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第07講：第四章 三角函數 章節總結 章節總結
目錄
第一部分：典型例題講解 1
題型一：任意角 1
題型二：弧度制 3
題型三：任意角的三角函數 5
題型四：同角三角函數的基本關系 5
題型五：誘導公式的計算 7
題型六：三角函數的奇偶性 9
題型七：三角函數的周期性 9
題型八：三角函數的對稱性 10
題型九：三角函數的單調性 11
題型十：三角函數中與有關的計算 12
題型十一：五點法作圖 13
題型十二：根據圖象求三角函數解析式 15
題型十三：函數圖象的變換 17
題型十四：和差倍角計算 18
題型十五：拼湊角問題 19
題型十六：三角函數綜合（單調性及根據單調性求參數） 20
題型十七：三角函數綜合（值域，最值） 22
題型十八：三角函數綜合（恒成立，有解問題） 23
題型十九：三角函數綜合（零點問題） 25
題型二十：三角函數模型 27
第二部分：新定義題 30
第一部分：典型例題講解
題型一：任意角
1．（多選）（22-23高一上·湖北武漢·期末）下列說法正確的是（ ）
A．角終邊在第二象限或第四象限的充要條件是
B．圓的一條弦長等于半徑，則這條弦所對的圓心角等于
C．經過小時，時針轉了
D．若角和角的終邊關于對稱，則有
2．（多選）（2023·吉林·二模）如圖，A，B是在單位圓上運動的兩個質點.初始時刻，質點A在（1，0）處，質點B在第一象限，且.質點A以的角速度按順時針方向運動，質點B同時以的角速度按逆時針方向運動，則（ ）
A．經過1后，扇形AOB的面積為
B．經過2后，劣弧的長為
C．經過6后，質點B的坐標為
D．經過后，質點A，B在單位圓上第一次相遇
3．（2023·江蘇·二模）在平面直角坐標系中，已知點，將線段繞原點順時針旋轉得到線段，則點B的橫坐標為 .
4．（23-24高一上·福建莆田·期末）如圖所示，在平面直角坐標系中，動點、從點出發在單位圓上運動，點按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點按順時針方向每秒鐘轉弧度，則、兩點在第1804次相遇時，點的坐標是 .
題型二：弧度制
1．（多選）（2023高三·全國·專題練習）如圖，A，B是單位圓上的兩個質點，點B 的坐標為(1，0)，∠BOA＝60°，質點A 以1 rad/s的角速度按逆時針方向在單位圓上運動，質點B 以2 rad/s的角速度按順時針方向在單位圓上運動，則（ ）
A．經過1 s后，∠BOA的弧度數為＋3
B．經過 s后，扇形AOB的弧長為
C．經過s后，扇形AOB的面積為
D．經過 s后，A，B在單位圓上第一次相遇
2．（23-24高一下·上海閔行·階段練習）如圖，長為2，寬為1的矩形木塊，在桌面上作無滑動翻滾，翻滾到第三面后被一小木塊擋住，使木塊底與桌面成角，則點走過的路程是 .
3．（22-23高一·全國·課堂例題）如圖，設扇形的圓心角，半徑為，弧長為，扇形面積記為．

(1)用與表示扇形的面積；
(2)用與表示扇形的面積．
4．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）如圖，圓心角為的扇形的半徑為2，點是上一點，作這個扇形的內接矩形．設，．
(1)若，求矩形的面積；
(2)用表示矩形的面積，并求出矩形面積的最大值．
題型三：任意角的三角函數
1．（2024·全國·模擬預測）已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的正半軸重合，點在角的終邊上，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知角終邊上點坐標為，則（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·上海閔行·階段練習）已知點的坐標為，將繞坐標原點逆時針旋轉至，則點的坐標為 .
4．（23-24高一上·四川攀枝花·階段練習）已知角的終邊經過點，則 ．
5．（23-24高一下·北京·階段練習）在平面直角坐標系中，已知角的終邊經過點.
(1)求、、的值；
(2)設，角的終邊與角的終邊關于軸對稱，求的值.
題型四：同角三角函數的基本關系
1．（2024·山東泰安·一模）若，則（ ）
A． B． C．2 D．
2．（23-24高一上·江蘇無錫·期末）已知，則 .
3．（23-24高一下·上海閔行·階段練習）（1）已知角終邊上一點，求的值；
（2）已知，求的值.
4．（23-24高一下·云南·階段練習）已知是的內角，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
5．（23-24高一下·廣東江門·階段練習）（1）已知、都是銳角，若，，求的值；
（2）已知，，求的值．
6．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習）（1）已知是第三象限角，且
①求的值；
②求的值．
（2）化簡：．
題型五：誘導公式的計算
1．（2024高三·全國·專題練習）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）解答下列問題：
(1)計算的值；
(2)已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸正半軸重合，終邊在直線上，求的值．
3．（22-23高一下·江蘇蘇州·開學考試）（1）已知，求的值．
（2）已知是關于的方程的兩個實根，求的值．
4．（22-23高一下·上海松江·階段練習）已知
(1)求
(2)化簡并求值：
5．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）如圖所示，以軸非負半軸為始邊作角，它的終邊與單位圓相交于點，已知點坐標為．
(1)求，的值；
(2)求的值．
題型六：三角函數的奇偶性
1．（2024·河南·模擬預測）函數的圖象由函數的圖象向左平移個單位長度得到，若函數的圖象關于原點對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·遼寧阜新·階段練習）已知函數是奇函數，則的值為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）將函數的圖像整體向右平移個單位長度后，得到的函數圖像對應一個偶函數，則 ．
4．（2022高三·全國·專題練習）將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，若具有奇偶性，則的最小值為 ．
5．（2023高一下·海南·競賽），且則 .
題型七：三角函數的周期性
1．（23-24高一下·江西南昌·階段練習）將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象關于軸對稱，且函數在上單調遞增，則函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·福建廈門·階段練習）以下函數中最小正周期為的個數是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
3．（多選）（23-24高一上·湖北武漢·期末）已知下列函數中，最小正周期為的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（多選）（23-24高一上·寧夏銀川·期末）在下列函數中，最小正周期為的偶函數為（　　）
A． B．
C． D．
5．（23-24高一下·北京順義·階段練習）已知函數，那么函數最小正周期為 ；對稱軸方程為 .
題型八：三角函數的對稱性
1．（23-24高一下·遼寧撫順·階段練習）已知，在上單調遞減，為的一個對稱軸，為奇函數，則（ ）
A． B． C． D．1
2．（23-24高二下·湖南衡陽·階段練習）已知函數圖象的一個對稱中心為，則的解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23高一下·湖北荊州·期中）已知函數的圖象關于點對稱，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全國·模擬預測）函數在上單調遞增，且滿足，，則 ．
5．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習）已知函數的對稱中心是，則 ．
題型九：三角函數的單調性
1．（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習）函數和在下列哪個區間上都是單調遞減的（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·上海·專題練習）函數的單調遞減區間是 ．
3．（23-24高一下·湖北·階段練習）已知函數．
(1)求函數的解析式，并求其圖象的對稱軸方程；
(2)求函數在上的單調遞增區間．
4．（23-24高一下·廣東梅州·階段練習）已知函數在區間上的最小值為3．
(1)求常數m的值；
(2)求函數單調遞減區間．
5．（23-24高一下·北京·階段練習）已知函數．
(1)求的值；
(2)求函數的單調遞減區間．
題型十：三角函數中與有關的計算
1．（2024·全國·模擬預測）已知將函數（）的圖象僅向左平移個單位長度和僅向右平移個單位長度都能得到同一個函數的圖象，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·貴州貴陽·一模）將函數的圖像先向右平移個單位長度，再把所得函數圖像上的每個點的縱坐標不變，橫坐標都變為原來的倍，得到函數的圖像.若函數在上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川成都·模擬預測）將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖像，且函數是偶函數，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·內蒙古赤峰·開學考試）將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，若在上單調遞增，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．1
5．（23-24高三下·青海西寧·開學考試）將函數的圖象先向左平移個單位長度得到函數的圖象，再將圖象的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若在區間上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高三上·河南·專題練習）已知函數，，若將的圖象向左平移個單位長度，所得圖象對應的函數在區間內沒有極大值點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型十一：五點法作圖
1．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習）已知函數.
(1)填寫下表，用“五點法”畫出函數在一個周期上的圖象；
0 2 0 0
(2)解不等式.
2．（23-24高一下·廣東珠海·階段練習）已知函數.

(1)求的最小正周期；
(2)在給定的坐標系中用五點法作出函數的簡圖.
3．（2024高一·全國·專題練習）已知函數．用“五點法”在給定的坐標系中，畫出函數在上的大致圖象.

