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指數(或指數函數）問題的類型及解法
指數是在初中整數指數的基礎上，引入分數指數和無理數指數的概念之后，將指數擴充為實數指數。指數函數是指形如y=(a＞0,且a≠1)的函數，它是在初中一元一次函數，正比例函數，反比例函數，一元二次函數的基礎上接觸的第一種函數。指數(或指數函數）問題也是近幾年考試的熱點內容之一，縱觀近幾年各種考試的考試試卷，歸結起來指數（或指數函數）問題主要包括：①指數的運算；②指數函數概念及運用；③指數函數圖像及運用；④指數函數性質及運用；⑤指數函數的綜合問題；⑥指數方程（或不等式）的解法等幾種類型。各種類型問題結構上具有某些特征，解答方法也有一定的規律可尋。那么在實際解答指數和指數函數問題時，到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確地給予解答呢？下面通過近幾年各種考試試卷中有關指數(或指數函數）問題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、式子（m>0）的計算結果為（ ）（高2023級全國高一專題練習）
A B C D m
2、化簡的結果為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 5 B C - D -5
3、若有意義，則x的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A x R B x 0.5 C x＞0.5 D x＜0.5
4、下列根式與分數指數冪的互化正確的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A -= B = - C = D =（x＜0）
5、已知a＞0,且a≠1，對于0 r 8，r∈，式子.能化成關于a的整數指數冪的情形有（ ）種（成都市高2023級高一單元測試）
A 1 B 2 C 3 D 4
6、計算（2）（-3b）（4）得（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A - B C - D
下列等式中，錯誤的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 0.3=10 B （-）（+）=-
C =-1 D =
（多選）下列各式中正確的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A = B = C = - D =25
9、計算2= ；（成都市高2023級高一單元測試）
10、已知=3，則a+= ，= ；（成都市高2023級高一單元測試）
11、計算下列各式（式中的字母都是正數） （成都市高2023級高一單元測試）
（1）； （2）；
（3）.； （4）；
（5）； （6）。
12、化簡下列各式：（成都市高2023級高一單元測試）
（1）； （2）
（3）。
13、化簡或求值：（成都市高2023級高一單元測試）
（1）++； （2）++。
『思考問題1』
（1）【典例1】是n次根式，分數指數互化和實數指數冪運算的問題，解答這類問題需要理解n次根式，分數指數，無理數指數和實數指數冪的定義，掌握實數指數冪運算法則和基本方法，分數指數與n次根式之間的互化是解答問題的關鍵；
（2）在根式和分數指數的運算（或化簡）問題中，解答的基本方法是：①把根式化為分數指數；②運用實數指數運算法則和基本方法進行運算；③將運算結果進行化簡。
〔練習1〕解答下列各題：
將化成分數指數冪的形式是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A B C D
2、下列運算中正確的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A =2- B a= C = D =
3、（多選）已知a>b，ab≠ 0，下列不等式恒成立的有（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A > B < C > D <
4、若=2，=3，則= 。（成都市高2023級高一單元測試）
5、若a＞1，b＜0，且+ =2，則- 的值等于 。（成都市高2023級高一單元測試）
6、已知函數f(x)= +（a＞0,且a≠1），f(1)=3，則f(0)+f(1)+f(2)的值為 。（成都市高2023級高一單元測試）
7、若x＞0，則（2+）（2-）-4（x-）= 。（成都市高2023級高一單元測試）
8、計算下列各式：（成都市高2023級高一單元測試）
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）（a＞0,b＞0）；
（6）.； （7）++-。
9、化簡下列各式：（成都市高2023級高一單元測試）
（1）-+-2+；
（2）。
10、若=3，求的值。（成都市高2023級高一單元測試）
11、已知-=，求下列各式的值：（成都市高2023級高一單元測試）
（1）a+； （2）； （3）-。
【典例2】解答下列問題：
1、下列函數：①y=2；②y=；③y=；④y=；⑤y=。其中指數函數的個數是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 1 B 2 C 3 D 4
2、若指數函數f(x)=(a＞0,且a≠1)的圖像經過點（-1，3），則a=（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 3 B C 2 D
3、函數y=f(x)的圖像與函數y=的圖像關于直線x=1對稱，則f(x)=（）（成都市高2023級高一單元測試）
A B C D
4、對任意的，R，恒有f().f()=f(+)成立，且f(1)=，則f(6)=（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 2 B 4 C D 8
5、若函數f(x)=（-m-1）是指數函數，則實數m的值為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 2 B 1 C 3 D -1或 2
6、若指數函數f(x)的圖像經過點（2，4），則f(3)= 。（成都市高2023級高一單元測試）
7、若函數y= 是指數函數，則實數a的取值范圍為 。（成都市高2023級高一單元測試）
8、求下列函數的定義域與值域：（成都市高2023級高一單元測試）
（1）f(x)= ； （2）f(x)= ；
（3）f(x)= + +1； （4）f(x)= (a＞0,且a≠1)。
『思考問題2』
（1）【典例2】是與指數函數定義及運用的問題，解答這類問題需要理解指數函數的定義，注意指數函數的結構特征；
（2）指數函數的結構特征是：①解析式是y=；②底數a是常數，滿足a＞0,且a≠1；③指數是自變量x。
〔練習2〕解答下列各題：
若函數f(x)= (a＞0,且a≠1)的圖像經過點P（2，），則f(-1)等于（）
A B C D 4
2、已知函數f(x)=在R上是減函數，則a的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （-∞，-1）（1，+∞） B （-2，2） C （-∞，） D （-，-1）（1，）
3、下列函數式中，滿足f(x+1)=f(x) 的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （x+1） B x+ C D
4、已知指數函數f(x)= (a＞0,且a≠1)的圖像經過點（3，），求f(0)，f(1)，f(-3)的值；（成都市高2023級高一單元測試）
5、若函數y= 是指數函數，則實數a的取值范圍為 ；（成都市高2023級高一單元測試）
6、求下列函數的定義域與值域：（成都市高2023級高一單元測試）
（1）f(x)= ； （2）f(x)= ；
（3）f(x)= -+1； （4）f(x)= (a＞0,且a≠1)。
【典例3】解答下列問題：
1、若函數y=f(x)的圖像與函數y=的圖像 關于y軸對稱，則f（3）=（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 8 B 4 C D
2、已知0A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
3、如右圖是指數函數①y=，②y=，③y=， (1) AB (2) y (3) C(4)
④y=的圖像，則a、b、c、d的大小關系是（ ） D
（成都市高2023級高一單元測試）
A a＜b＜1＜c＜d B b＜a＜1＜d＜c C 1＜a＜b＜c＜d D a＜b＜1＜d＜c
4、若函數y=+（b-1）(a＞0,且a≠1)的圖像不經過第二象限，則有（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A a＞1且b＜1 B 0＜a＜1且b1 C 0＜a＜1且b＞0 D a＞1且b0
5、函數y=-a (a＞0,且a≠1)的圖像可能是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
y y y y
1 1 1 1
0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x
A B C D
6、函數f(x)= 的圖像如圖所示，其中a，b為常數， y
則下列結論正確的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試） 1
A a＞1，b＜0 B a＞1，b＞0
C 0＜a＜1，b＞0 D 0＜a＜1， b＜0 0 x
7、設f(x)=|-1|，c＜b＜a,且f(c)＞f(a)＞f(b),則下列關系中一定成立的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A ＞ B ＞ C + ＞2 D + ＜2
8、（多選）下列結論正確的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 對于xR，恒有> B 函數f(x)=是減函數
C 對a>1，xR，一定有> D 函數f(x)=是偶函數
『思考問題3』
（1）【典例3】是指數函數圖像及運用的問題，解答這類問題需要掌握指數函數圖像的作法，注意指數函數底數的不同取值對圖像的影響；
（2）比較兩個指數冪大小時，應盡量化為同底數（或同指數），①底數相同，可運用指數函數的單調性解答問題；②指數相同，可轉化為底數相同（或借助函數圖像）解答問題；③底數不同，指數也不同，解答問題時需要借助一個中間量；
（3）指數函數的底數a＞0,且a≠1是一個隱含條件，指數函數的單調性與底數的取值相關，實際解答問題時，應該根據問題的條件確定底數的取值范圍（不能確定時，應分兩種不同情況分別考慮），然后依據指數函數的圖像和性質解答問題；
（4）已知函數解析式判斷其圖像的基本方法是：①取函數的特殊點（一般是三個關鍵點中的某一點）；②看函數的圖像是否經過所取的點；③得出指數函數的圖像。
〔練習3〕解答下列問題：
定義運算ab=a，a≤b，則函數f(x)=1的圖像正確的是（ ）（成都市高2023級高
b，a>b，一單元測試）
2、若a>1，則函數f(x)=與g(x)=-x+a的圖像大致是（ ）（成都市高2023級高一單元
測試）
3、已知實數a，b滿足等式=，下列五個關系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b。其中不可能成立的關系式有（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 1個 B 2個 C 3個 D 4個
4、已知函數f(x)= | -1|，a＜b＜c且f(a) ＞f(c) ＞f(b)，則下列結論中一定成立的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A a＜0，b＜0，c＜0 B a＜0，b 0，c＞0 C ＜ D +＜2
