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第06講 對數與對數函數
目錄
第一部分：基礎知識 2
第二部分：高考真題回顧 4
第三部分：高頻考點一遍過 4
高頻考點一：對數的運算 4
高頻考點二：換底公式 5
高頻考點三：對數函數的概念 5
高頻考點四：對數函數的定義域 6
高頻考點五：對數函數的值域 6
角度1：求對數函數在區間上的值域 6
角度2：求對數型復合函數的值域 6
角度3：根據對數函數的值域求參數值或范圍 7
高頻考點六：對數函數的圖象 8
角度1：對數（型）函數與其它函數的圖象 8
角度2：根據對數（型）函數的圖象判斷參數 9
角度3：對數（型）函數圖象過定點問題 10
高頻考點七：對數函數的單調性 11
角度1：對數函數（型）函數的單調性 11
角度2：由對數函數（型）函數的單調性求參數 12
角度3：由對數函數（型）函數的單調性解不等式 12
角度4：對數（指數）綜合比較大小 13
高頻考點八：對數函數的最值 14
角度1：求對數（型）函數的最值 14
角度2：根據對數（型）函數的最值求參數 14
角度3：對數（型）函數的最值與不等式綜合應用 15
第四部分：典型易錯題型 17
備注：對數型復合函數容易忽略定義域 17
備注：分段函數單調性容易忽視分段點的大小比較 17
第五部分：新定義題（解答題） 18
第一部分：基礎知識
1、對數的概念
（1）對數：一般地，如果，那么數 叫做以為底的對數，記作，其中叫做對數的底數，叫做真數.
（2）牢記兩個重要對數：常用對數，以10為底的對數；自然對數，以無理數e=2.71828…為底數的對數.
（3）對數式與指數式的互化：.
2、對數的性質、運算性質與換底公式
（1）對數的性質
根據對數的概念，知對數具有以下性質：
①負數和零沒有對數，即；
②1的對數等于0，即；
③底數的對數等于1，即；
④對數恒等式.
（2）對數的運算性質
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）對數的換底公式
對數的換底公式：.
換底公式將底數不同的對數轉化為底數相同的對數，進而進行化簡、計算或證明.換底公式應用時究竟換成什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對數或以為底的自然對數.
換底公式的變形及推廣：
①；
②；
③(其中，，均大于0且不等于1，).
3、對數函數及其性質
（1）對數函數的定義
形如(，且)的函數叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是．
（2）對數函數的圖象與性質
圖象
性質 定義域：
值域：
過點，即當時，
在上是單調增函數 在上是單調減函數
第二部分：高考真題回顧
1．（2022·全國·（新高考Ⅰ卷））設，則（ ）
A． B． C． D．
2．（多選）（2023·全國·（新高考Ⅰ卷））噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動力汽車 10
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（ ）．
A． B．
C． D．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：對數的運算
典型例題
例題1．（2024上·福建龍巖·高一校聯考期末）已知，則 ．
例題2．（2024上·江蘇鹽城·高一校考期末）計算下列各式的值：
(1)；
(2).
練透核心考點
1．（2024上·安徽蚌埠·高一統考期末）計算 ．
2．（2024上·廣西百色·高一統考期末）計算下列各式的值：
(1)
(2)
高頻考點二：換底公式
典型例題
例題1．（2024上·安徽安慶·高一統考期末）（ ）
A．2 B．1 C． D．0
例題2．（2024上·山東菏澤·高一校聯考期末）已知，則 .
練透核心考點
1．（2024上·陜西咸陽·高一統考期末）若，則的值約為（ ）
A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669
2．（2024上·廣東深圳·高一校考期末）計算： ．
高頻考點三：對數函數的概念
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一假期作業）下列函數，其中為對數函數的是（ ）
A． B． C． D．
練透核心考點
1．（2024·江蘇·高一假期作業）已知函數是對數函數，則 ．
高頻考點四：對數函數的定義域
典型例題
例題1．（2024下·河南·高一信陽高中校聯考開學考試）函數的定義域為（ ）
A．且 B． C． D．
例題2．（2024上·山東菏澤·高一校聯考期末）已知函數的定義域為，則實數的取值范圍是 .
練透核心考點
1．（2024上·江西景德鎮·高一統考期末）函數的定義域是 ．
2．（2024上·上海寶山·高一上海交大附中校考期末）已知函數的定義域為，則實數的取值范圍是 .
高頻考點五：對數函數的值域
角度1：求對數函數在區間上的值域
典型例題
例題1．（2023上·高一課時練習）函數的值域為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2023上·高一課時練習）已知函數的定義域為，則函數的值域是 ．
角度2：求對數型復合函數的值域
典型例題
1．（2024下·河南周口·高一周口恒大中學校考開學考試）函數的值域為 ．
2．（2024上·上海青浦·高一統考期末）函數的值域為 .
角度3：根據對數函數的值域求參數值或范圍
典型例題
例題1．（2024上·貴州畢節·高一統考期末）已知函數的定義域和值域都是，則 .
例題2．（2024上·江西上饒·高一婺源縣天佑中學校考階段練習）已知函數．若的值域是，則實數的取值范圍是 ．
練透核心考點
1．（2024·上海·高一假期作業）函數的值域是 ．
2．（2024上·湖南株洲·高一校考期末）若函數在上的最大值為2，則實數 ．
3．（2024·全國·高三專題練習）已知，設，則函數的值域為 ．
4．（2024上·河北唐山·高一統考期末）已知定義在上的函數為偶函數.當時，.