4．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）已知函數.
(1)求的最大值及取得最大值時對應的的取值集合；
(2)用“五點法”畫出在上的圖象.
題型十二：根據圖象求三角函數解析式
1．（23-24高一下·廣東韶關·階段練習）函數的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，則（ ）

A． B．
C． D．
2．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）函數的部分圖像如圖所示，把函數的圖像向右平移得到，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·天津·一模）已知函數（其中）的部分圖象如圖所示，有以下結論：
① ②函數為偶函數
③ ④在上單調遞增
所有正確結論的序號是（ ）
A．①② B．①③④ C．③④ D．①④
4．（23-24高三下·山東濟寧·開學考試）函數（其中）的部分圖象如圖所示，為了得到函數的圖象，則只需將的圖象（ ）

A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
5．（23-24高一上·云南大理·期末）已知函數（其中，，）的部分圖象如圖所示，將函數圖象上所有點向右平移個單位，得到函數的圖象，則函數的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
題型十三：函數圖象的變換
1．（23-24高三上·廣東湛江·期末）已知函數，要得到函數的圖象，只需將的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
2．（2024·全國·模擬預測）將函數的圖象向右平移（）個單位長度，得到函數的圖象，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2020高三·全國·專題練習）將函數的圖象上各點向右平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標伸長為原來的4倍，則所得到的圖象的函數解析式是（　　）.
A． B．
C． D．
4．（多選）（2023·安徽安慶·三模）函數（其中）的圖像如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

A．函數的最小正周期是
B．
C．為了得到的圖像，只需將的圖像向左平移個單位長度
D．為了得到的圖像，只需將的圖像向左平移個單位長度
5．（多選）（2023·河北·模擬預測）把函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再把所得圖象上所有點的縱坐標縮短到原來的倍（橫坐標不變），最后把所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則的解析式可以為（ ）
A． B．
C． D．
6．（多選）（22-23高一下·四川達州·階段練習）下列能產生的圖象的變換是（ ）
A．將函數的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的
B．將函數的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的
C．將函數的圖象沿軸向左平移3個單位；
D．將函數的圖象沿軸向右平移3個單位．
題型十四：和差倍角計算
1．（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習）式子（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習）（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重慶·模擬預測）若，且，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（多選）（23-24高一下·江蘇揚州·階段練習）下列式子化簡正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一下·江蘇·專題練習）求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
題型十五：拼湊角問題
1．（2024高三·全國·專題練習）已知tan α＝，tan β＝－，則tan (2α＋β)的值為（ ）
A．－ B．－
C．1 D．
2．（23-24高三下·陜西渭南·開學考試）已知角滿足，則（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·河北保定·開學考試）已知，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河北滄州·模擬預測）已知，則 ．
5．（2024·云南昆明·模擬預測）已知，則 .
題型十六：三角函數綜合（單調性及根據單調性求參數）
1．（23-24高三上·北京朝陽·期末）已知函數的圖象過原點.
(1)求的值及的最小正周期；
(2)若函數在區間上單調遞增，求正數的最大值.
2．（22-23高一上·廣西百色·期末）已知函數的部分圖象如圖所示.

(1)求的解析式；
(2)若在上單調遞增，求的取值范圍.
3．（22-23高一下·北京昌平·期末）已知函數.
(1)求的最小正周期；
(2)求在區間上的最大值及相應的的取值
(3)若函數在上是增函數，求的最小值.
4．（22-23高一下·北京·期中）已知函數.在下列條件①、條件②、條件③這三個條件中，選擇可以確定ω和m值的兩個條件作為已知. 條件①：＝2；條件②：最大值與最小值之和為0；條件③：最小正周期為π.
(1)求的值；
(2)若函數在區間［0，a］上是增函數，求實數a的最大值
5．（23-24高一上·山東淄博·期末）已知函數（），滿足函數是奇函數．
(1)求函數，的值域；
(2)函數在區間和上均單調遞增，求實數a的取值范圍．
（19-20高一·全國·課時練習）是否存在實數a，且，使得函數在區間上單調遞增？若存在，求出a的一個值；若不存在，請說明理由.
題型十七：三角函數綜合（值域，最值）
1．（23-24高一下·江西南昌·階段練習）已知函數.
(1)求函數在的值域；
(2)將函數的圖象上的每個點的橫坐標都變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若函數在上沒有最值，求的最大值.
2．（23-24高一上·浙江·期末）設函數
(1)求函數的對稱中心；
(2)若函數在區間上有最小值，求實數m的最小值．
3．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）已知函數.
(1)求不等式的解集；
(2)設函數，對任意的恒成立，求的取值范圍.
4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函數，且．
(1)求的定義域與最小正周期；
(2)當時，求的值域
題型十八：三角函數綜合（恒成立，有解問題）
1．（23-24高一下·四川成都·階段練習）函數（其中）的部分圖像如圖所示，把函數的圖像向右平移個單位，得到函數的圖像.

(1)當時，求函數的解析式；
(2)對于，是否總存在唯一的實數，使得成立？若存在，求出實數的值或取值范圍；若不存在，說明理由.
2．（23-24高一下·江西九江·階段練習）設函數．
(1)若對一切實數x恒成立，求實數a的取值范圍；
(2)若關于x的方程在有實數解，求實數a的取值范圍．
3．（23-24高一下·遼寧撫順·階段練習）已知函數（，且）為偶函數．
(1)求的值；
(2)若，使成立，求實數的取值范圍．
4．（23-24高一下·河南三門峽·階段練習）已知向量，，設函數．
(1)求的單調增區間；
(2)若對任意，恒成立，求m的取值范圍．
5．（23-24高一下·上海·階段練習）已知函數．
(1)當時，求函數的單調遞增區間；
(2)對于為任意實數，關于的方程恰好有兩個不等的實根，求實數的值；
(3)在（2）的條件下，若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．
題型十九：三角函數綜合（零點問題）
1．（23-24高一下·遼寧鞍山·階段練習）已知函數（，），函數圖象關于對稱，且函數圖象上相鄰的最高點與最低點之間的距離為4．
(1)求，的值；
(2)求函數在上的單調減區間；
(3)若方程在有兩個不同的根，求m的取值范圍．
2．（23-24高三下·上海浦東新·期中）已知函數，其中.
(1)求在上的解；
(2)已知，若關于的方程在時有解，求實數m的取值范圍.
3．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知向量，函數，，.
(1)當時，求的值；
(2)若，求的最小值；
(3)是否存在實數m，使函數，有四個不同的零點 若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.
4．（23-24高二下·安徽蚌埠·階段練習）已知函數．
(1)求函數在上的單調遞減區間；
(2)解關于x的不等式；
(3)若在區間上恰有兩個零點，求的值．
5．（23-24高一下·上海金山·階段練習）將函數的圖像進行如下變換：先向下平移個單位長度，再向左平移個單位長度，得到函數的圖像
(1)求的最小正周期及單調增區間
(2)當時，方程有兩個不等的實根，求實數的取值范圍
(3)若函數在區間內恰有2022個零點，求的所有可能取值
題型二十：三角函數模型
1．（23-24高一下·全國·課后作業）水車是一種利用水流的動力進行灌溉的工具，工作示意圖如圖．設水車（即圓周）的直徑為3m，其中心（即圓心）O到水面的距離，逆時針勻速旋轉一圈的時間是，水車邊緣上一點P距水面的高度為h（單位：m）．
(1)求h與旋轉時間t（單位：s）的函數解析式，并畫出這個函數的圖象；
(2)當雨季河水上漲或旱季河流水量減少時，所求得的函數解析式中的參數將會發生哪些變化？若水車轉速加快或減慢，函數解析式中的參數又會受到怎樣的影響？
2．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，某公園摩天輪的半徑為40m，圓心距地面的高度為50m，摩天輪做勻速轉動，每3min轉一圈，摩天輪上的點P的起始位置在最低點處．

