資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2.1有理數的加法和減法知識點講解
知識點 1 有理數的加法
【舉例講解】
小明在一條東西向的跑道上，先走了20 米，又走了30米，能否確定他現在的位置在哪個方向，與原來位置相距多少米
我們知道，求兩次運動的結果，可以用加法來解答，可是上述問題不能得到確定的答案，因為小明最后的位置與行走方向有關.
我們必須把這一問題說明確些，不妨規定向東為正，向西為負.
(1)若兩次都是向東走，則一共向東走了50米，寫成算式是( +20)+( +30)= +50,即小明現在位于原來位置的東邊50 米處.
這一運算過程在數軸上表示如圖3-1-2所示.
(2)若兩次都是向西走，則小明現在位于原來位置的西邊50米處，寫成算式是(
(3)若第一次向東走20米，第二次向西走30米，在數軸上，我們可以看到，小明位于原來位置的西邊10 米處.如圖3-1-3所示.
寫成算式是( +20)+( -30) = -10.
(4)若第一次向西走20 米，第二次向東走30米，則小明位于原來位置的東邊10米處，如圖3-1-4所示.
寫成算式是( -20)+( +30) = +10.
從上面幾個問題可以看出，當兩個數都是正數時，和的符號是正號，并把這兩個數相加；當兩個數都是負數時，和的符號是負號，并把這兩個數的絕對值相加；當兩個數一正一負時，和的符號可能是正號，也可能是負號，關鍵是看誰的絕對值大，并取絕對值大的數的符號，用較大的絕對值減去較小的絕對值.
【歸納總結】
知識歸納
(1)同號兩數相加，取相同的正負號，并把絕對值相加.
如(-5)+(-2)=-(|-5|+|-2|) =-7.
(2)絕對值不等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大數的絕對值減去較小數的絕對值.
如( -8)+( +3) = --(| -8|--| +3|)= --(8-3)=-5;(+8)+(-3)=+(1+8|-|-3|)=+(8-3)= +5.
(3)互為相反數的兩個數相加得零.如( -2011)+( +2011)=0.
(4)一個數與零相加，仍得這個數.如( -3)+0=-3;( +3)+0= +3.
方法歸納
(1)絕對值不等的異號兩數相加時，先確定和的符號，再用較大數的絕對值減去較小數的絕對值.
(2)有理數的加法運算最重要的是確定結果的正負號.
(3)如果兩個數的和為零，那么這兩個數互為相反數.
知識點 2 有理數的加法運算律
【舉例講解】
在小學里我們學習過加法的交換律及結合律.
如3+5=5+3;(3+5)+2=3+(5+2).
那么有理數的加法是不是也滿足這一規律呢 看下面的問題.
1.5+(-3)= ;(-3)+5= .
2.(-1.5)+(-3.5)= ;(-3.5)+(-1.5)= ·
根據有理數的加法法則可得，第1題的結果分別是2,2,結果相等,即. ；第2 題的結果分別是 ，結果相等，即( ；第3 小題的結果是 ，結果相等，即( .從這三個問題中可以看出有理數的加法滿足加法的交換律.
是不是也滿足加法的結合律，看下面的問題：
5]= .
2.[(﹣5)+(﹣3.5)]+(﹣4.5)= ;(﹣5)+[( -3.5)+(-4.5)]= .
根據有理數加法法則可得，第l 題的結果分別是-2,-2,結果相等,即[(-3)+(-4)]+5=( -3)+[(-4)+5];第2題的結果分別是-13,-13,結果相等,即[(-5)+(-3.5)]+(-4.5)=(-5)+[(-3.5)+( -4.5)].從這兩個問題可以看出有理數的加法運算滿足加法的結合律.
【歸納總結】
知識歸納
有理數的加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置,和不變.即a+b=b+a.
有理數的加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變.即(a+b) +c=a+(b+c).
拓展點：當四個或四個以上的有理數相加時，可以通過加法結合律，讓其中的兩個或三個相加，把所得的和與另外的加數相加.
方法歸納
(1)應用交換律時，要連同加數的符號一起交換位置，交換的原則是正數與正數放在一起，負數與負數放在一起.
(2)交換律與結合律中的字母a，b，c除了表示正數外，還可以表示負數和0.
