資源簡介

2.2有理數的乘法與除法知識點講解
知識點 1 有理數的乘法
【舉例講解】
一只小蟲沿一條東西向的路線，以每分鐘3米的速度向東爬行2分鐘，那么它現在的位置位于原來位置的哪個方向 相距多少米
我們知道這個問題可以用乘法來解答3×2=6，即小蟲位于原來位置的東邊6米處，注意，這里我們規定向東為正，向西為負.如果上述問題變為：小蟲以每分鐘3米的速度向西爬行2分鐘，那么結果有何變化
這時小蟲位于原來位置的西邊6米處，寫成算式就是( -3)×2=-6.
從上面的計算中可以看出，當把其中一個因數“3”換成它的相反數“-3”時，所得的積是原來的積“6”的相反數“-6”.一般地，兩數相乘，若把一個因數換成它的相反數，則所得的積是原來的積的相反數.
你會計算3×( -2)嗎 我們把“2”變成它的相反數“--2”，所以積也變為“6”的相反數為“-6”，那么(﹣3)×(﹣2)呢 由于把“3”變為它的相反數“﹣3”,它的積應該是“ -6”的相反數是6.
【歸納總結】
知識歸納
有理數的乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘，任何數與0 相乘都得0.
拓展點：三個或三個以上有理數相乘時，根據法則可以從左到右先把兩個因數相乘，然后把所得的積與另外的因數依次相乘.
方法歸納
(1)確定符號時要注意相乘兩數的符號是同號還是異號或者是一個為零，只有非零的兩數相乘才能使用此法則；
(2)數字處理是在符號確定后進行的，其方法與小學的一樣；
(3)不要與加法法則混為一談，錯誤理解為“同號取原來的符號”，如把( -2)×( -3)錯誤地取“取原來的符號‘ -’,再把絕對值相乘,得-6”.
知識點 2 有理數的乘法運算律
【舉例講解】
在小學時，我們學習過乘法的交換律、結合律和分配律.
如3×5=5×3,(3×5)×2=3×(5×2).
1.在有理數的乘法中還滿足這一規律嗎 看下面的問題：
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(1)5×(-3)= ;(-3)×5= .
(2)(﹣1) × (﹣3) = ;(﹣3) × (﹣1)= ·
(3)0 × (-6.7)= ;(-6.7) ×0= .
根據有理數的乘法法則可得，第1題的結果分別是-15,-15,結果相等,即5 ×(-3)=(-3)×5;第2題的結果分別是3,3,結果相等,即( ﹣1)×(﹣3)=(--3)×(-1);第3題的結果是0,0,結果相等,即0 ×( -6.7) =( -6.7)×0.從這三個問題中可以看出在有理數的乘法中滿足乘法的交換律.
2.對于乘法的結合律是不是也滿足，看下面的問題：
(1)[(-3)×(-4)] ×5= ;(-3)× [(-4)×5]= .
(2)[(-5)×(-2)] ×(-6)= ;(-5)×[(-2)×(-6)]= .
根據有理數乘法法則可得，第1題的結果分別是60，60,結果相等,即[(﹣3)×(﹣4)] ×5 =(﹣3)×[(-4)×5];第2題的結果分別是-60,-60,結果相等,即[(﹣5)× (﹣2)] ×(﹣6) =(﹣5) ×[(﹣2)×( -6)].從這兩個問題中可以看出在有理數的乘法中滿足乘法的結合律.
2.對于乘法的分配律是不是也滿足，看下面的問題：
105=35–15–21= –1.
= -1.
所以有理數的乘法也可以用乘法分配律計算.
【歸納總結】
知識歸納
(1)乘法的交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積相等,即 ab= ba.
(2)乘法的結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘,積相等,即( ab)c=a( bc).
(3)乘法的分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加，即a(b+c)= ab+ ac,其中a,b,c均為有理數.
方法歸納
(1)a，b，c為有理數，可以是正數或負數，也可以是零；
(2)運用運算律是為了簡便運算，如乘法分配律：a(b+c)= ab+ ac,有時可反過來用,即 ab+ ac=a(b+c).
