資源簡介

第01講 任意角和弧度制及三角函數的概念
目錄
第一部分：基礎知識 2
第二部分：高考真題回顧 4
第三部分：高頻考點一遍過 5
高頻考點一：確定已知角所在象限 5
高頻考點二：由已知角所在的象限確定某角的范圍 6
高頻考點三：確定倍角（分角）所在象限 6
高頻考點四：區域角 7
高頻考點五：終邊相同的角 9
高頻考點六：角度制與弧制度的相互轉化 9
高頻考點七：弧長公式有關的計算 10
高頻考點八：扇形面積有關計算 11
高頻考點九：單位圓法與三角函數 13
高頻考點十：終邊上任意點法與三角函數 13
高頻考點十一：三角函數線 14
高頻考點十二：解三角不等式 15
第四部分：新定義題 16
第一部分：基礎知識
1、角的概念的推廣
①按旋轉方向不同分為正角、負角、零角．
②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．
③終邊相同的角：
終邊與角相同的角可寫成．
2、弧度制的定義和公式
①1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．
②規定：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零，，是以角作為圓心角時所對圓弧的長，為半徑．
③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制．比值與所取的的大小無關，僅與角的大小有關．
④弧度與角度的換算：；．
若一個角的弧度數為，角度數為，則，．
3、任意角的三角函數
3.1.單位圓定義法：
任意角的三角函數定義：設是一個任意角，角α的終邊與單位圓交于點，那么
（1）點的縱坐標叫角α的正弦函數，記作；
（2）點的橫坐標叫角α的余弦函數，記作；
（3）點的縱坐標與橫坐標之比叫角α的正切函數，記作（）.它們都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數．
3.2.終邊上任意點法：
設是角終邊上異于原點的任意一點，它到原點的距離為（）那么：
；；（）
角
不存在
4、扇形的弧長及面積公式
(1)弧長公式
在半徑為的圓中，弧長為的弧所對的圓心角大小為，則變形可得，此公式稱為弧長公式，其中的單位是弧度．
(2)扇形面積公式
5、三角函數線
三角函數線
正弦線： 余弦線： 正切線：
6、常用結論
（1）三角函數在各象限內的符號口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
（2）角度制與弧度制可利用進行相互轉化，在同一個式子中，采用的度量方式必須統一，不可混淆.
角度制
弧度制
（3）象限角：
象限角 集合 區間
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
（4）軸線角
角終邊所在位置 角度制 弧度制
角終邊在軸非負半軸
角終邊在軸非正半軸
角終邊在軸非負半軸
角終邊在軸非正半軸
角終邊在軸上
角終邊在軸上
角終邊在坐標軸上
第二部分：高考真題回顧
1．（2022·全國·甲卷理）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·乙卷文）若，則 ．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：確定已知角所在象限
典型例題
例題1．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）若，則角的終邊在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例題2．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
練透核心考點
1．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）的終邊在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
2．（23-24高一上·河北邢臺·階段練習）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
高頻考點二：由已知角所在的象限確定某角的范圍
典型例題
例題1．（22-23高一上·甘肅天水·期末）若是第二象限角，則是（　?。?br/>A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
例題2．（多選）（23-24高一上·內蒙古包頭·期末）設是第三象限角，則下列函數值一定為負數的是（ ）
A． B． C． D．
練透核心考點
1．（23-24高一上·廣東中山·階段練習）若α是第四象限角，則90 －α是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
2．（多選）（23-24高一上·全國·課時練習）（多選）若是第三象限的角，則可能是（ ）
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
高頻考點三：確定倍角（分角）所在象限
典型例題
例題1．（23-24高一下·上海·階段練習）若，角終邊所在的象限是（ ）
A．一或三 B．二或四 C．二或三 D．三或四
例題2．（多選）（23-24高一上·河北保定·期中）設為第二象限角，則可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
例題3．（多選）（23-24高一上·廣東茂名·期末）已知為第二象限角，那么是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
練透核心考點
1．（23-24高一上·四川內江·期末）已知，，則的終邊在（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
2．（多選）（23-24高一下·全國·單元測試）已知是第三象限角，則不可能是第幾象限角（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．（22-23高一·全國·課堂例題）若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．
高頻考點四：區域角
典型例題
例題1．（2024高一上·全國·專題練習）已知集合，則圖中表示角的終邊所在區域正確的是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（23-24高一·全國·課后作業）已知角α的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(不包括邊界)，那么 .
例題3．（23-24高一·全國·課時練習）寫出終邊落在圖中陰影區域內的角的集合．
(1)
(2)
練透核心考點
1．（2024高三·全國·專題練習）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·全國·課后作業）已知角的終邊在如圖所示的陰影區域內，則角的取值范圍是 ．
3．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫出角的集合．
高頻考點五：終邊相同的角
典型例題
例題1．（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習）若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（23-24高一下·上海奉賢·階段練習）在與弧度數為角終邊相同的角中，絕對值最小的角是 ．
練透核心考點
1．（23-24高一上·內蒙古·期末）若角與角的終邊相同，則可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（多選）（23-24高一上·河南·期末）已知角與的終邊相同，則角可以是（ ）
A． B． C． D．
高頻考點六：角度制與弧制度的相互轉化
典型例題
例題1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）將化為弧度制，正確的是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高一下·上海閔行·階段練習）將角度化為弧度： .