(1)求；
(2)求函數的解析式；
(3)若，求函數的值域.
5．（2024·全國·高一假期作業）已知函數且.
(1)當時，若，求的取值范圍；
(2)若的最大值為2，求在區間上的值域.
6．（2024·全國·高一專題練習）已知函數
(1)若的定義域為，求的取值范圍.
(2)若的值域為，求的取值范圍.
高頻考點六：對數函數的圖象
角度1：對數（型）函數與其它函數的圖象
典型例題
例題1．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高一統考期末）已知，則，且與，且的圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2023上·內蒙古赤峰·高一校考階段練習）已知函數的圖象如圖所示，則函數與在同一坐標系中的圖像是（ ）
A． B．
C． D．
角度2：根據對數（型）函數的圖象判斷參數
典型例題
例題1．（2022下·湖南·高一校聯考期末）已知函數（且，，為常數）的圖象如圖，則下列結論正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例題2．（2021·江蘇·高一專題練習）如圖是三個對數函數的圖象，則a、b、c的大小關系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
角度3：對數（型）函數圖象過定點問題
典型例題
例題1．（2024上·湖北武漢·高一校聯考期末）若角的終邊經過函數（且）的圖象上的定點，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024上·山東濱州·高一校考期末）函數且的圖象恒過定點，且點在直線上，，則的最小值為（ ）
A． B．10 C． D．8
練透核心考點
1．（2022上·江西上饒·高一統考期末）函數的圖像為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·山東濰坊·高三校考期中）已知指數函數，對數函數的圖象如圖所示，則下列關系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·全國·高三專題練習）函數（且）的圖象恒過定點，若且，，則的最小值為（ ）
A．9 B．8 C． D．
4．（多選）（2022上·遼寧·高一鳳城市第一中學校聯考階段練習）已知，，且，，則函數與函數在同一坐標系中的圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（多選）（2024上·湖南張家界·高一慈利縣第一中學期末）已知函數且的圖象過定點，正數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
6．（多選）（2021下·河北邢臺·高一統考開學考試）若，則下列選項可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
高頻考點七：對數函數的單調性
角度1：對數函數（型）函數的單調性
典型例題
例題1．（2024上·河北石家莊·高一石家莊外國語學校校考期末）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024上·廣東廣州·高一華南師大附中校考期末）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
角度2：由對數函數（型）函數的單調性求參數
典型例題
例題1．（2024上·河南商丘·高一睢縣回族高級中學校聯考期末）已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024上·陜西寶雞·高一統考期末）已知函數是上的單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
角度3：由對數函數（型）函數的單調性解不等式
典型例題
例題1．（2023上·北京海淀·高一統考期末）已知函數，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2023上·安徽·高一校聯考階段練習）已知函數，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
角度4：對數（指數）綜合比較大小
典型例題
例題1．（2024下·海南省直轄縣級單位·高三嘉積中學校考開學考試）若，則（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024·山西臨汾·統考一模）若，，，則（ ）
A． B． C． D．
練透核心考點
1．（2024上·河北石家莊·高一石家莊一中校考期末）已知，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·廣東深圳·高一深圳市高級中學校考期末）設，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學校考期末）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全國·高一專題練習）若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2024上·河北滄州·高一統考期末）函數的單調遞增區間是 ．
6．（2024上·廣西·高一校聯考期末）已知函數在上是增函數，則的取值范圍是 .
7．（2023上·廣東惠州·高一校考階段練習）已知函數
(1)求函數的定義域并用定義法判斷函數的奇偶性；
(2)求不等式的解集
高頻考點八：對數函數的最值
角度1：求對數（型）函數的最值
典型例題
例題1．（2024·全國·高一專題練習）已知函數（且，為常數）的圖象經過點，.
(1)求的值；
(2)設函數，求在上的值域.
例題2．（2024下·上海·高一開學考試）已知函數，.
（1）設集合，求集合A；
（2）當時，求的最大值和最小值.
角度2：根據對數（型）函數的最值求參數
典型例題
例題1．（2024上·江西撫州·高一統考期末）若函數且在區間上的最大值比最小值多2，則（ ）
A．4或 B．4或
C．2或 D．2或
2．（2024·全國·高一專題練習）已知函數（且）為奇函數.
(1)求函數的定義域及解析式；
(2)若，函數的最大值比最小值大2，求的值.
3．（2024下·河南·高一信陽高中校聯考開學考試）（1）已知，求的值；
（2）已知函數在區間上的最大值為2，求實數的值.
4．（2024上·江西景德鎮·高一統考期末）已知函數，（，且）．
(1)當時，求函數的單調區間；
(2)是否存在實數，使得函數在區間上取得最大值2？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
5．（2024上·河南商丘·高一統考期末）已知函數.
(1)求不等式的解集；
(2)若對于恒成立，求實數的取值范圍.
第四部分：典型易錯題型
備注：對數型復合函數容易忽略定義域
1．（2024上·湖北·高一校聯考期末）若函數在區間內單調遞增，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·全國·高一專題練習）函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是 .
