資源簡介

第06講 利用導數研究函數的零點（方程的根）
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 2
第三部分：高頻考點一遍過 3
高頻考點一：判斷、證明或討論函數零點的個數 3
高頻考點二：證明唯一零點問題 5
高頻考點三：利用最值（極值）研究函數零點問題 6
高頻考點四：利用數形結合法研究函數的零點問題 9
高頻考點五：構造函數研究函數零點問題 12
第四部分：典型易錯題型 13
備注：函數零點討論時借助圖象，容易畫錯草圖 13
第五部分：新定義題 14
第一部分：基礎知識
1、函數的零點
（1）函數零點的定義：對于函數，把使的實數叫做函數的零點．
（2）三個等價關系
方程有實數根函數的圖象與軸有交點的橫坐標函數有零點．
2、函數零點的判定
如果函數在區間上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區間內有零點，即存在，使得，這個也就是的根．我們把這一結論稱為函數零點存在性定理．
注意：單調性+存在零點=唯一零點
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·乙卷文）函數存在3個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·乙卷文）已知函數．
(1)當時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
3．（2022·全國·乙卷理）已知函數
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在區間各恰有一個零點，求a的取值范圍．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：判斷、證明或討論函數零點的個數
典型例題
例題1．（23-24高三下·陜西安康·階段練習）記函數的導函數為，的導函數為，設是的定義域的子集，若在區間上，則稱在上是“凸函數”.已知函數.
(1)若在上為“凸函數”，求的取值范圍；
(2)若，判斷在區間上的零點個數.
例題2．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習）已知函數．
(1)求函數的極值；
(2)討論函數在上的零點個數．（參考數據：，）
例題3．（23-24高三上·廣東梅州·階段練習）已知曲線C：
(1)若曲線C過點，求曲線C在點P處的切線方程；
(2)若，討論的零點個數．
練透核心考點
1．（2024·湖南·二模）已函數，其圖象的對稱中心為.
(1)求的值；
(2)判斷函數的零點個數.
2．（2023·全國·模擬預測）已知函數．
(1)曲線在點處的切線方程為，求實數的值．
(2)在（1）的條件下，若，試探究在上零點的個數．
高頻考點二：證明唯一零點問題
典型例題
例題1．（23-24高三下·四川雅安·開學考試）已知函數．
(1)若，當時，證明：．
(2)若，證明：恰有一個零點．
例題2．（23-24高三下·河北·階段練習）已知函數在區間內有唯一極值點，其中為自然對數的底數.
(1)求實數的取值范圍；
(2)證明：在區間內有唯一零點.
例題3．（23-24高三上·黑龍江·階段練習）已知函數，，且函數的零點是函數的零點．
(1)求實數a的值；
(2)證明：有唯一零點．
練透核心考點
1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，為的導函數.求證:在上存在唯一零點.
2．（2023高三上·全國·專題練習）已知，函數，.證明：函數，都恰有一個零點.
高頻考點三：利用最值（極值）研究函數零點問題
典型例題
例題1．（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知函數．
(1)當時，求函數的單調區間；
(2)若函數在內存在兩個極值點，求實數a的取值范圍．
例題2．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習）已知函數
(1)若函數在處取得極值，求的值；
(2)若函數在定義域內存在兩個零點，求的取值范圍.
例題3．（23-24高二下·貴州黔西·開學考試）已知在處取得極小值．
(1)求的解析式；
(2)求在處的切線方程；
(3)若方程有且只有一個實數根，求的取值范圍.
例題4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函數.
(1)求在上的最大值；
(2)若函數恰有三個零點，求的取值范圍.
練透核心考點
1．（2024高二下·全國·專題練習）已知函數，.
(1)若函數在上單調遞增，求的最小值；
(2)若函數的圖象與有且只有一個交點，求的取值范圍．
2．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知函數．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若函數有三個不同的零點，求實數m的取值范圍．
3．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習）若函數在處有極小值．
(1)求c的值．
(2)函數恰有一個零點，求實數a的取值范圍．
4．（2023·廣東揭陽·模擬預測）已知函數，.
(1)討論的單調性并求極值.
(2)設函數（為的導函數），若函數在內有兩個不同的零點，求實數的取值范圍.
高頻考點四：利用數形結合法研究函數的零點問題
典型例題
例題1．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習）已知函數.
(1)當時，求函數的零點個數.
(2)若關于的方程有兩個不同實根，求實數的取值范圍并證明.
例題2．（2023·四川·一模）已知函數.
(1)求的單調區間；
(2)令（a為常數），若有兩個零點，求實數a的取值范圍.
例題3．（23-24高二下·陜西渭南·期末）已知函數.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，證明：函數在上有兩個不同的零點.