練透核心考點
1．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習）化成弧度是 .
2．（23-24高一上·新疆喀什·期末）的角化成弧度制為 ．
高頻考點七：弧長公式有關的計算
典型例題
例題1．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習）已知扇形的圓心角為，半徑為3，則扇形的周長為（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
例題2．（23-24高一下·上?！るA段練習）已知一個扇形的周長是，面積為，則扇形的圓心角的弧度數是 .
例題3．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的部分多為扇環.已知某扇形的扇環如圖所示，其中外弧線的長為，內弧線的長為，連接外弧與內弧的兩端的線段均為，則該扇形的中心角的弧度數為 .
練透核心考點
1．（23-24高二上·內蒙古呼倫貝爾·期末）過軸上一點作圓的兩條切線，切點為A，B，當切線長最短時，則劣弧長（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·北京·階段練習）扇形的半徑為2，圓心角為，則圓心角的弧度數為 ；扇形的弧長為 ．
3．（23-24高一上·廣西賀州·期末）已知扇形的面積為，圓心角弧度數為，則其弧長為 ；
高頻考點八：扇形面積有關計算
典型例題
例題1．（23-24高一上·安徽·階段練習）如圖是杭州2023年第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”，形象象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發展.如圖是會徽的幾何圖形，設弧長度是，弧長度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則（ ）
A．9 B．8 C．4 D．3
例題2．（23-24高一上·北京東城·期末）如圖，在平面直角坐標系中，點，，角的頂點與坐標原點重合，始邊為軸的非負半軸，終邊與單位圓交于點，則陰影區域的面積的最大值為 .
例題3．（23-24高一上·陜西西安·階段練習）已知一扇形的圓心角為，所在圓的半徑．
(1)當，求其弧所在弓形的面積．
(2)若該扇形的面積為，當它的圓心角和半徑取何值時，該扇形的周長最??？最小值是多少？
練透核心考點
1．（23-24高三上·安徽·期中）扇子是引風用品，夏令必備之物.我國傳統扇文化源遠流長，是中華文化的一個組成部分.歷史上最早的扇子是一種禮儀工具，后來慢慢演變為納涼、娛樂、觀賞的生活用品和工藝品.扇子的種類較多，受大眾喜愛的有團扇和折扇.如圖1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊紙或綾絹做扇面而制成的.完全打開后的折扇為扇形（如圖2），若圖2中，，分別在，上，，的長為，則該折扇的扇面的面積為（ ）
圖1 圖2
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）已知一扇形的圓心角為，半徑為，面積為，周長為．
(1)若，則扇形圓心角為多少弧度時，最??？并求出的最小值；
(2)若，則扇形圓心角為多少弧度時，最大？并求出的最大值．
3．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）玉雕在我國歷史悠久，擁有深厚的文化底蘊，數千年來始終以其獨特的內涵與魅力深深吸引著世人.如圖1，這是一幅扇形玉雕壁畫，其平面圖為圖2所示的扇形環面（由扇形OCD挖去扇形OAB后構成）.已知該扇形玉雕壁畫的周長為320厘米.

(1)若厘米.求該扇形玉雕壁畫的曲邊的長度；
(2)若.求該扇形玉雕壁畫的扇面面積的最大值.
高頻考點九：單位圓法與三角函數
典型例題
例題1．（23-24高一下·黑龍江雙鴨山·開學考試）在平面直角坐標系中，角以軸的非負半軸為始邊，
例題3．（2024高一·上?！ｎ}練習）已知角的終邊上有一點，求的各三角函數值.
練透核心考點
1．（23-24高一下·四川內江·階段練習）設，角的終邊經過點，則的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陜西咸陽·二模）已知角的始邊為軸的非負半軸，頂點為坐標原點，若它的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·甘肅·一模）已知點為角終邊上一點，則（ ）
A． B． C． D．
高頻考點十一：三角函數線
典型例題
例題1．（23-24高一下·遼寧·階段練習）若，，，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高一·全國·課時練習）下面四個選項中大小關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（23-24高一·全國·隨堂練習）作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：
(1)；(2)；(3)；(4).
練透核心考點
1．（23-24高一·全國·課時練習）在上，利用單位圓，得到成立的的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高一上·江蘇·專題練習）依據三角函數線作出如下四個判斷：
①；②；③；④．
其中判斷正確的有 （填序號）．
3．（23-24高一·江蘇·課時練習）作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：
(1)；(2)；(3)；(4).
高頻考點十二：解三角不等式
典型例題
例題1．（23-24高三·全國·課時練習）使成立的的一個變化區間是
A． B．
C． D．
例題2．（23-24高一·全國·課后作業）不等式在區間上的解集為 ．
例題3．（23-24高一下·上海·假期作業）（1）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；
（2）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；
練透核心考點
1．（23-24高一下·廣西北?！て谥校┰谏希共坏仁匠闪⒌膞的集合為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一·上?！ｎ}練習）若，證明：
(1)；
(2).
