資源簡介

第01講 數列的概念與簡單表示法
目錄
第一部分：基礎知識 2
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 3
高頻考點一：利用與的關系求通項公式(角度1：利用替換) 3
高頻考點二：利用與的關系求通項公式(角度2：利用替換) 4
高頻考點三：角利用與的關系求通項公式(角度3：作差法求通項) 5
高頻考點四：利用遞推關系求通項公式（角度1：累加法） 6
高頻考點五：利用遞推關系求通項公式（角度2：累乘法） 8
高頻考點六：利用遞推關系求通項公式（角度3：構造法） 9
高頻考點七：利用遞推關系求通項公式（角度4：倒數法） 10
高頻考點八：數列的性質及其應用（角度1：數列的周期性） 12
高頻考點九：數列的性質及其應用（角度2：數列的單調性） 12
第四部分：新定義題 13
第一部分：基礎知識
1、數列的有關概念
概念 含義
數列 按照一定順序排列的一列數
數列的項 數列中的每一個數
數列的通項 數列的第項
通項公式 如果數列的第項與序號之間的關系能用公式表示，這個公式叫做數列的通項公式
前n項和 數列中，叫做數列的前項和
2、數列的表示方法
（1）列表法
列出表格來表示序號與項的關系．
（2）圖象法
數列的圖象是一系列孤立的點．
（3）公式法
①通項公式法：把數列的通項用公式表示的方法，如．
②遞推公式法：使用初始值和或，和來表示數列的方法．
3、與的關系
若數列的前項和為，則．
4、數列的分類
分類標準 類型 滿足條件
項數 有窮數列 項數有限
無窮數列 項數無限
項與項間的大小關系 遞增數列 其中
遞減數列
常數列
第二部分：高考真題回顧
1．（2024·全國·高考真題（甲卷文））已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和.
2．（2024·全國·高考真題（甲卷理））記為數列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：利用與的關系求通項公式(角度1：利用替換)
典型例題
例題1．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）設各項均為正數的數列的前項和為，且滿足，，則數列的通項公式是 ．
例題2．（24-25高二上·上海·課后作業）已知數列的前n項和為，且，則數列通項公式 ．
練透核心考點
1．（23-24高一下·上海·期末）已知數列的前項和，則它的通項公式 ．
2．（23-24高二下·黑龍江雙鴨山·階段練習）已知數列的前n項和為.
(1)求，；
(2)求數列的通項公式.
高頻考點二：利用與的關系求通項公式(角度2：利用替換)
典型例題
例題1．（23-24高二下·江蘇南京·開學考試）設是數列的前項和，且.若對滿足，數列的前項和為 ．
例題2．（23-24高二上·山東青島·期末）已知正項數列的首項，前項和滿足．
(1)求數列的通項公式；
練透核心考點
1．（23-24高二下·四川南充·階段練習）已知數列滿足，
(1)求數列的通項公式;
2．（23-24高二上·甘肅蘭州·期末）已知各項均為正數的數列前項和為，且，.
(1)求數列的通項公式；
高頻考點三：角利用與的關系求通項公式(角度3：作差法求通項)
方法總結：已知等式中左側含有：，作差法（類似）（注意記憶該模型）
典型例題
例題1．（23-24高二下·江西撫州·階段練習）數列滿足，則 .
例題2．（23-24高二下·遼寧·期中）已知正項等差數列，為數列的前項和，且滿足，，設數列滿足.
(1)分別求數列和的通項公式；
練透核心考點
1．（23-24高二下·遼寧·期中）已知數列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三下·全國·專題練習）數列滿足，則 ．
高頻考點四：利用遞推關系求通項公式（角度1：累加法）
累加法（疊加法）(記憶累積法模型)
若數列滿足，則稱數列為“變差數列”，求變差數列的通項時，利用恒等式求通項公式的方法稱為累加法。
具體步驟：
將上述個式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：
=
整理得：=
典型例題
例題1．（24-25高三上·遼寧沈陽·開學考試）若數列滿足，數列的前n項和為，則
例題2．（23-24高二下·廣東深圳·期末）設數列 滿足 .
(1)求數列 的通項公式;
練透核心考點
1．（2024·四川·模擬預測）數列滿足，且，則等于（ ）
A．148 B．149 C．152 D．299
2．（23-24高二下·河南南陽·期末）已知數列滿足，當時，.
