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第07講函數的圖象
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 4
高頻考點一：畫出函數的圖象 4
高頻考點二：函數圖象的識別 6
高頻考點三：函數圖象的應用 8
角度1：研究函數的性質 8
角度2：確定零點個數 8
角度3：解不等式 9
角度4：求參數的取值范圍 9
第五部分：新定義題（解答題） 12
第一部分：基礎知識
1、平移變換（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能單獨一個加或者減，注意當前系數不為1,需將系數提取到外面.
2、對稱變換
①的圖象的圖象；
②的圖象的圖象；
③的圖象的圖象；
④(，且)的圖象(，且)的圖象.
3、伸縮變換
①.
②.
4、翻折變換（絕對值變換）
①的圖象的圖象；
（口訣；以軸為界，保留軸上方的圖象；將軸下方的圖象翻折到軸上方）
②的圖象的圖象.
（口訣；以軸為界，去掉軸左側的圖象，保留軸右側的圖象；將軸右側圖象翻折到軸左側；本質是個偶函數）
5、圖象識別技巧（按使用頻率優先級排序）
①特殊值法（觀察圖象，尋找圖象中出現的特殊值）
②單調性法（；；，；通過求導判斷單調性）
③奇偶性法
偶函數 偶函數 偶函數 偶函數 偶函數 偶函數
偶函數 奇函數 不能確定 不能確定 奇函數 奇函數
奇函數 偶函數 不能確定 不能確定 奇函數 奇函數
奇函數 奇函數 奇函數 奇函數 偶函數 偶函數
④極限（左右極限）（；；；；）
⑤零點法
⑥極大值極小值法
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·天津·統考高考真題）已知函數的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（ ）

A． B．
C． D．
2．（2022·全國·（乙卷文））如圖是下列四個函數中的某個函數在區間的大致圖像，則該函數是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·（甲卷理））函數在區間的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：畫出函數的圖象
典型例題
例題1．（2024上·重慶·高一重慶市第十一中學校校考期末）已知函數.

(1)在給出的坐標系中作出的圖象；
(2)根據圖象，寫出的單調區間；
(3)試討論方程的根的情況.
例題2．（2024上·江蘇鹽城·高一校聯考期末）畫出下列函數的大致圖象：
(1)．
(2)．
練透核心考點
1．（2024上·貴州六盤水·高一統考期末）已知函數是偶函數，當時，．
(1)求的值，并作出函數在區間上的大致圖象；
(2)根據定義證明在區間上單調遞增．
2．（2024上·廣東廣州·高一統考期末）已知函數是定義在上的奇函數，當時，.
(1)畫出函數的圖象，并寫出的單調區間；
(2)求出的解析式.
高頻考點二：函數圖象的識別
典型例題
例題1．（2024·四川·校聯考模擬預測）函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024下·四川遂寧·高三射洪中學校考開學考試）函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
練透核心考點
1．（2024上·貴州畢節·高一統考期末）函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024上·陜西漢中·高一南鄭中學校聯考期末）函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
高頻考點三：函數圖象的應用
角度1：研究函數的性質
典型例題
例題1．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學校聯考開學考試）已知是定義在上的函數在上單調遞減，且，函數的圖象關于點對稱，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024·四川·校聯考模擬預測）函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024上·重慶·高一重慶市第十一中學校校考期末）已知函數.

