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2024-2025學年高考數學一輪復習講義(新高考)第06講函數y=Asin(wx+ψ)的圖象及其應用(知識+真題+6類高頻考點)(精講)(學生版+解析)

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2024-2025學年高考數學一輪復習講義(新高考)第06講函數y=Asin(wx+ψ)的圖象及其應用(知識+真題+6類高頻考點)(精講)(學生版+解析)

資源簡介

第06講 函數的圖象及其應用
目錄
第一部分:基礎知識 1
第二部分:高考真題回顧 2
第三部分:高頻考點一遍過 2
高頻考點一:函數的圖象變換 2
高頻考點二:根據圖象確定函數的解析式 4
高頻考點三:五點法作圖 8
高頻考點四:三角函數圖象與性質的綜合應用 11
高頻考點五:三角函數的零點(方程的根)的問題 15
高頻考點六:三角函數模型 19
第四部分:新定義題 22
第一部分:基礎知識
1、用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖
(1)在正弦函數,的圖象上,五個關鍵點是:
(2)在余弦函數,的圖象上,五個關鍵點是:
2、由的圖象變換得到(,)的圖象的兩種方法
(1)先平移后伸縮       (2)先伸縮后平移
第二部分:高考真題回顧
1.(2022·浙江·高考真題)為了得到函數的圖象,只要把函數圖象上所有的點( )
A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度
2.(2022·全國·高考真題)將函數的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C,若C關于y軸對稱,則的最小值是( )
A. B. C. D.
第三部分:高頻考點一遍過
高頻考點一:函數的圖象變換
典型例題
例題1.(2024·河南·模擬預測)函數的圖象由函數的圖象向左平移個單位長度得到,若函數的圖象關于原點對稱,則的最小值為( )
A. B. C. D.
例題2.(2024·全國·模擬預測)將函數的圖象向右平移()個單位長度,得到函數的圖象,則的最小值為( )
A. B. C. D.
例題3.(多選)(22-23高一上·陜西渭南·期末)要得到的圖象,可以將函數圖象上所有的點( )
A.向右平移個單位,再把橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變
B.向右平移個單位,再把橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變
C.橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變,再向右平移個單位
D.橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變,再向右平移個單位
練透核心考點
1.(2020高三·全國·專題練習)將函數的圖象上各點向右平移個單位長度,再把橫坐標縮短為原來的一半,縱坐標伸長為原來的4倍,則所得到的圖象的函數解析式是(  ).
A. B.
C. D.
2.(多選)(2024·云南·一模)為得到函數的圖象,只需要將函數的圖象( )
A.向左平行移動個單位 B.向左平行移動個單位
C.向右平行移動個單位 D.向右平行移動個單位
3.(23-24高三上·上海寶山·開學考試)函數(其中,)的圖像如圖所示,為了得到的圖像,則需將的圖象向右最小平移 個長度單位.

高頻考點二:根據圖象確定函數的解析式
典型例題
例題1.(2024·四川成都·二模)已知函數的部分圖象如圖所示,其中,,現有如下說法:

①函數在上單調遞減;
②將函數的圖象向右平移個單位長度后關于軸對稱;
③當時,,
則正確命題的個數為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
例題2.(2024·天津·一模)已知函數(其中)的部分圖象如圖所示,有以下結論:
① ②函數為偶函數
③ ④在上單調遞增
所有正確結論的序號是( )
A.①② B.①③④ C.③④ D.①④
例題3.(多選)(2024·廣東·一模)已知函數的圖象向左平移個單位后到函數的圖象(如圖所示),則( )
A.
B.在上為增函數
C.當時,函數在上恰有兩個不同的極值點
D.是函數的圖象的一條對稱軸
例題4.(23-24高一上·山西·期末)如圖,已知函數的圖象與軸相交于點,圖象的一個最高點為.
(1)求的解析式;
(2)將函數的圖象向左平移個單位長度,得到函數的圖象,求函數的所有零點之和.
練透核心考點
1.(2024·內蒙古呼和浩特·一模)函數的部分圖像如圖所示,把函數的圖像向右平移得到,則的解析式為( )
A. B.
C. D.
2.(多選)(2024·福建漳州·模擬預測)已知函數的部分圖像如圖所示,則下列說法正確的是( )
A.的圖象關于中心對稱
B.在區間上單調遞增
C.在上有4個零點,則實數的取值范圍是
D.將的圖象向右平移個單位長度,可以得到函數的圖象
3.(23-24高一下·河南南陽·階段練習)函數的部分圖象如圖所示,把函數的圖象向右平移個單位,得到函數的圖象.

(1)若方程在上有解,求實數的取值范圍;
(2)若,不等式恒成立,求實數的取值范圍.
4.(23-24高一上·云南德宏·期末)函數(,,)的部分圖象如圖所示.
(1)求函數的解析式;
(2)將函數的圖象先向右平移個單位,再將所有點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變),得到函數的圖象,若關于的方程在上有兩個不等實根,,求實數的取值范圍,并求的值.
高頻考點三:五點法作圖
典型例題
例題1.(2024高一·全國·專題練習)已知函數.用“五點法”在給定的坐標系中,畫出函數在上的大致圖象.

例題2.(23-24高一下·河南南陽·階段練習)已知函數.
(1)求的最大值及取得最大值時對應的的取值集合;
(2)用“五點法”畫出在上的圖象.
例題3.(23-24高一上·福建三明·期末)某同學用“五點法”畫函數在某一個周期內的圖象時,列表并填入了部分數據,如下表:
0
0 2 0 0
(1)根據以上表格中的數據求函數的解析式,并求函數的單調遞增區間;
(2)將函數圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),再向左平移個單位長度,得到函數的圖象.當時,關于的方程恰有兩個實數根,求實數的取值范圍.
練透核心考點
1.(23-24高一上·安徽·期末)已知函數周期為,其中.
(1)求函數的單調遞增區間;
(2)請運用“五點法”,通過列表、描點、連線,在所給的直角坐標系中畫出函數在上的簡圖.
2.(23-24高一上·安徽六安·期末)已知函數.