(1)已知在時刻t（單位：min）時點P距離地面的高度（其中，，，求函數解析式及5min時點P距離地面的高度；
(2)當點P距離地面及以上時，可以看到公園的全貌，求轉一圈中有多少時間可以看到公園的全貌？
3．（23-24高一上·重慶·期末）如圖所示，是一塊邊長為8米的荒地，小花想在其中開圼出一塊地來種植玫瑰花.已知一半徑為6米的扇形區域TAN已被小明提前撒下了蔬菜種子，扇形區域外能供小花隨意種植玫瑰花.最后小花決定在能種植玫瑰的區域選定一塊矩形PQCR區域進行種植，其中在邊上，在邊上，是弧上一點.設，矩形的面積為平方米.
(1)求關于的函數解析式；
(2)求的取值范圍
4．（23-24高一上·浙江寧波·期末）已知一個半徑為米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面米，且按順時針方向勻速轉動，每秒轉動一圈.如果以水輪上點從水面浮現時
時刻/h 2 6 10 14 18
溫度/℃ 20 10 20 30 20
(1)寫出函數的解析式：
(2)若另一個地區這一天的氣溫變化曲線也近似滿足函數且氣溫變化也是從到，只不過最高氣溫都比地區早2個小時，求同一時刻，地與地的溫差的最大值．
第二部分：新定義題
1．（23-24高一下·江西·階段練習）對于分別定義在，上的函數，以及實數，若任取，存在，使得，則稱函數與具有關系.其中稱為的像.
(1)若，；，，判斷與是否具有關系，并說明理由；
(2)若，；，，且與具有關系，求的像；
(3)若，；，，且與具有關系，求實數的取值范圍.
2．（23-24高一下·上海·階段練習）人臉識別技術在各行各業的應用改變著人類的生活，所謂人臉識別，就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別對象的身份，在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應用距離的測試，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個點，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為
(1)若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；
(2)已知，，，若，，求的值
(3)已知，、，，若，，求、之間的曼哈頓距離.
3．（22-23高一上·云南昆明·期末）人臉識別技術在各行各業的應用改變著人類的生活，所謂人臉識別，就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別對象的身份，在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應用距離的測試，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個點，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為
(1)若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；
(2)已知，，，若，，求的值
4．（21-22高一下·上海嘉定·期末）我們知道：對于函數，如果存在一個非零常數T，使得當x取其定義域D中的任意值時，有，且成立，那么函數叫做周期函數．對于一個周期函數，如果在它的所有周期中存在一個最小正數，那么這個最小正數就叫做函數的最小正周期．對于定義域為R的函數，若存在正常數T，使得是以T為周期的函數，則稱為正弦周期函數，且稱T為其正弦周期．
(1)驗證是以為周期的正弦周期函數．
(2)已知函數是周期函數，請求出它的一個周期．并判斷此周期函數是否存在最小正周期，并說明理由．
(3)已知存在這樣一個函數，它是定義在R上嚴格增函數，值域為R，且是以T為周期的正弦周期函數．若，，且存在，使得，求的值．
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第07講：第四章 三角函數 章節總結 章節總結
目錄
第一部分：典型例題講解 1
題型一：任意角 1
題型二：弧度制 4
題型三：任意角的三角函數 8
題型四：同角三角函數的基本關系 11
題型五：誘導公式的計算 15
題型六：三角函數的奇偶性 19
題型七：三角函數的周期性 21
題型八：三角函數的對稱性 24
題型九：三角函數的單調性 28
題型十：三角函數中與有關的計算 31
題型十一：五點法作圖 35
題型十二：根據圖象求三角函數解析式 39
題型十三：函數圖象的變換 43
題型十四：和差倍角計算 47
題型十五：拼湊角問題 50
題型十六：三角函數綜合（單調性及根據單調性求參數） 52
題型十七：三角函數綜合（值域，最值） 58
題型十八：三角函數綜合（恒成立，有解問題） 63
題型十九：三角函數綜合（零點問題） 68
題型二十：三角函數模型 75
第二部分：新定義題 83
第一部分：典型例題講解
題型一：任意角
1．（多選）（22-23高一上·湖北武漢·期末）下列說法正確的是（ ）
A．角終邊在第二象限或第四象限的充要條件是
B．圓的一條弦長等于半徑，則這條弦所對的圓心角等于
C．經過小時，時針轉了
D．若角和角的終邊關于對稱，則有
【答案】ABD
【分析】對于A，利用三角函數定義結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可；對于B，轉化求解弦所對的圓心角即可判斷；對于C，根據任意角的定義即可判斷；對于D，由角的終邊得出兩角的關系即可
【詳解】對于A，因為角終邊在第二象限或第四象限，此時終邊上的點的橫坐標和縱坐標異號，故；
因為，所以或，
故角終邊上點坐標對應為：或即或，所以角終邊在第二象限或第四象限，
綜上，角終邊在第二象限或第四象限的充要條件是，故A正確
對于B，圓的一條弦長等于半徑，故由此弦和兩條半徑構成的三角形是等邊三角形，所以弦所對的圓心角為，故B正確；
對于C，鐘表上的時針旋轉一周是，其中每小時旋轉，
所以經過4小時應旋轉，故C錯誤；
對于D，角和角的終邊關于直線對稱，則，，故D正確
故選：ABD
2．（多選）（2023·吉林·二模）如圖，A，B是在單位圓上運動的兩個質點.初始時刻，質點A在（1，0）處，質點B在第一象限，且.質點A以的角速度按順時針方向運動，質點B同時以的角速度按逆時針方向運動，則（ ）
A．經過1后，扇形AOB的面積為
B．經過2后，劣弧的長為
C．經過6后，質點B的坐標為
D．經過后，質點A，B在單位圓上第一次相遇
3．（2023·江蘇·二模）在平面直角坐標系中，已知點，將線段繞原點順時針旋轉得到線段，則點B的橫坐標為 .
【答案】
【分析】利用三角函數定義可知，射線對應的的角滿足，再利用任意角的關系和兩角差的余弦公式即可得點B的橫坐標為.
【詳解】易知在單位圓上，記終邊在射線上的角為，如下圖所示：
根據三角函數定義可知，；
繞原點順時針旋轉得到線段，則終邊在射線上的角為，
所以點B的橫坐標為.
故答案為：
4．（23-24高一上·福建莆田·期末）如圖所示，在平面直角坐標系中，動點、從點出發在單位圓上運動，點按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點按順時針方向每秒鐘轉弧度，則、兩點在第1804次相遇時，點的坐標是 .
【答案】
【分析】計算相遇時間，再確定轉過的角度，得到坐標.
【詳解】相遇時間為秒，
故轉過的角度為，
故對應坐標為，即.
故答案為：
題型二：弧度制
1．（多選）（2023高三·全國·專題練習）如圖，A，B是單位圓上的兩個質點，點B 的坐標為(1，0)，∠BOA＝60°，質點A 以1 rad/s的角速度按逆時針方向在單位圓上運動，質點B 以2 rad/s的角速度按順時針方向在單位圓上運動，則（ ）
A．經過1 s后，∠BOA的弧度數為＋3
B．經過 s后，扇形AOB的弧長為
C．經過s后，扇形AOB的面積為
D．經過 s后，A，B在單位圓上第一次相遇
【答案】ABD
【分析】結合條件根據扇形面積，弧長公式逐項分析即得.
【詳解】經過1 s后，質點A運動1 rad，質點B運動2 rad，此時∠BOA的弧度數為，故A正確；
經過 s后，，故扇形AOB的弧長為，故B正確；
經過 s后，，故扇形AOB的面積為，故C不正確；
設經過t s后，A，B在單位圓上第一次相遇，則，解得 (s)，故D正確.
故選：ABD.
2．（23-24高一下·上海閔行·階段練習）如圖，長為2，寬為1的矩形木塊，在桌面上作無滑動翻滾，翻滾到第三面后被一小木塊擋住，使木塊底與桌面成角，則點走過的路程是 .
【答案】
【分析】
由弧長公式計算各段弧長，相加即可得到答案.
【詳解】
第一次是以B為旋轉中心， 以為半徑旋轉90°,
此次點A走過的路徑是第二次是以C為旋轉中心，
以為半徑旋轉90°,此次點A走過的路徑是
第三次是以D為旋轉中心，以 為半徑旋轉60°,
此次點A走過的路徑是∴點A三次共走過的路徑是
故答案為：
3．（22-23高一·全國·課堂例題）如圖，設扇形的圓心角，半徑為，弧長為，扇形面積記為．

(1)用與表示扇形的面積；
(2)用與表示扇形的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據弧度的概念及圓的面積公式求解；
（2）由（1）結合弧長公式求解.
【詳解】（1）角的大小是周角的，所形成扇形的面積是整個圓的面積的，
即.
（2）由（1）可得，
又因為，所以．
4．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）如圖，圓心角為的扇形的半徑為2，點是上一點，作這個扇形的內接矩形．設，．
(1)若，求矩形的面積；
(2)用表示矩形的面積，并求出矩形面積的最大值．
【答案】(1)
(2)，最大值.
【分析】（1）利用直角三角函數求出，進而可得矩形的面積；
（2）利用直角三角函數用表示出，進而就可以表示矩形的面積，然后利用正弦函數的性質求最值.
【詳解】（1）當時，在直角三角形中，
，
又在直角三角形中，，
所以，
則；
（2）在直角三角形中，
，
又在直角三角形中，，
所以，
則
，
即，
因為，所以，
所以，
所以.
題型三：任意角的三角函數
1．（2024·全國·模擬預測）已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的正半軸重合，點在角的終邊上，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用誘導公式化簡，可求出P點坐標，根據三角函數定義即可求得，利用二倍角公式化簡求值，即可得答案.
【詳解】由于，
，
所以，
由于點在角的終邊上，所以，
故，
故選：C.
2．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知角終邊上點坐標為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先確定角的終邊所在的位置，再根據誘導公式及商數關系即可得解.
【詳解】因為，
所以角的終邊在第二象限，
又因為
，
且，
所以.
故選：B.
3．（23-24高一下·上海閔行·階段練習）已知點的坐標為，將繞坐標原點逆時針旋轉至，則點的坐標為 .
【答案】，
【分析】
結合三角函數的定義可先求出經過點的角的三角函數值，然后結合兩角和的正弦及余弦公式及三角函數定義可求．
【詳解】
設點的坐標，則，
設為終邊上的一點，則，，
則，
，
即，，
故點的坐標為，．
故答案為：，．
4．（23-24高一上·四川攀枝花·階段練習）已知角的終邊經過點，則 ．
【答案】
【分析】
利用任意角的三角函數的定義、誘導公式，計算即可．
【詳解】的終邊經過點，
．
則
.
故答案為：．
5．（23-24高一下·北京·階段練習）在平面直角坐標系中，已知角的終邊經過點.
(1)求、、的值；
(2)設，角的終邊與角的終邊關于軸對稱，求的值.
【答案】(1)答案見解析.
(2)
【分析】（1）分，兩種情況，根據三角函數的定義即可求解.
（2）先根據題意得出；再利用誘導公式即可求解.
【詳解】（1）因為在直角坐標系中，角的終邊經過點，
所以.
當時，，此時，，；
當時，，此時，，；
綜上可得：當時， ，，；
當時，，，.
（2）由（1）知：當時，.
因為角的終邊與角的終邊關于軸對稱，
所以.
則.
題型四：同角三角函數的基本關系
1．（2024·山東泰安·一模）若，則（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】先利用誘導公式結合二倍角的正弦公式及商數關系和平方關系化弦為切，再根據二倍角的正切公式即可得解.
【詳解】由，得，
即，即，
所以，所以，
則.
故選：C.
2．（23-24高一上·江蘇無錫·期末）已知，則 .
【答案】
【分析】
化簡，代入即可求解.
【詳解】因為，所以
.
故答案為：.
3．（23-24高一下·上海閔行·階段練習）（1）已知角終邊上一點，求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據給定條件，利用三角函數的定義求出函數值.
（2）利用二倍角公式，結合齊次式法求解即得.
【詳解】（1）角終邊上一點，則，
所以.
（2），
所以.
4．（23-24高一下·云南·階段練習）已知是的內角，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意，從而可求得，得到，從而可求解.
（2）由（1）結論可求出，然后再利用二倍角公式及兩角和的余弦公式從而可求解.
【詳解】（1）由，所以，
則，因為，則，所以，則，
所以，
則.
（2）由（1）得，解得，
且，，
所以.
5．（23-24高一下·廣東江門·階段練習）（1）已知、都是銳角，若，，求的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據同角三角函數的基本關系求出、，再由利用兩角差的正弦公式計算可得；
（2）將兩邊平方即可得到，即可判斷，從而求出，即可求出、，再由二倍角公式及兩角差的正弦公式計算可得.
【詳解】（1）已知、都是銳角，且，
，．
，，
.
（2）因為①，
所以，即，所以，
又，所以，故，
故，所以②，
由①②解得，
所以，，
故.
6．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習）（1）已知是第三象限角，且
①求的值；
②求的值．
（2）化簡：．
【答案】（1）①；②；（2）.
【分析】（1）①利用三角誘導公式和同角的基本關系式化簡已知式求得，再根據角的象限確定值；②將所求的弦的二次齊次式通過構造分母化弦為切即得；
（3）利用二倍角公式化單角為半角，再逆用二倍角公式，最后根據角的范圍去掉根號，化簡即得．
【詳解】（1）①依題意，，
即，而是第三象限角，所以.
②是第三象限角，，
所以.
（2）由
，
由，即，得，
所以原式.
題型五：誘導公式的計算
1．（2024高三·全國·專題練習）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據同角三角函數的關系可得，再根據誘導公式結合二倍角公式求解即可.
【詳解】由，可知，故，
又，則，，解得.
所以，
所以.
故選：D.
【點睛】求解本題的關鍵：
①根據角的范圍和角的正切值判斷角的余弦值的符號；
②尋找角和角之間的關系，利用誘導公式和二倍角公式求的值.
2．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）解答下列問題：
(1)計算的值；
(2)已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸正半軸重合，終邊在直線上，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據誘導公式和特殊角的三角函數值求解；
（2）根據題意可知，再根據誘導公式和弦化切求解.
【詳解】（1）
（2）根據題意可知，
所以
．
3．（22-23高一下·江蘇蘇州·開學考試）（1）已知，求的值．
（2）已知是關于的方程的兩個實根，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據題意，利用三角函數的基本關系式，求得，再結合誘導公式，代入即可求解；
（2）根據題意，得到，求得，代入即可求解.
【詳解】解：（1）因為，且，
解得，可得，
則.
（2）因為，是關于的方程的兩個實根，
可得，平方可得，可得，
所以.
4．（22-23高一下·上海松江·階段練習）已知
(1)求
(2)化簡并求值：
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由已知等式求出，再利用齊次式法求值即得.
（2）利用誘導公式、商數關系及和角的正弦公式化簡，再利用齊次式法求值即得.
【詳解】（1）由，得，解得，
.
（2）由（1）知，，
所以
.
5．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）如圖所示，以軸非負半軸為始邊作角，它的終邊與單位圓相交于點，已知點坐標為．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用點在圓上以及三角函數的定義計算即可；
（2）利用誘導公式化簡，然后轉化為用表示，代入的值計算即可.
【詳解】（1）在單位圓上，且點在第二象限
，
解得．
由三角函數定義可知，
（2）
題型六：三角函數的奇偶性
1．（2024·河南·模擬預測）函數的圖象由函數的圖象向左平移個單位長度得到，若函數的圖象關于原點對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先利用平移規律求函數的解析式，再根據函數是奇函數的性質，即可求解的值.
【詳解】由題意可知，，
因為函數關于原點對稱，所以，
則，,得，且，
所以.
故選：D
2．（23-24高一下·遼寧阜新·階段練習）已知函數是奇函數，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦型函數的性質，求出的表達式，再利用誘導公式計算即得.
【詳解】由函數是奇函數，得，
則，所以當時，.
故選：B
3．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）將函數的圖像整體向右平移個單位長度后，得到的函數圖像對應一個偶函數，則 ．
【答案】
【分析】根據題意，由條件可得平移之后的圖像解析式，再由函數圖像關于軸對稱，列出方程，代入計算，即可得到結果.
【詳解】把函數的圖像整體向右平移個單位長度后
得到函數，
若該函數為偶函數，則，，
解得，．
當為奇數時，；
當為偶數時，；
所以．
故答案為：
4．（2022高三·全國·專題練習）將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，若具有奇偶性，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】根據平移變換求得，然后結合奇偶性可得.
【詳解】將函數的圖象向左平移個單位長度，
得到函數，
因為具有奇偶性，
所以，即，
因為，所以的最小值為.
故答案為：
5．（2023高一下·海南·競賽），且則 .
【答案】18
【分析】
構造函數，利用奇函數性質求值即可.
【詳解】
令，則為奇函數，
又，故，
由，得，
故.
故答案為：18
題型七：三角函數的周期性
1．（23-24高一下·江西南昌·階段練習）將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象關于軸對稱，且函數在上單調遞增，則函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角函數圖象的平移變換以及函數圖象的對稱性，可得，由函數在上單調遞增，推出，求得范圍，即可求得的值，進而求得函數周期.
【詳解】函數的圖象向左平移個單位長度后，
得到函數的圖象，該圖象關于軸對稱，
故，即，
由函數在上單調遞增，且，
故，解得，故，
結合，可得，
故函數的最小正周期為，
故選：B
2．（23-24高一上·福建廈門·階段練習）以下函數中最小正周期為的個數是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】對于A，直接畫出函數圖象驗證即可；對于BCD，舉出反例推翻即可.
【詳解】畫出函數的圖象如圖所示：