5、已知函數f(x)= +2的圖像恒過定點A，則A的坐標為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （0，1） B （2，3） C （3，2） D （2，2）
6、當x＞0時，函數f(x)= 的值總大于1，則實數a的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 1＜|a|＜2 B |a|＜1 C |a|＞ D |a|＜
7、（多選）已知實數a，b滿足等式=，下列結論正確的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 08、若曲線|y|=+1與直線y=b沒有公共點，則b的取值范圍是 。（成都市高2023級高一單元測試）
【典例4】解答下列問題：
函數f(x)=（a＞0,且a≠1）過定點A，則點A的坐標為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （0，1） B （1，2） C （-1，0.5） D （1，1）
函數f(x)=-1，使f(x)≤0成立的x的值的集合是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A {x|x=0} B {x|x<1} C {x|x<0} D {x|x=1}
函數y=在［0，1］上的最大值與最小值的和為3，則函數y=2ax-1在［0，1］上的最大值是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 6 B 1 C 3 D
若0＜x＜1，則，，之間的大小關系是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A＜＜ B＜＜ C＜＜ D＜＜
函數f(x)= -bx+c滿足f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，則f()與f()的大小關系是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A f()≤f() B f()≥f() C f()＞f() D大小關系隨x的不同而不同
設a=，b=，c=，則a，b，c的大小關系是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A a＜b＜c B b＜a＜c C c＜b＜a D b＜c＜a
（多選）已知指數函數f(x)=（a＞0,且a≠1），則下列等式成立的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A f(x+y)=f(x).f(y) B f(x-y)=
C f(nx) =（nQ） D =.（nN）
如果＞(a＞0,且a≠1)，則x的取值范圍是 。（成都市高2023級高一單元測試）
比較下列各題中兩個值的大小：（成都市高2023級高一單元測試）
（1）； （2）； （3）； （4），。
函數y=-+1在區間［-3，2］上的值域是 。（成都市高2023級高一單元測試）
求函數f(x)= 的定義域，單調區間及值域。（成都市高2023級高一單元測試）
已知≤，求函數y=的值域。（成都市高2023級高一單元測試）
判斷函數f(x)= + 的奇偶性。（成都市高2023級高一單元測試）
已知函數f(x)=b+ （a，b是常數且a＞0,a≠1）在區間［-，0］上有=3，=，試求a，b的值。（成都市高2023級高一單元測試）
已知定義域為R的函數f(x)= 是奇函數。（成都市高2023級高一單元測試）
（1）求a，b的值；
（2）若對任意t R，不等式f(-2t)+f(2-k)＜0恒成立，求k的取值范圍。
『思考問題4』
（1）【典例4】是指數函數性質及運用的問題，解答這類問題需要理解并掌握指數函數的性質，注意指數函數底數的不同取值對指數函數性質的影響；
（2）指數函數性質的運用問題主要包括：①指數函數單調性的運用；②判斷復合函數的單調性問題；③求函數的值域或最值；
（3）運用指數函數的性質解答問題的基本方法是：①根據問題條件確定底數的取值范圍（如果條件不明確，則應該分兩種情況分別考慮）；②作出指數函數的大致圖像；③分辨問題與指數函數的哪些性質相關；④借助函數的圖像，結合指數函數的相關性質解答問題；
（4）判斷復合函數單調性問題時，對函數y=的單調性，單調區間都與底數的取值相關，解答問題的基本方法是：①根據問題條件確定底數的取值范圍（如果條件不明確，則應該分兩種情況分別考慮）；②判斷內層函數和外層函數的單調性；③運用復合函數單調性的判斷法則得出結果。
〔練習4〕解答下列各題：
函數f(x)=在區間（-，0）上的單調性是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 有時是增函數有時是減函數 B 常數 C 增函數 D 減函數
2、若函數f(x)=+（b-1）（a＞0,且a≠1）的圖像不經過第二象限，則有（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A a>1且b<1 B a>1且b≤0 C 00 D 03、若不等式- -a 0在［1，2］恒成立，則a的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A ［1，8） B （-，1］ C （-，0］ D ［8，+）
4、下列各式比較大小正確的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A ＞ B ＞ C ＞ D ＜
5、已知函數f(x)= -，ax＜0，的值域是［-8，1］，則實數a的取值范圍是（ ）
-+2x，0x4，（成都市高2023級高一單元測試）
A （-，-3］ B ［-3，0） C ［-3，-1］ D {-3}
6、（多選）已知0A > B > C > D >
7、已知函數f(x)= （m為常數），若f(x)在區間［2，+）是增函數，則m的取值范圍是 . （成都市高2023級高一單元測試）
8、設函數f(x)= ，x0， 若f(a) ＜1，則實數a的取值范圍是 .（成都市20
-7，x＜0，23級高一單元測試）
9、函數f(x)= 的單調遞減區間為 。（成都市高2023級高一單元測試）
10、如果函數y=+2-1（a＞0,且a≠1），在〔-1,1〕上的最大值為14，則a的值為 。（成都市高2023級高一單元測試）
11、若函數f(x)= （a R），滿足f(1+x)=f(1-x)，且f(x)在［m，+）上單調遞增，則實數m的最小值等于 。（成都市高2023級高一單元測試）
12、若直線y=2a與函數f(x)=| -1|（a＞0且a≠1）的圖像有兩個公共點，則a的取值范圍是 。（成都市高2023級高一單元測試）
13、比較下列各題中兩個值的大小：（成都市高2023級高一單元測試）
（1），； （2），； （3），； （4），
14、已知a＞0,且a≠1，討論f(x)= 的單調性。（成都市高2023級高一單元測試）
【典例5】解答下列問題：
如果上f(x)=2a.和函數g(x)=都是指數函數，則=（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A B 1 C 9 D 8
若<，則實數a的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （-，） B （-，1） C （1，+） D （，+）
（多選）已知函數f(x)=a+b（a，b R），則下列結論正確的有（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 存在實數a，b使得函數f(x)為奇函數
B 若函數f(x)的圖像過原點，且無限接近直線y=2，則b=,2
C 若函數f(x)在區間[0，]上單調遞減，則a>0
D 當a[-1，1]時，若對x[-1，1]，函數f(x)≤1恒成立，則b的取值范圍為（-，]
若函數f(x)= 的定義域為R，則a的取值范圍為 。（成都市高2023級高一單元測試）
求函數f(x)=-+1在區間[-3，2]上的最大值和最小值。（成都市高2023級高一單元測試）
6、要使函數y=1++a在x∈(-∞,1〕上，y＞0恒成立，求實數a的取值范圍。（成都市高2023級高一單元測試）
7、設函數f(x)=a- (a∈R)（成都市高2023級高一單元測試）
（1）討論函數f(x)的單調性；
（2）是否存在實數a使函數f(x)為奇函數？
8、已知函數f(x)=| -1|。（成都市高2023級高一單元測試）
（1）求函數f(x)的單調區間； （2）比較f(x+1)與f(x)的大小；
9、設函數f(x)=k-（a>0，且a1）是定義域為R的奇函數。
若f(1)>0，判斷函數f(x)的單調性，并求不等式f(x+2)+f(x-6)>0的解集；
（2）若f(1)=，且g(x)=+-2f(x),求g(x)在[1，+∞）上的最小值。（成都市高2023級高一單元測試）
（3）試確定函數g(x)=f(x)- 零點的個數。
『思考問題5』
（1）【典例5】是指數函數圖像與性質的綜合應用問題，解答這類問題需要熟悉指數函數的圖像，性質，注意指數函數底數對圖像，性質的影響；
（2）求解與指數函數相關的指數型函數的定義域，值域（或最值），單調性，奇偶性問題的基本方法是：①把問題化歸于指數函數；②運用指數函數的性質并借助于指數函數的圖像來解答問題。
〔練習5〕解答下列各題：
1、若指數函數f(x)的圖像經過點（-1，3），則函數f(x)是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 奇函數 B 偶函數 C 增函數 D 減函數
2、已知指數函數f(x)=，且f(2022)>f(2023)，則實數a的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （2，3） B （0，1） C （1，+） D （3，+）
3、（多選）下列函數中最小值為2的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A f(x)=+4x+6 B f(x)=+ C f(x)=x+，x≠0 D f(x)=+2
4、若曲線|y|=+1與直線y=b沒有公共點，則b的取值范圍是 。（成都市高2023級高一單元測試）
5、已知函數f(x)=b+ (a，b 為常數，且a＞0,a≠1)在區間［-,0］上有最大值3，最小值，則a，b的值分別為 。（成都市高2023級高一單元測試）
6、已知函數f(x)=-2.+4，x[-1，2]，求函數f(x)的最大值和最小值。（成都市高2023級高一單元測試）
7、已知函數f(x)=a+的圖像經過點（1，-）（成都市高2023級高一單元測試）
（1）判斷函數f(x)的奇偶性，并說明理由；
（2）若-≤f(x)≤0，求實數x的取值范圍。
8、已知定義在R上的函數f(x)=+，a為常數，若函數f(x)為偶函數。
（1）求a的值；
（2）判斷函數f(x)在 （0，+）內的單調性，并用單調性定義給予證明；
（3） 求函數f(x)的值域。（成都市高2023級高一單元測試）
9、已知定義為R的單調函數f(x) 是奇函數，當x>0時，f(x)=-。
（1）求函數f(x)的解析式；
（2）若對任意tR，不等式f(-2t)+f(2-k)<0恒成立，求實數k的取值范圍。（成都市高2023級高一單元測試）
【典例6】解答下列問題：
1、已知函數f(x)= ，求解方程f(x)=4；
2、解方程+ -2=0；
3、若0＜a＜1，解關于x的不等式＜；
4、設函數f(x)= ，求不等式f(x) ≥2的解集。
『思考問題6』
（1）【典例6】中的1，2題是有關指數函數的方程問題，解答這類問題的基本方法是：①將某一指數冪視為整體未知數通過解方程求出該指數冪的值；②根據指數函數的性質求出自變量x的值；③得出結果；