例題4．（23-24高二下·重慶·期末）已知函數．
(1)當時，求函數的極值；
(2)討論函數的零點個數．
練透核心考點
1．（2023·四川·三模）已知函數和函數，且有最大值為．
(1)求實數a的值；
(2)直線y＝m與兩曲線和恰好有三個不同的交點，其橫坐標分別為，，，且，證明：．
高頻考點五：構造函數研究函數零點問題
典型例題
例題1．（23-24高三下·河南信陽·階段練習）已知函數.
(1)當時，求不等式的解集；
(2)若，求實數的取值范圍.
例題2．（23-24高二下·浙江嘉興·階段練習）已知函數 ，，是自然對數的底數.
(1)討論函數 的單調性；
(2)若關于的方程 有兩個不等實根，求的取值范圍；
(3)若 ，為整數，且當時， 恒成立，求 的最大值.
練透核心考點
1．（23-24高三下·河南·階段練習）已知函數.
(1)判斷的單調性；
(2)當時，求函數的零點個數.
2．（23-24高二下·江蘇·階段練習）已知函數，
(1)若函數，
①求的最小值；
②若，且，求證：；
(2)若函數，且有兩個相異的零點，又，求實數的取值范圍．
第四部分：典型易錯題型
備注：函數零點討論時借助圖象，容易畫錯草圖
1．（2023·陜西漢中·模擬預測）已知函數，其中.
(1)若，求的單調區間；
(2)若恰有2個不同的極值點，求的取值范圍；
(3)若恰有2個不同的零點，求的取值范圍.
第五部分：新定義題
1．（2024高三下·江蘇·專題練習）若函數在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數”.若為上的“2類函數”，求實數的取值范圍.
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第06講 利用導數研究函數的零點（方程的根）
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 1
第三部分：高頻考點一遍過 6
高頻考點一：判斷、證明或討論函數零點的個數 6
高頻考點二：證明唯一零點問題 11
高頻考點三：利用最值（極值）研究函數零點問題 15
高頻考點四：利用數形結合法研究函數的零點問題 24
高頻考點五：構造函數研究函數零點問題 35
第四部分：典型易錯題型 41
備注：函數零點討論時借助圖象，容易畫錯草圖 41
第五部分：新定義題 43
第一部分：基礎知識
1、函數的零點
（1）函數零點的定義：對于函數，把使的實數叫做函數的零點．
（2）三個等價關系
方程有實數根函數的圖象與軸有交點的橫坐標函數有零點．
2、函數零點的判定
如果函數在區間上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區間內有零點，即存在，使得，這個也就是的根．我們把這一結論稱為函數零點存在性定理．
注意：單調性+存在零點=唯一零點
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·乙卷文）函數存在3個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
寫出，并求出極值點，轉化為極大值大于0且極小值小于0即可.
【詳解】
，則，
若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，
令，解得或，
且當時，，
當，，
故的極大值為，極小值為，
若要存在3個零點，則，即，解得，
故選：B.
2．（2022·全國·乙卷文）已知函數．
(1)當時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由導數確定函數的單調性，即可得解；
（2）求導得，按照、及結合導數討論函數的單調性，求得函數的極值，即可得解.
【詳解】（1）當時，，則，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
所以；
（2），則，
當時，，所以當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
所以，此時函數無零點，不合題意；
當時，，在上，，單調遞增；
在上，，單調遞減；
又，
由（1）得，即，所以，
當時，，
則存在，使得，
所以僅在有唯一零點，符合題意；
當時，，所以單調遞增，又，
所以有唯一零點，符合題意；
當時，，在上，，單調遞增；
在上，，單調遞減；此時，
由（1）得當時，，，所以，
此時
存在，使得，
所以在有一個零點，在無零點，
所以有唯一零點，符合題意；
綜上，a的取值范圍為.
【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數研究函數的極值與單調性，把函數零點問題轉化為函數的單調性與極值的問題.
3．（2022·全國·乙卷理）已知函數
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在區間各恰有一個零點，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算出切點,再求導算出斜率即可
（2）求導,對分類討論,對分兩部分研究
【詳解】（1）的定義域為
當時,,所以切點為,所以切線斜率為2
所以曲線在點處的切線方程為
（2）
設
若,當,即
所以在上單調遞增,
故在上沒有零點,不合題意
若,當,則
所以在上單調遞增所以,即
所以在上單調遞增,
故在上沒有零點,不合題意
若
(1)當,則,所以在上單調遞增
所以存在,使得,即
當單調遞減
當單調遞增
所以
當,
令則
所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，
又，，
所以在上有唯一零點
又沒有零點,即在上有唯一零點
(2)當
設
所以在單調遞增
所以存在,使得
當單調遞減
當單調遞增,
又
所以存在,使得,即
當單調遞增,當單調遞減，
當，，
又，
而,所以當
所以在上有唯一零點,上無零點
即在上有唯一零點
所以,符合題意
所以若在區間各恰有一個零點,求的取值范圍為
【點睛】方法點睛：本題的關鍵是對的范圍進行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：判斷、證明或討論函數零點的個數
典型例題
例題1．（23-24高三下·陜西安康·階段練習）記函數的導函數為，的導函數為，設是的定義域的子集，若在區間上，則稱在上是“凸函數”.已知函數.