由圖可知函數的最小正周期為，滿足題意；
對于而言，，即函數的最小正周期不是，不滿足題意；
對于而言，，即函數的最小正周期不是，不滿足題意；
對于而言，，即函數的最小正周期不是，不滿足題意；
綜上所述，滿足題意的函數的個數有1個.
故選：A.
3．（多選）（23-24高一上·湖北武漢·期末）已知下列函數中，最小正周期為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由圖象變換，周期為，則根據對稱性，周期為，同理可判斷A、B、C；而，可判定.
【詳解】作的圖象，如圖，
由圖可知函數的最小正周期為，故A正確；
由于的周期為，則根據對稱性，
周期為，故B正確；
由于的周期為，周期為，故C正確；
而，周期為，故D錯誤.
故選：ABC
4．（多選）（23-24高一上·寧夏銀川·期末）在下列函數中，最小正周期為的偶函數為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由三角函數的周期性和奇偶性求解即可.
【詳解】對于A，設的定義域為，
，所以為偶函數，
但不是周期函數，故A錯誤；
對于B，設的定義域為，
，所以為偶函數，
最小正周期為，故B正確；
對于C，設的定義域為，
，所以為偶函數，
最小正周期為，故C正確；
對于D，為向右平移個單位，不具備奇偶性，所以D錯誤.
故選：BC.
5．（23-24高一下·北京順義·階段練習）已知函數，那么函數最小正周期為 ；對稱軸方程為 .
【答案】
【分析】
根據二倍角公式及輔助角公式化簡函數的解析式，繼而利用周期公式及整體代入法求解對稱軸即可.
【詳解】因為
，
所以函數的最小正周期，
令,
得，
所以函數的對稱軸為.
故答案為：；.
題型八：三角函數的對稱性
1．（23-24高一下·遼寧撫順·階段練習）已知，在上單調遞減，為的一個對稱軸，為奇函數，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】首先由函數的單調性轉化函數周期的范圍，即可求的范圍，再結合函數的對稱性列式，確定，再分別代入函數的解析數，由對稱性求，并驗證函數的單調性后，即可求解.
【詳解】因為函數在內單調遞減，
所以，得，
因為是函數的一條對稱軸，
所以，①
因為函數是奇函數，
所以，②，
由①②可得，，
而，所以
當時，，得，，
因為，所以，
即，
當時，，顯然此時函數單調遞減，符合題意，
所以
當時，，得，，
因為，所以，
即，
當時，，顯然此時函數不是單調遞減函數，不符合題意，
所以.
故選：A
2．（23-24高二下·湖南衡陽·階段練習）已知函數圖象的一個對稱中心為，則的解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】借助二次函數、正弦函數、余弦函數、正切函數的性質逐項計算即可得.
【詳解】對A：二次函數不是中心對稱圖形，故A錯誤；
對B：當時，，由不是函數的對稱中心，
故不是的對稱中心，故B錯誤；
對C：當時，，由不是函數的對稱中心，
故不是的對稱中心，故C錯誤；
對D：當時，，由是函數的對稱中心，
故是的對稱中心，故D正確.
故選；D.
3．（22-23高一下·湖北荊州·期中）已知函數的圖象關于點對稱，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據函數的對稱中心，結合的范圍，可得出，.代入，根據兩角差的正切公式，即可得出答案.
【詳解】因為的圖象關于點對稱，
所以，
所以.
因為，所以，即，
則.
故選：C.
4．（2024·全國·模擬預測）函數在上單調遞增，且滿足，，則 ．
【答案】
【分析】根據函數的對稱性可得（），由函數的單調性可得，將的所有可能取值代入求得并驗證即可求解.
【詳解】由題意可知的一個對稱中心為，一條對稱軸為直線，
所以其中，，解得，其中．
又因為單調區間不超過半個周期，所以，則．
①當時，，解得，此時，
當時，，故在上單調遞增；
②當時，，無解；
③當時，，解得，此時，
當時，，所以在上單調遞減，舍去；
④當時，，解得，此時，
當時，，此時在上單調遞減，舍去；
⑤當時，，無解．
綜上，．
故答案為：
5．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習）已知函數的對稱中心是，則 ．
【答案】
【分析】利用輔助角公式，結合三角函數的性質可得，進而求得，從而代入求解即可得解.
【詳解】因為，其中，
又的對稱中心是知，則兩個相鄰的對稱中心相距，
故的最小正周期，即，則，
所以，解得，
故.
故答案為：.
題型九：三角函數的單調性
1．（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習）函數和在下列哪個區間上都是單調遞減的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據正余弦函數的性質逐項判斷即可求解.
【詳解】A．當時，單調遞減，單調遞減，故A正確；
B．當時，單調遞減，單調遞增，故B錯誤；
C．當時，單調遞增，單調遞增，故C錯誤；
D．當時，單調遞增，單調遞減，故D錯誤；
故選：A.
2．（2024高一下·上海·專題練習）函數的單調遞減區間是 ．
【答案】．
【分析】根據正切函數的單調性，整體代入法求解即可.
【詳解】令，，
解得，
故函數的單調遞減區間是:．
故答案為:．
3．（23-24高一下·湖北·階段練習）已知函數．
(1)求函數的解析式，并求其圖象的對稱軸方程；
(2)求函數在上的單調遞增區間．
【答案】(1)，對稱軸方程為；
(2)和
【分析】（1）直接對的表達式進行三角恒等變換即可求出解析式，進而得到其圖象的對稱軸方程；
（2）先考慮的單調遞增區間，然后令屬于該區間即可解得的單調區間.
【詳解】（1），
由，解得；
所以，函數的圖象的對稱軸方程為；
（2）（2）當時，有，要使單調遞增，
則需要，或，
解得，或；
故函數在上的單調遞增區間為和．
4．（23-24高一下·廣東梅州·階段練習）已知函數在區間上的最小值為3．
(1)求常數m的值；
(2)求函數單調遞減區間．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先化簡函數的解析式，再根據函數的定義域求函數的最小值，即可求解；
（2）根據（1）的結果，代入正弦函數單調遞減區間，即可求解.
【詳解】（1）因為
，
當時，，
所以，則，
因為的最小值為3，所以；
（2）由（1）得，
，
令，
則，
即的單調遞減區間為，
5．（23-24高一下·北京·階段練習）已知函數．
(1)求的值；
(2)求函數的單調遞減區間．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）直接代入計算可得；
（2）根據余弦函數的性質計算可得.
【詳解】（1）因為，
所以
（2）由，
令，，解得，，
所以函數的單調遞減區間為，.
題型十：三角函數中與有關的計算
1．（2024·全國·模擬預測）已知將函數（）的圖象僅向左平移個單位長度和僅向右平移個單位長度都能得到同一個函數的圖象，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】法一： 先利用平移變換分別得到函數解析式，再根據相位差為求解；法二：利用向左平移和向右平移的單位長度和為函數的周期的整數倍求解.
【詳解】法一： 函數（）的圖象僅向左平移個單位長度
得到函數的圖象，
函數（）的圖象僅向右平移個單位長度
得到的圖象，
則（），即（），即（），
由于，所以當時，取得最小值，
故選：C．
法二： 函數的最小正周期為，
依題意有（），則（），
由于，所以當時取得最小值，
故選：C．
2．（2024·貴州貴陽·一模）將函數的圖像先向右平移個單位長度，再把所得函數圖像上的每個點的縱坐標不變，橫坐標都變為原來的倍，得到函數的圖像.若函數在上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求函數的解析式，再根據，代入函數的解析式，結合正弦導函數的圖像和性質，即可求解.
【詳解】由三角函數的圖像變換規律可知，，
，，
因為函數在上單調遞增，所以，且，
得.
故選：B
3．（2024·四川成都·模擬預測）將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖像，且函數是偶函數，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角函數平移變換法則得表達式，且它是偶函數，進一步可得結合即可求解.
【詳解】由題意是偶函數，
所以，解得，
又，所以當且僅當時，.
故選：A.
4．（23-24高三下·內蒙古赤峰·開學考試）將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，若在上單調遞增，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】先得表達式，然后結合正弦函數單調性、復合函數單調性列出不等式即可求解.
【詳解】由題意，
令，顯然關于單調遞增，且，
若在上單調遞增，則，解得，
即的最大值為.
故選：C.
5．（23-24高三下·青海西寧·開學考試）將函數的圖象先向左平移個單位長度得到函數的圖象，再將圖象的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若在區間上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據三角函數圖象的平移以及伸縮變換，可得的解析式，結合題意確定，繼而結合題意得，再判斷的范圍，根據題意列出不等式，即可求得答案.
【詳解】由題意得，，
在區間上沒有零點，則，即，
又，故，
而，故，，
由于在區間上沒有零點，故，解得，
故的取值范圍是，
故選：C
6．（2022高三上·河南·專題練習）已知函數，，若將的圖象向左平移個單位長度，所得圖象對應的函數在區間內沒有極大值點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化簡的解析式得到平移后的解析式，求出其極大值點，列不等式組求解.
【詳解】由題意，得．
將函數的圖象向左平移個單位長度，可得的圖象，
令，，得，．
由，解得，，
取，可得，
結合，可得的取值范圍是．
故選:D．
題型十一：五點法作圖
1．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習）已知函數.
(1)填寫下表，用“五點法”畫出函數在一個周期上的圖象；
0 2 0 0
(2)解不等式.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）根據“五點法”作圖的步驟求解即可；
（2）由轉化為，由正弦函數圖象與性質列出不等式求解即可.
【詳解】（1）列表
0
0 2 0 0
描點、連線得到圖象如下
（2）由可得，
即，所以，
所以或，，
即或，，
故不等式的解集為.
2．（23-24高一下·廣東珠海·階段練習）已知函數.