(1)在給出的坐標系中作出的圖象；
(2)根據圖象，寫出的單調區間；
(3)試討論方程的根的情況.
練透核心考點
1．（2024·山西運城·統考一模）已知符號函數則函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024下·四川遂寧·高三射洪中學校考開學考試）函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中學校聯考期末）函數的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024上·重慶·高一統考期末）已知函數，若存在四個不同的值，使得，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022下·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）若函數滿足，當時，，若在區間上，有兩個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024上·北京平谷·高一統考期末）已知函數，用表示的最小值，記為，那么的最大值為 ．
7．（2023上·新疆阿克蘇·高三校考階段練習）定義域為R的奇函數滿足.
(1)求解析式；
(2)求不等式的解集.
8．（2023上·湖南永州·高一湖南省祁陽縣第一中學校考階段練習）已知為上的偶函數，當時，．
(1)求出時的解析式，并作出的圖象；
(2)根據圖象，寫出的解集．
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2019上·湖南衡陽·高一衡陽市八中校考階段練習）已知函數的定義域為，且存在實常數，使得對于定義域內任意，都有成立，則稱此函數具有“性質”
（1）判斷函數是否具有“性質”，若具有“性質”，則求出的值；若不具有“性質”，請說明理由；
（2）已知函數具有“性質”且函數在上的最小值為；當時，，求函數在區間上的值域；
（3）已知函數既具有“性質”，又具有“性質”，且當時，，若函數，在恰好存在個零點，求的取值范圍.
2．（2019上·上海寶山·高三上海交大附中校考階段練習）我們把定義在上，且滿足（其中常數、滿足，，）的函數叫做似周期函數.
（1）若某個似周期函數滿足且圖象關于直線對稱，求證：函數是偶函數；
（2）當，時，某個似周期函數在時的解析式為，求函數，，的解析式；
（3）對于（2）中的函數，若對任意，都有，求實數的取值范圍.21世紀教育網(www.21cnjy.com)
第07講函數的圖象
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 5
高頻考點一：畫出函數的圖象 5
高頻考點二：函數圖象的識別 9
高頻考點三：函數圖象的應用 12
角度1：研究函數的性質 12
角度2：確定零點個數 13
角度3：解不等式 15
角度4：求參數的取值范圍 16
第五部分：新定義題（解答題） 23
第一部分：基礎知識
1、平移變換（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能單獨一個加或者減，注意當前系數不為1,需將系數提取到外面.
2、對稱變換
①的圖象的圖象；
②的圖象的圖象；
③的圖象的圖象；
④(，且)的圖象(，且)的圖象.
3、伸縮變換
①.
②.
4、翻折變換（絕對值變換）
①的圖象的圖象；
（口訣；以軸為界，保留軸上方的圖象；將軸下方的圖象翻折到軸上方）
②的圖象的圖象.
（口訣；以軸為界，去掉軸左側的圖象，保留軸右側的圖象；將軸右側圖象翻折到軸左側；本質是個偶函數）
5、圖象識別技巧（按使用頻率優先級排序）
①特殊值法（觀察圖象，尋找圖象中出現的特殊值）
②單調性法（；；，；通過求導判斷單調性）
③奇偶性法
偶函數 偶函數 偶函數 偶函數 偶函數 偶函數
偶函數 奇函數 不能確定 不能確定 奇函數 奇函數
奇函數 偶函數 不能確定 不能確定 奇函數 奇函數
奇函數 奇函數 奇函數 奇函數 偶函數 偶函數
④極限（左右極限）（；；；；）
⑤零點法
⑥極大值極小值法
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·天津·統考高考真題）已知函數的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由圖知函數為偶函數，應用排除，先判斷B中函數的奇偶性，再判斷A、C中函數在上的函數符號排除選項，即得答案.
【詳解】由圖知：函數圖象關于y軸對稱，其為偶函數，且，
由且定義域為R，即B中函數為奇函數，排除；
當時、，即A、C中上函數值為正，排除；
故選：D
2．（2022·全國·（乙卷文））如圖是下列四個函數中的某個函數在區間的大致圖像，則該函數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函數圖像的特征結合函數的性質逐項排除即可得解.
【詳解】設，則，故排除B;
設，當時，，
所以，故排除C;
設，則，故排除D.
故選：A.
3．（2022·全國·（甲卷理））函數在區間的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函數的奇偶性結合指數函數、三角函數的性質逐項排除即可得解.
【詳解】令，
則，
所以為奇函數，排除BD；
又當時，，所以，排除C.
故選：A.
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：畫出函數的圖象
典型例題
例題1．（2024上·重慶·高一重慶市第十一中學校校考期末）已知函數.

