資源簡介

第06講 拓展一：平面向量的拓展應用
目錄
高頻考點一：平面向量夾角為銳角問題 1
高頻考點二：平面向量夾角為鈍角問題 2
高頻考點三：平面向量模的最值（或范圍）問題（定義法） 3
高頻考點四：平面向量模的最值（或范圍）問題（幾何法） 4
高頻考點五：平面向量模的最值（或范圍）問題（三角不等式法） 5
高頻考點六：平面向量模的最值（或范圍）問題（坐標法） 6
高頻考點七：平面向量數量積最值（或范圍）問題（定義法） 7
高頻考點八：平面向量數量積最值（或范圍）問題（向量數量積幾何意義法） 7
高頻考點九：平面向量數量積最值（或范圍）問題（坐標法（自主建系法）） 8
高頻考點十：平面向量數量積最值（或范圍）問題（積化恒等式法） 10
高頻考點一：平面向量夾角為銳角問題
典型例題
例題1．（2024·陜西·模擬預測）已知：向量與的夾角為銳角．若是假命題，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024高三·全國·專題練習）已知，為互相垂直的單位向量，，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍為 ．
例題3．（2024高一·全國·專題練習）已知，是夾角為的兩個單位向量．若，，其中，若，的夾角為銳角，求的取值范圍．
練透核心考點
1．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習）已知平面向量與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是 ．
2．（23-24高一下·福建莆田·階段練習）已知與的夾角為.
(1)求在方向上的投影向量;
(2)求的值;
(3)若向量與的夾角為銳角，求實數的取值范圍.
高頻考點二：平面向量夾角為鈍角問題
典型例題
例題1．（23-24高一下·山東德州·階段練習）已知，與的夾角為，若向量與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習）若向量，的夾角為鈍角，則實數的取值范圍為 ．
例題3．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習）已知向量與的夾角為，且.
(1)求；
(2)求與的夾角的余弦值；
(3)若與夾角為鈍角，求實數k的取值范圍.
練透核心考點
1．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習）設兩個向量，滿足，，，之間的夾角為，若向量與向量的夾角為鈍角，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一下·新疆烏魯木齊·階段練習）設兩個向量滿足，
(1)求在上的投影向量（用坐標表示）；
(2)若向量與向量的夾角為鈍角，求實數的取值范圍.
高頻考點三：平面向量模的最值（或范圍）問題（定義法）
典型例題
例題1．（2024·河南信陽·模擬預測）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（ ）
A．4 B．2 C． D．5
例題2．（23-24高一下·浙江·階段練習）已知，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（23-24高三下·上海松江·階段練習）向量滿足，，，則的最大值為 .
練透核心考點
1．（2024·全國·模擬預測）在中，，，為的中點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習）若、是平面內兩個互相垂直，且模長都是2的向量，向量滿足，則的最大值是 ．
3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）定義：已知兩個非零向量與的夾角為.我們把數量叫做向量與的叉乘的模，記作，即.
(1)若向量，，求；
(2)若平行四邊形的面積為4，求；
(3)若，，求的最小值.
高頻考點四：平面向量模的最值（或范圍）問題（幾何法）
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習）已知向量滿足：為單位向量，且和相互垂直，又對任意不等式恒成立，若，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知向量、垂直，且，若，則的最小值為（ ）
A．34 B．26 C．24 D．14
例題3．（23-24高三下·浙江·開學考試）已知平面向量滿足，則的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．3
練透核心考點
1．（23-24高一下·北京·階段練習）已知向量滿足，，則的最大值等于（ ）
A． B． C．2 D．
2．（23-24高三下·江蘇揚州·開學考試）在平面直角坐標系中，已知為圓上兩點，點，且，則線段的長的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高三·全國·專題練習）已知，，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
高頻考點五：平面向量模的最值（或范圍）問題（三角不等式法）
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知平面向量，，滿足：，，，則 ，且的取值范圍為 .
練透核心考點
1．（2024·全國·模擬預測）已知為單位向量，且，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．6
高頻考點六：平面向量模的最值（或范圍）問題（坐標法）
典型例題
例題1．（23-24高二上·福建泉州·期中）在棱長為2的正方體中，為中點，在平面內，且滿足.則點的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高三·浙江·開學考試）均為單位向量，且它們的夾角為45°，設，滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（23-24·浙江溫州·模擬預測）已知平面向量滿足，則的取值范圍是 ．
練透核心考點
1．（23-24高三上·重慶九龍坡·期中）已知，，，，則的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知五個點，滿足：，，則的最小值為 ．
3．（23-24高三上·河南駐馬店·階段練習）△QAB是邊長為6的正三角形，點C滿足，且，，，則的取值范圍是 .