（23-24高一·全國·課時練習）利用三角函數線,確定滿足不等式的取值范圍.
第四部分：新定義題
1．（2024高一下·上?！ｎ}練習）對于集合和常數，定義：為集合相對的“余弦方差”．
(1)若集合，，求集合相對的“余弦方差”；
(2)求證：集合，相對任何常數的“余弦方差”是一個與無關的定值，并求此定值；
(3)若集合，，相對任何常數的“余弦方差”是一個與無關的定值，求出、．
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第01講 任意角和弧度制及三角函數的概念
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 4
第三部分：高頻考點一遍過 6
高頻考點一：確定已知角所在象限 6
高頻考點二：由已知角所在的象限確定某角的范圍 7
高頻考點三：確定倍角（分角）所在象限 9
高頻考點四：區域角 11
高頻考點五：終邊相同的角 15
高頻考點六：角度制與弧制度的相互轉化 16
高頻考點七：弧長公式有關的計算 17
高頻考點八：扇形面積有關計算 19
高頻考點九：單位圓法與三角函數 24
高頻考點十：終邊上任意點法與三角函數 26
高頻考點十一：三角函數線 28
高頻考點十二：解三角不等式 36
第四部分：新定義題 40
第一部分：基礎知識
1、角的概念的推廣
①按旋轉方向不同分為正角、負角、零角．
②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．
③終邊相同的角：
終邊與角相同的角可寫成．
2、弧度制的定義和公式
①1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．
②規定：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零，，是以角作為圓心角時所對圓弧的長，為半徑．
③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制．比值與所取的的大小無關，僅與角的大小有關．
④弧度與角度的換算：；．
若一個角的弧度數為，角度數為，則，．
3、任意角的三角函數
3.1.單位圓定義法：
任意角的三角函數定義：設是一個任意角，角α的終邊與單位圓交于點，那么
（1）點的縱坐標叫角α的正弦函數，記作；
（2）點的橫坐標叫角α的余弦函數，記作；
（3）點的縱坐標與橫坐標之比叫角α的正切函數，記作（）.它們都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數．
3.2.終邊上任意點法：
設是角終邊上異于原點的任意一點，它到原點的距離為（）那么：
；；（）
角
不存在
4、扇形的弧長及面積公式
(1)弧長公式
在半徑為的圓中，弧長為的弧所對的圓心角大小為，則變形可得，此公式稱為弧長公式，其中的單位是弧度．
(2)扇形面積公式
5、三角函數線
三角函數線
正弦線： 余弦線： 正切線：
6、常用結論
（1）三角函數在各象限內的符號口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
（2）角度制與弧度制可利用進行相互轉化，在同一個式子中，采用的度量方式必須統一，不可混淆.
角度制
弧度制
（3）象限角：
象限角 集合 區間
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
（4）軸線角
角終邊所在位置 角度制 弧度制
角終邊在軸非負半軸
角終邊在軸非正半軸
角終邊在軸非負半軸
角終邊在軸非正半軸
角終邊在軸上
角終邊在軸上
角終邊在坐標軸上
第二部分：高考真題回顧
1．（2022·全國·甲卷理）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，分別求出，再根據題中公式即可得出答案.
【詳解】解：如圖，連接，
因為是的中點，
所以，
又，所以三點共線，
即，
又，
所以，
則，故，
所以.
故選：B.
2．（2023·全國·乙卷文）若，則 ．
【答案】
【分析】根據同角三角關系求，進而可得結果.
【詳解】因為，則，
又因為，則，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案為：.
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：確定已知角所在象限
典型例題
例題1．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）若，則角的終邊在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用得到答案.
【詳解】，故角的終邊在第四象限.
故選：D
例題2．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】，再根據終邊相同的角的集合，判斷是第幾象限角，即可求出結果.
【詳解】因為，又是第三象限角，
所以是第三象限角，
故選：C.
練透核心考點
1．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）的終邊在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【分析】求出與終邊相同，得到所在象限.
【詳解】與終邊相同的角可表示為，．
當時，．易知終邊在第二象限．
故選：B
2．（23-24高一上·河北邢臺·階段練習）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】A
【分析】根據終邊相同角的概念可求解.
【詳解】，
與終邊相同，所以是第一象限角．
故選：A.
高頻考點二：由已知角所在的象限確定某角的范圍
典型例題
例題1．（22-23高一上·甘肅天水·期末）若是第二象限角，則是（　?。?br/>A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】由象限角的定義即可求解.
【詳解】由題意是第二象限角，
所以不妨設，
所以，
由象限角的定義可知是第四象限角.
故選：D.
例題2．（多選）（23-24高一上·內蒙古包頭·期末）設是第三象限角，則下列函數值一定為負數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根據已知得出的范圍，進而得出以及的范圍，即可得出以及終邊所在的象限，進而得出答案.