知識點3 有理數的減法
【舉例講解】
1.已知甲、乙兩個小島，甲島的海拔高度為-30米，乙島的海拔高度為-50米，則甲島比乙島高出多少米
2.某天的最高氣溫是3℃，最低氣溫是-5℃，則這天的最高氣溫與最低氣溫的溫差是多少攝氏度
3.全班學生分為五個組進行答題游戲，每組的基本得分為100分，答對一題得50分，答錯一題扣50分，游戲結束時，各組得分情況如下：
第一 小組 第二 小組 第三 小組 第四 小組 第五 小組
100 -150 -400 0 -100
回答下列問題：
(1)第一名超過第五名多少分
(2)第二小組比第三小組多得多少分
第1題，用海拔高的減去海拔低的，列算式是( -30)-( -50),如圖3-1-5 所示,在數軸上-30與-50相差了20,所以(-30)-( -50)=20.
因為( ﹣30) +50 =20,所以可以得到(﹣30)﹣( -50)=(-30)+50,注意這個算式從左到右的變化,其中的減法變為加法，減數由﹣50變為50.
第2題，氣溫3℃到-5℃之間相差了8℃，所以最高溫度比最低溫度高了8℃，列算式為3-(-5)=8，因為3+5=8,所以3-(-5)=3+5,該算式也滿足上面的變化規律.
第3題，(1)第1名是第一小組，得分100分，第5名是第三小組，得分﹣400，它們之間從數軸上可以看出相差了500分,所以列算式為100﹣( ﹣400)=500,由100+400=500,可得到100﹣( ﹣400)=100﹢400,該算式也滿足上面的變化規律；
(2)第二小組的得分是-150，第三小組的得分是-400,第二小組比第三小組多得-150-( -400),依照上面的規律可知-150+400=250(分).
從上面的問題可知，有理數的減法可以變成加法進行計算，但是減法變成加法時，注意兩個變化，一個是運算符號的“減”變成“加”，另一個是減數要變成它的相反數.
【歸納總結】
知識歸納
減去一個數等于加上這個數的相反數，即
(1)a-b=a+(-b);
(2)a-(-b)=a+(+b);
(3)a-( +b)=a+(-b).
0減一個數等于這個數的相反數.
方法歸納
(1)不論減數是正數、負數或是零，都符合有理數減法法則.在使用法則時，注意被減數是不變的.
(2)進行有理數減法運算有兩步：第一，將算式中的減號變為加號；第二，將減數變為它的相反數，即遵循“二變”原則.
知識點4 省略括號的和的形式
【舉例講解】
你會計算( +13) --(-5) +(-6) --( --10) -( +4)嗎
由于有理數的減法可以變成加法運算，所以對于上面這個算式，我們根據有理數的減法法則從左到右依次進行“減”變“加”的運算.
原式變形為( ( ﹣4)，這樣一來，原來的算式就轉化成為求幾個有理數的和了，你能說出這個求和的算式中的各個加數分別是哪些數嗎 這些加數分別為 這樣上面這五個數都成了加數，為了簡便，可以把上面算式中的所有加號及括號都省略不寫，于是，這個算式就可寫為 ，這個式子的意義沒有改變，仍然是求上面這五個數的和，讀作“正13、正5、負6、正10、負4的和”，如果看作加減運算，上式也可以讀作“13 加5減6加10減4”.
【歸納總結】
知識歸納
加減混合運算，可以按照運算順序，從左到右逐一計算，通常也用有理數減法法則，把它改寫成只有加法的形式，即把減法統一成加法；把加減混合運算統一寫成加法的式子叫做和式，在一個和式里，通常把各個加數的括號和它前面的加號省略.加號的和式常有兩種讀法，如 可以改為 (--4)+(-5)，省略加號、括號后和的形式為 7--4-5,可以讀作“12,2,-7,-4,-5的和”,也可以讀作“12加2減7減4減5”.
方法歸納
先根據減法法則把算式統一成加法，再省略加號和括號，注意要保留括號里面的符號.
知識點5 有理數的加減混合運算
【舉例講解】
倉庫內原存有某種原料3500千克，一周內存入和領出情況如下(存入為正，領出為負.單位：千克)：350，-300,-650,600,-1800,-250,-200,問第七天末倉庫內還存有這種原料多少千克
因為原來有的原料與存入、領出的和就是最后倉庫內剩余的原料，所以列算式為：
( -250)+( -200).
由省略括號的方法，上面這個算式變為：
3500+350-300-650+600-1800-250-200,這樣就變成了三個正數與五個負數的和，可以先把正數與正數結合，負數與負數結合，再把所得結果相加即可，即
3 500 +350 +600 +( -300 -650 -1 800 -250-200)=4450+( -3 200)=1 250.