高頻考點七：平面向量數量積最值（或范圍）問題（定義法）
典型例題
例題1．（23-24高三上·陜西西安·期中）在直角中，，點M是外接圓上任意一點，則的最大值為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
例題2．（23-24高三上·北京大興·期中）已知等邊的邊長為，分別是的中點，則 ；若是線段上的動點，且，則的最小值為 ．
練透核心考點
1．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知中，，，的對邊，，成等比數列，，延長至點，使.求：
(1)的大小；
(2)的取值范圍.
高頻考點八：平面向量數量積最值（或范圍）問題（向量數量積幾何意義法）
典型例題
例題1．（2024·全國·模擬預測）如圖，已知正六邊形的邊長為2，對稱中心為，以為圓心作半徑為1的圓，點為圓上任意一點，則的取值范圍為（ ）

A． B． C． D．
(2)若 求實數λ的值；
(3)在（2）的條件下，若M，N是線段BC上的動點， 且 求 的最小值.
練透核心考點
1．（多選）（23-24高一下·四川涼山·階段練習）已知梯形ABCD中，，，，，，點P，Q在線段BC上移動，且，則的值可能為（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2024·天津河西·一模）在中，D是AC邊的中點，，，，則 ；設M為平面上一點，且，其中，則的最小值為 ．
3．（23-24高一下·山東濟寧·階段練習）如圖，已知是邊長為的正方形的中心，質點從點出發沿方向，同時質點也從點出發沿方向在該正方形上運動，直至它們首次相遇為止．已知質點的速度為，質點的速度為．
(1)請將表示為時間（單位：）的函數______；
(2)求的最小值．
高頻考點十：平面向量數量積最值（或范圍）問題（積化恒等式法）
典型例題
例題1．（23-24高一下·江蘇蘇州·期中）閱讀一下一段文字：，，兩式相減得 我們把這個等式稱作“極化恒等式”，它實現了在沒有夾角的參與下將兩個向量的數量積運算化為“模”的運算．試根據上面的內容解決以下問題：如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點．
(1)若AD＝6，BC＝4，求的值；
(2)若，，求的值．
例題2．（23-24高一下·貴州·階段練習）閱讀以下材料，解決本題：我們知道①；②.由①-②得，我們把最后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實現了沒有夾角參與的情況下將兩個向量的數量積化為“模”的運算.如圖所示的四邊形中，，為中點.
(1)若，求的面積；
(2)若，求的值.
練透核心考點
1．（23-24高一下·重慶沙坪壩·階段練習）向量的數量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一.即如圖所示：，我們稱為極化恒等式.在△中，是中點，，，則（ ）
A．32 B．-32 C．16 D．-16
2．（23-24高一下·廣東潮州·階段練習）閱讀以下材料，解決本題：我們知道①；②.由①-②得，我們把最后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實現了沒有夾角參與的情況下將兩個向量的數量積化為“模”的運算.如圖所示的四邊形中，，為中點.
(1)若，求的面積；
(2)若，求的值；
(3)若為平面內一點，求的最小值.
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第06講 拓展一：平面向量的拓展應用
目錄
高頻考點一：平面向量夾角為銳角問題 1
高頻考點二：平面向量夾角為鈍角問題 4
高頻考點三：平面向量模的最值（或范圍）問題（定義法） 8
高頻考點四：平面向量模的最值（或范圍）問題（幾何法） 11
高頻考點五：平面向量模的最值（或范圍）問題（三角不等式法） 17
高頻考點六：平面向量模的最值（或范圍）問題（坐標法） 19
高頻考點七：平面向量數量積最值（或范圍）問題（定義法） 25
高頻考點八：平面向量數量積最值（或范圍）問題（向量數量積幾何意義法） 27
高頻考點九：平面向量數量積最值（或范圍）問題（坐標法（自主建系法）） 31
高頻考點十：平面向量數量積最值（或范圍）問題（積化恒等式法） 37
高頻考點一：平面向量夾角為銳角問題
典型例題
例題1．（2024·陜西·模擬預測）已知：向量與的夾角為銳角．若是假命題，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用向量夾角為銳角得到關于的不等式組，進而求得的取值范圍，再結合為假命題取的取值范圍的補集即可得解.
