資源簡(jiǎn)介

第01講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算
目錄
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 4
高頻考點(diǎn)一：平面向量的概念與表示 4
高頻考點(diǎn)二：模 4
高頻考點(diǎn)三：零向量與單位向量 5
高頻考點(diǎn)四：相等向量 6
高頻考點(diǎn)五：平面向量的加法與減法 6
高頻考點(diǎn)六：平面向量的數(shù)乘 7
高頻考點(diǎn)七：共線向量定理的應(yīng)用 8
第四部分：典型易錯(cuò)題型 9
備注：“”的方向是任意的 9
第五部分：新定義題 9
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、向量的有關(guān)概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)
向量表示方法：向量或；模或.
（2）零向量：長(zhǎng)度等于0的向量，方向是任意的，記作.
（3）單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量，常用表示.
特別的：非零向量的單位向量是.
（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，與共線可記為；
特別的：與任一向量平行或共線.
（5）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量，記作.
（6）相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量，記作.
2、向量的線性運(yùn)算
2.1向量的加法
①定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.對(duì)于零向量與任意向量，我們規(guī)定.
②向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）
已知非零向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.
③向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點(diǎn),四邊形,對(duì)角線）
已知兩個(gè)不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點(diǎn)的向量(是的對(duì)角線)就是向量與的和.這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.
2.2向量的減法
①定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即.
②向量減法的三角形法則（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量）
已知向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量.如圖所示
如果把兩個(gè)向量,的起點(diǎn)放在一起,則可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.
2.3向量的數(shù)乘
向量數(shù)乘的定義:
一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作.它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：
①
②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，.
3、共線向量定理
①定義：向量與非零向量共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，.
②向量共線定理的注意問(wèn)題：定理的運(yùn)用過(guò)程中要特別注意；特別地，若，實(shí)數(shù)仍存在，但不唯一．
4、常用結(jié)論
4.1向量三角不等式
①已知非零向量，，則（當(dāng)與反向共線時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)與同向共線時(shí)右邊等號(hào)成立）；
②已知非零向量，，則（當(dāng)與同向共線時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)與反向共線時(shí)右邊等號(hào)成立）；
記憶方式：（“符異”反向共線等號(hào)成立；“符同”同向共線等號(hào)成立）如中，中間連接號(hào)一負(fù)一正“符異”，故反向共線時(shí)等號(hào)成立；右如：中中間鏈接號(hào)都是正號(hào)“符同”，故同向共線時(shí)等號(hào)成立；
4.2中點(diǎn)公式的向量形式：
若為線段的中點(diǎn)，為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則.
4.3三點(diǎn)共線等價(jià)形式：
（，為實(shí)數(shù)），若，，三點(diǎn)共線
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國(guó)·甲卷理）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)
高頻考點(diǎn)一：平面向量的概念與表示
典型例題
例題1．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
例題2．（23-24高一下·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）給出下列物理量：（1）質(zhì)量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）電流強(qiáng)度；（9）體積.其中不是向量的有（ ）
A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一·全國(guó)·專題練習(xí)）給出下列物理量：①密度；②溫度；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.正確的是( )
A．①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量
C．①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量
2．（2023高一·全國(guó)·單元測(cè)試）下列各量：①數(shù)軸；②溫度；③拉力；④密度；⑤風(fēng)速.其中是向量的有 個(gè).
高頻考點(diǎn)二：模
典型例題
例題1．（23-24四川南充·一模）已知正方形的邊長(zhǎng)為1，則（ ）
A．0 B． C． D．4
例題2．（23-24高一下·甘肅·期末）若正方形的邊長(zhǎng)為2，則（ ）
A． B． C． D．
例題3．（多選）（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知非零向量、，下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24·福建南平·模擬預(yù)測(cè)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M滿足，則（ ）
A． B．1 C． D．
2．（23-24高一下·江西上饒·階段練習(xí)）已知四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，求：
(1)；
(2)
高頻考點(diǎn)三：零向量與單位向量
典型例題
例題1．（2023·北京大興·三模）設(shè)，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
例題2．（多選）（23-24高一下·甘肅白銀·期中）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若，則 B．若與共線，則與方向相同或相反
C．若，為單位向量，則 D．是與非零向量共線的單位向量
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·湖南益陽(yáng)·階段練習(xí)）給出下列四個(gè)說(shuō)法：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則.其中正確的說(shuō)法有（ ）個(gè).