（2）【典例6】中的3，4題是有關指數函數的不等式問題，解答這類問題的基本方法是：①將不等式中的指數冪化成相同的底數冪；②運用指數函數的性質得到關于自變量x的不等式；③求解不等式并得出結果。
〔練習6〕解答下列各題：
1、不等式 的解集為 ；
2、解方程--12=0；
3、關于x的方程有負根，求實數a的取值范圍；
4、若a＞1，解關于x的不等式＜；
5、設函數f(x)= ，求不等式f(x) ≥2的解集。
【典例7】解答下列問題：
+-2。（成都市高2023級高一上期期末調研考試）
2、++。（成都市高2023級高一上期期末名校聯盟考試）
3、若函數f(x)=1-為定義在R上的奇函數。
求實數a的值，并證明函數f(x)的單調性；
若存在實數x[-1，1]使得不等式f(k.)+f(1-)≥0能成立，求實數k的取值范圍。（成都市高2023級高一上期期末名校聯盟考試）
4、函數y=+2（a>0，且a1）的圖像恒過定點P，則點P的坐標為 。（成都市高2022級高一上期期末調研考試）
5、++。（成都市高2022級高一上期期末調研考試）
6、已知f(x)=-++b是定義在R上的奇函數。
（1）求f(x)的解析式；
（2）已知a>0，且a1，若對任意x[2，+），存在m[1，2]，使得f(x)≤+-4x成立，求a的取值范圍。（成都市高2022級高一上期期末調研考試）
7、函數y=+2（a>0，且a1）的圖像恒過定點P，則點P的坐標為 。（成都市高2022級高一上期期末名校聯盟考試）
8、++。（成都市高2022級高一上期期末名校聯盟考試）
9、已知函數f(x)的定義域為（0，+），且滿足以下條件：①對任意x（0，+），f(x)>0,②對任意m，n（0，+），有f(mn)=，③f(1)>1。
（1）求證：f(x)在（0，+）上是增函數；
（2）若f(-1)-f(2)<0，求a的取值范圍（成都市高2022級高一上期期末名校聯盟考試）
『思考問題7』
【典例7】是近幾年高一上期期末調研考試中與指數和指數函數相關的問題，縱觀近幾年的考試試卷，歸結起來指數和指數函數問題主要包括：①指數的運算；②指數函數概念及運用；③指數函數圖像及運用；④指數函數性質及運用；⑤指數函數的綜合問題；⑥指數方程（或不等式）的解法等幾種類型；
解答這類問題的基本方法是：①根據問題的結構特征分辨清楚問題的類型；②運用解答該類型問題的基本思路和方法解答問題；③得出問題的答案。
〔練習7〕解答下列各題：
已知函數f(x)= 在[1，2]上單調遞減，則實數a的取值范圍是（ ）（成都市高2021級2020—2021學年度上期期末調研考試）
A [2，4] B [-2，+） C [-4，-2] D （-，-4]
2、已知函數y=+1(a>0且a1)的圖像恒過定點P（，），則的值為 （成都市高2021級2020—2021學年度上期期末調研考試）
3、+ + ；
4、已知函數y=- （a>0，且a1）的圖像恒過定點P，若點P在冪函數f(x)的圖像上，則冪函數f(x)的圖像大致是（）（成都市高2020級2019—2020學年度上期期末調研考試）
5、已知關于x的方程-a. +4=0有一個大于22的實數根，則實數a的取值范圍為（ ）（成都市高2020級2019—2020學年度上期期末調研考試）
A （0，5） B （4，5） C （4，+ ） D （5，+ ）
6、已知A，B是函數f(x)=| -1|圖像上縱坐標相等的兩點，線段AB的中點C在函數g(x)= 的圖像上，則點C的橫坐標的值為 （成都市高2020級2019—2020學年度上期期末調研考試）
7、已知函數f(x)= -1(a>0，且a1)，滿足f(1)- f(2)= 。
（1）求a的值；
（2）解不等式f(x)>0（成都市高2020級2019—2020學年度上期期末調研考試）
指數(或指數函數）問題的類型及解法
指數是在初中整數指數的基礎上，引入分數指數和無理數指數的概念之后，將指數擴充為實數指數。指數函數是指形如y=(a＞0,且a≠1)的函數，它是在初中一元一次函數，正比例函數，反比例函數，一元二次函數的基礎上接觸的第一種函數。指數(或指數函數）問題也是近幾年考試的熱點內容之一，縱觀近幾年各種考試的考試試卷，歸結起來指數（或指數函數）問題主要包括：①指數的運算；②指數函數概念及運用；③指數函數圖像及運用；④指數函數性質及運用；⑤指數函數的綜合問題；⑥指數方程（或不等式）的解法等幾種類型。各種類型問題結構上具有某些特征，解答方法也有一定的規律可尋。那么在實際解答指數和指數函數問題時，到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確地給予解答呢？下面通過近幾年各種考試試卷中有關指數(或指數函數）問題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、式子（m>0）的計算結果為（ ）（高2023級全國高一專題練習）
A B C D m
【解析】
【知識點】①n次根式定義與性質；②分數指數定義與性質；③指數運算法則和基本方法。
【解題思路】根據n次根式和分數指數的性質，把n次根式化為分數指數，運用分數指數運算法則和基本方法通過運算求出式子（m>0）的計算結果就可得出選項。
【詳細解答】 ==m， D正確， 選D。
2、化簡的結果為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 5 B C - D -5
【解析】
【知識點】①n次根式定義與性質；②分數指數定義與性質；③指數運算法則和基本方法。
【解題思路】根據n次根式和分數指數的性質，把n次根式化為分數指數，運用分數指數運算法則和基本方法通過運算化簡原式就可得出選項。
【詳細解答】=25=，====， B正確， 選B。
3、若有意義，則x的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A x R B x 0.5 C x＞0.5 D x＜0.5
【解析】
【知識點】①n次根式定義與性質；②分數指數定義與性質；③求解不等式的基本方法。
【解題思路】根據n次根式和分數指數的性質把分數指數化為n次根式，運用n次根式的性質得到關于x的不等式，求解不等式求出x的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】=，有意義，必有>0，1-2x>0，
x<0.5， D正確， 選D。
4、下列根式與分數指數冪的互化正確的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A -= B = - C = D =（x＜0）
【解析】
【知識點】①n次根式定義與性質；②分數指數定義與性質；③n次根式與分數指數互化的基本方法。
【解題思路】根據分數指數和n次根式的性質，運用分數指數與n次根式互化的基本方法，對各選項的n次根式（或分數指數）化為分數指數（或n次根式），通過判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A， -=-，A錯誤；對B， =- -，B錯誤；對C， ==，C正確；選C。
5、已知a＞0,且a≠1，對于0 r 8，r∈，式子.能化成關于a的整數指數冪的情形有（ ）種（成都市高2023級高一單元測試）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知識點】①n次根式定義與性質；②分數指數定義與性質；③整數指數定義與性質；④n次根式與分數指數互化的基本方法；⑤指數運算法則和基本方法。
【解題思路】根據分數指數和n次根式的性質，運用n次根式化為分數指數的基本方法，把式子中的根式化為分數指數，利用指數運法則和基本方法通過運算得到分數指數冪，結合問題條件確定指數冪為整數指數冪時r的取值，從而得到整數冪的個數就可得出選項。
【詳細解答】=，==，.=.=
=，0 r 8，r∈，當且僅當r=0或r=4或r=8，=4或=1或=-2時，是關于a的整數冪，C正確；選C。
6、計算（2）（-3b）（4）得（ ）（成都市高2023級高一單元測試）A - B C - D
【解析】
【知識點】①分數指數定義與性質；②指數運算法則和基本方法。
【解題思路】根據分數指數的性質，運用指數運算法則和基本方法通過運算就可得出選項。
【詳細解答】（2）（-3b）（4）=2（-3）
=-，A正確；選A。
7、下列等式中，錯誤的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 0.3=10 B （-）（+）=-
C =-1 D =
【解析】
【知識點】①分數指數定義與性質；②根式定義與性質；③根式與分數指數互化的基本方法；④指數運算法則和基本方法。
【解題思路】根據根式和分數指數的性質，運用根式與分數指數互化的基本方法把式子中的根式化為分數指數，利用指數運算法則和基本方法通過運算對各選項的正確與錯誤進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A， 0.3=a=3=10，A正確；對B， （-）（+）=（+）（-）=-，B正確；對C，==
=||=|-|=1-1，C錯誤，選C。
8、（多選）下列各式中正確的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A = B = C = - D =25
【解析】
【知識點】①n次根式定義與性質；②分數指數定義與性質；③n次根式與分數指數互化的基本方法。
【解題思路】根據n次根式和分數指數的性質，運用n次根式與分數指數互化的基本方法，結合問題條件對各選項中的式子是否正確進行判斷算就可得出選項。
【詳細解答】對A，==，A正確；對B， =，B正確；
對C， =≠ - ，C錯誤；對D， ==25，D正確，綜上所述，A，B，D正確，選A，B，D。
9、已知a+=3，則下列等式成立的有（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A =7 B -=1
C = D +=2
【解析】
【知識點】①指數定義與性質；②指數運算法則和基本方法。
【解題思路】根據分數指數的性質，運用指數運算法則和基本方法，結合問題條件對各選項的等式是否成立進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，a+=3，=+2=9，=7 ，A成立；對B，=a+-2=3-2=1， -=1，B成立；對C，
=a++2=3+2=5， =，C成立；對D， +=（）（a+-1）
= （3-1）=2，D不成立，綜上所述，A，B，C成立，選A，B，C。
10、計算2= ； （成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①n次根式定義與性質；②分數指數定義與性質；③n次根式與分數指數互化的基本方法；④指數運算法則和基本方法。
【解題思路】根據n次根式和分數指數的性質，運用n次根式與分數指數互化的基本方法把n次根式化為分數指數，利用指數運算的法則和基本方法通過運算就可求出結果。
【詳細解答】2=2，=，=，2
=2==23=6。
11、已知=3，則a+= ，= ；（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①分數指數定義與性質；②指數運算法則和基本方法。
【解題思路】根據分數指數的性質，運用指數運算法則和基本方法，通過運算就可求出a+，的值。
【詳細解答】=3， a+2+=9， a+=9-2=7，+2-2=
-2=49-2=47，=47。
12、計算下列各式（式中的字母都是正數）（成都市高2023級高一單元測試）
（1）； （2）；
（3）.； （4）；
（5）； （6）。
【解析】
【知識點】①分數指數定義與性質；②n次根式定義與性質；③n次根式與分數指數互化的基本方法；④指數運算法則和基本方法。
【解題思路】根據n次根式和分數指數的性質，運用n次根式與分數指數互化的基本方法把n次根式化為分數指數，利用指數運算法則和基本方法通過運算就可求出各式的結果。
【詳細解答】（1） = ，=，=，=（-）=-=-5；（2）=，=，==