【詳解】當向量向量與的夾角為銳角時，
有且與方向不相同，即，解得且，
因為是假命題，所以實數的取值范圍是.
故選：C.
例題2．（2024高三·全國·專題練習）已知，為互相垂直的單位向量，，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍為 ．
【答案】且
【分析】根據題意可知，，，，可得出的取值范圍，再計算與同向時的值，即可得的取值范圍.
【詳解】因為與的夾角為銳角，
所以，且與不同向，
所以，
因為，為互相垂直的單位向量，
所以，，，
所以，可得，
當與同向時，，即，
可得，可得，此時不滿足與的夾角為銳角，
綜上所述：實數的取值范圍為且.
故答案為：且.
例題3．（2024高一·全國·專題練習）已知，是夾角為的兩個單位向量．若，，其中，若，的夾角為銳角，求的取值范圍．
【答案】．
【分析】
向量的夾角為銳角，轉化成為向量的數量積大于0，且向量不共線，從而求參數的取值范圍.
【詳解】
∵，是夾角為的兩個單位向量，
所以，
因為，的夾角為銳角，
由
.
由，
綜上，的取值范圍是且，即.
練透核心考點
1．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習）已知平面向量與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】
因夾角為銳角可知數量積大于0，但要去掉夾角為0的情況.
【詳解】
由題意知，得，
當時，，得
故答案為：且
2．（23-24高一下·福建莆田·階段練習）已知與的夾角為.
(1)求在方向上的投影向量;
(2)求的值;
(3)若向量與的夾角為銳角，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接根據投影向量的概念求解；
（2）通過展開計算；
（3）根據，且與不共線計算求解.
【詳解】（1）在方向上的投影向量為；
（2）；
（3）因為向量與的夾角為銳角，
所以，且與不共線，
對于，
得，
解得，
若與共線，
則存在，得，解得，
所以若向量與的夾角為銳角，實數的取值范圍為.
高頻考點二：平面向量夾角為鈍角問題
典型例題
例題1．（23-24高一下·山東德州·階段練習）已知，與的夾角為，若向量與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由題意當且僅當且與不反向才滿足題意，由此解不等式組即可求解.
【詳解】已知，與的夾角為，則，
由題意，
，又時，與反向，
，且
故選：C.
例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習）若向量，的夾角為鈍角，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】
兩向量的夾角為鈍角，等價于兩向量的數量積小于零且兩向量不同向共線，由此可求參數的取值范圍.
【詳解】
因為向量，的夾角為鈍角，
所以且不同向共線，
由；
由；
所以，的夾角為鈍角，可得的取值范圍是：.
故答案為：
例題3．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習）已知向量與的夾角為，且.
(1)求；
(2)求與的夾角的余弦值；
(3)若與夾角為鈍角，求實數k的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根據定義得出內積的值，并根據展開得到；
（2）利用直接計算即可得到結果；
（3）將條件轉化為且，然后計算，解不等式即可得到結果.
【詳解】（1）由題目條件知，.
（2）.
（3）由于，
，
，
而與夾角為鈍角，這等價于且.
從而且，即且.
將方程變形為，
整理得到，即.
這在時一定不成立，故可直接去除該條件.
從而的取值范圍是.
練透核心考點
1．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習）設兩個向量，滿足，，，之間的夾角為，若向量與向量的夾角為鈍角，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，，且不能共線反向，再求解即可得實數的取值范圍；
【詳解】因為，，與的夾角為，
所以，
因為向量與向量的夾角為鈍角，
所以且不能共線反向，
若，
則，
解得，
若向量與向量共線反向，則有，
即，解得（舍去）或，所以，
綜上可得實數的取值范圍.
故選：B
2．（23-24高一下·新疆烏魯木齊·階段練習）設兩個向量滿足，
(1)求在上的投影向量（用坐標表示）；
(2)若向量與向量的夾角為鈍角，求實數的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據給定條件，利用投影向量的意義求解即得.
（2）利用向量夾角的余弦，結合共線向量的坐標表示求解即得.
【詳解】（1）依題意，，所以在上的投影向量是.