(1)若在上為“凸函數”，求的取值范圍；
(2)若，判斷在區間上的零點個數.
【答案】(1)
(2)1個
【分析】
（1）根據“凸函數”定義對函數求導，由不等式在恒成立即可求得的取值范圍；
（2）易知，由導函數求得其在上的單調性，利用零點存在定理可知零點個數為1個.
【詳解】（1）由可得其定義域為，且，
所以，
若在上為“凸函數”可得在恒成立，
當時，顯然符合題意；
當時，需滿足，可得；
綜上可得的取值范圍為；
（2）若，可得，所以，
令，則；
易知在區間上恒成立，
因此可得在上單調遞減；
顯然，；
根據零點存在定理可得存在使得，
因此可知當時，，即在上為單調遞增；
當時，，即在上為單調遞減；
又，顯然在上不存在零點；
而，結合單調性可得在上存在一個零點；
綜上可知，在區間上僅有1個零點.
例題2．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習）已知函數．
(1)求函數的極值；
(2)討論函數在上的零點個數．（參考數據：，）
【答案】(1)極小值是，無極大值；
(2)2
【分析】
（1）求導，即可根據函數的單調性求解極值點，
（2）分類討論和上的導數正負，結合零點存在性定理即可求解.
【詳解】（1）
函數，
；
令，即，解得，
當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
故當時，取極小值，
函數的極小值是，無極大值；
（2），則，
令則，
由于時，，因此函數在上單調遞增，
由于，
因此存在唯一的，使得，
故當單調遞減，當單調的遞增，
時，，此時單調遞減，
綜上可知在單調遞減，在單調遞增，
又，，當時，，
因此與軸有兩個不同的交點，故在上的零點個數為2.
【點睛】方法點睛：判斷函數零點個數的常用方法：(1) 直接法： 令則方程實根的個數就是函數零點的個；(2) 零點存在性定理法：判斷函數在區間上是連續不斷的曲線，且再結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性) 可確定函數的零點個數；(3) 數形結合法：轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題，畫出兩個函數的圖象，其交點的個數就是函數零點的個數，在一個區間上單調的函數在該區間內至多只有一個零點，在確定函數零點的唯一性時往往要利用函數的單調性，確定函數零點所在區間主要利用函數零點存在定理，有時可結合函數的圖象輔助解題.
例題3．（23-24高三上·廣東梅州·階段練習）已知曲線C：
(1)若曲線C過點，求曲線C在點P處的切線方程；
(2)若，討論的零點個數．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）由導數得切線斜率，然后由點斜式得切線方程并化簡；
（2）先求得，得的單調性，然后討論的正負，結合零點存在定理得零點個數．
【詳解】（1）依題意得，，此時，
，
則切線斜率為，故切線方程：，即.
（2），
令得，令得，
令得．減區間為，增區間為，
∴．
當時，，
∴，∴在上有且僅有一個零點．
當時，令，，
∴在上單調遞增，
∴，即，
又，∴在上有一個零點，
又
令，則，∴在上單調遞減，
∴，∴，∴在上有一個零點．
綜上所述，時，有一個零點，時，有2個零點.
練透核心考點
1．（2024·湖南·二模）已函數，其圖象的對稱中心為.
(1)求的值；
(2)判斷函數的零點個數.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】
（1）由的圖象關于對稱，得到，列出方程組即可求解；
（2）由（1）得到函數的解析式，求出，利用判斷根的情況，分類討論確定零點的個數.
【詳解】（1）因為函數的圖象關于點中心對稱，故為奇函數，
從而有，即，
，
，
所以，解得，
所以；
（2）由（1）可知，，，，
①當時，，，所以在上單調遞增，
，，
函數有且僅有一個零點；
②當時，，，
有兩個正根，不妨設，則，
函數在單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
，，
函數有且僅有一個零點；
③當時，，
令，解得或，
有兩個零點；
④當時，，，
有一個正根和一個負根，不妨設，
函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
，，
函數有且僅有三個零點；
綜上，當時，函數有三個零點；
當時，函數有兩個零點；
當時，函數有一個零點.
2．（2023·全國·模擬預測）已知函數．
(1)曲線在點處的切線方程為，求實數的值．
(2)在（1）的條件下，若，試探究在上零點的個數．
【答案】(1)
(2)只有1個零點
【分析】（1）求導，再利用導數的幾何意義求解；
（2）由（1）知，再利用導數法求解.