備注：分段函數單調性容易忽視分段點的大小比較
1．（2024下·河北保定·高一河北安國中學校聯考開學考試）已知是上的單調函數，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024上·四川成都·高三樹德中學校考期末）已知函數，滿足對任意，都有成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·江蘇蘇州·高一校考期末）已知函數和的定義域分別為和，若對任意，恰好存在個不同的實數，，，，使得（其中，，，，），則稱為的“重覆蓋函數” .
(1)判斷是否為的“重覆蓋函數”，如果是，求出的值；如果不是，說明理由．
(2)若為的“2重覆蓋函數”，求實數的取值范圍.
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第06講 對數與對數函數
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 3
第三部分：高頻考點一遍過 5
高頻考點一：對數的運算 5
高頻考點二：換底公式 7
高頻考點三：對數函數的概念 8
高頻考點四：對數函數的定義域 9
高頻考點五：對數函數的值域 10
角度1：求對數函數在區間上的值域 10
角度2：求對數型復合函數的值域 11
角度3：根據對數函數的值域求參數值或范圍 11
高頻考點六：對數函數的圖象 15
角度1：對數（型）函數與其它函數的圖象 15
角度2：根據對數（型）函數的圖象判斷參數 17
角度3：對數（型）函數圖象過定點問題 18
高頻考點七：對數函數的單調性 22
角度1：對數函數（型）函數的單調性 22
角度2：由對數函數（型）函數的單調性求參數 23
角度3：由對數函數（型）函數的單調性解不等式 24
角度4：對數（指數）綜合比較大小 25
高頻考點八：對數函數的最值 29
角度1：求對數（型）函數的最值 29
角度2：根據對數（型）函數的最值求參數 31
角度3：對數（型）函數的最值與不等式綜合應用 32
第四部分：典型易錯題型 38
備注：對數型復合函數容易忽略定義域 38
備注：分段函數單調性容易忽視分段點的大小比較 39
第五部分：新定義題（解答題） 40
第一部分：基礎知識
1、對數的概念
（1）對數：一般地，如果，那么數 叫做以為底的對數，記作，其中叫做對數的底數，叫做真數.
（2）牢記兩個重要對數：常用對數，以10為底的對數；自然對數，以無理數e=2.71828…為底數的對數.
（3）對數式與指數式的互化：.
2、對數的性質、運算性質與換底公式
（1）對數的性質
根據對數的概念，知對數具有以下性質：
①負數和零沒有對數，即；
②1的對數等于0，即；
③底數的對數等于1，即；
④對數恒等式.
（2）對數的運算性質
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）對數的換底公式
對數的換底公式：.
換底公式將底數不同的對數轉化為底數相同的對數，進而進行化簡、計算或證明.換底公式應用時究竟換成什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對數或以為底的自然對數.
換底公式的變形及推廣：
①；
②；
③(其中，，均大于0且不等于1，).
3、對數函數及其性質
（1）對數函數的定義
形如(，且)的函數叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是．
（2）對數函數的圖象與性質
圖象
性質 定義域：
值域：
過點，即當時，
在上是單調增函數 在上是單調減函數
第二部分：高考真題回顧
1．（2022·全國·（新高考Ⅰ卷））設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】構造函數， 導數判斷其單調性，由此確定的大小.
【詳解】方法一：構造法
設，因為，
當時，，當時，
所以函數在單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設，則,
令，，
當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增，
又，
所以當時，，
所以當時，，函數單調遞增，
所以，即，所以
故選：C.
方法二：比較法
解： ， ， ，
① ，
令
則 ，
故 在 上單調遞減，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
則 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，所以
故
2．（多選）（2023·全國·（新高考Ⅰ卷））噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動力汽車 10
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據題意可知，結合對數運算逐項分析判斷.
【詳解】由題意可知：，
對于選項A：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，故A正確；
對于選項B：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，
當且僅當時，等號成立，故B錯誤；
對于選項C：因為，即，
可得，即，故C正確；
對于選項D：由選項A可知：，
且，則，
即，可得，且，所以，故D正確；
故選：ACD.
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：對數的運算
典型例題
例題1．（2024上·福建龍巖·高一校聯考期末）已知，則 ．
【答案】5
【分析】設，再用表達求解即可.
【詳解】設，則，，，
故.
故答案為：5
例題2．（2024上·江蘇鹽城·高一校考期末）計算下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指數冪的運算法則求解即可；
（2）根據對數的運算法則，代入計算，即可得到結果.
【詳解】（1）原式
（2）原式
練透核心考點
1．（2024上·安徽蚌埠·高一統考期末）計算 ．
【答案】/
【分析】利用對數的運算性質以及換底公式可求得所求代數式的值.
【詳解】原式.
故答案為：.
2．（2024上·廣西百色·高一統考期末）計算下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)15
(2)3
【分析】（1）利用指數運算法則計算即得.
（2）利用對數性質及運算法則計算即得.
【詳解】（1）原式.
（2）原式.
高頻考點二：換底公式
典型例題
例題1．（2024上·安徽安慶·高一統考期末）（ ）
A．2 B．1 C． D．0
【答案】C
【分析】利用換底公式和指對數運算公式即可.
【詳解】，
故選：C．
例題2．（2024上·山東菏澤·高一校聯考期末）已知，則 .
【答案】/
【分析】由對數式與指數式的互化可得出，再利用對數的運算性質以及換底公式可求得所求代數式的值.
【詳解】因為，則，
所以，
.
故答案為：.