（2）由，得，
，
由向量與向量的夾角為鈍角，得，且與不共線，
因此，整理得，解得且，
所以實數的取值范圍是.
高頻考點三：平面向量模的最值（或范圍）問題（定義法）
典型例題
例題1．（2024·河南信陽·模擬預測）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（ ）
A．4 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】利用進行轉化，把轉化成二次函數，再用二次函數的性質求值域.
【詳解】因為，
所以
所以，所以.
故選：C
例題2．（23-24高一下·浙江·階段練習）已知，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設向量，的夾角為，求得的表達式，利用平方的方法，結合余弦函數的值域等知識求得正確答案.
【詳解】設向量，的夾角為，則，
因為，
所以，
令，則，
因為，所以，又，所以.
故選：C
例題3．（23-24高三下·上海松江·階段練習）向量滿足，，，則的最大值為 .
【答案】
【分析】利用數量積的運算法則求得，從而假設的坐標，進而得到的三角表示，再結合三角恒等變換即可得解.
【詳解】因為，，
所以，則，
則，所以，
又因為，所以，
則可設，則，
又因為，所以，
故又可設的坐標為，
所以
，
因此，所以最大值為.
故答案為：.
練透核心考點
1．（2024·全國·模擬預測）在中，，，為的中點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由平面向量基本定理及數量積求出余弦定理求出，解法一利用重要不等式求解即可；解法二先利用重要不等式求的最大值，再結合題意求解即可；解法三根據數形結合得出三點共線時取得最大值，進而求出.
【詳解】記，由于，為的中點，則，
等式兩邊平方得:．
在中，由余弦定理得．
解法一：因為，所以，
當且僅當時，等號成立，所以，故．
解法二：因為
當且僅當時，即時，等號成立，即的最大值為．
又，所以的最大值為．
解法三：在中，，，
所以外接圓圓的半徑為，．
在中，．
因為，，
當且僅當三點共線時等號成立，所以的最大值為．
故選:B．
2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習）若、是平面內兩個互相垂直，且模長都是2的向量，向量滿足，則的最大值是 ．
【答案】
【分析】首先根據數量積公式展開，再化簡，轉化為三角函數求最值.
【詳解】、是平面內兩個互相垂直，且模長都是2的向量，
設，，
，，
，
，
其中為向量與之間的夾角，，
或，
，，
，
的最大值是.
故答案為：.
3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）定義：已知兩個非零向量與的夾角為.我們把數量叫做向量與的叉乘的模，記作，即.
(1)若向量，，求；
(2)若平行四邊形的面積為4，求；
(3)若，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量數量積的運算求得，從而利用新定義即可得解；
（2）利用平行四邊形的面積公式，結合新定義即可得解；
（3）利用新定義與向量數量積的定義求得的夾角，從而得到，再利用向量數量積的運算法則與基本不等式即可得解.
【詳解】（1）因為，，
則，
所以，
因為是向量的夾角，所以，
因此，故.
（2）因為平行四邊形ABCD的面積為4，
所以，所以.
（3）因為，
所以，所以，
因為，所以，所以，
所以，
當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.
高頻考點四：平面向量模的最值（或范圍）問題（幾何法）
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習）已知向量滿足：為單位向量，且和相互垂直，又對任意不等式恒成立，若，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據已知由向量垂直可得的模，再由不等式恒成立，結合圖象可得，從而可得，接下來方法一，直接對進行平方化簡，由二次函數最值可解；方法二，由三點共線基本定理，結合三角形面積公式和余弦定理可解.
【詳解】和相互垂直，
則，則，
結合圖象，，
則 ，
因為恒成立，則，
即，則，
法（一）：
對稱軸時：
，即
法（二）：，因為，
所以向量的終點共線（起點重合），
則的面積，
，所以.
故選:．

【點睛】關鍵點點睛：數形結合發現，，則 ，因為恒成立，則.
例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知向量、垂直，且，若，則的最小值為（ ）
A．34 B．26 C．24 D．14
【答案】B
【分析】取點，使得，在取一動點，設，轉化為，過點作，使得點與關于對稱，結合三點共線，即可求解.
【詳解】如圖所示，在直角中，由已知得，
在上取點，使得，
在取一動點，設，
則，
過點作，取，則點與關于對稱，
所以，
當且僅當三點共線時，取得最小值，最小值為.
故選：B.