(1)填寫下表,并用“五點法”畫出在上的圖象;
x 0
1 0
(2)將的圖象橫坐標擴大為原來的2倍,再向左平移個單位后,得到的圖象,求的對稱中心.
3.(23-24高一上·湖北荊州·期末)已知函數.
(1)用“五點法”作出函數在上的圖象;
(2)解不等式.
高頻考點四:三角函數圖象與性質的綜合應用
典型例題
例題1.(23-24高一下·江蘇南通·階段練習)已知函數.
(1)求的對稱中心及單調遞減區間;
(2)將圖象上所有點的橫坐標變成原來2倍(縱坐標不變)得到函數,若,且,求.
例題2.(2024高一下·湖南株洲·競賽)已知向量,,函數.
(1)若,且,求的值;
(2)將圖象上所有的點向右平移個單位,然后再向下平移1個單位,最后使所有點的縱坐標變為原來的,得到函數的圖象,求函數的單增區間,及函數在的值域.
例題3.(23-24高一下·河南南陽·階段練習)設函數,其中,已知,且.
(1)求的解析式;
(2)求的單調遞增區間;
(3)將的圖象向左平移個單位長度后,得到函數的圖象,若存在,使得,求的取值范圍.
例題4.(23-24高一上·云南昭通·期末)函數的一段圖象如圖所示.
(1)求函數的解析式;
(2)要得到函數的圖象,可由正弦曲線經過怎樣的變換得到
(3)若不等式在上恒成立,求實數t的取值范圍.
練透核心考點
1.(23-24高一下·重慶·階段練習)已知函數,其圖象關于點中心對稱.
(1)求函數的單調遞減區間;
(2)將圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍,然后再向右平移個單位長度得到的圖象.若,,求的值.
2.(23-24高一上·四川攀枝花·階段練習)已知函數
(1)求的最小值和單調遞增區間;
(2)將函數的圖象向左平移個單位,再將所得的圖象上各點的橫坐標縮小為原來的,得到函數的圖象,若函數在上有且僅有兩個零點,求的取值范圍.
3.(2024·甘肅·一模)如圖,角的始邊為軸非負半軸,終邊與單位圓交于點,過點作軸的垂線,垂足為到直線的距離為.若將關于角的函數關系記為.

(1)求的解析式;
(2)將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變),再將所得圖象向左平移個單位長度,得到函數的圖象,求在的單調遞增區間.
4.(23-24高一下·廣西南寧·開學考試)已知函數,
(1)求的最小正周期及單調遞增區間;
(2)把的圖象向右平移個單位長度,再向上平移2個單位長度,得到函數的圖象,若在區間上的最大值為3,求實數的取值范圍.
高頻考點五:三角函數的零點(方程的根)的問題
典型例題
例題1.(23-24高一下·安徽·階段練習)給出以下三個條件:①直線,是函數圖象的任意兩條對稱軸,且的最小值為,②,③對任意的,.請從這三個條件中任選一個將下面的題目補充完整,并求解.已知函數,,______.
(1)求的表達式;
(2)將函數的圖象向右平移個單位后,再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標不變,得到函數的圖象,若關于的方程在區間上有且只有一個實數解,求實數的取值范圍.
例題2.(23-24高一上·四川攀枝花·階段練習)已知函數
(1)求的最小值和單調遞增區間;
(2)將函數的圖象向左平移個單位,再將所得的圖象上各點的橫坐標縮小為原來的,得到函數的圖象,若函數在上有且僅有兩個零點,求的取值范圍.
例題3.(23-24高一上·福建三明·期末)某同學用“五點法”畫函數在某一個周期內的圖象時,列表并填入了部分數據,如下表:
0
0 2 0 0
(1)根據以上表格中的數據求函數的解析式,并求函數的單調遞增區間;
(2)將函數圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),再向左平移個單位長度,得到函數的圖象.當時,關于的方程恰有兩個實數根,求實數的取值范圍.
例題4.(23-24高一下·河南·開學考試)將函數的圖象進行如下變換:向下平移個單位長度將所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)向左平移個單位長度,得到函數的圖象.
(1)當時,方程有兩個不等的實根,求實數的取值范圍;
(2)若函數在區間內恰有2022個零點,求的所有可能取值.
練透核心考點
1.(23-24高一上·山西·期末)如圖,已知函數的圖象與軸相交于點,圖象的一個最高點為.
(1)求的解析式;
(2)將函數的圖象向左平移個單位長度,得到函數的圖象,求函數的所有零點之和.
2.(23-24高一上·云南德宏·期末)函數(,,)的部分圖象如圖所示.
(1)求函數的解析式;
(2)將函數的圖象先向右平移個單位,再將所有點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變),得到函數的圖象,若關于的方程在上有兩個不等實根,,求實數的取值范圍,并求的值.
3.(23-24高一下·浙江溫州·開學考試)已知函數(其中)的圖象如圖所示.
(1)求函數的解析式;
(2)若將函數的圖象上的所有點向右平移,再將橫坐標伸長到原來的2倍,得到函數的圖象,若函數在有零點,求實數的取值范圍.
例題2.(23-24高一下·江蘇鎮江·階段練習)在校園美化、改造活動中,甲、乙兩所學校各要修建一個矩形的觀賽場地.
(1)甲校決定在半徑為30m的半圓形空地的內部修建一矩形觀賽場地.如圖所示,求出觀賽場地的最大面積;
(2)乙校決定在半徑為30m、圓心角為的扇形空地的內部修建一矩形觀賽場地,如圖所示,設中點為M,連接交于N,記,請你確定B點的位置,使觀賽場地的面積最大,并求出最大面積.
例題3.(23-24高一上·廣西賀州·期末)摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施,游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉,可以從高處俯瞰四周景色.如圖,某摩天輪最高點距離地面高度為120m,轉盤直徑為110m,設置有48個座艙,開啟時按逆時針方向勻速旋轉,游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙,轉一周需要30.
(1)游客甲坐上摩天輪的座艙,開始轉動后距離地面的高度為m,已知H關于t的函數解析式滿足(其中),求摩天輪轉動一周的函數解析式;
(2)若甲、乙兩人分別坐1號和9號座艙(即甲乙中間間隔7個座艙),在運行一周的過程中,求兩人距離地面的高度差(單位:m)關于的函數解析式,并求高度差的最大值.
練透核心考點
1.(23-24高一下·上海·開學考試)如圖所示,某市政府決定在以政府大樓為中心,正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內建造一個圖書館.為了充分利用這塊土地,并考慮與周邊環境協調,設計要求該圖書館底面矩形的四個頂點都要在邊界上,圖書館的正面要朝市政府大樓.設扇形的半徑,與之間的夾角為.