(1)求的通項公式；
高頻考點五：利用遞推關系求通項公式（角度2：累乘法）
累乘法（疊乘法）（記憶累乘法模型）
若數列滿足，則稱數列為“變比數列”，求變比數列的通項時，利用求通項公式的方法稱為累乘法。
具體步驟：
將上述個式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：
整理得：
典型例題
例題1．（23-24高二下·四川達州·期中）在數列中，若，且對任意有，則數列的前30項和為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024高三·全國·專題練習）記為數列的前項和，，.
(1)求的通項公式；
練透核心考點
1．（2024高三下·全國·專題練習）在數列中，，前項和，則數列的通項公式為 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·廣東佛山·期中）已知數列滿足.
(1)求的通項公式.
高頻考點六：利用遞推關系求通項公式（角度3：構造法）
用“待定系數法”構造等比數列
形如（為常數，）的數列，可用“待定系數法”將原等式變形為（其中：），由此構造出新的等比數列，先求出的通項，從而求出數列的通項公式.
標準模型：（為常數，）或（為常數，）
典型例題
例題1．（23-24高二下·江西南昌·階段練習）已知數列的遞推公式為且，則數列的前n項和=
例題2．（23-24高二下·四川南充·期中）已知數列的首項為，且滿足，則 ．
例題3．（2024高三·全國·專題練習）已知數列滿足，且，.求數列的通項公式；
練透核心考點
1．（23-24高二下·河南·階段練習）已知數列滿足，.
(1)證明：數列為等比數列；
2．（2024高三下·四川成都·專題練習）已知數列的前項和為，且滿足．
(1)求證：數列為等比數列；
高頻考點七：利用遞推關系求通項公式（角度4：倒數法）
用“倒數變換法”構造等差數列
類型1：形如（為常數，）的數列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構造出新的等差數列，先求出的通項，即可求得.
類型2：形如（為常數，，，）的數列，通過兩邊取“倒”，變形為，可通過換元：，化簡為：（此類型符構造法類型1： 用“待定系數法”構造等比數列：形如（為常數，）的數列，可用“待定系數法”將原
例題1．（23-24高二上·云南昆明·階段練習）數列中，，則的值為（ ）
A． B． C．5 D．
例題2．（23-24高二下·河南信陽·期末）意大利數學家斐波那契提出了一個著名的兔子問題，得到了斐波那契數列.數列滿足，.現從數列的前2023項中隨機抽取1項，能被3除余1的概率是（ ）
A． B． C． D．
練透核心考點
1．（23-24高二下·四川成都·期中）已知數列滿足，（），則（ ）
A．2 B． C． D．2023
2．（23-24高二下·河南焦作·期中）記數列的前項和為，前項積為，若且，則 .
高頻考點九：數列的性質及其應用（角度2：數列的單調性）
方法總結：求數列最值的常用方法
(1)利用數列的單調性:根據單調性求數列的最值.
(2)通過建立不等式組求解:若設第()項最大,則有解該不等式組確定的值即得數列的最大值（注意）.
(3)通過建立不等式組求解:若設第()項最大,則有解該不等式組確定的值即得數列的最小值（注意）.
典型例題
例題1．（24-25高三上·廣東汕頭·開學考試）已知數列，則數列的前100項中的最小項和最大項分別是（ ）
A．， B．， C．， D．，
例題2．（23-24高二下·北京房山·期末）設無窮數列的通項公式為.若是單調遞減數列，則的一個取值為 .
練透核心考點
1．（23-24高一下·天津）已知，則數列的最大項（ ）
A． B． C．或 D．不存在
2．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習）已知數列滿足：，且數列是遞增數列，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
第四部分：新定義題
1．（多選）（山東省青島市2024-2025學年高三上學期期初調研檢測數學試題）設數列和的項數均為，稱為數列和的距離．記滿足的所有數列構成的集合為．已知數列和為中的兩個元素，項數均為，下列正確的有（ ）
A．數列和數列的距離為
B．若，則
C．若，則
D．若，，數列和的距離小于，則的最大值為
2．（24-25高三上·山東菏澤·開學考試）已知數集具有性質：對任意的與兩數中至少有一個屬于.
(1)分別判斷數集與是否具有性質，并說明理由；
(2)（i）證明：且；
（ii）當時，若，寫出集合.