例題3．（23-24高三下·浙江·開學考試）已知平面向量滿足，則的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】根據向量加減法的平行四邊形法則作圖，問題轉化為求的最值，利用外接圓數形結合可求最值.
【詳解】設，如圖，

由題意，即在平行四邊形中，，，
求的最大值.
延長至，使，則，
由正弦定理，三點所在外接圓的直徑，
所以，設圓心為，如圖，

所以可知，又，
所以由余弦定理可得，
則由圖象可知，
故選：C
練透核心考點
1．（23-24高一下·北京·階段練習）已知向量滿足，，則的最大值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由，即得到點共圓，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.
【詳解】設，
因為，，所以，
又，所以，所以點共圓，
要使的最大，即為直徑，
在中，由余弦定理可得，
又由正弦定理，
即的最大值等于，
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是由向量之間的夾角確定點共圓，再由正弦和余弦定理求解即可.
2．（23-24高三下·江蘇揚州·開學考試）在平面直角坐標系中，已知為圓上兩點，點，且，則線段的長的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】易知以為鄰邊作平行四邊形為矩形，由平面向量可證明，再由可得其取值范圍.
【詳解】以為鄰邊作平行四邊形，
由可得四邊形為矩形，如下圖所示：
，
可得，
解得，即，
即點軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
易知，，
所以線段的長的取值范圍是.
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：本意關鍵在于利用平面向量證明求得，再結合圓上點到定點距離最值問題求得結果.
3．（2024高三·全國·專題練習）已知，，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據題設向量模長和垂直條件，考慮運用幾何法求解，由想到構造矩形，運用極化恒等式推導出結論，求得,最后用三角形三邊關系定理得到的范圍，轉化即得.
【詳解】
如圖，設，，，點在圓上，
點在圓上，則，，由可得：，
作矩形, 則.
下證： .
設交于點，連接,因則 ，
同理可得：，兩式左右分別相加得：
，
.
即，故.
又，因，
即，故有．
故選:C．
【點睛】
方法點睛：本題考查平面向量的線性運算的模長范圍問題，屬于較難題.
處理平面向量的模長范圍問題，常用的方法有：
（1）坐標法：即通過建立直角坐標系，通過向量坐標運算求得；
（2）基向量表示法：即通過選設平面的基底，用基底表示相關向量，運算求得；
（3）構造幾何圖形法：即根據模長定值構造圓形，由向量點乘等于零得到兩向量垂直.
高頻考點五：平面向量模的最值（或范圍）問題（三角不等式法）
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知平面向量，，滿足：，，，則 ，且的取值范圍為 .
【答案】 5
【分析】第一空：直接根據模的計算公式即可求解；第二空，由向量之間的“三角不等式”即可求解.
【詳解】第一空：因為，，，
所以，
；
第二空：對于兩個向量，有，
進一步有，
所以，
注意到，，
從而，等號成立當且僅當反向，
，等號成立當且僅當同向，
所以的取值范圍為.
故答案為：5；.
【點睛】關鍵點點睛：第一空的關鍵是在于利用整體思想結合，得到，其中，，由此即可順利得解.
練透核心考點
1．（2024·全國·模擬預測）已知為單位向量，且，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．6
【答案】B
【分析】由，得，可得，由，當等號成立時可得最小值.
【詳解】為單位向量，有，得，
由，得，
有，所以，
，
，，有，
則，
當且僅當與方向相反時“”成立，
如取時，可使“”成立.
所以.
故選：B．
【點睛】關鍵點點睛：
本題關鍵點是由已知條件得，這樣就能得到.
高頻考點六：平面向量模的最值（或范圍）問題（坐標法）
典型例題
例題1．（23-24高二上·福建泉州·期中）在棱長為2的正方體中，為中點，在平面內，且滿足.則點的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先考慮的軌跡，再結合該軌跡可在平面直角坐標系中求出的取值范圍.
【詳解】
如圖，連接，因為平面，平面，
故，而，，
故平面，而平面，故.
在平面中建立如圖所示的平面直角坐標系，
則，
因為，故在以為直徑圓上（如圖所示），
且圓的方程為：即，
設，則，
故，
設，則表示，
由圖可得，故，
故選：B.
【點睛】思路點睛：對于空間中的動點的軌跡問題，可利用空間中位置關系的判斷方法找到平面上動點滿足的軌跡方程，從而把空間問題平面化.