練透核心考點
1．（2024上·陜西咸陽·高一統考期末）若，則的值約為（ ）
A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669
【答案】A
【分析】利用指對互化與換底公式即可得解.
【詳解】因為，
所以.
故選：A.
2．（2024上·廣東深圳·高一校考期末）計算： ．
【答案】5
【分析】根據對數的定義和運算分析求解.
【詳解】由題意可得：原式
.
故答案為：5.
高頻考點三：對數函數的概念
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一假期作業）下列函數，其中為對數函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用對數函數定義，逐項判斷作答.
【詳解】函數，的真數不是自變量，它們不是對數函數，AB不是；
函數是對數函數，C是；
函數的底數含有參數，而的值不能保證是不等于1的正數，D不是.
故選：C
練透核心考點
1．（2024·江蘇·高一假期作業）已知函數是對數函數，則 ．
【答案】1
【分析】根據對數函數的定義即可得到答案.
【詳解】因為函數是對數函數，
則，解得．
故答案為：1.
高頻考點四：對數函數的定義域
典型例題
例題1．（2024下·河南·高一信陽高中校聯考開學考試）函數的定義域為（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】C
【分析】可直接求出函數的定義域進行判斷.
【詳解】由題得，解得，即函數的定義域為.
故選：
例題2．（2024上·山東菏澤·高一校聯考期末）已知函數的定義域為，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由已知可得對任意的，，可得出，即可解得實數的取值范圍.
【詳解】由題意可知，對任意的，，則，解得.
所以，實數的取值范圍是.
故答案為：.
練透核心考點
1．（2024上·江西景德鎮·高一統考期末）函數的定義域是 ．
【答案】
【分析】結合對數函數定義域解不等式即可求解.
【詳解】由題意結合對數函數定義域可知，解不等式得，
因此函數的定義域是.
故答案為：.
2．（2024上·上海寶山·高一上海交大附中校考期末）已知函數的定義域為，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據題意，將問題轉化為恒成立求參數，再結合二次函數性質即求解.
【詳解】因為函數的定義域為，
所以在上恒成立，
則當時，滿足題意；
當時，，解得.
綜上所述，，即.
故答案為：.
高頻考點五：對數函數的值域
角度1：求對數函數在區間上的值域
典型例題
例題1．（2023上·高一課時練習）函數的值域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據對數函數的性質，先求函數的范圍，再求函數的值域.
【詳解】由知，，值域是．
故選：C
例題2．（2023上·高一課時練習）已知函數的定義域為，則函數的值域是 ．
【答案】
【分析】由對數函數的單調性，根據定義域求出函數的值域.
【詳解】∵，∴，即，
即，則函數的值域為.
故答案為：
角度2：求對數型復合函數的值域
典型例題
1．（2024下·河南周口·高一周口恒大中學校考開學考試）函數的值域為 ．
【答案】
【分析】求出的取值范圍，利用對數函數的基本性質可求得函數的值域.
【詳解】因為，所以，，
因此，，故函數的值域為.
故答案為：.
2．（2024上·上海青浦·高一統考期末）函數的值域為 .
【答案】
【分析】由題意利用對數的的運算法則、對數函數的定義域、值域并通過換元法即可得解.
【詳解】由題意函數的定義域為，而，
不妨設，所以，
所以函數的值域為.
故答案為：.
角度3：根據對數函數的值域求參數值或范圍
典型例題
例題1．（2024上·貴州畢節·高一統考期末）已知函數的定義域和值域都是，則 .
【答案】或
【分析】分類討論的取值范圍，得到函數的單調性，代入數據即可求解.
【詳解】當時，易知函數單調遞減，由定義域和值域都是，
所以解得所以.
當時，易知函數單調遞增，由定義域和值域都是，
所以解得所以.
故答案為：或.
例題2．（2024上·江西上饒·高一婺源縣天佑中學校考階段練習）已知函數．若的值域是，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】復合函數求值域，先求真數范圍大于零，再求二次函數大于零，求出即可.
【詳解】因為函數的值域是，則為二次函數值域的子集．
當時，內層函數為，不合題意；
當時，則有，解得．
綜上所述，實數的取值范圍是．
故答案為：
練透核心考點
1．（2024·上海·高一假期作業）函數的值域是 ．
【答案】
【分析】先確定的定義域，再由復合函數的單調性確定出的單調性，則的值域可求.
【詳解】由題意得，即，所以的定義域為，
因為對稱軸為，且開口向下，且在定義域內單調遞增，
由復合函數的單調性可知：在上單調遞增，在上單調遞減，
當（或）時，，當時，，
所以，
故答案為：．
2．（2024上·湖南株洲·高一校考期末）若函數在上的最大值為2，則實數 ．
【答案】
【分析】由題意易知，分類討論，時，根據復合函數的單調性建立方程，解之即可求解.
【詳解】令，因為時，，所以；
若，則在上為減函數，所以，此時a無解；
若．則在上為增函數，所以，此時
故．
故答案為：
3．（2024·全國·高三專題練習）已知，設，則函數的值域為 ．
【答案】
【分析】確定函數的定義域，化簡可得的表達式，換元令，可得，結合二次函數的性質即得答案.
【詳解】由題意得，則，即的定義域為，
故，
令，則，
函數在上單調遞增，故，
故函數的值域為，
故答案為：
4．（2024上·河北唐山·高一統考期末）已知定義在上的函數為偶函數.當時，.