=；（3）===，===，.=
.=.==；（4）=4（-）=-6a；
（5）=-23（-4）=24y；（6）=-=-=4x-9。
13、化簡下列各式：（成都市高2023級高一單元測試）
（1）； （2）
（3）。
【解析】
【知識點】①分數指數定義與性質；②n次根式定義與性質；③n次根式與分數指數互化的基本方法；④指數運算法則和基本方法。
【解題思路】根據n次根式和分數指數的性質，運用n次根式與分數指數互化的基本方法把n次根式化為分數指數，利用指數運算法則和基本方法通過運算就可化簡各式。
【詳細解答】（1）===
，===，
=+=；（2）
=，=，=
=；（3）==，
==，=，=，
-=-=-=-=
=。
14、化簡或求值：（成都市高2023級高一單元測試）
（1）++； （2）++。
【解析】
【知識點】①分數指數定義與性質；②n次根式定義與性質；③n次根式與分數指數互化的基本方法；④指數運算法則和基本方法。
【解題思路】根據n次根式和分數指數的性質，運用n次根式與分數指數互化和指數運算的基本方法，結合問題條件通過運算就可對已知式子化簡（或求值）。
【詳細解答】（1）++=a-1+a-1+1-a=a-1；（2）+
+=+1+=3+1=4。
『思考問題1』
（1）【典例1】是n次根式，分數指數互化和實數指數冪運算的問題，解答這類問題需要理解n次根式，分數指數，無理數指數和實數指數冪的定義，掌握實數指數冪運算法則和基本方法，分數指數與n次根式之間的互化是解答問題的關鍵；
（2）在根式和分數指數的運算（或化簡）問題中，解答的基本方法是：①把根式化為分數指數；②運用實數指數運算法則和基本方法進行運算；③將運算結果進行化簡。
〔練習1〕解答下列各題：
1、將化成分數指數冪的形式是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：A）
A B C D
2、下列運算中正確的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）(答案：C）
A =2- B a= C = D =
3、（多選）已知a>b，ab≠ 0，下列不等式恒成立的有（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：A，C，D）
A > B < C > D <
4、若=2，=3，則= 。（成都市高2023級高一單元測試）（答案：=6。）
5、若a＞1，b＜0，且+ =2，則- 的值等于 。（成都市高2023級高一單元測試）（答案：- 的值等于-2。）
6、已知函數f(x)= +（a＞0,且a≠1），f(1)=3，則f(0)+f(1)+f(2)的值為 。（成都市高2023級高一單元測試）（答案：f(0)+f(1)+f(2)的值為12。）
7、若x＞0，則（2+）（2-）-4（x-）= 。（成都市高2023級高一單元測試）（答案：（2+）（2-）-4（x-）= 1。）
8、計算下列各式：（成都市高2023級高一單元測試）
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）（a＞0,b＞0）；
（6）.； （7）++-。
（答案：（1）6；（2）；（3）1-4；（4）2x；（5）；（6）；（7）110+-。）
9、化簡下列各式：（成都市高2023級高一單元測試）
（1）-+-2+；（答案：11+）
（2）。（答案：）
10、若=3，求的值。（成都市高2023級高一單元測試）（答案：的值為。）
11、已知-=，求下列各式的值：（成都市高2023級高一單元測試）
（1）a+； （2）； （3）-。（答案：（1）7；（2）47；（3）21；）
【典例2】解答下列問題：
1、下列函數：①y=2；②y=；③y=；④y=；⑤y=。其中指數函數的個數是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②判斷一個函數是否是指數函數的基本方法。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用判斷一個是否是指數函數的基本方法對各函數進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對①， y=2與指數函數的定義不符，①不是指數函數；對②， y==3與指數函數的定義不符，②不是指數函數；對③， y=符合指數函數的定義，③是指數函數；對④，函數y=中，底數x是自變量，指數3是常數，不符合指數函數的定義，④不是指數函數；對⑤，函數y=中，底數-4<0，不符合指數函數的定義，⑤不是指數函數，在已知的5個函數，只有一個函數是指數函數， A正確， 選A。
2、若指數函數f(x)=(a＞0,且a≠1)的圖像經過點（-1，3），則a=（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 3 B C 2 D
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②求函數解析式的基本方法。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用求函數解析式的基本方法，結合問題條件求出a的值就可得出選項。
【詳細解答】指數函數f(x)= (a＞0,且a≠1)的圖像經過點（-1，3），=3，解之得：a=， B正確， 選B。
3、函數y=f(x)的圖像與函數y=的圖像關于直線x=1對稱，則f(x)=（）（成都市高2023級高一單元測試）
A B C D
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②軸對稱圖形定義與性質；③求函數解析式的基本方法。
【解題思路】根據指數函數和軸對稱圖形的性質，運用求函數解析式的基本方法，結合問題條件求出函數f(x)的解析式就可得出選項。
【詳細解答】設P（x，y）是函數f(x)圖像上的人員一點，它關于直線x=1的對稱點為（，），x+=2，y=，=2-x，=y，點（，）在函數y=的圖像上，
函數y=f(x)===， A正確， 選A。
4、對任意的，R，恒有f().f()=f(+)成立，且f(1)=，則f(6)=（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 2 B 4 C D 8
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②求函數解析式的基本方法；③求函數值的基本方法。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用求函數解析式和函數值的基本方法，結合問題條件求出f(6)的值就可得出選項。
【詳細解答】對任意的，R，恒有f().f()=f(+)成立，函數f(x)= (a＞0,且a≠1)，f(1)=a=，函數f(x)=，f(6)===8， D正確， 選D。
5、若函數f(x)=（-m-1）是指數函數，則實數m的值為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 2 B 1 C 3 D -1或 2
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②指數函數解析式結構特征及運用。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用指數函數解析式結構特征，結合問題條件得到關于m的方程，求解方程求出實數m的值就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)=（-m-1）是指數函數，-m-1=1，解之得m=-1或m=2，
實數m的值為-1或2，D正確， 選D。
6、若指數函數f(x)的圖像經過點（2，4），則f(3)= ；（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②求函數解析式的基本方法；③求函數值的基本方法。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用求函數解析式的基本方法，結合問題條件求出函數f(x)的解析式，利用求函數值的基本方法通過運算就可求出f(3)的值。
【詳細解答】設指數函數f(x)= (a＞0,且a≠1)，函數f(x)的圖像經過點（2，4），
4=，a=2，函數f(x)= ， f(3)= =8。
7、若函數y= 是指數函數，則實數a的取值范圍為 ；（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②判斷一個函數是否是指數函數的基本方法。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用判斷一個是否是指數函數的基本方法得到關于a的不等式組，求解不等式組就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】函數y= 是指數函數，4-3a>0①，且4-3a≠1②，聯立①②解得：
08、求下列函數的定義域與值域：（成都市高2023級高一單元測試）
（1）f(x)= ； （2）f(x)= ；
（3）f(x)= + +1； （4）f(x)= (a＞0,且a≠1)。
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②求函數定義域的基本方法；③求函數值的基本方法。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用求函數定義域和值域的基本方法，結合問題條件就可求出各函數的定義域與值域。
【詳細解答】（1） 函數f(x)= 有意義，必有x-4≠0，x≠4，即函數f(x)= 的定義域為（-，4）（4，+）；當x（-，4）（4，+）時，（-，0）（0，+），函數f(x)= 的值域為（0，1）（1，+）；（2）對任意的xR，函數f(x)= 都有意義，函數f(x)= 的定義域為R；對任意的xR，-|x|（-，0]，函數f(x)= 的值域為[1，+）；（3）對任意的xR，函數f(x)= + +1都有意義，函數f(x)= + +1的定義域為R， f(x)= + +1=
，對任意的xR，>1，函數f(x)= + +1的值域為（1，+）；
（4）對任意的xR，函數f(x)= 都有意義，函數f(x)= 的定義域為R；
f(x)= =1-，對任意的xR，-2<-<0，-1=1-2<1-<1+0=1，函數f(x)= 的值域為（-1，1）。
『思考問題2』
（1）【典例2】是與指數函數定義及運用的問題，解答這類問題需要理解指數函數的定義，注意指數函數的結構特征；
（2）指數函數的結構特征是：①解析式是y=；②底數a是常數，滿足a＞0,且a≠1；③指數是自變量x。
〔練習2〕解答下列各題：
1、若函數f(x)= (a＞0,且a≠1)的圖像經過點P（2，），則f(-1)等于（）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：B）
A B C D 4
2、已知函數f(x)=在R上是減函數，則a的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：D）
A （-∞，-1）（1，+∞） B （-2，2） C （-∞，） D （-，-1）（1，）
3、下列函數式中，滿足f(x+1)=f(x) 的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：D）
A （x+1） B x+ C D
4、已知指數函數f(x)= (a＞0,且a≠1)的圖像經過點（3，），求f(0)，f(1)，f(-3)的值；（成都市高2023級高一單元測試）（答案：f(0)=1；f(1)=；f(-3)=。）
5、若函數y= 是指數函數，則實數a的取值范圍為 ；（成都市高2023級高一單元測試）（答案：實數a的取值范圍為（-，1）（1，）。）