例題2．（23-24高三·浙江·開學考試）均為單位向量，且它們的夾角為45°，設，滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】建立直角坐標系，求得向量，的終點軌跡方程是圓和直線，利用圓心到直線距離減去半徑得到最小值得解
【詳解】設，
以的方向為正方向，所在直線為軸，垂直于所在直線為 軸，建立平面直角坐標系
均為單位向量，且它們的夾角為45°，則 ，
，設
滿足
，設
,故 ，
則，則 的最小值為圓上的點到直線 距離的最小值
其最小值為
故選:C.
【點睛】向量模長最值問題轉化為點到直線距離是解題關鍵，屬于中檔題.
例題3．（23-24·浙江溫州·模擬預測）已知平面向量滿足，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由題可得當時適合題意，當時，不妨設，結合條件可得存在，使，進而分類討論即得.
【詳解】當時，取明顯成立，
當時，不妨設，則，
∴，
即存在，使，
當時，，不合題意，
當時，存在，使，即適合題意；
綜上，的取值范圍是.
故答案為：.
練透核心考點
1．（23-24高三上·重慶九龍坡·期中）已知，，，，則的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據題設易知四邊形為矩形，構建以為原點直角坐標系，將問題轉化為平面上滿足的情況下，結合兩點距離公式求兩點距離的范圍.
【詳解】由題設，四邊形為矩形，構建以為原點的直角坐標系，如下圖，

若，則，設，
∴，且，
又，
∴，即.
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：構建直角坐標系，將平面向量的模長問題轉化為平面上兩點的距離問題，應用解析法求范圍.
2．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知五個點，滿足：，，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】根據題意設出合理的向量模，再將其置于坐標系中，利用坐標表示出，再用基本不等式求解出最值即可.
【詳解】因為，
所以，，，
由題意設，則，，
設，如圖，因為求的最小值，
則，，，，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為．
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：首先是對向量模的合理假設，然后為了進一步降低計算的復雜性，我們選擇利用坐標法將涉及的各個點用坐標表示，最后得到，再利用基本不等式即可求出最值.
3．（23-24高三上·河南駐馬店·階段練習）△QAB是邊長為6的正三角形，點C滿足，且，，，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據題意建立坐標系，寫出點坐標，表示出，再求向量，再根據已知，，得，，代入得，再根據二次函數的性質求解即可.
【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，
∴ ，，，∴ ，
∴
∴，
∵，，
∴ ，，
∴，
∴由二次函數的性質知，∴
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查向量坐標運算，模的求解，解題的關鍵在于根據已知用表示向量的模，考查學生的數學運算能力，屬于一般題.
高頻考點七：平面向量數量積最值（或范圍）問題（定義法）
典型例題
例題1．（23-24高三上·陜西西安·期中）在直角中，，點M是外接圓上任意一點，則的最大值為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】由平面向量的線性運算，結合向量的數量積的運算公式，即可求解最大值，得到答案．
【詳解】由題意，設△ABC的外心即BC中點為O，
由平面向量的線性運算，知，
所以=，
由圖可知：==，
當時，，
，
故選：D．

【點睛】本題主要考查了平面向量的線性運算，以及平面向量的數量積的運算，其中解答中熟記向量的線性運算和平面向量的數量積的運算公式，合理運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．
例題2．（23-24高三上·北京大興·期中）已知等邊的邊長為，分別是的中點，則 ；若是線段上的動點，且，則的最小值為 ．
【答案】 /
【分析】第一空：通過展開整理，帶入數據計算即可；第二空：設，通過展開整理，帶入數據然后配方求最值.
【詳解】
;
若是線段上的動點，且，不妨設點相對更靠近點，
設，
，
當時，取最小值，且為.
故答案為：；.
練透核心考點
1．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知中，，，的對邊，，成等比數列，，延長至點，使.求：
(1)的大小；
(2)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根據三角形內角和，，化簡得 ，又，則，利用兩角和公式即可得解；
（2）根據（1）的結論，，故為等邊三角形，設的邊長為， ，結合的范圍即可得解.
【詳解】（1）.①
又，則②
故
或（舍去）.又，從而，.
（2）由（1）結論，①+②得
則，故為等邊三角形.
設的邊長為.則.
故
，當且僅當時，上式等號成立.故的取值范圍是.