(1)求；
(2)求函數的解析式；
(3)若，求函數的值域.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出，由奇偶性得到；
（2）根據函數的奇偶性得到時的函數解析式，進而得到答案；
（3）分兩種情況，根據函數的單調性求出函數在時的值域.
【詳解】（1），
因為為上的偶函數，所以；
（2）當時，，
故，
又為上的偶函數，故，
所以，
所以；
（3）當時，由復合函數單調性可知單調遞減，因為，
故，
由函數為偶函數可知，當時，單調遞增，，
則，
綜上，的值域為
5．（2024·全國·高一假期作業）已知函數且.
(1)當時，若，求的取值范圍；
(2)若的最大值為2，求在區間上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）結合對數函數的定義域及單調性即可得；
（2）先結合題意計算出，再根據對數函數的單調性即可得.
【詳解】（1）當時，是上的減函數，
因為，所以，解得．
（2）因為，且有最大值2，
所以，且，解得，
因為是上的減函數，
所以，，
所以在區間上的值域為．
6．（2024·全國·高一專題練習）已知函數
(1)若的定義域為，求的取值范圍.
(2)若的值域為，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根據對數函數的性質，轉化為恒成立，列出不等式組，即可求解；
（2）設，根據題意轉化為，分類討論，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數，
要使得的定義域為，即恒成立，
則滿足，解得，所以實數的取值范圍為.
（2）解：設，要使得的值域為，即，
當時，的值域為，此時，
所以函數的值域為，符合題意.
當時，要使得，則滿足，解得，
綜上可得，實數的取值范圍為.
高頻考點六：對數函數的圖象
角度1：對數（型）函數與其它函數的圖象
典型例題
例題1．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高一統考期末）已知，則，且與，且的圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用對數運算得到，再結合指數函數與對數函數的性質即可判斷選項.
【詳解】因為，
所以，，
若，則，排除C，
若，則，排除AB.
故選：D
例題2．（2023上·內蒙古赤峰·高一校考階段練習）已知函數的圖象如圖所示，則函數與在同一坐標系中的圖像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據冪函數的圖象易得，結合指對數函數性質判斷函數圖象.
【詳解】由冪函數圖象知：，
所以與在各自定義域內都遞減，顯然只有D滿足.
故選：D
角度2：根據對數（型）函數的圖象判斷參數
典型例題
例題1．（2022下·湖南·高一校聯考期末）已知函數（且，，為常數）的圖象如圖，則下列結論正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根據函數圖象及對數函數的性質可求解.
【詳解】因為函數為減函數，所以
又因為函數圖象與軸的交點在正半軸，所以，即
又因為函數圖象與軸有交點，所以，所以，
故選：D
例題2．（2021·江蘇·高一專題練習）如圖是三個對數函數的圖象，則a、b、c的大小關系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【答案】D
【分析】根據對數函數的圖象與單調性確定大小．
【詳解】y＝logax的圖象在（0，＋∞）上是上升的，所以底數a＞1，函數y＝logbx，y＝logcx的圖象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.
故選：D．
角度3：對數（型）函數圖象過定點問題
典型例題
例題1．（2024上·湖北武漢·高一校聯考期末）若角的終邊經過函數（且）的圖象上的定點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先得，進一步結合三角函數定義即可求解.
【詳解】由題意令，得，而此時，
所以，角的終邊經過定點，
所以，
所以.
故選：C.
例題2．（2024上·山東濱州·高一校考期末）函數且的圖象恒過定點，且點在直線上，，則的最小值為（ ）
A． B．10 C． D．8
【答案】B
【分析】先得出，再由基本不等式得出答案.
【詳解】當時，，即函數的圖象恒過定點，
因為在直線上，所以，
當且僅當時，取等號，即的最小值為10.
故選：B
練透核心考點
1．（2022上·江西上饒·高一統考期末）函數的圖像為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】以函數的定義域、奇偶性去排除錯誤選項即可.
【詳解】函數的定義域為，可以排除選項B、C；
由，
可知函數為偶函數，其圖像應關于y軸軸對稱，可以排除選項D.
故選：A
2．（2023上·山東濰坊·高三校考期中）已知指數函數，對數函數的圖象如圖所示，則下列關系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，由指數函數以及對數函數的單調性即可得到的范圍，從而得到結果.
【詳解】由圖象可得，指數函數為減函數，
對數函數為增函數，
所以，
即.
故選：B
3．（2024·全國·高三專題練習）函數（且）的圖象恒過定點，若且，，則的最小值為（ ）
A．9 B．8 C． D．
【答案】B
【分析】先求出函數過定點的坐標，再利用基本不等式求最值.
【詳解】函數（且）的圖象恒過定點,所以，
,
,當且僅當，即等號成立
故選：B.
4．（多選）（2022上·遼寧·高一鳳城市第一中學校聯考階段練習）已知，，且，，則函數與函數在同一坐標系中的圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】結合指數函數、對數函數的圖像按和分類討論．
【詳解】由，，且，，
所以過點，
而過點；
選項A，B：由圖可知單調遞增，則此時，
所以有，故在單調遞增，
故A選項錯誤，選項B正確；
選項C，D：由圖可知單調遞減，則此時，
所以有，故在單調遞減，
故C選項不正確，選項D正確；
故選：BD.