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·福建廈門·開(kāi)學(xué)考試）下列命題不正確的是（ ）
A．零向量是唯一沒(méi)有方向的向量
B．零向量的長(zhǎng)度等于0
C．若，都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線
D．若，，則
例題3．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式：
(1)；
(2)．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·河南濮陽(yáng)·階段練習(xí)）在正六邊形中，（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）下列四式不能化簡(jiǎn)為的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一下·廣東江門·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)： .
高頻考點(diǎn)六：平面向量的數(shù)乘
典型例題
例題1．（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）在△ABC中，記，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式：
(1)3；
(2)；
(3)2．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）若，設(shè)，則的值為 .
2．（23-24高一下·廣東惠州·開(kāi)學(xué)考試）化簡(jiǎn)： .
高頻考點(diǎn)七：共線向量定理的應(yīng)用
典型例題
例題1．（23-24高一下·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)不共線，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù) 的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
例題2．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若向量與向量共線，則（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（23-24高一下·福建莆田·期中）如圖，在中，是的中點(diǎn)，．

(1)若，，求；
(2)若，求的值．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知向量與且則一定共線的三點(diǎn)是（ ）
A．A，C，D三點(diǎn) B．A，B，C三點(diǎn)
C．A，B，D三點(diǎn) D．B，C，D三點(diǎn)
2．（23-24高一下·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）已知為非零不共線向量，向量與共線，則（ ）
A． B． C． D．8
3．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知，是兩個(gè)不共線的單位向量，，，若與共線，則 .
第四部分：典型易錯(cuò)題型
備注：“”的方向是任意的
1．（22-23高三上·四川成都·期中）關(guān)于向量，，，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，，則
C．若，則 D．若，則
第五部分：新定義題
1．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)（其中為常數(shù)，且），點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)設(shè)點(diǎn)為線段近的三等分點(diǎn)，，求的值；
(2)如圖所示，設(shè)點(diǎn)是線段的等分點(diǎn)，其中，
①當(dāng)時(shí)，求的值（用含的式子表示）；
②當(dāng)時(shí).求的最小值.
（說(shuō)明：可能用到的計(jì)算公式：）.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
第01講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算
目錄
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 4
高頻考點(diǎn)一：平面向量的概念與表示 4
高頻考點(diǎn)二：模 5
高頻考點(diǎn)三：零向量與單位向量 7
高頻考點(diǎn)四：相等向量 9
高頻考點(diǎn)五：平面向量的加法與減法 11
高頻考點(diǎn)六：平面向量的數(shù)乘 13
高頻考點(diǎn)七：共線向量定理的應(yīng)用 14
第四部分：典型易錯(cuò)題型 17
備注：“”的方向是任意的 17
第五部分：新定義題 17
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、向量的有關(guān)概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)
向量表示方法：向量或；模或.
（2）零向量：長(zhǎng)度等于0的向量，方向是任意的，記作.
（3）單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量，常用表示.
特別的：非零向量的單位向量是.
（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，與共線可記為；
特別的：與任一向量平行或共線.
（5）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量，記作.
（6）相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量，記作.
2、向量的線性運(yùn)算
2.1向量的加法
①定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.對(duì)于零向量與任意向量，我們規(guī)定.
②向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）
已知非零向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.
③向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點(diǎn),四邊形,對(duì)角線）
已知兩個(gè)不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點(diǎn)的向量(是的對(duì)角線)就是向量與的和.這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.
2.2向量的減法
①定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即.
②向量減法的三角形法則（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量）
已知向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量.如圖所示
如果把兩個(gè)向量,的起點(diǎn)放在一起,則可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.
2.3向量的數(shù)乘
向量數(shù)乘的定義:
一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作.它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：
①
②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，.
3、共線向量定理
①定義：向量與非零向量共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，.
②向量共線定理的注意問(wèn)題：定理的運(yùn)用過(guò)程中要特別注意；特別地，若，實(shí)數(shù)仍存在，但不唯一．
4、常用結(jié)論
4.1向量三角不等式
①已知非零向量，，則（當(dāng)與反向共線時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)與同向共線時(shí)右邊等號(hào)成立）；
②已知非零向量，，則（當(dāng)與同向共線時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)與反向共線時(shí)右邊等號(hào)成立）；
記憶方式：（“符異”反向共線等號(hào)成立；“符同”同向共線等號(hào)成立）如中，中間連接號(hào)一負(fù)一正“符異”，故反向共線時(shí)等號(hào)成立；右如：中中間鏈接號(hào)都是正號(hào)“符同”，故同向共線時(shí)等號(hào)成立；
4.2中點(diǎn)公式的向量形式：
若為線段的中點(diǎn)，為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則.