【詳解】（1）解：由，
得，則有
所以切線方程為．
又因為曲線在點處的切線方程為，
所以．
（2）由（1）知，
則．
令，則．
當時，，則單調遞減，
所以．
所以在上單調遞增．
當時，；當時，．
所以在上存在零點，且只有一個零點．
當時，，則單調遞減，，，
所以存在，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減．
而，所以在上無零點．
綜上，在上只有1個零點．
高頻考點二：證明唯一零點問題
典型例題
例題1．（23-24高三下·四川雅安·開學考試）已知函數．
(1)若，當時，證明：．
(2)若，證明：恰有一個零點．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】
（1）根據題意，求導可得，即可得到在上單調遞增，再由，即可證明；
（2）根據題意，構造函數，求導可得，即在上單調遞增，再結合，即可證明.
【詳解】（1）
證明：因為，所以，．
當時，，則在上單調遞增，
所以當時，．
（2）
．
令，則．
令，則．
當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，
所以，所以，
則在上單調遞增．
因為，所以恰有一個零點，則恰有一個零點．
例題2．（23-24高三下·河北·階段練習）已知函數在區間內有唯一極值點，其中為自然對數的底數.
(1)求實數的取值范圍；
(2)證明：在區間內有唯一零點.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求導得，分和討論的單調性，并保證在內有唯一零點即可.
（2）利用導數確定在區間上的單調性，根據零點存在性定理證明即可.
【詳解】（1），當時，，
①當時，在上單調遞減，沒有極值點，不合題意；
②當時，與在上分別單調遞增，顯然在上單調遞增，
因為，
所以，得，此時在內有唯一零點，
所以當時，；當時，，
所以在內有唯一極小值點，符合題意.
綜上，實數的取值范圍為.
（2）證明：由（1）知，當時，，，
∴在上，
∴在上單調遞增，
∵當時，單調遞增，
∴當時，單調遞減,當時，單調遞增，
∵當時，，∴，
又∵，∴在內有唯一零點，
即在內有唯一零點.
例題3．（23-24高三上·黑龍江·階段練習）已知函數，，且函數的零點是函數的零點．
(1)求實數a的值；
(2)證明：有唯一零點．
【答案】(1)1
(2)證明見詳解
【分析】（1）易判斷單調遞增，令，即可得，令即可求；
（2）由導數判斷單調遞增，即可得證.
【詳解】（1）由易判斷在單調遞增，
且，，
所以可令，
得， 所以，
由題意，即，
所以；
（2），則，
令，則，
所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，
所以，
結合（1）可得存在唯一，使得，即函數有唯一零點.
【點睛】關鍵點點睛：解決本題（1）的關鍵是通過同構得出；（2）的關鍵是二次求導確定函數的單調性.
練透核心考點
1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，為的導函數.求證:在上存在唯一零點.
【答案】證明見解析
【分析】
求導，確定函數單調性，再利用零點存在定理判斷零點情況.
【詳解】設，
當時，，所以在上單調遞減，
又因為，
所以在上存在唯一的零點，命題得證．
2．（2023高三上·全國·專題練習）已知，函數，.證明：函數，都恰有一個零點.
【答案】證明見解析
【分析】先求導確定函數單調性，然后利用零點存在定理來證明即可.
【詳解】證明：函數的定義域為，，
時，，時，，
在上單調遞減，在上單調遞減增，
時，，，，
函數恰有一個零點.
函數的定義域為，，
時，，時，，
在上單調遞減，在上單調遞增，
時，，，
令（表示中最大的數），，
函數恰有一個零點.
高頻考點三：利用最值（極值）研究函數零點問題
典型例題
例題1．（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知函數．
(1)當時，求函數的單調區間；
(2)若函數在內存在兩個極值點，求實數a的取值范圍．
【答案】(1)單調遞增區間為：和，單調遞減區間為：
(2)或
【分析】
（1）首先求函數的導數，利用導數求解函數的單調區間；
（2）首先求函數的導數，并化簡為，，再討論的取值，結合函數的單調性，判斷函數極值點的個數，從而求解實數的取值范圍.
【詳解】（1）
當時，，定義域為

令，得或，
所以的單調遞增區間為：和，單調遞減區間為：
（2）
①當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，
故只有一個極小值點，與條件矛盾，故舍去．
②當時，在和上單調遞增，在上單調遞減，
故有兩個極值點a和，與條件相符．
③當時，在和上單調遞增，在上單調遞減，
故有兩個極值點a和，與條件相符．
④當時，，
故在上單調遞增，無極值點，舍去．
⑤當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，
故只有一個極大值點，與條件矛盾，故舍去．
綜上可得：或
例題2．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習）已知函數
(1)若函數在處取得極值，求的值；
(2)若函數在定義域內存在兩個零點，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用極值點的意義得到，從而求得，再進行驗證即可得解；
（2）分類討論的取值范圍，利用導數得到的性質，從而得到且，解之即可得解.
【詳解】（1）因為，則，
因為函數在處取得極值，所以，解得，
當時，可得，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以當時，函數取得極大值，符合題意，故.
（2）由，其中，
當時，可得，單調遞增，
此時函數至多有一個零點，不符合題意；
當時，令，解得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
所以當時，取得極大值，也是最大值，
最大值為，
又，且當時，，
所以要使得函數有兩個零點，則滿足，
即，解得，
所以實數的取值范圍是.