6、求下列函數的定義域與值域：（成都市高2023級高一單元測試）
（1）f(x)= ； （2）f(x)= ；
（3）f(x)= -+1； （4）f(x)= (a＞0,且a≠1)。
（答案：（1）函數f(x)的定義域為（-，3）（3，+），值域為（0，1）（1，+）；（2）函數f(x)的定義域為R，值域為（0，1]；（3）函數f(x)的定義域為R，值域為[0，+）；函數f(x)的定義域為（-，0）（0，+），值域為（-，-1）（1，+）。）
【典例3】解答下列問題：
1、若函數y=f(x)的圖像與函數y=的圖像 關于y軸對稱，則f（3）=（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 8 B 4 C D
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②指數函數圖像及運用；③求函數解析式的腳步方法；④求函數值的基本方法。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用指數函數的圖像，求函數解析式和函數值的基本方法，結合問題條件求出函數f(x)的解析式，從而求出f（3）的值就可得出選項。
【詳細解答】 函數y=f(x)的圖像與函數y=的圖像 關于y軸對稱，f(x)=，f(3)==8，A正確， 選A。
2、已知0A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②指數函數圖像及運用。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用指數函數的圖像，結合問題條件確定出函數f(x)的大致圖像就可得出選項。
【詳細解答】 00時， f(x)<1+b<0，函數f(x)=+b的圖像必定不經過第一象限，A正確， 選A。 B
3、如右圖是指數函數①y=，②y=，③y=， (1) AB (2) y (3) C(4)
④y=的圖像，則a、b、c、d的大小關系是（ ） D
（成都市高2023級高一單元測試）
A a＜b＜1＜c＜d B b＜a＜1＜d＜c C 1＜a＜b＜c＜d D a＜b＜1＜d＜c
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②指數函數圖像及運用；③已知兩個指數函數的底數在同一取值范圍和圖形比較兩個指數函數底數大小的基本方法。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用指數函數的圖像和已知兩個指數函數的底數在同一取值范圍和圖形比較兩個指數函數底數大小的基本方法確定出a、b、c、d的大小關系就可得出選項。
【詳細解答】由圖知0b，01，d>1，如圖作直線x=1與指數函數③y=，④y=分別交于點C，D，點D在點C的下方，14、若函數y=+（b-1）(a＞0,且a≠1)的圖像不經過第二象限，則有（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A a＞1且b＜1 B 0＜a＜1且b1 C 0＜a＜1且b＞0 D a＞1且b0
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②指數函數圖像及運用；③已知指數函數解析式，確定指數函數圖像的基本方法。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用指數函數圖像和已知指數函數的解析式，根據底數的不同取值，取自變量的特殊值，結合問題條件確定出a，b的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】函數y=+（b-1）(a＞0,且a≠1)的圖像不經過第二象限，a>1①，當
x=0時， y=+（b-1）=1+b-1=b0②，聯立①②解得： a>1且b0，D正確，選D。
5、函數y=-a (a＞0,且a≠1)的圖像可能是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
y y y y
1 1 1 1
0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x
A B C D
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②指數函數圖像及運用；③已知指數函數解析式，確定指數函數圖像的基本方法。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用指數函數圖像和指數函數的解析式，根據底數的不同取值，取自變量的特殊值，結合已知函數圖像通過判斷就可得出選項。
【詳細解答】①當01時，取x=0，y=-a=1-a<0，A不正確，排除A；取x=1，y=-a=a-a
=0，B正確，選B。
6、函數f(x)= 的圖像如圖所示，其中a，b為常數， y
則下列結論正確的是（ ） （成都市高2023級高一單元測試） 1
A a＞1，b＜0 B a＞1，b＞0
C 0＜a＜1，b＞0 D 0＜a＜1， b＜0 0 x
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②指數函數圖像及運用；③已知指數函數圖像，確定指數函數解析式中參數取值范圍的基本方法。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用指數函數圖像和由指數函數圖像，根據底數的不同取值，取自變量的特殊值，結合問題條件確定出a，b的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】由函數f(x)= 的圖像可知，0-b>0，b<0， D正確，選D。
7、設f(x)=|-1|，c＜b＜a,且f(c)＞f(a)＞f(b),則下列關系中一定成立的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A ＞ B ＞ C + ＞2 D + ＜2
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②指數函數的圖像及運用；③已知指數函數解析式，確定指數函數圖像的基本方法。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用已知指數函數解析式，確定指數函數圖像的基本方法，結合問題條件作出函數f(x)的圖像，利用指數函數圖像得到關于a，c的不等式就可得出選項。
【詳細解答】 f(x)=|-1|=-1，x0，作出函數f(x)的圖像如圖所示，c＜b＜a,且
1-，x<0， f(c)＞f(a)＞f(b), 由圖可知c<0，a>0， f(c)=1-，f(a)= -1， f(c)＞f(a)，1->-1，+<2，D正確，選D。
8、（多選）下列結論正確的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 對于xR，恒有> B 函數f(x)=是減函數
C 對a>1，xR，一定有> D 函數f(x)=是偶函數
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②函數單調性和奇偶性定義與性質；③判斷（或證明）函數單調性和奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據指數函數，函數單調性和奇偶性的性質，運用判斷（或證明）函數單調性和奇偶性的基本方法，結合問題條件對各選項結論是否正確進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，當x<0時，<，A錯誤；對B，函數f(x)==是減函數，B正確；對C，當x<0時，<，C錯誤；對D， 函數f(x)=的定義域為R關于原點對稱，f(-x)===f(x)， 函數f(x)=是偶函數，D正確，綜上所述，B，D正確，選，B，D。
『思考問題3』
（1）【典例3】是指數函數圖像及運用的問題，解答這類問題需要掌握指數函數圖像的作法，注意指數函數底數的不同取值對圖像的影響；
（2）比較兩個指數冪大小時，應盡量化為同底數（或同指數），①底數相同，可運用指數函數的單調性解答問題；②指數相同，可轉化為底數相同（或借助函數圖像）解答問題；③底數不同，指數也不同，解答問題時需要借助一個中間量；
（3）指數函數的底數a＞0,且a≠1是一個隱含條件，指數函數的單調性與底數的取值相關，實際解答問題時，應該根據問題的條件確定底數的取值范圍（不能確定時，應分兩種不同情況分別考慮），然后依據指數函數的圖像和性質解答問題；
（4）已知函數解析式判斷其圖像的基本方法是：①取函數的特殊點（一般是三個關鍵點中的某一點）；②看函數的圖像是否經過所取的點；③得出指數函數的圖像。
〔練習3〕解答下列問題：
定義運算ab=a，a≤b，則函數f(x)=1的圖像正確的是（ ）（成都市高2023級高
b，a>b，一單元測試）（答案：A）
2、若a>1，則函數f(x)=與g(x)=-x+a的圖像大致是（ ）（成都市高2023級高一單元
測試）（答案：B）
3、已知實數a，b滿足等式=，下列五個關系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0
＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b。其中不可能成立的關系式有（ ）（成都市高2023級高一單元
測試）（答案：B）
A 1個 B 2個 C 3個 D 4個
4、已知函數f(x)= | -1|，a＜b＜c且f(a) ＞f(c) ＞f(b)，則下列結論中一定成立的是（ ）
（成都市高2023級高一單元測試）（答案：D）
A a＜0，b＜0，c＜0 B a＜0，b 0，c＞0 C ＜ D +＜2
5、已知函數f(x)= +2的圖像恒過定點A，則A的坐標為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：B）
A （0，1） B （2，3） C （3，2） D （2，2）
6、當x＞0時，函數f(x)= 的值總大于1，則實數a的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：C）
A 1＜|a|＜2 B |a|＜1 C |a|＞ D |a|＜
7、（多選）已知實數a，b滿足等式=，下列結論正確的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：A，D）
A 08、若曲線|y|=+1與直線y=b沒有公共點，則b的取值范圍是 。（成都市高2023級高一單元測試）（答案：b的取值范圍是[-1,1]。）
【典例4】解答下列問題：
1、函數f(x)=（a＞0,且a≠1）過定點A，則點A的坐標為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （0，1） B （1，2） C （-1，0.5） D （1，1）
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②指數函數圖像和性質及運用。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用指數函數圖像和性質，結合問題條件求出點A的坐標就可得出選項。
【詳細解答】當x-1=0，即x=1時，函數f(x)==1，定點A的坐標為（1，1），D正確，選D。
2、函數f(x)=-1，使f(x)≤0成立的x的值的集合是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A {x|x=0} B {x|x<1} C {x|x<0} D {x|x=1}
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②指數函數圖像和性質及運用。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用指數函數圖像和性質，結合問題條件求出點A的坐標就可得出選項。