(1)在給出的坐標系中作出的圖象；
(2)根據圖象，寫出的單調區間；
(3)試討論方程的根的情況.
【答案】(1)作圖見解析
(2)減區間為，增區間為.
(3)答案見解析
【分析】（1）去絕對值符號，利用函數圖象變換分段畫出函數圖象；
（2）根據函數的圖象，直接求出函數的單調區間；
（3）根據函數的圖象，分類討論確定函數的圖象與的圖象交點個數，即可討論方程根的情況.
【詳解】（1）函數，作出函數的圖象如圖所示：

（2）根據（1）中的函數圖象知，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
（3）根據圖象可知，
當時，函數的圖象與函數（為實數）的圖象有兩個交點，
此時方程有兩個不同的根.
當時，函數的圖象與函數（為實數）的圖象沒有交點，
此時方程沒有根.
當時，函數的圖象與函數（為實數）的圖象有一個交點，
此時方程有一個不同的根.
例題2．（2024上·江蘇鹽城·高一校聯考期末）畫出下列函數的大致圖象：
(1)．
(2)．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）由函數為偶函數，結合對數函數的圖象，利用對稱性作圖．
（2）利用函數圖象的對稱變換，把的圖象先關于y軸對稱，再關于x軸對稱即可.
【詳解】（1），易知函數為偶函數，
所以函數的圖象如圖所示：
（2）把的圖象先關于y軸對稱，再關于x軸對稱，即可得的圖象，
如圖所示：
練透核心考點
1．（2024上·貴州六盤水·高一統考期末）已知函數是偶函數，當時，．
(1)求的值，并作出函數在區間上的大致圖象；
(2)根據定義證明在區間上單調遞增．
【答案】(1)，圖像見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由偶函數可得，可以先畫出時的圖象，然后利用關于軸對稱畫出另一半即可.
（2）由函數單調性的定義證明即可.
【詳解】（1）因為函數是偶函數，所以，
作出圖象如圖所示：
（2），且，有
，
由得，
所以，
即，
所以函數在區間上單調遞增.
2．（2024上·廣東廣州·高一統考期末）已知函數是定義在上的奇函數，當時，.
(1)畫出函數的圖象，并寫出的單調區間；
(2)求出的解析式.
【答案】(1)圖象見解析；增區間為，減區間為；
(2)
【分析】（1）先作出函數在區間上的圖象，結合奇函數的對稱性可得出該函數在區間上的圖象，根據圖象可得出函數的單調遞增區間和遞減區間；
（2）設，可得出，由奇函數的性質得出，可得出函數在上的解析式，進而可得出該函數在上的解析式.
【詳解】（1）函數是上的奇函數，其圖象關于原點對稱，且當時， ，則函數的圖象如下圖所示：

由圖象知，增區間為，減區間為
（2）設，則，則.
因此，時，，
所以函數在上的解析式為.
高頻考點二：函數圖象的識別
典型例題
例題1．（2024·四川·校聯考模擬預測）函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據函數的奇偶性的判斷可排除CD，根據以及時的函數值的正負，即可排除B.
【詳解】因為，定義域為，
又
，可知為偶函數，排除CD；
當時，，
當時，，則，
當時，，則，B不符題意，
故選：A.
例題2．（2024下·四川遂寧·高三射洪中學校考開學考試）函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據函數奇偶性即可排除CD，由特殊點的函數值即可排除A.
【詳解】，則的定義域為R，
又，
所以為奇函數，圖象關于原點對稱，故排除CD，
當時，，故排除A.
故選：B.
練透核心考點
1．（2024上·貴州畢節·高一統考期末）函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判斷函數的圖象問題，可從函數定義域，函數的奇偶性，函數圖象的趨勢或者特殊點的函數值進行判斷是否符合題意.
【詳解】由函數可得函數的定義域為，
由可知函數為奇函數，
其圖象關于坐標原點對稱，故舍去B，D兩項；
又由可得C項不合題意，故A項正確.
故選：A.
2．（2024上·陜西漢中·高一南鄭中學校聯考期末）函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據函數的單調性以及特殊點的函數值求得正確答案.
【詳解】設，的定義域為，
，所以是偶函數，圖象關于軸對稱，
所以D選項錯誤.
，所以C選項錯誤
當時，，所以A選項錯誤.
故選：B
高頻考點三：函數圖象的應用
角度1：研究函數的性質
典型例題
例題1．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學校聯考開學考試）已知是定義在上的函數在上單調遞減，且，函數的圖象關于點對稱，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根據函數的性質作出簡圖，結合函數圖象可得不等式的解集.
【詳解】由函數的圖象關于對稱可得圖象關于對稱，
所以為R上的奇函數，則函數圖象大致如圖所示．
要解，即，即，
當時，即時，，所以或者，解得或；
當時，即時，，所以，解得
綜上可得不等式的解集為.
故選：D.
例題2．（2024·四川·校聯考模擬預測）函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據函數的奇偶性的判斷可排除CD，根據以及時的函數值的正負，即可排除B.
【詳解】因為，定義域為，
又
，可知為偶函數，排除CD；
當時，，
當時，，則，
當時，，則，B不符題意，
故選：A.
角度2：確定零點個數
典型例題
例題1．（2024·全國·高三專題練習）函數的零點個數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】轉化為，的交點個數問題，畫出兩函數圖象，數形結合得到答案.
【詳解】，即，
令，，
故的零點個數為與的交點個數，
在同一坐標系內畫出與的圖象，如下：
顯然與的交點個數為1，故的零點個數為1.
故選：D
例題2．（多選）（2024下·廣東湛江·高二校考開學考試）已知函數的圖象與直線有兩個不同交點，則正實數a的取值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】BC
【分析】在同一坐標系中作出兩函數的圖象，觀察圖象可得到a的取值范圍.
【詳解】在同一坐標系中作出函數與的大致圖象，
如圖所示，兩圖象都經過，易知只有時才能在的區域有第二個交點，
故的取值范圍.
故選：BC