【詳解】對于A、B，由已知可得，，
所以，.
當為偶數時，設，
則，
此時為第二象限角；
當當為奇數時，設，
則，
此時為第四象限角.
綜上所述，為第二或第四象限角.
所以，不能確定的正負，.故A錯誤，B正確；
對于C、D，由已知可得，，
所以，，
所以，為第一或第二象限角或終邊落在軸非負半軸.
所以，不能確定的正負，，.故C錯誤，D正確.
故選：BD.
練透核心考點
1．（23-24高一上·廣東中山·階段練習）若α是第四象限角，則90 －α是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【分析】根據角所在的象限判斷所求角所在象限即可.
【詳解】由題知，，，
則，在第二象限，
故選：B
2．（多選）（23-24高一上·全國·課時練習）（多選）若是第三象限的角，則可能是（ ）
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
【答案】AC
【分析】根據角限角的定義得出角的范圍，再運用不等式的性質可得選項.
【詳解】解：由于是第三象限的角，故，
所以，
所以.
當為偶數時，為第一象限角；
當為奇數時，為第三象限角.
所以可能是第一象限角，也可能是第三象限角.
故選：AC.
高頻考點三：確定倍角（分角）所在象限
典型例題
例題1．（23-24高一下·上?！るA段練習）若，角終邊所在的象限是（ ）
A．一或三 B．二或四 C．二或三 D．三或四
【答案】B
【分析】
根據給定條件，確定角所在象限，并求出其范圍，再求出的范圍即可得解.
【詳解】由，得角是第三象限角，即，
則，當為奇數時，是第二象限角，當為偶數時，是第四象限角，
所以角終邊所在的象限是二或四.
故選：B
例題2．（多選）（23-24高一上·河北保定·期中）設為第二象限角，則可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】CD
【分析】為第二象限角，得到，得到答案.
【詳解】為第二象限角，故，
所以，
所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或軸的負半軸.
故選：CD
例題3．（多選）（23-24高一上·廣東茂名·期末）已知為第二象限角，那么是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】ABD
【分析】根據的范圍得到的范圍，分，和，三種情況，求出答案.
【詳解】由，（），得（），
當時，，（），為第一象限角；
當時，，（），為第二象限角；
當時，，（），為第四象限角.
故選：ABD
練透核心考點
1．（23-24高一上·四川內江·期末）已知，，則的終邊在（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D
【分析】先通過條件確定的范圍，再求出的范圍，進而可得角所在象限.
【詳解】因為，，
所以為第二象限角，即，
所以，
則的終邊所在象限為所在象限，
即的終邊在第一、二、四象限.
故選：D.
2．（多選）（23-24高一下·全國·單元測試）已知是第三象限角，則不可能是第幾象限角（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】CD
【分析】根據給定條件，由的范圍，求出的范圍作答.
【詳解】因為是第三象限角，則，
于是，顯然終邊在x軸上方，
所以不可能是第三象限角，不可能是第四象限角.
故選：CD
3．（22-23高一·全國·課堂例題）若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．
【答案】可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角
【分析】
根據象限角的表示方法，得到和的表示，進而判定其象限，得到答案.
【詳解】因為是第二象限角，所以，
可得，
所以可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角．
又由 ，
當時，，此時是第一象限角；
當時，，此時是第二象限角；
當時，，此時是第四象限角．
綜上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．
高頻考點四：區域角
典型例題
例題1．（2024高一上·全國·專題練習）已知集合，則圖中表示角的終邊所在區域正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出臨界位置的終邊，結合選項即可得結果.
【詳解】當，時，角的終邊落在第一象限的角平分線上，
當，時，角的終邊落在y軸的非負半軸上，
按照逆時針旋轉的方向確定范圍可得角的終邊所在區域如選項B所示．
故選：B．
例題2．（23-24高一·全國·課后作業）已知角α的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(不包括邊界)，那么 .
【答案】
【分析】先求得在范圍內，終邊落在陰影內的角的范圍，繼而即可求得.
【詳解】在范圍內，終邊落在陰影內的角為；
和.
，
故答案為：
例題3．（23-24高一·全國·課時練習）寫出終邊落在圖中陰影區域內的角的集合．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】寫出終邊在邊界上的角，結合圖象，利用不等式表示終邊在陰影內的角，注意邊界的虛實.
【詳解】（1）在范圍內，圖中終邊在第二象限的區域邊界線所對應的角為，終邊在第四象限的區域邊界線所對應的角為，
因此，陰影部分區域所表示的集合為；
（2）圖中從第四象限到第一象限陰影部分區域表示的角的集合為，
圖中從第二象限到第三象限陰影部分區域所表示的角的集合為
，
因此，陰影部分區域所表示角的集合為
.