例題3．（23-24高二下·貴州黔西·開學考試）已知在處取得極小值．
(1)求的解析式；
(2)求在處的切線方程；
(3)若方程有且只有一個實數根，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）求出，由題意可的，由此即可求出答案；
（2）分別求出，的值，再利用點斜式寫出直線；
（3）將問題轉化為函數與有且只有一個交點，求出函數的單調性與極值，即可求出的取值范圍.
【詳解】（1）由題意知，
因為在處取得極小值
則，解得：
經檢驗，滿足題意，所以，
所以
（2）由題意知，，
所以所以切點坐標為，斜率
所以切線方程為：，即.
（3）令，解得或，
則，，的關系如下表：
+ 0 0 +
單調遞增 單調遞減 單調遞增
則，，
方程有且只有一個實數根等價于有且只有一個實數根，
等價于函數與有且只有一個交點，
即或，解得：或，
所以.
例題4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函數.
(1)求在上的最大值；
(2)若函數恰有三個零點，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）求導，再利用導數求出函數的極值及端點的函數值，即可求出函數的最大值；
（2）利用導數求出函數的極值，再結合題意列出不等式組即可得解.
【詳解】（1）
，
可知時，，單調遞增，
時，，單調遞減，
時，，單調遞增，
所以，
由，，
；
（2）
，
當或時，，當時，，
所以在和上單調遞增，在單調遞減，
所以，，
當時，，當時，，
因為有三個零點，所以，即，
解得，故的取值范圍為.
練透核心考點
1．（2024高二下·全國·專題練習）已知函數，.
(1)若函數在上單調遞增，求的最小值；
(2)若函數的圖象與有且只有一個交點，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知，對任意的恒成立，分析函數在上的單調性，根據可求得實數的取值范圍，即可得解；
（2）令，分析可知，函數的圖象與直線只有一個公共點，利用導數分析函數的單調性與極值，數形結合可得出實數的取值范圍.
【詳解】（1）解：由已知可得，則，
因函數在上單調遞增，
所以對任意的恒成立，
又因為函數在上為增函數，
則，解得，故實數的最小值為.
（2）解：，令，可得，
因為函數的圖象與有且只有一個交點，
令，則函數的圖象與直線只有一個公共點，
則，令，解得或，令，解得，
所以在、上單調遞增，在上單調遞減，
則的極大值為，極小值為，
的圖象如下所示：
由圖可知，當或時，函數的圖象與直線只有一個公共點，
因此，實數的取值范圍是.
2．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知函數．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若函數有三個不同的零點，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）求出導數，計算出切點及斜率，寫出直線方程即可;
（2）利用導數求出單調區間以及極值，要使函數有三個不同的零點，只需滿足計算即可.
【詳解】（1）當時，，．
所以，，
所以切線l：，即
（2）
令，得或．
當或時，；當時，．
∴的增區間為，；減區間為．
∴的極大值為，的極小值為．
∴，解得：．
此時，，所以函數有三個不同的零點，所以．
3．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習）若函數在處有極小值．
(1)求c的值．
(2)函數恰有一個零點，求實數a的取值范圍．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）利用導數在處取到極值的必要不充分條件，從而求出c值，再對c進行檢驗即可求出結果．
（2）利用導數研究函數單調性，通過極值的范圍求實數a的取值范圍．
【詳解】（1）因為，所以，
又因為函數在處有極小值，
所以，解得或，
當時，，
則時，，時，，
在上單調遞減，在上單調遞增，
可得函數在處取得極小值；
當時，，
則時，，時，，
在上單調遞增，在上單調遞減，
可得函數在處取得極大值，不合題意，舍去．
所以c的值為3.
（2），
函數定義域為R，，
當時，恒成立，在R上單調遞增，
時，有一個零點-1；
時，，，恰有一個零點.
當時，解得或，解得，
在和上單調遞增，在上單調遞減，
時，有極大值，時，有極小值，
恰有一個零點，或
解得，
綜上可知，函數恰有一個零點，實數a的取值范圍為.
4．（2023·廣東揭陽·模擬預測）已知函數，.
(1)討論的單調性并求極值.
(2)設函數（為的導函數），若函數在內有兩個不同的零點，求實數的取值范圍.
【答案】(1)在上單調遞減，在上單調遞增，的極小值為，無極大值；
(2).
【分析】（1）求出，然后可得單調性和極值；
（2），然后求出當時的單調性，要使函數在內有兩個不同的零點，則有，解出，然后證明即可.
【詳解】（1）因為在上單調遞增，
所以當時，當時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以的極小值為，無極大值.
（2）因為，
所以，
當時，，
所以當或時，在上單調，至多只有一個零點，不滿足題意，
當時，由可得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以要使函數在內有兩個不同的零點，則有，
由可得，下面證明當時，
令，則，
所以當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以，
所以當時，
綜上：實數的取值范圍為.