5．（多選）（2024上·湖南張家界·高一慈利縣第一中學期末）已知函數且的圖象過定點，正數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】求出函數所過定點的坐標，可得出，可判斷A；利用不等式可判斷B；利用基本不等式可判斷C；利用“1”的妙用，結合基本不等式可判斷D.
【詳解】在函數的解析式中，令可得，且，
則函數的圖象過定點，，所以，故A錯誤；
由不等式，可得，故，當且僅當時取等號，故B正確；
由基本不等式可得，，當且僅當時取等號，故C錯誤；
，當且僅當，即時取等號，故D正確.
故選：BD.
6．（多選）（2021下·河北邢臺·高一統考開學考試）若，則下列選項可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】在同一直角坐標系中，作出y=lnx，y=lgx的圖像，數形結合能求出結果．
【詳解】在同一直角坐標系中，作出，的圖像．
由圖可知，當時，有，故A正確；當時，顯然有，故B正確；當時，顯然有，故C錯誤，D正確．
故選：ABD.
高頻考點七：對數函數的單調性
角度1：對數函數（型）函數的單調性
典型例題
例題1．（2024上·河北石家莊·高一石家莊外國語學校校考期末）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出函數的定義域，利用復合函數的單調性求解即可．
【詳解】函數的定義域為：，
函數在定義域內是增函數，
函數，圖像拋物線開口向上，對稱軸是軸，時，是增函數，
由復合函數的單調性可知函數的單調遞增區間為．
故選：C．
例題2．（2024上·廣東廣州·高一華南師大附中校考期末）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，利用二次函數與對數函數的性質，結合復合函數的單調性的判定方法，即可求解.
【詳解】由不等式，即，解得或，
又由函數在單調遞減，在單調遞增，
因為在定義域上為單調遞增函數，
結合復合函數單調性的判定方法，可得函數的單調遞增區間為.
故選：D.
角度2：由對數函數（型）函數的單調性求參數
典型例題
例題1．（2024上·河南商丘·高一睢縣回族高級中學校聯考期末）已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據對數函數的性質求解．
【詳解】由題意，解得．
故選：C．
例題2．（2024上·陜西寶雞·高一統考期末）已知函數是上的單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分段函數在上單調遞減，需滿足每一段上均單調遞減，且分段處左端點值大于等于右端點值，從而得到不等式，求出答案.
【詳解】時，，要想單調遞減，需，
要想在上單調遞減，需，
解得.
故選：A
角度3：由對數函數（型）函數的單調性解不等式
典型例題
例題1．（2023上·北京海淀·高一統考期末）已知函數，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出的定義域，然后分析的單調性，再根據求解出不等式解集.
【詳解】的定義域為，
因為均在上單調遞增，
所以在上單調遞增，
又因為，所以，
所以不等式解集為，
故選：B.
例題2．（2023上·安徽·高一校聯考階段練習）已知函數，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解法1：根據題意，利用對數的運算性質，把不等式化簡為，令，結合一元二次不等式的解法，即可求解；
解法2：根據題意，得到，設，得到為偶函數，求得關于對稱，且在上單調遞增，把不等式轉化為，即可求解.
【詳解】解法1：由函數，
則不等式，即為，
可得，即，
令，則，即，
解得，即，解得，
所以不等式的解集為.
解法2：由函數，
可得，
設，則，
所以函數為偶函數，即為偶函數，
可得關于對稱，且在上單調遞增，
所以不等式，即為，
可得，即，解得，
所以不等式的解集為.
故選：C.
角度4：對數（指數）綜合比較大小
典型例題
例題1．（2024下·海南省直轄縣級單位·高三嘉積中學校考開學考試）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】計算得到，，得到大小關系.
【詳解】，.
故.
故選：A
例題2．（2024·山西臨汾·統考一模）若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據指數函數、對數函數以及冪函數單調性結合中間變量比大小即可.
【詳解】易知，，
因為，則，故得，顯然B正確.
故選：B
練透核心考點
1．（2024上·河北石家莊·高一石家莊一中校考期末）已知，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據條件得到，，即可判斷出，再利用不等式的性質及對數的單調性，即可判斷出，從而得出結果.
【詳解】因為，，所以，
又因為，所以，得到，即，所以，
故選：A.
2．（2024上·廣東深圳·高一深圳市高級中學校考期末）設，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知結合對數函數的單調性即可比較大小．
【詳解】因為，
所以，即，
所以，
因為，
所以，即，
所以，
同時，
所以，
而，
所以．
故選：D．
3．（2024上·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學校考期末）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由對數函數的單調性結合復合函數的同增異減即可得答案.
【詳解】由題意得，解得，
開口向下，對稱軸為，
所以在上遞增，在上遞減；
因為是定義域上的遞增函數，
利用復合函數的同增異減可得的單調遞增區間為，
故選：B.
4．（2024·全國·高一專題練習）若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令，則在上單調遞增且恒大于，從而得到，解得即可.
【詳解】因為函數在上單調遞減，
令，
則在上單調遞增且恒大于，
則，解得，
所以實數的取值范圍是.
故選：C
5．（2024上·河北滄州·高一統考期末）函數的單調遞增區間是 ．
【答案】
【分析】結合函數定義域，利用復合函數的單調性求函數的單調遞增區間.