練透核心考點
1．（2024高三·全國·專題練習）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】對分奇偶，結合終邊相同的角的定義討論判斷即可
【詳解】當時，，此時表示的范圍與表示的范圍一樣；
當時，，此時表示的范圍與表示的范圍一樣，
故選：C．
2．（23-24高一上·全國·課后作業）已知角的終邊在如圖所示的陰影區域內，則角的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】
根據圖形先求出終邊在角的終邊所在直線上的角的集合和終邊在角的終邊所在直線上的角的集合，從而可求出角的取值范圍，進而可求得的取值范圍
【詳解】終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，
終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，
因此終邊在題圖中的陰影區域內的角的取值范圍是，
所以角的取值范圍是，
故答案為：
3．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫出角的集合．
【答案】答案見解析
【分析】根據題意，由終邊相同角的集合，結合圖像，即可得到結果.
【詳解】①
②
高頻考點五：終邊相同的角
典型例題
例題1．（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習）若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據角的終邊在直線上，利用終邊相同的角的寫法，考慮角的終邊的位置的兩種情況，即可求出角的集合.
【詳解】由題意知角的終邊在直線上，
故或，
即或，
故角的取值集合為.
故選：C.
例題2．（23-24高一下·上海奉賢·階段練習）在與弧度數為角終邊相同的角中，絕對值最小的角是 ．
【答案】
【分析】利用終邊相同角的集合，即可求出結果.
【詳解】與弧度數為2024角終邊相同的角為
所以絕對值最小的角是,
故答案為：.
練透核心考點
1．（23-24高一上·內蒙古·期末）若角與角的終邊相同，則可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據觀察選項得答案.
【詳解】由已知
觀察選項可得只有，所以可能是.
故選：D.
2．（多選）（23-24高一上·河南·期末）已知角與的終邊相同，則角可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】依題意，判斷選項.
【詳解】依題意，當時，，當時，，所以選項符合，選項不符合.
故選:.
高頻考點六：角度制與弧制度的相互轉化
典型例題
例題1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）將化為弧度制，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據弧度制和角度制的互化公式，即可求解.
【詳解】.
故選：B
例題2．（23-24高一下·上海閔行·階段練習）將角度化為弧度： .
【答案】
【分析】
利用角度和弧度互化求解.
【詳解】.
故答案為：
練透核心考點
1．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習）化成弧度是 .
【答案】
【分析】根據弧度與角度的互化公式，即可求解.
【詳解】.
故答案為：
2．（23-24高一上·新疆喀什·期末）的角化成弧度制為 ．
【答案】
【分析】根據角度制與弧度制的互化公式，即可求解.
【詳解】因為，所以.
故答案為：
高頻考點七：弧長公式有關的計算
典型例題
例題1．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習）已知扇形的圓心角為，半徑為3，則扇形的周長為（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【分析】由弧長公式求出弧長即可得出周長.
【詳解】由弧長公式可得弧長，
所以扇形的周長為，
故選：A
例題2．（23-24高一下·上海·階段練習）已知一個扇形的周長是，面積為，則扇形的圓心角的弧度數是 .
【答案】2
【分析】
利用扇形面積和周長公式，即可求解.
【詳解】
設扇形圓心角的弧度數為，半徑為，
由題意知
故答案為：
例題3．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的部分多為扇環.已知某扇形的扇環如圖所示，其中外弧線的長為，內弧線的長為，連接外弧與內弧的兩端的線段均為，則該扇形的中心角的弧度數為 .
【答案】3
【分析】利用扇形弧長與扇形的中心角的關系，求得，進而可得該扇形的中心角的弧度數.
【詳解】依題意可得弧的長為，弧的長為，設扇形的中心角的弧度數為，
如圖，
則，則，即．
因為，所以，則，
所以該扇形的中心角的弧度數.
故答案為：3.
練透核心考點
1．（23-24高二上·內蒙古呼倫貝爾·期末）過軸上一點作圓的兩條切線，切點為A，B，當切線長最短時，則劣弧長（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，求出切線長最短時的圓心角的大小即得.
【詳解】圓的圓心，半徑，點到軸距離，
則，當且僅當點與原點重合時取等號，顯然，
則，當時，，
于是，圓心角，所以劣弧長.
故選：D
2．（23-24高一下·北京·階段練習）扇形的半徑為2，圓心角為，則圓心角的弧度數為 ；扇形的弧長為 ．
【答案】
【分析】根據弧度數公式，以及扇形弧長公式，即可求解.
【詳解】，所以圓心角的弧度數為；扇形的弧長.
故答案為：；
3．（23-24高一上·廣西賀州·期末）已知扇形的面積為，圓心角弧度數為，則其弧長為 ；
【答案】6
【分析】
根據弧長公式以及扇形面積公式即可求解.
【詳解】設弧長為，半徑為，圓心角為，
故，
故，
故答案為：6
高頻考點八：扇形面積有關計算
典型例題
例題1．（23-24高一上·安徽·階段練習）如圖是杭州2023年第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”，形象象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發展.如圖是會徽的幾何圖形，設弧長度是，弧長度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則（ ）
A．9 B．8 C．4 D．3
【答案】B
【分析】由弧長比可得半徑比，結合扇形面積公式求解.
【詳解】設，，則，則
∴，故.