【詳細解答】當x=0時，f(x)=-1=1-1=0；當x≠0時，f(x)=-1>1-1=0，使f(x)≤0成立的x的值的集合是 {x|x=0}，A正確，選A。
3、函數y=在［0，1］上的最大值與最小值的和為3，則函數y=2ax-1在［0，1］上的最大值是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 6 B 1 C 3 D
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②指數函數圖像和性質及運用。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用底數的不同取值分別確定函數y=在［0，1］上的最大值與最小值，結合問題條件求出a的值，從而得到函數y=2ax-1在［0，1］上的最大值就可得出選項。
【詳細解答】①當0=a，1+a=3，a=2>1，此時無解；②當a>1時，函數y=在［0，1］上單調遞增，=a， =1，1+a=3，a=2，函數y=2ax-1=4x-1在［0，1］上單調遞增，=41
-1=4-1=3，C正確，選C。
4、若0＜x＜1，則，，之間的大小關系是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A＜＜ B＜＜ C＜＜ D＜＜
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②指數函數性質及運用。
【解題思路】根據指數函數的性質，結合問題條件得出，，之間的大小關系就可得出選項。
【詳細解答】0＜x＜1，>1，<<1，<<1，當x=1時，=，
=0.2=，>，當0＜x＜1時，＜＜，D正確，選D。
5、函數f(x)= -bx+c滿足f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，則f()與f()的大小關系是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A f()≤f() B f()≥f() C f()＞f() D大小關系隨x的不同而不同
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②一元二次函數圖像與性質；③指數函數性質及運用。
【解題思路】根據指數函數和一元二次函數的性質，結合問題條件求出b，c的值，運用指數函數性質得出f()與f()的大小關系就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)= -bx+c滿足f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，函數f(x)= -bx+c的圖像關于直線x==1對稱，f(0)=0+0+c=3，b=2，c=3， f()=f()=-2+
f()=f()=-2+3，f()-f()=-2+3-[-2+3]=（+）（-）-2（-）=（-）（+-2）≤0， f()≤f()，A正確，選A。
6、設a=，b=，c=，則a，b，c的大小關系是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A a＜b＜c B b＜a＜c C c＜b＜a D b＜c＜a
【解析】
【知識點】①實數指數定義與性質；②實數指數運算法則和基本方法；③比較實數大小的基本方法。
【解題思路】根據實數指數的性質，運用實數指數運算的法則河基本方法通過運算分別求出a，b，c的值，利用實數大小比較的基本方法進行比較就可得出選項。
【詳細解答】1< a==<2，07、（多選）已知指數函數f(x)=（a＞0,且a≠1），則下列等式成立的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A f(x+y)=f(x).f(y) B f(x-y)=
C f(nx) =（nQ） D =.（nN）
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②指數運算法則和基本方法。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用指數運算法則和基本方法，結合問題條件，對各選項的等式是否成立進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，f(x).f(y) =.== f(x+y)，A成立；對B，=
== f(x-y)，B成立；對C， =.== f(nx)，C成立；對D，
==，.=.=.=， ≠.，D不成立，綜上所述，A，B，C成立，選A，B，C。
8、如果＞(a＞0,且a≠1)，則x的取值范圍是 。（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②運用指數函數性質的基本方法。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用底數的不同取值分別得到關于x的不等式，求解不等式就可求出x的取值范圍。
【詳細解答】①當01；②當a>1時，＞，-5x>2x-7，x<1，綜上所述，當01時，若＞，x的取值范圍是（- ，1）。
9、比較下列各題中兩個值的大小：（成都市高2023級高一單元測試）
（1）； （2）； （3）； （4），。
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②運用指數函數性質的基本方法；③比較實數大小的基本方法。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用比較實數大小的基本方法，結合問題條件就可得出各小題中兩個值的大小關系。
【詳細解答】（1）1.7>1，2.5<3，<；（2）0<0.8<1，-0.1>-0.2，<；（3）>1，0<<1，>；（4）=，>1，
=>1，>。
10、函數y=-+1在區間［-3，2］上的值域是 ；（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②數學換元法及運用；③一元二次函數的圖像與性質；④運用指數函數性質的基本方法。
【解題思路】根據數學換元法把原函數化為關于t的一元二次函數，根據一元二次函數的圖像和性質，結合問題條件就可求出函數y=-+1在區間［-3，2］上的值域。
【詳細解答】設t=，x［-3，2］， t［，8］，函數y=-t+1在［，］上單調遞減，在［，8］上單調遞增，=64-8+1=57，=-+1=，函數y=-+1在區間［-3，2］上的值域是［，57］。
11、求函數f(x)= 的定義域，單調區間及值域。（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②復合函數定義與性質；③一元二次函數圖像與性質；④判斷復合函數單調性的基本方法；⑤運用指數函數性質的基本方法。
【解題思路】設g(x)= -5x+4，h(x) =，作出函數g(x)= -5x+4的圖像，求出函數f(x)的定義域，運用判斷函數單調性的基本方法分別判斷函數g(x)，h(x) =在定義域上的單調性，利用判斷復合函數單調性的基本方法就可求出函數f(x)的單調區間和值域。
【詳細解答】設g(x)= -5x+4，h(x) ，作出函數g(x)= -5x+4的圖像如圖所示，由圖知函數f(x)的定義域為（- ，1] [4，+ ），函數g(x)在（- ，1]上單調遞減，在[4，+ ）上單調遞增，函數h(x) =在（- ，1] ，[4，+ ）上單調遞增，函數h(x)在（- ，1]上單調遞減，在[4，+ ）上單調遞增，3>1，函數f(x) = 在（- ，1] ，[4，+ ）上單調遞增，函數f(x)在（- ，1]上單調遞減，在[4，+ ）上單調遞增， f(1)= = =1，f(4)= = =1，函數f(x)的值域為[1，+ ）。
12、已知≤，求函數y=的值域。（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②運用指數函數性質的基本方法；③判斷函數單調性的基本方法；④求函數值域的基本方法。
【解題思路】根據指數函數的性質，結合問題條件得到關于x的不等式，求解不等式得出函數y=的定義域，運用判斷函數單調性的基本方法判斷函數y=在定義域上的單調性，利用求函數值域的基本方法就可求出函數函數y=的值域。
【詳細解答】==，≤，+x≤-2x+4，-4≤x≤1，
函數y=在[-4，1]上單調遞增，=2-=，=-=-16=-，
當≤時，函數y=的值域為[-，]。
13、判斷函數f(x)= + 的奇偶性。（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②運用指數函數性質的基本方法；③判斷函數奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據指數函數的性質，結合問題條件求出函數f(x)的定義域，運用判斷函數奇偶性的基本方法就可判斷函數f(x)= + 的奇偶性。
【詳細解答】函數f(x)= + 的定義域為（- ，0） （0，+ ）關于原點對稱，f(-x)= -=-====+
= f(x)，函數f(x)= + 是偶函數。
14、已知函數f(x)=b+ （a，b是常數且a＞0,a≠1）在區間［-，0］上有=3，=，試求a，b的值。（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②運用指數函數性質的基本方法；③判斷復合函數單調性的基本方法；④在給定區間上求函數最值的基本方法。
【解題思路】設g(x)= +2x，根據指數函數的性質和判定復合函數單調性的基本方法，運用底數的不同取值，判斷函數f(x)=b+ 在區間［-，0］上的單調性，從而求出函數在區間［-，0］的最值，結合問題條件得到關于a，b的方程組，求解方程組就可求出條件求出a，b的值。
【詳細解答】①當01時，函數f(g(x))在［-，0］上的單調遞增，函數f(x)在［-，-1）上單調遞減，在（-1，0］上單調遞增，= f(0) =b+ =b+1=3⑤，= f(-1)=b+ =b +=⑥，聯立⑤⑥解得：a=2，b=2，綜上所述，當01
時，a=2，b=2。
15、已知定義域為R的函數f(x)= 是奇函數。（成都市高2023級高一單元測試）
（1）求a，b的值；
（2）若對任意t R，不等式f(-2t)+f(2-k)＜0恒成立，求k的取值范圍。
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②運用指數函數性質的基本方法；③奇函數定義與性質；④判斷函數單調性的基本方法；⑤求不等式恒成立時，參數取值范圍的基本方法。
【解題思路】（1）根據奇函數的性質，結合問題條件得到關于a，b的方程組，求解方程組就可求出a，b的值；（2）根據判斷函數單調性的基本方法判斷函數f(x)的單調性，運用奇函數的性質得到含參數k關于x的不等式，利用求不等式恒成立時，求參數取值范圍的基本方法就可求出實數k的取值范圍。
【詳細解答】（1）定義域為R的函數f(x)= 是奇函數， f(0)= =0①，
f(-x)= =- f(x)= -，2b-a=0且ab-2=0②，聯立①②解得：a=2，b=1；
（2）由（1）知f(x)= = =-+，函數f(x)是R上的減函數，函數f(x)是R上的奇函數，不等式f(-2t)+f(2-k)＜0恒成立 f(-2t)＜f(k-2)恒成立，-2t>(k-2即3-2t>k恒成立，設g(t)= 3-2t， g(t) [- ，+ ），
k<-，若對任意t R，不等式f(-2t)+f(2-k)＜0恒成立，則k的取值范圍為（-，-）。
『思考問題4』
（1）【典例4】是指數函數性質及運用的問題，解答這類問題需要理解并掌握指數函數的性質，注意指數函數底數的不同取值對指數函數性質的影響；
（2）指數函數性質的運用問題主要包括：①指數函數單調性的運用；②判斷復合函數的單調性問題；③求函數的值域或最值；