高頻考點四：利用數形結合法研究函數的零點問題
典型例題
例題1．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習）已知函數.
(1)當時，求函數的零點個數.
(2)若關于的方程有兩個不同實根，求實數的取值范圍并證明.
【答案】(1)有且僅有一個零點
(2)，證明見解析
【分析】（1）利用導函數與單調性的關系，以及零點的存在性定理求解；
（2）根據題意可得有兩個不同實根，進而可得，兩式相加得，兩式相減得，從而有，進而要證，只需證，即證，
構造函數即可證明.
【詳解】（1）當時，，
所以函數在上單調遞增，
又因為，
所以函數有且僅有一個零點.
（2）方程有兩個不同實根，等價于有兩個不同實根，
得，令，則，
令，解得；令，解得；
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，取得最大值，
由，得當時，；
當的大致圖象如圖所示，

所以當，即時，有兩個不同實根；
證明：不妨設且
兩式相加得，兩式相減得，
所以，
要證，只需證，
即證，
設，令，
則，
所以函數在上單調遞增，且，
所以，即，
所以，原命題得證.
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問考查極值點偏移問題，常用解決策略是根據，兩式相加相減，進而可得，進而要證，只需證，即證，從而將雙變量轉化為單變量，令，討論該函數的單調性和最值即可證明.
例題2．（2023·四川·一模）已知函數.
(1)求的單調區間；
(2)令（a為常數），若有兩個零點，求實數a的取值范圍.
【答案】(1)的單調遞減區間是，單調遞增區間是
(2)
【分析】（1）求導，利用導數求原函數的單調區間；
（2）根據題意分析可得有兩解，令，利用導數判斷原函數的單調性與極值，結合圖像分析求解.
【詳解】（1）由題意可知：的定義域為， ，
令，解得；令，解得；
所以的單調遞減區間是，單調遞增區間是.
（2）由題意可知：，其定義域為，
則有兩個零點，即有兩解，即有兩解，
令，則.
令，解得；令，解得；
則的單調遞減區間是，單調遞增區間是，
可知，
又因為，且當趨近于，趨近于0，
要使得有兩解，只需，所以，

故實數a的取值范圍為.
例題3．（23-24高二下·陜西渭南·期末）已知函數.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，證明：函數在上有兩個不同的零點.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出、的值，利用導數的幾何意義可得出所求切線的方程；
（2）當時，由可得出，令，其中，利用導數分析函數的單調性與極值，數形結合可證得結論成立.
【詳解】（1）解：因為，則，
所以，，，
所以，曲線在點處的切線方程為，
即.
（2）解：當時，且當時，由，可得，
令，其中，則，令，可得，列表如下：
減 極小值 增
所以，函數的最小值為，如下圖所示：

由圖可知，當時，直線與函數在上的圖象有兩個交點，
故當時，直線與函數在上的圖象有兩個交點，
此時，函數在上有兩個不同的零點.
例題4．（23-24高二下·重慶·期末）已知函數．
(1)當時，求函數的極值；
(2)討論函數的零點個數．
【答案】(1)極小值，無極大值.
(2)當時，函數沒有零點；
當或時，函數有1個零點；
當時，函數有2個零點.
【分析】（1）根據題意得出，然后分別令以及，通過計算即可得出函數的單調性，進而求出結果；
（2）可將轉化為，記，求出函數的單調性以及最值，最后根據函數的單調性以及最值，然后數形結合可得出結果.
【詳解】（1）當時，，，
令，則；令，則；
故函數的單調遞增區間是，單調遞減區間為；
當時，函數取極小值，無極大值.
（2）令，因為，所以，
記，有，
令，則；令，則，
故在上單調遞增，在上單調遞減，從而，
因此當時，直線與的圖像沒有交點；
當或時，直線與的圖像有1個交點；
當時，直線與的圖像有2個交點.
綜上：當時，函數沒有零點；當或時，函數有1個零點；當時，函數有2個零點.
練透核心考點
1．（2023·四川·三模）已知函數和函數，且有最大值為．
(1)求實數a的值；
(2)直線y＝m與兩曲線和恰好有三個不同的交點，其橫坐標分別為，，，且，證明：．
【答案】(1)1
(2)證明見解析
【分析】（1）根據的單調性得到最大值為，然后列方程求解即可；
（2）根據交點情況得到，然后再結合的單調性即可得到，即可證明.
【詳解】（1）的定義域為R，且，，
當時，，遞增；當時，，遞減；
所以，
所以，解得，又，所以a＝1.
（2）證明：由（1）可知：在遞增，在遞減，
又，所以在遞增，在遞減，
和的圖象如圖所示：

設和的圖象交于點A，則當直線y＝m經過點A時，
直線y＝m與兩條曲線和共有三個不同的交點，
則，且，，，
因為，所以，即，
因為，，且在遞增，所以，
所以，
因為，所以，即，
因為，，且在遞減，
所以，所以，
所以，即．
【點睛】函數零點問題：
（1）轉化為方程的根；
（2）轉化為函數與軸交點的橫坐標；
（3）轉化為兩個函數圖象交點的橫坐標.