故選：B
例題2．（23-24高一上·北京東城·期末）如圖，在平面直角坐標系中，點，，角的頂點與坐標原點重合，始邊為軸的非負半軸，終邊與單位圓交于點，則陰影區域的面積的最大值為 .
【答案】
【分析】連接，當點距離直線最遠時，陰影區域的面積的最大值，利用三角形的面積公式和扇形面積公式計算即可.
【詳解】連接，當點距離直線最遠時，陰影區域的面積的最大值，根據圓的幾何特征可得此時且，如圖：
設是的終邊，則，所以，則，
又，
所以陰影區域的面積的最大值為.
故答案為：.
例題3．（23-24高一上·陜西西安·階段練習）已知一扇形的圓心角為，所在圓的半徑．
(1)當，求其弧所在弓形的面積．
(2)若該扇形的面積為，當它的圓心角和半徑取何值時，該扇形的周長最小？最小值是多少？
【答案】(1)
(2)當扇形圓心角為，半徑為時，該扇形的周長最小，最小為.
【分析】（1）由扇形面積公式可得扇形面積，再減去三角形面積即可得所求弓形面積；
（2）由扇形面積公式，得(定值)，利用基本不等式求周長即的最小值即可.
【詳解】（1）
由題意，當時，扇形面積；
如圖，扇形中，連接，則，
所以是正三角形，則，
故所求弓形面積為；
（2）設扇形弧長為，由已知扇形的面積，則，
則扇形的周長，
當且僅當，即時等號成立，
此時半徑為，圓心角，該扇形的周長最小，最小為.
練透核心考點
1．（23-24高三上·安徽·期中）扇子是引風用品，夏令必備之物.我國傳統扇文化源遠流長，是中華文化的一個組成部分.歷史上最早的扇子是一種禮儀工具，后來慢慢演變為納涼、娛樂、觀賞的生活用品和工藝品.扇子的種類較多，受大眾喜愛的有團扇和折扇.如圖1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊紙或綾絹做扇面而制成的.完全打開后的折扇為扇形（如圖2），若圖2中，，分別在，上，，的長為，則該折扇的扇面的面積為（ ）
圖1 圖2
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得，再根據扇環的面積公式求得正確答案.
【詳解】依題意，，
所以，
所以該折扇的扇面的面積為.
故選：D
2．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）已知一扇形的圓心角為，半徑為，面積為，周長為．
(1)若，則扇形圓心角為多少弧度時，最??？并求出的最小值；
(2)若，則扇形圓心角為多少弧度時，最大？并求出的最大值．
【答案】(1)，最小值為；
(2)，最大值為．
【分析】（1）利用扇形面積公式可得，則，再結合基本不等式即可求解.
（2）根據面積公式再結合二次函數求最值，即可求解.
【詳解】（1），
則．
由基本不等式可得，當且僅當，即時等號成立．
此時．
當時，最小，最小值為．
（2），．
．
當，即時，．
當時，最大，最大值為．
3．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）玉雕在我國歷史悠久，擁有深厚的文化底蘊，數千年來始終以其獨特的內涵與魅力深深吸引著世人.如圖1，這是一幅扇形玉雕壁畫，其平面圖為圖2所示的扇形環面（由扇形OCD挖去扇形OAB后構成）.已知該扇形玉雕壁畫的周長為320厘米.

(1)若厘米.求該扇形玉雕壁畫的曲邊的長度；
(2)若.求該扇形玉雕壁畫的扇面面積的最大值.
【答案】(1)160厘米；
(2)6400平方厘米.
【分析】
（1）由題可得弧與弧的長度關系，結合條件可解；
（2）利用扇形的面積公式，大扇形面積減去小扇形面積，利用基本不等式求最值.
【詳解】（1）設弧的長度為厘米，弧的長度為厘米.
因為，所以，所以.
因為厘米，所以厘米.
因為該扇形玉雕壁畫的周長為320厘米，所以，
所以，解得，即弧的長度為160厘米.
（2）因為，所以，所以，
則扇形的面積，扇形的面積，
故該扇形玉雕壁畫的扇面面積.
因為該扇形玉雕壁畫的周長為320厘米，所以
所以，
則，從而，當且僅當時，等號成立，
故，即該扇形玉雕壁畫的扇面面積的最大值為6400平方厘米.
高頻考點九：單位圓法與三角函數
典型例題
例題1．（23-24高一下·黑龍江雙鴨山·開學考試）在平面直角坐標系中，角以軸的非負半軸為始邊，終邊與單位圓交于點，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接利用任意角的三角函數定義,結合正弦二倍角公式求解即可.
【詳解】
由任意角三角函數定義得：,,
故選：A.
例題2．（23-24高一上·云南昆明·期末）如圖，角的始邊為軸的非負半軸，終邊與單位圓相交于點，將角的邊繞著原點逆時針旋轉得到角，則 ．

【答案】
【分析】
由題意可求出，進而利用兩角和的余弦公式，即可求得答案.