3．（2024·海南·模擬預測）定義：已知數列為有窮數列，①對任意（），總存在，使得，則稱數列為“乘法封閉數列”；②對任意（），總存在 ，使得，則稱數列為“除法封閉數列”，
(1)若，判斷數列是否為“乘法封閉數列”.
(2)已知遞增數列，為“除法封閉數列"，求和 .
(3)已知數列是以1為首項的遞增數列，共有項，，且為“除法封閉數列”，探究：數列是否為等比數列，若是，請給出說明過程；若不是，請寫出一個滿足條件的數列的通項公式.21世紀教育網(www.21cnjy.com)
第01講 數列的概念與簡單表示法
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 4
高頻考點一：利用與的關系求通項公式(角度1：利用替換) 4
高頻考點二：利用與的關系求通項公式(角度2：利用替換) 6
高頻考點三：角利用與的關系求通項公式(角度3：作差法求通項) 8
高頻考點四：利用遞推關系求通項公式（角度1：累加法） 11
高頻考點五：利用遞推關系求通項公式（角度2：累乘法） 13
高頻考點六：利用遞推關系求通項公式（角度3：構造法） 16
高頻考點七：利用遞推關系求通項公式（角度4：倒數法） 18
高頻考點八：數列的性質及其應用（角度1：數列的周期性） 20
高頻考點九：數列的性質及其應用（角度2：數列的單調性） 22
第四部分：新定義題 24
第一部分：基礎知識
1、數列的有關概念
概念 含義
數列 按照一定順序排列的一列數
數列的項 數列中的每一個數
數列的通項 數列的第項
通項公式 如果數列的第項與序號之間的關系能用公式表示，這個公式叫做數列的通項公式
前n項和 數列中，叫做數列的前項和
2、數列的表示方法
（1）列表法
列出表格來表示序號與項的關系．
（2）圖象法
數列的圖象是一系列孤立的點．
（3）公式法
①通項公式法：把數列的通項用公式表示的方法，如．
②遞推公式法：使用初始值和或，和來表示數列的方法．
3、與的關系
若數列的前項和為，則．
4、數列的分類
分類標準 類型 滿足條件
項數 有窮數列 項數有限
無窮數列 項數無限
項與項間的大小關系 遞增數列 其中
遞減數列
常數列
第二部分：高考真題回顧
1．（2024·全國·高考真題（甲卷文））已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和.
【答案】(1)
(2)
【知識點】寫出等比數列的通項公式、等比數列通項公式的基本量計算、分組（并項）法求和、利用an與sn關系求通項或項
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項后可求通項；
（2）利用分組求和法即可求.
【詳解】（1）因為,故，
所以即故等比數列的公比為，
故，故，故.
（2）由等比數列求和公式得，
所以數列的前n項和
.
2．（2024·全國·高考真題（甲卷理））記為數列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【知識點】錯位相減法求和、利用an與sn關系求通項或項
【分析】（1）利用退位法可求的通項公式．
（2）利用錯位相減法可求.
【詳解】（1）當時，，解得．
當時，，所以即，
而，故，故，
∴數列是以4為首項，為公比的等比數列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：利用與的關系求通項公式(角度1：利用替換)
典型例題
例題1．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）設各項均為正數的數列的前項和為，且滿足，，則數列的通項公式是 ．
【答案】
【知識點】利用an與sn關系求通項或項
【分析】分解因式化簡條件式得，利用與的關系計算即可.
【詳解】由可得，
所以（舍），，
當時，，
當時，，
將代入，，
所以的通項公式是
故答案為：．
例題2．（24-25高二上·上海·課后作業）已知數列的前n項和為，且，則數列通項公式 ．
【答案】
【知識點】利用an與sn關系求通項或項
【分析】利用結合已知條件求解.
【詳解】當時，；
當時，，
因為不符合上式，
所以.
故答案為：
練透核心考點
1．（23-24高一下·上海·期末）已知數列的前項和，則它的通項公式 ．
【答案】．
【知識點】利用an與sn關系求通項或項
【分析】由與的關系，化簡可得所求通項公式．
【詳解】由，可得時，；
當時，．
此時，當
綜上，可得．
故答案為：．
2．（23-24高二下·黑龍江雙鴨山·階段練習）已知數列的前n項和為.