（3）運用指數函數的性質解答問題的基本方法是：①根據問題條件確定底數的取值范圍（如果條件不明確，則應該分兩種情況分別考慮）；②作出指數函數的大致圖像；③分辨問題與指數函數的哪些性質相關；④借助函數的圖像，結合指數函數的相關性質解答問題；
（4）判斷復合函數單調性問題時，對函數y=的單調性，單調區間都與底數的取值相關，解答問題的基本方法是：①根據問題條件確定底數的取值范圍（如果條件不明確，則應該分兩種情況分別考慮）；②判斷內層函數和外層函數的單調性；③運用復合函數單調性的判斷法則得出結果。
〔練習4〕解答下列各題：
1、函數f(x)=在區間（-，0）上的單調性是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 有時是增函數有時是減函數 B 常數 C 增函數 D 減函數 （答案：D）
2、若函數f(x)=+（b-1）（a＞0,且a≠1）的圖像不經過第二象限，則有（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：B）
A a>1且b<1 B a>1且b≤0 C 00 D 03、若不等式- -a 0在［1，2］恒成立，則a的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：C）
A ［1，8） B （-，1］ C （-，0］ D ［8，+）
4、下列各式比較大小正確的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：B）
A ＞ B ＞ C ＞ D ＜
5、已知函數f(x)= -，ax＜0，的值域是［-8，1］，則實數a的取值范圍是（ ）
-+2x，0x4，（成都市高2023級高一單元測試）（答案：B）
A （-，-3］ B ［-3，0） C ［-3，-1］ D {-3}
6、（多選）已知0A > B > C > D >
7、已知函數f(x)= （m為常數），若f(x)在區間［2，+）是增函數，則m的取值范圍是 ；（成都市高2023級高一單元測試） （答案：m的取值范圍是（-，4］.）
8、設函數f(x)= -7，x＜0，若f(a) ＜1，則實數a的取值范圍是 ；（成都市高
，x0，2023級高一單元測試）（答案：數a的取值范圍是（-3，1).）
9、函數f(x)= 的單調遞減區間為 ；（成都市高2023級高一單元測試） （答案：函數f(x)的單調遞減區間是（-，1］.）
10、如果函數y=+2-1（a＞0,且a≠1），在〔-1,1〕上的最大值為14，則a的值為 ；（成都市高2023級高一單元測試） （答案：a的值為3或。）
11、若函數f(x)= （a R），滿足f(1+x)=f(1-x)，且f(x)在［m，+）上單調遞增，則實數m的最小值等于 ；（成都市高2023級高一單元測試） （答案：實數m的最小值等于1。）
12、若直線y=2a與函數f(x)=| -1|（a＞0且a≠1）的圖像有兩個公共點，則a的取值范圍是 。（成都市高2023級高一單元測試） （答案：a的取值范圍是（0，).）
10、比較下列各題中兩個值的大小：
（1），； （2），； （3），； （4），
（答案：（1）>；（2）>；（3）<；（4）<。）
13、已知a＞0,且a≠1，討論f(x)= 的單調性。（成都市高2023級高一單元測試） （答案：當a>1時，函數f(x)在（-，）上單調遞增，在［，+）上單調遞減；當0【典例5】解答下列問題：
1、如果上f(x)=2a.和函數g(x)=都是指數函數，則=（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A B 1 C 9 D 8
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②指數函數圖像和性質及運用。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用指數函數圖像和性質，結合問題條件得到關于a，b的方程，求解方程分別求出a，b的值，從而求出的值就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)=2a.和函數g(x)=都是指數函數，2a=1，b+3=0，
解之得：a=，b=-3，==8，D正確，選D。
2、若<，則實數a的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （-，） B （-，1） C （1，+） D （，+）
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②指數函數圖像和性質及運用。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用指數函數圖像和性質，結合問題條件得到關于a的不等式，求解不等式求出實數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】<，2a-+1>3-2a，解之得：a>，則實數a的取值范圍是（，+），D正確，選D。
3、（多選）已知函數f(x)=a+b（a，b R），則下列結論正確的有（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 存在實數a，b使得函數f(x)為奇函數
B 若函數f(x)的圖像過原點，且無限接近直線y=2，則b=2
C 若函數f(x)在區間[0，]上單調遞減，則a>0
D 當a[-1，1]時，若對x[-1，1]，函數f(x)≤1恒成立，則b的取值范圍為（-，]
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②函數奇偶性定義與性質；③函數單調性定義與性質；④求函數在給定區間上最值的基本方法。
【解題思路】根據指數函數，函數奇偶性和函數單調性的性質，運用求函數在給定區間上最值的腳步方法，結合問題條件對個選項結論是否正確進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，對任意實數a，b，都不可能使得函數f(x)為奇函數，A錯誤；對B，函數f(x)的圖像過原點，f(0)=a+b=0，b=-a，當a<0，x→+時，函數f(x)的值無限接近b=-a=2，a=-2<0,，B正確；對C，當x[0，]時，函數f(x)=a+b單調遞減，a>0，C正確；對D，當a（0，1]時，函數f(x)在[-1，1]的最大值為f(0)=a+b≤1，
0≤b≤1-a<1，當a[-1，0）時，函數f(x)在[-1，1]的最大值為f(1)=a+b≤1，b≤1-a≤，
當a=0時，f(x)=b≤1在[-1，1]上恒成立，當a[-1，1]時，若對x[-1，1]，函數f(x)≤1恒成立，則b的取值范圍為（-，]，D正確，綜上所述，B，C，D正確，選B，C，D。
4、若函數f(x)= 的定義域為R，則a的取值范圍為 。（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①指數函數的定義與性質；②指數函數性質運用的基本方法；③求函數定義域的基本方法；④不等式恒成立求不等式中參數求證范圍的基本方法。
【解題思路】運用求函數定義域的基本方法，結合問題條件得到含參數a關于x的不等式在R上恒成立，利用指數函數的性質和不等式恒成立求不等式中參數求證范圍的基本方法就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】函數f(x)= 的定義域為R，不等式0在R上恒成立，0在R上恒成立，4+4a0，-1a0，若函數f(x)= 的定義域為R，則a的取值范圍為[-1，0]。
5、求函數f(x)=-+1在區間[-3，2]上的最大值和最小值。（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①指數函數的定義與性質；②一元二次函數定義與性質；③數學換元法及運用。
【解題思路】根據指數函數和一元二次函數的性質，運用數學換元法，結合問題條件就可求出函數f(x)=-+1在區間[-3，2]上的最大值和最小值。
【詳細解答】設t=，x[-3，2]，t[，4]，函數f(x)=-+1，函數f(,t)=-t+1，函數f(,t)的最小值為f()=-+1=，最大值為f(4)=16-4+1=13，函數f(x)=-+1在區間[-3，2]上的最大值是13，最小值是。
要使函數y=1++a在x(-∞,1〕上，y＞0恒成立，求實數a的取值范圍；（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①指數函數的定義與性質；②指數函數性質運用的基本方法；③不等式恒成立求不等式中參數求證范圍的基本方法。
【解題思路】運用指數函數的性質，結合問題條件得到參數a與關于x的函數的不等式，利不等式恒成立求不等式中參數求證范圍的基本方法就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】函數y=1++a在x∈(-∞,1〕上，y＞0恒成立，1++a>0在x∈(-∞,1〕上恒成立，a>--在x∈(-∞,1〕上恒成立，設g(x)= --，函數g(x) 在x∈(-∞,1〕上單調遞增，= g(1)=- - =- ，a>- ，要使函數y=1++a在x∈(-∞,1〕上，y＞0恒成立，實數a的取值范圍為（-，+∞）。
設函數f(x)=a- (a∈R)（成都市高2023級高一單元測試）
（1）討論函數f(x)的單調性；
（2）是否存在實數a使函數f(x)為奇函數？
【解析】
【知識點】①指數函數的定義與性質；②指數函數性質運用的基本方法；③判斷函數單調性的基本方法；④奇函數的定義與性質。
【解題思路】（1）運用指數函數的性質和判斷函數單調性的基本方法就可得到函數f(x)的單調性；（2）設存在實數a使函數f(x)為奇函數，利用奇函數的性質得到關于a的方程，求解方程就可得出結果。
【詳細解答】（1）任取，∈R ，且<，f()-f()=a- - a+
= = <0，函數f(x)=a-在R上單調遞增；
（2）設存在實數a使函數f(x)為奇函數，函數f(x)的定義域為R， f(0)=a-
= a-1=0， a=1，存在實數a=1，使函數f(x)為奇函數。
已知函數f(x)=| -1|。（成都市高2023級高一單元測試）
（1）求函數f(x)的單調區間； （2）比較f(x+1)與f(x)的大小；
（3）試確定函數g(x)=f(x)- 零點的個數。
【解析】
【知識點】①指數函數的定義與性質；②指數函數性質運用的基本方法；③絕對值的意義與性質；④分段函數的定義與性質；⑤比較實數大小的基本方法；⑥確定函數零點的基本方法。
【解題思路】（1）運用指數函數和絕對值的性質，把函數f(x)化為分段函數，根據分段函數單調性判斷的基本方法就可求出函數f(x)的單調區間；（2）根據分段函數的性質，利用比較實數大小的基本方法就可比較比較f(x+1)與f(x)的大小；（3）利用確定函數零點的基本方法就可求出函數g(x)=f(x)- 零點的個數。
【詳細解答】（1） f(x)= -1，x0，函數f(x)在[0，+∞）上單調遞增，在(-∞,0）
1-，x<0，上單調遞減；（2）①當x0時，1+x>x0， f(x+1)>f(x)；②當x<0且x+10即-1x<0時， f(x+1)= 2 -1，f(x)=1-，f(x+1)-f(x)
=2 -1-1+=3-2，若0，若x=，f(x+1)-f(x)= 3-2=0，若-1x<，f(x+1)-f(x)= 3-2<0，綜上所述，f(x)，x=時，f(x+1)=f(x)，-1x<時，f(x+1)即x<-1時，x<1+x<0， f(x+1)時，f(x+1)>f(x)；（3） g(x)=f(x)- =0， f(x)=，
設h(x)= ，在同一直角坐標系中作出函數h(x)，f(x)的圖像如圖所示，由圖知函數h(x)，與f(x)的圖像有4個交點，函數g(x)=f(x)- 有4個零點。
9、設函數f(x)=k-（a>0，且a1）是定義域為R的奇函數。