【詳解】由題意知角的始邊與單位圓相交于點，
故，
將角的邊繞著原點逆時針旋轉得到角，
則
，
故答案為：
練透核心考點
1．（23-24高一下·浙江嘉興·期中）已知角的終邊與單位圓交于點，則的值為
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據已知角的終邊與單位圓交于點，結合三角函數的定義即可得到的值.
【詳解】因為角的終邊與單位圓交于點，
所以，
所以，
故選B.
【點睛】該題考查的是有關已知角終邊上一點求其三角函數值的問題，涉及到的知識點有三角函數的定義，屬于簡單題目.
2．（23-24高三上·河北衡水·期末）將頂點在原點，始邊為軸非負半軸的銳角的終邊繞原點逆時針轉過后，交單位圓于點，那么的值為 ．
【答案】/
【分析】根據三角函數的定義及和角公式進行相關計算可得結果.
【詳解】由點在單位圓上，則，解得，
由銳角，即，則，故，
.
故答案為：
高頻考點十：終邊上任意點法與三角函數
典型例題
例題1．（23-24高三下·云南·階段練習）已知角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據三角函數定義求出正弦和余弦，結合半角公式求出答案.
【詳解】由三角函數定義得
所以.
故選：A.
例題2．（2024·陜西咸陽·二模）已知角的始邊為軸的非負半軸，頂點為坐標原點，若它的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據三角函數的定義求出，，再由二倍角公式代入計算可得.
【詳解】因為角的終邊經過點，
所以，，
所以
.
故選：C
例題3．（2024高一·上?！ｎ}練習）已知角的終邊上有一點，求的各三角函數值.
【答案】答案見解析
【分析】根據角終邊上的點的坐標，結合任意角的三角函數定義即可求解.
【詳解】由已知，，，因為，
所以 ；
所以，，，
，，.
練透核心考點
1．（23-24高一下·四川內江·階段練習）設，角的終邊經過點，則的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據正弦函數的定義求解的正余弦計算即可.
【詳解】因為，故，.
故.
故選：A
2．（2024·陜西咸陽·二模）已知角的始邊為軸的非負半軸，頂點為坐標原點，若它的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
借助三角函數定義與二倍角公式計算即可得.
【詳解】由角的經過點，故，
則.
故選：C.
3．（2024·甘肅·一模）已知點為角終邊上一點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據三角函數的定義求出，再由二倍角公式及同角三角函數的基本關系將弦化切，最后代入計算可得.
【詳解】因為點為角終邊上一點，所以，
所以.
故選：C
高頻考點十一：三角函數線
典型例題
例題1．（23-24高一下·遼寧·階段練習）若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設扇形的面積為，由三角函數線結合得到答案.
【詳解】畫出的三角函數線，如下：
則，，，
設扇形的面積為，
則，，
又，故，
所以，，
因為，所以.
所以.
故選：A
例題2．（23-24高一·全國·課時練習）下面四個選項中大小關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】在單位圓中分別做出角和的正弦線、余弦線以及正切線，比較它們的大小即可得出答案.
【詳解】如圖，在單位圓中作出角的正弦線DP、余弦線OD、正切線AT，
角的正弦線、余弦線、正切線，
由于，因此和的終邊關于y軸對稱，
由圖可得，，
，
∴，∴A，C，D均錯誤，B正確．
故選：B
例題3．（23-24高一·全國·隨堂練習）作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：
(1)；(2)；(3)；(4).
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
(4)答案見解析
【分析】出單位圓，交角的終邊于，過作軸，交軸于，過點作軸平行線，交角的終邊（或終邊的反向延長線）于，則正弦線為、余弦線為、正切線為．
【詳解】（1）作出單位圓，交角的終邊于，
過作軸，交軸于，
過點作軸平行線，交角的終邊于，如圖：

則角的正弦線為、余弦線為、正切線為；
（2）作出單位圓，交角的終邊于，
過作軸，交軸于，
過點作軸平行線，交角的終邊于，如下圖：

則角的正弦線為、余弦線為、正切線為；
（3）作出單位圓，交角的終邊于，
過作軸，交軸于，
過點作軸平行線，交角的終邊的反向延長線于，如下圖：

則角的正弦線為、余弦線為、正切線為；
（4）作出單位圓，交角的終邊于，
過作軸，交軸于，
過點作軸平行線，交角的終邊的反向延長線于，如下圖：

則角的正弦線為、余弦線為、正切線為．
練透核心考點
1．（23-24高一·全國·課時練習）在上，利用單位圓，得到成立的的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據正余弦、正切函數的定義，應用數形結合判斷即可.
【詳解】如圖所示，
在單位圓中，設，則，，，
由圖形可得在第一象限均大于0，在第一象限恒成立，即在第一象限恒成立，以為分界線，當時，即，當時，即；綜上在第一象限無解；
由圖形可得在第二象限大于0，均小于0，所以在第二象限無解；
由圖形可得在第三象限小于0，大于0，所以在第三象限無解；
有圖形可得在第四象限大于0，小于0，且恒成立，即在恒成立，所以 在第四象限的解為，
綜上在的解集為，
故選：C
2．（2023高一上·江蘇·專題練習）依據三角函數線作出如下四個判斷：
①；②；③；④．
其中判斷正確的有 （填序號）．
【答案】②④
【分析】根據題意，作出三角函數線，結合三角函數線，即可得到函數的大小關系，即可求解.
