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第四周 三角函數的圖象與性質
——高考數學大單元每周拔高練
【答題技巧】
1.解決三角函數的圖象變換問題的基本方法
（1）直接法：平移變換規則是“左加右減，上加下減”，并且在變換過程中只變換自變量x，如果x的系數不是1，那么要先把x的系數提取出來再確定平移的單位長度和方向.
（2）方程思想法：可以把變換前后的兩個函數變為同名函數，且x的系數變為一致，通過列方程求解.
（3）數形結合法：平移變換的實質就是點的坐標的變換，橫坐標的平移交換對應著圖象的左右平移，縱坐標的平移變換對應著圖象的上下平移，一般可選定變換前后的兩個函數，的圖象與x軸的交點（如圖象上升時與x軸的交點），其分別為，（，），則由的值可判斷出左右平移的情況，由的值可判斷出上下平移的情況，由三角函數最小正周期的變化可判斷出伸縮變換的情況.
2.利用三角函數處理物理學問題的策略
（1）常涉及的物理學問題有單擺，光波，電流，機械波等，其共同的特點是具有周期性.
（2）明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應的三角函數知識結合解題.
【練習應用】
1.設函數.已知，，且的最小值為，則( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，若函數為奇函數，則的最小值是( )
A. B. C. D.
3.已知函數，若關于x的方程在上恰有一個實數根m，則( )
A.-2 B. C. D.2
4.記函數的最小正周期為T.若，且的圖象關于點中心對稱，則( )
A.1 B. C. D.3
5.阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業工程裝置.我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮樓神器”，如圖1.由物理學知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數關系式為（，），如圖2，若該阻尼器在擺動過程中連續三次到達同一位置的時間分別為，，（），且，，則在一個最小正周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于的總時間為( )
A. B. C. D.
6.已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，且.將圖象上所有點的橫坐標變為原來的，再向上平移1個單位長度，得到的圖象.若，，則的最大值為( )
A. B. C. D.
7.已知函數，，則存在，使得( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函數，的一個零點是，函數圖象的一條對稱軸是直線，則當取得最小值時，函數的單調遞增區間是( )
A.
B.
C.
D.
9.（多選）設函數，則( )
A.是偶函數 B.在區間上單調遞增
C.最大值為2 D.其圖象關于點對稱
10.（多選）如圖，函數的部分圖象與坐標軸分別交于點D，E，F，且的面積為，則( )
A.點D的縱坐標為1
B.在上單調遞增
C.點是圖象的一個對稱中心
D.的圖象可由的圖象上各點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位長度得到
11.若函數在區間上單調遞減，且在上的最大值為，則___________.
12.將函數的圖象向左平移個單位長度后得到曲線C，若曲線C關于y軸對稱，則曲線C的一個對稱中心為__________（答案不唯一，寫出一個即可）.
13.已知函數的圖象的一條對稱軸為直線，當時，的最小值為，則t的最大值為__________.
14.將函數的圖象上各點向右平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，則在區間上的值域為__________.
15.已知函數（，，）圖象的最高點為，距離該最高點最近的一個對稱中心為.
（1）求的解析式及單調遞減區間；
（2）若函數，的圖象關于直線對稱，且在上單調遞增，求實數a的值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因為，且，，，所以的最小正周期，所以.
2.答案：A
解析：由題意，知.因為為奇函數，所以，，所以，.又，所以當時，取得最小值.
3.答案：A
解析：若關于x的方程在上恰有一個實數根m，則，即在上恰有一個實數根m，因為π恰為的最小正周期，且當時，，所以，因為，所以，此時，，解得，所以.
4.答案：A
解析：因為，所以，解得.因為的圖象關于點中心對稱，所以，且，即，所以，又，所以，所以，解得，所以，所以.故選A.
5.答案：D
解析：因為，，，所以最小正周期，又，所以，所以，由可得，所以，，即，，因為，所以在一個最小正周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于的總時間為.故選D.
6.答案：C
解析：設的最小正周期為T，則由題圖可知，得，則，所以，又圖象的一個對稱中心為，所以，，故，，因為，所以，所以.又，故，所以.將圖象上所有點的橫坐標變為原來的，再向上平移1個單位長度，得到的圖象.因為，所以.由，可得，，即，.要使取得最大值，且，故令，得，令，得，所以的最大值為.
7.答案：C
解析：當時，，，所以，即，故排除A，D.
對于B，設，則.因為當時，，所以，即，所以在上單調遞減，.又當時，，，所以，所以，即，故B錯誤.
對于C，令，因為，，且函數的圖象是連續不斷的，所以函數在內存在零點，即存在，使得，即存在，使得，故C正確，選C.
8.答案：B
解析：依題意得，即，解得或（其中）.①
又，即（其中）.②
由得或，
即或（其中），又，所以的最小值為.因為，所以.
又，所以，
所以，
令，則.
因此當取得最小值時，的單調遞增區間是.
9.答案：AD
解析：函數
，，，為偶函數，故A正確.
令，，解得，，當時，，則函數在上單調遞增，故B不正確.的最大值為，故C不正確.
由，，解得，，可得當時，其圖象關于點對稱，故D正確.故選AD.
10.答案：ABC
解析：由題意得的最小正周期為，即，又，得，故點D的縱坐標為1，A正確；由，得，解得，又，則，故，當時，，由于在上單調遞增，故B正確；當時，，故點是圖象的一個對稱中心，C正確；的圖象上各點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變），得到的圖象，再向左平移個單位長度，得到的圖象，D錯誤.
11.答案：
解析：因為函數在上單調遞減，所以，，則.又函數在上的最大值為，所以，，得，.因為，所以，.
12.答案：（對稱中心坐標為）
解析：將的圖象向左平移個單位長度后得到曲線C，則曲線C對應的函數解析式為.
因為曲線C關于y軸對稱，所以，解得.又，則，所以曲線C對應的函數解析式為，由得，所以曲線C的一個對稱中心為.
13.答案：
解析：因為函數的圖象的一條對稱軸為直線，所以，得.又，所以，所以.令，由，得，則由題意知時，的最小值為，則由的圖象（如圖）與性質，知，得，即t的最大值為.
14.答案：
解析：將函數的圖象上各點向右平移個單位長度，得到的圖象，將所得的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，得到函數的圖象，當時，，則，所以在區間上的值域為.
15.答案：（1）；單調遞減區間為
（2）或
解析：（1）由題意分析知，，
所以，，所以.
將代入，得，
則，，即，，
又，所以，所以.
由，，可得，，
即的單調遞減區間為.
（2）由（1）可得，
由的圖象關于直線對稱，得，，即，，
當時，，由在上單調遞增，得，即.
又且，，所以或.

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