4.3三點(diǎn)共線等價(jià)形式：
（，為實(shí)數(shù)），若，，三點(diǎn)共線
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國(guó)·甲卷理）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.
【詳解】因?yàn)?所以,
即,即,所以.
如圖,設(shè),
由題知,是等腰直角三角形,
AB邊上的高,
所以,
,
.
故選:D.
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)
高頻考點(diǎn)一：平面向量的概念與表示
典型例題
例題1．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷.
【詳解】對(duì)于A：若，則只是大小相同，并不能說(shuō)方向相同，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：若，則方向相同，C 正確；
對(duì)于D：若，如果為零向量，則不能推出平行，D錯(cuò)誤.
故選：C.
例題2．（23-24高一下·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）給出下列物理量：（1）質(zhì)量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）電流強(qiáng)度；（9）體積.其中不是向量的有（ ）
A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的概念，即可得出答案.
【詳解】看一個(gè)量是不是向量，就要看它是否具備向量的兩個(gè)要素：大小和方向.
（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，
（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小沒(méi)有方向，不是向量.
故選：A.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一·全國(guó)·專題練習(xí)）給出下列物理量：①密度；②溫度；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.正確的是( )
A．①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量
C．①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的定義即可判斷.
【詳解】密度、溫度、質(zhì)量、功只有大小，沒(méi)有方向，是數(shù)量；
速度、位移既有大小又有方向，是向量．
故選：D．
2．（2023高一·全國(guó)·單元測(cè)試）下列各量：①數(shù)軸；②溫度；③拉力；④密度；⑤風(fēng)速.其中是向量的有 個(gè).
【答案】2
【分析】根據(jù)向量的定義判斷即可．
【詳解】既有大小，又有方向的量叫做向量；
溫度、密度、風(fēng)速只有大小沒(méi)有方向，因此不是向量；
而數(shù)軸、拉力既有大小，又有方向，因此它們都是向量.
故答案為:2.
高頻考點(diǎn)二：模
典型例題
例題1．（23-24四川南充·一模）已知正方形的邊長(zhǎng)為1，則（ ）
A．0 B． C． D．4
【答案】C
【分析】利用向量運(yùn)算法則得到.
【詳解】，
因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為1，所以，
故.
故選：C
例題2．（23-24高一下·甘肅·期末）若正方形的邊長(zhǎng)為2，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可求解．
【詳解】由正方形的邊長(zhǎng)為2，則，
所以．
故選：A．

例題3．（多選）（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知非零向量、，下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】BD
【分析】
利用向量、共線向量、相等向量等概念逐項(xiàng)判斷.
【詳解】
對(duì)于A，向量是具有方向的量，
若，則向量與的大小一樣，方向不確定，不一定共線，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，則一定有，故B正確；
對(duì)于C，若，則只能說(shuō)明非零向量、共線，
當(dāng)、大小不同或方向相反時(shí)，都有，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，則、共線且方向相同，所以，故D正確．
故選：BD．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24·福建南平·模擬預(yù)測(cè)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M滿足，則（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)幾何關(guān)系求解.
【詳解】
如圖，，所以M是AC的中點(diǎn)，；
故選：C.
2．（23-24高一下·江西上饒·階段練習(xí)）已知四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，求：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)2
【分析】利用向量的加減法法則化簡(jiǎn)向量即可解決問(wèn)題.
【詳解】（1）四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，
（2）
高頻考點(diǎn)三：零向量與單位向量
典型例題
例題1．（2023·北京大興·三模）設(shè)，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案.
【詳解】由表示單位向量相等，則同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出，
由表示同向且模相等，則，
所以“”是“”的必要而不充分條件.
故選：B
例題2．（多選）（23-24高一下·甘肅白銀·期中）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若，則 B．若與共線，則與方向相同或相反
C．若，為單位向量，則 D．是與非零向量共線的單位向量
【答案】AD
【分析】
根據(jù)零向量的定義與性質(zhì)，單位向量的定義以及共線向量的定理，可得答案.