(1)求，；
(2)求數列的通項公式.
【答案】(1)，
(2).
【知識點】利用an與sn關系求通項或項
【分析】（1）賦值法求得，再根據求解即可；
（2）利用和關系求解通項公式即可.
【詳解】（1）令得，令得，所以.
（2）當時，，
當時，，
經檢驗滿足上式，所以.
高頻考點二：利用與的關系求通項公式(角度2：利用替換)
典型例題
例題1．（23-24高二下·江蘇南京·開學考試）設是數列的前項和，且.若對滿足，數列的前項和為 ．
【答案】
【知識點】利用定義求等差數列通項公式、利用an與sn關系求通項或項、裂項相消法求和
【分析】先根據關系化簡，再根據等差數列求出通項最后應用裂項相消求和即可.
【詳解】由題知，.
因為，所以,
兩邊同時除以得，，
所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列，
所以所以，
因為，
所以數列的前項和為
.
故答案為：
例題2．（23-24高二上·山東青島·期末）已知正項數列的首項，前項和滿足．
(1)求數列的通項公式；
【答案】(1)；
【知識點】錯位相減法求和、利用an與sn關系求通項或項、利用定義求等差數列通項公式、求等比數列前n項和
【分析】（1）根據給定條件，利用變形給定等式，利用等差數列通項公式求出，再求出數列的通項.
【詳解】（1）由，得，
則，而，因此是首項為1，公差為1的等差數列，
于是，即，當時，，滿足上式，
所以數列的通項公式.
練透核心考點
1．（23-24高二下·四川南充·階段練習）已知數列滿足，
(1)求數列的通項公式;
【答案】(1)
【知識點】基本不等式求和的最小值、利用an與sn關系求通項或項、裂項相消法求和
【分析】（1）通過與的關系，求出數列為等差數列，進而求數列的通項公式；
【詳解】（1）由題意可知，，
所以當時，，，
所以，
即，
故數列首項為，公差為1的等差數列，
所以，
即，
當時成立.
所以.
所以，
所以數列的通項公式為.
2．（23-24高二上·甘肅蘭州·期末）已知各項均為正數的數列前項和為，且，.
(1)求數列的通項公式；
【答案】(1)
【知識點】確定數列中的最大（小）項、利用an與sn關系求通項或項、裂項相消法求和
【分析】（1）根據條件得到，即數列構成以為首項，為公差的等差數列，從而得到，再利用與間的關系，即可求出結果；
【詳解】（1）因為，得到，又，
所以數列構成以為首項，為公差的等差數列，
故，得到，
當時，，所以，
又時，，即，也滿足，
所以.
高頻考點三：角利用與的關系求通項公式(角度3：作差法求通項)
方法總結：已知等式中左側含有：，作差法（類似）（注意記憶該模型）
典型例題
例題1．（23-24高二下·江西撫州·階段練習）數列滿足，則 .
【答案】
【知識點】利用an與sn關系求通項或項
【分析】當時求出，當時，作差即可得解.
【詳解】因為，
當時，
當時，
所以，
所以，
當時不成立，所以.
故答案為：
例題2．（23-24高二下·遼寧·期中）已知正項等差數列，為數列的前項和，且滿足，，設數列滿足.
(1)分別求數列和的通項公式；
【答案】(1)，
【知識點】利用an與sn關系求通項或項、等差數列通項公式的基本量計算、求等差數列前n項和、求等比數列前n項和
【分析】（1）利用等差數列基本量運算求得，再由的和式采用作差法求得并驗證即得通項；
【詳解】（1）設正項等差數列的公差為，
因為，，所以，解得：
所以.
數列滿足
設，
當時，有，即，
當時，有，得
符合，所以
練透核心考點
1．（23-24高二下·遼寧·期中）已知數列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】利用an與sn關系求通項或項
【分析】由數列遞推式考慮賦值作差，即可求出，需要檢測首項是否符合.
【詳解】由 ① 知，
當時，；
當時， ②，
由① ② ：，即得，
當時，符合題意，故.
故選：A.
2．（2024高三下·全國·專題練習）數列滿足，則 ．
【答案】
【知識點】由遞推關系式求通項公式、利用an與sn關系求通項或項
【分析】
令，得到，結合與的關系，求得，進而求得，得到答案.
【詳解】
令，的前項和為，
因為，可得，
當時， ；
當時，，
將代入上式可得，
綜上可得，即，所以.