這個算式屬于有理數的加減混合運算，這種運算的方法是先把減法變成加法，然后省略加號與括號，然后利用加法交換律與結合律使混合運算變得簡單易算.
【歸納總結】
知識歸納
有理數加減混合運算的一般方法和步驟如下：
第一步，將算式中的減法都轉化為加法；
第二步，省略括號和括號前面的加號；
第三步，利用加法法則和加法運算律計算.
方法歸納
(1)對于有理數的加減混合運算，首先應統一成加法，然后省略加號.熟練后，統一成加法及省略加號可同時完成；
(2)在有理數的減法運算未轉化為有理數的加法運算時，被減數與減數的位置不能交換.對減法來講，沒有交換律；
(3)求若干個有理數的和時，應注意運用加法交換律、結合律，使用加法交換律的目的是進一步使用結合律，即把需要結合在一起計算的數換位放到一起.
課后滿分闖關
1.下列說法正確的有( )
①兩個有理數的和為正數時，這兩個數都是正數；②兩個有理數的和為負數時，這兩個數都是負數；③兩個有理數的和可能等于其中一個加數；④兩個有理數的和可能等于零.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.某市有一天的最高氣溫為 ，最低氣溫為 ，則這天的最高氣溫比最低氣溫高( )
3.如圖3-1-6所示，下面判斷正確的是( )
A. a-b>0
B. a-b<0
C. a-b=0
D. b-a>0
4.計算 所得的結果正確的是( )
5.小聰家在農業銀行繳付電費的存折中，2014 年12月 24 日至2015年1 月 24 日所反映的數據如下表：
日期 摘要 存( +)/支( -) 余額
2014.12.24 電費 -83.40 206.56
2014.12.27 續存 500.00 706.56
2015.01.01 息 8.23
2015.01.01 稅 -1.65
2015.01.24 電費 601.84
那么存折表格中的陰影處的數據為( )
A.111.30 B.129.95
C. -111.30 D. -129.95
6.已知甲地的海拔高度是300米，乙地的海拔高度為--50米，那么甲地比乙地高 米.
7.已知a的相反數是2,|b|=3,則a+b= .
8.在方框里填上適當的符號，使下列式子成立：
9.用簡便方法計算：
10.有一批食品罐頭，標準質量為每聽454克，現抽取10 聽樣品進行檢測，結果如下表(單位：克)：
聽號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
質量 444 459 454 459 454 454 449 454 459 464
這10聽罐頭的總質量是多少
1.答案：B 解析：①②不正確，異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，當正數的絕對值大時和為正數，反之為負數；③正確，一個數與0相加時仍得這個數；④正確，互為相反數的兩數相加和為0.
2.答案:A 解析:用最高溫度減去最低溫度即可.2-(-8) =2+8=10(℃).
3.答案：A 解析：從數軸上可以看出a>0，b<0，即a-b表示一個正數減一個負數，等于一個正數加一個正數，所以結果大于0.
4.答案:C 解析:
5.答案:C 解析:從表格可以發現2014 年 12 月 24 日支付電費83.40元后還剩下206.56元,而在2014 年12月27 日續存500元,余額為706.56元,2015年1月1日,余額利息為8.23 元,同時繳納利息稅1.65元,2015 年1 月24 日繳納電費后,余額為601.84 元,要計算2015 年 1 月24 日的電費,可用2015年1 月24 日前的余額減去與2015 年1 月 24 日后的余額,706.56+8.23-1.65-601.84=111.30(元).因為是支出,所以陰影處的數應是-111.30.
6.答案:350 解析:用甲地的高度減去乙地的高度,即300-( -50)=350(米).
7.答案：1或-5 解析：先確定a和b的值，再按有理數的加法計算.因為2的相反數是-2,所以a= -2.因為|b|=3,所以b=3或b=-3,所以a+b=(-2)+3=1或a+b=(-2)+(-3)=-5.
8.答案:(1)+ (2)+ (3)+ (4)-;+
9. 解: ( +10)=-(20-10) = -10;
( -7)=4;
10.解：把超過標準質量的克數用正數表示，不足標準質量的克數用負數表示，列出10聽罐頭的質量與標準質量的差值表如下：(單位：g)
聽號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
質量 -10 +5 0 +5 0 0 -5 0 +5 +10
這10聽罐頭的質量與標準質量的差值和為
(-10)+5+0+5+0+0+(-5)+0+5+10=[(-10)+10]+[(-5)+5]+(5+5)=10(g).
因此,這10聽罐頭的總質量為454×10+10=4550(g).

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