(1)當時,求邊的長.(結果保留兩位小數)
(2)求矩形的面積最大值是多少?(結果保留兩位小數)
2.(2024高一下·上海·專題練習)某旅游景區擬建一廣告牌,將邊長為米的正方形和邊長為米的正方形在點處焊接,、、、均用加強鋼管支撐,其中支撐鋼管、垂直地面于點和點,且、、長度相等,(不計焊接點大小).
(1)若時,求焊接點離地面距離;
(2)若記為,求加強鋼管最長為多少?
3.(23-24高一上·浙江寧波·期末)已知一個半徑為米的水輪如圖所示,水輪圓心距離水面米,且按順時針方向勻速轉動,每秒轉動一圈.如果以水輪上點從水面浮現時(圖中點位置)開始計時,記點距離水面的高度關于時間的函數解析式為.
(1)在水輪轉動的一周內,求點距離水面高度關于時間的函數解析式;
(2)在水輪轉動的一周內,求點在水面下方的時間段.
第四部分:新定義題
1.(22-23高一下·四川成都·階段練習)已知為坐標原點,對于函數,稱向量為函數的伴隨向量,同時稱函數為向量的伴隨函數.
(1)設函數,試求的伴隨向量;
(2)記向量的伴隨函數為,求當且時,的值;
(3)已知將(2)中的函數的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍,再把整個圖象向右平移個單位長度得到的圖象,若存在,使成立,求a的取值范圍.21世紀教育網(www.21cnjy.com)
第06講 函數的圖象及其應用
目錄
第一部分:基礎知識 1
第二部分:高考真題回顧 2
第三部分:高頻考點一遍過 3
高頻考點一:函數的圖象變換 3
高頻考點二:根據圖象確定函數的解析式 6
高頻考點三:五點法作圖 17
高頻考點四:三角函數圖象與性質的綜合應用 24
高頻考點五:三角函數的零點(方程的根)的問題 34
高頻考點六:三角函數模型 45
第四部分:新定義題 52
第一部分:基礎知識
1、用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖
(1)在正弦函數,的圖象上,五個關鍵點是:
(2)在余弦函數,的圖象上,五個關鍵點是:
2、由的圖象變換得到(,)的圖象的兩種方法
(1)先平移后伸縮       (2)先伸縮后平移
第二部分:高考真題回顧
1.(2022·浙江·高考真題)為了得到函數的圖象,只要把函數圖象上所有的點( )
A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度
【答案】D
【分析】根據三角函數圖象的變換法則即可求出.
【詳解】因為,所以把函數圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數的圖象.
故選:D.
2.(2022·全國·高考真題)將函數的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C,若C關于y軸對稱,則的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先由平移求出曲線的解析式,再結合對稱性得,即可求出的最小值.
【詳解】由題意知:曲線為,又關于軸對稱,則,
解得,又,故當時,的最小值為.
故選:C.
第三部分:高頻考點一遍過
高頻考點一:函數的圖象變換
典型例題
例題1.(2024·河南·模擬預測)函數的圖象由函數的圖象向左平移個單位長度得到,若函數的圖象關于原點對稱,則的最小值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】首先利用平移規律求函數的解析式,再根據函數是奇函數的性質,即可求解的值.
【詳解】由題意可知,,
因為函數關于原點對稱,所以,
則,,得,且,
所以.
故選:D
例題2.(2024·全國·模擬預測)將函數的圖象向右平移()個單位長度,得到函數的圖象,則的最小值為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】利用兩角差的余弦公式化簡,再由誘導公式及圖象平移即可得解.
【詳解】因為,

所以把的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象,
則的最小值為,
故選:B.
例題3.(多選)(22-23高一上·陜西渭南·期末)要得到的圖象,可以將函數圖象上所有的點( )
A.向右平移個單位,再把橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變
B.向右平移個單位,再把橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變
C.橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變,再向右平移個單位
D.橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變,再向右平移個單位
【答案】BC
【分析】根據三角函數圖象平移規律可得答案.
【詳解】將圖象上所有點向右平移個單位得到的圖象,
再將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變,
得到的圖象,故B正確,A錯誤;
將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變得到的圖象,再將圖象上所有點向右平移個單位得到的圖象,故C正確,D錯誤;
故選:BC.
練透核心考點
1.(2020高三·全國·專題練習)將函數的圖象上各點向右平移個單位長度,再把橫坐標縮短為原來的一半,縱坐標伸長為原來的4倍,則所得到的圖象的函數解析式是(  ).
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】結合對函數圖象的影響可得.
【詳解】將函數的圖象上各點向右平移個單位長度,得到函數即的圖象,
再把函數的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的一半,就得到函數的圖象,
然后再把函數的圖象上所有點的縱坐標伸長為原來的4倍,就得到函數的圖象.
故選:A.
2.(多選)(2024·云南·一模)為得到函數的圖象,只需要將函數的圖象( )
A.向左平行移動個單位 B.向左平行移動個單位
C.向右平行移動個單位 D.向右平行移動個單位
【答案】ACD
【分析】根據已知條件,逐項分析各個選項,利用誘導公式化簡函數解析式即可判斷.
【詳解】A選項,向左平行移動個單位,有,A正確;
B選項,向左平行移動個單位,有,B錯誤;
C選項,向右平行移動個單位,有,
,C正確;
D選項,向右平行移動個單位,有,
,D正確;
故選:ACD
3.(23-24高三上·上海寶山·開學考試)函數(其中,)的圖像如圖所示,為了得到的圖像,則需將的圖象向右最小平移 個長度單位.

【答案】/
【分析】首先根據函數的圖象確定、、的值,進一步確定解析式,然后利用函數圖象的平移變換求得結果.
【詳解】根據函數的圖象:,,所以,
由于,所以,故,
由于,取,得:
因此
要得到的圖象,則需將的圖象向右最小平移個單位即可.
故答案為:
高頻考點二:根據圖象確定函數的解析式
典型例題
例題1.(2024·四川成都·二模)已知函數的部分圖象如圖所示,其中,,現有如下說法:

①函數在上單調遞減;
②將函數的圖象向右平移個單位長度后關于軸對稱;
③當時,,
則正確命題的個數為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【分析】通過圖象求出的解析式,再利用三角函數的圖象和性質逐項判斷即得.
【詳解】由題意可知,,,
,,,,
,∵,∴,∴.
①因此,當,即時單調遞增,當時,,與有交集,故錯誤;
②的圖象向右平移個單位長度可得,,關于軸對稱,故正確;
③當時,,,故錯誤.
綜上,只有命題②正確,
故選:.
例題2.(2024·天津·一模)已知函數(其中)的部分圖象如圖所示,有以下結論:
① ②函數為偶函數
③ ④在上單調遞增
所有正確結論的序號是( )
A.①② B.①③④ C.③④ D.①④
【答案】B
【分析】借助圖象可得解析式,結合正弦函數的單調性、最值、奇偶性等逐項判斷即可得.
【詳解】由圖可得,,
且,則,即,
,即,
又,故,即,
對①:,由時,函數取最大值,
故是函數的最大值,故①正確;
對②:,故②錯誤;
對③:,
則,故③正確;
對④:當時,,
由函數在上單調遞增,
故函數在上單調遞增,故④正確.
故選:B.
例題3.(多選)(2024·廣東·一模)已知函數的圖象向左平移個單位后到函數的圖象(如圖所示),則( )
A.
B.在上為增函數
C.當時,函數在上恰有兩個不同的極值點
D.是函數的圖象的一條對稱軸
【答案】BCD
【分析】
根據圖象求出解析式,由平移可得解析式即可判斷A,根據所給自變量范圍及正弦函數的單調性判斷B,根據自變量范圍及參數范圍,確定的范圍即可判斷C,由三角恒等變換化簡,由正弦型函數的對稱性判斷D.
【詳解】根據平移性質,可設,
由圖象可得,即,解得,
所以,又,
所以,即,
對于A,則,即,故A錯誤;
對于B,當時,,由正弦函數單調性知,在上為增函數,故B正確;
對于C,,當時,,
因為,所以,
顯然能取到,不能取到,所以函數在上恰有兩個不同的極值點,故C正確;
對于D,因為,
所以當時,取得最大值,所以是函數的一條對稱軸,故D正確.
故選:BCD
例題4.(23-24高一上·山西·期末)如圖,已知函數的圖象與軸相交于點,圖象的一個最高點為.
(1)求的解析式;
(2)將函數的圖象向左平移個單位長度,得到函數的圖象,求函數的所有零點之和.
【答案】(1)
(2)9
【分析】(1)根據函數圖象求出周期,即可求得,再將點代入解析式求出即可;
(2)先根據函數平移的性質求出,將函數的零點問題轉化為函數圖象交點的問題,根據函數的對稱性求解.
【詳解】(1)設的最小正周期為,則,
所以,所以,
又因為函數的圖象的一個最高點為,
所以,所以,
所以,
因為,所以,所以.
(2)將函數的圖象向左平移個單位長度,得到函數的圖象,
所以,
令,得,
考慮與圖象的所有交點的橫坐標之和,
函數與的圖象都關于點對稱,
令,解得,
函數與的圖象如圖所示:
故兩函數的圖象有且僅有9個交點從左到右分別為,
所以,,,,
所以,故函數的所有零點之和為9.
練透核心考點
1.(2024·內蒙古呼和浩特·一模)函數的部分圖像如圖所示,把函數的圖像向右平移得到,則的解析式為( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】利用函數圖象求得函數的解析式為,再由平移規則即可得.
【詳解】根據圖像可知,可得,即;
又,可得,
解得,由可知;
即可得,
把函數的圖像向右平移得到;
即.
故選:A
2.(多選)(2024·福建漳州·模擬預測)已知函數的部分圖像如圖所示,則下列說法正確的是( )
A.的圖象關于中心對稱
B.在區間上單調遞增
C.在上有4個零點,則實數的取值范圍是
D.將的圖象向右平移個單位長度,可以得到函數的圖象
【答案】AD
【分析】不妨設,根據圖象求得函數的解析式,逐項驗證即可.
【詳解】不妨設,則,
解得.又,
所以,
解得,,
取符合條件的的一個值,不妨令,
則.
對于A選項,因為.
所以的圖像關于中心對稱,故A選項正確;
對于B選項,令,
解得,
所以的單調遞增區間為:

取,得的一個單調遞增區間為.
因為,
所以在上不具有單調性,故B選項錯誤;
對于C選項,因為,
所以,
所以,解得,
故C選項錯誤;
對于D選項,將的圖象向右平移個單位長度得到:
的圖象,
故D選項正確,
故選:AD.
3.(23-24高一下·河南南陽·階段練習)函數的部分圖象如圖所示,把函數的圖象向右平移個單位,得到函數的圖象.

(1)若方程在上有解,求實數的取值范圍;
(2)若,不等式恒成立,求實數的取值范圍.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)根據給定的圖象求出函數的解析式,進而求出,再求出在的值域即可得解.
(2)由(1)求出及在上的值域,再換元并分離參數,借助二次函數求出最大值得解.
【詳解】(1)觀察函數圖象知,,函數的周期,則,即,
由,即,得,而,則,
因此,,
則,
由,得,
當時,,,于是,
所以實數的取值范圍是.
(2)由(1)知,由,得,則,,
令,則,,不等式恒成立,
等價于,不等式恒成立,
當時,不等式恒成立,則;
當時,不等式恒成立,,
而,當且僅當,即時取等號,于是,
所以的取值范圍為.
4.(23-24高一上·云南德宏·期末)函數(,,)的部分圖象如圖所示.
(1)求函數的解析式;
(2)將函數的圖象先向右平移個單位,再將所有點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變),得到函數的圖象,若關于的方程在上有兩個不等實根,,求實數的取值范圍,并求的值.
【答案】(1)
(2),
【分析】(1)根據三角函數的圖象與性質計算即可;
(2)先根據三角函數的圖像變換得,結合正弦函數的單調性、對稱性可判定的取值范圍與的值.
【詳解】(1)由圖可知,,
∵ , ∴ , ,
又, ∴ ,,
解得 ,,由可得,
∴.
(2)將向右平移個單位,得到,
再將所有點的橫坐標縮短為原來的,得到,
令,則當時,;
易知函數在上單調遞減,在上單調遞增,
又,,,∴;
由對稱性可知,
∴ ,∴,
∴ .
高頻考點三:五點法作圖
典型例題
例題1.(2024高一·全國·專題練習)已知函數.用“五點法”在給定的坐標系中,畫出函數在上的大致圖象.