故答案為：.
高頻考點四：利用遞推關系求通項公式（角度1：累加法）
累加法（疊加法）(記憶累積法模型)
若數列滿足，則稱數列為“變差數列”，求變差數列的通項時，利用恒等式求通項公式的方法稱為累加法。
具體步驟：
將上述個式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：
=
整理得：=
典型例題
例題1．（24-25高三上·遼寧沈陽·開學考試）若數列滿足，數列的前n項和為，則
【答案】/
【知識點】累加法求數列通項、裂項相消法求和
【分析】根據給定條件，利用累加法求出，再利用裂項相消法求和.
【詳解】當時，，
而滿足上式，因此，，
.
故答案為：
例題2．（23-24高二下·廣東深圳·期末）設數列 滿足 .
(1)求數列 的通項公式;
【答案】(1)
【知識點】累加法求數列通項、裂項相消法求和、求等差數列前n項和、分組（并項）法求和
【分析】（1）利用累加法求解數列通項公式，再根據分組求和進行化簡；
【詳解】（1）
可知
上式相加得
所以數列 的通項公式
練透核心考點
1．（2024·四川·模擬預測）數列滿足，且，則等于（ ）
A．148 B．149 C．152 D．299
【答案】B
【知識點】累加法求數列通項、根據數列遞推公式寫出數列的項
【分析】根據遞推公式求和偶數項之間的遞推關系，然后由累加法可得.
【詳解】由題意得，因為，，
所以，
所以．
故選：B．
2．（23-24高二下·河南南陽·期末）已知數列滿足，當時，.
(1)求的通項公式；
【答案】(1)
【知識點】累加法求數列通項、求等比數列前n項和、由遞推關系式求通項公式、數列不等式恒成立問題
【分析】（1）應用累加法求通項公式；
【詳解】（1）當時，
.
又，因此的通項公式為.
高頻考點五：利用遞推關系求通項公式（角度2：累乘法）
累乘法（疊乘法）（記憶累乘法模型）
若數列滿足，則稱數列為“變比數列”，求變比數列的通項時，利用求通項公式的方法稱為累乘法。
具體步驟：
將上述個式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：
整理得：
典型例題
例題1．（23-24高二下·四川達州·期中）在數列中，若，且對任意有，則數列的前30項和為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】錯位相減法求和、累乘法求數列通項
【分析】由累乘法求出，再由錯位相減法求出數列的前項和為，即可求出.
【詳解】因為任意有，
所以，，，……，，
上式累乘可得：，
因為，所以，
設數列的前項和為，
，
，
，
兩式相減可得：，
所以，
所以，
所以.
故選：D.
例題2．（2024高三·全國·專題練習）記為數列的前項和，，.
(1)求的通項公式；
【答案】(1)
【知識點】錯位相減法求和、利用an與sn關系求通項或項、累乘法求數列通項
【分析】（1）利用之間的關系，再結合累乘法計算化簡即可．
（2）表示出數列的前項和，利用錯位相減法計算化簡即可．
【詳解】（1）結合題意：因為①，
當時，②，
所以①-②得，即，
所以，
當時，上式也成立.
故的通項公式．
練透核心考點
1．（2024高三下·全國·專題練習）在數列中，，前項和，則數列的通項公式為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】累乘法求數列通項、利用an與sn關系求通項或項
【分析】根據數列遞推式，得，兩式相減，可得，利用累乘法，即可得到結論
【詳解】由于數列中，，前項和，
∴當時，，
兩式相減可得：
∴，
所以，
因此，
故選：A.
2．（23-24高二下·廣東佛山·期中）已知數列滿足.
(1)求的通項公式.
【答案】(1)
【知識點】錯位相減法求和、累乘法求數列通項、求等比數列前n項和
【分析】（1）根據題意利用累乘法可求得通項公式；
【詳解】（1）因為，
所以，，，……，，
所以，
所以，得；
高頻考點六：利用遞推關系求通項公式（角度3：構造法）
用“待定系數法”構造等比數列
形如（為常數，）的數列，可用“待定系數法”將原等式變形為（其中：），由此構造出新的等比數列，先求出的通項，從而求出數列的通項公式.