2．（23-24高二下·貴州·階段練習）設函數，曲線在點處取得極值．
(1)求實數a的值；
(2)求函數的單調區間；
(3)令函數，是否存在實數k使得沒有零點？若存在，請求出實數k的范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)函數的單調遞增區間為，；單調遞減區間為，；
(3)
【分析】（1）利用導數在的值為0可得答案；
（2）分別令，可得答案；
（3）利用單調性求出函數的極值，畫出大致圖象，轉化為函數與的圖象沒有交點可得答案．
【詳解】（1），
因為曲線在點處取得極值，
所以，
解得，經檢驗符合題意；
（2）由（1），
，
當，
當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞增，
當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞減，
所以函數的單調遞增區間為，；
函數的單調遞減區間為，；
（3）存在，理由如下，
由（2）函數的單調遞增區間為，；函數的單調遞減區間為，； 所以，，
，當時，，當時，，可得的大致圖象如下，

若函數沒有零點，則函數與的圖象沒有交點，
所以.
【點睛】關鍵點點睛：函數沒有零點，轉化為函數與的圖象沒有交點問題，數形結合可得答案.
3．（23-24高二下·重慶沙坪壩·期末）已知函數（）．
(1)當時，過點作的切線，求該切線的方程；
(2)若函數在定義域內有兩個零點，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設切點為，求導，根據導數的幾何意義求出切線方程，再根據切線過點，求出切點，即可得解；
（2）分離參數，構造函數，將問題轉化為直線與函數的圖象僅有兩個交點，求的取值范圍．
【詳解】（1）當時，，則，
設切點為，則，
所以切線方程為，
又切線過點，所以，即，所以，
所以切線方程為，即；
（2）由，得，令，
則，
令得，令得，
∴在上單調遞增，在上單調遞減，
∴，
當趨向于時，趨向，當趨向于時，趨向，
作出函數的圖象和直線，
如圖示，在定義域內有且僅有兩個零點,
即和有且只有兩個交點，
由圖象知，的取值范圍是．
【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區間與極值，根據函數的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；
（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數的圖象的交點問題.
4．（23-24高三上·江蘇南通·階段練習）已知函數在上的最小值為．
(1)求a的值；
(2)若函數有3個零點，求實數b的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求導，再對分四種討論，求出函數的單調性即得解；
（2）由（1），可得，構造函數，利用導數求出函數的單調區間和極值，結合函數圖象可得答案.
【詳解】（1）由,,
當時,在上恒大于等于0,所以在上單調遞增,
,不合題意；
當時,則時,,單調遞減；時,,單調遞增,所以,,
所以,不滿足；
當時,在上,且不恒為0,所以在上單調遞減,
,適合題意；
當時,在上,,所以在上單調遞減,
,所以,不滿足；
綜上,．
（2）由（1）,所以,
令,則,
所以,且當時,；當時,；當時,,
所以極小值為,
極大值為,
如圖：
當時,函數有3個零點．
高頻考點五：構造函數研究函數零點問題
典型例題
例題1．（23-24高三下·河南信陽·階段練習）已知函數.
(1)當時，求不等式的解集；
(2)若，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據定義域可化簡函數，構造新函數，即求的解集即可，而，所以解集為．
（2）引入隱零點x0 ，利用導數得到在上單調遞減，在上單調遞增，最后得到的范圍.
【詳解】（1）的定義域為
∴當時，，
令，．
當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，所以，
則不等式的解集為．
（2）當時，，
令，恒成立，
則在上單調遞增，又，
，存在唯一的使，且，
所以
當時，，由，
則在上單調遞減，
當時，，由，（分開考慮導函數符號）
當時，在上單調遞增，則，
所以當時，，所以在上單調遞增，
所以，
由題意則，
設，則在上恒成立，
所以在上單調遞增，此時，即，
綜上所述，實數的取值范圍為．
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是構造新的函數，并利用隱零點法求解的范圍..
例題2．（23-24高二下·浙江嘉興·階段練習）已知函數 ，，是自然對數的底數.
(1)討論函數 的單調性；
(2)若關于的方程 有兩個不等實根，求的取值范圍；
(3)若 ，為整數，且當時， 恒成立，求 的最大值.
【答案】(1)見解析
(2)
(3)2
【分析】（1）首先求函數的導數，再討論和兩種情況，求函數的單調性；
（2）方程，轉化為，利用導數分析函數的圖象，再利用數形結合，求參數的取值范圍；
（3）首先參變分離為，再令，，利用導數求函數的單調區間，并求函數的最小值的取值范圍，即可求解的最大值.