【答案】作圖見解析
【分析】通過列表得函數在內的關鍵點以及端點值,在所給的坐標系中,描點連線畫出圖.
【詳解】列表:
0
1 2 0 0 1
描點,連線,畫出在上的大致圖象如圖:

例題2.(23-24高一下·河南南陽·階段練習)已知函數.
(1)求的最大值及取得最大值時對應的的取值集合;
(2)用“五點法”畫出在上的圖象.
【答案】(1)4;
(2)答案見解析
【分析】
(1)根據正弦函數的性質,即可求解;
(2)首先列表,再根據“五點法”作圖,即可畫出圖象.
【詳解】(1)因為,所以,
所以,
則的最大值為4.
此時,
解得.
故當取得最大值時,對應的的取值集合為.
(2)列表如下:
4 1 -2 1

例題3.(23-24高一上·福建三明·期末)某同學用“五點法”畫函數在某一個周期內的圖象時,列表并填入了部分數據,如下表:
0
0 2 0 0
(1)根據以上表格中的數據求函數的解析式,并求函數的單調遞增區間;
(2)將函數圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),再向左平移個單位長度,得到函數的圖象.當時,關于的方程恰有兩個實數根,求實數的取值范圍.
【答案】(1);單調遞增區間為
(2)
【分析】
(1)根據表格中的數據,不難看出值和周期特征,易得值,代入一組對應值與,易求出,再整體處理,計算得到遞增區間;
(2)先根據三角伸縮平移變換并化簡得到,將方程有根問題轉化為兩函數圖象在給定區間上的交點個數問題解決.
【詳解】(1)
由表中數據可得,,
因為,所以,則,
當時,,則,
所以.
由,得,
所以的單調遞增區間為.
(2)
將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)得到,
再將圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象,則
如圖,當時,方程恰有兩個實數根,等價于函數,的圖象與直線有兩個交點,
故可得:.
練透核心考點
1.(23-24高一上·安徽·期末)已知函數周期為,其中.
(1)求函數的單調遞增區間;
(2)請運用“五點法”,通過列表、描點、連線,在所給的直角坐標系中畫出函數在上的簡圖.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】(1)先利用周期求出函數解析式,再利用單調性可得答案;
(2)利用五點法畫圖可得答案.
【詳解】(1)由題意可得,所以;
令,,解得,
故函數的單調遞增區間為.
(2)
0
0
0 2 0
描點,連線,其簡圖如下
2.(23-24高一上·安徽六安·期末)已知函數.

(1)填寫下表,并用“五點法”畫出在上的圖象;
x 0
1 0
(2)將的圖象橫坐標擴大為原來的2倍,再向左平移個單位后,得到的圖象,求的對稱中心.
【答案】(1)表格及圖象見解析
(2),
【分析】
(1)直接根據五點作圖法補全表格,然后描點畫圖;
(2)先通過圖象變換得到,然后令可得對稱中心.
【詳解】(1)
,列表如下:
0
x 0
1 0 0
圖象如圖:

(2)
的圖象橫坐標擴大為原來的2倍得,
再向左平移個單位后,得,
令,,得,,
所以函數的對稱中心為,.
3.(23-24高一上·湖北荊州·期末)已知函數.
(1)用“五點法”作出函數在上的圖象;
(2)解不等式.
【答案】(1)圖象見解析
(2)
【分析】(1)利用“五點作圖法”即可得解;
(2)利用整體代入法,結合正弦函數的性質即可得解.
【詳解】(1)列表
0
0 1 0 0
又當時,,當時,,
描點作圖,如圖所示:
(2)因為,
所以,,
解得,,
故不等式的解集為.
高頻考點四:三角函數圖象與性質的綜合應用
典型例題
例題1.(23-24高一下·江蘇南通·階段練習)已知函數.
(1)求的對稱中心及單調遞減區間;
(2)將圖象上所有點的橫坐標變成原來2倍(縱坐標不變)得到函數,若,且,求.
【答案】(1)對稱中心為,單調遞減區間為
(2)
【分析】(1)借助三角恒等變換可將原函數化為正弦型函數,借助正弦型函數的性質計算即可得;
(2)結合題意,得到解析式后,可得,借助所給角的范圍可計算出,借助計算即可得解.
【詳解】(1)

令,解得,
令,解得,
故的對稱中心為,
單調遞減區間為;
(2)由題意可得,
由,即,即,
由,故,
由,故,
即,

.
例題2.(2024高一下·湖南株洲·競賽)已知向量,,函數.
(1)若,且,求的值;
(2)將圖象上所有的點向右平移個單位,然后再向下平移1個單位,最后使所有點的縱坐標變為原來的,得到函數的圖象,求函數的單增區間,及函數在的值域.
【答案】(1)
(2)單調遞增區間為,在的值域為.
【分析】(1)根據平面向量數量積的坐標表示及三角恒等變換公式化簡,依題意可得,即可求出,最后由利用兩角差的余弦公式計算可得.
(2)根據三角函數的變換規則求出解析式,再根據余弦函數的圖像性質計算可得.
【詳解】(1)因為,
所以若則,所以.
因為,所以,所以,
所以,
故.
(2)將圖象上所有的點向右平移個單位得到
然后再向下平移1個單位得到,最后使所有點的縱坐標變為原來的得到函數的圖象,則,
由,可得函數的單調遞增區間為,
由,則函數在,即上單調遞增,在,即上單調遞減.
因為,
所以在的值域為.
例題3.(23-24高一下·河南南陽·階段練習)設函數,其中,已知,且.
(1)求的解析式;
(2)求的單調遞增區間;
(3)將的圖象向左平移個單位長度后,得到函數的圖象,若存在,使得,求的取值范圍.
【答案】(1);
(2);
(3).
【分析】
(1)由已知不等式及函數的最值,可得周期與的關系,從而建立的等量關系求解可得;
(2)結合余弦函數圖象與性質,由整體角范圍求解單調增區間;
(3)先由圖象平移關系得的解析析,再由不等式有解,可得,求出函數在上的最值即可得解.
【詳解】(1)由知,,
則,又已知,
所以,
故中恰有一個取最大值,而另一個取最小值.
所以有,
則,
故,則.
因為,且,所以,,
則.
(2)令,
解得,
故的單調遞增區間為.
(3)由題意可得.
∵,∴,
此時,,
由題意,要使有解,可得,
即,解得,
故所求的取值范圍是.
例題4.(23-24高一上·云南昭通·期末)函數的一段圖象如圖所示.
(1)求函數的解析式;
(2)要得到函數的圖象,可由正弦曲線經過怎樣的變換得到
(3)若不等式在上恒成立,求實數t的取值范圍.
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)
【分析】(1)由圖象直接得到,求出函數的周期,即可求出,利用圖象經過,結合的范圍求出的值,即可得到的解析式;
(2)由三角函數的圖象變換規律,結合平移與伸縮的順序采用方法一或方法二推出結果;
(3)根據的范圍,結合三角函數的性質得出的最大值,由題意得到的不等式,求解即可.
【詳解】(1)由圖象知,,,,
將圖象上的點代入中,得,
結合圖象可知,則,,
又,所以,故.
(2)法一:將的圖象向左平移個單位,得到的圖象;
再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到的圖象;
再將所得圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變),得到的圖象.
法二:將的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到的圖象;
再將所得圖象向左平移個單位,得到的圖象;
再將所得圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變),得到的圖象.
(3)∵,∴,
∴當,即時,取最大值3.
又不等式在上恒成立,
∴在上恒成立,
故,即,即或.
∴t的取值范圍為.
練透核心考點
1.(23-24高一下·重慶·階段練習)已知函數,其圖象關于點中心對稱.
(1)求函數的單調遞減區間;
(2)將圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍,然后再向右平移個單位長度得到的圖象.若,,求的值.
【答案】(1)的單調遞減區間為
(2)
【分析】(1)通過三角恒等變換得到,再根據圖像關于點中心對稱求得,然后利用正弦函數的性質求解;
(2)先利用圖象變換得到,再得到,然后利用兩角差的余弦公式求解.
【詳解】(1),