(1)求的最小正周期；
(2)在給定的坐標系中用五點法作出函數的簡圖.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）由周期的計算公式即可求值，
（2）由五點作圖法即可求解.
【詳解】（1）的最小正周期.
（2）由（1），
列對應值表如下：
通過描出五個關鍵點，再用光滑曲線順次連接作出函數，的簡圖如圖所示：

3．（2024高一·全國·專題練習）已知函數．用“五點法”在給定的坐標系中，畫出函數在上的大致圖象.

【答案】作圖見解析
【分析】通過列表得函數在內的關鍵點以及端點值，在所給的坐標系中，描點連線畫出圖.
【詳解】列表：
0
1 2 0 0 1
描點，連線，畫出在上的大致圖象如圖：

4．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）已知函數.
(1)求的最大值及取得最大值時對應的的取值集合；
(2)用“五點法”畫出在上的圖象.
【答案】(1)4；
(2)答案見解析
【分析】
（1）根據正弦函數的性質，即可求解；
（2）首先列表，再根據“五點法”作圖，即可畫出圖象.
【詳解】（1）因為，所以，
所以，
則的最大值為4.
此時，
解得.
故當取得最大值時，對應的的取值集合為.
（2）列表如下：
4 1 -2 1
題型十二：根據圖象求三角函數解析式
1．（23-24高一下·廣東韶關·階段練習）函數的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先根據函數圖象得到的解析式，再根據平移變換求解即可.
【詳解】由圖知： 解得，
因為，所以，則，即
因為，
所以，即.
因為，得，
所以
所以
故選：C.
2．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）函數的部分圖像如圖所示，把函數的圖像向右平移得到，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函數圖象求得函數的解析式為，再由平移規則即可得.
【詳解】根據圖像可知，可得，即；
又，可得，
解得，由可知；
即可得，
把函數的圖像向右平移得到；
即.
故選：A
3．（2024·天津·一模）已知函數（其中）的部分圖象如圖所示，有以下結論：
① ②函數為偶函數
③ ④在上單調遞增
所有正確結論的序號是（ ）
A．①② B．①③④ C．③④ D．①④
【答案】B
【分析】借助圖象可得解析式，結合正弦函數的單調性、最值、奇偶性等逐項判斷即可得.
【詳解】由圖可得，，
且，則，即，
，即，
又，故，即，
對①：，由時，函數取最大值，
故是函數的最大值，故①正確；
對②：，故②錯誤；
對③：，
則，故③正確；
對④：當時，，
由函數在上單調遞增，
故函數在上單調遞增，故④正確.
故選：B.
4．（23-24高三下·山東濟寧·開學考試）函數（其中）的部分圖象如圖所示，為了得到函數的圖象，則只需將的圖象（ ）

A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】B
【分析】由題意，結合圖形和誘導公式求得，利用三角函數圖象的平移變換即可求解.
【詳解】由圖象知，，則，又，所以，
當時，，解得，
由，得，
所以.
要得到函數的圖象，只需將函數的圖象向右平移個單位即可.
故選：B
5．（23-24高一上·云南大理·期末）已知函數（其中，，）的部分圖象如圖所示，將函數圖象上所有點向右平移個單位，得到函數的圖象，則函數的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函數的圖象求得，再利用平移變換求解.
【詳解】解：由函數的圖象知：，，則，所以，
則，因為點在圖象上，所以，
則，即，
因為，則，所以，
將函數圖象上所有點向右平移個單位，得到，
故選：D
題型十三：函數圖象的變換
1．（23-24高三上·廣東湛江·期末）已知函數，要得到函數的圖象，只需將的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】D
【分析】先把，的解析式都化成或的形式，再用圖象的平移解決問題.
【詳解】，
，
故將的圖象向右平移個單位長度可得，即為的圖象.
故選：C
2．（2024·全國·模擬預測）將函數的圖象向右平移（）個單位長度，得到函數的圖象，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用兩角差的余弦公式化簡，再由誘導公式及圖象平移即可得解.
【詳解】因為，
，
所以把的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象，
則的最小值為，
故選：B．
3．（2020高三·全國·專題練習）將函數的圖象上各點向右平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標伸長為原來的4倍，則所得到的圖象的函數解析式是（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】結合對函數圖象的影響可得.
【詳解】將函數的圖象上各點向右平移個單位長度，得到函數即的圖象，
再把函數的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的一半，就得到函數的圖象，
然后再把函數的圖象上所有點的縱坐標伸長為原來的4倍，就得到函數的圖象.
故選：A.
4．（多選）（2023·安徽安慶·三模）函數（其中）的圖像如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