【詳解】（1），
若，則恒成立，所以在上單調遞增，
若，，得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
綜上可知，時，的增區間是，
當時，的減區間是，增區間是；
（2）方程，顯然當時，方程不成立，則，，
若方程有兩個不等實根，即與有2個交點，
，
當時，，在區間和單調遞減，
并且時，，當時，
當時，，單調遞增，
時，當時，取得最小值，，
如圖，函數的圖象，
與有2個交點，則；
（3）當時，，，
所以，
當時，，，
令，，
則，
由（1）可知，在單調遞增，而且，
所以在上存在唯一的零點，即在上存在唯一的零點，
設此零點為，則，且，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以的最小值為，
所以，
所以整數的最大值為2.
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問和第三問的關鍵是運用參變分離，轉化為函數圖象的交點問題，以及隱點問題，求最值.
練透核心考點
1．（23-24高三下·河南·階段練習）已知函數.
(1)判斷的單調性；
(2)當時，求函數的零點個數.
【答案】(1)在上單調遞減，在上單調遞減
(2)2
【分析】（1）求導函數，，利用導數研究函數的單調性，進而求得，從而求出的單調區間；
（2）把問題轉化的零點問題，利用導數判斷出的單調性，先判斷在上不存在零點，再判斷在上存在零點，最后判斷在上存在零點，即可求解.
【詳解】（1）函數的定義域為.
令，則.
當時，單調遞增，當時，單調遞減，
所以，
所以在上恒成立，所以在上單調遞減，在上單調遞減.
（2）且的零點等價于且的零點.
,令，
易知，因為，
所以存在，使得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減，
在上單調遞增.
當時，，當時，，
所以在，上不存在零點.
取，則，
所以在上存在一個零點，設為.
又，所以，因為，所以，
因為，所以，因為，所以，
所以在上存在一個零點.
綜上所述，當時，函數的零點個數為2.
【點睛】思路點睛：涉及函數零點個數問題，可以利用導數分段討論函數的單調性，結合零點存在性定理，借助數形結合思想分析解決問題.
2．（23-24高二下·江蘇·階段練習）已知函數，
(1)若函數，
①求的最小值；
②若，且，求證：；
(2)若函數，且有兩個相異的零點，又，求實數的取值范圍．
【答案】(1)①0 ②證明見解析
(2)
【分析】
（1）①利用導數求出函數的單調區間，進而求出函數的最小值；②利用第①問的結論結合對數運算及對數函數的單調性可得結果；
（2）函數有兩個相異的零點轉化為函數與有兩個不同的交點，利用導數得出結果.
【詳解】（1）①因為，且定義域為，
又，令，即，所以，
令，即，所以，
即在上為增函數，在上為減函數，
所以當時有最小值，即的最小值為0.
②因為，所以，即，
由①可知，當時，，即，
所以，所以，即.
（2）因為，且有兩個相異的零點，
則，即，
【分析】（1）求得，設，利用導數求得函數的單調性，結合，得到，即可求解；
（2）求得，轉化為有兩個不等的正根，設，分和，兩種情況，利用導數求得函數的單調性，結合，列出不等式，即可求解；
（3）根據題意，轉化為，設，求得，得出函數單調性和最值，列出不等式，即可求解.
【詳解】（1）解：若，則，可得，
設，則，
當時，遞增；當時，遞減，
所以，即，所以在遞減，
即的單調減區間為，無增區間.
（2）解：由函數，可得，
由題意可得有兩個不等的正根，
設，
若，則在遞增，不符合題意；
若，可得，令，可得，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，
可得，
因為有兩個不等的正根，所以，解得，
所以實數的取值范圍是.
（3）解：由，可得，即，
設，則，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，
所以，
又時，時，，
因為恰有2個不同的零點，所以，可得，
所以實數的取值范圍是.
【點睛】方法總結：利用導數研究函數的零點求參數問題的求解策略:
1、構造函數法：構造新函數，利用導數求得函數的單調性與極值，結合零點的個數，列出不等式組，即可求得參數的范圍；
2、參數分離法：根據題意，化簡得到，轉化為和兩個函數的圖象的交點個數，從而求得參數的取值范圍.
第五部分：新定義題
1．（2024高三下·江蘇·專題練習）若函數在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數”.若為上的“2類函數”，求實數的取值范圍.
【答案】
【分析】
理解新定義函數的性質，將其轉化為導函數在給定區間上的范圍問題，接著通過參變分離法化成求對應函數的最值問題即得參數范圍.
【詳解】由可得：，
由題意知，對于任意不同的，都有，
不妨設，則，
若對于任意不同的，，
故，
設，故在為增函數，
故在上恒成立，故，
故在上恒成立，
令，而，
令，在單調遞減，
且，，
所以使，即，
即，
當時，，，故在單調遞增，
當時，，，故在單調遞減，
，則得：.
若對于任意不同的，，
則，設，
則在上為減函數，故，
故在上恒成立，令，
，令，在單調遞減，
所以，則，即在單調遞減，
，則得：；
綜上，即得實數的取值范圍為.
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