因為圖象關于點中心對稱,
,,

,,,

令,

的單調遞減區間為;
(2)由題意得:,
,,
,,


.
2.(23-24高一上·四川攀枝花·階段練習)已知函數
(1)求的最小值和單調遞增區間;
(2)將函數的圖象向左平移個單位,再將所得的圖象上各點的橫坐標縮小為原來的,得到函數的圖象,若函數在上有且僅有兩個零點,求的取值范圍.
【答案】(1)最小值為,遞增區間位,
(2)
【分析】由題意,利用三角恒等變換,化簡函數的解析式,再根據正弦函數的圖象和性質,得出結論.
由題意,利用函數的圖象變換規律,正弦函數的圖象和性質,求出的取值范圍.
【詳解】(1)函數

的最小值為.
令,,
求得,,
可得的單調遞增區間為,.
(2)將函數的圖象向左平移個單位,
可得的圖象;
再將所得的圖象上各點的橫坐標縮小為原來的,
得到函數的圖象.
若函數在上有且僅有兩個零點,
即在上有且僅有兩個解.
而,則,求得.
故的取值范圍為
3.(2024·甘肅·一模)如圖,角的始邊為軸非負半軸,終邊與單位圓交于點,過點作軸的垂線,垂足為到直線的距離為.若將關于角的函數關系記為.

(1)求的解析式;
(2)將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變),再將所得圖象向左平移個單位長度,得到函數的圖象,求在的單調遞增區間.
【答案】(1)
(2)和
【分析】
(1)根據條件得到直線的方程,利于點到直線的距離公式進行計算即可;
(2)根據函數圖象的變換規則得到函數解析式后,整體代入法求解單調區間即可.
【詳解】(1)可知,
又直線的方程為,
故根據點到直線距離公式,
即.
(2)可知,
由,
得,
所以當時,函數的單調增區間為和
4.(23-24高一下·廣西南寧·開學考試)已知函數,
(1)求的最小正周期及單調遞增區間;
(2)把的圖象向右平移個單位長度,再向上平移2個單位長度,得到函數的圖象,若在區間上的最大值為3,求實數的取值范圍.
【答案】(1),;
(2).
【分析】(1)由正弦型函數的周期公式可得其周期,將看成整體角,利用正弦函數的單調區間解不等式即得;
(2)根據平移變換求出,取,由求得,作出函數在區間上的圖象,須使解之即得.
【詳解】(1)
的最小正周期.
由得
的單調遞增區間是
(2)把的圖象向右平移個單位得到,
再向上平移2個單位長度,得到的圖象.
由,得,取,則,
因為在區間上的最大值為3,
所以在區間上的最大值為1.
作出在區間上的圖象,可知須使,即,
所以的取值范圍為.
高頻考點五:三角函數的零點(方程的根)的問題
典型例題
例題1.(23-24高一下·安徽·階段練習)給出以下三個條件:①直線,是函數圖象的任意兩條對稱軸,且的最小值為,②,③對任意的,.請從這三個條件中任選一個將下面的題目補充完整,并求解.已知函數,,______.
(1)求的表達式;
(2)將函數的圖象向右平移個單位后,再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標不變,得到函數的圖象,若關于的方程在區間上有且只有一個實數解,求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)或
【分析】(1)先進行三角恒等變換求出,再分別選三個條件,結合正弦函數的性質,分別求解,即可得出函數解析式;
(2)首先根據三角函數的變換規律得到解析式,再由正弦函數的性質求出在區間上的單調性,求出區間端點函數值,依題意函數的圖象與直線在區間上有且只有一個交點,即可求出參數的取值范圍.
【詳解】(1)因為

若選條件①,直線,是函數圖象的任意兩條對稱軸,且的最小值為,
則,解得,則;
若選條件②,則,則,,
因此,,又,所以,則,
若選條件③,對任意的,,
則有,,解得,,
又,所以當時,則.
(2)將函數的圖象向右平移個單位得到,
再將的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的倍,縱坐標不變,得到.
由,,解得,,
即函數的單調遞增區間為,,
又,
所以函數在上單調遞增,則在上單調遞減;
因為,,,
因為關于的方程在區間上有且只有一個實數解,
所以函數的圖象與直線在區間上有且只有一個交點,
則或.
例題2.(23-24高一上·四川攀枝花·階段練習)已知函數
(1)求的最小值和單調遞增區間;
(2)將函數的圖象向左平移個單位,再將所得的圖象上各點的橫坐標縮小為原來的,得到函數的圖象,若函數在上有且僅有兩個零點,求的取值范圍.
【答案】(1)最小值為,遞增區間位,
(2)
【分析】由題意,利用三角恒等變換,化簡函數的解析式,再根據正弦函數的圖象和性質,得出結論.
由題意,利用函數的圖象變換規律,正弦函數的圖象和性質,求出的取值范圍.
【詳解】(1)函數