【詳解】①中，如圖所示，根據三角函數線，可得的函數值為正，函數值為負，
可得，所以①不正確；

②中，如圖所示，依據三角函數線，可得和的三角函數線長度相等，
可得，所以②正確；
③中，如圖所示，因為，依據三角函數線，可得，
且的正切線大于的正切線的長度，可得，所以③不正確；

④中，如圖所示，依據三角函數線，可得，且的正弦線大于的正弦線，所以，所以④正確.
故選：②④.

3．（23-24高一·江蘇·課時練習）作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：
(1)；(2)；(3)；(4).
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
(4)答案見解析
【分析】作出單位圓，角的終邊與單位圓交于，過作軸，交軸于，角的終邊或終邊的反向延長線交過且平行于軸的直線交于點，則是正弦線，是余弦線，是正切線．
【詳解】（1）作出單位圓，交角的終邊于P，過P作軸于點M，
過點作軸，交角的終邊于T，如下圖所示，
則角的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT；
（2）作出單位圓，交角的終邊于P，過P作軸于點M，
過點作軸，交角的終邊反向延長線于T，如下圖所示，
則角的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT；
（3）作出單位圓，交角的終邊于P，過P作軸于點M，
過點作軸，交角的終邊于點T，如下圖所示，
則角的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT；
（4）因為，所以角與角的終邊相同，
作出單位圓，交角的終邊于P，過P作軸于點M，
過點作軸，交角的終邊的反向延長線于T，如下圖所示，
則角的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT.
高頻考點十二：解三角不等式
典型例題
例題1．（23-24高三·全國·課時練習）使成立的的一個變化區間是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用三角函數線解不等式得解.
【詳解】如圖所示

當和時，，
故使成立的的一個變化區間是.
故選A
【點睛】本題主要考查三角函數線的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.
例題2．（23-24高一·全國·課后作業）不等式在區間上的解集為 ．
【答案】
【分析】利用余弦函數的定義及三角函數線即得.
【詳解】如圖所示，由于，
所以在上的解集為．
故答案為：
3．（23-24高一下·上?！ぜ倨谧鳂I）（1）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；
（2）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）畫出畫出單位圓中三角函數線，結合圖象可得.
（2）畫出畫出單位圓中三角函數線，結合圖象可得或.
【詳解】（1）由可知，角x對應的正弦線方向朝上，而且長度為，
作示意圖，如圖所示，

可知角的終邊可能是，也可能是，
又因為，所以或，
再由圖可知，如果的終邊在中，則一定有，
因此，滿足條件的角的取值范圍.
（2）畫出單位圓中三角函數線，如圖．
由圖可知角的范圍是：
或.
練透核心考點
1．（23-24高一下·廣西北?！て谥校┰谏希共坏仁匠闪⒌膞的集合為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據已知條件，結合余弦函數的圖象，即可求解．
【詳解】由，則，
又，所以所求集合為．
故選：A．
2．（2024高一·上?！ｎ}練習）若，證明：
(1)；
(2).
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】
（1）利用正切線與余弦線的定義，結合三角形兩邊之和大于第三邊即可得證；
（2）利用三角函數線的定義，結合三角形與扇形的面積大小即可得證.
【詳解】（1）
如圖，在平面直角坐標系中作出角，角的正弦線和余弦線.

由，為直角三角形，且，，，
【點睛】本題考查用三角函數線解三角不等式，可以根據圖形寫出一個周期內的解集，然后再加上周期．
第四部分：新定義題
1．（2024高一下·上?！ｎ}練習）對于集合和常數，定義：為集合相對的“余弦方差”．
(1)若集合，，求集合相對的“余弦方差”；
(2)求證：集合，相對任何常數的“余弦方差”是一個與無關的定值，并求此定值；
(3)若集合，，相對任何常數的“余弦方差”是一個與無關的定值，求出、．
【答案】(1)
(2)證明見解析，
(3)，或，
【分析】
（1）根據余弦方差的定義代入即可求解，
（2）根據余弦差定義可得化簡分子，根據和差角公式以及同角平方關系即可求解，
（3）根據余弦差定義列出關系式，利用和差角公式以及二倍角公式化簡，根據題意可得，即可結合三角函數的性質求解.
【詳解】（1）
依題意得，；
（2）
證明：由“余弦方差”定義得：
，
則分子
，
為定值，與的取值無關．
（3）
分子
．
要使是一個與無關的定值，
則，
，
與終邊關于軸對稱或關于原點對稱，
又，得與終邊只能關于軸對稱，
又
則當時，
當時，．
故，或，
故，或，時，相對任何常數的“余弦方差”是一個與無關的定值．
【點睛】
關鍵點點睛：利用公式將所給的集合代入運算，利用和差角公式，二倍角公式化簡.
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