正確答案.
（2）根據性質，利用分離常數法，結合不等式的性質求得的取值范圍.
（3）將問題轉化為恒成立，對的范圍進行分類討論，由此求得的最小值.
【詳解】（1）由于，所以.
對于性質，當時，無法判斷的符號，故無法判斷單調性；
當在上單調遞增時，，
所以在上具有性質是在上單調遞增的必要而不充分條件.
對于性質，當時，，所以在上單調遞增；
當在上單調遞增時，，的符號無法判斷，
所以在上具有性質是在上單調遞增的充分而不必要條件.
對于性質，若，則，所以在上單調遞增；
當在上單調遞增時，，，
所以在上具有性質是在上單調遞增的充要條件.
（2）對于任意的，且，
有，
由于在滿足性質，即，
所以，所以，
因為，所以，所以，
由于任意的，且，所以，
所以，
所以實數的取值范圍是.
（3）實數的最小值為1.
理由如下：
因為在上恰滿足性質 性質 性質 性質中的一個，
所以對任意且，若滿足性質A，，
若滿足性質，則，若滿足性質C、D，則，
性質B、C、D同時滿足，所以僅滿足性質A，此時，
有恒成立.
因為的定義域為，所以.
當時，，
所以，從而，不合題意；
當時，，
所以，從而，
要使恒成立，只需使，即恒成立，
若，則，使，這與矛盾，
當時，，恒成立，
所以的最小值為1.
【點睛】對于新定義問題的求解，關鍵點在于“轉化”，將新定義的問題，不熟悉的問題，轉化為學過的知識、熟悉的問題來進行求解.求解函數問題，首先要研究函數的定義域，這個步驟必不可少.
2．（2024·全國·高一假期作業）對于有限個自然數組成的集合，定義集合，記集合的元素個數為.定義變換，變換將集合變換為集合.
（1）若，求；
（2）若集合，證明：的充要條件是.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據題干中對集合和的定義，可以求出兩個集合
（2）證明充要條件要從兩方面證明，一是證明充分性，而是證明必要性，都成立則說明是充要條件
【詳解】解：（1）若集合, 則根據定義可得：.
（2）由.
充分性：設是公差為的等差數列,
則
且, 所以共有個不同的值, 即.
必要性：若,
因為,
所以中有個不同的元素：,
任意的值都與上述某一項相等.
又, 且.
所以, 所以是等差數列，且公差不為.
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