角度3：解不等式
典型例題
例題1．（2024·全國·高三專題練習）設奇函數在上為單調遞增函數，且，則不等式，的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由題意結合的奇偶性和單調性的示意圖，化簡不等式為，數形結合，求得它的解集．
【詳解】由題意可得，奇函數在和上都為單調遞增函數，
且，函數圖像示意圖如圖所示：

故不等式，即，即，
結合的示意圖可得它的解集為或
故選：D．
例題2．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）設是上奇函數，且滿足：對任意的且都有，，則的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】由題得出的性質，然后作出草圖即可得出答案.
【詳解】對任意的且都有，所以時，嚴格減，又是上奇函數，且，所以可以畫出的草圖如下：

由圖易知，當時，，此時；當時，，此時，故不等式解集為或，
故選：D.
角度4：求參數的取值范圍
典型例題
例題1．（2024·全國·高三專題練習）已知函數，若關于的方程有四個不同的實數根，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】問題轉化為方程和共有四個不同的實數解，作出函數的圖象，由圖象判斷實數的取值范圍．
【詳解】方程等價于，
由一次函數和對勾函數的性質，作函數的圖象如圖，
由圖象可知，方程只有一個實數根，則有三個不同的實數解，
所以實數的取值范圍為.
故答案為：
例題2．（2024上·重慶·高一重慶市第十一中學校校考期末）已知函數.

(1)在給出的坐標系中作出的圖象；
(2)根據圖象，寫出的單調區間；
(3)試討論方程的根的情況.
【答案】(1)作圖見解析
(2)減區間為，增區間為.
(3)答案見解析
【分析】（1）去絕對值符號，利用函數圖象變換分段畫出函數圖象；
（2）根據函數的圖象，直接求出函數的單調區間；
（3）根據函數的圖象，分類討論確定函數的圖象與的圖象交點個數，即可討論方程根的情況.
【詳解】（1）函數，作出函數的圖象如圖所示：

（2）根據（1）中的函數圖象知，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
（3）根據圖象可知，
當時，函數的圖象與函數（為實數）的圖象有兩個交點，
此時方程有兩個不同的根.
當時，函數的圖象與函數（為實數）的圖象沒有交點，
此時方程沒有根.
當時，函數的圖象與函數（為實數）的圖象有一個交點，
此時方程有一個不同的根.
練透核心考點
1．（2024·山西運城·統考一模）已知符號函數則函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先得到為偶函數，排除AB，再計算出，得到正確答案.
【詳解】定義域為R，且為奇函數，故，
故的定義域為R，
且
，
故為偶函數，AB錯誤；
當時，，C錯誤，D正確.
故選：D
2．（2024下·四川遂寧·高三射洪中學校考開學考試）函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據函數奇偶性即可排除CD，由特殊點的函數值即可排除A.
【詳解】，則的定義域為R，
又，
所以為奇函數，圖象關于原點對稱，故排除CD，
當時，，故排除A.
故選：B.
3．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中學校聯考期末）函數的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據函數解析式判斷函數奇偶性，排除C,D兩項，再利用特殊值檢驗排除B項即得.
【詳解】∵，即為奇函數，排除C，D；
又，排除B.
故選:A.
4．（2024上·重慶·高一統考期末）已知函數，若存在四個不同的值，使得，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由的圖象，求出特殊點，結合條件逐一比較分析判斷.
【詳解】當時，，當時，，當時，，
由圖像可知，，此時，解得，故A對；
因為關于對稱，所以，又，
，故B對；
由，得 ，由，得 ，
由，得 ，故C錯；
，故D對.
故選：ABD