【詳解】函數，由，解得，
所以函數的定義域為，
設函數，則函數的圖象是開口向下且以為對稱軸的拋物線，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
函數在定義域內單調遞減，
由復合函數的單調性可知的單調遞增區間為（寫成也正確）．
故答案為：
6．（2024上·廣西·高一校聯考期末）已知函數在上是增函數，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由復合函數的單調性和對數函數定義域，求的取值范圍.
【詳解】當時，在上是增函數；
當時，由函數在定義域內單調遞增，
則函數在上單調遞增且大于0恒成立，
有解得.
綜上，的取值范圍是.
故答案為：
7．（2023上·廣東惠州·高一校考階段練習）已知函數
(1)求函數的定義域并用定義法判斷函數的奇偶性；
(2)求不等式的解集
【答案】(1)定義域為，奇函數
(2)
【分析】（1）根據對數的真數大于零求函數的函數的定義域即可，再根據函數奇偶性的定義判斷處的關系即可判斷處函數的奇偶性；
（2）根據對數函數的單調性解不等式即可.
【詳解】（1）由，
得，解得，
所以函數的定義域為，關于原點對稱，
因為，
所以為奇函數；
（2），
由，
得，解得，
所以不等式的解集為.
高頻考點八：對數函數的最值
角度1：求對數（型）函數的最值
典型例題
例題1．（2024·全國·高一專題練習）已知函數（且，為常數）的圖象經過點，.
(1)求的值；
(2)設函數，求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系數法即可得解；
（2）利用對數函數的單調性與單調性的加減性質即可得解.
【詳解】（1）因為的圖象經過點，，
所以，兩式相減得，
又且，解得或（舍去），則.
（2）由（1）得，
因為函數在上單調遞增，函數在上單調遞增，
所以在上單調遞增，
則，
，
故在上的值域為.
例題2．（2024下·上海·高一開學考試）已知函數，.
（1）設集合，求集合A；
（2）當時，求的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為.
【解析】（1）由可得，利用指數函數的單調性求解指數不等式即可求得集合；
（2）把變形，再由的范圍求得的范圍，結合二次函數的性質可得答案．
【詳解】（1）由，
得，
即，則，
求得．
，；
（2）
．
，，，
當時，，
當時，．
故的最大值為，最小值為．
【點睛】關鍵點點睛：解答（1）的關鍵是求出，解答（2）的關鍵是先求出，再利用配方法求解.
角度2：根據對數（型）函數的最值求參數
典型例題
例題1．（2024上·江西撫州·高一統考期末）若函數且在區間上的最大值比最小值多2，則（ ）
A．4或 B．4或
C．2或 D．2或
【答案】A
【分析】對參數的取值分類討論，根據對數函數單調性，求得最值，結合題意，即可求得參數值.
【詳解】由題意解得或（舍去），
①當時，函數在定義域內為增函數，
則由題意得，
所以即，解得或（舍去）；
②當時，函數在定義域內為減函數，
則由題意得，
所以即，解得；
綜上可得：或．
故選：A.
例題2．（2024·全國·高三專題練習）若函數有最小值，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】分和兩種情況討論，根據外層函數的單調性、內層函數的最值以及真數恒大于零可得出關于實數的不等式組，由此可解出實數的取值范圍.
【詳解】當時，外層函數為減函數，對于內層函數，，則對任意的實數恒成立，
由于二次函數有最小值，此時函數沒有最小值；
當時，外層函數為增函數，對于內層函數，
函數有最小值，若使得函數有最小值，
則，解得.
綜上所述，實數的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】本題考查實數的取值范圍的求法，考查對數函數的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．
角度3：對數（型）函數的最值與不等式綜合應用
典型例題
例題1．（2024上·黑龍江佳木斯·高一校聯考期末）已知函數．
(1)判斷并證明函數的奇偶性；
(2)當時，恒成立．求實數的取值范圍．
【答案】(1)奇函數，證明見解析
(2)
【分析】（1）根據對數函數的真數大于0，求出函數的定義域,然后利用函數的奇偶性的定義進行判斷即可.
（2）該題參數已經分離，所以只需要利用對數函數的性質求出取值范圍，從而可求出的取值范圍，由于不等式左側的最小值取不到，則可以取該值.
【詳解】（1）由函數，得，
即，解得或，
所以函數的定義域為，關于原點對稱．
又，
，
所以是奇函數；
（2）恒成立，則，
即在恒成立，
令，
因為在上單調遞增，
當時，，
所以時，，
則實數的取值范圍是．
例題2．（2024上·浙江嘉興·高一統考期末）已知函數．
(1)求函數的定義域，并根據定義證明函數是增函數；
(2)若對任意，關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)定義域為，證明見解析
(2)
【分析】（1）由對數的真數大于零，可得出關于的不等式組，即可解得函數的定義域，然后利用函數單調性的定義可證得結論成立；
（2）分析可知，，由可得出，結合參變量分離法可得出，利用指數函數的單調性可求得實數的取值范圍.
【詳解】（1）解：對于函數，則，可得，
所以，函數的定義域為，
證明單調性：設，
則有，
，
由于，所以，，，
并且
，則，
于是，
所以，即：，
所以函數在定義域上單調遞增．
（2）解：當時，，
所以不等式恒成立等價于對任意的恒成立，
等價于在恒成立．
由可得，所以，，
則，
于是實數的取值范圍是．
練透核心考點
1．（2024上·廣東清遠·高一統考期末）已知冪函數在上是增函數.
(1)求的解析式；
(2)設函數，求在上的最小值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根據冪函數的定義以及單調性求得，進而求得.