A．函數的最小正周期是
B．
C．為了得到的圖像，只需將的圖像向左平移個單位長度
D．為了得到的圖像，只需將的圖像向左平移個單位長度
【答案】BD
【分析】根據函數圖像結合三角函數性質，根據周期，初相判斷A,B選項，根據平移判斷C,D選項即可.
【詳解】對A，由圖可知，，最小正周期滿足，所以，
所以函數的最小正周期是，故A錯誤；
對B，，即，將代入可得，得，又，所以，故B正確；
對C，由上述結論可知，為了得到
，應將函數向左平移個單位長度.故C
錯誤，D正確.
故選：BD.
5．（多選）（2023·河北·模擬預測）把函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再把所得圖象上所有點的縱坐標縮短到原來的倍（橫坐標不變），最后把所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則的解析式可以為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】通過往回倒推，將函數的圖象,向左平移個單位長度，再將其縱坐標伸長2倍，橫坐標伸長3倍得到解析式，利用誘導公式一一對照化簡即可.
【詳解】把函數的圖象,向左平移個單位長度,
得到的圖象,
再把所得圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變),得到的圖象,
最后把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變),
得到的圖象.
而.
故選：BD.
6．（多選）（22-23高一下·四川達州·階段練習）下列能產生的圖象的變換是（ ）
A．將函數的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的
B．將函數的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的
C．將函數的圖象沿軸向左平移3個單位；
D．將函數的圖象沿軸向右平移3個單位．
【答案】AD
【分析】根據三角函數圖象平移規律逐項判斷可得答案.
【詳解】對于A：函數圖象上所有的點縱坐標不變，橫坐標變為原來的，
得函數的圖象，故A正確；
對于B：函數圖象上所有的點縱坐標不變，橫坐標變為原來的，
得函數的圖象，故B錯誤；
對于C：函數的圖象沿軸向左平移3個單位，
得函數的圖象，故C錯誤；
對于D：根據誘導公式函數的圖象沿軸向右平移3個單位，得函數的圖象，故D正確．
故選：AD.
題型十四：和差倍角計算
1．（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習）式子（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用誘導公式和兩角和的正弦公式求解.
【詳解】解：，
，
.
故選：B
2．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】逆用和角正弦公式化簡三角函數式，即可求值.
【詳解】，故A正確.
故選：A.
3．（2024·重慶·模擬預測）若，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據兩角和與差求解的余弦公式求解，進而求出，求出，利用二倍角求出
【詳解】由，則,
由，
所以，則，
則，
故.
故選：D
4．（多選）（23-24高一下·江蘇揚州·階段練習）下列式子化簡正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用誘導公式及兩角和的余弦公式的逆用可判斷選項A；利用輔助角公式可判斷選項B；利用誘導公式及二倍角正弦公式可判斷選項C；利用及兩角差的正切公式可判斷選項D.
【詳解】對于選項A：因為
，故選項A錯誤；
對于選項B：
，故選項B正確；
對于選項C：因為，故選項C正確；
對于選項D：因為，故選項D錯誤.
故選：BC.
5．（2024高一下·江蘇·專題練習）求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】
根據題意，結合兩角和與差的三角函數公式，準確化簡、運算，即可求解.
【詳解】（1）解：由.
（2）解：由.
（3）解：由
.
（4）解：由
，
題型十五：拼湊角問題
1．（2024高三·全國·專題練習）已知tan α＝，tan β＝－，則tan (2α＋β)的值為（ ）
A．－ B．－
C．1 D．
【答案】C
【詳解】
因為tan α＝，tan β＝－，所以tan （α＋β）＝＝＝＝，所以tan （2α＋β）＝tan [α＋（α＋β）]＝＝＝1.
【考查意圖】
利用和差倍角公式化簡求值．
2．（23-24高三下·陜西渭南·開學考試）已知角滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用兩角差的正切公式展開即可求出，再由二倍角公式及同角三角函數的基本關系將弦化切，最后代入計算可得.
【詳解】因為，即，解得，
所以.
故選：D
3．（23-24高三下·河北保定·開學考試）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據正切的差角公式和二倍角公式求出答案.
【詳解】，
故
故選：B
4．（2024·河北滄州·模擬預測）已知，則 ．
【答案】
【分析】根據題意，由余弦的和差角公式展開可得，再由二倍角公式，即可得到結果.
【詳解】因為，整理得，
所以，所以，
所以．
故答案為：
5．（2024·云南昆明·模擬預測）已知，則 .
【答案】
【分析】
根據題意，由正弦的和差角公式展開可得，再由余弦的二倍角公式代入計算，即可得到結果.
【詳解】
由題意，，
得，令，則，得，
所以.
故答案為：
題型十六：三角函數綜合（單調性及根據單調性求參數）
1．（23-24高三上·北京朝陽·期末）已知函數的圖象過原點.
(1)求的值及的最小正周期；
(2)若函數在區間上單調遞增，求正數的最大值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用函數圖象過原點求得，然后利用三角恒等變換化簡函數，利用周期公式求解周期；
（2）先利用換元法求解函數的單調遞增區間，利用子集關系建立不等式求解即可.
【詳解】（1）由得.所以
.
所以的最小正周期為.
（2）由（），得（）.
所以的單調遞增區間為（）.
因為在區間上單調遞增，且，此時，
所以，故的最大值為.
2．（22-23高一上·廣西百色·期末）已知函數的部分圖象如圖所示.

(1)求的解析式；
(2)若在上單調遞增，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）結合圖像的最高點可求出，根據軸上的數據可求出周期，然后在代入一個點可求出解析式；
（2）根據三角恒等變換化簡得出，然后根據正弦函數的單調性求解.
【詳解】（1）依題意，由圖知，，，即，
得，所以，
又，所以，，
即，，由得，所以.
（2）由（1）可知，，
則，
因為，所以，
根據正弦函數在上遞增可知，
所以，即，
所以m的取值范圍為.
3．（22-23高一下·北京昌平·期末）已知函數.
(1)求的最小正周期；
(2)求在區間上的最大值及相應的的取值
(3)若函數在上是增函數，求的最小值.
【答案】(1)；
(2)，；
(3).
【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數，再利用正弦函數周期公式求解作答.
（2）利用（1）中解析式，求出相位所在區間，結合正弦函數性質求解作答.
（3）求出的單調遞增區間，再借助集合包含關系列式作答.
【詳解】（1）依題意，函數，
所以函數的最小正周期為.
（2）由（1）知，，當時，，
當，即時，函數取得最大值1，
所以，.
（3）由（1）知，，由，
得，即函數在上單調遞增，
因為函數在上是增函數，則，因此，
所以的最小值是.
4．（22-23高一下·北京·期中）已知函數.在下列條件①、條件②、條件③這三個條件中，選擇可以確定ω和m值的兩個條件作為已知. 條件①：＝2；條件②：最大值與最小值之和為0；條件③：最小正周期為π.
(1)求的值；
(2)若函數在區間［0，a］上是增函數，求實數a的最大值
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】本題為劣構題；
（1）選擇條件然后對應分析解析；
條件① ②：由①知，根據，解得m=2；由②知，根據，解得，矛盾，不能同時選；
選條件① ③：解得，從而解得，結合函數圖像的單調性確定a的最大值為；
選條件② ③：根據條件解得，，解得，
（2）結合函數圖像的單調性確定a的最大值為；
【詳解】（1）函數．
選條件① ②：
由①知，，所以m=2；
由②知，，所以，矛盾，不能同時選；
選條件① ③：
由條件③得，，又因為ω>0，所以ω=2．
由①知，，所以m=2．
則．
所以．
選條件② ③：
由于最小正周期為，所以ω=2，所以；
由最大值與最小值之和為0，
，
故，解得．
所以，
所以．
（2）選條件① ③：
令，所以，
所以函數f（x）的單調增區間為．
因為函數在區間［0，a]上單調遞增，且，此時k=0，
所以，故a的最大值為．
選條件② ③：解法同選擇① ③ ：
令，所以，
所以函數的單調增區間為．
因為函數在區間［0，a]上單調遞增，且，此時k=0，
所以，故a的最大值為．
5．（23-24高一上·山東淄博·期末）已知函數（），滿足函數是奇函數．
(1)求函數，的值域；
(2)函數在區間和上均單調遞增，求實數a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由奇函數解得，再將看成整體，將所求函數轉化為二次函數值域求解即可；
（2）將復合函數單調性利用換元法轉化為余弦函數的單調性即可求解參數范圍.
【詳解】（1）因為，
由是奇函數，
所以，則，
解得，
又，則.
驗證：當時，，
由，得是奇函數.
因為函數
，
由，則，
所以，
故當時，；
當或時，.
故所求函數的值域為；
（2）因函數在區間和上均單調遞增，
令，則在區間和單調遞增，
故，且，
解得，
則實數的取值范圍為.
6．（19-20高一·全國·課時練習）是否存在實數a，且，使得函數在區間上單調遞增？若存在，求出a的一個值；若不存在，請說明理由.
【答案】存在；滿足題意
【解析】由得，由題意得且，解得，則時存在，滿足題意.
【詳解】解：，
在區間上為增函數，
.
又由，得：，
，
，
解得
由得，
此時， ，
故存在，滿足題意.
【點睛】本題考查了整體法求三角函數的單調性，屬于中檔題.
題型十七：三角函數綜合（值域，最值）
1．（23-24高一下·江西南昌·階段練習）已知函數.
(1)求函數在的值域；
(2)將函數的圖象上的每個點的橫坐標都變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若函數在上沒有最值，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化簡得到，根據求出，結合函數圖象求出值域；
（2）求出，并求出，根據在上沒有最值，得到不等式，求出，結合和求出，且，從而求出的最大值.
【詳解】（1），，
故
，
當時，，，
故，
所以函數在的值域為
（2），其中，故，
在上沒有最值，故且，
解得，
令，解得，
又，故，解得，
所以，且，
當時，；當時，；
所以的最大值為
2．（23-24高一上·浙江·期末）設函數
(1)求函數的對稱中心；
(2)若函數在區間上有最小值，求實數m的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根據正弦函數的對稱性，即可求得答案；
（2）利用三角函數的誘導公式以及兩角和差的正余弦公式化簡，再結合余弦函數的性質，即可求得答案.
【詳解】（1）
令，則，
故函數的對稱中心為；
（2）
，
函數在區間上有最小值，即區間上有最小值，
而，即需，則，
即實數m的最小值為.
3．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）已知函數.
(1)求不等式的解集；
(2)設函數，對任意的恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】
（1）根據正切函數的圖象和性質，解不等式；
（2）首先求函數的值域，再換元為函數，轉化為討論對稱軸與定義域的關系，求函數的最小值問題，即可求解.
【詳解】（1）不等式，即，則，
從而，
解得，
故不等式的解集為.
（2）因為，所以，所以，
所以，即.
設，則.
設函數，則.
當，即時，在上單調遞增，
則，解得，又，所以，即不符合題意.
當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，
則，解得，
又，所以.
當，即時，在上單調遞減，
則，解得，
又，所以.
綜上，的取值范圍是.
4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函數，且．
(1)求的定義域與最小正周期；
(2)當時，求的值域
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據正切函數的性質即可求得函數的定義域，根據求出，再根據三角恒等變換化一，根據正弦函數的周期性求周期即可；
（2）根據正弦函數的性質結合整體思想求解即可.
【詳解】（1）的定義域為；
因為，
由，得，所以，
所以，
即，
所以的最小正周期為；
（2）因為，所以，
所以當，即時，有最小值，
當，即時，有最大值，
所以的值域為．
題型十八：三角函數綜合（恒成立，有解問題）
1．（23-24高一下·四川成都·階段練習）函數（其中）的部分圖像如圖所示，把函數的圖像向右平移個單位，得到函數的圖像.