知識點3 多個有理數相乘
【舉例講解】
計算下列各題，從中找出規律：
(1)-1×1×1×1×1×1= .
(2)-1×( -1)×1×1×1×1 = .
(3)-1×(-1)×(-1)×1×1×1= .
(4)-1×(-1)×(-1)×(-1)×1×1= .
(5)-1×(-1)×(-1)×(-1)×( -1)×1= ·
(6)-1×(-1)×(-1)×(-1)×(-1)×(-1)= ·
利用有理數的乘法法則，第(1)題從左到右依次計算可得結果是-1；第(2)題從左到右依次計算可得結果是1；第(3)題從左到右依次計算可得結果是-1；第(4)題從左到右依次計算可得結果是1；第(5)題從左到右依次計算可得結果是-1；第(6)題從左到右依次計算可得結果是1.
從上面的結果上可以看出第(1)、(3)、(5)題的結果都是﹣1，從題目上可以看出這三個題中的負因數的個數是奇數個，積的符號是負號；第(2)、(4)、(6)題的結果是1，從題目上可以看出這三個題中的負因數的個數是偶數個，積的符號是正號，這樣可以得出多個有理數相乘積的符號的確定方法.
【歸納總結】
知識歸納
幾個因數相乘，有一個因數為零，積就為零；同樣，積為零，則至少有一個因數為零.
幾個不等于零的數相乘，積的正負號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正.
方法歸納
幾個不等于0的有理數相乘，積的符號由負因數的個數決定，確定符號后，然后把這幾個有理數的絕對值相乘，絕對值相乘和小學里學習的多數相乘的方法相同.
知識點4 倒數
【舉例講解】
請寫出下列各數的倒數：
5 ， ， ，0.6,
在小學時我們學習過，兩數的乘積為1，這兩個數互為倒數，根據乘法，可 這說明5 互為倒數 與2互為倒數，要想求出小數的倒數，把化成分數，求帶分數的倒數，要先把帶分數化成假分數.
所以上面數的倒數依次為： ，我們學習了負數后，在兩個負數中也存在兩個負數的乘積為1，如 由倒數的定義可知--5與 互為倒數， 與﹣2互為倒數，這樣我們把倒數的概念擴大到有理數中，注意0沒有倒數.
【歸納總結】
知識歸納
乘積是1的兩個數互為倒數，如3 與 與 分別互為倒數.
拓展點：如果兩個數的乘積為﹣1，這兩個數互為負倒數，如 與 互為負倒數.
方法歸納
(1)求一個整數的倒數時，直接寫成“這個數分之一”即可；
(2)求一個分數的倒數時，就是把這個分數的分子和分母交換位置；
(3)0沒有倒數.
知識點5 有理數的除法
【舉例講解】
某一水庫檢測員每天對水庫的水位進行檢測，七月份進入雨季，水位連續上升，3天共上升了15 厘米，平均每天上升多少厘米 你能列出算式嗎
列出算式就是15÷3=5(厘米).
今年冬季干旱無雪，水位連續下降，3天共下降了15厘米，平均每天水位下降多少 你能列出算式嗎 在有理數中，可規定上升為正，下降為負，所以列出算式就是(--15)÷3，你會計算嗎 我們知道除法可以變成乘法，要計算( -15)÷3，就是要找到一個數使它與3 的積是-15,根據有理數的乘法可得,(-5)×3 = -15,根據這個算式不難求出( -15)÷3= -5，仿照這個問題計算：
(1) 因為 5 × ( --3) = --15,所以( - 15) ÷( -3)=5;
(2)因為( -5)×( -3)=15,所以15÷( -3)=-5.
下面總結一下有理數的除法法則吧！
【歸納總結】
知識歸納
有理數的除法法則1：除以一個數等于乘這個數的倒數.
有理數的除法法則2：兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.零除以任何一個不等于零的數，都得零.
方法歸納
(1)0不能作除數；
(2)1除以任何不為零的數，都等于這個數的倒數；
(3)對于除法的兩個法則，在計算時可根據具體的情況選用，一般在不能整除的情況下應用第二個法則.
