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第三周 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)
——高考數(shù)學(xué)大單元每周拔高練
【答題技巧】
1.利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值的思路
（1）給角求值問(wèn)題，關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值求解，轉(zhuǎn)化過(guò)程中注意口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的應(yīng)用.
（2）在對(duì)給定的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值時(shí)，要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給定的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化.特別要注意每一個(gè)角所在的象限，防止符號(hào)及三角函數(shù)名稱搞錯(cuò).
2.弧長(zhǎng)和扇形面積問(wèn)題的解題策略
（l）求扇形面積的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長(zhǎng)三個(gè)量中的任意兩個(gè)量.
（2）在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.
（3）求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法使問(wèn)題得到解決.
3.三角函數(shù)定義問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略
（1）已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可求角的三角函數(shù)值：先求點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求解.
（2）已知角的某個(gè)三角函數(shù)值，求角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值.
（3）三角函數(shù)值的符號(hào)及角的終邊位置的判斷.已知一角的三角函數(shù)值中任意兩個(gè)的符號(hào)，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角終邊的位置.注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況.
【練習(xí)應(yīng)用】
1.已知，則( )
A.1 B. C.2 D.3
2.平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則( )
A. B. C. D.
3.化簡(jiǎn)的結(jié)果為( )
A.1 B. C.0 D.2
4.與角終邊相同的角的集合是( )
A. B.
C. D.
5.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，將角的終邊繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則( )
A. B. C. D.
6.《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實(shí)生活中的體育競(jìng)技活動(dòng)，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過(guò)程中具有表現(xiàn)力的瞬間（如圖）.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開(kāi)的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長(zhǎng)約為，肩寬約為，“弓”所在圓的半徑約為，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為（參考數(shù)據(jù)：，）( )
A.1.012m B.1.768m C.2.043m D.2.945m
7.終邊在直線上的角的集合是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，則( )
A. B. C. D.
9.（多選）若是第二象限角，則( )
A.是第一象限角
B.是第一或第三象限角
C.是第二象限角
D.是第三或第四象限角或終邊落在y軸負(fù)半軸上的角
10.（多選）定義：角與都是任意角，若滿足，則稱與“廣義互余”.已知，下列角中，可能與角“廣義互余”的是( )
A. B.
C. D.
11.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.
12.小夏同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己手表的時(shí)間比北京時(shí)間慢了20分鐘，他將手表的時(shí)間調(diào)準(zhǔn)，則手表分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)為_(kāi)_________，已知手表分針的長(zhǎng)為，則分針掃過(guò)的扇形的面積為_(kāi)_________.
13.已知，，且，則___________.
14.已知，則__________.
15.已知，求的值為_(kāi)_________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由，得，則
2.答案：A
解析：因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以.故選A
3.答案：D
解析：原式.故選D.
4.答案：D
解析：與角終邊相同的角，，化為弧度制為，.
5.答案：B
解析：角的終邊繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的角為，由三角函數(shù)的定義，可得，，.
6.答案：B
解析：如圖所示，由題意知“弓”所在的弧的長(zhǎng)，其所對(duì)圓心角，
則兩手之間的距離.故選B.
7.答案：D
解析：角的集合為，故選D.
8.答案：D
解析：；，所以.
9.答案：BD
解析：由題得，.
A × ，，則是第三象限角.
B √ ，.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角.
C × ，，則是第一象限角.
D √ ，，所以是第三或第四象限角或終邊落在y軸負(fù)半軸上的角.
10.答案：ACD
解析：由題知，所以，.若角與角“廣義互余”，則，即，則，，.對(duì)于A，，則角可能與角“廣義互余”，A正確；對(duì)于B，，則，所以角不可能與角“廣義互余”，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則角可能與角“廣義互余”，C正確；對(duì)于D，，則角與角“廣義互余”，D正確.故選ACD.
11.答案：
解析：因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上，，，所以解得.
12.答案：；
解析：由題意得手表分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)為，由手表分針的長(zhǎng)為，即扇形的半徑，則分針掃過(guò)的扇形弧長(zhǎng)，則分針掃過(guò)的扇形面積為.
13.答案：0
解析：由，得，化簡(jiǎn)得，解得或8.因?yàn)椋裕?當(dāng)時(shí)，，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，不符合題意.所以.
14.答案：
解析：由誘導(dǎo)公式，可得，則.又，所以.綜上，.
15.答案：
解析：.因?yàn)椋詾榈谝换虻诙笙藿?當(dāng)為第一象限角時(shí)，，則原式；當(dāng)為第二象限角時(shí)，，則原式.

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