（2）根據復合函數的單調性求得在上的最小值.
【詳解】（1）因為是冪函數，
所以，
解得或.
又在上是增函數，則，即，
所以，則.
（2）由（1）得，所以.
令，當時，單調遞減.
又函數在其定義域內單調遞增，
由復合函數的單調性可得在上單調遞減，
所以.
2．（2024·全國·高一專題練習）已知函數（且）為奇函數.
(1)求函數的定義域及解析式；
(2)若，函數的最大值比最小值大2，求的值.
【答案】(1)定義域為，
(2)或
【分析】（1）根據對數函數的定義域、函數的奇偶性
（2）對進行分類討論，結合函數的單調性以及最值求得.
【詳解】（1）要使函數有意義，則，可得：，
因為為奇函數，所以，即，所以的定義域為，
由可得：，所以，
此時，是奇函數，符合題意.
（2），
①當時，函數單調遞減，
所以，
，
所以，
解得.
②當時，函數單調遞增，
所以，，
所以，
解得.
綜上，或.
3．（2024下·河南·高一信陽高中校聯考開學考試）（1）已知，求的值；
（2）已知函數在區間上的最大值為2，求實數的值.
【答案】（1） ；（2）或
【分析】（1）根據完全平方公式和立方和公式，分別求出分子、分母的值，再求出分式的值.
（2）結合函數的單調性，求函數在給定區間上的最大值，從而確定參數的取值.
【詳解】（1）因為，
所以，
所以，
所以.
所以.
（2）函數在區間上的最大值為2，
由復合函數的單調性可知函數在區間上單調遞增，
所以函數在區間上的最大值為中較大的數.
若，則，解得或，
又且，即，所以，符合題意；
若，則，又，
所以，解得，符合題意.
綜上，實數的值為或
4．（2024上·江西景德鎮·高一統考期末）已知函數，（，且）．
(1)當時，求函數的單調區間；
(2)是否存在實數，使得函數在區間上取得最大值2？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)單調遞增區間為，單調遞減區間為；
(2)存在，或
【分析】（1）根據對數型復合函數的單調性即可求解；
（2）先令，并求值域，再分別對進行分類求的最大值，進而求的值.
【詳解】（1）由題意可得，即函數的定義域為.
當時，，
令，則，易知函數在上單調遞增.
函數圖象的對稱軸為直線，
當，函數在上遞增，在上遞減．
所以，由復合函數的單調性可得函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
（2），（，且）.
令，由，得，
則的值域為.
（ⅰ）時，在上單調遞減，
所以函數在上的最大值為，
則，，滿足題意.
（ⅱ）時，在上單調遞增，
所以函數在區間上的最大值為，
則，滿足題意．
綜上所述：的值為或.
5．（2024上·河南商丘·高一統考期末）已知函數.
(1)求不等式的解集；
(2)若對于恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據對數函數的單調性轉化為指數不等式，換元后由一元二次不等式求解；
（2）分離參數后，求的最小值，對數的真數換元后求出取值范圍，即可由對數函數單調性求對數函數值域，即可得解.
【詳解】（1）由題意可知，即.
令，則有，解得，所以，即.
所以不等式的解集為.
所以在上單調遞增等價于在上單調遞減且恒成立，
即，解得.
故答案為：
備注：分段函數單調性容易忽視分段點的大小比較
1．（2024下·河北保定·高一河北安國中學校聯考開學考試）已知是上的單調函數，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函數的單調性，分類討論求參數范圍即可.
【詳解】若在上單調遞增，則，解得．
若在上單調遞減，則,解得．
故的取值范圍是．
故選：B
2．（2024上·四川成都·高三樹德中學校考期末）已知函數，滿足對任意，都有成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，可得函數在R上單調遞增，再利用分段函數及對數函數單調性列出不等式求解即得.
【詳解】函數的定義域為R，
由對任意，都有，得函數在R上單調遞增，
于是，解得，
所以實數的取值范圍為.
故選：C
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·江蘇蘇州·高一校考期末）已知函數和的定義域分別為和，若對任意，恰好存在個不同的實數，，，，使得（其中，，，，），則稱為的“重覆蓋函數” .
(1)判斷是否為的“重覆蓋函數”，如果是，求出的值；如果不是，說明理由．
(2)若為的“2重覆蓋函數”，求實數的取值范圍.
【答案】(1)是，
(2)
【分析】（1）根據定義，結合單調性即可求解；
（2）先求出的值域，然后將問題轉化為的圖象與直線有兩個交點的問題，然后對a進行分類討論可得；
【詳解】（1）由定義可得，對任意，恰好存在個不同的實數，
使得（其中），
即，
由，
故當時，，此時不存在使成立，
當時，，且在上單調遞增，
故對于任意，都有唯一一個，使得，
綜上所述，對于任意，都有唯一一個，使得，
是的“重覆蓋函數”，且；
（2）由可得，故，
，
即，存在2個不同的實數，使得，其中，
由時，，故，即，
故，故對任意，，
，
即對任意，都有2個實根，
當時，，且在上遞增，
故時，都有唯一確定的實根，
故當時，亦有且有一個實根，
當時，，且在上單調遞減，符合題意，
當時， 為開口向下的拋物線，不符合要求，故舍去。
當時，則需對稱軸，且，
即，且，即，
綜上，實數的取值范圍是.
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