標準模型：（為常數，）或（為常數，）
典型例題
例題1．（23-24高二下·江西南昌·階段練習）已知數列的遞推公式為且，則數列的前n項和=
【答案】
【知識點】求等比數列前n項和、構造法求數列通項、由遞推關系證明等比數列
【分析】由題意可得是首項為，公比為的等比數列，即可求出，再由分組求和法求解即可.
【詳解】當時，，
則，所以是首項為，公比為的等比數列，
所以，所以，
數列的前n項和.
故答案為：
例題2．（23-24高二下·四川南充·期中）已知數列的首項為，且滿足，則 ．
【答案】
【知識點】構造法求數列通項、由遞推關系式求通項公式、寫出等比數列的通項公式
【分析】借助所給條件可構造，即可得數列為等比數列，即可得.
【詳解】由，即，
則，又，
故數列是以為公比、為首項的等比數列，
即，則.
故答案為：.
例題3．（2024高三·全國·專題練習）已知數列滿足，且，.求數列的通項公式；
【答案】
【知識點】由遞推關系式求通項公式、寫出等比數列的通項公式、構造法求數列通項
【分析】構造法得到新數列為等比數列，求出通項公式，再得到原數列通項公式.
【詳解】因為，所以，
又因為，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以，，①
又因為，所以，數列為常數列，
故，②
②①可得，所以，，
所以，對任意的，.
練透核心考點
1．（23-24高二下·河南·階段練習）已知數列滿足，.
(1)證明：數列為等比數列；
【答案】(1)證明見解析
【知識點】由遞推關系證明等比數列、構造法求數列通項、等差數列通項公式的基本量計算、寫出等比數列的通項公式
【分析】（1）分析可得，結合等比數列的定義分析證明；
【詳解】（1）因為，則，
且，可得，
所以是以3為首項，3為公比的等比數列；
2．（2024高三下·四川成都·專題練習）已知數列的前項和為，且滿足．
(1)求證：數列為等比數列；
【答案】(1)證明見解析
【知識點】由遞推關系證明等比數列、錯位相減法求和、利用an與sn關系求通項或項、構造法求數列通項
【分析】（1）由與的關系，結合等比數列的定義和通項公式，可得所求；
【詳解】（1）當時，，解得，
當時，由，可得,
兩式相減得，所以，
又因為，所以是首項為，公比為的等比數列.
高頻考點七：利用遞推關系求通項公式（角度4：倒數法）
用“倒數變換法”構造等差數列
類型1：形如（為常數，）的數列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構造出新的等差數列，先求出的通項，即可求得.
類型2：形如（為常數，，，）的數列，通過兩邊取“倒”，變形為，可通過換元：，化簡為：（此類型符構造法類型1： 用“待定系數法”構造等比數列：形如（為常數，）的數列，可用“待定系數法”將原等式變形為（其中：），由此構造出新的等比數列，先求出的通項，從而求出數列的通項公式.）
典型例題
例題1．（24-25高三上·四川瀘州·開學考試）已知數列的首項，且滿足．
(1)求證：數列為等比數列；
【答案】(1)證明見詳解；
【知識點】由遞推關系證明等比數列、分組（并項）法求和、構造法求數列通項
【分析】（1）將已知等式取倒，通過構造數列即可得證；
【詳解】（1）因為，所以，
所以，
又，所以數列是以為首項，為公比的等比數列.
例題2．（2024高三·全國·專題練習）已知數列滿足，且，求數列的通項公式.
【答案】
【知識點】由遞推關系式求通項公式、構造法求數列通項、寫出等比數列的通項公式、由遞推關系證明等比數列
【分析】根據題意先證數列為等比數列，再結合等比數列的通項公式分析求解.
【詳解】因為，且，可知，
則，可得，
且，
可知數列是首項為2，公比為4的等比數列，
可得，所以.
練透核心考點
1．（23-24高一下·上海·期末）在數列中，已知．
(1)求的通項公式；
【答案】(1)；
【知識點】等差數列的簡單應用、裂項相消法求和、構造法求數列通項
【分析】（1）依題意得，而，則數列為等差數列，即可求解；
【詳解】（1）解：由，得，得，而，
則數列為等差數列，其首項為1，公差為1，
則，
故的通項公式為：，
2．（2024·陜西咸陽·三模）數列滿足，.