【詳解】對(duì)于A，根據(jù)零向量的定義，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，顯然與共線，當(dāng)零向量的方向是任意的，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)，，顯然為單位向量，但，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，則為單位向量，由，則向量與共線，故D正確.
故選：AD.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·湖南益陽(yáng)·階段練習(xí)）給出下列四個(gè)說(shuō)法：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則.其中正確的說(shuō)法有（ ）個(gè).
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)零向量定義、向量模長(zhǎng)、平行的定義等知識(shí)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于①，模長(zhǎng)為零的向量為零向量，①正確；
對(duì)于②，的模長(zhǎng)相同，但方向不確定，未必同向或反向，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，若，則同向或反向，但模長(zhǎng)未必相同，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，成立，但此時(shí)未必平行，④錯(cuò)誤.
故選：A.
2．（23-24高三上·福建廈門·開(kāi)學(xué)考試）下列命題不正確的是（ ）
A．零向量是唯一沒(méi)有方向的向量
B．零向量的長(zhǎng)度等于0
C．若，都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線
D．若，，則
【答案】A
【分析】
AB選項(xiàng)，由零向量的定義進(jìn)行判斷；C選項(xiàng)，根據(jù)共線向量，單位向量和零向量的定義得到C正確；D選項(xiàng)，根據(jù)向量的性質(zhì)得到D正確.
【詳解】
A選項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長(zhǎng)度為0，故B正確；
C選項(xiàng)，因?yàn)榕c都是單位向量，所以只有當(dāng)與是相反向量，即與是反向共線時(shí)才成立，故C正確；
D選項(xiàng)，由向量相等的定義知D正確.
故選：A
高頻考點(diǎn)四：相等向量
典型例題
例題1．（22-23高一下·北京·期中）給出下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，，則
C．若且，則 D．若，，則
【答案】B
【分析】根據(jù)向量平行及相等定義分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】
對(duì)于A，當(dāng)與方向不同時(shí)，不成立，∴A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，若，，則，∴B正確，
對(duì)于C，當(dāng)與方向相反時(shí)，不成立，∴C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，滿足，，但不一定成立．所以D錯(cuò)誤.
故選：B．
例題2．（多選）（22-23高一下·湖南益陽(yáng)·階段練習(xí)）下列說(shuō)法不正確的有（ ）
A．若，，則 B．若，則與的方向相同或相反
C．若，則 D．若，，則
【答案】BCD
【分析】
根據(jù)向量的有關(guān)概念逐一判斷即可.
【詳解】若，，則，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)有一個(gè)為零向量時(shí)不成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)與垂直時(shí)，可得，但推不出，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)不成立，故D錯(cuò)誤，
故選：BCD.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)向量相等的定義判斷A，根據(jù)向量的加法減法運(yùn)算法則判斷BCD.
【詳解】
對(duì)于A，因?yàn)橄蛄糠较虿煌裕蔄錯(cuò)；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)；
對(duì)于C，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知，，故C錯(cuò)；
對(duì)于D，根據(jù)向量減法運(yùn)算可知，，故D對(duì).
故選：D
2．（23-24高一下·廣東東莞·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)點(diǎn)是正方形的中心，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B． C． D．與共線
【答案】B
【分析】
畫(huà)出圖形，結(jié)合相等向量與共線向量的定義判斷即可.
【詳解】
如圖，

因?yàn)椋较蛳嗤L(zhǎng)度相等，故，故A正確；
因?yàn)椋较虿煌剩蔅錯(cuò)誤；
因?yàn)椋c(diǎn)共線，所以，故C正確；
因?yàn)椋耘c共線，故D正確.
故選：B
高頻考點(diǎn)五：平面向量的加法與減法
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）下列各式中不能化簡(jiǎn)為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量加、減運(yùn)算法則及運(yùn)算律計(jì)算可得.
【詳解】對(duì)于A：，故A不合題意；
對(duì)于B：，故B滿足題意；
對(duì)于C：，故C不合題意；
對(duì)于D：，故D不合題意.
故選：B
例題2．（23-24高一下·江西九江·階段練習(xí)）下列各式化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則求解.
【詳解】對(duì)于A，若，則，則，矛盾，A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，因?yàn)椋裕珺錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，D正確；
故選：D.
例題3．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量的加減法運(yùn)算即可得答案；
（2）由向量的加減法運(yùn)算即可得答案.
【詳解】（1）．
（2）.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·河南濮陽(yáng)·階段練習(xí)）在正六邊形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合正六邊形的幾何性質(zhì)可化簡(jiǎn)所求向量.