高頻考點八：平面向量數量積最值（或范圍）問題（向量數量積幾何意義法）
典型例題
例題1．（2024·全國·模擬預測）如圖，已知正六邊形的邊長為2，對稱中心為，以為圓心作半徑為1的圓，點為圓上任意一點，則的取值范圍為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解法一 連接，，設，根據向量的線性運算用，表示出，然后結合三角函數的性質即可求得結果．
解法二 以為坐標原點建立平面直角坐標系，設，根據數量積的坐標表示得到，再結合三角函數的性質即可求得結果．
解法三 借助向量投影的知識將轉化，找到取得最值時點的位置，即可求得結果．
【詳解】解法一 ：如圖所示：

連接，設，連接，依題意得，，，，
則，
．
因為，所以，（三角函數的有界性）
所以．
故選：C．
解法二 如圖，

以為坐標原點，以直線為軸，過且和垂直的直線為軸建立平面直角坐標系，
則依題意可得，，，
因為圓的半徑為1，所以可設，
所以，，所以，
又，（三角函數的有界性）
所以．
故選：C．
解法三 如圖所示：

設，則．
可看成是在上的投影，
當點與重合時最小，最小值為，
當點與重合時最大，最大值為0，
故．
故選：C．
例題2．（2024高三·江蘇·專題練習）如圖，是邊長2的正方形，為半圓弧上的動點（含端點）則的取值范圍為 ．

【答案】
【分析】根據數量積的定義，由投影的幾何意義并結合圖形即可求得其范圍.
【詳解】，由投影的定義知，
結合圖形得，當與半圓弧相切于P點的直線平行于BC時，最大為，
此時；
當P在C或B點重合時，最小為，
此時
即可得
故答案為：
練透核心考點
1．（2024·福建泉州·模擬預測）已知平行四邊形ABCD中，，，，若以C為圓心的圓與對角線BD相切，P是圓C上的一點，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意做出圖形，結合平面向量數量積的運算法則整理計算即可求得最終結果
【詳解】如圖所示，過作的平行線交圓于點，過作，垂足為，
在平行四邊形中，，，，
可得，，則由余弦定理可得，
由，可得，則四邊形為正方形，
則，因為，
則的最小值為，
即的最小值為，故C正確。
故選：C.
2．（2024·遼寧沈陽·一模）已知是半徑為1的球面上不同的三點，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】根據數量積的幾何意義結合二次函數的性質即可求解.
【詳解】是球面上不同的三點，不共線，故平面截球面得到的是一個圓，
記此圓半徑為，當且僅當平面過球心時，.
在半徑為的圓中，對于任意的弦，過作于,
由向量數量積的幾何意義知，當在如圖所示的位置時，
取最小值，
則的最小值為，
當時，取最小值，
又的最大值為1，故所求最小值為.
故答案為：
高頻考點九：平面向量數量積最值（或范圍）問題（坐標法（自主建系法））
典型例題
例題1．（23-24高一下·全國·期末）在邊長為2的正方形中，動點P，Q在線段上，且，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】方法一：設的中點為，則可得，化簡后可求出其最小值；方法二：建立平面直角坐標系如圖所示.設，則，化簡后可求得其最小值.
【詳解】方法一：設的中點為，
則
（當為中點時取等號）.
方法二：建立平面直角坐標系如圖所示.設，
因為在邊長為2的正方形中，動點P，Q在線段上，且，
所以，，
所以
，
所以當時，有最小值1.
故選：C.
例題2．（2024·全國·模擬預測）已知在菱形ABCD中，，若點M在線段AD上運動，則的取值范圍為 ．
【答案】．
【分析】解法一：建立平面直角坐標系，求的坐標，結合數量積的坐標表示求再求其范圍；
解法二：根據數量積的定義，結合數量積的幾何意義求的范圍.
【詳解】解法一：，
記的交點為，以為原點，所在直線分別為x，y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系，
則，，，，，
故，，
則，
故，又
則．
解法二：，
如圖2所示，當M在線段AD上運動時可得，
即，又，
所以．
故答案為：
例題3．（23-24高一下·天津紅橋·階段練習）如圖， 在四邊形中，， ， ，
(1)求的值；
(2)若 求實數λ的值；
(3)在（2）的條件下，若M，N是線段BC上的動點， 且 求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據數量積公式求解；
（2）根據，可得，即可得，根據數量積公式，可得AD的長，分析即可得答案；
（3）如圖建系，求得D點坐標，設，則，即可得坐標，根據數量積公式，結合x的范圍，即可得答案.