的最小值為.
令,,
求得,,
可得的單調遞增區間為,.
(2)將函數的圖象向左平移個單位,
可得的圖象;
再將所得的圖象上各點的橫坐標縮小為原來的,
得到函數的圖象.
若函數在上有且僅有兩個零點,
即在上有且僅有兩個解.
而,則,求得.
故的取值范圍為
例題3.(23-24高一上·福建三明·期末)某同學用“五點法”畫函數在某一個周期內的圖象時,列表并填入了部分數據,如下表:
0
0 2 0 0
(1)根據以上表格中的數據求函數的解析式,并求函數的單調遞增區間;
(2)將函數圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),再向左平移個單位長度,得到函數的圖象.當時,關于的方程恰有兩個實數根,求實數的取值范圍.
【答案】(1);單調遞增區間為
(2)
【分析】
(1)根據表格中的數據,不難看出值和周期特征,易得值,代入一組對應值與,易求出,再整體處理,計算得到遞增區間;
(2)先根據三角伸縮平移變換并化簡得到,將方程有根問題轉化為兩函數圖象在給定區間上的交點個數問題解決.
【詳解】(1)
由表中數據可得,,
因為,所以,則,
當時,,則,
所以.
由,得,
所以的單調遞增區間為.
(2)
將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)得到,
再將圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象,則
如圖,當時,方程恰有兩個實數根,等價于函數,的圖象與直線有兩個交點,
故可得:.
例題4.(23-24高一下·河南·開學考試)將函數的圖象進行如下變換:向下平移個單位長度將所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)向左平移個單位長度,得到函數的圖象.
(1)當時,方程有兩個不等的實根,求實數的取值范圍;
(2)若函數在區間內恰有2022個零點,求的所有可能取值.
【答案】(1)
(2)2022或2023或1348
【分析】(1)先根據函數的圖象變換求的解析式,再利用數形結合的思想求參數的取值范圍;
(2)采用換元法,先把問題轉化成為二次函數的零點分布問題,再結合三角函數的周期性求的可能值.
【詳解】(1)由題意的圖象向下平移個單位,得:;再將所得函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍(縱坐標不變)得:;再把所得函數圖象向左平移個單位,可得,
因為
所以,
如圖:
方程有兩個不等實根時,的圖象與直線有兩個不同的交點,
作圖可得.
故實數的取值范圍為.
(2)由題意可得,
設,,則函數等價為,
由,得.
因為,所以有兩個不等的實數根,
當時,,此時在上恰有3個零點,
因為,所以,
所以;
當時,因為,.
所以,.
此時在上恰有2個零點,
因為,所以或,
或2023.
綜上所述,的可能取值為2022或2023或1348.
練透核心考點
1.(23-24高一上·山西·期末)如圖,已知函數的圖象與軸相交于點,圖象的一個最高點為.
(1)求的解析式;
(2)將函數的圖象向左平移個單位長度,得到函數的圖象,求函數的所有零點之和.
【答案】(1)
(2)9
【分析】(1)根據函數圖象求出周期,即可求得,再將點代入解析式求出即可;
(2)先根據函數平移的性質求出,將函數的零點問題轉化為函數圖象交點的問題,根據函數的對稱性求解.
【詳解】(1)設的最小正周期為,則,
所以,所以,
又因為函數的圖象的一個最高點為,
所以,所以,
所以,
因為,所以,所以.
(2)將函數的圖象向左平移個單位長度,得到函數的圖象,
所以,
令,得,
考慮與圖象的所有交點的橫坐標之和,
函數與的圖象都關于點對稱,
令,解得,
函數與的圖象如圖所示:
故兩函數的圖象有且僅有9個交點從左到右分別為,
所以,,,,
所以,故函數的所有零點之和為9.
2.(23-24高一上·云南德宏·期末)函數(,,)的部分圖象如圖所示.
(1)求函數的解析式;
(2)將函數的圖象先向右平移個單位,再將所有點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變),得到函數的圖象,若關于的方程在上有兩個不等實根,,求實數的取值范圍,并求的值.
【答案】(1)
(2),
【分析】(1)根據三角函數的圖象與性質計算即可;
(2)先根據三角函數的圖像變換得,結合正弦函數的單調性、對稱性可判定的取值范圍與的值.
【詳解】(1)由圖可知,,
∵ , ∴ , ,
又, ∴ ,,
解得 ,,由可得,
∴.
(2)將向右平移個單位,得到,
再將所有點的橫坐標縮短為原來的,得到,
令,則當時,;
易知函數在上單調遞減,在上單調遞增,
又,,,∴;
由對稱性可知,
∴ ,∴,
∴ .
3.(23-24高一下·浙江溫州·開學考試)已知函數(其中)的圖象如圖所示.
(1)求函數的解析式;
(2)若將函數的圖象上的所有點向右平移,再將橫坐標伸長到原來的2倍,得到函數的圖象,若函數在有零點,求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根據函數圖象,依次求得的值,從而求得的解析式.
(2)根據三角函數圖象變換的知識求得,根據在區間上的值域求得正確答案.
【詳解】(1)由圖可知,,,
,由于,
所以,所以.
(2)將函數的圖象上的所有點向右平移,得到,
再將橫坐標伸長到原來的2倍,得到函數,
由得,此時,
所以要使函數在有零點,則.
4.(23-24高一上·浙江杭州·期末)已知函數.
(1)求函數在R上的單調遞增區間;
(2)將函數的圖象向左平移個單位長度,再將圖象向上平移1個單位長度,得到函數的圖象,若實數滿足,求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)化簡函數得到,結合三角函數的圖象與性質,即可求解;
(2)根據三角函數的圖象變換,求得,根據題意,得到為函數的最值,結合三角函數的性質,即可求解.
【詳解】(1)解:由函數,
令,解得,
所以函數的單調遞增區間為.
(2)解:將函數的圖形向左平移個單位長度,
得到,
再將得到的函數圖象向上平移1個單位長度,可得,
由實數滿足,則為函數的最值,
不妨設,
則,
解得,
則,
當或時,此時.
高頻考點六:三角函數模型
典型例題
例題1.(23-24高一下·河南南陽·階段練習)深圳別稱“鵬城”,“灣區之光”摩天輪位于深圳,是目前亞洲最大的摩天輪.游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉,可以從高處俯瞰四周景色.已知某摩天輪的直徑為,最高點距離地面高度為,摩天輪的圓周上均勻地安裝著24個座艙,游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙,摩天輪運行時按逆時針方向勻速旋轉,轉一周需要.

(1)游客甲從最低點坐上摩天輪的座艙,轉動后距離地面的高度為,求在轉動過程中,關于的函數解析式;
(2)已知游客在距離地面時的高度能夠獲得最佳視覺效果,記某游客從坐上摩天輪后達到最佳視覺效果的時刻依次為,求.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)由題意以摩天輪中心為原點,與地面平行的直線為軸,建立直角坐標系求出解析式即可;
(2)令,解出時間,即為達到最佳視覺效果的時刻,求解即可.
【詳解】(1)以摩天輪中心為原點,與地面平行的直線為軸,建立直角坐標系.