知識點 6 有理數的乘、除混合運算
【舉例講解】
請計算下列各題，并總結運算順序：
第(1)題中有乘法和除法，利用除法法則可以先把除法變為乘法，然后按照多個有理數相乘的法則進行運算， ；第(2)題中有乘除法和減法，可以先計算減號前后的乘除，最后計算減法， 3--9=-9-9=-18;第(3)題中有乘法和除法,利用除法法則可以先把除法變為乘法，然后按照從左到右的順序依次進行計算， 第(4)題把除法統一成乘法，然后按照乘法的法則進行計算， 第(5)題屬于乘除運算，含有平方，小學里學方運算，但是仔細觀察，發現有一個因數是0，所以這個算式的值為0；第(6)題屬于加法與乘除法的混合運算，先計算加號前后的乘除，最后計算加法 從上面的計算過程可以得出在有理數的計算中，乘除屬于同一級運算，如果運算中只有乘除，從左到右依次進行計算；加減屬于同一級運算，如果運算中只有加減，從左到右依次進行計算；在一個算式中，如果有加減與乘除時，先計算乘除，再計算加減.
【歸納總結】
知識歸納
(1)有理數的乘除混合運算往往先將除法轉化為乘法，然后按照乘法法則確定積的符號；
(2)有理數的乘除是同級運算，應按照從左到右的順序進行.
方法歸納
在進行乘除混合運算時，除了要注意運算法則外，還要注意一點，那就是“一定符號，二定順序”，即先定符號，再確定絕對值運算的順序，乘除混合運算，一般從左到右進行或將除法轉化為乘法進行運算
課后滿分闖關
1.一個有理數和它的相反數相乘，積為( )
A.正數 B.負數
C.正數或0 D.負數或0
2.下列運算錯誤的是( )
A.(-3)×(-4)=12
C.(-5)×( -4)×0=0
D.( -2)×( -3)×4=24
3.下列運算結果等于1 的是( )
A.( -3)+(-3) B.(-3)-(-3)
C.(-3)×(-3) D.(-3)÷(-3)
4.計算:
5. 若 則a,b,c的大小關系是 .
6.設x,y表示數,規定x & y=3x-2y,如3 & 4=3×3-2×4=1,則8 &(-3)= .
7.計算:
8.用簡便方法計算：
(4) -3.14×35.2 +6.28×( -23.3) -1.57 ×36.4.
9.學完“有理數的乘法”后，老師在課堂上出了下面一道計算題：
不一會兒，不少同學算出了.現在老師把班上同學的解題過程歸類寫到黑板上.
解法一：原式
解法二：原式
解法三：原式
對這三種解法，大家議論紛紛，你認為哪種方法最好 理由是什么 本題對你有何啟發
10.冷凍廠的一個冷庫的室溫是-4℃，現有一批食品需要 冷藏.如果每小時能降溫6℃，問：多長時間能降到要求的溫度
1.答案:D 解析:如1×( -1) =-1,一個正數和一個負數相乘,積為負數，但不要漏掉兩數均為0的情況.
2.答案：B 解析：B中積的符號應為正.
3.答案:D 解析:(-3)+(-3)=-6,(-3)-(-3)=0,(-3)×(-3)=9,(-3)÷(-3)=1.
4.答案:-3 解析: 或原式 =
5.答案:c6.答案:30 解析:8&( -3)=3×8-2×(-3)=30.
7.解:(
= -2;
8.解:
= -3+10-4-18
= -15;
=998 000-1
=997 999;
= -11;
(4)-3.14×35.2+6.28×( -23.3)-1.57×36.4
= -1.57×2×35.2+1.57×4×( -23.3)-1.57×36.4
=1.57×[-2×35.2+4×(-23.3)-36.4]
=1.57×(-70.4-93.2-36.4)
=1.57×( -200)
= -314.
9.解：解法二與解法三的方法較好；解法二與解法三巧妙地利用了拆分思想，把帶分數拆成一個整數與一個真分數的和或差的形式，再應用分配律，簡化了計算過程.我們在解題時要善于發現問題的特點.
10.解:[-30-( -4)]÷(-6)
=(-30+4)÷(-6)
=( -26)÷( -6)
(時).
答：需4小時20分鐘后才能降到所要求的溫度.

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