【詳解】（1）.
（2）因為，
所以，所以，
所以，
所以，又，
所以，即.
（3）以BC為x軸正方向，過B作BC垂線為y軸，建立坐標系，如圖所示，
因為，
所以，則，
設，則，
因為是線段上的兩個動點，
所以，解得，
所以，
所以，
所以當時，有最小值.
練透核心考點
1．（多選）（23-24高一下·四川涼山·階段練習）已知梯形ABCD中，，，，，，點P，Q在線段BC上移動，且，則的值可能為（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】AD
【分析】以為坐標原點，所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，設，，利用坐標表示向量，計算向量的數量積的范圍即可求解．
【詳解】以為坐標原點，所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：
則，不妨設，，則；
所以，，
，
因為，所以．
故選：AD．
2．（2024·天津河西·一模）在中，D是AC邊的中點，，，，則 ；設M為平面上一點，且，其中，則的最小值為 ．
【答案】 4
【分析】以為基底，由，求出；建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算把表示為關于的函數，由二次函數性質求最小值.
【詳解】中，D是AC邊的中點，，，
，
解得，即；
中，，，，
以為坐標原點，為軸，點在第一象限，建立如圖所示為平面直角坐標系，

則有，設
由，得，
解得，，即，
則有，，
，
則有時，有最小值.
故答案為： 4；.
3．（23-24高一下·山東濟寧·階段練習）如圖，已知是邊長為的正方形的中心，質點從點出發沿方向，同時質點也從點出發沿方向在該正方形上運動，直至它們首次相遇為止．已知質點的速度為，質點的速度為．
(1)請將表示為時間（單位：）的函數______；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據已知條件，建立平面直角坐標系，求出各點坐標，分，與，利用向量的數量積的坐標表示，即可求出的表達式，
（2）根據（1）的結論及分段函數分段處理，結合一次函數與二次函數的性質即可求解.
【詳解】（1）以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，則，，解得，所以，
當時，，
則，
當時，，
則，
當時，，
則，
綜上，
（2）當時由（1）知單調遞減，
所以當時，取得最小值，最小值為．
當時，由知，當時，取得最小值，最小值為；
當時，由知，當時，取得最小值，最小值為0．
綜上的最小值為．
高頻考點十：平面向量數量積最值（或范圍）問題（積化恒等式法）
典型例題
例題1．（23-24高一下·江蘇蘇州·期中）閱讀一下一段文字：，，兩式相減得 我們把這個等式稱作“極化恒等式”，它實現了在沒有夾角的參與下將兩個向量的數量積運算化為“模”的運算．試根據上面的內容解決以下問題：如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點．
(1)若AD＝6，BC＝4，求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
解；
（2）先利用極化恒等式得，由得，代入極化恒等式求解即可.
【詳解】（1）因為，所以，
即，所以，
又，所以，
所以；
（2）因為，，
由極化恒等式得，
所以，
又，所以，
由極化恒等式得.
練透核心考點
1．（23-24高一下·重慶沙坪壩·階段練習）向量的數量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一.即如圖所示：，我們稱為極化恒等式.在△中，是中點，，，則（ ）
A．32 B．-32 C．16 D．-16
【答案】D
【分析】由題設有，代入極化恒等式求即可.
【詳解】由題設，，，
.
故選：D
2．（23-24高一下·廣東潮州·階段練習）閱讀以下材料，解決本題：我們知道①；②.由①-②得，我們把最后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實現了沒有夾角參與的情況下將兩個向量的數量積化為“模”的運算.如圖所示的四邊形中，，為中點.
(1)若，求的面積；
(2)若，求的值；
(3)若為平面內一點，求的最小值.
【答案】(1)10；
(2)240；
(3)-32.
【分析】（1）結合數量積的定義和三角形面積公式求解；
（2）根據“極化恒等式”列出式子計算即可
（3）連接，，取的中點，連接，將進行轉化求最值.
【詳解】（1）因為，所以，
即，所以，
又，所以，
所以；
（2）因為，，
由極化恒等式得
，
所以，
又，所以，
由極化恒等式得
；
（3）連接，，取的中點，連接，
由，，
則
，
所以當點與重合時， .
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