由題意,摩天輪的角速度
所以甲所在的位置的縱坐標
則.
所以關于的函數解析式
(2)令,則.
或,
或,
可得當時,,.當時,,
綜上所述,該游客坐上摩天輪后第四次達到最佳視覺效果的時刻.
例題2.(23-24高一下·江蘇鎮江·階段練習)在校園美化、改造活動中,甲、乙兩所學校各要修建一個矩形的觀賽場地.
(1)甲校決定在半徑為30m的半圓形空地的內部修建一矩形觀賽場地.如圖所示,求出觀賽場地的最大面積;
(2)乙校決定在半徑為30m、圓心角為的扇形空地的內部修建一矩形觀賽場地,如圖所示,設中點為M,連接交于N,記,請你確定B點的位置,使觀賽場地的面積最大,并求出最大面積.
【答案】(1)
(2)當時,矩形的面積最大,最大值為.
【分析】(1)首先設,得到,,從而得到,再利用三角函數圖象的性質即可得到面積的最大值.
(2)首先,得到,,,,從而得到,再利用三角函數的圖象性質即可得到面積的最大值.
【詳解】(1)如圖所示:
設,則,且,,
易知為的中點,所以,
當,即時,.
故觀賽場地的面積的最大值為.
(2)如圖所示:
,則,且,,
,,

當,即時,,
此時.
故當時,矩形的面積最大,最大值為.
例題3.(23-24高一上·廣西賀州·期末)摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施,游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉,可以從高處俯瞰四周景色.如圖,某摩天輪最高點距離地面高度為120m,轉盤直徑為110m,設置有48個座艙,開啟時按逆時針方向勻速旋轉,游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙,轉一周需要30.
(1)游客甲坐上摩天輪的座艙,開始轉動后距離地面的高度為m,已知H關于t的函數解析式滿足(其中),求摩天輪轉動一周的函數解析式;
(2)若甲、乙兩人分別坐1號和9號座艙(即甲乙中間間隔7個座艙),在運行一周的過程中,求兩人距離地面的高度差(單位:m)關于的函數解析式,并求高度差的最大值.
【答案】(1),()
(2),,甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值為55米
【分析】(1)根據周期以及即可求解,
(2)根據和差角公式以及三角恒等變換,結合三角函數的性質即可求解.
【詳解】(1)如圖,設座艙距離地面最近的位置為點,以軸心為原點,與地面平行的直線為軸建立直角坐標系.
設時,游客甲位于,得到以為終邊的角為,
根據摩天輪轉一周需要30,可知座艙轉動的速度約為,
由題意可得,,(),
(2)甲、乙兩人的位置分別用點、表示,則,
經過后,甲距離地面的高度為,
點相對于始終落后,
此時乙距離地面的高度,
則甲、乙高度差為
,,
所以當(或)時,的最大值為55,
所以甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值為55米
練透核心考點
1.(23-24高一下·上海·開學考試)如圖所示,某市政府決定在以政府大樓為中心,正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內建造一個圖書館.為了充分利用這塊土地,并考慮與周邊環境協調,設計要求該圖書館底面矩形的四個頂點都要在邊界上,圖書館的正面要朝市政府大樓.設扇形的半徑,與之間的夾角為.

(1)當時,求邊的長.(結果保留兩位小數)
(2)求矩形的面積最大值是多少?(結果保留兩位小數)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由題先用表示出,進而表示出,從而得解;
(2)利用(1)中結論用表示,再利用三角函數的性質即可得解.
【詳解】(1)由題意可知,點為的中點,所以,,
記與的交點為,,

則,,
則,
當時,
.
(2)因為
,.
因為,則.
所以當,即時,有最大值.

故當時,矩形的面積有最大值.
2.(2024高一下·上海·專題練習)某旅游景區擬建一廣告牌,將邊長為米的正方形和邊長為米的正方形在點處焊接,、、、均用加強鋼管支撐,其中支撐鋼管、垂直地面于點和點,且、、長度相等,(不計焊接點大小).
(1)若時,求焊接點離地面距離;
(2)若記為,求加強鋼管最長為多少?
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用勾股定理求得邊長的值,再計算離地面的距離;
(2)在中,由余弦定理得的表達式,在中,由正弦定理求出,結合得出,即可求解.
【詳解】(1)支撐鋼管垂直地面于點和點,且長度相等,
【分析】(1)根據函數的最大值和最小值可得出關于、的方程組,解出這兩個量的值,求出該函數的最小正周期,可得出的值,再由,結合的取值范圍,可得出的值,由此可得出函數的解析式;
(2)在時,解不等式即可得出結論.
【詳解】(1)解:由題意知的最大值為,最小值為,
所以,,解得,
由題意可知,函數的最小正周期為,
則,所以.
當時,,即,可得,
又,所以,所以,.
(2)解:令,得.
由,得,所以,解得,
即在水輪轉動的一圈內,點在水面下方的時段是秒到秒.
第四部分:新定義題
1.(22-23高一下·四川成都·階段練習)已知為坐標原點,對于函數,稱向量為函數的伴隨向量,同時稱函數為向量的伴隨函數.
(1)設函數,試求的伴隨向量;
(2)記向量的伴隨函數為,求當且時,的值;
(3)已知將(2)中的函數的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍,再把整個圖象向右平移個單位長度得到的圖象,若存在,使成立,求a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
(1)利用三角函數恒等變換公式對函數化簡變形,然后由函數的伴隨向量的定義可求得結果,
(2)由定義求出,由得,再由同角三角函數的關系可求得,然后由化簡可得答案,
(3)先利用三角函數圖象變換規律求出,由可求得,令,則可化為,然后利用二次函數的性質討論可求得結果.
【詳解】(1)

所以.
(2)
依題意,
由得,
,所以,
所以.
(3)將圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍,得,
再把整個圖象向右平移個單位長度,得,
所以,
若,則,所以
令,則可化為,
即,
因為函數是開口向上,對稱軸為的二次函數,
所以時,函數單調遞減;時,函數單調遞增,
所以,
又當時,;當時,,
所以;
因為存在,使成立,
所以存在使成立,
因此只需. -
【點睛】
關鍵點點睛:此題考查三角函數的綜合問題,考查三角函數圖象變換規律,考查三角函數恒等變換公式的應用,解題的關鍵是對三角函數恒等變換公式的正確應用,考查計算能力和轉化能力,屬于較難題.
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