【詳解】由正六邊形的性質(zhì)可知，、互為相反向量，
所以，.
故選：A.
2．（23-24高一下·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）下列四式不能化簡(jiǎn)為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由向量的加法或減法原則求解即可.
【詳解】，
，，
.
故選：A.
3．（23-24高一下·廣東江門·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)： .
【答案】/
【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解.
【詳解】.
故答案為：
高頻考點(diǎn)六：平面向量的數(shù)乘
典型例題
例題1．（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）在△ABC中，記，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先用表示，然后利用得到的表達(dá)式，最后利用得到的表達(dá)式.
【詳解】由，得，
又因?yàn)椋?br/>故，A正確.
故選：A.
例題2．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式：
(1)3；
(2)；
(3)2．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用向量的數(shù)乘運(yùn)算計(jì)算即可.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）若，設(shè)，則的值為 .
【答案】2
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>則，
又因?yàn)椋?br/>所以.
故答案為：.
2．（23-24高一下·廣東惠州·開(kāi)學(xué)考試）化簡(jiǎn)： .
【答案】
【分析】
利用向量的線性運(yùn)算即可得解.
【詳解】
.
故答案為：.
高頻考點(diǎn)七：共線向量定理的應(yīng)用
典型例題
例題1．（23-24高一下·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)不共線，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù) 的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】由向量共線定理求解．
【詳解】由已知，
又三點(diǎn)共線，則共線，而不共線，，
所以，即，
故選：A．
例題2．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若向量與向量共線，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量共線，求得關(guān)于的方程，求解即可.
【詳解】因?yàn)椋莾蓚€(gè)不共線的向量，由，共線，
則存在實(shí)數(shù)，使得，則，解得或，則.
故選：B.
例題3．（23-24高一下·福建莆田·期中）如圖，在中，是的中點(diǎn)，．

(1)若，，求；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量線性運(yùn)算和向量數(shù)量積的運(yùn)算律直接求解即可；
（2）利用向量線性運(yùn)算可得，根據(jù)三點(diǎn)共線可構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【詳解】（1）為中點(diǎn)，，
，.
（2），，，
三點(diǎn)共線，，解得：.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知向量與且則一定共線的三點(diǎn)是（ ）
A．A，C，D三點(diǎn) B．A，B，C三點(diǎn)
C．A，B，D三點(diǎn) D．B，C，D三點(diǎn)
【答案】C
【分析】利用向量的線性運(yùn)算及共線定理即可求解.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?br/>所以，
所以,所以A，C，D三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br/>所以,所以A，B，C三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?br/>所以，
所以，又是與的公共點(diǎn)，
所以A，B，D三點(diǎn)共線，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br/>所以,所以B，C，D三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
2．（23-24高一下·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）已知為非零不共線向量，向量與共線，則
選項(xiàng)D，因向量不能比較大小，只有模長(zhǎng)才能比較大小，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：C
第五部分：新定義題
1．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)（其中為常數(shù)，且），點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)設(shè)點(diǎn)為線段近的三等分點(diǎn)，，求的值；
(2)如圖所示，設(shè)點(diǎn)是線段的等分點(diǎn)，其中，
①當(dāng)時(shí)，求的值（用含的式子表示）；
②當(dāng)時(shí).求的最小值.
（說(shuō)明：可能用到的計(jì)算公式：）.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】(1)利用向量的線性運(yùn)算得出，結(jié)合即可得出結(jié)果；
(2)①由題意可得，進(jìn)而推出，代入題中的等式即可；②當(dāng)a=b=1，n=10時(shí)，，，進(jìn)而得到，從而得，列出i的取值即可得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.
【詳解】（1）因?yàn)?br/>而點(diǎn)P為線段AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，
則，可得，所以.
（2）①由題意得，
，
所以，
事實(shí)上，對(duì)任意正整數(shù)m，n，且，
有
，
所以
所以.
②當(dāng)時(shí)，
，同理，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，上式有最小值
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，上式有最小值；
綜上，的最小值是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（2）中主要是找到當(dāng)時(shí)，可得，然后可利用倒序相加法可求解；（3）中可利用（2）中結(jié)論分別求得的坐標(biāo)表達(dá)式，然后利用平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)表達(dá)運(yùn)算可求得的值，然后再分情況討論，從而可求解.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開(kāi)更多......

收起↑