(1)求數列通項公式；
【答案】(1)；
【知識點】利用定義求等差數列通項公式、分組（并項）法求和、構造法求數列通項
【分析】（1）變形給定等式，利用等差數列求出通項即得.
【詳解】（1）數列中，，，顯然，則，
數列是首項為1，公差為1的等差數列，，
所以數列通項公式是.
高頻考點八：數列的性質及其應用（角度1：數列的周期性）
典型例題
例題1．（23-24高二上·云南昆明·階段練習）數列中，，則的值為（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【知識點】根據數列遞推公式寫出數列的項、數列周期性的應用
【分析】根據題意，得到數列的周期性，結合，即可求解.
【詳解】由數列中，，
可得，
可得數列是以三項為周期的周期性循環出現，
所以.
故選：A.
例題2．（23-24高二下·河南信陽·期末）意大利數學家斐波那契提出了一個著名的兔子問題，得到了斐波那契數列.數列滿足，.現從數列的前2023項中隨機抽取1項，能被3除余1的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】計算古典概型問題的概率、數列周期性的應用
【分析】求出數列各項的余數，得到余數數列為周期數列，周期為8，從而得到前2023項中被3除余1的有項，得到概率.
【詳解】根據斐波那契數列的定義知，，
被3除的余數依次為1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，
余數數列為周期數列，周期為8，，
所以數列的前2023項中被3除余1的有項，
故所求概率為.
故選：D.
練透核心考點
1．（23-24高二下·四川成都·期中）已知數列滿足，（），則（ ）
A．2 B． C． D．2023
【答案】B
【知識點】數列周期性的應用、根據數列遞推公式寫出數列的項
【分析】由題意確定數列為周期數列，然后求解即可.
【詳解】由, 可推得 ,
所以數列 是以3為周期的一個周期數列,
所以 .
故選：B.
2．（23-24高二下·河南焦作·期中）記數列的前項和為，前項積為，若且，則 .
【答案】
【知識點】由遞推數列研究數列的有關性質、數列周期性的應用
【分析】計算數列的前幾項，推得數列是最小正周期為4的數列，由，可得首項為2，進而得到所求和．
【詳解】若，即，
設，，，，，
可得數列是最小正周期為4的數列，
則，
即有，，，，
可得，
則．
故答案為：．
高頻考點九：數列的性質及其應用（角度2：數列的單調性）
方法總結：求數列最值的常用方法
(1)利用數列的單調性:根據單調性求數列的最值.
(2)通過建立不等式組求解:若設第()項最大,則有解該不等式組確定的值即得數列的最大值（注意）.
(3)通過建立不等式組求解:若設第()項最大,則有解該不等式組確定的值即得數列的最小值（注意）.
典型例題
例題1．（24-25高三上·廣東汕頭·開學考試）已知數列，則數列的前100項中的最小項和最大項分別是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【知識點】確定數列中的最大（小）項
【分析】先化簡，再借助函數的單調性分析得解.
【詳解】，
因為，
所以時，數列單調遞增，且；時，數列單調遞增，且.
∴在數列的前100項中最小項和最大項分別是.
故選：B.
例題2．（23-24高二下·北京房山·期末）設無窮數列的通項公式為.若是單調遞減數列，則的一個取值為 .
【答案】（答案不唯一，即可）
【知識點】根據數列的單調性求參數、數列不等式恒成立問題
【分析】根據數列的函數特性，可得，解不等式可得的取值范圍.
【詳解】由可得，
又是單調遞減數列，可得，
即，
整理得恒成立，
即恒成立，
∴，
又因為，所以，
即取值范圍為，
故答案為：（答案不唯一，即可）
練透核心考點
1．（23-24高一下·天津）已知，則數列的最大項（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【答案】C
【知識點】判斷數列的增減性、確定數列中的最大（小）項、利用導數求函數的單調區間（不含參）
【分析】令，根據導數求出的單調遞增和單調遞減區間，求出取得極大值時的值，求出數列的最大項.
【詳解】令，所以，
所以在上遞增，在上遞減，
所以時，函數取得極大值即最大值，
因為，，
所以數列的最大項為或.
故選：C.
2．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習）已知數列滿足：，且數列是遞增數列，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】根據數列的單調性求參數
【分析】由數列的單調性求解．
【詳解】由題意，解得.
故選：C.