(1)當時，求函數的解析式；
(2)對于，是否總存在唯一的實數，使得成立？若存在，求出實數的值或取值范圍；若不存在，說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由函數圖象求出的解析式，再根據三角函數的變換規則得到的解析式；
（2）依題意可得，由的取值范圍求出的范圍，由的范圍求出的范圍，依題意可得，即可得到關于的不等式組，解得即可.
【詳解】（1）由函數圖像可知，，
又，，所以，解得，
，當時，，
，所以，又，所以，
，
所以，
再將函數的圖像向右平移個單位得到.
（2）由，得，
由得，，
，
又，得，所以，
又在上單調遞減，在上單調遞增，，，
由的唯一性可得即.
依題意可得，
所以，解得，
所以當時，使成立.
2．（23-24高一下·江西九江·階段練習）設函數．
(1)若對一切實數x恒成立，求實數a的取值范圍；
(2)若關于x的方程在有實數解，求實數a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）轉化為求函數的最值，再根據不等式，列式求解；
（2）首先換元，轉化為關于的二次方程，再利用參變分離為在上有實數解，轉化為求函數的值域問題.
【詳解】（1）由函數，
令，可得，
因為對一切實數恒成立，即對任意的，恒成立，
又由函數的圖像開口向下，對稱軸為，
當時，；當時，，
則，解得，所以實數a的取值范圍
（2）由，令，
要使得方程關于x的方程在有實數解，
即在上有實數解，即在上有實數解，
令，，由，
可當在上單調遞減，在單調遞增，
當時，，當或時，，
則，即實數的取值范圍為.
3．（23-24高一下·遼寧撫順·階段練習）已知函數（，且）為偶函數．
(1)求的值；
(2)若，使成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據偶函數的定義結合對數運算求解；
（2）根據對數函數性質結合基本不等式可得，由存在性問題可得，換元，可得，構建，根據恒成立問題結合二次函數分析求解.
【詳解】（1）因為函數為偶函數，則，
即，
整理得，
可得，結合x的任意性可得，
此時，
可得的定義域為，符合題意，
綜上所述：.
（2）因為，則，
則，當且僅當，即時，等號成立，
所以，
由題意可得：，即，
因為，令，則，
設，
可得，解得，
若，可知的圖象開口向上，對稱軸，
由題意可得，
整理得，
又因為，則，解得，
所以實數的取值范圍.
4．（23-24高一下·河南三門峽·階段練習）已知向量，，設函數．
(1)求的單調增區間；
(2)若對任意，恒成立，求m的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用數量積的坐標表示求出，利用三角恒等變換化簡，再利用正弦函數的性質求出增區間.
（2）由（1）的函數式，利用正弦函數的性質求出最大值即得.
【詳解】（1）依題意，，
由，得，
所以函數單調增區間為.
（2）當時，則，則當，即時，函數取得最大值，
當，即時，函數取得最小值0，即，，
因此在上的最大值為1，由任意恒成立，得，
所以的取值范圍為.
5．（23-24高一下·上海·階段練習）已知函數．
(1)當時，求函數的單調遞增區間；
(2)對于為任意實數，關于的方程恰好有兩個不等的實根，求實數的值；
(3)在（2）的條件下，若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)，.
(2)
(3)
【分析】（1）先利用三角恒等變換化簡，再利用整體代入法即可得解；
（2）將恰好有兩個不等實根轉化為區間的長度恰為的一個周期，從而得解；
（3）先利用正弦函數的性質求得的值域，再由恒成立得到關于的不等式組，解之即可得解.
【詳解】（1）因為
，
當時，可得函數，
令，得，
所以函數的單調遞增區間為，.
（2）當時，，其周期，
因為關于的方程恰好有兩個不等實根，即恰好有兩個不等實根，
所以區間的長度恰為的一個周期，
所以，可得.
（3）由（2）中，得，
因為，所以，則，
所以的值域為，
不等式可化為即，
所以，解得，即.
題型十九：三角函數綜合（零點問題）
1．（23-24高一下·遼寧鞍山·階段練習）已知函數（，），函數圖象關于對稱，且函數圖象上相鄰的最高點與最低點之間的距離為4．
(1)求，的值；
(2)求函數在上的單調減區間；
(3)若方程在有兩個不同的根，求m的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)的單調減區間為，
(3)
【分析】（1）根據相鄰的最高點與最低點的距離為4求得，根據圖象關于對稱求得；
（2）由解得的單調增區間；
（3）作出時的圖象，觀察圖象得m的取值范圍．
【詳解】（1）∵圖象上相鄰的最高點與最低點的距離為4．且，
∴，
∴即，
∴，
又圖象關于對稱，
∴，，
∴，，
又∵，
∴．
（2），
由，，
解得，，
時；時
又∵
∴的單調減區間為，．
（3）在單調遞增，在單調遞減，
當時，，，
作出時的圖象如下圖：

若方程在有兩個不同的根，則
2．（23-24高三下·上海浦東新·期中）已知函數，其中.
(1)求在上的解；
(2)已知，若關于的方程在時有解，求實數m的取值范圍.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根據題意得方程，然后通過的范圍解方程即可；
（2）代入，然后利用三角公式化簡，再將方程有解問題轉化為函數值域問題，利用正弦函數的性質求值域即可.
【詳解】（1）由已知，
又，所以，
所以或，
所以或，
即在上的解為或；
（2）由已知
，
則在時有解，即在時有解，
因為，所以，
所以，
所以.
3．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知向量，函數，，.
(1)當時，求的值；
(2)若，求的最小值；
(3)是否存在實數m，使函數，有四個不同的零點 若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）利用平面向量數量積的坐標運算求得函數的解析式，然后求解時的值即可.
（2）由（1）的解析式，把代入，利用余弦函數性質，結合二次函數性質求出最小值.
（3）令 求解的值，據此求得關于的不等式，求解不等式可得實數的取值范圍.
【詳解】（1）向量，，
，由，得，
，
因此，當時，，
所以.
（2）由（1）知，，
當時，，
當時，，則當，即時，，
所以當時，函數取得最小值.
（3）由（1）知，，則，，
函數是偶函數，其圖象關于軸對稱，顯然在上的圖象關于軸對稱，
當時，，當取內任意一個值時，都有兩個不同的值與之對應，
由，得，即或，
由函數，有四個不同的零點，得，解得，
所以存在實數m，使函數，有四個不同的零點，m的取值范圍是.
4．（23-24高二下·安徽蚌埠·階段練習）已知函數．
(1)求函數在上的單調遞減區間；
(2)解關于x的不等式；
(3)若在區間上恰有兩個零點，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用輔助角公式化簡函數，再利用三角函數的性質，結合整體代入法即可得解.
（2）由（1）的信息，利用正弦函數性質解不等式即得.
（3）利用三角函數的對稱性得到，由題設條件得到，從而利用誘導公式即可得解.
【詳解】（1）依題意，
令，解得，
由，得當時，；當時，，
所以在上的單調遞減區間為.
（2）由（1）知，，由，得，
解得，解得，
所以不等式的解集為.
（3）由函數在區間上恰有2個零點，得在有兩個根，
令，解得，則函數圖象的一條對稱軸為，
因此在的兩個根滿足，則，
顯然，則，
所以.
5．（23-24高一下·上海金山·階段練習）將函數的圖像進行如下變換：先向下平移個單位長度，再向左平移個單位長度，得到函數的圖像
(1)求的最小正周期及單調增區間
(2)當時，方程有兩個不等的實根，求實數的取值范圍
(3)若函數在區間內恰有2022個零點，求的所有可能取值
【答案】(1)，；
(2)
(3)2022或2023或1348
【分析】（1）由三角恒等變換化簡即可得到函數解析式，再由正弦型函數的單調性，即可得到結果；
（2）根據題意，結合正弦型函數的圖像，即可得到結果；
（3）根據題意，由換元法可得，轉化為二次函數零點問題，即可求解.
【詳解】（1），
則由題意可得函數的解析式為，
令，，
則最小正周期為，單調遞增區間為，.
（2）
，則，
若方程有兩個不等的實根，結合函數圖像可得
（3）
設，則函數等價為
由，得
有兩個不等的實數根
當時，，此時在上恰有3個零點
當時，
此時在上恰有2個零點
或
或2023
綜上所述，的所有可能取值為2022或2023或1348
題型二十：三角函數模型
1．（23-24高一下·全國·課后作業）水車是一種利用水流的動力進行灌溉的工具，工作示意圖如圖．設水車（即圓周）的直徑為3m，其中心（即圓心）O到水面的距離，逆時針勻速旋轉一圈的時間是，水車邊緣上一點P距水面的高度為h（單位：m）．
(1)求h與旋轉時間t（單位：s）的函數解析式，并畫出這個函數的圖象；
(2)當雨季河水上漲或旱季河流水量減少時，所求得的函數解析式中的參數將會發生哪些變化？若水車轉速加快或減慢，函數解析式中的參數又會受到怎樣的影響？
【答案】(1)，圖象見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）根據給定條件，設出h與t的函數關系式，列表，結合五點法作圖；
（2）根據題意結合函數解析式分析判斷.
【詳解】（1）設點P在水面上時高度h為0，當點P旋轉到水面以下時，點P距水面的高度為負值．
過點P向水面作垂線，交水面于點M，PM的長度為點P的高度h，
過水車中心O作PM的垂線，交PM于點N，
設Q為水車與水面交點，．
由已知可知：水車的半徑，水車中心到水面的距離，
水車旋轉一圈所需的時間為，轉速為．
不妨從水車與水面交點Q時開始計時（）．旋轉ts水車轉動的角的大小為α，
即．
從圖中不難看出：
．①
因為，所以．
因此，②
這就是點P距水面的高度h關于時間t的函數解析式．
列表如下：
11.8 31.8 51.8 71.8 91.8
0
1.2 2.7 1.2 1.2
畫出函數在區間上的圖象（如圖）：
（2）雨季河水上漲或旱季河流水量減少，將造成水車中心O與水面距離的改變，導致函數解析式中的參數b發生變化．水面上漲時參數b減小；水面回落時參數b增大．
如果水車轉速加快，將使周期T減小，轉速減慢則使周期T增大．
2．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，某公園摩天輪的半徑為40m，圓心距地面的高度為50m，摩天輪做勻速轉動，每3min轉一圈，摩天輪上的點P的起始位置在最低點處．