若f(1)>0，判斷函數f(x)的單調性，并求不等式f(x+2)+f(x-6)>0的解集；
（2）若f(1)=，且g(x)=+-2f(x),求g(x)在[1，+∞）上的最小值。（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【考點】①奇函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③指數函數調研與性質；④判斷（或證明）函數單調性的基本方法；⑤數學換元法及運用；⑥求函數在給定區間上最值的基本方法。
【解題思路】（1）根據奇函數函數和函數單調性的性質，運用判斷（或證明）函數單調性的基本方法，結合問題條件就可求出實數k的值，從而判斷函數f(x)的單調性，求出不等式f(x+2)+f(x-6)>0的解集；（2）根據奇函數和函數單調性的性質，運用數學換元法和求函數在給定區間上最值的基本方法，結合問題條件求出a的值，得到實數k關于某個函數的不等式在區間[-1，1]恒成立，運用求函數最值的基本方法求出該函數在區間[-1，1]上的最值，就可求出實數k的取值范圍。
【詳細解答】（1）函數f(x)=k-（a>0，且a1）是定義域為R的奇函數，f(0)
=k-1=0，k=1，函數f(x)=-（a>0，且a1），f(1)=a->0，a>1,函數f(x)在R上單調遞增，不等式f(x+2)+f(x-6)>0，不等式f(x+2)-f(6-x)>0，不等式f(x+2)>f(6-x)，不等式x+2>6-x，解之得：x>2，不等式f(x+2)+f(x-6)>0的解集是（2，+∞）；（2）f(1)=a-=，2-3a-2=0，解之得：a=-，或a=2，a>0，
a=2，函數g(x)=+-2f(x)=+-2+2=-2（-）+2,
令t=- ,t[，+∞）,函數g(x)=+-2f(x),函數g(t)=-2t+2在[，+∞）上單調遞增，函數g(t)在[，+∞）上的最小值為g()=-3+2=，若f(1)=，且g(x)=+-2f(x),則函數g(x)在[1，+∞）上的最小值是。
『思考問題5』
（1）【典例5】是指數函數圖像與性質的綜合應用問題，解答這類問題需要熟悉指數函數的圖像，性質，注意指數函數底數對圖像，性質的影響；
（2）求解與指數函數相關的指數型函數的定義域，值域（或最值），單調性，奇偶性問題的基本方法是：①把問題化歸于指數函數；②運用指數函數的性質并借助于指數函數的圖像來解答問題。
〔練習5〕解答下列各題：
1、若指數函數f(x)的圖像經過點（-1，3），則函數f(x)是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：D）
A 奇函數 B 偶函數 C 增函數 D 減函數
2、已知指數函數f(x)=，且f(2022)>f(2023)，則實數a的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：A）
A （2，3） B （0，1） C （1，+） D （3，+）
3、（多選）下列函數中最小值為2的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：A，B）
A f(x)=+4x+6 B f(x)=+ C f(x)=x+，x≠0 D f(x)=+2
4、若曲線|y|=+1與直線y=b沒有公共點，則b的取值范圍是 。（成都市高2023級高一單元測試）（答案：b的取值范圍是[-1，1]。）
5、已知函數f(x)=b+ (a，b 為常數，且a＞0,a≠1)在區間［-,0］上有最大值3，最小值，則a，b的值分別為 。（成都市高2023級高一單元測試）（答案：a，b的值分別為2，2。）
6、已知函數f(x)=-2.+4，x[-1，2]，求函數f(x)的最大值和最小值。（成都市高2023級高一單元測試）（答案：函數f(x)的最大值是67，最小值是3）
7、已知函數f(x)=a+的圖像經過點（1，-）（成都市高2023級高一單元測試）
（1）判斷函數f(x)的奇偶性，并說明理由；
（2）若-≤f(x)≤0，求實數x的取值范圍。（答案：（1）函數f(x)是奇函數，用定義法說明理由；（2）若-≤f(x)≤0，求實數x的取值范圍是[0，]）
8、已知定義在R上的函數f(x)=+，a為常數，若函數f(x)為偶函數。
（1）求a的值；
（2）判斷函數f(x)在 （0，+）內的單調性，并用單調性定義給予證明；
（3） 求函數f(x)的值域。（成都市高2023級高一單元測試）
（答案：（1）a=1；（2）函數f(x)在 （0，+）內單調遞增，證明略；（3）函數f(x)的值域為[2，+））
9、已知定義為R的單調函數f(x) 是奇函數，當x>0時，f(x)=-。
（1）求函數f(x)的解析式；
（2）若對任意tR，不等式f(-2t)+f(2-k)<0恒成立，求實數k的取值范圍。（成都市高2023級高一單元測試） -，x>0，
（答案：（1）函數f(x)的解析式為f(x)= -1，x=0，（2）若對任意tR，不等式f(-2t)+f(2-k)<0
+，x<0，恒成立，則實數k的取值范圍是（-，-）。）
【典例6】解答下列問題：
1、已知函數f(x)= ，求解方程f(x)=4；
【解析】
【知識點】①指數函數的定義與性質；②指數函數性質運用的基本方法。
【解題思路】運用指數函數的性質，結合問題條件得到關于指數函數的等式，利用指數函數的性質就可求出方程的解。
【詳細解答】函數f(x)= ，方程f(x)=4，=4，=0，=0，=3，x=1是方程f(x)=4的解。
2、解方程+ -2=0；
【解析】
【知識點】①指數函數的定義與性質；②指數函數性質運用的基本方法；③換元法及運用。
【解題思路】運用換元法，結合問題條件得到關于t的一元二次方程，求解方程求出t的值，利用指數函數的性質就可求出方程的解。
【詳細解答】設t=，t（0，+），方程+ -2=0，+t-2=0，t=-2或t=1，
t>0， t=1，=1，x=0是方程+ -2=0的解。
3、若0＜a＜1，解關于x的不等式＜；
【解析】
【知識點】①指數函數的定義與性質；②指數函數性質運用的基本方法。
【解題思路】運用指數函數的性質，結合問題把原指數函數的不等式轉化為關于x的不等式，求解不等式就可求出不等式的解。
【詳細解答】0＜a＜1，不等式＜，>x-2，①當x-2<0，即x<2時，2x-10，即x時，≥0，>x-2的解為x<2；②當x-2≥0，即x≥2時，不等式>x-2，2x-1>，-6x+5<0，x<5，
2x-10， 2x-10，綜上所述，不等式＜的解為[，5）。
4、設函數f(x)= ，求不等式f(x) ≥2的解集。
【解析】
【知識點】①指數函數的定義與性質；②指數函數性質運用的基本方法。
【解題思路】運用指數函數的性質，結合問題條件把原指數函數的不等式，轉化為關于x的不等式，求解不等式就可求出不等式的解。
【詳細解答】函數f(x)= ，不等式f(x) ≥2，≥，|x+1|-
|x-1|≥，①當x<-1時，|x+1|-|x-1|=-x-1+x-1=-2，|x+1|-|x-1|≥，-2≥不成立， 此時不等式無解；②當-1x<1時，|x+1|-|x-1|=x+1+x-1=2x，|x+1|-|x-1|≥，2x≥，x≥，x<1；③當x≥1時，|x+1|-|x-1|=x+1-x+1=2，|x+1|-|x-1|≥，2≥成立， x≥1，綜上所述，不等式|x+1|-|x-1|≥的解為[，++∞），即不等式f(x) ≥2的解集為[，+∞）。
『思考問題6』
（1）【典例6】中的1，2題是有關指數函數的方程問題，解答這類問題的基本方法是：①將某一指數冪視為整體未知數通過解方程求出該指數冪的值；②根據指數函數的性質求出自變量x的值；③得出結果；
（2）【典例6】中的3，4題是有關指數函數的不等式問題，解答這類問題的基本方法是：①將不等式中的指數冪化成相同的底數冪；②運用指數函數的性質得到關于自變量x的不等式；③求解不等式并得出結果。
〔練習6〕解答下列各題：
不等式 的解集為 ； （答案：不等式 的解集為(-∞,
-3] （0，1]。）
2、解方程--12=0；（答案：解方程--12=0的解為x=6。）
3、關于x的方程有負根，求實數a的取值范圍；（答案：實數a的取值范圍是(-3，1）。）
4、若a＞1，解關于x的不等式＜；（答案：當a>1時，關于x的不等式＜的解集是（5，+∞）。）
5、設函數f(x)= ，求不等式f(x) ≥2的解集。（答案：不等式f(x) ≥2的解集為[-，+∞）。）
【典例7】解答下列問題：
+-2。（成都市高2023級高一上期期末調研考試）
【解析】
【考點】①指數定義與性質；②指數運算法則和基本方法。
【解題思路】根據指數的性質，運用指數運算法則和基本方法就可化簡并求出
+-2的值。
【詳細解答】+-2=29+1-2=18+1-7=12。
2、++。（成都市高2023級高一上期期末名校聯盟考試）
【解析】
【考點】①指數定義與性質；②指數運算法則和基本方法。
【解題思路】（1）根據指數的性質，運用指數運算法則和基本方法就可求出
++的值。
【詳細解答】++=++1=1+1=2；
3、若函數f(x)=1-為定義在R上的奇函數。
求實數a的值，并證明函數f(x)的單調性；
若存在實數x[-1，1]使得不等式f(k.)+f(1-)≥0能成立，求實數k的取值范圍。（成都市高2023級高一上期期末名校聯盟考試）
【解析】
【考點】①奇函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③指數函數定義與性質；；④判斷（或證明）函數單調性的基本方法；⑤數學換元法及運用；⑥求函數在給定區間上最值的基本方法。
【解題思路】（1）根據奇函數和函數單調性的性質，運用判斷（或證明）函數單調性的基本方法，結合問題條件就可求出實數a的值，從而證明函數f(x)的單調性；（2）根據奇函數和指數函數的性質，運用數學換元法和求函數在給定區間上最值的腳步方法，結合問題條件得到實數k關于某個函數的不等式在給定區間上恒成立，運用求函數最值的基本方法求出該函數在給定區間上的最值，就可求出實數k的取值范圍。
【詳細解答】（1）函數f(x)=1-為定義在R上的奇函數，f(0)=1-為==0，
a=2，任取，R，且<，f()-f()=1--1+=
=<0，函數f(x)在R上單調遞增；（2）函數f(x）為定義在R上的奇函數，不等式f(k.)+f(1-)≥0能成立，不等式f(k.)-f(-1)≥0能成立，不等式f(k.)≥f(-1)，函數f(x)在R上單調遞增，不等式f(k.)≥f(
-1)能成立，x[-1，1]使得不等式k.≥-1，x[-1，1]使得不等式k≥-，設t=,g（t）=-+2t，x[-1，1]，t[，2]，函數g（t）在[，2]上的最小值為g（2）=-4+4=0，x[-1，1]使得不等式k≥-，t[，2]使得不等式k≥-+2t，k,≥0，若存在實數x[-1，1]使得不等式f(k.)+f(1-)≥0能成立，則實數k的取值范圍是[0，+）。
4、函數y=+2（a>0，且a1）的圖像恒過定點P，則點P的坐標為 。（成都市高2022級高一上期期末調研考試）
【解析】
【考點】①指數函數定義與性質；②指數函數圖像及運用。
【解題思路】根據指數函數的性質，運用指數函數的圖像，結合問題條件得到關于x的方程，求解方程求出x的值，從而求出y的值就可求出點P的坐標。
【詳細解答】函數y=+2（a>0，且a1）的圖像恒過定點P，x-2=0，x=2，y=1+2=3，點P的坐標為（2，3）。
5、++。（成都市高2022級高一上期期末調研考試）
【解析】
【考點】①指數定義與性質；②指數運算法則和基本方法。
【解題思路】（1）根據指數的性質，運用指數運算法則和基本方法，結合問題條件就可求出++的值。
【詳細解答】++=+-2+1=+；
6、已知f(x)=-++b是定義在R上的奇函數。
（1）求f(x)的解析式；
（2）已知a>0，且a1，若對任意x[2，+），存在m[1，2]，使得f(x)≤+-4x成立，求a的取值范圍。（成都市高2022級高一上期期末調研考試）
【解析】
【考點】①奇函數

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