第四部分：新定義題
1．（多選）（山東省青島市2024-2025學年高三上學期期初調研檢測數學試題）設數列和的項數均為，稱為數列和的距離．記滿足的所有數列構成的集合為．已知數列和為中的兩個元素，項數均為，下列正確的有（ ）
A．數列和數列的距離為
B．若，則
C．若，則
D．若，，數列和的距離小于，則的最大值為
【答案】ABD
【知識點】由遞推數列研究數列的有關性質、分組（并項）法求和、數列新定義
【分析】根據數列距離的定義求兩數列的距離判斷A，結合數列，的遞推關系證明兩數列具有周期性，判斷B，利用基本不等式求，由此求，判斷C，由條件求，結合周期性可求，，由此判斷D.
【詳解】對于A，根據數列距離的定義可得：
數列和數列的距離為，A正確；
對于B，設，其中，且，由，
所以，，，，
則，
因此數列中的項周期性重復，且間隔項重復一次，
所以，，，
設，其中，且，由，
所以，，，，
則，
因此數列中的項周期性重復，且間隔項重復一次，
所以，，，
所以若，則，B正確；
因為，其中，且，
所以，
所以，
所以若，，C錯誤；
【詳解】（1）因為與均不屬于數集，所以數集不具有性質；
因為都屬于數集，
所以數集具有性質.
（2）（i）由具有性質，得與中至少有一個屬于，
由，得，即，從而，則，
由，得，則，
由具有性質，知，
又，于是，
從而，
所以.
（ii）由（i）知，，即，
由，得，則，由數集具有性質，得，
由，得，且，于是，即，
因此，數列是首項，公比的等比數列，即，
所以.
【點睛】方法點睛：集合新定義，需要正確理解題干中的信息，并轉化為我們熟悉的知識進行求解，常常用到列舉法，反證法等邏輯思路解決問題.
3．（2024·海南·模擬預測）定義：已知數列為有窮數列，①對任意（），總存在，使得，則稱數列為“乘法封閉數列”；②對任意（），總存在 ，使得，則稱數列為“除法封閉數列”，
(1)若，判斷數列是否為“乘法封閉數列”.
(2)已知遞增數列，為“除法封閉數列"，求和 .
(3)已知數列是以1為首項的遞增數列，共有項，，且為“除法封閉數列”，探究：數列是否為等比數列，若是，請給出說明過程；若不是，請寫出一個滿足條件的數列的通項公式.
【答案】(1)不是
(2)
(3)是；說明過程見解析
【知識點】確定數列中的最大（小）項、等比數列的定義、由不等式的性質比較數（式）大小、數列新定義
【分析】（1）舉例說明兩項之積不是數列中的項即可；
（2）由遞增數列得不等關系，再利用不等式性質重新排序，由此將兩類排序數列中的項對應相等，建立方程組求解可得；
（3）由特殊到一般，找到規律，同（2）方法分別以項與項的大小關系入手，排序可得兩個系列的等量關系，借助中間量可得比例關系，由此得證.
【詳解】（1）由題意知，數列為：.
由，不是數列中的項，
故數列不是“乘法封閉數列”；
（2）由題意數列遞增可知，則，且，
又數列為“除法封閉數列”，則都是數列中的項，
所以，即①；
且，即②，
聯立①②解得，；
（3）數列是等比數列.
證明：當時，設數列為，
由題意數列遞增可知，
則有，
由數列為“除法封閉數列”，
則這個數都是數列中的項，
所以有，
則有，③；
同理由，可得，
則有，即④；
由③④可得，，故是等比數列.
當時，由題意數列遞增可知，
則有，
由數列為“除法封閉數列”，則這個數都是數列中的項.
所以有.
所以有，即⑤；
同理由，可得，
所以.
則，即⑥，
聯立⑤⑥得，，
則，所以有，
所以，故數列是等比數列.
綜上所述，數列是等比數列.
【點睛】關鍵點點睛：數列新定義問題，解決的關鍵有兩點：一是緊抓新數列的定義，如題目中“封閉”條件的使用，即“任意兩項之積（商）仍是數列的項”這一條件是解題的入手點；二是應用數列的單調性或等差比通項特性等重要性質構造等量或不等關系解決問題，如題目中根據遞增數列與不等式性質對數列中的項重新排序，一個遞增數列的兩種排序形式必為同一排序，故對應項相等，從而挖掘出新數列的項的關系.
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