(1)已知在時刻t（單位：min）時點P距離地面的高度（其中，，，求函數解析式及5min時點P距離地面的高度；
(2)當點P距離地面及以上時，可以看到公園的全貌，求轉一圈中有多少時間可以看到公園的全貌？
【答案】(1)，70m
(2)0.5min
【分析】（1）根據題意得到振幅，最小正周期，求出，由求出，得到函數解析式，求出；
（2）在（1）的基礎上，得到，解不等式，求出，，從而求出答案.
【詳解】（1）依題意，，，，則，
所以，
由可得，，，
因為，所以．
故在時刻t時點P距離地面的離度，
因此，
故5min時點P距離地面的高度為70m；
（2）由（1）知，其中．
依題意，令，
即，所以，
解得，，
則，，
由，
可知轉一圈中有0.5min可以看到公園全貌．
3．（23-24高一上·重慶·期末）如圖所示，是一塊邊長為8米的荒地，小花想在其中開圼出一塊地來種植玫瑰花.已知一半徑為6米的扇形區域TAN已被小明提前撒下了蔬菜種子，扇形區域外能供小花隨意種植玫瑰花.最后小花決定在能種植玫瑰的區域選定一塊矩形PQCR區域進行種植，其中在邊上，在邊上，是弧上一點.設，矩形的面積為平方米.
(1)求關于的函數解析式；
(2)求的取值范圍
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）用三角函數分別表示出，再由矩形的面積公式表示出關于的函數解析式即可.
（2）令，由同角的三角函數關系得到，即，再由二次函數的性質求出取值范圍即可.
【詳解】（1）如圖，延長交于點，延長交于點.由四邊形是正方形，四邊形是矩形，
可知.由，可得
，
.
.
（2）令，由，可得，
故
，即，
，其對稱軸為
所以當時，取最大值，最大值為16；
所以當時，取最小值，最小值為14.
即.
4．（23-24高一上·浙江寧波·期末）已知一個半徑為米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面米，且按順時針方向勻速轉動，每秒轉動一圈.如果以水輪上點從水面浮現時（圖中點位置）開始計時，記點距離水面的高度關于時間的函數解析式為.
(1)在水輪轉動的一周內，求點距離水面高度關于時間的函數解析式；
(2)在水輪轉動的一周內，求點在水面下方的時間段.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據函數的最大值和最小值可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，求出該函數的最小正周期，可得出的值，再由，結合的取值范圍，可得出的值，由此可得出函數的解析式；
（2）在時，解不等式即可得出結論.
【詳解】（1）解：由題意知的最大值為，最小值為，
所以，，解得，
由題意可知，函數的最小正周期為，
則，所以.
當時，，即，可得，
又，所以，所以，.
（2）解：令，得.
由，得，所以，解得，
即在水輪轉動的一圈內，點在水面下方的時段是秒到秒.
5．（23-24高一上·廣西柳州·期末）建設生態文明是關系人民福祉，關乎民族未來的長遠大計.某市通宵營業的大型商場，為響應國家節能減排的號召，在氣溫低于時，才開放中央空調，否則關閉中央空調.如圖是該市冬季某一天的氣溫（單位：）隨時間（，單位：小時）的大致變化曲線，若該曲線近似滿足，關系.
(1)求的表達式；
(2)請根據（1）的結論，求該商場的中央空調在一天內開啟的時長.
【答案】(1)
(2)8小時
【分析】
（1）利用五點作圖法，結合圖象即可得解；
（2）解正弦不等式即可得解.
【詳解】（1）
由題意，得，解得，
又，所以，又，所以，
因為過，
則，即，
所以，即，
又，所以，
所以.
（2）
根據題設，令，即，
由的性質得，，
解得，，
又因為，
當時，；當時，；
所以或，
所以該商場的中央空調應在一天內開啟時長為8小時.
6．（23-24高一上·浙江溫州·期末）下表是地一天從時的 部分時刻與溫度變化的關系的預報，現選用一個函數來近似描述溫度與時刻的關系．
時刻/h 2 6 10 14 18
溫度/℃ 20 10 20 30 20
(1)寫出函數的解析式：
(2)若另一個地區這一天的氣溫變化曲線也近似滿足函數且氣溫變化也是從到，只不過最高氣溫都比地區早2個小時，求同一時刻，地與地的溫差的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由表中數據發現溫度跌宕起伏，且呈現一定規律（周期），由此聯想到三角函數，由以及，即可求得，最后代入一個點即可得.
（2）由題意可得，兩函數作差，結合兩角和的正弦以及輔助角公式即可得解.
【詳解】（1）由題意不妨設，
可以發現周期，解得，
而，解得，
所以，即，不妨取，
所以函數的解析式為.
（2）設地區的溫度變化函數為，
令
，其中，不妨設，
所以，等號成立當且僅當，
即，
所以只能取或滿足地與地的溫差的最大值為.
第二部分：新定義題
1．（23-24高一下·江西·階段練習）對于分別定義在，上的函數，以及實數，若任取，存在，使得，則稱函數與具有關系.其中稱為的像.
(1)若，；，，判斷與是否具有關系，并說明理由；
(2)若，；，，且與具有關系，求的像；
(3)若，；，，且與具有關系，求實數的取值范圍.
【答案】(1)不具有，理由見解析；
(2)或或；
(3)或，
【分析】（1）根據具有關系的定義及三角函數的值域判斷即可；
（2）根據具有關系及三角函數的性質計算即可；
（3）利用三角函數的性質先確定，根據具有關系的定義得出，再根據二次函數的動軸定區間分類討論計算即可.
【詳解】（1）與不具有關系，
理由如下：時，，，所以，
則與不具有關系；
（2）由題意可知
，
所以，
又，所以，
解之得或或，
即的像為或或；
（3）對于，則，所以，
即，
因為與具有關系，
所以要滿足題意需，使得即可.
令，
令，則，設，
①若，即時，，
則，
②若，即時，，
則，
③若，即時，，
則或，顯然無解，
④若，即時，，
則或，顯然無解，
綜上所述：或，
2．（23-24高一下·上海·階段練習）人臉識別技術在各行各業的應用改變著人類的生活，所謂人臉識別，就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別對象的身份，在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應用距離的測試，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個點，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為
(1)若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；
(2)已知，，，若，，求的值
(3)已知，、，，若，，求、之間的曼哈頓距離.
【答案】(1)，余弦距離等于
(2)
(3)
，
所以.
因為，
所以、之間的曼哈頓距離是.
3．（22-23高一上·云南昆明·期末）人臉識別技術在各行各業的應用改變著人類的生活，所謂人臉識別，就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別對象的身份，在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應用距離的測試，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個點，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為
(1)若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；
(2)已知，，，若，，求的值
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據公式直接計算即可.
（2）根據公式得到，，計算得到答案.
【詳解】（1），
，故余弦距離等于；
（2）；
故，，則.
4．（21-22高一下·上海嘉定·期末）我們知道：對于函數，如果存在一個非零常數T，使得當x取其定義域D中的任意值時，有，且成立，那么函數叫做周期函數．對于一個周期函數，如果在它的所有周期中存在一個最小正數，那么這個最小正數就叫做函數的最小正周期．對于定義域為R的函數，若存在正常數T，使得是以T為周期的函數，則稱為正弦周期函數，且稱T為其正弦周期．
(1)驗證是以為周期的正弦周期函數．
(2)已知函數是周期函數，請求出它的一個周期．并判斷此周期函數是否存在最小正周期，并說明理由．
(3)已知存在這樣一個函數，它是定義在R上嚴格增函數，值域為R，且是以T為周期的正弦周期函數．若，，且存在，使得，求的值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)是它的一個周期且是最小正周期，證明見解析；
(3)．
【分析】（1）根據正弦周期函數的定義求解；
（2）結合正弦、余弦函數性質由周期函數定義求解．
（3）從是嚴格遞增函數，時，進行推理可得．
【詳解】（1），證畢．
（2），易知是它的一個周期，
因為，
下面證明是的最小正周期，
時，是增函數，
時，是減函數，
又，
，
所以，即函數圖象關于直線對稱，
所以當時，不可能是函數的周期，
假設函數有小于的正周期，則，取，
與時，函數的單調性相同，但，而在這兩個區間上單調性相反，假設錯誤．
所以是的最小正周期．
（3）因為是周期函數，是它的一個周期，
，，又由題意，,
因為，，是嚴格遞增函數，
所以，
又時，，
，，
因為是嚴格遞增函數，
所以與是一一對應的，
因此，．
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