5．（2022下·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）若函數滿足，當時，，若在區間上，有兩個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用條件先確定函數在區間上的解析式，利用數形結合計算即可.
【詳解】由題意可知時，，
所以，即，
又在區間有兩個零點，即有兩個交點，
作 與圖象如下，
顯然過定點，由圖象可知，即.
故選：C
【點睛】思路點睛：首先根據函數遞推關系，推出函數解析式，對于函數零點問題一般是轉化為兩個函數的交點問題，作出函數圖象利用數形結合的思想計算即可.
6．（2024上·北京平谷·高一統考期末）已知函數，用表示的最小值，記為，那么的最大值為 ．
【答案】
【分析】在在同一坐標系中，畫出的圖像，根據條件，利用圖像即可求出結果.
【詳解】由，得到或，在同一坐標系中，畫出的圖像，如圖所示，
因為，由圖知，當時，取到最大值為，

故答案為：.
7．（2023上·新疆阿克蘇·高三校考階段練習）定義域為R的奇函數滿足.
(1)求解析式；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據奇函數的性質即可求解，
（2）利用函數的圖象即可求解.
【詳解】（1）當時，則，故，
由于為奇函數，所以，
又，
故
（2）作出圖象如下：
由圖象可知：當或時，，
故的解為或
8．（2023上·湖南永州·高一湖南省祁陽縣第一中學校考階段練習）已知為上的偶函數，當時，．
(1)求出時的解析式，并作出的圖象；
(2)根據圖象，寫出的解集．
【答案】(1)，，函數的圖象見解析；
(2)．
【分析】（1）直接由偶函數的性質求得時的解析式，并據此畫出函數圖象.
（2）根據圖象將不等式等價轉換為或，結合圖象即可得解.
【詳解】（1）根據題意，設，，則，
又由為偶函數，則，
所以時，，
的圖象如圖所示：
（2）由圖象可知，不等式，
等價于或，
由圖象解得：或或，
所以不等式的解集為．
且當時，
作出函數的圖象如圖所示：
函數，在恰好存在個零點
與在恰好有個交點
且
即的取值范圍為：.
【點睛】本題是新定義問題，涉及函數的單調性、奇偶性、值域相關知識，以及函數的零點問題，運用數形結合的方法是關鍵．
2．（2019上·上海寶山·高三上海交大附中校考階段練習）我們把定義在上，且滿足（其中常數、滿足，，）的函數叫做似周期函數.
（1）若某個似周期函數滿足且圖象關于直線對稱，求證：函數是偶函數；
（2）當，時，某個似周期函數在時的解析式為，求函數，，的解析式；
（3）對于（2）中的函數，若對任意，都有，求實數的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.
【分析】（1）利用似周期函數的性質、圖像關于直線對稱，結合函數奇偶性的定義，證得，由此證得是偶函數.
（2）利用迭代的方法，求得，，的解析式.
（3）根據（2）中求得的解析式，畫出圖像和的圖像，確定的大致區間，令，求得對應的值，由此確定的取值范圍.
【詳解】（1）依題意可知，函數的定義域為，關于原點對稱.由于圖像關于對稱，故①.又，即②，用代替得③.由①②③可知，而，，所以，故函數為偶函數.
（2）由于，，所以，得.
當時，；
當時，，；
當時，，；
當時，，；
……
以此類推，當時，.
同理，由于，，所以，得.
當時，，；
當時，，；
……
以此類推，當時，.
綜上所述，當，時，
（3）由（2）畫出的圖像、函數圖像如下圖所示.由圖可知，從左往右，從開始，與圖像有交點.由（2）知，當時， ；令，解得或.結合圖像可知，要使對任意，都有，則.故的取值范圍是
【點睛】本小題主要考查新定義函數性質，考查函數奇偶性的證明，考查數形結合的數學思想方法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.
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